高数不定积分62道经典例题
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不定积分59例1、⎰⎰+-=++-==+--C x C x dx x x dx 11)2(11)2(222、⎰⎰+=++-==+--C x C x dx x xdx 21)21(11)21(213、⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--C x x dx x xarctan 3arcsin 51315224、()()()C x e e x dx dx e dx x e xx x x +-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰ln 21ln 2121ππππ5、()⎰⎰⎰++-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 26、⎰⎰⎰⎰++-=+=+=C x x xdx xdx dx xx x x x x dx tan cot sec csc cos sin cos sin cos sin 222222227、()⎰⎰+--=-=C x x dx x dx x cot 1csc cot 228、⎰⎰⎰++-=⎪⎭⎫⎝⎛++-=++-=+C x x x dx x x dx x x dx x x arctan 31111111132224249、()C x udu u x x xd xdx +-===⎰⎰⎰)5cos(51sin 51555sin 515sin 10、()()()()⎰⎰+--=+-+⋅-=---=-+C x C x x d x dx x 81777211612117121)21(212121 11、()C a x a a x a x d a x a dx +⎪⎭⎫⎝⎛=+=+⎰⎰arctan 11122212、()()Ca x a x a x d xa dx +⎪⎭⎫⎝⎛=-=-⎰⎰arcsin 1222()()⎰⎰=-n n n n dx x f ndx x x f 11 13、()()()()C x C x x d x dx x x +--=+-+⋅-=---=-+⎰⎰23212122122122131111211121114、()C e x d e dx e x x x x +-=--=---⎰⎰333323131 15、⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x d dx x C x x d x dx x x 111sin 11cos 1cos 12216、⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==x d dx x Cx x d x dx xx 21sin 2cos 2cos 17、⎰⎰⎰+=+-=-==C x C x x xd dx x x xdx sec ln cos ln cos cos cos sin tan 18、⎰⎰⎰+-=+===Cx C x x xd dx x x xdx cos ln sin ln sin sin sin cos cot 19、()()()⎰⎰⎰++=++=++=C x x x x x x d dx x x x x x xdx tan sec ln tan sec tan sec tan sec tan sec sec sec 20、()()()⎰⎰⎰+-=--=--=C x x xx x x d dx x x x x x xdx cot csc ln cot csc cot csc cot csc cot csc csc csc21、()⎰⎰+==C x xxd dx x x ln ln ln ln ln 122、()()()⎰⎰++=++=+C x x x d x x dx 1tan ln 1tan 1tan tan 1cos 2 23、()()⎰⎰++=++=+C e ee d dx e e xx x x x 1ln 111 24、()()⎰⎰++-=+-+=+C e x ee e e dx x x x x x 1ln 111 25、()⎰⎰+=+=+C e e de dx e e x x xx x arctan 1122 26、()C e x d e dx e xx x x x +-=+--=++-+-+-⎰⎰212212121127、⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++---=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-a x a x d a x a x d a dx a x a x a ax dx )()(21112122 C ax a x a ++-=ln 2128、dx x x dx x x x dx x x x ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+--+=+--2222213113112 ()()C x x x xdx x x d x +-+-=+-++-=⎰⎰arctan 31ln 211311212222 29、()()⎰⎰⎰⎰+--+-+-=+---=+--413525221526222152422222x dxx x x x d dx x x x dx x x x ()C x x x +--+-=21arctan 2352ln 21230、()C x x x xd x dx x xdx +-=⋅-=-=⎰⎰⎰2sin 412122cos 21212122cos 1sin 2 31、()⎰⎰+--=+=C x x dx x x xdx x 2cos 418cos 1612sin 8sin 213cos 5sin32、⎰⎰⎰⎰+====C x x xd x x x d x xdx dx x x sin ln ln sin ln sin ln sin ln sin sin sin ln sin cos sin ln cot33、C x x xx d xdx dx x x x dx +-=+=-=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos sec cos sin 1sin 1222 34、()⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+44csc 214sin 2sin cos πππx d x x dx x x dx C x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cot 4csc ln 21ππ 35、dx x a ⎰-22解法一：令)cos (sin t a t a x 或=，则tdt a dx t a x a cos ,cos 22==-原式=()⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=+=⋅t td dt a dt t a tdt a t a 22cos 21222cos 1cos cos 22C ax a a x a a x a C t a t a +-⋅⋅⋅+=++=22222224arcsin 22sin 42 C x a x a x a +-+=22221arcsin 21 解法二：三角形上面是圆顶的面积很容易求，地下的三角形加上上面的扇形。
不定积分的典型例题50题答案
例1． 解法1).12)(12(1224+-++=+x x x x x而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以)121121(21112242dx x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰++++-=++ .)]12arctan()12[arctan(211)12()12211)12()12(21)21)22(121)22(1[212222c x x x x d x x d dx x dx x +++-=+++++--=++++-=⎰⎰⎰⎰解法2dxx x x x xx x dx x x ⎰⎰+++-++-=++)12)(12(2)12(1122242.arctan 21)12arctan(211212242c x x dx x xx x dx +++=++++=⎰⎰解法3⎰⎰⎰+-=++=++≠2222242)1(1111,0xx x x d dx x x x dx x x x 当 c x x xx x x d +-=+--=⎰21arctan 212)1()1(22,2221arctan 21lim 20π-=-+→x x x ,2221arctan 21lim 20π=--→x x x 由拼接法可有.02221arctan 2100,2221arctan 21112242⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--=>++-=++⎰x cx x x x c x x dx x x ππ 例2.解 将被积函数化为简单的部分分式(*)1)1(1)1()1(222223⋅⋅⋅⋅⋅++++++=+++x DCx x B x A x x x 两边同乘以2)1(+x ，约去1+x 的因子后令1-→x 得 .211)1(2)1(23=+-+-=B 两边同乘以2)1(+x ，对x 求导，再令1-→x ，施以上运算后，右端得A,而左端为.2.2426)1()2(2)1(3lim ]12[lim )1()1()1(2[lim 22322123122231=∴=+=++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式（*）中令,0=x 得,2D B A ++=所以.21-=D 分解式（*）两边同乘以x ，再令,+∞→x 得.1,1-=⇒+=C C A 故有.arctan 21)1ln(21)1(211ln 2]1)1(1[)1()1(2222223c x x x x dxx DCx x B x A dx x x x +-+-+-+=++++++=+++⎰⎰例3.解 令 ,2x u =再用部分分式，則⎰⎰++=++))(1(21)()1(22244u u u dudx x x x x,11)()1(1222+++++=++u D Cu u B u A u u u 两边乘以,u 再令,0→u 得.1=A 两边乘以,1+u 再令,1-→u 得.21-=B 两边乘以,u 再令,+∞→u 得.21,0-=⇒++=C C B A 令.21,1-=⇒=D u.arctan 41)1()1(ln 81arctan 41)1ln(81)1ln(41ln 21arctan 41)1ln(811ln 41ln 21]12121)1(211[21))(1(21)()1(2422824222222244c x x x x c x x x x c u u u u du u u u u u u u dudx x x x x +-++=+-+-+-=+-+-+-=+--++-=++=++∴⎰⎰⎰ 例4828872882815)1(1181)1()1(dx x x dx x x x dx x x ⎰⎰⎰+-+=⋅+=+)1(])1(111[818288++-+=⎰x d x x .)1(81)1ln(8188c x x ++++= 例5. 解 令 ,2tant x =则=-++⎰dx xx xsin cos 1cos 1 .2)sin 1ln(21arctan )1ln(211ln )1111()1)(1(212121111112222222c x x ct t t dtt t t dtt t dx t t t t t t t ++--=++++--=+++--=-+=+⋅+-+-++-+⎰⎰⎰ 例6dx x x 122+⎰⎰+=22421dx x x.1ln 811)12(81))21(ln(161)21(41)21(21)21()21()21(212222222222222c x x x x x c u u u u du u x d x +++-++=+-+--=-=+-+=⎰⎰分部积分例7.25342)2()1(25232121232c x x x dx x x x dx x x ++-=+-=-⎰⎰-分项例8dx x x dx x ]1111[2111224++-=-⎰⎰ .arctan 2111ln 41c x x x ++-+= 例9．dx x x dx x x ⎰⎰+-+=+1111.134132111c x x x dx xdx x ++-+=+-+=⎰⎰例10．⎰⎰⎰---=-+=+)24(cos )24()2cos(1sin 12x x d x dxx dx πππ.)24tan(c x +--=π 例 11c t t dt x xdx tx +=-=-⎰⎰=arcsin 11212⎪⎩⎪⎨⎧-<+>+-=.1,1arcsin 1,1arcsin x c x x c x 例12．解 .2cos 41)2sin 211(c x x dx x J I ++=-=+⎰dx x x x x x dxxx x x x J I ⎰⎰++-=++-=-222)sin (cos )2sin 211)(sin (cos sin cos )2sin 211)(sin (cos.)12ln(sin 412sin 412sin 12cos )2sin 211(c x x dx x xx +++=++=⎰解上面的联立方程可得出.,J I例13． ).(,)1ln(31)1ln(1111111,)21(332arctan 332.1,1111111332322333233略从而可解出可求出令I c x x dx x x dx x dx x x x x dx x x J I c x J I dx x x J dx x x dx x x dx xx x dx x I ++-+=+-+=+-+-=+-=-+-=++=+-+-=+-+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例14．)1(12arcsin 12arcsin++=+⎰⎰x d xxdx x x .212arcsin )1(112arcsin1c x xxx dx xx x x ++++=+++=⎰）（分部积分例15．解 令,)21(12,211,12222dt t t t dx t t x t x x x +++=+-=⇒+-=++ .)1212(231212ln 231ln 2])12(23)12(231[2)21(12222222c x x x x x x x x x dt t t t dt t t t t I ++++++++++-+++=+-+-=+++=⎰⎰例16．解 .sin 2cos 5]cos 2sin 5[x x x x +='- 被积函数的分子是x x sin ,cos 的线性组合，故有.1,2,cos )25(sin )25()cos 2sin 5()cos 2sin 5(cos sin 12==⇒-++='-+-=+B A x A B x B A x x B x x A x x 于是.cos 2sin 5ln 2cos 2sin 5)cos 2sin 5()cos 2sin 5(2cos 2sin 5cos sin 12c x x x dx x x x x x x dx x x x x +-+=-'-+-=-+⎰⎰例17．解 ⎰⎰⎰-=-+-=+=4cos 13)(cos sin 3sin 2cos 22t dtx x d x xdx t x .cos 2cos 2ln 41]2121[41c xx dt t t ++-=+--=⎰ 例18．⎰⎰+=+x xdxx dx 222cos )2cos 1(cos 21 .3tan arctan 313arctan 313tan 3)(tan 2cos )(tan 222c x c t t dtx x d xx d +=+=+=+=+⎰⎰⎰ 例19．.)1ln(18189623266332366c x x x x x dx x x x t x +++-+-=⋅⋅⋅=+-=⎰例20．.15arctan 21515ln153215c x xx x x x dx x xx t x x+-------+-=⋅⋅⋅=---=--⎰例21．.]1ln [arctan 2112sin 22c x x x x x dx tx t +-++=⋅⋅⋅=-+=≤⎰π 例22．,11ln 21211222tan 232c x x x x x dxx tx t +++-+-=⋅⋅⋅=+=<⎰π例23．⋅⋅⋅=+-=⎰t e x x xe e dx232换元后有理函数积分例24．.1arcsin arcsin 2c x x x xdx+-+=⎰分部积分例25．.)(c e dx e e dx exxx e xe xe +==⎰⎰+例26．”）妙用“1(cos sin 1ln cos sin 1)cos sin 1(cos sin 12cos c x x x x x x d x x xdx ++=++=+⎰⎰例27..)13()(2dx e x x e x x x x +++⎰.])[(32])[()()13(])[(23222322c e x x e x x d e x x e x x e x x x x x e ++=++=∴++='+⎰原式例28..11)1(arctan .)1(arctan 2111arctan22x x c x dx x x +-='+-=+⎰例29.=++-=+⎰⎰xb x a x b x a d a b dxx b x a x22222222222222sin cos )sin cos (1sin cos 2sin .2sin )()sin cos (.sin cos 2222222222222x a b x b x a c x b x a ab -='+++-例30.)ln ()ln (1)ln (ln 1)ln (ln 1222x xx d xx x dxxx x xxdx x x x ---=--=--⎰⎰⎰ .ln ln 1c x x xc xx x +-=+-=例31．.1212ln2211)1(22sin 22c xx xx xdxt x +---+-=-+⎰=例32．.111)1(22tan 2323c x x dx x x tx ++++=+=⎰例33．.313222sec 0422c x a x a dx x a x t a x a +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=-=>⎰例34dt tt t dt t t x dx tx ⎰⎰⎰--=+=-+=22sin 2cos 1cos cos cos 1cos 11 .arcsin 112c x x x x ++-+-=例35．.ln 212ln 141)1(2)1()2(72717c x x dt tttx x dxtx +++-=-⋅+=+⎰⎰=例36．.13)12(2)431(]43)21[()1(2232121232232c xx x t tdt x dxx x dx tx ++++=+-=++=++⎰⎰⎰=+例37．.22)(212)2(2222c e x x dx e x x x e x dx x e x x xx x ++-='+++-=+⎰⎰ 例38．.)2ln(201ln 21)2()2(101010910c x x x x dx x x x dx ++-=+=+⎰⎰ 例39．.1ln 72ln )2()1()1()1(71076777c x x x x dx x x x x dx x ++-=+-=+-⎰⎰ 例40．.)1ln (1)()111(111112c x x nx d x n dx x x x x dx x n n n n n n n n n ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰-- 例41．.)1(121003dx x x ⎰-+9899111003)1(493)1(1331)1(12----=-+=-⎰x x dx x x u x例51． 求,))((dx x b a x ⎰-- 其中.b a < 解 由配方得2,)2())((22a b R b a x R x b a x -=+--=--其中，令,2b a u x ++=则有原式 .))((4)(2)(2arcsin )(41cos sin 22)2sin 412(22cos 1cos 2222222sin 22c x b a x b a x ab b a x a bc t t R t R c t t R dt t R tdt R du u R t R u +--+-+-+--=++=++=+==-=⎰⎰⎰= 例52．设)(x f 有一个原函数,sin xx 求.)(⎰'dx x f x 解 用分部积分法有 (*))()()()(⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=='⎰⎰⎰dxx f x xf x xdf dx x f x.sin cos ]sin [])([)(sin )(211xx x x c x x dx x f x f c x x dx x f -='+='=⇒+=⎰⎰ 代入（*）有 1sin sin cos )(c xx x x x dx x f x ---='⎰， 即 .sin 2cos )(c x x x dx x f x +-='⎰。
(完整版)高等数学不定积分例题、思路和答案(超全)
第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习一一求不定积分的基本方法思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分★⑴dx x2 . x思路: 被积函数由积分表中的公式（2）可解。
解:dxx2-x5x 2dx★⑵1 ^=)思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
(x3x 2)dx1x3dx1x 2dx3 - 13x32x2C4★(3)(2x x2) dx思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项, 分别积分。
解：(2x x2)dx 2x dx x2dx 2In 21x3 C 3★(4). x(x 3)dx思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项, 分别积分。
解: ' x(x 3)dx3x2dx1x2dx5 32 2x2 C3x42x Jx1思路：观察到3x43x2 1x2 1 3x2 -后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积1分。
解：（注：容易看出（5）（6）两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分 解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
思路：分项积分。
思路：分项积分。
…、1 ★★(10) - ------- -dxx (1 x )思路：裂项分项积分。
解:4 2 ,3x 3x 12 ,dx 3x dx. 3—dx x arctan x Cx★★ (6)dx思路：注意到2x 1 x 2,根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
25 x .斛：-------- 2dx1 xdx ----- 2dx1 xarctan x C.,/ x ★⑺( --- 21 + 1- 4、4)dx x…/x斛：（一 ——i - 3 x x 4、 —)dx 1 2 -x 4 In |x| x3 x 2 24 x 3 xdx-dx x 3 x 3dx 4 x 4dx C. 3 ★(8) (rv2-解:2、，-dx1 , c c . c ---- dx 3arctan x 2arcsin x C. x 2★★(9)x x xdx1 1x 2 47x 8,直接积分。
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分 （Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx ２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221 ５）⎰⋅-⋅dxxxx32532 ６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x32(⎰+ ８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23( ２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos ６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰ ８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx 12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin 14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211 ２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx ６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx ８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法） １）inxdxxs⎰ ２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2 ６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln ８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dxxx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx （Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。
2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。
3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。
大学数学不定积分必看习题
∫ 6、 若 f (x) = e− x ,则 f (ln x) dx = （
x
（A） 1 + c x
（B） − 1 + c x
（D） 2[ x sin
）；
（C） − ln x + c
x − cos x ] + c （D） ln x + c
∫ 7、 如果 f ′(x3)dx = x 3 +C ,则f (x ) = (
（D） 1 (1 − x 2 ) 2 + c 2
4、 若∫
f
(x)dx
=
2sin
x 2
+ c,则f ( x)
=(
)；
（A） cos x + c 2
（B） cos x 2
（C） 2 cos x + c 2
∫ 5、 若F ′(x) = f ( x),则 dF (x) = (
)；
（D） 2 cos x 2
（A） − 1 x2
（B） 1 （C） ln(2x) x
11、下列各对函数中,是同一个函数的原函数是（
)；
（D） x − ln(2x)
）；
（A） arctan x和arc cot x
（B） ln( x + 2)和ln x + ln 2
（C） 2 x 和2 x + ln 2 ln 2
（D） (ex − e−x ) 2 和e 2x + e−2 x
x)
dx
=
x2
+
c
,则
f
(x)
=
；
∫ 3、若 f (x) = 1 x2 ，则 f ′( x2 )dx =
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221５）⎰⋅-⋅dxxxx32532６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x)32(⎰+８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23(２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdxxs⎰２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx xx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx（Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。
2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。
3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。
不定积分经典例题
不定积分经典例题1. 计算不定积分：$\int \frac{1}{x^2} dx$解：该不定积分可以通过直接计算得到。
由于$\frac{1}{x^2}$ 的原函数是 $-\frac{1}{x}$，因此$$\int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{1}{x} + C$$其中 $C$ 是常数。
2. 计算不定积分：$\int (2x+3)dx$解：使用不定积分的线性性质，可以将被积函数分解成两个分别可求积的部分。
所以$$\int (2x+3)dx = \int 2x dx + \int 3 dx = x^2 + 3x + C$$其中 $C$ 是常数。
3. 计算不定积分：$\int e^x \sin(x) dx$解：可以通过分部积分法来计算该不定积分。
设 $u = e^x$，$dv = \sin(x) dx$，则 $du = e^x dx$，$v = -\cos(x)$。
根据分部积分公式，$$\int e^x \sin(x) dx = -e^x \cos(x) - \int -e^x \cos(x) dx$$然后再次使用分部积分法，可得$$\int e^x \sin(x) dx = -e^x \cos(x) + e^x \sin(x) - \int e^x \sin(x) dx$$将右侧的不定积分移到左侧，可以得到$$2 \int e^x \sin(x) dx = -e^x \cos(x) + e^x \sin(x)$$因此$$\int e^x \sin(x) dx = \frac{-e^x \cos(x) + e^x \sin(x)}{2} + C$$其中 $C$ 是常数。
这只是一些经典的不定积分例题，当然还有很多其他的例题。
希望这些例题能够帮助你理解不定积分的计算方法。
不定积分的典型例题50题
cos 2 xdx
例 14． arcsin 2 x dx arcsin 2 x d ( x 1) 1 x 1 x 例 15． I 例 16．
dx x x2 x 1 .
12 sin x cos x dx. 5 sin x 2 cos x sin xdx . 例 17． 3 sin 2 x
1 dx. 例 13． I 1 x3
d (1 sin x cos x) 1 sin x cos x ln 1 sin x cos x c (妙用“ 1”） 2 x x ( x x ) e ( x 3 x 1 ) e dx . 例 27.
例 26．
1 sin x cos x
(x
4
x dx. 1) ( x 4 x 2 )
2
例 4. 例 5.
x15 x8 1 x8 1 1 8 7 dx x dx dx ( x8 1)2 ( x8 1)2 8 ( x8 1) 2
1 cos x dx. 1 cos x sin x
dx. 分子分母同乘（ x 1 x ）
1
1 x2
x 1
1 cost dt
cost
cost cos t dt 1 sin xdx 2 1 cos t x x x 2 2 x 例 45． dx sin 2 cos 22sin sin x cos x cos dx 2 dx 2 csc 2 xdx cot x c 3 sin 3 x 2 sin2 x
例 6. x 2 x 2 1dx
1 1 1 1 dx [ ]dx 例 8. 4 2 1 x 2 1 x 1 x2
不定积分典型例题
不定积分典型例题一、直接积分法直接积分法是利用基本积分公式和不定积分性质求不定积分的方法，解题时往往需对被积函数进行简单恒等变形，使之逐项能用基本积分公式. 例1、求 dx x x x ∫−)11(2解 原式＝ C x x dx x x ++=−∫−41474543474)(例2、求 dx e e x x ∫++113解 原式＝ C x e e dx e e x xx x ++−=+−∫2221)1( 例3、求 dx xx ∫22cos sin 1解 原式 ∫∫∫+=+=dx x dx x dx x x x x 222222sin 1cos 1cos sin cos sin C x x +−=cot tan 例4、 ∫dx x2cos 2 解 原式＝ C x x dx x ++=+∫2sin 2cos 1 例5、 dx xx ∫+221 解 原式∫∫+−=+−+=dx x dx x x )111(111222C x x +−=arctan 注：本题所用“加1减1”方法是求积分时常用的恒等变形技巧.二、第一类换元积分法(凑微分法)C x G Cu G duu g dxx x g dx x f ux ++====∫∫∫=)]([)()()(')]([)()(ϕϕϕϕ还原求出令凑成在上述过程中，关键的一步是从被积函数)(x f 中选取适当的部分作为)('x ϕ，与dx 一起凑成 )(x ϕ的微分 du x d =)(ϕ且 ∫du u g )(易求.例1、求 ∫dx xxcos tan 解 原式＝ ∫∫−=x x xd dx x x x cos cos cos cos cos sin C xx d x +=−=−∫cos 2cos )(cos 23 例2、求 ∫−dx xx x 2arcsin解 原式)()(1arcsin 211arcsin 2x d x x dx xxx ∫∫−=⋅−=C x x d x +==∫2)(arcsin )(arcsin arcsin 2注)(21x d dx x= 例3、求 ∫−−dx xx 2491解 原式∫∫−−+−=−)49()49(81)2(3)2(21221222x d x x x dC x x x x x d +−+=−+−=∫222494132arcsin 214941)32(1)32(21例4、求 ∫+⋅+dx xx x 2211tan解 原式＝ C x x d x ++−=++∫|1cos |ln 11tan 222例5、求 dx x x x ∫−−12解 原式＝ ∫∫∫−+=−−−+dx x x dx x dx x x x x x 1)1()1(22222 C x x x d x x +−+=−−+=∫2323223)1(313)1(1213例6、求 ∫+dx xtan 11解 原式＝ ∫∫+−+=+dx xx xx dx x x x sin cos sin cos 1(21cos sin cos C x x x x x d x x x +++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∫|)sin cos |ln (21)sin (cos sin cos 121 例7、求 ∫−+−dx xxx 11ln 112 解 原式＝C xx x x d x x +−+=−+−+∫11ln 41)11(ln 11ln 212 例8、求 ∫+dx e x11解 原式＝ ∫∫∫+−=+−+dx e e dx dx e e e x x x xx 111 C e x e d edx xx x++−=++−=∫∫)1ln()1(11例9、求 ∫−+dx e e xx 1解 原式＝ C e e d e dx e e x x x x x +=+=+∫∫arctan )()(11122 例10、求 ∫+dx xxsin 1sin解 原式＝ ∫∫∫−−=+−dx xxdx dx x 2cos sin 1)sin 111( dx xxdx x x ∫∫+−=22cos sin cos 1C x x x ++−=sec tan 例11、求 ∫−xx dxln 32解 原式 )(ln )ln 32(21x d x −∫−=C x x d x +−+−⋅−=−−−=∫−2121)ln 32(121131)ln 32()31()ln 32( C x +−−=ln 3232例 12、求 ∫+dx xb x a 2222cos sin 1解 原式＝ ∫∫+=+)tan ()tan (111)(tan tan 12222x badx ba ab x d xa b C x baab +=)tan arctan(1 例13、求 ∫++dx x x 1164解 原式＝∫∫∫+++−=+++−dx x x dx x x x dx x x x x 232322226224)(1)(1)(11 C x x dx x dx x ++=+++=∫∫33232arctan 31arctan )(113111 例14、求 ∫+dx x x )1(18解 原式＝∫∫∫+−=+−+dx x x dx x dx x x x x 8788811)1(1C x x ++−=)1ln(81||ln 8例15、求 ∫+−−dx x x x 54232解 原式＝ dx x x x x x x d ∫∫+−++−+−541454)54(23222∫+−−++−=1)2()2(4|54|ln 2322x x d x x C x x x +−++−=)2arctan(4|54|ln 232 注 由于分子比分母低一次，故可先将分子凑成分母的导数，把积分化为形如 ∫++dx cbx ax 21的积分(将分母配方，再凑微分). 例16、已知 2ln )1(222−=−x x x f ，且 x x f ln )]([=ϕ，求 ∫dx x )(ϕ.解 因为 1111ln )1(222−−+−=−x x x f ，故 11ln )(−+=x x x f ，又因为x x x x f ln 1)(1)(ln)]([=−+=ϕϕϕ，得x x x =−+1)(1)(ϕϕ，解出11)(−+=x x x ϕ，从而C x x dx x dx x x dx x +−+=−+=−+=∫∫∫|1|ln 2)121(11)(ϕ 例17、求 ∫dx x4cos 1解 原式C x x x d x x xd ++=+==∫∫322tan 31tan tan )tan 1(tan sec例18、求 ∫++dx x x x2)ln (2ln 1 解 原式＝C x x x x x x d +=+∫)2ln arctan(21)ln (2)ln (2三、第二类换元法设 )(t x ϕ=单调可导，且0)('≠t ϕ，已知 C t F dt t t f +=∫)()(')]([ϕϕ，则C x F Ct F dt t t f dxx f x t t x ++==−===∫∫−)]([)()(')]([)(1)()(1ϕϕϕϕϕ还原令选取代换 )(t x ϕ=的关键是使无理式的积分化为有理式的积分(消去根号)，同时使 dt t t f ∫)(')]([ϕϕ易于计算.例1、求 ∫−+221)1(xx xdx解 令 tdt dx t x cos ,sin ==原式＝∫∫−−=+t td t t tdt t 22cos 2cos cos )1(sin cos sin t d tt cos )cos 21cos 21(221∫++−−= C xx C t t +−−−+−=+−+−=221212ln 221cos 2cos 2ln 221例2、求 ∫+241xxdx解 令 tdt dx t x 2sec ,tan ==原式＝t d t t t d ttt tdt t t tdt sin )sin (sin sin sin sin 1sin cos sec tan sec 24424342∫∫∫∫−−−=−==⋅ C xx x x C t t ++++−=++−=)1(3)1(sin 1sin 13123323 例3、求 dx x x ∫−229解 令 t x sec 3=，则 tdt t dx tan sec 3⋅=原式＝ ∫∫∫−==⋅⋅dt t t dt tttdt t t t )cos (sec sec tan tan sec 3sec 9tan 3221sin |tan sec |ln C t t t +−+=12222ln C xa x a a x a x +−−−+=C xa x a x x +−−−+=2222ln 例4、求 ∫+dx x x )2(17解 令 t x 1=，则dt tdx 21−=，原式∫∫∫++−=+−=−+=)21(21114121)1(21777627t d t dt t t dt t ttC x x C t +++−=++−=||ln 21|2|ln 141|21|ln 14177 注 设n m ,分别为被积函数的分子，分母关于x 的最高次数，当1>−m n 时，可用倒代换求积分.例5、求 dx x xx ∫−+1122解 令t x 1=，dt tdx 21−=原式 ∫∫−+−=−−+=dt t t dt t t t t 222211)1(11111∫∫−−+−−=22212)1(11t t d dt tC xx x C t t +−−=+−+−=1arcsin 11arcsin 22例6、求 dx xx x∫−432解 原式 ∫∫∫−⋅=−=⋅−===dt t t t dt t t dt t t t t tx dt t dx 11211212541051411386121211令∫∫−++=⋅−+−=5554510)111(51211112dt t t dt t t t C t t t +−++=|1|ln 51251210125510 C x x x +−++=1ln 5125125612512565例7、求 ∫+xedx 1解 令t e x =+1，12−=t e x ，dt t tdx 122−=原式＝ C t t dt t dt t t t ++−=−=−⋅∫∫11ln 11212122C e e x x +++−+=1111ln例8、求 ∫+dx xx xln 1ln解 令x t ln 1+=原式∫∫−=+=dt tt x d x x 1ln ln 1lnC x x C t t dt tt ++−=+−=−=∫ln 1)2(ln 32232)1(2123例9、求 dx x x ∫++−+1111 解 令 tdt dx t x t x 2,1,12=−==+因为原式dx xx x x dx x x x ∫∫+−+=+−+=12||ln 2122而 ∫∫∫−+=−=+dt t t dt t dx x x 111(2121222 C x x x C t t t +++−+++=++−+=1111ln 1211ln2原式＝C x x x x x +++−+−+−+1111ln214||ln 2＝C x x x +++++−11ln 414四、分部积分法分部积分公式为 ∫∫−=vdx u uv dx uv ''使用该公式的关键在于 ',v u 的选取，可参见本节答疑解惑4. 例1、求 ∫dx e x x 3解 原式＝x x x x x x de x e x e x de x e x de x ∫∫∫+−=−=63323233 C e xe e x e x x x x x +−+−=66323 例2、求 ∫dx xx 2cos 22 解 原式∫∫+=+=xdx x x dx x x cos 2161)cos 1(21232 ∫∫−+=+=xdx x x x x x d x x sin sin 2161sin 21612323 ∫∫−++=++=xdx x x x x x x xd x x x cos cos sin 2161cos sin 21612323 C x x x x x x +−++=sin cos sin 216123 例3、求 ∫dx e x 3解 原式C e te e t det dt e t t t t tttx dtt dx ++−==∫∫==66333222332令C eex ex xxx++−=333663332例4、求 ∫dx x )cos(ln解 原式 ∫+=dx x x x )sin(ln )cos(ln∫−+=dx x x x x x )cos(ln )sin(ln )cos(ln移项，整理得原式C x x x++=)]sin(ln )[cos(ln 2注 应用一次分部积分法后，等式右端循环地出现了我们所要求出的积分式，移项即得解，类似地能出现循环现象的例题是求如下不定积分：∫∫xdx e xdx e xx ββααsin cos 或例5、求 ∫++dx x x )1ln(2解 原式 dx x x x x x ∫+−++=221)1ln(C x x x x ++−++=221)1ln(例6、求 ∫dx xx23ln解 原式＝ ∫∫−−=−=1(ln 3ln )1(ln 233xxd x x x xdC x x x x x x x x xd xx x x +−−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−=∫6ln 6ln 3ln )1(ln 2ln 3ln 2323 例7、推导 ∫+dx a x n)(122的递推公式 解 令 ∫+=dx a x I nn )(122∫++−+++=dx a x a a x n a x x I n n n 12222222)(2)(∫++−++=dx a x na nI a x x n n n 122222)(122)(122222)(+−++=n n nI na nI a x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++=+n nn I n a x xna I )12()(212221 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++−=−−11222)32()()1(21n n n I n a x xa n I 例8、推导 ∫=xdx I n n tan 的递推公式.解 ∫⋅=−xdx x I n n 22tan tan ∫−⋅=−dx x x n )1(sec tan 22∫∫−−−⋅=xdx xdx x n n 222tan sec tan 2122tan 11)(tan tan −−−−−−=−=∫n n n n I x n I x xd 注 应用分部积分法可以建立与正整数n 有关的一些不定积分的递推公式. 例9、已知)(x f 的一个原函数是 2x e −，求 ∫dx x xf )(' 解 原式C e x xf dx x f x xf x xdf x +−=−==−∫∫2)()()()( 例10、求 ∫+dx x x x )1ln(arctan 2解 因为 ∫+dx x x )1ln(2∫++=)1()1ln(2122x d x C x x x +−++=22221)1ln()1(21 所以 原式＝ ∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++22221)1ln()1(21arctan x x x xd[]∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−+−−++=2222221)1ln(21arctan )1ln()1(21x x x x x x x []C x x xx x x x +++−−−++=23)1ln(23)1ln()1(arctan 212222 注 本题是三类函数相乘的形式，这类问题大多采用本题的方法.例11、求 ∫+dx x xe x)1(2arctan 解 令 tdt dx t x 2sec ,tan ==原式dt e t t dt tte t t t ∫∫=⋅=cos sin sec sec tan 42 C t t e dt te t t+−==∫)2cos 2(sin 1012sin 21C x x x e x ++−+=)1(5)1(22arctan 例12、求 xdx x x arctan 122∫+ 解 原式＝ xdx x arctan )111(2∫+−∫∫+−=xdx x dx x arctan 11arctan 2 C x x x x +−+−=22)(arctan 21)1ln(21arctan例13、求 ∫−+⋅dx x x x x 22211arcsin 解 令 tdt dx t x t x cos ,arcsin ,sin ===，原式 ∫∫∫+=⋅+=tdt dt t ttdt tt t t 222sin cos cos sin )sin 1(2221cot cot 21)cot (t tdt t t t t td ∫∫++−=+−= C t t t t +++−=221|sin |ln cosC x x x x x +++−−=22)(arcsin 21||ln arcsin 1注 直接积分法、换元法、分部积分法是求不定积分最重要的方法，主要用到了“拆、凑、换、分”的技巧，同时应注意这些方法的综合运用. 五、有理函数的积分有理函数的积分总可化为整式和如下四种类型的积分： (1) C a x A dx ax A+−=−∫||ln (2) )1()(11)(1≠+−−−=−−∫n C a x n A dx a x A n n (3) ∫=∫∫+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++=+++−n upx ap q nna u dup q p x dxdx q px x dx )(44)2()(2224422222＝令＝令 (4) ∫∫++−+++−−=+++−n n n q px x dxp a q px x n dx q px x dx a x )()2()(1)1(21)()(2122,其中 042<−q p .这就是说有理函数积分，从理论上讲，可先化假分式为整式与真分式之和，再将真分式化为若干部分分式之和，然后逐项积分，但这样做有时非常复杂，因此我们最好先分析被积函数的特点，寻求更合适，更简捷的方法也是很必要的. 例1、求 ∫+−322x x dx解 原式＝ C x x x d x dx +−=−+−=+−∫∫21arctan 21)1(2)1(2)1(22例2、求 ∫++++dx x x x x 4545242 解 原式＝ ∫∫++++++dx x x xdx x x x )4)(1(5)4)(1(422222 2222222)4111(65arctan )4)(1(251dx x x x x x dx x dx ∫∫∫+−++=++++= C x x x ++++=41ln 65arctan 22 本题若用待定系数法，较麻烦一些，也可获得同样的结果.事实上，设 41454522242+++++=++++x DCx x B Ax x x x x ，通分后应有 )1)(()4)((45222+++++=++x D Cx x B Ax x x比较等式两端x 的同次幂的系数，得0=+C A ，0=+D B ，54=+C A ，44=+D B 由此， 1,35,1,35−=−===D C B A故原式＝ dx x x x x ∫⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+−−+++4135113522C x x x ++++=arctan 41ln 6522 例3、求 ∫−13x xdx解 设11123++++−=−x x C Bx x A x x ，通分后应有)1)(()1(2−++++=x C Bx x x A x 比较等式两端x 的同次幂的系数，得0 ,1 ,0=−=+−=+C A C B A B A ，由此，31,31,31=−==C B A故原式＝ dx x x x x ∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−−−)1(31)1(312∫∫∫+++++++−−=43)21()21(211126113122x x d dx x x x x dx C x x x x +++++−=312arctan 311)1(ln 6122例4、求 ∫−)1(42x x dx解 原式＝ dx x x dx x x dx x x x x ∫∫∫+−−−=−−+)1)(1(1)1(1)1()1(22224222 dx x x dx x x ∫∫++−−−+=)1111(21)111(2222 ∫∫+−−+−=dx x dx x x 22112111211 C x x x x +−−++−=arctan 2111ln411 注：本题若用待定系数法，应当将被积函数分解为)1)(1)(1(1)1(12242x x x x x x ++−=−22111x F Ex x D x C x B x A +++++−++= 然后再确定系数，显然这样做比较麻烦，也可获同样结果，此处从略.例5、求 ∫++dx x x dxx 334811 解 令u x =4，则dx x du 34=，于是，原式∫∫+−++=++=du u u du u u u )24111(41234122 )|2|ln 4|1|ln (41C u u u ++−++=C x x x ++−++=)2ln()1ln(414444例6、求 ∫+dx x x 325)32( 解 令 dt xdx t x t x =−==+4,23,3222，从而， 原式＝ ∫∫+−=⋅−dt tt t dt t t 961(16144)3(3232 C t t t +−+=296||(ln 1612C x x x ++−+++=)32(29326|32|[ln 1612222 例7、求 ∫++dx x x x 45244解 45)45(145242244+++−+=++x x x x x x 设 4145)45(222211242+++++=+++−x B x A x B x A x x x ，通分后应有)1)(()4)(()45(2222112+++++=+−x B x A x B x A x由此， 316,0,31,02211−====B A B A ，故原式＝ dx x x ∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−++)4(316)1(31122C xx x +−+=2arctan 38arctan 31例8、求 ∫+210)1(x x dx解 由于2109102101010210)1()1(1)1(1)1(1+−+=+−+=+x x x x x x x x x x 2109109)1()1(1+−+−=x x x x x 原式＝ dx x x x x x ∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−+−2109109)1()1(1∫∫++−++−=210101010)1()1(1011)1(101||ln x x d x x d x C x x x ++++−=)1(101)1ln(101||ln 1010C x x x ++++=)1(1011ln 101101010注 对被积函数先做初等变形常常可以使问题得到简化，常见的初等变形有：分子分母同乘一个因子；有理化；加一项或者减一项以及利用三角函数恒等变形等.六、三角函数有理式的积分一般从理论上讲，三角函数有理式的积分 ∫dx x x R )cos ,(sin 可通过万能代换2tan xt =化为代数有理式的积分，但有时较繁，因此我们常采用三角恒等变形，然后再求解. 例1、求 ∫xx dx4cos sin 解 原式＝ ∫∫∫+=+x x dxdx x x dx x x x x 24422cos sin cos sin cos sin cos sin ∫∫∫++−=x dx dx x x x d xsin cos sin )(cos cos 124 ∫+−=|2tan |ln cos )(cos cos 3123x x x d x C x x x +++=|2tan |ln cos 1cos 313例2、求 ∫+dx x sin 1解 原式＝ ∫++dx x x x x 2cos 2sin 22cos 2sin 22∫∫+=+=dx xx dx x x )2cos 2(sin )2cos 2(sin2 C x x ++−=2sin 22cos 2例3、求 ∫+−5cos sin 2x x dx解 令2tan x t =，则222212,11cos ,12sin tdtdx t t x t t x +=+−=+=，于是 原式＝C x C t t t dt +⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=++∫512tan 3arctan 51513arctan 512232 例4、求 ∫+dx xxsin 1sin解 原式＝ ∫−dx x x x 2cos )sin 1(sin dx x xdx x x ∫∫−−=222cos cos 1cos sin C x x x++−=tan cos 1例5、求 ∫+dx xx xcos sin sin解 原式＝dx x x x x dx x x x x x x ∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=+−++cos sin cos sin 121cos sin cos sin cos sin 21 C x x x x x x x d x ++−=++−+=∫|)cos sin |ln (21cos sin )cos (sin 2121 例6、求 ∫xdx x cos 5sin解 原式＝C x x dx x x +−−=+∫6cos 1214cos 81]6sin 4[sin 21 注 积化和差公式])cos()[cos(21cos cos ])cos()[cos(21sin sin ])sin()[sin(21cos sin x x x x x x x x x x x x βαβαβαβαβαβαβαβαβα−++=⋅+−−=⋅−++=⋅例7、求 ∫+xx dxcos )sin 2(2解 令 dt xdx t x ==cos ,sin于是原式＝ dt t t t t t t dt∫∫−+−++=−+)1)(2()1()2(31)1)(2(222222C tt t t dt t dt ++−+=++−=∫∫2arctan(23111ln 6123113122 C x x x ++−+=2sin arctan(231sin 1sin 1ln 61注 形如∫dx x x R )cos ,(sin 的有理函数的积分，一般可利用代换 t x=2tan 化为有理函数的积分.(i) 若 )cos ,(sin )cos ,sin (x x R x x R −=−或)cos ,(sin )cos ,(sin x x R x x R −=− 成立，最好利用代换 t x =cos 或对应的 t x =sin .(ii) 若等式 )cos ,(sin )cos ,sin (x x R x x R =−−成立，最好利用代换t x =tan .例8、求 ∫+dx xx x33cos sin sin21 解 令 t x =tan ，则 dt xdx =2sec ，于是原式＝ ∫∫∫∫+−+−+=+−++−−+=+t dt dt t t t dt t t t t t t dt t t 1311131)1)(1()1()1(31122223 ＝ C t t t t ++−−++−|1|ln 31)312arctan(31)1ln(612 ＝C x x x x +−+++−31tan 2arctan(31)tan 1(1tan tan ln 6122。
不定积分典型例题48500精品
((xx
ssiinn
xx))
CC
。。
例71．0
1
dx 4
sin 2 x cos 2 x
1 sin 2
x
dx
4ctg
xC。
22
)
1 x
dx ln|x|(C1，1)
1 1 x2
dx arctgxC。
例例1812．2
xx44 ddxx xx441111ddxx ((xx2211))((xx2211))11ddxx
解 sin3 xdx sin2 x sin xdx (1 cos2 x)d cos x (cos x 1 cos3 x) C
3
正弦余弦三角函数积分偶次幂降幂,齐次幂拆开 放在微分号
例12 求
1
1 e
x
dx
.
解
1
1 e
x
dx
(1
1 e x
)e
tan x x C
x2+1, x<0.
例4. 求 f (x)dx,其中 f (x)=
1, 0 x 1 1, x 1 x
解: f (x)在(,0),[0,1]和[1,]内分别有
原函数
x3 3
x,
x
C1和ln
x
C2
(C1 , C2待定)，
作函数
x3 x, x 0 3
(sec2 x 1)2 sec2 xd secx
(sec6 x 2sec4 x sec2 x)d secx
1 sec7 x 2 sec5 x 1 sec3 x C
不定积分专题试题
疑难解答邮箱：1848849870@不定积分专题试题（含答案）一、填空题1、若⎰==__)(sin cos )()('dx x xf u f u F ，则 C x F +)(sin2、设)(x f 的一个原函数为x x tan ，则⎰=___)('dx x xf C x xx +-tan 2sec 2 3、若)1()(ln '2>=x x x f ，则___)(=x f C e x +221 4、_____1)2(=--⎰xx dx C x +--1arctan 2 5、设x x f ln )(=，则____)('=⎰--dx e e f x x C x + 6、___sin cos 2222=+⎰x b x a dx C x a b ab +)tan arctan(1 7、已知边际收益为x 230-，则收益函数为___ 230x x - 8、=-+=⎰⎰dx x xf C x dx x f )1()(22，则若______ C x +--22)121（ 9、____)2ln 1(12=+⎰dx x x C x +2ln arctan 10、若____1)1()()(2=⋅+=⎰⎰dx x x f C u F du u f ，则 C x F +-)1( 二、选择题1、函数x x e 3的一个原函数为（ B ）A 、)3ln 1()3(+xe B 、3ln 1)3(+x e C 、3ln 3xe D 、3ln 3x e 2、求dx x ⎰-42时，为使被积函数有理化，可作变换（C ）Ａ、t x sin 2= B 、t x tan 2=疑难解答邮箱：1848849870@C 、t x sec =D 、42-=t x3、若x ln 是函数)(x f 的原函数，那么)(x f 的另一个原函数是BA 、ax lnB 、ax aln 1 C 、x a +ln D 、2)ln 21x （ 4、函数__)(_)()()(2D x F x x x f =+=的一个原函数A 、334x B 、334x x C 、)(3222x x x + D 、)(322x x x + 5、__)(_)(cos )1cos 1(2D x d x =-⎰ A 、C x x +-tan B 、C x anx +-cos tC 、C x x+--cos 1 D 、C x x +--cos cos 1 三、计算题1、⎰+)1(x x dx C x +arctan 2 2、dx x x ⎰-234 C x x +-+--3)4(443223、dx x x⎰-31 C x x x x x x +-++----666656711ln 3625676 4、dx e x x 23-⎰ C e e x x x +----22212125、dx x x ⎰+241 C x x x ++-arctan 336、dx xx ⎰22cos sin 1 C x x +-cot tan 7、dx e x ⎰-12 C x e x +---)112(12疑难解答邮箱：1848849870@8、dx x )arcsin (2⎰ C x x x x ar x +--+2arcsin 12)sin c (229、xdx ⎰3tan C x x ++cos ln 2tan 2 10、⎰-dx x x 123 C x x +-+-13)1(232 11、dx x x 23)(ln ⎰ C x x x x x ++-32ln 8)(ln 44424 12、⎰dx x )sin(ln C x x x +-)]cos(ln )[sin(ln 2 13、dx x f x f ⎰)()(' )(2x f +C 14、dx e x ⎰+211 C e e x x +++-+1111ln 2122 15、dx x x ⎰sin C x x x x x +-+-sin )2(6cos )6(2四、证明题：设)(x f 的原函数)(x F 非负，且1)0(=F ，当x x F x f x 2sin )()(02=≥时，有，试证14sin 412sin )(2+-=x x x x f。
不定积分100题
dx
=
∫ 90、
dx
=
x2 + 2x + 2
∫ 91、
xdx =
x2 + 2x + 2
∫ 64、 tan x sec xdx =
∫ 78、
x
−
1
arctan + x2
x
dx
=
∫ 92、
dx
=
3+ 2x − x2
∫ 65、 tan2 x sec xdx = ∫ 66、 tan x sec2 xdx =
∫ 37、 tan xdx =
∫ 49、 x2exdx = ∫ 50、 axdx = ∫ 51、 axexdx = ∫ 52、 arctan xdx =
∫ ∫ 8、 1 dx = 23、 x2 dx =
x
1− x2
∫ 38、 tan 2xdx =
∫ 53、 x arctan xdx =
∫9、
1 1+ x2
∫ 99、 sin x + 2 cos x dx = 3sin x + 4 cos x
∫ 74、
x2
x +1 − 4x +
6
dx
=
∫ 88、 dx =
1+ x
∫ 100、
dx
=
3sin x + 4 cos x
∫ 19、
dx =
1− 4x2
∫ 34、 cos3 xdx =
4、
∫
1 x
dx
=
∫ 6、 1 dx = x2
∫ 20、 1− x2 dx = ∫ 21、 x 1− x2 dx =
∫ 35、 cos4 xdx = ∫ 36、 x cos xdx =
求下列不定积分
c
的原函数仍是有理函数？
4
⒊ 设 pn ( x ) 是一个 n 次多项式，求
⒋ 求下列不定积分：
⑴
∫
x dx ； 2 + 4x
∫
pn (x) ( x − a)n+1
dx
。
⑵
∫
dx
；
(x − a)(b − x)
⑶
∫
x2
dx ；
1+ x − x2
⑷
∫
x
x2 +1 x4 +1
dx
；
⑸∫
x +1− x +1+
x − 1 dx ； x −1
⑹∫
x x
+ −
1 dx
1
；
⑺∫
dx
；
x(1 + x)
dx
⑻
∫ x4
；
1+ x2
⑼∫
dx
；
x +4 x
⑽
∫3
(x − 4)2 (x + 1)8
dx 。
dx
⑾ ∫ 3 (x − 2)(x + 1)2 ；
⑿
∫
x4
dx 1+
x4
；
⒌ 设 R(u, v, w) 是 u, v, w 的有理函数，给出
dx ;
⒊ 求下列不定积分：
⑴ ∫ x e2x dx ;
⑶ ∫ x2 sin 3xdx ;
⑸ ∫ x cos2 xdx ;
⑺ ∫ arc tan xdx ;
∫ ⒇
1 dx ;
x(x n + 1)
⑵ ∫ x ln(x − 1) dx ;
不定积分练习题及答案
不定积分练习题211sin )_________2xdx -=⎰一、选择题、填空题：、（ 22()(ln )_______x e f x x f x dx =⎰、若是的原函数，则：3sin(ln )______x dx =⎰、2224()(tan )sec _________;5(1,1)________;6'()(),'()_________;1()7(),_________;18()arcsin ,______()x x xe f x f x xdx dxy x xF x f x f ax b dx f e f x dx c dx x exf x dx x c dx f x --===+==+==+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族中，过点的积分曲线是、则、设则、设则____;9'(ln )1,()________;10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______;12'()(),'()(),()_____()()()()()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x dx x x xdx f x F x f x x f x f x dx A F x B x C x κϕϕ=+==-====⎰⎰⎰、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界必有极限、若则、若则)()()()c D F x x cϕ+++13()[()]()()[()]()()()()()()()dA d f x dx f xB f x dx f x dx dxC df x f xD df x f x c====+⎰⎰⎰⎰、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______11()()ln ()()ln x f x f x e dx xA cB x cC cD x cxx-==++-+-+⎰、设则：115______(1)1()arcsin ()arcsin ()2arcsin(21)2()arcsin(21)dx x x A x c B x cC x cD x c=-++-+-+⎰、16()[,][,]()()()()()()()()'()f x a b a b A f x B f x C f x D f x f x 、若在上的某原函数为零，则在上必有____的原函数恒等于零；的不定积分恒等于零；恒等于零；不恒等于零,但导函数恒为零。
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高数不定积分62道经典例题
有时，许多学生发现自己在学习不定积分时遇到了困难。
不定积分是高数中重要的内容，但它可能有些难懂。
为了让学生们能够更加深入地理解不定积分，本文将介绍62道典型的不定积分例题，以帮助大家了解不定积分的概念和方法。
首先，在进行不定积分复习之前，学生们需要了解关于积分的基本知识。
积分是用来计算曲线或其他函数下面积的一种数学技术。
它可以用来计算从一个曲线下面某一点到另一个曲线下面某一点之间的面积。
不定积分是求解不定积分的一种方法，它可以用来解决函数的极限问题。
其次，下面是向大家展示的62道不定积分的例题：
（1）计算cosx dx
（2）计算sinx dx
（3）计算2x^2+3x+1dx
（4）计算∫ex^2dx
（5）计算∫tanxdx
（6）计算∫secx dx
（7）计算sin(2x)dx
（8）计算∫cos2x dx
（9）计算∫(x+1)^2dx
（10）计算∫e^x dx
（11）计算∫cos(2x+1) dx
（13）计算∫e^(-x^2) dx （14）计算∫sin^3xdx
（15）计算∫sin2x dx
（16）计算∫cotxdx
（17）计算∫tan2x dx
（18）计算∫3x+2 dx
（19）计算∫sin(3x+1)dx （20）计算∫tan^2(x) dx （21）计算∫sec^2x dx
（22）计算∫2x+3 dx
（23）计算∫3x^3+2x^2+5x+1dx （24）计算∫(x+1)^3 dx （25）计算∫cos^2x dx
（26）计算∫cos(3x+1) dx （27）计算∫(x+1)(x+2)dx （28）计算∫e^(2x+3)dx （29）计算∫x^3+3x^2+1dx （30）计算∫sin^2(x)dx （31）计算∫cot^2x dx
（32）计算∫tan(2x+1) dx （33）计算∫sec(2x+1) dx
（35）计算∫sinx+cosx dx （36）计算∫(x+1)^4dx （37）计算∫e^(-x^2+3x+2)dx （38）计算∫cos^3x dx （39）计算∫sin^2(2x)dx （40）计算∫sec^3 xdx （41）计算∫cot^3x dx （42）计算∫tan(3x+1)dx （43）计算∫4x+3 dx
（44）计算∫(x+2)^4 dx （45）计算∫x^4+1dx
（46）计算∫e^(3x+1)dx （47）计算∫sin3x dx
（48）计算∫cos^2(2x)dx （49）计算∫sec^2(2x) dx （50）计算∫cot^2(2x) dx （51）计算∫tan^3x dx （52）计算∫e^x(x+2) dx （53）计算∫cos(2x+1)dx （54）计算∫e^(-x^2+3x+2)dx （55）计算∫sin^3(2x) dx
（57）计算∫x^5+x+2 dx
（58）计算∫(x+1)^5dx
（59）计算∫e^(2x+3)dx
（60）计算∫sin^4x dx
（61）计算∫cos^4x dx
（62）计算∫e^(3x+1)dx
最后，学习不定积分是需要时间和练习的，大家不要灰心。
在复习不定积分的过程中，可以做一些例题来加深理解。
以上62道例题可以帮助大家加深对不定积分的理解，也可以帮助大家掌握解决这类题目的方法。
做不定积分时，大家要注意把握先知道关于积分的基本知识，这样才能有效地掌握不定积分的知识点。
只有不断的练习，才能对不定积分有更深入的理解。