高中数学选修2-1配套(课件+检测)：3.2立体几何中的向量方法3.2 第1课时

第三章 3.2 第1课时
A 级 基础巩固
一、选择题
1．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则导学号 21324937( B )
A ．l ∥α
B ．l ⊥α
C ．l ⊂α
D ．l 与α斜交
[解析] ∵u ＝－2a ，∴u ∥a ，∴l ⊥α.
2．在如图所示的坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，给出下列结论：
①直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1)；
②直线BC 1的一个方向向量为(0,1,1)；
③平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)；
④平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)． 其中正确的个数为导学号 21324938( C )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
[解析] DD 1∥AA 1，AA 1→＝(0,0,1)；BC 1∥AD 1，AD 1→＝(0,1,1)，直线AD ⊥平面ABB 1A 1，AD →＝
(0,1,0)；C 1点坐标为(1,1,1)，AC 1→与平面B 1CD 不垂直，∴④错．
3．(2017·菏泽高二检测)已知A (1，－3,5)，B (－1，－1,4)是直线l 上两点，则下列可作为直线l 的方向向量的是导学号 21324939( B )
A ．(1,1,0)
B ．(4，－4,2)
C ．(－3，－3,0)
D ．(4,4,2)
4．(2017·福州高二检测)已知向量n ＝(2,3，－1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是导学号 21324940( D )
A ．(0,3，－1)
B ．(2,0，－1)
C ．(－2,3，－1)
D ．(－2，－3,1)
5．已知向量a ＝(2,4,5)、b ＝(5，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则导学号 21324941( D )
A ．x ＝6，y ＝15
B ．x ＝3，y ＝152
C ．x ＝10，y ＝15
D ．x ＝10，y ＝252
[解析] ∵l 1∥l 2，∴a ∥b ，
∴52＝x 4＝y 5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝10y ＝252.
6．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝导学号 21324942( C )
A ．2
B ．－4
C ．4
D ．－2
[解析] ∵α∥β，∴1－2＝2－4＝－2k
，∴k ＝4，故选C ． 二、填空题
7．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (1,2,3)、B (2，－1,1)、C (3，λ，λ)，若AB →⊥AC →，
则λ等于 145
.导学号 21324943 [解析] AB →＝(1，－3，－2)、AC →＝(2，λ－2，λ－3)，
∵AB →⊥AC →，
∴AB →·AC →＝0，
∴2－3(λ－2)－2(λ－3)＝0，解得λ＝145
. 8．已知直线l 的方向向量为u ＝(2,0，－1)，平面α的一个法向量为v ＝(－2,1，－4)，则l 与α的位置关系为_l ∥α或l ⊂α__.导学号 21324944
[解析] u ·v ＝2×(－2)＋0×1＋(－1)×(－4)＝0，∴l ∥α或l ⊂α.
三、解答题
9.如图，已知P 是正方形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是P A 、BD 上的点，且PM ︰MA ＝BN ︰ND ＝5︰8.
求证：直线MN ∥平面PBC .导学号 21324945
[证明] MN →＝MP →＋PB →＋BN →
＝－PM →＋PB →＋BN →
＝－513P A →＋PB →＋513
BD → ＝－513(BA →－BP →)＋PB →＋513
(BA →＋BC →) ＝513BP →－BP →＋513BC →＝513BC →－813
BP →， ∴MN →与BC →、BP →共面，∴MN →∥平面BCP ，
∵MN ⊄平面BCP ，∴MN ∥平面BCP .
10.(2017·枣庄高二检测)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，
∠ABC ＝π4
，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2，点M 为P A 的中点，点N 为BC 的中点．AF ⊥CD 于F ，如图建立空间直角坐标系．求出平面PCD 的一个法向量并证明MN ∥平面PCD .导学号 21324946
[解析] 由题设知：在Rt △AFD 中，
AF ＝FD ＝22
， A (0,0,0)，B (1,0,0)，F (0，22，0)，D (－22，22
，0)， P (0,0,2)，M (0,0,1)，N (1－
24，24，0)． MN →＝(1－24，24，－1)，PF →＝(0，22
，－2)． PD →＝(－22，22
，－2) 设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·
PF →＝0，n ·PD →＝0⇒⎩⎨⎧ 22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0，
令z ＝2，得n ＝(0,4，2)．
因为MN →·n ＝(1－24，24
，－1)·(0,4，2)＝0， 又MN ⊄平面PCD ，所以MN ∥平面PCD .
B 级 素养提升
一、选择题
1．下面各组向量为直线l 1与l 2方向向量，则l 1与l 2一定不平行的是导学号 21324947( D )
A ．a ＝(1,2，－2)、b ＝(－2，－4,4)
B ．a ＝(1,0,0)、b ＝(－3,0,0)
C ．a ＝(2,3,0)、b ＝(4,6,0)
D ．a ＝(－2,3,5)、b ＝(－4,6,8)
[解析] l 1与l 2不平行则其方向向量一定不共线．
A 中：b ＝－2a ，
B 中：b ＝－3a ，
C 中：b ＝2a .故选
D ．
2．(2017·甘肃天水一中高二期末测试)两个不重合平面的法向量分别为v 1＝(1,0，－1)、v 2＝(－2,0,2)，则这两个平面的位置关系是导学号 21324948( A )
A ．平行
B ．相交不垂直
C ．垂直
D ．以上都不对
[解析] ∵v 1＝(1,0，－1)，v 2＝(－2,0,2)，
∴v 2＝－2v 1，∴v 1∥v 2，
∴两个平面平行．
3．已知点A (4,1,3)、B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点且|AC →||AB →|
＝13，则点C 的坐标为导学号 21324949( C )
A ．(72，－12，52)
B ．(38，－3,2)
C ．(103，－1，73)
D ．(52，－72，32
) [解析] ∵C 在线段AB 上，∴AC →∥AB →，∴设C (x ，y ，z )，则由|AC →||AB →|
＝13得，
(x －4，y －1，z －3)＝13
(2－4，－5－1，1－3)， 即⎩⎨⎧
x －4＝－23y －1＝－2
z －3＝－23
，解得⎩⎨⎧ x ＝103
y ＝－1z ＝73. 故选C ． 4．对于任意空间向量a ＝(a 1，a 2，a 3)、b ＝(b 1，b 2，b 3)，给出下列三个命题： ①a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3； ②若a 1＝a 2＝a 3＝1，则a 为单位向量； ③a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 其中真命题的个数为导学号 21324950( B ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
[解析] 由a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3
⇒a ∥b ，反之不一定成立，故①不正确；②显然错误；③是正确的，故选B ．
二、填空题
5．过点A (1,0,0)、B (0,1,0)、C (0,0,1)的平面的一个法向量为_(1,1,1)__.导学号 21324951
[解析] 设法向量n ＝(x ，y,1)，
由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0n ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝0－x ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1
y ＝1.∴n ＝(1,1,1)． 6．在空间直角坐标系O －xyz 中，已知A (1，－2,3)、B (2,1，－1)，若直线AB 交平面xOz 于点C ，则点C 的坐标为___(53，0，13)___.导学号 21324952 [解析] 设点C 的坐标为(x,0，z )，则AC →＝(x －1,2，z －3)，AB →＝(1,3，－4)，因为AC →与AB
→共线，所以x －11＝23＝z －3－4，解得⎩⎨⎧ x ＝53z ＝13
，所以点C 的坐标为(53，0，13
)． 三、解答题 7．设a 、b 分别是不重合的直线l 1、l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1，l 2的位置关
系：导学号 21324953
(1)a ＝(4,6，－2)、b ＝(－2，－3,1)；
(2)a ＝(5,0,2)、b ＝(0,1,0)；
(3)a ＝(－2，－1，－1)、b ＝(4，－2，－8)．
[解析] (1)∵a ＝(4,6，－2)、b ＝(－2，－3,1)，
∴a ＝－2b ，∴a ∥b ，∴l 1∥l 2.
(2)∵a ＝(5,0,2)、b ＝(0,1,0)，
∴a ·b ＝0，a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.
(3)∵a ＝(－2，－1，－1)，b ＝(4，－2，－8)，
∴a 与b 不共线也不垂直．∴l 1与l 2相交或异面．
8．已知三棱锥P －ABC ，D 、E 、F 分别为棱P A 、PB 、PC 的中点，求证：平面DEF ∥平面ABC .导学号 21324954
[证明] 证法一：如图．
设PD →＝a ，PE →＝b ，PF →＝c ，则由条件知，P A →＝2a ，PB →＝2b ，PC →＝2c ，
设平面DEF 的法向量为n ，则n ·DE →＝0，n ·DF →＝0，
∴n ·(b －a )＝0，n ·(c －a )＝0，
∴n ·AB →＝n ·(PB →－P A →)＝n ·(2b －2a )＝0，n ·AC →＝n ·(PC →－P A →)＝n ·(2c －2a )＝0，∴n ⊥AB →，n ⊥AC →，
∴n 是平面ABC 的法向量，
∴平面DEF ∥平面ABC .
证法二：设PD →＝a ，PE →＝b ，PF →＝c ，则P A →＝2a ，PB →＝2b ，PC →＝2c ，
∴DE →＝b －a ，DF →＝c －a ，AB →＝2b －2a ，AC →＝2c －2a ，
对于平面ABC 内任一直线l ，设其方向向量为e ，由平面向量基本定理知，存在唯一实
数对(x ，y )，使e ＝xAB →＋yAC →＝x (2b －2a )＋y (2c －2a )＝2x (b －a )＋2y (c －a )＝2xDE →＋2yDF →，
∴e 与DE →、DF →共面，
即e ∥平面DEF ，
∴l ⊄平面DEF ，∴l ∥平面DEF .
由l 的任意性知，平面ABC ∥平面DEF .
C 级 能力拔高
在正四棱锥P －ABCD 中，底面正方形边长为32，棱锥的侧棱长为5，E 、F 、G 分别为BC 、CD 、PC 的中点，用向量方法证明下列问题.导学号 21324955
(1)EF ⊥P A ；
(2)EF ∥平面PBD ；
(3)直线P A 与平面EFG 不平行．
[解析] 设AC 与BD 的交点为O ，∵P －ABCD 为正四棱锥，∴PO ⊥平面ABCD ，且AC ⊥BD ，
以O 为原点，OB ，OC 、OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，
∵正方形ABCD 边长为32，∴OB ＝OC ＝3，
又PC ＝5，∴OP ＝4，
∴A (0，－3,0)、B (3,0,0)、C (0,3,0)、D (－3,0,0)、P (0，0,4)．
(1)∵E 、F 分别为BC 、CD 的中点，∴E (32，32，0)、F (－32，32
，0)，∴EF →＝(－3,0,0)、P A →＝
(0，－3，－4)，EF →·P A →＝0，∴EF ⊥P A .
(2)显然OC →＝(0,3,0)为平面PBD 的一个法向量，
∵EF →·OC →＝0，∴EF ∥平面PBD .
(3)∵G 为PC 中点，∴G (0，32
，2)，设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＝0－32x ＋2z ＝0
，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0
z ＝0. 取n ＝(0,1,0)，∵n ·P A →＝－3≠0，∴P A 与平面EFG 不平行．。