华东师范大学第二附属中学(实验班用)数学习题详解-18

第十七章 排列组合与二项式定理

17．1 乘法原理和加法原理 基础练习

1．5个应届高中毕业生报考三所重点院校，每人报一所且只能报一所院校，则共有__________种不同的报名方法．

解：每位学生可以有3种报考重点院校的方式，由乘法原理可得：53243=． 2．在所有三位数中，有且只有两个数字相同的三位数有__________个． 解：（1）百位和十位一样，有9981⨯=种， （2）百位和个位一样，有9981⨯=种，

（3）十位和个位一样，有99981⨯⨯=种，一共243种．

3．由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位奇数的个数是__________． 解：首先末尾必须排奇数，其次最高位不排0，则34432l 288⨯⨯⨯⨯⨯=．

4．从0到8这9个数字中选4个数字组成没有重复数字的四位数，按下列要求分别求符合条件的个数． ①四位数中奇数的个数．②四位数中偶数的个数．③四位数中能被25整除的个数．④四位数中大于4500的个数．⑤四位数中小于3570的个数． 解：①47761176⨯⨯⨯=．②按首位是否为零分类，87647761512⨯⨯+⨯⨯⨯=．③66276114⨯⨯+⨯=．④48764761512⨯⨯⨯+⨯⨯=．⑤287647656870⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯=．

5．从2，3，5，7这四个数字中，任取两个分别作为分数的分子和分母．有几个是真分数?几个是假分数? 解：（1）按照分母可以取7，5，3分类，则3216++=． （2）按照分母可以取2，3，5分类，3216++=．

6．已知{}210123m ∈--，，，，，，{}321012n ∈---，，，，，，且方程22

1x y m n

+=是表示中心在原点

的双曲线，则表示不同的双曲线最多有多少条?

解：0mn <，则分0m >，0n <和0m <，0n >，则223313⨯+⨯=． 能力提高

7．在一张平面上画了2 007条互不重合的直线1l ，2l ，…，2007l 始终遵循垂直、平行交替的规则进行：12l l ⊥,23l l ∥,34l l ⊥，…．这2007条互不重合的直线的交点共有多少个?

解：100310041007012⨯=．

8．4个学生各写一张贺卡放在一起，然后每人从中各取一张，但不能取自己写的那一张贺卡，则不同的取法共有多少种?

解：由于先让一人甲去拿一种有3种方法，假设甲拿的是乙写的贺卡，接下来让乙去拿，乙此时也有3种方法，剩下两人中必定有一人自己写的贺卡还没有发出去． 这样两人只有一种拿法，3319⨯⨯=，故答案为9．

9．一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育，数学课排在上午，班会课排在下午，有多少种不同排课方法?

解：数学课排第一节，班会课排在下午，然后再排体育，则2432148⨯⨯⨯⨯=， 数学课不排第一节，先排数学，再排班会，再排体育课，则323321108⨯⨯⨯⨯⨯=， 则有156种不同排课方法．

10．如果一个三位正整数形如“123a a a ”满足12a a ∠且32a a <，则称这样的三位数为凸数，求这样的凸数的个数．

解：对2a 进行分类讨论，

由题意，当中间数是2时，首位可取1，个位可取0，1，故总的种数有212=⨯， 当中间数为3时，首位可取1，2，个位可取0，1，2，故总的种数共有623=⨯， …，

当中间数为9时，首位可取1，2，…，8，个位可取0，1，2，…，8，故总的种数共有7289=⨯，

故所有凸数个数为1223348926122030425672240⨯+⨯+⨯++⨯=+++++++=，故答案为：240． 17．2 排列 基础练习

1．解方程：①32213P 2P 6P x x x +=+．②13

P 17160r

=． 解：①将排列写为分数形式，则()()()()31221615x x x x x x x x --=++-⇒=，②4x =． 2．10个人站成一排，要求甲，乙之间必须站4个人，则共有多少种不同的站法?

解：甲，乙之间选4个人，然后把这6个人视为一个整体，则24582858P P P 52P 403200⨯⨯=⨯⨯=． 3．一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目．3个舞蹈节目在节目单中的先后顺序固定，可排出多少种

不同的节目单?

解：3个舞蹈节目无先后顺序，则一共88P 种，

3个舞蹈节目在节目单中的先后顺序固定，则有8

888

P 6720P 种．

4．一铁路线上原有”个车站．为适应客运需要，新增加了m 个车站()1m >，客运车票因此增加了62种．问现有多少个车站?（来回的车票不同）

解：2262

62212n m n P P n m m m

+-=⇒=-+

⇒=，15n =，则17m n +=． 5．4位男生和4位女生围成一个圆圈，如果男女相问表演舞蹈，有多少种排法? 解：3!4!144⨯=．

6．6颗不同珍珠与6颗不同的玛瑙相隔串成一串项链，有多少种不同的串法? 解：1

5!6!432002

⨯⨯= （项链可以翻转）．

7．有8个队比赛，采取淘汰制，在赛前抽签时，实际上可得到多少种不同的安排法?

解：

48!

331524!⨯=⨯． 能力提高

8．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王5名志愿者中选派4人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余3人均能从事这四项工作，求不同的选派方案数． 解：由题意知本题需要分类， 若小张或小赵入选，则有选法113

223C C P 24=；

若小张、小赵都人选，则有选法2323P P 12=，

根据分类计数原理知共有选法36种． 故答案为：36．

9．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，求不同站法的总数．