高中 平面解析几何圆的方程 知识点+例题

辅导讲义――圆的方程

题型四：与圆有关的轨迹问题

[例] 自圆x 2＋y 2＝4上的点A (2,0)引此圆的弦AB ，求弦AB 的中点轨迹方程．

设AB 的中点P (x ，y )，B (x 1，y 1)，则有x 12＋y 12＝4，且x ＝x 1＋22，y ＝y 1＋02

. ∴x 1＝2x －2，y 1＝2y .

∴(2x －2)2＋(2y )2＝4，即(x －1)2＋y 2＝1.

当A ，B 重合时，P 与A 点重合，不合题意，

∴所求轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(x ≠2)．

[巩固1]设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．

如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行

四边形的对角线互相平分，

故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧

x 0＝x ＋3y 0＝y －4. N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.

因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，

但应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭

⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)． [巩固2] (2014·课标全国Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，求M 的轨迹方程.

圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，

所以圆心为C (0,4)，半径为4.

设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．

由题设知CM →·MP →＝0，

故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，

即(x －1)2＋(y －3)2＝2.

由于点P 在圆C 的内部，

所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.

题型五：圆的对称问题

1． 自对称

[例]已知点A 是圆C ：03042

2=++++y ax y x 上任意一点，A 关于直线x+2y-1=0的对称点也在圆C 上，则实数a 的值是___-10________.

[巩固]若直线y=kx 与圆1)1(22=+-y x 的两个交点关于直线x-y+b=0对称，则k=__-1_____；b=__-1________.

2．互对称

[例]已知圆C 1：1)1()1(22=-++y x ，圆C 2与圆C 1关于直线x-y-1=0对称，则圆C 2的方程是________________. 1)2()2(22=++-y x

[巩固] 02

2=++++c by ax y x 与圆122=+y x 关于直线y=2x-1对称，则a+b=_______________. 5

4- 题型六：圆的实际应用

[例]如图所示，一座圆形拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2 m ，水面宽12 m ，当水面下降1 m 后，水面宽多少米？

以圆拱顶为坐标原点，以过拱顶点的垂线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知得A (6，－2)．

设圆的半径为r ，则C (0，－r )，

即圆的方程为

x 2＋(y ＋r )2＝r 2.①

将点A 的坐标(6，－2)代入方程①，解得r ＝10，

∴圆的方程x 2＋(y ＋10)2＝100.②

当水面下降1 m 后，可设点A ′的坐标为

(x 0，－3)(x 0>0)，

代入方程②，求得x 0＝51.

即水面下降1 m 后，水面宽为2x 0＝251≈14.28 m.

[巩固]如图，森林的边界是直线L，兔子和狼分别在L的垂线AC上的点A和点B处（AB=BC=a），现兔子沿线AD 以速度2v准备越过L向森林逃跑，同时狼沿线BM（点M在AD上）以速度v进行追击，若狼比兔子先到或同时到达点M处，狼就会吃掉兔子.求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的地方）组成的区域的面积S.

1．方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示圆，则a的取值范围是____________.

方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示一个圆，

则(－2)2＋22－4a>0，∴a<2，

2．点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25内弦AB的中点，则AB的方程为_______________.

由题意可知圆心Q(1,0)，故k PQ＝－1.

∴k AB＝1，∴AB的方程为y＋1＝1×(x－2)．

即x－y－3＝0.

3．已知点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________.

圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1.

直线AB的方程为x－y＋2＝0，

圆心(1,0)到直线AB的距离d＝

|1－0＋2|

2

＝

32

2.

则点C到直线AB的最短距离为

32

2－1.

又|AB|＝2 2.

夯实基础训练

∴S △ABC 的最小值为12×22×⎝⎛⎭

⎫322－1＝3－ 2.

4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是_______________.

设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，

x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，

则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧

x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，

代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.

5．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b

的最小值为___________. 由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上，

∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1，

∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b

≥3＋2 b a ×2a b

＝3＋22， 当且仅当b a ＝2a b

，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立． ∴1a ＋2b

的最小值为3＋2 2. 6．(2013·江西)若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________．

(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254

解析 如图，设圆心坐标为(2，y 0)，则

⎩⎪⎨⎪⎧

y 20＋4＝r 2，|1－y 0|＝r ， 解得y 0＝－32，r ＝52

， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254

.

7．若方程x 2＋y 2－2x ＋2my ＋2m 2－6m ＋9＝0表示圆，则m 的取值范围是________；当半径最大时，圆的方程为_______． ∵原方程可化为(x －1)2＋(y ＋m )2＝－m 2＋6m －8，∴r 2＝－m 2＋6m －8＝－(m －2)(m －4)>0，

∴2

当m ＝3时，r 最大为1，

圆的方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝1.

8．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________．

∵圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，

∴其圆心为(－1,2)，且5－a >0，即a <5.