华东师范大学第二附属中学(实验班用)数学习题详解-18
上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三数学下学期开学考试试题(含解析)
上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三数学下学期开学考试试题（含解析）一.填空题1.，若集合【解析】【分析】，再求.【详解】由题得={···，-3,-2,2,3,4,5,···}【点睛】本题主要考查集合补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.【解析】【分析】.【详解】∵，设所以..故答案为：【点睛】本题主要考查反三角函数的计算，考查同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.3.【答案】13【解析】【分析】故答案为：13【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.【答案】1【解析】【分析】z的值，再求|z|的大小得解.故答案为：1【点睛】本题主要考查复数方程的解法和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.）的反函数【解析】【分析】（,（,因为.因为x≥0，所以，【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.6.【答案】2【解析】【分析】.经检验，当x=-10时，原方程没有意义，x=2是原方程的解.故答案为：2【点睛】本题主要考查对数函数的运算和对数方程的解法，考查对数函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.81，则常数项为________【答案】8【解析】【分析】n=4,再利用二项式展开式的通项求常数项得解.【详解】由题得，所以n=4, 二项展开式的通项为令.所以常数项为故答案为：8【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和问题，考查二项式展开式特定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.8.已知离心率为2的双曲线的焦点到最近准线的距离等于3，则该双曲线的焦距为________ 【答案】8【解析】【分析】.8.故答案为：8【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.9.________【答案】36【解析】【分析】.故答案为：36【点睛】本题主要考查圆柱的表面积和体积的计算，考查圆柱轴截面的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10.胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列，即令为______（结果用最简分数表示）．【解析】【分析】胡涂涂同学掷了3. 【详解】胡涂涂同学掷了3轮，要使得有两种情况，① 一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1；② 一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.11.已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为_______【解析】【分析】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，先求出单位圆直观图的方程(x-y)²+8y²=1. 画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.【详解】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，即圆上的点P（cosθ，sinθ），第一步变换，到它在x（cosθ，0.5sinθ），第二步变换，绕着投影点顺时针旋转cosθθθ），所以据此得到单位圆的直观图的参数方程为，x=cosθθ，sinθ，θ为参数，消去参数可得方程为，(x-y)²+8y²=1.得到单位圆的直观图后，和上面一样，我们画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，当然就相当完美了！A、B处均与椭圆相切，并且可以轻易发现，椭圆的长轴其实已经不在x 轴上了该椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.椭圆上的点（cosθθθ）到原点的距离的平方为=，所以故答案为：【点睛】本题主要考查直观图的画法，考查圆的直观图的方程的求法，考查三角恒等变换和三角函数的最值，考查椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.、时，函数取得最小值；③函数3；④【答案】-17【解析】【分析】【详解】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，由②得（因为如果ac＜0，则函数在定义域内没有最小值，如果a＜0，c＜0，则函数在定义域内也没有最小值.）且故答案为：-17【点睛】本题主要考查分析推理，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二.选择题13.已知无穷等比数列）A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】，，所以S＜0再利用充要条件的定义判断得解.S＜0，所以”是“”的是充要条件.故答案为：A【点睛】本题主要考查无穷等比数列的前n项和，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.）B.【答案】B【解析】【分析】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1.【详解】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1故选:B【点睛】本题主要考查基本不等式，考查解方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.，则函数）图像的交点不可能（）A. B. 上 C. 多于三个 D. 在第二象限【答案】C【解析】【分析】）图像与单调性，分四个象限讨论每一个象限交点的最多个数得解.）图像与单调性可知，在第一象限，最多有2个交点，在第二象限，最多有1）在第三、四象限没有图像，所以它们的图像在第三、四象限没有交点，∴最多只有3个交点.故选:C【点睛】本题主要考查幂函数和指数函数的图像和性质，考查函数的图像的交点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.16.4的奇函数，时，，则方程）B. 036162C. 3053234D. 3055252 【答案】D【解析】【分析】在同一个坐标系下作出函数，且均有对称性，所以在区间上所有解的和为【详解】结合图像对称性，可知，在（2×1=2，第三个交点的横坐标为2，所以在（2+2=4，在（上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×3=6，第三个交点的横坐标为4，所以在（6+4=10，故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查函数的奇偶性、周期性和对称性，考查函数的零点问题，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.三.解答题17.、均为直角，（1（2.【答案】【解析】【分析】（1）由题得AB⊥平面BCD,.(2) 以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法.【详解】（1）由题得AB⊥平面BCD,AD=（2）如图所示，以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则.【点睛】本题主要考查三棱锥体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间观察想象分析推理能力.18.（1（2.【答案】【解析】【分析】（1.(2)的a的取值范围.【详解】（1）由题得.（2增.∴；，，明显符合，所以此时.【点睛】本题主要考查对数函数的图像和性质，考查对数函数不等式的解法，考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.19.如图，某小区要建四边形的花坛150°的两面墙，另两边是长度均为8米的篱笆（10.01米）；（2）若要求0.01平方米）.【答案】【解析】【分析】（1.(2) 连接BD,显然出.②，.（2）连接BD,显然,，即最大值为平方米.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算和最值，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.、（，（1（2（3.【答案】【解析】【分析】（1，所以，再求出抛物线的准线方程和到准线的距离.（2）由可得，所以.(3) 由题得，联立与得，联立与得再求出，求得，解方程得【详解】（1与准线为准线的距离（2，消去得，，∴（3）由题得，联立与得，联立与得，∴联立得由第（2）问结论，，，消去a得，据此，，解得【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查平面向量的运算和直线夹角的计算，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.满足：对所有，，数列.（1的值；（2），证明：但对任意，列；（3，都存在.【答案】见证明；(3)见证明【解析】【分析】（1），两种情况讨论得到，即满足，且当，所以是数列，，所以不数列；再证明当以列，所以不是列.(3)通过归纳得到：当m为奇数，在当m为偶数，在有解，存在再结合函数映射性质可知，当时，，所以对任意都存在.【详解】（1，，不符；综上所述，.（2，，…，既不是，，…，只需即满足，且当，，∴不是数列；，…，只需即满足，，∴是，∴不是数列；综上，存在数列，但对任意，都不是数列.（3，……，当m为奇数，，当m为偶数，在有解，存在结合函数映射性质可知，当时，，是数列.【点睛】本题主要考查对新定义的理解掌握，考查利用新定义解决问题的能力，考查数列性质的运用和证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
上海市浦东新区华东师范大学第二附属中学2024-2025学年九年级上学期中考一模数学试题(含答案)
2024~2025学年上海市华东师范大学第二附属中学中考一模模拟卷数学试卷（考试时间100分钟满分150分）考生注意：1.带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具2.不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊。
与考试无关的所有物品放置在考场外。
3.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分。
一.选择题（共6题，每题4分，满分24分）1.航天科技集团所研制的天问一号探测器由长征五号运载火箭发射，并成功着陆于火星，距离地球约192000000千米．其中192000000用科学记数法表示为（）A．1.92×108B．0.192×109C．1.92×109D．1,92×1072.中华文化博大精深，以下是古汉字“雷”的四种写法，可以看作轴对称图形的是（）A．B．C．D．3.生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一定温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性．现已知某种酶的活性值y（单位：IU）与温度x（单位：℃）的关系可以近似用二次函数y=―12x2+14x+142来表示，则当温度最适宜时，该种酶的活性值为（）A．14B．240C．3.5D．444.已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2-b2+ac-bc=0，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形5.若AB =―4CD，且|AD|=|BC|，则顺次链接四边形ABCD中点得到的四边形一定是（）A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．正方形6.下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（）A．甲和乙B．乙和丁C．甲和丙D．甲和丁二.填空题（共12题，每题4分，满分48分）12.如图，AB与CD交于点O，且AC∥__________．13.从“等腰直角三角形”，“等腰梯形”，“平行四边形”，“菱形”中随机抽取一个，是中心对称图形的概率为_________14.等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 、F 分别是AD,BC 的中点，DC=2,AB=4，设AB =a ，则EF 用向量a 表示可得EF =________15.小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，-4，-2，2，4这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是________．（写出一个符合题意的数即可）（14题图）（15题图）（12题图）（11题图）16.如图，在△ABC 中，AB=4,AC=6,E 为BC 中点，AD 为△ABC 的角平分线，△ABC 的面积记为S 1，△ADE 的面积记为S 2，则S 2：S 1=_____．17.在平面直角坐标系中，过点A （m,0）,且垂直于x 轴的直线l 与反比例函数y=B ，将直线l 绕（16题图）三.解答题（满分78分）19.计算： 3tan30°-tan60°+13―2―（2024）020.在菱形ABCD 中，E ，F 为线段BC 上的点，且CD=2BE=4BF ，连接AE ，DF 交于点G ．（1）如图（1）所示，若∠BAE=∠ADF ，求：∠B 的余弦值的值；（2）连接CG ，在图（2）上求作CG 在AB 与AG 方向上的分向量（保留作图痕迹即可）21.如图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7A设立在A6A7边的正中央，游乐城南侧有23.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，联结AE，CF．求证：（1）四边形AFCE是平行四边形：（2）FG·BE=CE·AE25.新定义1：将宽与长的比等于黄金分割比的矩形称为黄金矩形 新定义2：将顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形①在一张矩形纸片的一端，利用图个正方形，然后把纸片展平②如图把纸片展平③折出内侧矩形的对角线中所示的④展平纸片，按照所得到的点（1）根据以上折纸法，求证：矩形BCDE 为黄金矩形（2）如图5，已知∠A=36°，△ABC 为黄金三角形，BC=1，求：AB 的长（3）在（2）的条件下，截取BD=BC 交AC 于D ，截取CE=CD 交线段BD 于E ，过E 作任意直线与边AB,BC 交于P,Q 两点，试判断：1BP +1BQ 是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由（图5）参考答案及部分评分标准选择题（1~6题）ADBCCD填空题（7~18题）7．（3x+1）（3x―1）8．x≥19．a＜410．111．2012131415．016．1:1017．-2＜m＜0或m＞218．103解答题（19~25题）19．原式=0（10分）20．（1）58（5分）（2）图对即给分（5分）21．（1）90°76°（4分）（2）2km（3分）（3）24km（3分）22．任务1：y=―13+703任务2：w=-2x2+72x+3360（x≥10）（6分）任务3：雅19 风17 正34 最大利润（4分）23．（1）提示：△ADF≌△EDC（6分）（2）提示：△AFG∽△BEA（6分）24．（1）（0，0），y=ax2，（1，-1），-1,y=-x2（5分合理即可）（2）y=-（x-2）2（4分）（3）y=-（x-2-1）2+1或y=-（x+2-1）2+1（4分）25. （1）证明：CDBC =5―12即可（4分）（2）AB=5+1（5分）2（5分）（3）是定值，3+52。
华东师范大学第二附属中学实验班用高三数学习题：第十八章 概率论初步与基本统计方法(含答案解析)
第十八章概率论初步与基本统计方法18.1 随机事件和古典概型基础练习1．在60件产品中，有30件是一等品，20件是二等品，10件是三等品，从中任取3件，试计算：（1）3件都是一等品的概率．（2）2件是一等品、1件是二等品的概率．（3）一等品、二等品、三等品各有1件的概率．解：（1）330360C7C59=．（2）213020360C C15C59⋅=．（3）111302010360711C C C300C1⋅⋅=．2．盒中有规格相同的红、白、黑手套各3只，从中任意摸出2只恰好配成同色的概率为多少？解：先选一个颜色出来，然后从同色中的3只中任选2只出来，则123329C C1C4=．3．某班36人的血型情况为：A型血12人，B型血10人，AB型血8人，O型血6人，若从班里随机叫出两人，两人血型相同的概率是多少？解：2222121086236C C C C11C45+++=．4．一枚硬币连掷四次，试求：（1）恰好出现两次是正面的概率．（2）最后两次出现正面的概率．解：（1）()244C3 28P A==．（2）()2421 24P B==．5．从一副去掉王牌的牌（52张）中，任取4张，求下列情况的概率：（1）取出4张全是A．（2）取出4张的数字相同．（3）取出4张全是黑桃．（4）取出4张的花色相同．解：取出4张有452C个结果．（1）4张全是“A”记为随机事件A，只有一个结果，4手长为4个花色的A，故()45211C 270725P A ==． （2）取出4张的数字相同记为随机事件B ，52张牌中共有13种数字，每种数字有4个花色．所以随机事件B 包括113C 个基本事件，故所求随机事件概率为()113452C 1C 20825P B ==． （3）取出4张全是黑桃记为随机事件C ，13张黑桃中取出4张，所以有()413452C 11C 4165P C ==．（4）取出4张相同花色记为随机事件D ，4种花色选一种14C ，在选出的花色中13张牌再选出4张相同花色413C ，故随机事件D 共有14413C C 个基本事件，故()14413452C C C PD =．6．把4个相同的球放进3个不同的盒子，每个球进盒子都是等可能的．求： （1）没有一个空盒子的概率． （2）恰有一个空盒子的概率．解：4个相同球放进3个不同的盒子，先加进3个球，变成7个相同球，放进3个不同盒子，保证每个盒子至少一个球，用隔板法解决，有26C 个结果，再将多加进的球取出．（1）“没有一个空盒子”记为随机事件A ，4个相同球放进3个不同的盒子，每个盒子至少一个球，用隔板法解决，有23C 个结果，故()2326C 1C 5P A ==．（2）“恰好有一个空盒子”记为随机事件B ，先选一个盒子13C ，4个相同球放进2个不同盒子，每个盒子至少一个球，所以随机事件B 包含13C 个结果，故()113326C C 3C 5P B ==．7．抛掷两颗骰子，计算：（1）事件“两颗骰子点数相同”的概率．（2）事件“点数之和小于7”的概率． 解：（1）61366P ==．（2）事件“点数之和小于7”为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（5，1），则概率为1536P =． 8．A 、B 、C 、D 、E 五人分四本不同的书，每人至多分一本．求：（1）A 不分甲书，B 不分乙书的概率．（2）甲书不分给A 、B ，乙书不分给C 的概率．解：（1）4113433355A A A A 13A 20+=（或314344555555A A A 1A A A --+）（2）4113423355A A A A 1A 2+=． 9．一批产品共有82只，其中6只特级品，现任意取出2只，求：（1）全是特级品的概率．（2）只有1只是特级品的概率．（3）都不是特级品的概率．解：（1）()26282C 5C 1107P A ==．（2）()11676282C C 152C 1107P B ==．（3）()276282C C P C =10．有九张卡片分别写着数字1、2、3、4、5、6、7、8、9，甲、乙两人依次从中各抽取一张卡片（不放回）．（1）求甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字的概率． （2）求甲、乙两人至少抽到一张奇数数字卡片的概率．解：（1）()115429C C 205P 7218P A ===；（2）()2222121086236C C C C 11C 45P A +++==． 11．设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N 个房间中的任意一间去住()n N ≤，求下列事件的概率：（1）指定的n 个房间各有一个人住． （2）恰好有n 个房间，每问各住一个人．解：由于每个人有N 个房间可供选择，所以n 个人住的方式共有n N 种，它们是等可能的， 则（1）指定n 个房间各有一个人住记作事件A ：可能的总数为n !则()!nn P A N =． （2）恰好有n 个房问其中各住一人记作事件B ，则这n 个房间从N 个房间中任选共有C n N 个，由（1）可知：()()!!!nN n n C n N P B N N N n ⋅==-． 12．有5个1克砝码，3个3克砝码和2个5克砝码，任意取出3个砝码，求： （1）其中至少有2个砝码同样重量的概率． （2）3个砝码总重量为7克的概率．解：（1）311110532310C C C C 3C 4-=．（2）21213552310C C C C 7C 24+=． 能力提高13．由数据1，2，3组成可重复数字的三位数，试求三位数中至多出现两个不同数字的概率．解：2333727279⨯⨯+=． 14．从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A =“抽到的是一等品”，事件B = “抽到的是二等品”，事件C = “抽到的是三等品”，且已知()0.7P A =，()0.1P B =，()0.05P C =，求下列事件的概率：（1）事件D =“抽到的是一等品或二等品”． （2）事件E = “抽到的是二等品或三等品”．解：（1）()()()()0.70.10.8P D P A B P A P B =+=+=+=． （2）()()()()0.10.050.15P E P B C P B P C =+=+=+=． 15．从1到9九个数字中不重复地取出3个组成3位数，求： （1）这个3位数是偶数的概率． （2）这个3位数是5的倍数的概率． （3）这个3位数是4的倍数的概率． （4）这个3位数是3的倍数的概率．解：9个数字中取出3个组成3位数，有39P 个结果．（1）“3位数是偶数”记为随机事件A ，有1248P P 个结果，()124839P PP P A =．（2）“3位数是5的倍数”记为随机事件B ，末尾须是5，故随机事件B 包含28P 个结果， 所以()2839P 1P 9P B ==．（3）“3位数是4的倍数”记为随机事件C ，3位数是4的倍数须后两位能被4整除， 后两位可以是12、16、24、28、32、36、48、52、56、64、68、72、76、84、94、98，只要定下百位即可，所以随机事件C 包含1716P 个结果，故()173916P P P C =．（4）“3位数是3的倍数”记为随机事件D ，3位数是3的倍数须各个位置上的数字之和 能被3整除，9个数字，其中3、6、9能被3整除，1、4、7被3除余1，2、5、8被3除余2，所以3位数被3整除包括4种情况：三个数字均被3整除；三个数字都被3除余1； 三个数字都被3除余2；三个数字一个被3整除、一个被3除余1、一个被3除余2，故()() 2333111333333339P C C C C C C5P14P D+++==．16．某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：（1）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率．（2）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率．解：（1）61064P15121010P==；（2）33665C914581010P⋅=．17．在某次数学考试中，甲、乙、丙三人及格（互不影响）的概率分别是0．4、0．2、0．5，考试结束后，最容易出现几个人及格？解：（1）三人都及格的概率10.40.20.50.04P=⨯⨯=，（2）三个人都不及格的概率20.60.80.50.24P=⨯⨯=，（3）恰有两人及格的概率30.40.20.50.40.80.50.60.20.50.26P=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，（4）恰有一人及格的概率410.040.240.260.46P=---=．由此可知，最容易出现的是恰有一人及格的情况．18．2频率与概率基础练习1．一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：（10，20]，2；（20，30]，3；（30，40]，4；（40，50]，5；（50，60]，4；（60，70]，2．则样本在区间(]50-∞，上的频率为__________．解：0.7．2．一个容量为40的样本数据分组后组数与频数如下：（25，25．3]，6；（25．3，25．6]，4；（25．6，25．9]，10；（25．9，26．2]，8；（26．2，26．5]，8；（26．5，26．8]，4；则样本在（25，25．9]上的频率为__________．解：05．．3．为了了解中学生的体能情况，抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图18—3），已知图中从左到右前三个小组的频率分别为01．，03．，04．，第一小组的频数为5．图 18-3则第四小组的频率__________；参加这次测试的学生有__________人．解：02．；25．4．下列说法正确的是（）．A．任何事件的概率总是在（0，1）之间B．．概率是随机的，在试验前不能确定C．．频率是客观存在的，与试验次数无关D．．随着试验次数的增加，频率一定会越来越接近概率解：正确选项为D．5：连续抛掷10次硬币，出现5次“正面朝上”的概率是（）．A．变化的量，不同的人得到的概率也不同B．模拟的次数不同，其概率也不同C．1 2D．是个确定的值，但不是1 2解：正确选项为D．6．某射击手在同一条件下进行射击，结果如下：射击次数()n1020 50 100 200 500 击中靶心次数()m9 19 45 91 179 456击中靶心的频率m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）计算表中击中靶心的各个频率．（2）这个射击手射击一次，击中靶心的概率约是多少？解：（1）09．，095．，09．，091．，090．，091．．（2）091．． 能力提高7．从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是__________． 解：从矩形中选三角形，正方体中一共有12个矩形．343812C 6C 7=．8．设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）．（1）求方程20x bx c ++=有实根的概率．（2）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20x bx c ++=有实根的概率． 解：（1）基本事件总数为6636⨯=，若使方程有实根，则240b c ∆=-≥，即b ≥ 当1c =时，2b =，3，4，5，6； 当2c =时，3b =，4，5，6； 当3c =时，4b =，5，6； 当4c =时，4b =，5，6； 当5c =时，5b =，6； 当6c =时，5b =，6，目标事件个数为543322=19+++++， 因此方程20x bx ++=有实根的概率为1936． （2）记“先后两次出现的点数中有5”为事件M ，“方程20ax bx c ++=有实根”为事件N ， 则()1136P M =，()736P MN =，()()()711P MN P N M P M ==． 18.3几何概型 基础练习1．如图18—7，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色全相同的概率为（ ）．图 18-7A．34B．38C．14D．18解：正确选项为C．2．如图18—8所示：向边长为2的正方形内随机地投飞镖，假设飞镖都能投入正方形内，且投到每个点的可能性相等，则飞镖落在阴影部分的概率是（）．图 18-86x-3y-4=0A．11144B．25144C．37144D．41144解：正确选项为B．3．在1升高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，求取出的种子中含有麦锈病的种子的概率．解：001．．4．平面上画了一些彼此相距2d的平行线，把一枚半径r d<的硬币任意掷在这平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．解：由于硬币的半径为r，则当硬币的中心到直线的距离r d<时，硬币与直线不相碰()22d r d rP dd--==． 能力提高5．如图18—9所示，在ABC 中，60B ∠=︒，45C ∠=︒，高3AD =．在BAC ∠内作射线AM 交BC 于M 点，求1BM <的概率．60°45°图 18-9AB CDM解：由几何概率模型可知，30BAM ∠=︒，()302755P A ︒==︒． 6．某人午觉醒来，发现表停了（见图18—10），他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．解：由几何概率模型可知，()26050π16046P A -===． 7．在坐标系中D 是2x ≤且2y ≤的点构成的区域，E 是由到原点的距离不大于1的点构成的区域．向D 中随机投一点，求落入E 中的概率． 解：由几何概率模型可知，落入E 中的概率为π16． 8．若连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，求点P 落在圆2216x y +=内的概率．解：基本事件的总数为6636⨯=个，记事件(){}2216A P m n x y +=，落在点圆内，则A 所包含的基本事件为（1，1），（2，2），（1，3），（1，2），（2，3），（3，1），（3，2），（2，1），共8个．则概率为29． 9．有五条线段长度为1，3，5，7，9从中任取3条．求不能构成三角形的概率． 解：能构成三角形的组数为（3，5，7），（3，7，9），（5，7，9），35371C 10P =-=． 10．在面积为S 的ABC △的边AB 上任取一点P ，求PBC △的面积大于3S的概率． 解：由几何概率模型可知，概率为23． 11．一个骰子掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ．试就方程组 322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，解答下列各题： （1）求方程组只有一个解的概率． （2）求方程组只有正数解的概率． 解：事件()a b ，的基本事件有36个．由方程组322ax by x y +⎧⎨+=⎩，可得()()262223a b x b a b y a ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩．（1）方程组只有一个解，需满足2a b ≠， 而2a b =的事件有()12，()24，()36，共3个． 所以方程组只有一个解的概率为131113612P =-=． （2）方程组只有正数解，需2a b ≠且 62022302b x a ba y ab -⎧=>⎪⎪-⎨-⎪=>⎪-⎩，即2323a b a b >⎧⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩或2323a b a b <⎧⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩ 其包含的事件有13个：()21，，()31，，()41，，()51，，()61，，()22，，()32，，()42，，()52，，()62，，()14，，()15，，()16，．因此所求的概率为1336． 18.4概率的加法公式和乘法公式 基础练习1．抛掷一颗骰子，观察掷出的点数．设事件A 为“出现偶数点”，B 为 “出现3点”，求： （1）()P A ，()P B ．（2）求“出现偶数点或3点”的概率． 解：（1）()3162P A ==．()16P B =（2）23． 2．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率是0.8．计算： （1）两人都击中目标的概率． （2）其中恰有1人击中目标的概率． （3）至少有1人击中目标的概率．解：（1）()()()0.80.80.64P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=．（2）()()()()()()()0.810.8P P A B P A B P A P B P A P B =⋅+⋅=⋅+⋅=⨯- ()10.80.80.160.160.32+-⨯=+=．（3）()()()0.640.320.96P P A B P A B P A B ⎡⎤=⋅+⋅+⋅=+=⎣⎦． 3．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．求：（1）甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率． （2）甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率． 解：（1）332454P 1C P 40=．（2）142454C 4911C P 4010-=-=． 4．从1，2，3，…，30中任意选一个数，求下列事件的概率： （1）是偶数． 。
2018届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期开学考试数学试题(解析版)
2018届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知无穷等比数列的各项的和为，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】先根据已知得，，所以，因为S＜0，所以0.再利用充要条件的定义判断得解.【详解】由题得，，∴，因为S＜0，所以0.∴“”是“”的是充要条件.故答案为：A【点睛】本题主要考查无穷等比数列的前n项和，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，再利用基本不等式分析得解.【详解】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，∴，即.故选:B【点睛】本题主要考查基本不等式，考查解方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．已知，则函数（R）与（R）图像的交点不可能（）A．只有B．在直线上C．多于三个D．在第二象限【答案】C【解析】结合函数（R）与（R）图像与单调性，分四个象限讨论每一个象限交点的最多个数得解.【详解】结合函数（R）与（R）图像与单调性可知，在第一象限，最多有2个交点，在第二象限，最多有1个交点，在第三、第四象限，因为函数（R）在第三、四象限没有图像，所以它们的图像在第三、四象限没有交点，∴最多只有3个交点.故选:C【点睛】本题主要考查幂函数和指数函数的图像和性质，考查函数的图像的交点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.4．已知是周期为4的奇函数，且当时，，方程在区间内有唯一解，则方程在区间上所有解的和为（）A．B．036162 C．3053234 D．3055252【答案】D【解析】在同一个坐标系下作出函数y=的图像，分析得到在均有三个解，，且均有对称性，所以在区间上所有解的和为，【详解】结合图像对称性，可知，在（0,2上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×1=2，第三个交点的横坐标为2，所以在（0,2上的三个解的和为2+2=4，在（2,4上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×3=6，第三个交点的横坐标为4，所以在（2,4上的三个解的和为6+4=10，所以结合图像对称性，可知，在均有三个解，，且均有对称性，∴在区间上所有解的和为，故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查函数的奇偶性、周期性和对称性，考查函数的零点问题，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.二、解答题5．如图，三棱锥中，、、、均为直角，，.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小.【答案】(1) (2)【解析】（1）由题得AB⊥平面BCD,先求出，再求出三棱锥的体积.(2) 以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线与所成角的大小.【详解】（1）由题得AB⊥平面BCD,AD=,BD=，所以,所以三棱锥的体积.（2）如图所示，以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,0,1),,所以,所以异面直线与所成角的余弦，∴异面直线与所成角为.【点睛】本题主要考查三棱锥体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间观察想象分析推理能力.6．设R，函数.（1）若，解不等式；（2）求所有的，使得在区间上单调递增.【答案】(1) (2)【解析】（1）由题得再解不等式得解.(2)分类讨论，和，数形结合分析得到使得在区间上单调递增的a的取值范围.【详解】（1）由题得.（2）若，即，二次函数y=，在区间上单调递增.∴；若，即或，当，；当，，明显符合，所以此时综上，.【点睛】本题主要考查对数函数的图像和性质，考查对数函数不等式的解法，考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.7．如图，某小区要建四边形的花坛，两邻边用夹角为150°的两面墙，另两边是长度均为8米的篱笆、.（1）若，平方米，求的长（结果精确到0.01米）；（2）若要求，求花坛面积的最大值（结果精确到0.01平方米）.【答案】(1)10.05 (2) 平方米【解析】（1）设，由正弦定理得，即①，因为所以②，解①②即得解.(2) 连接BD,显然，再利用余弦定理和基本不等式求出，再求花坛面积的最大值.【详解】（1）设，由正弦定理得，∴，因为所以②，解①②得.所以由正弦定理得.（2）连接BD,显然,,由余弦定理得∴，即最大值为平方米.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算和最值，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．已知抛物线，直线、（），与恰有一个公共点，与恰有一个公共点，与交于点.（1）当时，求点到准线的距离；（2）当与不垂直时，求的取值范围；（3）设是平面上一点，满足且，求和的夹角大小.【答案】(1) (2) (3)【解析】（1），，因为与恰有一个公共点，，所以，再求出抛物线的准线方程和点到准线的距离.（2）由可得，所以.(3) 由题得，联立与得，联立与得，再求出，根据，求得，解方程得，所以，即得和的夹角为.【详解】（1），，∵与恰有一个公共点，，∴，因为抛物线准线为，所以点到准线的距离.（2）由可得，，消去得，整理得，∴（3）由题得，联立与得，联立与得，∵，∴，与联立得，由第（2）问结论，，，消去a得，∴，∵，据此，∴，解得，，∴和的夹角为.【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查平面向量的运算和直线夹角的计算，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.9．设，若数列满足：对所有，，且当时，，则称为“数列”，设R，函数，数列满足，（）.（1）若，而是数列，求的值；（2）设，证明：存在，使得是数列，但对任意，都不是数列；（3）设，证明：对任意，都存在，使得是数列.【答案】(1) (2)见证明；(3)见证明【解析】（1），，分两种情况讨论得到.(2) 先证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列；再证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列.(3)通过归纳得到：当m为奇数，在，有解，存在；当m为偶数，在，有解，存在.再结合函数映射性质可知，当时，，所以对任意，都存在，使得是数列.【详解】（1），，当，，；当，，，不符；综上所述，.（2）当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，，…，只需，即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；当，，，，，，…，只需，即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；综上，存在，使得是数列，但对任意，都不是数列. （3），当，有解，存在；，当，有解，存在；，当，有解，存在；，当，有解，存在；……，当m为奇数，在，有解，存在；当m为偶数，在，有解，存在；结合函数映射性质可知，当时，，∴对任意，都存在，使得是数列.【点睛】本题主要考查对新定义的理解掌握，考查利用新定义解决问题的能力，考查数列性质的运用和证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、填空题10．设全集，若集合，，则______【答案】【解析】先求出，再求得解.【详解】由题得={···，-3,-2,,2,3,4,5,···}，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查集合补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．计算：______【答案】【解析】设，求出，即得解. 【详解】∵，设.所以所以.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查反三角函数的计算，考查同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.12．已知向量，，则________【答案】13【解析】由题得，即得.【详解】由题得，∴.故答案为：13【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.13．如果复数满足，那么________【答案】1【解析】由题得，所以方程没有实数根，由求根公式求出z的值，再求|z|的大小得解.【详解】∵，所以，所以方程没有实数根，故答案为：1【点睛】本题主要考查复数方程的解法和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.14．（）的反函数________【答案】（）【解析】设（）,求出，再求出原函数的值域即得反函数.【详解】设（）,所以，因为x≥0，所以，所以.因为x≥0，所以y≥0，所以反函数，.故答案为：，【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.15．方程的解为________【答案】2【解析】由题得，即，解方程再检验即得解. 【详解】经检验，当x=10时，原方程没有意义，x=2是原方程的解.故答案为：2【点睛】本题主要考查对数函数的运算和对数方程的解法，考查对数函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.16．在的二项展开式中，所有项的系数之和为81，则常数项为________【答案】8【解析】由题得，所以n=4,再利用二项式展开式的通项求常数项得解. 【详解】由题得，所以n=4,二项展开式的通项为，令.所以常数项为.故答案为：8【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和问题，考查二项式展开式特定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.17．已知离心率为2的双曲线的焦点到最近准线的距离等于3，则该双曲线的焦距为________【答案】8【解析】，且，解方程组即得，，即得双曲线的焦距. 【详解】，且，∴，，所以该双曲线的焦距为8.故答案为：8【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.18．已知一个圆柱的表面积和体积都等于，则其轴截面的面积为________【答案】36【解析】由题得，，再求其轴截面的面积. 【详解】由题得，，所以.故答案为：36【点睛】本题主要考查圆柱的表面积和体积的计算，考查圆柱轴截面的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19．胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列，首先，他令，当时，他投一次骰子，若所得点数大于，即令，否则，令，则的概率为______（结果用最简分数表示）．【答案】【解析】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，分两种情况讨论，再利用古典概型求的概率.【详解】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，有两种情况，① 一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1；② 一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；∴由古典概型得所求的概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.20．已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为_______【答案】【解析】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，先求出单位圆直观图的方程(x-y)²+8y²=1. 画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.【详解】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，即圆上的点P（cosθ，sinθ），第一步变换，到它在x轴的投影的距离缩短一半，即（cosθ，0.5sinθ），第二步变换，绕着投影点顺时针旋转45°，即（cosθ+sinθ，sinθ），所以据此得到单位圆的直观图的参数方程为，x=cosθ+sinθ，y=sinθ，θ为参数，消去参数可得方程为，(x-y)²+8y²=1.得到单位圆的直观图后，和上面一样，我们画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，当然就相当完美了！A、B处均与椭圆相切，并且可以轻易发现，椭圆的长轴其实已经不在x轴上了该椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.椭圆上的点（cosθ+sinθ，sinθ）到原点的距离的平方为=，所以，所以故答案为：【点睛】本题主要考查直观图的画法，考查圆的直观图的方程的求法，考查三角恒等变换和三角函数的最值，考查椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．设，、R，关于函数（）的下列结论：①是的零点；②时，函数取得最小值；③函数的最小值是3；④中有且仅有一个是错误的，则________【答案】-17【解析】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，所以，且，且，解方程组得.【详解】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，由②得，（因为如果ac＜0，则函数在定义域内没有最小值，如果a＜0，c＜0，则函数在定义域内也没有最小值.）且，且，解方程组得，.故答案为：-17【点睛】本题主要考查分析推理，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
精品解析：【全国百强校】上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三下学期开学考试数学试题(解析版)
华二附中高三年级第二学期开学考数学试卷2018.03注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一.填空题1.设全集，若集合，，则______【答案】【解析】【分析】先求出，再求得解.【详解】由题得={···，-3,-2,,2,3,4,5,···}，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查集合补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.计算：______【答案】【解析】【分析】设，求出，即得解.【详解】∵，设.所以所以.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查反三角函数的计算，考查同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.3.已知向量，，则________【答案】13【解析】【分析】由题得，即得.【详解】由题得，∴.故答案为：13【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.如果复数满足，那么________【答案】1【解析】【分析】由题得，所以方程没有实数根，由求根公式求出z的值，再求|z|的大小得解. 【详解】∵，所以，所以方程没有实数根，故答案为：1【点睛】本题主要考查复数方程的解法和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.5.（）的反函数________【答案】（）【解析】【分析】设（）,求出，再求出原函数的值域即得反函数.【详解】设（）,所以，因为x≥0，所以，所以.因为x≥0，所以y≥0，所以反函数，.故答案为：，【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.6.方程的解为________【答案】2【解析】【分析】由题得，即，解方程再检验即得解.【详解】经检验，当x=10时，原方程没有意义，x=2是原方程的解.故答案为：2【点睛】本题主要考查对数函数的运算和对数方程的解法，考查对数函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.在的二项展开式中，所有项的系数之和为81，则常数项为________【答案】8【解析】【分析】由题得，所以n=4,再利用二项式展开式的通项求常数项得解.【详解】由题得，所以n=4,二项展开式的通项为，令.所以常数项为.故答案为：8【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和问题，考查二项式展开式特定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.8.已知离心率为2的双曲线的焦点到最近准线的距离等于3，则该双曲线的焦距为________【答案】8【解析】【分析】，且，解方程组即得，，即得双曲线的焦距.【详解】，且，∴，，所以该双曲线的焦距为8.故答案为：8【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.9.已知一个圆柱的表面积和体积都等于，则其轴截面的面积为________【答案】36【解析】【分析】由题得，，再求其轴截面的面积.【详解】由题得，，所以.故答案为：36【点睛】本题主要考查圆柱的表面积和体积的计算，考查圆柱轴截面的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10.胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列，首先，他令，当时，他投一次骰子，若所得点数大于，即令，否则，令，则的概率为______（结果用最简分数表示）．【答案】【解析】【分析】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，分两种情况讨论，再利用古典概型求的概率.【详解】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，有两种情况，① 一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1；② 一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；∴由古典概型得所求的概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.11.已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为_______【答案】【解析】【分析】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，先求出单位圆直观图的方程(x-y)²+8y²=1. 画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.【详解】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，即圆上的点P（cosθ，sinθ），第一步变换，到它在x轴的投影的距离缩短一半，即（cosθ，0.5sinθ），第二步变换，绕着投影点顺时针旋转45°，即（cosθ+sinθ，sinθ），所以据此得到单位圆的直观图的参数方程为，x=cosθ+sinθ，y=sinθ，θ为参数，消去参数可得方程为，(x-y)²+8y²=1.得到单位圆的直观图后，和上面一样，我们画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，当然就相当完美了！A、B处均与椭圆相切，并且可以轻易发现，椭圆的长轴其实已经不在x轴上了该椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.椭圆上的点（cosθ+sinθ，sinθ）到原点的距离的平方为=，所以，所以故答案为：【点睛】本题主要考查直观图的画法，考查圆的直观图的方程的求法，考查三角恒等变换和三角函数的最值，考查椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.设，、R，关于函数（）的下列结论：①是的零点；②时，函数取得最小值；③函数的最小值是3；④中有且仅有一个是错误的，则________【答案】-17【解析】【分析】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，所以，且，且，解方程组得.【详解】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，由②得，（因为如果ac＜0，则函数在定义域内没有最小值，如果a＜0，c＜0，则函数在定义域内也没有最小值.）且，且，解方程组得，.故答案为：-17【点睛】本题主要考查分析推理，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二.选择题13.已知无穷等比数列的各项的和为，则“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【分析】先根据已知得，，所以，因为S＜0，所以0.再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】由题得，，∴，因为S＜0，所以0.∴“”是“”的是充要条件.故答案为：A【点睛】本题主要考查无穷等比数列的前n项和，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，再利用基本不等式分析得解.【详解】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，∴，即.故选:B【点睛】本题主要考查基本不等式，考查解方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知，则函数（R）与（R）图像的交点不可能（）A. 只有B. 在直线上C. 多于三个D. 在第二象限【答案】C【分析】结合函数（R）与（R）图像与单调性，分四个象限讨论每一个象限交点的最多个数得解. 【详解】结合函数（R）与（R）图像与单调性可知，在第一象限，最多有2个交点，在第二象限，最多有1个交点，在第三、第四象限，因为函数（R）在第三、四象限没有图像，所以它们的图像在第三、四象限没有交点，∴最多只有3个交点.故选:C【点睛】本题主要考查幂函数和指数函数的图像和性质，考查函数的图像的交点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.16.已知是周期为4的奇函数，且当时，，方程在区间内有唯一解，则方程在区间上所有解的和为（）A. B. 036162 C. 3053234 D. 3055252【答案】D【解析】【分析】在同一个坐标系下作出函数y=的图像，分析得到在均有三个解，，且均有对称性，所以在区间上所有解的和为，【详解】结合图像对称性，可知，在（0,2上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×1=2，第三个交点的横坐标为2，所以在（0,2上的三个解的和为2+2=4，在（2,4上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×3=6，第三个交点的横坐标为4，所以在（2,4上的三个解的和为6+4=10，所以结合图像对称性，可知，在均有三个解，，且均有对称性，∴在区间上所有解的和为，故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查函数的奇偶性、周期性和对称性，考查函数的零点问题，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.三.解答题17.如图，三棱锥中，、、、均为直角，，.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题得AB⊥平面BCD,先求出，再求出三棱锥的体积.(2) 以点B为坐标原点，以BD 所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线与所成角的大小.【详解】（1）由题得AB⊥平面BCD,AD=,BD=，所以,所以三棱锥的体积.（2）如图所示，以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,0,1),,所以,所以异面直线与所成角的余弦，∴异面直线与所成角为.【点睛】本题主要考查三棱锥体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间观察想象分析推理能力.18.设R，函数.（1）若，解不等式；（2）求所有的，使得在区间上单调递增.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题得再解不等式得解.(2)分类讨论，和，数形结合分析得到使得在区间上单调递增的a的取值范围.【详解】（1）由题得.（2）若，即，二次函数y=，在区间上单调递增.∴；若，即或，当，；当，，明显符合，所以此时综上，.【点睛】本题主要考查对数函数的图像和性质，考查对数函数不等式的解法，考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.19.如图，某小区要建四边形的花坛，两邻边用夹角为150°的两面墙，另两边是长度均为8米的篱笆、.（1）若，平方米，求的长（结果精确到0.01米）；（2）若要求，求花坛面积的最大值（结果精确到0.01平方米）.【答案】(1)10.05 (2) 平方米【解析】【分析】（1）设，由正弦定理得，即①，因为所以②，解①②即得解.(2) 连接BD,显然，再利用余弦定理和基本不等式求出，再求花坛面积的最大值.【详解】（1）设，由正弦定理得，∴，因为所以②，解①②得.所以由正弦定理得.（2）连接BD,显然,,由余弦定理得∴，即最大值为平方米.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算和最值，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知抛物线，直线、（），与恰有一个公共点，与恰有一个公共点，与交于点.（1）当时，求点到准线的距离；（2）当与不垂直时，求的取值范围；（3）设是平面上一点，满足且，求和的夹角大小.【答案】(1) (2) (3)【解析】【分析】（1），，因为与恰有一个公共点，，所以，再求出抛物线的准线方程和点到准线的距离.（2）由可得，所以.(3) 由题得，联立与得，联立与得，再求出，根据，求得，解方程得，所以，即得和的夹角为.【详解】（1），，∵与恰有一个公共点，，∴，因为抛物线准线为，所以点到准线的距离.（2）由可得，，消去得，整理得，∴（3）由题得，联立与得，联立与得，∵，∴，与联立得，由第（2）问结论，，，消去a得，∴，∵，据此，∴，解得，，∴和的夹角为.【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查平面向量的运算和直线夹角的计算，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.设，若数列满足：对所有，，且当时，，则称为“数列”，设R，函数，数列满足，（）.（1）若，而是数列，求的值；（2）设，证明：存在，使得是数列，但对任意，都不是数列；（3）设，证明：对任意，都存在，使得是数列.【答案】(1) (2)见证明；(3)见证明【解析】【分析】（1），，分两种情况讨论得到.(2) 先证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列；再证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列.(3)通过归纳得到：当m为奇数，在，有解，存在；当m为偶数，在，有解，存在.再结合函数映射性质可知，当时，，所以对任意，都存在，使得是数列.【详解】（1），，当，，；当，，，不符；综上所述，.（2）当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，，…，只需，即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；当，，，，，，…，只需，即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；综上，存在，使得是数列，但对任意，都不是数列.（3），当，有解，存在；，当，有解，存在；，当，有解，存在；，当，有解，存在；……，当m为奇数，在，有解，存在；当m为偶数，在，有解，存在；结合函数映射性质可知，当时，，∴对任意，都存在，使得是数列.【点睛】本题主要考查对新定义的理解掌握，考查利用新定义解决问题的能力，考查数列性质的运用和证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2018届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期开学考试数学试题(解析版)
第三个交点的横坐标为 2，所以在（0,2 上的三个解的和为 2+2=4，
在（2,4 上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为 2×3=6，第三个交点的横坐标
为 4，所以在（2,4 上的三个解的和为 6+4=10，
所以结合图像对称性，可知，在
均有三个解， ，且均有对称性，
∴在区间
上所有解的和为
，
故选：D
2018 届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期开学考 试数学试题
一、单选题
1．已知无穷等比数列 的各项的和为 ，则“
”是“ ”的（ ）
A．充要条件 C．必要非充分条件 【答案】A
B．充分非必要条件 D．既非充分也非必要条件
【解析】先根据已知得
，
再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】
，所以
，因为 S＜0，所以 0.
8．已知抛物线
，直线
、
（
）， 与
恰有一个公共点 ， 与 恰有一个公共点 ， 与 交于点 .
（1）当
时，求点 到 准线的距离；
（2）当 与 不垂直时，求 的取值范围；
（3）设 是平面上一点，满足
且
，求 和 的夹角大小.
【答案】(1) (2)
(3)
【解析】（1）
，
，因为 与 恰有一个公共
点 ，，所以
，再求出抛物线的准线方程和点 到 准线的距离.（2）由 可得
，否则，令
，则
的概率为______（结果用最简分数表示）．
【答案】 【解析】胡涂涂同学掷了 3 轮，要使得 的概率. 【详解】
，分两种情况讨论，再利用古典概型求
胡涂涂同学掷了 3 轮，要使得
，有两种情况，① 一轮点数为 1，二轮点数为 1、
上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三下学期开学考试数学试题(解析版)
华二附中高三年级第二学期开学考数学试卷2018.03一.填空题1.设全集，若集合，，则______【答案】【解析】【分析】先求出，再求得解.【详解】由题得={···，-3,-2,,2,3,4,5,···}，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查集合补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.计算：______【答案】【解析】【分析】设，求出，即得解.【详解】∵，设.所以所以.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查反三角函数的计算，考查同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.3.已知向量，，则________【答案】13【解析】【分析】由题得，即得.【详解】由题得，∴.故答案为：13【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.如果复数满足，那么________【答案】1【解析】【分析】由题得，所以方程没有实数根，由求根公式求出z的值，再求|z|的大小得解. 【详解】∵，所以，所以方程没有实数根，故答案为：1【点睛】本题主要考查复数方程的解法和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.5.（）的反函数________【答案】（）【解析】【分析】设（）,求出，再求出原函数的值域即得反函数.【详解】设（）,所以，因为x≥0，所以，所以.因为x≥0，所以y≥0，所以反函数，.故答案为：，【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.6.方程的解为________【答案】2【解析】【分析】由题得，即，解方程再检验即得解.【详解】经检验，当x=10时，原方程没有意义，x=2是原方程的解.故答案为：2【点睛】本题主要考查对数函数的运算和对数方程的解法，考查对数函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.在的二项展开式中，所有项的系数之和为81，则常数项为________【答案】8【解析】【分析】由题得，所以n=4,再利用二项式展开式的通项求常数项得解.【详解】由题得，所以n=4,二项展开式的通项为，令.所以常数项为.故答案为：8【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和问题，考查二项式展开式特定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.8.已知离心率为2的双曲线的焦点到最近准线的距离等于3，则该双曲线的焦距为________【答案】8【解析】【分析】，且，解方程组即得，，即得双曲线的焦距.【详解】，且，∴，，所以该双曲线的焦距为8.故答案为：8【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.9.已知一个圆柱的表面积和体积都等于，则其轴截面的面积为________【答案】36【解析】【分析】由题得，，再求其轴截面的面积.【详解】由题得，，所以.故答案为：36【点睛】本题主要考查圆柱的表面积和体积的计算，考查圆柱轴截面的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10.胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列，首先，他令，当时，他投一次骰子，若所得点数大于，即令，否则，令，则的概率为______（结果用最简分数表示）．【答案】【解析】【分析】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，分两种情况讨论，再利用古典概型求的概率.【详解】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，有两种情况，① 一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1；② 一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；∴由古典概型得所求的概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.11.已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为_______【答案】【解析】【分析】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，先求出单位圆直观图的方程(x-y)²+8y²=1. 画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.【详解】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，即圆上的点P（cosθ，sinθ），第一步变换，到它在x轴的投影的距离缩短一半，即（cosθ，0.5sinθ），第二步变换，绕着投影点顺时针旋转45°，即（cosθ+sinθ，sinθ），所以据此得到单位圆的直观图的参数方程为，x=cosθ+sinθ，y=sinθ，θ为参数，消去参数可得方程为，(x-y)²+8y²=1.得到单位圆的直观图后，和上面一样，我们画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，当然就相当完美了！A、B处均与椭圆相切，并且可以轻易发现，椭圆的长轴其实已经不在x轴上了该椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.椭圆上的点（cosθ+sinθ，sinθ）到原点的距离的平方为=，所以，所以故答案为：【点睛】本题主要考查直观图的画法，考查圆的直观图的方程的求法，考查三角恒等变换和三角函数的最值，考查椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.设，、R，关于函数（）的下列结论：①是的零点；②时，函数取得最小值；③函数的最小值是3；④中有且仅有一个是错误的，则________【答案】-17【解析】【分析】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，所以，且，且，解方程组得.【详解】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，由②得，（因为如果ac＜0，则函数在定义域内没有最小值，如果a＜0，c＜0，则函数在定义域内也没有最小值.）且，且，解方程组得，.故答案为：-17【点睛】本题主要考查分析推理，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二.选择题13.已知无穷等比数列的各项的和为，则“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】先根据已知得，，所以，因为S＜0，所以0.再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】由题得，，∴，因为S＜0，所以0.∴“”是“”的是充要条件.故答案为：A【点睛】本题主要考查无穷等比数列的前n项和，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，再利用基本不等式分析得解.【详解】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，∴，即.故选:B【点睛】本题主要考查基本不等式，考查解方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知，则函数（R）与（R）图像的交点不可能（）A. 只有B. 在直线上C. 多于三个D. 在第二象限【答案】C【解析】【分析】结合函数（R）与（R）图像与单调性，分四个象限讨论每一个象限交点的最多个数得解. 【详解】结合函数（R）与（R）图像与单调性可知，在第一象限，最多有2个交点，在第二象限，最多有1个交点，在第三、第四象限，因为函数（R）在第三、四象限没有图像，所以它们的图像在第三、四象限没有交点，∴最多只有3个交点.故选:C【点睛】本题主要考查幂函数和指数函数的图像和性质，考查函数的图像的交点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.16.已知是周期为4的奇函数，且当时，，方程在区间内有唯一解，则方程在区间上所有解的和为（）A. B.036162 C. 3053234 D. 3055252【答案】D【解析】【分析】在同一个坐标系下作出函数y=的图像，分析得到在均有三个解，，且均有对称性，所以在区间上所有解的和为，【详解】结合图像对称性，可知，在（0,2上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×1=2，第三个交点的横坐标为2，所以在（0,2上的三个解的和为2+2=4，在（2,4上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×3=6，第三个交点的横坐标为4，所以在（2,4上的三个解的和为6+4=10，所以结合图像对称性，可知，在均有三个解，，且均有对称性，∴在区间上所有解的和为，故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查函数的奇偶性、周期性和对称性，考查函数的零点问题，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.三.解答题17.如图，三棱锥中，、、、均为直角，，.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题得AB⊥平面BCD,先求出，再求出三棱锥的体积.(2) 以点B为坐标原点，以BD 所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线与所成角的大小.【详解】（1）由题得AB⊥平面BCD,AD=,BD=，所以,所以三棱锥的体积.（2）如图所示，以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,0,1),,所以,所以异面直线与所成角的余弦，∴异面直线与所成角为.【点睛】本题主要考查三棱锥体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间观察想象分析推理能力.18.设R，函数.（1）若，解不等式；（2）求所有的，使得在区间上单调递增.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题得再解不等式得解.(2)分类讨论，和，数形结合分析得到使得在区间上单调递增的a的取值范围.【详解】（1）由题得.（2）若，即，二次函数y=，在区间上单调递增.∴；若，即或，当，；当，，明显符合，所以此时综上，.【点睛】本题主要考查对数函数的图像和性质，考查对数函数不等式的解法，考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.19.如图，某小区要建四边形的花坛，两邻边用夹角为150°的两面墙，另两边是长度均为8米的篱笆、.（1）若，平方米，求的长（结果精确到0.01米）；（2）若要求，求花坛面积的最大值（结果精确到0.01平方米）.【答案】(1)10.05 (2) 平方米【解析】【分析】（1）设，由正弦定理得，即①，因为所以②，解①②即得解.(2) 连接BD,显然，再利用余弦定理和基本不等式求出，再求花坛面积的最大值.【详解】（1）设，由正弦定理得，∴，因为所以②，解①②得.所以由正弦定理得.（2）连接BD,显然,,由余弦定理得∴，即最大值为平方米.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算和最值，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知抛物线，直线、（），与恰有一个公共点，与恰有一个公共点，与交于点.（1）当时，求点到准线的距离；（2）当与不垂直时，求的取值范围；（3）设是平面上一点，满足且，求和的夹角大小.【答案】(1) (2) (3)【解析】【分析】（1），，因为与恰有一个公共点，，所以，再求出抛物线的准线方程和点到准线的距离.（2）由可得，所以.(3) 由题得，联立与得，联立与得，再求出，根据，求得，解方程得，所以，即得和的夹角为.【详解】（1），，∵与恰有一个公共点，，∴，因为抛物线准线为，所以点到准线的距离.（2）由可得，，消去得，整理得，∴（3）由题得，联立与得，联立与得，∵，∴，与联立得，由第（2）问结论，，，消去a得，∴，∵，据此，∴，解得，，∴和的夹角为.【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查平面向量的运算和直线夹角的计算，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.设，若数列满足：对所有，，且当时，，则称为“数列”，设R，函数，数列满足，（）.（1）若，而是数列，求的值；（2）设，证明：存在，使得是数列，但对任意，都不是数列；（3）设，证明：对任意，都存在，使得是数列.【答案】(1) (2)见证明；(3)见证明【解析】【分析】（1），，分两种情况讨论得到.(2) 先证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列；再证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列.(3)通过归纳得到：当m为奇数，在，有解，存在；当m为偶数，在，有解，存在.再结合函数映射性质可知，当时，，所以对任意，都存在，使得是数列.【详解】（1），，当，，；当，，，不符；综上所述，.（2）当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，，…，只需，即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；当，，，，，，…，只需，即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；综上，存在，使得是数列，但对任意，都不是数列.（3），当，有解，存在；，当，有解，存在；，当，有解，存在；，当，有解，存在；……，当m为奇数，在，有解，存在；当m为偶数，在，有解，存在；结合函数映射性质可知，当时，，∴对任意，都存在，使得是数列.【点睛】本题主要考查对新定义的理解掌握，考查利用新定义解决问题的能力，考查数列性质的运用和证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题与详细解析
华师大二附中2021届高一第二学期期末数学考试试卷一、填空题1.函数1arcsin ,22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______.2.数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a =_____.3.()cos f x x x =+的值域是______.4.“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，则30S =；6.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积2224a b c S +-=，则角C =__________.7.已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a =________8.等比数列{}n a 中首项12a =，公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<，则n m +=______.9.在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C B A B C +=++________．10.已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=______.二、选择题11.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A. B.C. D.12.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A.()f x 的最小正周期为π，最大值为3B.()f x 的最小正周期为π，最大值为4C.()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D.()f x 的最小正周期为2π，最大值为413.将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间35[,]44ππ上单调递增 B.在区间3[,]4ππ上单调递减C.在区间53[,]42ππ上单调递增 D.在区间3[,2]2ππ上单调递减14.已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（）A.2或3B.4或3C.5或6D.8或7三、解答题15.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．16.已知()1221*,,0n n n n n n u a a b a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.（1）当a b =时，求数列{}n u 前n 项和n S ；（用a 和n 表示）；（2）求1lim nn n u u →∞-.17.已知方程arctan arctan(2)2xx a +-=；（1）若4a π=，求arccos 2x的值；（2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值.18.（1）证明：()3cos 34cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）利用（2）的结论判断()*cos 16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数？华师大二附中2021届高一第二学期期末数学考试试卷一、填空题1.函数1arcsin ,22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______.【答案】,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据arcsin y x =的单调性，结合x 的范围，得到答案.【详解】函数arcsin y x =是单调递增函数，所以32x =-时，arcsin 23y π⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，12x =-时，1arcsin 26y π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以函数的值域为：,36y ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.故答案为：,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查反三角函数的单调性，根据函数的单调性求值域，属于简单题.2.数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a =_____.【答案】()()3122n n n ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【解析】【分析】根据n a 和n S 之间的关系,应用公式()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得出结果【详解】当1n =时,113a S ==；当2n ≥时,()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦；∴()()3122n n a n n ⎧=⎪=⎨≥⎪⎩故答案为()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【点睛】本题考查了n a 和n S 之间的关系式,注意当1n =和2n ≥时要分开讨论,题中的数列非等差数列.本题属于基础题3.()cos f x x x =+的值域是______.【答案】[]22-,【解析】【分析】对()f x 进行整理，得到正弦型函数，然后得到其值域，得到答案.【详解】()cos f x x x=+12sin cos 22x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为[]sin 1,16x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭所以()f x 的值域为[]22-,.故答案为：[]22-,【点睛】本题考查辅助角公式，正弦型函数的值域，属于简单题.4.“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）.【答案】必要非充分【解析】【分析】通过等差数列的下标公式，得到必要条件，通过举特例证明非充分条件，从而得到答案.【详解】因为数列1234,,,a a a a 依次成等差数列，所以根据等差数列下标公式，可得1423a a a a +=+，当121a a ==，342a a ==时，满足1423a a a a +=+，但不能得到数列1234,,,a a a a 依次成等差数列所以综上，“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的必要非充分条件.故答案为：必要非充分.【点睛】本题考查必要非充分条件的证明，等差数列通项的性质，属于简单题.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，则30S =；【答案】60【解析】【详解】若数列{a n }为等差数列则S m ，S 2m -S m ，S 3m -S 2m 仍然成等差数列．所以S 10，S 20-S 10，S 30-S 20仍然成等差数列．因为在等差数列{a n }中有S 10=10，S 20=30，()302201030S ⨯=+-所以S 30=60．故答案为60．6.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积2224a b c S +-=，则角C =__________.【答案】045【解析】试题分析：由2224a b c S +-=，可得2221sin 24a b c ab C +-=，整理得222sin cos 2a b c C C ab+-==，即tan 1C =，所以045C =.考点：余弦定理；三角形的面积公式.7.已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a =________【答案】1【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解．【详解】由11()a n n a a -=，得991991log log n n a a a -=，∴199991991l 9og log 9n n a a a -==，则数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，∴19999991001log (99)199a =⋅=．故答案为1．【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．8.等比数列{}n a 中首项12a =，公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<，则n m +=______.【答案】9【解析】【分析】根据等比数列求和公式，将+1++720n n m a a a +⋅⋅⋅=进行转化，然后得到关于n 和m 的等式，结合*,,n m N n m ∈<，讨论出n 和m 的值，得到答案.【详解】因为等比数列{}n a 中首项12a =，公比3q =，所以1,,,n n m a a a +⋅⋅⋅成首项为123n n a -=⨯，公比为3的等比数列，共1n m -+项，所以()11+12313++27013n m n n n m a a a --+⨯-+⋅⋅⋅==-整理得11720313n m n -+--=因为*,,n m N n m∈<所以可得，等式右边为整数，故等式左边也需要为整数，则13n -应是720的约数，所以可得133,9,27n -=，所以1,2,3n =，当1n =时，得3721m =，此时*m N ∉当2n =时，得13241m -=，此时*m N ∉当3n =时，得2381m -=，此时6m =，所以9m n +=，故答案为：9.【点睛】本题考查等比数列求和的基本量运算，涉及分类讨论的思想，属于中档题.9.在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C BA B C +=++________．【答案】22017【解析】【详解】因为222sin sin 2018sin A C B+=所以2222018a c b +=⋅注意到：tan tan tan tan tan tan A B C A B C++=⋅⋅故()2tan tan tan tan tan tan A C B A B C+++()2tan tan tan 11tan tan tan tan tan tan A C B B A B C A C +⎛⎫==+ ⎪⋅⋅⎝⎭22222222sin 1222sin sin cos 20182017B b ac b A C B ac a c b b b ⎛⎫=⋅=== ⎪⋅+--⎝⎭．故答案为2201710.已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=______.【答案】lg 3【解析】【分析】对数列{}n a 的通项公式22lg 13n a n n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭进行整理，再求其前n 项和，利用对数运算规则，可得到n S ，从而求出lim n n S →∞，得到答案.【详解】222232lg 1lg 33n n n a n n n n ++⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭()()()12lg 3n n n n ++=+所以123n nS a a a a =+++⋅⋅⋅+()()()12233445lg lg lg lg 1425363n n n n ++⨯⨯⨯=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+()13131lg lg 331n n n n⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++所以131lg lg 331lim lim n n n S n n→∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+.故答案为：lg 3.【点睛】本题考查对数运算公式，由数列的通项求前n 项和，数列的极限，属于中档题.二、选择题11.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A.B.C.D.【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f ===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1n n aq a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.12.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A.()f x 的最小正周期为π，最大值为3B.()f x 的最小正周期为π，最大值为4C.()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D.()f x 的最小正周期为2π，最大值为4【答案】B 【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B.【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.13.将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间35[,]44ππ上单调递增 B.在区间3[,]4ππ上单调递减C.在区间53[,42ππ上单调递增 D.在区间3[,2]2ππ上单调递减【答案】A 【解析】【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =可得一个单调递增区间为：35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令1k =可得一个单调递减区间为：57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（）A.2或3 B.4或3C.5或6D.8或7【答案】A 【解析】【分析】根据题意先表示出函数的周期，然后根据函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，得到周期的范围，从而得到关于k 的不等式，从而得到k 的范围，结合k ∈N ，得到答案.【详解】函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以可得2621213T k k ππ==++，因为在区间[],3a a +上，函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，所以5215cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭得121cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭即21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在区间[],3a a +上的交点个数大于等于4，小于等于8，而21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在一个周期T 内有2个，所以2343T T ≤⎧⎨≥⎩，即6232164321k k ⎧⨯≤⎪⎪+⎨⎪⨯≥⎪+⎩解得3722k ≤≤，又因k ∈N ，所以得2k =或者3k =，故选：A.【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，根据周期性求参数的值，函数与方程，属于中档题.三、解答题15.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【答案】(1)∠A =π3(2)AC边上的高为2【解析】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高．详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B7=．由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A 437sin A=2．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A=112727⎛⎫⨯-+⨯⎪⎝⎭=14．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7142⨯=，∴AC边上的高为2．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.16.已知()1221*,,0nn n n n n u a ab a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.（1）当a b =时，求数列{}n u 前n 项和n S ；（用a 和n 表示）；（2）求1limnn n u u →∞-.【答案】（1）1a =时，()3,12n n n S a +=≠时，()()()21221221n n n n a n a a a S a +++-+-+=-；（2）1,lim,n n n a a bu b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩；【解析】【分析】（1）当a b =时，求出()1nn u n a =+，再利用错位相减法，求出{}n u 的前n 项和n S ；（2）求出1nn u u -的表达式，对a ，b 的大小进行分类讨论，从而求出数列的极限.【详解】（1）当a b =时，可得()1nn u n a =+，当1a =时，得到1n u n =+，所以()32n n n S +=，当1a ≠时，所以()2312341n n n S a a a nan a -=+++⋅⋅⋅+++，两边同乘a 得()23412341nn n aS a a a na n a+=+++⋅⋅⋅+++上式减去下式得()()231121nn n a S a a a a n a+-=+++⋅⋅⋅+-+()()()11111n n n a a a S a n a a+--=+-+-，所以()()()121111n n n a a a n a S aa +--+=+--()()()21221221n n n a n a a a a +++-+-+=-所以综上所述，1a =时，()32n n n S +=；1a ≠时，()()()21221221n n nn a n a a aS a +++-+-+=-.（2）由（1）可知当a b =时，()1nn u n a=+则()111lim lim n nn n n n n a u u na -→∞→∞-+=()1lim n a n a n →∞+==；当a b ¹时，11nn n nn u a ab ab b --=++⋅⋅⋅++21nnb b b a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()111111n n n n b aa ab b a ba+++⎛⎫- ⎪⎝⎭==---则111n n n n nn u a b u a b ++--=-若0a b >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b a a u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭若0b a >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b ab u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭所以综上所述1,lim ,n n n a a bu b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩.【点睛】本题考查错位相减法求数列的和，数列的极限，涉及分类讨论的思想，属于中档题.17.已知方程arctanarctan(2)2xx a +-=；（1）若4a π=，求arccos 2x 的值；（2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值.【答案】（1）π或3π；（2）[arctan；（3）19；【解析】试题分析：(1) 4a π=时，由已知得到()22121212xxx x x +-=⇒=---或;(2)方程有实数解即a 在()arctan arctan 22xx +-的值域上，（3）根据二次函数的性质列不等式组得出tana 的范围，利用根与系数的关系得出α+β的最值.试题解析：（1）()()2π2arctan arctan 212122412xxx x x x x +-+-=⇒=⇒=---或，arccos =2x π或3π；（2）()()222arctan arctan 2tan tan ,4,2261012xxx t x a a a t x x x t t +-+-=⇒=⇒==---+-tan a ∴∈arctan a ⎡∴∈⎢⎣（3）因为方程在区间[]5,15上有两个相异的解α、β，所以[]411,1,441119x αβαβ-∈--∴-+-≥-∴+≤18.（1）证明：()3cos 34cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）利用（2）的结论判断()*cos16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数？【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不是【解析】【分析】（1）()()cos 3cos 2x x x =+，利用两角和的正弦和二倍角公式，进行证明；（2）对n 分奇偶，即21n k =+和2n k =两种情况，结合两角和的余弦公式，积化和差公式，利用数学归纳法进行证明；（3）根据（2）的结论，将cos7m π表示出来，然后判断其每一项都为无理数，从而得到答案.【详解】（1）()()cos 3cos 2cos 2cos sin 2sin x x x x x x x=+=-()222cos 1cos 2sin cos x x x x =--()322cos cos 21cos cos x x x x =---34cos 3cos x x=-所以原式得证.（2）n 为奇数时，3n =时，()()2323123cos 3cos 2cos cos cos x f x x a x a x a ==+++，其中30a =，成立21n k =-时，()()21cos 21cos k k x f x --=222122*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中210k a -=，成立21n k =+时，()()21cos 21cos k k x f x ++=221221122212cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a +-+=+++⋅⋅⋅++，其中210k a +=，成立，则当23n k =+时，()()()()cos 23cos 212cos 21cos 2sin 21sin 2k x k x x k x x k x +=++=+-+⎡⎤⎣⎦()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()()cos 232cos 21cos 2cos 21k x k x x k x+=+--2212212122212221222312222122cos cos cos cos 2cos 12cos cos cos cos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a +-+------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2223222121122212cos 4cos 42cos 2cos k k k k k k k x a x a x a a x +++++-=++-+⋅⋅⋅-+因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()21122214,42,,2k k k a a a a +--⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；n 为偶数时，2n =时，()212212cos 2cos 2cos cos x f x x a x a -==++，其中()22211a =-=-，22n k =-时，()()22cos 22cos k k x f x --=232223*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中()()221222111k k k a---=-=-=-，成立，2n k =时，()2cos 2cos k kx f x =2122122122122cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ----=+++⋅⋅⋅++，其中()()222111k kka=-=-=，成立，则当22n k =+时，()()cos 22cos 22cos 2cos 2sin 2sin 2k x kx x kx x kx x +=+=-()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()cos 232cos 2cos 2cos 22k x kx x k x+=--21221222122122322232412232222cos cos cos cos 2cos 12cos cos cos cos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a ----------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2122212121221232222cos 4cos 42cos 2cos 2k k k k k k k k k x a x a x a a x a a +++----=++-+⋅⋅⋅-+--其中22221k k a a ---=-，因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()211221234,42,,2k k k a a a a ----⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；综上可得：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()11112n n n n n n f x x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++，1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）由（2）可得()*cos16,7m m m N π≤≤∈cos cos 77m m f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112cos cos cos 777m m m m m a a a πππ---=++⋅⋅⋅++*16,m m N ≤≤∈其中1122,,m m a a a -⋅⋅⋅均为有理数，因为cos7π为无理数，所以1cos,cos cos 777m m πππ-⋅⋅⋅均为无理数，故11112coscos cos 777m m m m m a a a πππ---++⋅⋅⋅++为无理数，所以()*cos 16,7m m m N π≤≤∈不是有理数.【点睛】本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式，积化和差公式，数学归纳法证明，属于难题.。
上海市华东师范大学第二附属中学实验班用2018届高三数
第九章 简单几何体9.1 棱柱、棱锥、棱台 1.设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体． 其中真命题的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解：A2．已知长方体的一条对角线与从它的一个端点出发的三条棱所成的角分别是α、β、γ，写出一个α、β、γ满足的关系式． 解：见题2解析图．设A CD A CB A CC αβγ∠=∠=∠=，，′′′′．γβαD 'C 'B'A'D C BA题2解析图由于cos cos cos DC BC C CA C A C A Cαβγ===，，，′′′′ 则2222222cos cos cos 1DC BC C C A C αβγ++++==′′．3．如图9-15，在棱锥P ABCDE -中，与底面平行的平面截棱锥得多边形A B C D E ′′′′′，点P 在底面、截面的射影分别是H 、H ′，求证：图 915C 'D 'E'H 'DHECBAP（1）PH PA PB PC PD PE PH PA PB PC PD PE =====′′′′′′． （2）截面A B C D E ′′′′′与底面ABCDE 相似． （3）22A B C D EABCDE S PH S PH =′′′′′′．证明：（1）如图所示，连接A H ′′和AH ．A H ′′和AH 分别是平面ABCDE ′′′′′和平面ABCDE 与平面PAH 的交线． 由于平面A B C D E ′′′′′∥平面ABCDE ， 则PH PA A H AH PA H PAH PH PA=，，′′′′△′′△∥． 同理可证，PH PB PH PC PH PD PH PE PH PB PH PC PH PD PH PE====，，，′′′′′′′′． 则PH PA PB PC PD PE PH PA PB PC PD PE=====′′′′′′． （2）由于PA PB PA PB=′′，P ∠是公共角， 则PA B PAB △′′△∽，A B PA PH AB PA PH==′′′′． 同理可证，B C PH C D PH D E PH E A PH BC PH CD PH DE PH EA PH====，，，′′′′′′′′′′′′． 由于截面A B C D E ′′′′′与底ABCDE 的对应边成比例， 则截面A B C D E ′′′′′与底ABCDE 相似． （3）由（2）知，2222A B C D EABCDE S A B PH S AB PH ==′′′′′△′′′． 4．以1，l ，1? 解：3个．5．四面体OABC 中，OA ⊥面ABC ，AB AC ⊥，点P 满足OP lOA mOB nOC =++，其中l m n ，，为正数且1l m n ++=．若直线OP 是由到面OBC 、面OCA 和面OAB 的距离相等的点构成，求二面角A OB C --的余弦值（用l ，m ，n 表示）． 解：1OP lOA mOB nOC m n l AP mAB nAC P =++++=⇒=+，，在面ABC 上． OA ⊥面ABC ，AB AC ⊥，则P 在面ABO 的垂足在AB 上．又ABP ABCSAP mAB nAC AB AC n S =+⊥⇒=，△△．同理ACP BCP ABC ACP ABPABC ABC ABCS S S S S m l S S S --===，△△△△△△△△．则cos ABO P ABO ABP ACO P ACO BCP S V S nA OBC S V S l--∠--====△△△△．6．如图9-16，已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，E 是1A B 的中点，F 在棱1CC 上，当点F 使得1A F BF +最小时，求异面直线AE 与1A F 所成的角．图 916B 1N 1C 1A 1H GFENC BA解：如图可知F 为中点时，满足题意．由于12GH AH ==，则AG ．又由于1A F =EG =AE =． 则222AE EG AG +=，则90AEG ∠=︒．7．如图9-17，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线118BD BD =，与侧面11BB C C 所成角为30︒，求：D 1C 1B 1A 1DCBA图 917（1）1BD 与底面ABCD 所成角． （2）异面直线1BD 与AD 所成角． （3）正四棱柱的全面积．解：（1）在正四棱柱1A C 中，由于11D C ⊥面11BB C C ， 则11D BC ∠是1D B 与侧面11BB C C 所成角，即1130D BC ∠=︒． 由于18BD =，则1114D C BC ==，， 由于1111A B C D 是正方形，则11114B C D C ==，1D D ⊥平面ABCD ，则1D BD ∠是1D B 与底面ABCD 所成角，在1Rt D DB △中，11BD B D ==18BD =，则11cos BD D BD BD =则145D BD ∠=︒， 即1BD 与底面ABCD 所成角为45︒． （2）由于11AD A D ∥，则11A D B ∠是1BD 与AD 所成角（或补角）． 由于11D A ⊥平面11AA B B ，则111D A A B ⊥， 11Rt A D B △中，11148A D BD ==，，则111cos 2A DB ∠=，则1160A D B ∠=︒， 即异面直线AD 与1BD ，所成角为60︒． （3）11Rt BB C △中，114B C =，1BC =则1BB =则2(44441)S =⨯+⨯⨯=全．8．如图9-18，已知三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 与底面ABC 所成角相等，90CAB ∠=︒，AC AB PB a D ===，为BC 中点，E 点在PB 上且PC ∥截面EAD ．求：图 918BF EDACP（1）AE 与底面ABC 所成角． （2）PC 到平面EAD 的距离． 解：（1）证明：由于PA 、PB 、PC 与底面ABC 所成角相等， 则顶点P 在底面上的射影为底面Rt CAB △的外心． 而Rt CAB △的外心在斜边BC 的中点D 处， 即PD ⊥平面ABC ， 而PD ⊆平面PBC ，则平面PBC ⊥底面ABC ．由于PC ∥截面EAD ，PD ⊆平面PBC ， 且平面PBC 平面EAD DE =，则PC ∥截面DE ，而D 为BC 中点， 则E 为PB 的中点． 过E 作EM PD ∥，则EM 与BC 的交点，M 为BD 的中点，连接AM ， 由于PD ⊥底面ABC ，则EM ⊥底面ABC ． 则EAM ∠为AE 与底面ABC 所成的角．AC AB PB a ===，则AE ，而PB PC a BC ===，，则CPB △为等腰直角三角形．在Rt AEM △中，sin EM EAM AE ∠===． 则AE 与底面ABC，所以成角为arc sin （2）等体积法，可得：12a ．9．作出正四面体每个面的中位线，共得12条线段，在这些线段中，相互成异面直线的“线段对”有__________个． 解：24个．10．如图9-19，ABCD A B C D -′′′′为正方体．任作平面α与对角线AC ′垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l 则（ ）．E 'D 'C 'B 'A 'DC BA图919A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值 解：将正方体切去两个正三棱锥A A BD -′与C D B C -′′′后，得到一个以平行平面A BD ′与D B C ′′为上、下底面的几何体V ，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱A B ′′剪开，展平在一张平面上，得到一个11A B B A ′′，而多边形W 的周界展开后便成为一条与1A A ′平行的线段（如题10解析图中1E E ′），显然11E E A A =′′，故l 为定值．正确选项为B ．A 1E 1B 1D 'DC BB'E'A'题10解析图11．如图9-20，长方体1111ABCD A B C D -，AB a =，BC b =，1A A c =，E 为11D C 中点，若平面11A BC 与平面ACE 所成二面角的平面角为θ，则sin θ=__________．cbaD ABC ED 1C 1B 1A 1图920解：sin θ=．12．如图9-21，已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，906ACB AC ∠=︒=，，1BC CC P ==是1BC 上一动点．求1CP PA +的最小值．C 1B 1A 1PCB A图921解：将直三棱柱111ABC A B C -侧面展开可得：d =13．设棱台的两底面积分别为S 、S ′，它的中截面的面积为0S，求证：=． 证明：如题13解析图所示，因为棱台的中截面与两底面平行，所以多边形ABCDE ，00000A B C D E A B C D E ，′′′′′相似，因此2222000000S AB S A B S A B S A B ==，′′′，0000AB A BA B A B ==′′． 题13解析图D 0C 0B 0A 0E 0B'D 'C 'E'A'EDBA两式相加，又因为00A B 是梯形ABB A ′′的中位线，00000022A B AB A B A B A B +===，′′故=．14．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为等腰梯形，AB DC ∥，AC BD ⊥，AC 与BD 相交于点O ，且顶点P 在底面上的射影恰为O 点，又2BO =，PO =PB PD ⊥． （1）求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值．（2）求二面角P AB C --的大小． （3）设点M 在棱PC 上，且PMMCλ=，问λ为何值时，PC ⊥平面BMD ． 解：（1）21PO BO DO DO =⋅=，，取AB 中点E ，连DE ，故DE BC ∥，连PE ，故PDE ∠（或其补角）为异面直线PD 与BC所成角，PDDE BC ==2PE =，则222cos 2PD DE PE PDE PD DE +-∠==⋅ （2）连OE ，PE ，可证得OE AB ⊥，PE AB ⊥，则PEO ∠为二面角P AB C --的平面角，sin PO PEO PE ∠==π4PEO ∠=． （3）222cos 2PB PC BC PB PC BC BPC PB PC +-=∠=⋅ 若PC ⊥面BMD ，则PC BM ⊥，则cos PM PB BPC MC =⋅∠==则2PMMC=． 9.2 简单多面体与欧拉定理1．已知：一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，求证：2-4V F =． 证明：由于每个定点都有三条棱，而每条棱有两个顶点， 则32E V =，代入欧拉公式得322V F V +-=，即24V F =-．2．是否存在七条棱的简单多面体?解：假设存在七条棱的简单多面体，由欧拉定理可得：279F V +=+= （*）因为多面体至少四个面，至少四个顶点，即4F ，4V ，故（F ，V ）只可能为（4，5）或（5，4），我们考虑最简单的多面体——四面体。
2023-2024学年上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期期中考试数学试卷含详解
华二附中高三期中数学试卷2023.11一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.不等式221x x -≥-的解集为___________.2.已知3,0,cos 225ππαα⎛⎫⎛⎫∈--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α=________．3.设252i1i i z +=++，则z =________．4.钝角ABC中，3,60a b A ===，则ABC 的面积是__________.5.圆2222210x y ax ay a a +++++-=的半径的最大值为______.6.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =_______．7.已知a b 、满足21a b += ，且()1,1a =- ，则b 在a 上数量投影的最小值为________．8.正四面体ABCD 的棱长为2，则所有与A ，B ，C ，D 距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为______．9.设n ∈N *，a n 为(x ＋4)n －(x ＋1)n 的展开式的各项系数之和，1222...555n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()()222n n t b t -+-+(t ∈R )的最小值为____.10.已知抛物线2(0)y ax a =>，在y 轴正半轴上存在一点P ，使过P 的任意直线交抛物线于M N 、，都有2211||||MP NP +为定值，则点P 的坐标为________．11.某学校有如图所示的一块荒地，其中60m AB =，40m AD =，45m BC =，π2DAB ∠=，2π3ABC ∠=，经规划以AB 为直径做一个半圆，在半圆外进行绿化，半圆内作为活动中心，在以AB 为直径的半圆弧上取,E F 两点，现规划在OEF 区域安装健身器材，在OBE △区域设置乒乓球场，若BOE EOF ∠=∠，且使四边形AOEF 的面积最大，则cos EOF ∠=______．12.M 是正整数集的子集，满足：1,2022,2023M M M ∈∈∉，并有如下性质：若a 、b M ∈，则222a b M+∈，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则M 的非空子集个数为________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知集合{3,2,0,1,2,3,7},{,}A B xx A x A =--=∈-∉∣，则B =（）A.{0,1,7}B.{1,7}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3,7}14.对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）A.2431r r r r <<< B.4231r r r r <<< C.4213r r r r <<< D.2413r r r r <<<15.已知函数()sin 2f x x π=，任取t ∈R ，记函数()f x 在[,1]t t +上的最大值为t M ，最小值为t m ，设()t t h t M m =-，则函数()h t 的值域为（）A.212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.221,122⎡-+⎢⎣⎦C.2122⎡-⎢⎣ D.22,122+⎣⎦16.已知曲线:1(0,)nnx yC n n a b+=>∈R ．当4,2,1n a b ===时，①曲线C 所围成的封闭图形的面积小于8；②曲线C 上的点到原点O 的距离的最大值为1417．则（）A.①成立②成立B.①成立②不成立C .①不成立②成立D.①不成立②不成立三、解答题（本大题共有5题满分78分）解下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.甲乙两人进行乒乓球比赛，现约定：谁先赢3局谁就赢得比赛，且比赛结束．若每局比赛甲获胜的概率为13，乙获胜的概率为23．（1）求甲赢得比赛的概率；（2）记比赛结束时的总局数为X ，写出X 的分布列，并求出X 的期望值．18.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB BC PC ====，（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PC B --的大小．19.已知函数()()cos2,sin f x x g x x ==．（1）判断函数()ππ42H x f x g x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的奇偶性，并说明理由；（2）设函数()()πsin 0,02h x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭，若函数π2h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和()πh x -都是奇函数，将满足条件的ω按从小到大的顺序组成一个数列{}n a ，求{}n a 的通项公式．20.过坐标原点O 作圆22:(2)3C x y ++=的两条切线，设切点为,P Q ，直线PQ 恰为抛物2:2,(0)E y px p =>的准线.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点,,,A B M N 满足：2,2TA TM TB TN ==，设AB 中点为D .（i ）求直线TD 的斜率；（ii ）设TAB △面积为S ，求S 的最大值.21.已知函数()()ln 1f x x =+，2()1(g x x bx b =++为常数)，()()().h x f x g x =-（1）若函数()f x 在原点的切线与函数()g x 的图象也相切，求b ；（2）当2b =-时，[]12,0,1x x ∃∈，使12()()h x h x M -≥成立，求M 的最大值；（3）若函数()h x 的图象与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<，证明：1202x x h +⎛⎫'⎪⎝⎭＜华二附中高三期中数学试卷2023.11一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.不等式221x x -≥-的解集为___________.【答案】[)0,1【分析】根据移项，通分，将分式不等式化为()10x x -≤且1x ≠，即可求解.【详解】有已知得2201x x --≥-，()212011x x x x ---≥--，01x x -≥-，01x x ≤-,即()10x x -≤且1x ≠，则不等式的解集为[)0,1，故答案为：[)0,1.2.已知3,0,cos 225ππαα⎛⎫⎛⎫∈--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α=________．【答案】2425-##0.96-【分析】先求得3sin 5α=-，4cos 5α=，再利用二倍角正弦公式即可求得sin 2α的值.【详解】因为π,02α⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且5os 3si 2n παα⎛⎫-= ⎪=-⎝⎭，则4cos 5α=，则3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯-⨯=-⎪⎝⎭故答案为：2425-.3.设252i1i iz +=++，则z =________．【答案】12i +##2i 1+【分析】由题意首先计算复数z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得()252i 2i 2i 2i2i 112i 1i i 11i i 1z +++-=====-++-+-，则12i z =+.故答案为：12i +.4.钝角ABC中，3,60a b A === ，则ABC 的面积是__________.【答案】334【分析】利用余弦定理与面积公式即可得【详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，代入数据2793c c =+-，解得1c =或2c =，因为ABC 是钝角三角形，22222cos 022a c b c B ac ac+--==<，所以1c =，所以ABC 的面积是1sin 24bc A =.故答案为：45.圆2222210x y ax ay a a +++++-=的半径的最大值为______.【答案】3【分析】化为圆的标准方程求出半径，根据a 的范围利用抛物线的单调性可得答案.【详解】由2222210x y ax ay a a +++++-=可得()2223124a x y a a a ⎛⎫+++-⎝=-+ ⎪⎭，当23104a a --+>表示圆，即解得a 的取值范围是22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，=，2324433y a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭是开口向下对称轴为23a =-的抛物线，在22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，在22,33⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减，所以23a =-时最大值为233.故答案为：233．6.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =_______．【答案】85-【分析】由题意知公比1q ≠，设首项为1a ，由6221S S =求出2q ，再代入4S 求出11a q-，由此求得8S ．【详解】等比数列{}n a 中，45S =，6221S S =，显然公比1q ≠，设首项为1a ，则41(1)51a q q-=--①，6211(1)21(1)11a q a q q q --=--②，化简②得42200q q +-=，解得24q =或25q =-（不合题意，舍去），代入①得1113=-a q ，所以844118(1)1(1)(1)(15)(116)85113a q a S q q q q -==-+=⨯-⨯+=---．故答案为：85-7.已知a b 、满足21a b += ，且()1,1a =- ，则b 在a 上数量投影的最小值为________．【答案】12+-【分析】据题意设(,)b x y =，代入条件可推得点(,)x y 在以11(,)22-为圆心，半径为12的圆上运动，再根据数量投影概念得出数量投影与x y -有关，利用直线和圆的位置关系求得x y -的范围，进而求出数量投影最小值．【详解】设(,)b x y = ，则2(21,21)a b x y +=+-，由|2|1a b += ，可得22(21)(21)1x y ++-=，即22111()()224x y ++-=，所以点(,)x y 在以11(,)22-为圆心，半径为12的圆上，又b 在a上数量投影为a b a b b a a b⋅⋅⋅==，令x y t -=，则由直线0x y t --=与圆22111()()224x y ++-=有公共点，12≤，即12t +≤，解得222112112222t +---≤≤-+⇒-≤，故b 在a上数量投影的最小值为12+-．故答案为：122+-．8.正四面体ABCD 的棱长为2，则所有与A ，B ，C ，D 距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为______．3【分析】根据题意知，到正四面体ABCD 四个顶点距离相等的截面分为两类：一类是由同一顶点出发的三条棱的中点构成的三角形截面，这样的截面有4个；另一类是与一组相对的棱平行，且经过其它棱的中点的四边形截面，这样的截面有3个；求出所有满足条件的截面面积之和即可．【详解】设E 、F 、G 分别为AB 、AC 、AD 的中点，连结EF 、FG 、GE ，则EFG 是三棱锥A BCD -的中截面，可得平面//EFG 平面BCD ，点A 到平面EFG 的距离等于平面EFG 与平面BCD 之间的距离，A ∴、B 、C 、D 到平面EFG 的距离相等，即平面EFG 是到四面体ABCD 四个顶点距离相等的一个平面；正四面体ABCD 中，象EFG 这样的三角形截面共有4个．正四面体ABCD 的棱长为2，可得1EF FG GE ===，EFG ∴ 是边长为1的正三角形，可得13sin6024EFG S EF FG =⋅⋅=；取CD 、BC 的中点H 、I ，连结GH 、HI 、IE ，EI 、GH 分别是ABC 、ADC 的中位线，∴1//2EI AC ,1//2GH AC 得//EI GH ∴四边形EGHI 为平行四边形；又AC BD = 且AC BD ⊥，1//2EI AC ，1//2HI BD EI HI ∴=且EI HI ⊥，∴四边形EGHI 为正方形，其边长为112AB =，由此可得正方形EGHI 的面积1EGHI S =；BC 的中点I 在平面EGHI 内，B ∴、C 两点到平面EGHI 的距离相等；同理可得D 、C 两点到平面EGHI 的距离相等，且A 、B 两点到平面EGHI 的距离相等；A ∴、B 、C 、D 到平面EGHI 的距离相等，∴平面EGHI 是到四面体ABCD 四个顶点距离相等的一个平面，且正四面体ABCD 中，象四边形EGHI 这样的正方形截面共有3个，因此，所有满足条件的正四面体的截面面积之和等于34343134EFG EGHI S S +=⨯+⨯= ．3．【点睛】本题主要考查了正四面体的性质、点到平面距离的定义、三角形面积与四边形形面积的求法等知识，属于难题．9.设n ∈N *，a n 为(x ＋4)n －(x ＋1)n 的展开式的各项系数之和，1222...555n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()()222n n t b t -+-+(t ∈R )的最小值为____.【答案】12【分析】根据展开式求出系数和得52nnn a =-，求出22n n n b -=，将()()222n n t b t -+-+转化为点2,2n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭到(),2t t -的距离的平方，结合几何意义即可得解.【详解】a n 为(x ＋4)n －(x ＋1)n 的展开式的各项系数之和，即52n n n a =-，522155n n n n-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，考虑()20,,2255nf n n n N n n *⎛⎫=>∈+< ⎪⎝⎭，()()()()12112151525n nn f n n f n nn +⎛⎫+ ⎪++⎝⎭==<⎛⎫⎪⎝⎭，所以()20,5nf n n n N *⎛⎫=>∈ ⎪⎝⎭递减，所以()220,55nf n n ⎛⎫⎛⎤=∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以2155n n n na n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，212...12n n n b n -=+++-=，()()()22222222n n n n t b t n t t ⎛⎫--+-+=-+-+ ⎪⎝⎭，可以看成点2,2n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭到(),2t t -的距离的平方，即求点2,2n nn⎛⎫-⎪⎝⎭到直线2y x=-的距离最小值的平方，由图可得即求点()1,0或()2,1到直线20x y+-=的距离的平方，即212=故答案为：12【点睛】此题考查求二项式系数，数列增减性与求和，通过几何意义转化求解代数式的最值，涉及转化与化归思想和数形结合思想.10.已知抛物线2(0)y ax a=>，在y轴正半轴上存在一点P，使过P的任意直线交抛物线于M N、，都有2211||||MP NP+为定值，则点P的坐标为________．【答案】10,2a⎛⎫⎪⎝⎭【分析】设直线MN的解析式为y kx m=+，联立方程组，利用一元二次方程根与系数的关系和两点间的距离公式，化简整理，即可得到点P的坐标．【详解】设(0,)P m．设直线MN的解析式为y kx m=+，联立2(0)y ax a=>得到：22ax kx m ax m kx=+-=，，整理，得20ax kx m--=，则1212,k mx x x xa a+==-设221122(,),(,),M x ax N x ax则()()222222222222111222()1,()1PM x m ax k x PN x m ax k x=+-=+=+-=+∴22122222212111||||1,x xMP NP k x x++=⨯+()2121222212211,x x x xk x x+-=⨯+222211k m a a k m a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯+⎛⎫- ⎪⎝⎭222121k am k m +=⨯+即存在12m a=时，222114||||a MP NP +=，即存在10,2P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得2211||||MP NP +为定值24a故答案为：10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭．11.某学校有如图所示的一块荒地，其中60m AB =，40m AD =，45m BC =，π2DAB ∠=，2π3ABC ∠=，经规划以AB 为直径做一个半圆，在半圆外进行绿化，半圆内作为活动中心，在以AB 为直径的半圆弧上取,E F 两点，现规划在OEF 区域安装健身器材，在OBE △区域设置乒乓球场，若BOE EOF ∠=∠，且使四边形AOEF 的面积最大，则cos EOF ∠=______．【答案】3318-【分析】设O BOE E F θ∠∠==，先求得四边形OEFA面积的表达式，然后利用导数求得当1cos 8θ-=时，四边形AOEF 的面积最大.【详解】设O BOE E F θ∠∠==，根据题意易知π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∵OF OA =，OAF △为等腰三角形，且OFA OAF ∠=∠，又∵BOF OFA OAF ∠=∠+∠，∴EOF OFA OAF θ∠=∠=∠=，∴//OE FA ，∴四边形OEFA 为梯形，则四边形OEFA 面积：()()13030sin π2sin 450sin sin 22S θθθθ⎡⎤=⨯⨯⨯-+=+⎣⎦，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()2450cos 2cos 24504cos cos 2S θθθθ=+=+-'，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令0S '=，则24cos cos 20θθ+-=，解得331cos 8θ=（舍）或331cos 8θ-=，设为φ为1cos 8θ-=所对应的角，∵cos y θ=在π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，∴()0,θϕ∈时，331cos ,18θ⎛⎫-∈ ⎪⎪⎝⎭，()24504cos cos 20S θθ'=+->，S 单调递增，∴π,2θϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，331cos 0,8θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()24504cos cos 20S θθ'=+-<，S 单调递减．∴当331cos 8θ-=时，面积最大，即331cos 8EOF -∠=．故答案为：3318．【点睛】方法点睛：求解面积最大值或最小值有关问题，可先将面积的表达式求出，然后根据表达式选取合适的方法来求最值.可以考虑的方向有函数的单调性、二次函数的性质、基本不等式、三角函数值域、导数等知识.12.M 是正整数集的子集，满足：1,2022,2023M M M ∈∈∉，并有如下性质：若a 、b M ∈，则M ∈，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则M 的非空子集个数为________．【答案】202221-【分析】根据题意，先判断M 中相邻两数不可能大于等于2，可得2，3，⋯，2021M ∈，从而求出M ，再根据子集的个数与集合元素个数之间的关系即可得答案．【详解】由题意可知：若x ，()y M x y ∈<，则1x +，2x +，⋯，1y -均属于M ，而事实上，若2y x -≥，中12x yx y ++≤<<，所以11x y +≤≤-，故[x ，]y 中有正整数，从而M 中相邻两数不可能大于等于2，故2，3，⋯，2021M ∈，若2024p ≥，p M ∈，则有2023M ∈，与2023M ∉矛盾，当2022a b ==2022=，当1a b ==时，则1=，所以[1∈，2022]，所以{1M =，2，⋯，2022}，所以非空子集有202221-个．故答案为：202221-．【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知集合{3,2,0,1,2,3,7},{,}A B xx A x A =--=∈-∉∣，则B =（）A.{0,1,7}B.{1,7}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3,7}【答案】B【分析】根据集合的描述法及元素与集合的关系求解.【详解】因为{3,2,0,1,2,3,7}A =--，{,}B xx A x A =∈-∉∣，所以{1,7}B =.故选：B.14.对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）A.2431r r r r <<<B.4231r r r r <<<C.4213r r r r <<<D.2413r r r r <<<【答案】A【分析】根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．【详解】由给出的四组数据的散点图可以看出，图1和图3是正相关，相关系数大于0，图2和图4是负相关，相关系数小于0，图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以1r 接近于1，2r 接近于1-，由此可得24310r r r r <<<<．故选:A.15.已知函数()sin 2f x x π=，任取t ∈R ，记函数()f x 在[,1]t t +上的最大值为t M ，最小值为t m ，设()t t h t M m =-，则函数()h t 的值域为（）A.212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.221,122⎡-+⎢⎣⎦C.12⎡-⎢⎣⎦D.,122+⎣⎦【答案】C【分析】考虑一个周期内()h t 的情况，根据t 的取值，求得()h t 的解析式，结合三角函数的值域，求该函数值域即可.【详解】因为()444t t h t M m +++=-，其中44,t t M m ++分别是指()f x 在区间[]4,5t t ++上的最大值和最小值，因为()f x 的周期242T ππ==，故()f x 在区间[]4,5t t ++的图象与在区间[],1t t +上的图象完全相同，故44,t t t t M M m m ++==，故()()4h t h t +=，即()h t 是周期为4的函数，故(),R h t t ∈的值域与()[],2,2h t t ∈-时的值域相同；又()f x 在[]2,1--单调递减，[]1,1-单调递增，在[]1,2单调递减，故当32,2t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()sin 2f t t π=，最小值为1-，此时()sin 12h t t π=+；当3,12t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()1sin cos 222f t t t πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，最小值为1-，此时()cos12h t t π=+；当[)1,0t ∈-时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()1cos2f t t π+=，最小值为()sin 2f t t π=，此时()cossin 22h t t t ππ=-24t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为1，最小值为()sin 2f t t π=，此时()1sin 2h t t π=-；当1,12t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为1，最小值为()1cos 2f t t π+=，此时()1cos 2h t t π=-；当[]1,2t ∈时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()sin2f t t π=，最小值为()1cos 2f t t π+=，此时()sincos 22h t t t ππ=-24t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；故()h t 在[]22-,的函数图象如下所示：数形结合可知，()h t 的值域为212⎡-⎢⎣.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数值域的求解，涉及三角函数值域的求解；处理问题的关键是能够根据题意，找到()h t 的周期，同时要对t 进行分类讨论求()h t 的解析式，属综合困难题.16.已知曲线:1(0,)n nx yC n n a b+=>∈R ．当4,2,1n a b ===时，①曲线C 所围成的封闭图形的面积小于8；②曲线C 上的点到原点O 的距离的最大值为1417．则（）A.①成立②成立B.①成立②不成立C.①不成立②成立D.①不成立②不成立【答案】A【分析】根据曲线在一个长为4，宽为2的矩形内部判断①正确，利用三角换元计算得到②正确，【详解】因为曲线:1(0,)n nx yC n n a b+=>∈R ．所以，当4,2,1n a b ===时，曲线44:116xC y +=，对①：因为44121162x y x ≤⇒-≤-≤=，当且仅当0y =时取等号，44611111x y y -⇒-=≤≤≤，当且仅当0x =时取等号，故曲线在一个长为4，宽为2的矩形内部，故曲线C 所围成的封闭图形的面积小于248⨯=，正确；对②：设曲线上一点为(,)M x y ，则44116x y +=，设224cos sin x y θθ⎧=⎨=⎩，M 到原点的距离的平方为224cos sin )x y θθθϕ+=+=+，[0,2πθ∈，tan 4ϕ=，当sin()1θϕ+=时，距离平方有最大值为，故距离的最大值为1417，正确．故选：A ．三、解答题（本大题共有5题满分78分）解下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.甲乙两人进行乒乓球比赛，现约定：谁先赢3局谁就赢得比赛，且比赛结束．若每局比赛甲获胜的概率为13，乙获胜的概率为23．（1）求甲赢得比赛的概率；（2）记比赛结束时的总局数为X ，写出X 的分布列，并求出X 的期望值．【答案】（1）1781（2）分布列见详解，()10727E X =.【分析】（1）根据题意，求出甲胜共进行3局，4局，5局的概率，再利用互斥事件的概率公式求解；（2）X 的可能值为3，4，5，分别求出每种情况的概率，按照步骤求分布列即可.【小问1详解】比赛采用5局3胜，甲赢得比赛有以下3种情况：①甲连赢3局：3111327P ⎛⎫== ⎪⎝⎭；②前3局2胜1负，第4局甲赢：22231212C 33327P 骣骣骣琪琪琪==琪琪琪桫桫桫;③前4局甲2胜2负，第5局甲赢：222341218C 33381P 骣骣骣琪琪琪==琪琪琪桫桫桫，所以甲赢得比赛的概率为1231781P P P ++=.【小问2详解】X 可以取3，4，5所以()331213333P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()22241285C 3327P X 骣骣琪琪===琪琪桫桫,()18104132727P X ==--=,由此可得X 的分布列为：X345P131027827所以()11081073453272727E X =⨯+⨯+⨯=.18.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB BC PC ====，（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PC B --的大小．【答案】（1）证明见解析（2）π3【分析】（1）先由线面垂直的性质证得PA BC ⊥，再利用勾股定理证得BC PB ⊥，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC 与平面PBC 的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【小问1详解】因为PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，同理PA AB ⊥，所以PAB 为直角三角形，又因为PB ==1,BC PC ==所以222PB BC PC +=，则PBC 为直角三角形，故BC PB ⊥，又因为BCPA ⊥，PA PB P = ，所以BC ⊥平面PAB .【小问2详解】由（1）BC ⊥平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，则BC AB ⊥，以A 为原点，AB 为x 轴，过A 且与BC 平行的直线为y 轴，AP 为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0)A P C B ，所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)AP AC BC PC ====-，设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z = ，则0m AP m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即1110,0,z x y =⎧⎨+=⎩令11x =，则11y =-，所以(1,1,0)m =-，设平面PBC 的法向量为()222,,x n y z = ，则0n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200y x y z =⎧⎨+-=⎩，令21x =，则21z =，所以(1,0,1)n =，所以1cos ,2m n m n m n⋅===，又因为二面角A PC B --为锐二面角，所以二面角A PC B --的大小为π3.19.已知函数()()cos2,sin f x x g x x ==．（1）判断函数()ππ42H x f x g x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的奇偶性，并说明理由；（2）设函数()()πsin 0,02h x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭，若函数π2h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和()πh x -都是奇函数，将满足条件的ω按从小到大的顺序组成一个数列{}n a ，求{}n a 的通项公式．【答案】19.非奇非偶函数，理由见解析20.*2N 3n a n n =∈，【分析】（1）函数()sin 2cos H x x x =-+，为非奇非偶函数．运用奇偶性的定义即可得到；（2）由奇函数和诱导公式可得ππ2k ωϕ+=，()ππ,Z l k l ϕω-=∈，解得2()3k l ω=-，即可得到所求通项公式【小问1详解】函数()ππππcos 2sin 4222H x f x g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 2cos x x =-+，为非奇非偶函数．理由：定义域为R ，()sin 2()cos()sin 2cos ()H x x x x x H x -=--+-=+≠，且()()H x H x -≠-，即有()H x 为非奇非偶函数；【小问2详解】函数π2h x ⎛⎫+⎪⎝⎭和()πh x -都是奇函数，即有πsin 2x ωωϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭和()sin πx ωϕω+-均为奇函数，则ππ2k ωϕ+=，()ππ,Z l k l ϕω-=∈，解得2()3k l ω=-，由于0ω>，k ，Z l ∈，则*2N 3n n ω=∈，．故数列{}n a 的通项公式为*2N 3n a n n =∈，20.过坐标原点O 作圆22:(2)3C x y ++=的两条切线，设切点为,P Q ，直线PQ 恰为抛物2:2,(0)E y px p =>的准线.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点,,,A B M N 满足：2,2TA TM TB TN ==，设AB 中点为D .（i ）求直线TD 的斜率；（ii ）设TAB △面积为S ，求S 的最大值.【答案】（1）22y x =（2）（i ）0；（ii ）48【分析】（1）设直线PQ 与x 轴交于0,02p P ⎛⎫-⎪⎝⎭，由几何性质易得：20CP CP CO =⋅，即可解决；（2）设()()()001122,,,,,T x y A x y B x y ，（i ）中，由于TA 中点M 在抛物线E 上，得20101222y y x x ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，将()()1122,,,A x y B x y ，代入联立得D 点纵坐标为1202y y y +=，即可解决；（ⅱ）由（i ）得点200034,2y x D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1213222S TD y y =⋅-=，又点T 在圆C 上，得2200041y x x =---，可得：322S =即可解决.【小问1详解】设直线PQ 与x 轴交于0,02p P ⎛⎫-⎪⎝⎭.由几何性质易得：0CPP 与OCP △相似，所以CP CO CP CP=，20CP CP CO =⋅，即：3222p ⎛⎫-⎝+⎪⎭=⋅，解得：1p =.所以抛物线E 的标准方程为：22y x =.【小问2详解】设()()()001122,,,,,T x y A x y B x y （i ）由题意，TA 中点M 在抛物线E 上，即20101222y y x x ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，又2112y x =，将2112y x =代入，得：2210100240y y y x y -+-=，同理：2220200240y y y x y -+-=，有1202120024y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩，此时D 点纵坐标为1202y y y +=，所以直线TD 的斜率为0.（ⅱ）因为()222212120012122342442y y y y y x x x y y +--++===，所以点200034,2y x D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时1212S TD y y =⋅-，2200000343222y x TD x y x -=-=-，12y y -=所以322S =又因为点T 在圆C 上，有()220023x y ++=，即2200041y x x =---，代入上式可得：323222S ==由022x -≤-≤+，所以03x =-时，S取到最大价32482=.所以S 的最大值为48.21.已知函数()()ln 1f x x =+，2()1(g x x bx b =++为常数)，()()().h x f x g x =-（1）若函数()f x 在原点的切线与函数()g x 的图象也相切，求b ；（2）当2b =-时，[]12,0,1x x ∃∈，使12()()h x h x M -≥成立，求M 的最大值；（3）若函数()h x 的图象与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<，证明：1202x x h +⎛⎫'⎪⎝⎭＜【答案】（1）3b =或1-；（2）ln 21+；（3）证明过程见解析.【分析】（1）计算()f x 在原点的切线方程，然后与()g x 联立，利用Δ0=，计算即可.（2）求得()h x '，判断函数()h x 单调性，根据条件等价于()()max min h x h x M -≥，简单计算即可.（3）利用()()1200h x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求得()()211221ln 1ln 1x x x x b x x +-+++=-，然后计算122x x h +⎛⎫' ⎪⎝⎭，并利用等价条件可得()21221121ln 021x x x x x x -+-<+++，构建新函数并采取换元2111x t x +=+，求导计算即可.【小问1详解】由()11f x x '=+，所以()()01,00f f ='=，所以函数()f x 在原点的切线方程为：y x =，将该切线方程代入()g x 可得：()2110x b x +-+=，依据题意可得()21403b b ∆=--=⇒=或1-，所以3b =或1-；【小问2详解】当2b =-时，()2()ln 121h x x x x =+-+-，()21322211x h x x x x -=-+='++，当[]0,1x ∈时，()0h x '>，所以()h x 在[]0,1单调递增，则()()()()max min 1ln 2,01h x h h x h ====-，由题可知：[]12,0,1x x ∃∈使得()()12h x h x M -≥成立等价于()()max min h x h x M -≥，所以ln 21M ≤+，所以M 的最大值为ln 21+；【小问3详解】由题可知：()()()()2111122222ln 110ln 110h x x x bx h x x x bx ⎧=+---=⎪⎨=+---=⎪⎩，所以两式相减可得：()()211221ln 1ln 1x x x x b x x +-+++=-，由1()21h x x b x '=--+，所以()121212222x x h x x b x x +⎛⎫'=-++ ⎪++⎝⎭，所以()()21121221ln 1ln 1222x x x x h x x x x +-++⎛⎫'=- ⎪++-⎝⎭，由120x x <<，要证1202+⎛⎫'< ⎪⎝⎭x x h ，即证()21221121ln 021x x x x x x -+-<+++，即()()()()2122112111ln 0111x x x x x x +-+⎡⎤+⎣⎦-<++++，令()21111x t t x +=>+，所以即证明：22ln 01t t t --<+，令()()22ln 11t m t t t t -=->+，所以()()()2211t m t t t '--=+，当1t >时，()0m t '<，所以()m t 在()1,+∞单调递减，所以()()10m t m <=，所以1202+⎛⎫'< ⎪⎝⎭x x h .【点睛】关键点睛：第（1）问关键在于求得切线方程；第（2）问在于使用等价转化()()max min h x h x M -≥；第（3）问在于化简得到()()211221ln 1ln 1x x x x b x x +-+++=-，然后进行换元计算.。
上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三数学下学期开学考试试题含解析
上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三数学下学期开学考试试题（含解析）一.填空题，则，设全集1.，若集合______【答案】【解析】【分析】.先求出得解，再求【详解】由题得，所以···}.-3,-2,2,3,4,5,={···，故答案为：【点睛】本题主要考查集合补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.计算：2.______【答案】【解析】【分析】. ，即得解，求出设.，设【详解】∵.所以所以.所以故答案为：【点睛】本题主要考查反三角函数的计算，考查同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.3.已知向量________，则，13 【答案】【解析】【分析】- 1 -.由题得，即得.【详解】由题得，∴13故答案为：【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算，意在考查学生对这些知. 识的理解掌握水平和分析推理计算能力________4.，那么如果复数满足1 【答案】【解析】【分析】的值，再求，所以方程没有实数根，由求根公式求出z由题得. |z|的大小得解，所以，所以方程没有实数根，【详解】∵1故答案为：【点睛】本题主要考查复数方程的解法和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌. 握水平和分析推理计算能力________5.）的反函数（【答案】（）【解析】【分析】. ,再求出原函数的值域即得反函数求出）（，设）所以,，【详解】设（.因x≥0，所，所以y≥0，所以反函数因为x≥0，所以，.，故答案为：【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的. 理解掌握水平和分析推理计算能力________方程6.的解为- 2 -【答案】2【解析】【分析】，即，解方程再检验即得解由题得.【详解】. 经检验，当x=-10时，原方程没有意义，x=2是原方程的解2故答案为：【点睛】本题主要考查对数函数的运算和对数方程的解法，考查对数函数的定义域，意在考. 查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力________81的二项展开式中，所有项的系数之和为在7.，则常数项为8 【答案】【解析】【分析】.由题得再利用二项式展开式的通项求常数项得解，所以n=4,得】由为式二n=4, ，所以项展开的通项题【详解，令..所以常数项为8故答案为：【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和问题，考查二项式展开式特定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.8.已知离心率为2的双曲线的焦点到最近准线的距离等于3，则该双曲线的焦距为________ 【答案】8【解析】【分析】，，且，即得双曲线的焦距，解方程组即得.- 3 -8.，∴，【详解】，所以该双曲线的焦距为，且8故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和.分析推理计算能力________9.已知一个圆柱的表面积和体积都等于，则其轴截面的面积为36 【答案】【解析】【分析】. ，，再求其轴截面的面积由题得.，【详解】由题得，所以36故答案为：【点睛】本题主要考查圆柱的表面积和体积的计算，考查圆柱轴截面的面积的计算，意在考. 查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力时，他投，首先，他令胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列10.，当的概率，否则，令，即令一次骰子，若所得点数大于，则 ______（结果用最简分数表示）．为【答案】【解析】【分析】.的概率轮，要使得胡涂涂同学掷了3，分两种情况讨论，再利用古典概型求、11，胡涂涂同学掷了3轮，二轮点数为有两种情况，要使得，①一轮点数为【详解】，三轮点数26，二轮点数为1、、、，三轮点数为5、61；②一轮点数为23、45、、、、234 为1；.∴由古典概型得所求的概率故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌.握水平和分析推理计算能力已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为11.- 4 -_______【答案】【解析】【分析】=1. 22，先求出单位圆直观图的方程(x-y)+8y为了简化问题，我们可以设单位圆x2+y2=1，a画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，椭圆经过了适当旋转，OC 即为椭圆的，ba和，我们可以求出b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为bOD即为椭圆的.从而推导出离心率，第（cosθ，sinθ），即圆上的点P2+y2=1x【详解】为了简化问题，我们可以设单位圆，第二步变换，绕着一步变换，到它在x轴的投影的距离缩短一半，即（cosθ，0.5sinθ），所以据此得到单位圆的直观图（cosθ+45°，即投影点顺时针旋转sinθ，sinθ）sinθ，θ为参数，消去参数可得方，sinθ程y=方程参的数为，x=cosθ+为，=1.2(x-y)+8y2得到单位圆的直观图后，和上面一样，我们画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，当然就相当完美了！A、B处均与椭圆相切，并且可以轻易发现，椭圆的长轴其实已经不在x轴上了- 5 -，根据椭圆上的点到原点的距离b，OD即为椭圆的该椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a. ，从而推导出离心率a和b最大为a，最小为b，我们可以求出sinθ）到原点的距离的平方为椭圆上的点（cosθ+sinθ，=，所以，所以故答案为：【点睛】本题主要考查直观图的画法，考查圆的直观图的方程的求法，考查三角恒等变换和三角函数的最值，考查椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析. 推理能力是（）的下列结论：①，关于函数的，12.设R、取得最小值；③函数；④的最小值是零点；②3中有且时，函数- 6 -________仅有一个是错误的，则-17 【答案】【解析】【分析】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，所以，且，.，解方程组得且，0ac【详解】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，由②得，（因为如果＜）且.c＜0，则函数在定义域内也没有最小值则函数在定义域内没有最小值，如果a＜0，，.且，解方程组得，-17故答案为：【点睛】本题主要考查分析推理，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解. 掌握水平和分析推理能力二.选择题”的（13.的各项的和为已知无穷等比数列，则“）”是“ B. 充分非必要条件A. 充要条件既非充分也非必要条件D. 必要非充分条件C.A 【答案】【解析】【分析】再利用充要条件的先根据已知得＜，因为，所以S0，所以0.，. 定义判断得解0.【详解】由题得0，所以＜S，因为，，∴.”的是充要条件∴“”是“A故答案为：项和，考查充要条件的判断，意在考查学生对这n【点睛】本题主要考查无穷等比数列的前.些知识的理解掌握水平和分析推理能力- 7 -、、）无解，则必有（ 14.的方程组：）已知关于（其中D.C.A. B.B 【答案】【解析】【分析】，其中不同时为1、.所以当ab=1,且a,b由方程组得x+b(1-ax)=1,所以（1-ab）x=1-b无解，再利用基本不等式分析得解.【详解】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.、1，，其中所以当ab=1,且a,b不同时为.∴，即:B故选【点睛】本题主要考查基本不等式，考查解方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 和分析推理能力已知（R）图像的交点不可能（，则函数15.）与）（R在直线 C. 多于三个A. 只有D. 在第二象上 B.限C 【答案】【解析】【分析】）图像与单调性，分四个象限讨论每一个象限交点的（RR）与结合函数（最多个数得解.（【详解】结合函数）与R（R）图像与单调性可知，在第一象限，最多有个交点，在第三、第四象限，因为函数R）在第2个交点，在第二象限，最多有1（三、四象限没有图像，所以它们的图像在第三、四象限没有交点，∴最多只有3个交点. 故选:C【点睛】本题主要考查幂函数和指数函数的图像和性质，考查函数的图像的交点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.方程416.已知是周期为的奇函数，且当，时，在- 8 -，则方程区间）内有唯一解在区间上所有解的和为（ C. 3053234D. 3055252B. 036162A.D 【答案】【解析】【分析】均有三个解，的图像，分析得到在在同一个坐标系下作出函数y=为解的在区和上间所有称，且均有对性，所以，】解【详2×1=2，第0,2结合图像对称性，可知，在（上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为，所以在（2+2=4，0,2上的三个解的和为三个交点的横坐标为2，4上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2,4 在（2×3=6，第三个交点的横坐标为，2,4上的三个解的和为所以在（6+4=10均有三个解，，且均有对称性，所以结合图像对称性，可知，在上所有解的和为∴在区间，D故选：【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查函数的奇偶性、周期性和对称性，考查函数的零点问题，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合.分析推理能力解答题三..、17.如图，三棱锥中，、、均为直角，，- 9 -1）求三棱锥的体积；（.）求异面直线所成角的大小（2与 (2)(1) 【答案】【解析】【分析】为坐以点B.(2) BCD,（1）由题得AB⊥平面，再求出三棱锥的体积先求出轴建立空间直角坐标系，利用向量法所在直线为z所在的直线为y轴，以BA标原点，以BD.求异面直线所成角的大小与BCD,AD=AB⊥平面1）由题得【详解】 ,BD=，（所以三棱锥.的体积,所以）2（轴建立空间直zBAyBDB如图所示，以点为坐标原点，以所在的直线为轴，以所在直线为- 10 -B(0,0,0),A(0,0,1),角坐标系，则,,所以所以异面直线，与所成角的余弦.所成角为与∴异面直线【点睛】本题主要考查三棱锥体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间观察想象分析推理能力.，函数18..R设）若，解不等式；（1，使得上单调递增. （2）求所有的在区间(1) 【答案】 (2)【解析】【分析】）由题得1再解不等式得解.(2)（在区间分类讨论，，数形结合分析得到使得和上单调递增. 的a的取值范围】（1解）由题得【详.，即，二次函数）若（2在区间y=，上单调递增.∴；，，；当，当，，明显符合，所以此时. 综上，【点睛】本题主要考查对数函数的图像和性质，考查对数函数不等式的解法，考查函数的单- 11 -调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.如图，某小区要建四边形的花坛，两邻边用夹角为19.150°的两面墙，另两边是长度均.为8米的篱笆、平方米，求的长（结果精确到）若0.01米），；（1面积的最大值（结果精确到）若要求0.01平方米），求花坛（2.(1)10.05 (2) 平方米【答案】【解析】【分析】①，因为，由正弦定理得（1，即所以）设显然BD,，再利用余弦定理和基本不等式求②，解①②即得解.(2) 连接.，再求花坛出面积的最大值，由正弦定理得）设，，∴（【详解】1②，因为所以.解①②得.所以由正弦定理得,,显然2（）连接BD,由余弦定理得平方米. ，即最大值为∴【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算和最值，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.已知抛物线，直线、（），与20.恰有一，与恰有一个公共点，个公共点与交于点.（1）当时，求点到准线的距离；（2）当与不垂直时，求的取值范围；- 12 -和且）设的夹角大小. （3是平面上一点，满足，求(3)(1) (2) 【答案】【解析】【分析】恰有一个公共点，，因为），，所以（1与点和方程出抛物线的准准线的距离.（2）线得由可，再求到以.(3) 由题得，所得得，再立与求与出，联，联立，求得，根据，和，即得得解方程，所以的夹角为.，（1，）【详解】，恰有一个公共点∵，与，∴准线的距离到准线为，所以点因为抛物线.得，可得）由（2，消去，，∴整理得得与，联立，联立得3（与）由题得，联立得，∵，与，∴a得）问结论，，，，消去由第（2，据此，，∵∴的夹角为和，解得∴，，∴.- 13 -【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查平面向量的运算和直线夹角的计算，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.时，，，若数列，且当设满足：对所有，21.满足为“，函数则称，数列数列”，设R，（）.数列，求的值；，而是）若（1存在但对任意，证明：都不是使得（2），设数是数列，，列；是（，证明：对任意）设，使得数列，都存在.3(1) (2)见证明；(3)【答案】见证明【解析】【分析】先证明当分，）.(2) ，，（1两种情况讨论得到，即满足，所以是只需数列，，且当，所以不，，且当，所，即满足，只需，数列；再证明当是m为奇数，在归纳，得到：以当是不所，以数是列.(3)通过数列有解，存在；，m有解，存在为偶数，在当，.，所以对任意都存在再结合函数映射性质可知，，当时，，.是数列使得，），1；，，当（【详解】.当，不符；综上所述，，，- 14 -数列，也不是，，…，既不是，数列；（2，）当，数列，也不是，，数列；当，…，既不是，，数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是，，，，，，…，只需当，，∴不是，且当，数列；即满足，∴是数列，，当，，，，，…，只需，，∴不是，数列，即满足，∴是，且当数列；都不是数列，使得，是综上，存在数列，但对任意.，，当）有解，存在；3（；，，当有解，存在；，当，有解，存在有解，存在，当；，……，m存在当为奇数，有解，，在；m有解，存在为偶数，在；，当时，，结合函数映射性质可知，当.，都存在是，使得数列∴对任意【点睛】本题主要考查对新定义的理解掌握，考查利用新定义解决问题的能力，考查数列性质的运用和证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.- 15 -。
2024-2025学年华东师大二附中高一数学上学期期中考试卷及答案解析
上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷1. 用Î或Ï填空：0______f .【答案】Ï【解析】【分析】空集中没有任何元素．【详解】由于空集不含任何元素，∴0ÏÆ．故答案为Ï．【点睛】本题考查元素与集合的关系，关键是掌握空集的概念．2. 实数a ，b 满足31a -££，13b -££，则3a b -的取值范围是________．【答案】[]12,4-【解析】【分析】根据题意利用不等式的性质运算求解.【详解】因为31a -££，13b -££，则933a -££，31b -£-£，可得1234a b -£-£，所以3a b -的取值范围是[]12,4-.故答案为：[]12,4-.3. 若全集{}2,3,5U =，{}2,5A a =-，{}5A =，则a 的值是______．【答案】2或8【解析】【分析】由53a -=即可求解.【详解】因为{}2,3,5U =，{}2,5A a =-，且{}5A =，所以53a -=，解得2a =或8a =.故答案为：2或8.4. 命题“1x >”是命题“11x<”的______条件.【答案】充分不必要【解析】【分析】解出不等式11x<，根据真子集关系即可【详解】11x <，即10x x -<，即()10x x -<，即()10x x -<，解得1x >或0x <，则“1x >”能推出“1x >或0x <”，而“1x >或0x <”不能推出 “1x >”，故命题“1x >”是命题“11x<”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.5. 已知0x >，则812x x --的最大值为_____________.【答案】7-【解析】【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为0x >，所以828x x +³=，当82x x=，即2x =时等号成立，所以881212187x x x x æö--=-+£-=-ç÷èø，即812x x--的最大值为7-，故答案为：7-.6. 已知(21)y f x =+定义域为(1,3]，则(1)y f x =+的定义域为__________．【答案】(2,6]【解析】【分析】根据3217x <+£可得317x <+£，即可求解.【详解】由于(21)y f x =+定义域为(1,3]，故3217x <+£，因此(1)y f x =+的定义域需满足317x <+£，解得26x <£，故(1)y f x =+的定义域为(2,6]，故答案为：(2,6]7. 已知关于x 的不等式210ax bx ++<的解集为11,43æöç÷èø，则a b +=______．【答案】5【解析】【分析】由题意得11,43是方程210ax bx ++=的两个根，由根与系数的关系求出,a b 即可.【详解】由题意可知，11,43是方程210ax bx ++=的两个根，且0a >，由根与系数的关系得1134b a +=-且11134a´=，解得12,7a b ==-，则5a b +=.故答案为：58. 设1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，则2212x x +的最小值为______.【答案】89【解析】【分析】根据1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，由Δ≥0，解得 23m £，然后由()2212121222x x x x x x ++×=- ，将韦达定理代入，利用二次函数的性质就.【详解】因为1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，所以()()22482320m m m D =-+-³，解得 23m £，所以112222322,2x x x x m m m +=×-=+，则 ()2212121222x x x x x x ++×=- ，()22232222m m m +-=-´， 2232m m =-+， 237248m æö=-+ç÷èø，所以2212x x +的最小值为2237823489æö-+=ç÷èø，故答案为：899. 若函数()f x 满足R x "Î，()()11f x f x +=-，且1x "，[)21,x Î+¥，()()()1212120f x f x x x x x ->¹-，若()()1f m f >-，则m 的取值范围是______.【答案】()(),13,-¥-È+¥【解析】【分析】由题意，()f x 在[)1,+¥上单调递增，函数图像关于1x =对称，利用单调性和对称性解不等式.【详解】因为1x "，[)21,x Î+¥，()()()1212120f x f x x x x x ->¹-，所以()f x 在[)1,+¥上单调递增，R x "Î，()()11f x f x +=-，则函数图像关于1x =对称，若()()1f m f >-，则111m ->--，解得3m >或1m <-.所以m 的取值范围是()(),13,-¥-È+¥.故答案为：()(),13,-¥-È+¥.10. 已知{}{}22230,210,0A x x x B x x ax a =+->=--£>，若A B Ç中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是______．【答案】【解析】【详解】试题分析：由题意，得{}{}223013A x x x x x x =+-=<-或，{}{2210,0=|B x x ax a x a x a =--£££+；因为，所以若A B Ç中恰含有一个整数，则{}2A B Ç=，则，即，两边平方，得，解得，即实数的取值范围为；故填．考点：1．集合的运算；2．一元二次不等式的解法．11. 已知函数()3(1)1f x x =-+，且()()22(1,0)f a f b a b +=>->，则121a b ++的最小值是________.【答案】2【解析】【分析】利用()3(1)1f x x =-+，单调性与对称性，可知，若有()()2f m f n +=，则必有2m n +=成立.再利用基本不等式求121a b ++的最小值即可.【详解】∵3y x =在R 为单调递增奇函数，∴3y x =有且仅有一个对称中心()0,0，∴()3(1)1f x x =-+单调递增，有且仅有一个对称中心()1,1，又∵()()22(1,0)f a f b a b +=>->，∴22a b +=，则()214a b ++=，∴()1211221141a b a b a b æö+=+++éùç÷ëû++èø()411441a b a b +éù=++êú+ë1424é³+=êêë，当且仅当()411a b a b+=+即0,2a b ==时，等号成立，∴121a b++的最小值是2.故答案为：2.12. 如图，线段,AD BC 相交于O ，且,,,AB AD BC CD 长度构成集合{}1,5,9,x，90ABO DCO Ð=Ð=°，则x 的取值个数为________.【答案】6【解析】【分析】画出等效图形，分9AD =和x 两种情况由勾股定理求出对应x 值即可；的【详解】如图，因为90ABO DCO Ð=Ð=°，且,,,AB AD BC CD 长度构成集合{}1,5,9,x ，因为直角三角形ADE 中，斜边AD 一定大于直角边AE 和DE ，所以9AD =或x ，当9AD =时，可分为AE x =，此时由勾股定理可得()222159x ++=，解得x =CE x =，此时由勾股定理可得()222159x ++=，解得5x =；CD x =，此时由勾股定理可得()222519x ++=，解得1x =；当AD x =，可分为()222915x ++=，解得x =()222195x ++=，解得x =；()222519x ++=，解得x =所以x 的取值个数为6，故答案为：6.【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够画出等效图形再结合勾股定理解答.13. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A. 2(),()x f x x g x x== B. ()(),()()f x x x R g x x x Z =Î=ÎC. ,0(),(),0x x f x x g x x x ³ì==í-<î D. 2(),()f x x g x ==【答案】C【解析】【分析】分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，函数()f x x =的定义域为R ，函数2()x g x x=的定义域为(,0)(0,)-¥+¥U ，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B 中，函数()()f x x x R =Î和()()g x x x Z =Î的定义域不同，不是同一函数；对于C 中，函数,0(),0x x f x x x x ³ì==í-<î与,0(),0x x g x x x ³ì=í-<î定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数；对于D 中，函数()f x x =定义域为R，2()g x =的定义域为[0,)+¥，两函数的定义域不同，不是同一函数.故选：C.【点睛】本题主要考查了同一函数的判定，其中解答中熟记两函数是同一函数的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.14. 设集合A ＝{x |x ＝12m ，m ∈N *}，若x 1∈A ，x 2∈A ，则（ ）A. (x 1+x 2)∈AB. (x 1﹣x 2)∈AC. (x 1x 2)∈AD. 12x x ∈A 【答案】C【解析】【分析】利用元素与集合的关系的进行判定.【详解】设112p x =，212q x =， 则12111222p q p qx x +=×=，因为p 、*N q Î，所以*N p q +Î，则x 1x 2∈A ，故选：C ．15. 如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚在这个过程中，小球的运动速度v （m /s ）与运动时间t （s ）的函数图象如图②，则该小球的运动路程y （m ）与运动时间t （s ）之间的函数图象大致是（ ）的的A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意结合图象分析即可.【详解】由题意，小球是匀变速运动，所以图象是先缓后陡，在右侧上升时，先陡后缓.故选：C.16. 设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ÎN ，定义1,()0,i i A A i A j Îì=íÏî，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ÎN 都满足()0i A B j =I 且()1i A B j =U ；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i A B j =I ()i A j g ()i B j ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i A B j =U ()+i A j ()i B j ；其中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】A【解析】【分析】根据题目中给的新定义，对于*,0i i N A j Î=（）或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．【详解】∵对于*i ÎN ，定义1,()0,i i A A i A j Îì=íÏî，∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*A B A B N \=Æ=I U ，()()01i i A B A B j j \==I U ;，故①正确；对于②，若()0i A B j =I ，则()i A B ÏI ，则i A Î且i B Ï，或i B Î且i A Ï，或i A Ï且i B Ï；()()0i i A B j j \×=；若()1i A B j =I ，则()i A B ÎI ，则i A Î且i B Î； ()()1i i A B j j \×=；∴任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i i A B A i B j j j =×I （）（）；正确，故②正确；对于③，例如：{}{}{}1232341234A B A B ===U ,,,,,,,,,，当2i =时，1i A B j =U （）；()()1,1i i A B j j ==；()()()i i i A B A B j j j \¹+U ； 故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②； 故选：A ．【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17. 已知关于x 的不等式122x a -£的解集为集合A ，40x B x x ìü-=£íýîþ.（1）若x A Î是x B Î的必要不充分条件，求a 的取值范围.（2）若A B =ÆI ，求a 的取值范围.【答案】（1）[]0,2（2）(](),24,-¥-+¥U 【解析】分析】（1）首先解不等式求出集合A 、B ，依题意B 真包含于A ，即可得到不等式组，解得即可；（2）首先判断A ¹Æ，即可得到240a +£或244a ->，解得即可.【小问1详解】由122x a -£，即1222x a -£-£，解得2424a x a -££+，所以{}2424|A x x a a -=££+，由40x x -£，等价于()400x x x ì-£í¹î，解得04x <£，所以{}40|04x B x x x x ìü-=£=<£íýîþ，【因为x A Î是x B Î的必要不充分条件，所以B 真包含于A ，所以244240a a +³ìí-£î，解得02a ££，即a 的取值范围为[]0,2；【小问2详解】因为A B =ÆI ，显然A ¹Æ，所以240a +£或244a ->，解得2a £-或4a >，即a 的取值范围为(](),24,-¥-+¥U .18. 已知函数()211y m x mx =+-+．（1）当5m =时，求不等式0y >的解集；（2）若不等式0y >的解集为R ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{13x x <或x >（2）(22-+【解析】【分析】（1）根据题意易得26510x x -+>，因式分解后利用口诀“大于取两边，小于取中间”即可得解；（2）由题意易得()2110m x mx +-+>的解集为R ，分类讨论1m =-与1m ¹-两种情况，结合二次函数的图像性质即可得解.【小问1详解】根据题意，得2651y x x =-+，由0y >得26510x x -+>，即()()31210x x -->，解得：13x <或12x >，故不等式0y >的解集为{13x x <或x >【小问2详解】由题意得，()2110m x mx +-+>的解集为R ，当1m =-时，不等式可化为10x +>，解得1x >-，即()2110m x mx +-+>的解集为()1,-+¥，不符合题意，舍去；当1m ¹-时，在()211y m x mx =+-+开口向上，且与x 轴没有交点时，()2110m x mx +-+>的解集为R ，所以()210Δ410m m m +>ìí=-+<î，解得22m m >ìïí-<<+ïî22m -<<+，综上：22m -<<+，故实数m的取值范围为(22-+.19. 某化工企业生产过程中不慎污水泄漏，污染了附近水源，政府责成环保部门迅速开展治污行动，根据有关部门试验分析，建议向水源投放治污试剂，已知每投放a 个单位（04a <£且R a Î）的治污试剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()y af x =，其中()[](]1,0,5711,5,112xx xf x x x +ìÎïï-=í-ïÎïî，若多次投放，则某一时刻水中的治污试剂浓度为每次投放的治污试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中治污试剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能治污有效．（1）若只投放一次4个单位的治污试剂，则有效时间最多可能持续几天？（2）若先投放2个单位的治污试剂，6天后再投放m 个单位的治污试剂，要使接下来的5天中，治污试剂能够持续有效，试求m 的最小值．【答案】（1）7天； （2）min 2m =.【解析】【分析】（1）根据给定的函数模型求投放一次4个单位的治污试剂的有效时间即可；（2）由题设()5=11413x g x x m x --+׳-，将问题化为()()1375x x m x --³-在[6,11]x Î上恒成立，利用基本不等式求右侧最大值，即可得求参数最小值.【小问1详解】因为一次投放4个单位的治污试剂，所以水中释放的治污试剂浓度为()44,0547222,511xx y f x x x x +죣ï==-íï-<£î，当05x ££时，()4147x x+³-，解得35x ££；当511x ££时，2224x -³，解得59x ££；综上，39x ££，故一次投放4个单位的治污试剂，则有效时间可持续7天．【小问2详解】设从第一次投放起，经过()611x x ££天后浓度为()()()16511[]117613x x g x x m x m x x+--=-+=-+×---．因为611x ££，则130x ->，50x ->，所以511413x x m x --+׳-，即()()1375x x m x --³-，令5x t -=，[]1,6t Î，所以()()281610t t m t tt --æö³-=-+ç÷èø，因为168t t+³=，所以2m ≥，当且仅当16t t =，4t =即9x =时等号成立，故为使接下来的5天中能够持续有效m 的最小值为2.20. 对于函数()f x ，若存在0R x Î，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.（1）求函数23y x x =--不动点；（2）若函数()221y x a x =-++有两个不相等的不动点1x 、2x ，求1221x x x x +的取值范围；（3）若函数()()211g x mx m x m =-+++在区间(0,2)上有唯一的不动点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1-和3. （2）()2,+¥（3）(]1,1-U .【解析】【分析】（1）解方程23x x x --=，即可求出不动点；（2）由题意，方程()2310x a x -++=有两个不相等的实数根1x 、2x ，由0D >即可求出a 的范围，结合韦达定理和二次函数图象性质即可求出1221x x x x +的范围；的（3）由题意，()2210mx m x m -+++=在(0,2)上有且只有一个解，令()()221h x mx m x m =-+++，分()()020h h ×<，()00h =，()20h =和0D =四种情况进行讨论即可.【小问1详解】由题意知23x x x --=，即2230x x --=，则()()310x x -+=，解得11x =-，23x =，所以不动点为1-和3.【小问2详解】依题意，()221x a x x -++=有两个不相等的实1x 数根1x 、2x ，即方程()2310x a x -++=有两个不相等的实数根1x 、2x ，所以()22Δ34650a a a =+-=++>，解得5a <-，或1>-a ，且123x x a +=+，121x x =，所以()()2222121212122112232x x x x x x x x a x x x x ++==+-=+-，因为函数()232y x =+-对称轴为3x =-当3x <-时，y 随x 的增大而减小，若5x <-，则2y >；当3x >-时，y 随x 的增大而增大，若1x >-，则2y >；故()()2322,a ¥+-Î+，所以1221x x x x +的取值范围为()2,¥+.【小问3详解】由()()211g x mx m x m x =-+++=，得()2210mx m x m -+++=，由于函数()g x 在(0,2)上有且只有一个不动点，即()2210mx m x m -+++=在(0,2)上有且只有一个解，令()()221h x mx m x m =-+++，①()()020h h ×<，则()()110m m +-<，解得11m -<<；②()00h =，即1m =-时，方程可化为20x x --=，另一个根为1-，不符合题意，舍去；③()20h =，即1m =时，方程可化为2320x x -+=，另一个根为1，满足；④0D =，即()()22410m m m +-+=，解得m =（ⅰ）当m =时，方程的根为()2222m m x m m -++=-==（ⅱ）当m =()2222m m x m m -++=-==，不符合题意，舍去；综上，m 的取值范围是(]1,1-È.21. 对任意正整数n ，记集合(){1212,,,,,,n nnA a a a a a a=××××××均为非负整数，且}12n a a a n ++×××+=，集合(){1212,,,,,,n nnB b b b b b b =××××××均为非负整数，且}122n b b b n ++×××+=．设()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n b b b B b =×××Î，若对任意{}1,2,,i n Î×××都有i i a b £，则记a b p ．（1）写出集合2A 和2B ；（2）证明：对任意n A a Î，存在n B b Î，使得a b p ；（3）设集合(){},,,n nnS A B a b a b a b =ÎÎp 求证：nS中的元素个数是完全平方数．【答案】（1）()()(){}20,2,1,1,2,0A =，()()()()(){}20,4,1,3,2,2,3,1,4,0B =（2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合n A 与n B 的公式，写出集合和即可；（2）任取()12,,,n n a a a A a =×××Î，设()11,2,3,,i i b a i n =+=×××，令()12,,,n b b b b =×××，只需证明n B b Î，即可证明结论成立；（3）任取()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n a a a A a =×עע΢¢，可证明n B a a +¢Î，且a a a +¢p ，a a a ¢+¢p ，再设集合n A 中的元素个数为t ，设{}12,,,n t A a a a =×××，设集合(){},1,2,,,1,2,,n i i j T i t j t a a a =+=×××=×××，通过证明n n T S Í，n n S T Í，推出n n S T =，即可完成证明．【小问1详解】()()(){}20,2,1,1,2,0A =，()()()()(){}20,4,1,3,2,2,3,1,4,0B =．【小问2详解】对任意()12,,,n n a a a A a =×××Î，设()11,2,3,,i i b a i n =+=×××，则12,,,n b b b ×××均为非负整数，且()1,2,3,,i i a b i n £=×××．令()12,,,n b b b b =×××，则12n b b b ++×××+()()()12111n a a a =++++×××++()12n a a a n=++×××++2n =，所以n B b Î，且a b p ．【小问3详解】对任意()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n a a a A a =×עע΢¢，记()1122,,,n n a a a a a a a a +=++×××¢+¢¢¢，则11a a ¢+，22a a ¢+，…，n n a a ¢+均为非负整数，且()()()1122n n a a a a a a ++++×××++¢¢¢()()1212n n a a a a a a ¢=++×××++++××+¢×¢n n =+2n =，所以n B a a +¢Î，且a a a +¢p ，a a a ¢+¢p ．设集合n A 中的元素个数为t ，设{}12,,,n t A a a a =×××．设集合(){},1,2,,,1,2,,n iijT i t j t a a a =+=×××=×××．对任意i n A a Î(1,2,,)i t =×××，都有1i a a +，2i a a +，…，i t n B a a +Î，且i i j a a a +p ，1,2,,j t =×××．所以n n T S Í．若(),n S a b Î，其中()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n b b b B b =×××Î，设i i i c b a =-()1,2,,i n =×××，因为i i a b £，所以0i i i c b a =-³，记()12,,,n c c c a =×××¢，则12n c c c +++L ()()()1122n n b a b a b a =-+-+-L ()()1212n n b b b a a a =++×××+-++×××+2n n n =-=，所以n A a ¢Î，并且有b a a =+¢，所以(),n T a b Î，所以n n S T Í．所以n n S T =．因为集合n T 中的元素个数为2t ，所以n S 中的元素个数为2t ，是完全平方数．【点睛】关键点点睛：集合元素的个数转换为证明两个集合相等.。
2022-2023学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期开学考试数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期开学考试数学试题一、单选题1．下列命题中正确的是（ ）A ．空集没有子集B ．空集是任何一个集合的真子集C ．任何一个集合必有两个或两个以上的子集D ．设集合B A ⊆，那么，若x A ∉，则x B ∉【答案】D【解析】根据集合的相关概念，逐项判断，即可得出结果【详解】A 选项，空集是其本身的子集，A 错；B 选项，空集是任一非空集合的真子集，B 错；C 选项，空集只有一个子集，即是空集本身；C 错；D 选项，若B A ⊆，则B 中元素都在A 中，A 中没有的元素，则B 中也没有；故D 正确. 故选：D.2．已知集合1|0,3x A x x Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，{}2|1,B y y x x A ==+∈，则集合B 的子集个数为（ ）A ．5个B ．8个C ．3个D ．2个【答案】B【分析】先化简集合A ，B ，再列举其子集求解.【详解】因为{}1|0,1,0,1,23x A x x Z x +⎧⎫=≤∈=-⎨⎬-⎩⎭， 所以{}{}2|1,1,2,5B y y x x A ==+∈=， 所以集合B 的子集有{}{}{}{}{}{}{},1,2,5,1,2,1,5,2,5,1,2,5∅，共8个， 故选：B3．设Q 所示有理数集，集合{},,0X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①{}2x x X ∈；②X ⎫∈⎬⎭；③1x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；④{}2x x X ∈；与X 相同的集合有（ ） A ．①②B ．②③C ．①②④D ．①②③ 【答案】D【分析】根据集合相等的含义，逐一分析①②③④，即可得答案【详解】对于①：集合{}2x x X ∈，则2(a p +=+解得2,2p a q b ==，即,22p q a b ==，是一一对于，所以与X 集合相同.对于②：集合X ⎫∈⎬⎭b =，也是一一对应，所以与X 集合相同.对于③：集合1x Xx ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭2222a b a b a b ⎛=+- --⎝，所以与X 集合相同.对于④：1X -，但方程21x -无解，则2{|y y x =，}x X ∈与X 不相同． 故选：D4．设X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X 属于τ，∅属于τ；（2）τ中任意多个元素的并集属于τ；（3）τ中任意多个元素的交集属于τ；则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合τ：①τ＝{∅，{a }，{a ，b }，{a ，c }}；②τ＝{∅，{b }，{c }，{b ，c }，{a ，b ，c }}；③τ＝{∅，{a ，c }，{b ，c }，{c }，{a ，b ，c }}；④τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}；其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是（ ）A ．②B ．①③C ．②④D ．②③ 【答案】D【分析】利用集合X 上的拓扑的3个要求，依次判断即可【详解】①中由于{}{}{},,,,a b a c a b c τ=∉，故①不是集合X 上的一个拓扑； ②中满足拓扑集合的3个要求，故②是集合X 上的一个拓扑；③中满足拓扑集合的3个要求，故③是集合X 上的一个拓扑；④中{}{}{},a c a c τ=∉,故④不是集合X 上的一个拓扑；因此集合X 上的拓扑的集合τ的序号是②③故选：D二、填空题5．已知集合{}2,0A a a =-，若a A ∈，则实数a 的值为___________.【答案】2【分析】根据集合元素的性质可求实数a 的值.【详解】因为a A ∈，故0a =或2a a a -=，若0a =，则20a a a -==，与元素的互异性矛盾，舍；若2a a a -=，则2a =或0a =（舍），而2a =时，符合元素的互异性，故实数a 的值为2，故答案为：2.6．若集合{}2210A x x x =-+=，{}210B x x =-=，则A ______B ．（用符号“⊂”“=”或“⊃”连接）【答案】⊂【分析】先化简集合A 、B ，再去判断集合A 、B 间的关系即可解决. 【详解】{}{}22101A x x x =-+==，{}{}2101,1B x x =-==-，则A B ⊂ 故答案为：⊂7．若{}{},27,8x y y +=，则整数x =____________.【答案】3或92. 【分析】根据集合相等的条件，列出方程组，即可求解.【详解】因为{}{},27,8x y y +=，由集合相等的条件，可得728x y y +=⎧⎨=⎩或827x y y +=⎧⎨=⎩， 解得3x =或92x =. 故答案为：3或92. 8．已知0,,{,,}3x A xx B x x a b a A b A x ⎧⎫=<∈==+∈∈⎨⎬-⎩⎭Z ∣∣，试用列举法表示集合B =____; 【答案】{}2,3,4【分析】解出不等式03x x <-得到集合A ，然后可得答案. 【详解】因为{}{}0,03,1,23x A x x x x x x ⎧⎫=<∈=<<∈=⎨⎬-⎩⎭Z Z ∣∣， 所以{}{,,}2,3,4B xx a b a A b A ==+∈∈=∣， 故答案为：{}2,3,49．已知{}2|10,A x x px x R =++=∈，若A R +⋂=φ，则实数p 的取值范围是__________．【答案】(2,)-+∞【详解】分析：先根据条件得方程210x px ++=没有正实数解，再根据方程无解与只有非正数解两种情况讨论，解得实数p 的取值范围详解：∵A R +⋂=φ，∴方程210x px ++=没有正实数解，故A 集合有两种情况：①若A =φ，则240p ∆=-<，则22p -<<；②若A ≠φ，则方程有两个非正数解，且0不是其解，则有：2400p p ⎧-≥⎨-≤⎩，解得2p ≥．综上所述，2p >-，即实数p 的取值范围是()2,-+∞．点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.10．已知集合{1,2,3}A =，{1,,}B m n =，若3,1m A n A -∈+∈，则非零实数m n +的可能取值集合是________【答案】{}2【分析】首先利用集合与元素的关系和集合元素的特征得到20m n =⎧⎨=⎩或02m n =⎧⎨=⎩，即可得到答案.【详解】因为3m A -∈，所以31m -=或32m -=或33m -=，解得2m =或1m =或0m =，因为1n A +∈，所以11n +=或12n +=或13n +=，解得0n =或1n =或2n =，又因为{1,,}B m n =，所以20m n =⎧⎨=⎩或02m n =⎧⎨=⎩，即2m n +=. 故答案为：{}211．若集合2{|(2)20,}A x x a x a x Z =-++-<∈中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是___________ 【答案】12(,]23 【分析】把不等式转化为222(1)x x a x -+<+，转化为()(){|,}A x f x g x x Z =<∈，结合二次函数与一次函数的图象，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，不等式2(2)20x a x a -++-<且0a >，即222(1)x x a x -+<+，令()()222,(1)f x x x g x a x =-+=+，所以()(){|,}A x f x g x x Z =<∈，所以()y f x =是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线，而()y g x =一次函数，图象是过一定点(1,0)-的动直线，作出函数()222f x x x =-+和()(1)g x a x =+的图象，如图所示，其中()()11,22f f ==，又因为,0x Z a ∈>，结合图象，要使得集合2{|(2)20,}A x x a x a x Z =-++-<∈中有且只有一个元素，可得()(1)122g g >⎧⎨≤⎩，即2132a a >⎧⎨≤⎩，解得1223a <≤. 即正实数a 的取值范围是12(,]23. 故答案为：12(,]23.12．用A 表示非空集合A 中元素的个数，定义,,A B A B A B B A B A ⎧-≥⎪*=⎨->⎪⎩，若{}0,1A =，()(){}2230B x x ax x ax =+++=，*1A B =，则实数a 的所有可能取值构成集合S ，则S =______.（请用列举法表示）【答案】{}-【分析】根据{}0,1A =，*1A B =，可知B 要么是单元素集合，要么是三元素集合，然后对方程()()2230x ax x ax +++=的个数进行讨论，即可求得a 的所有可能取值. 【详解】由于()()2230x ax x ax +++=，等价于20x ax ①或2x ax 30++=②又{}0,1A =，*1A B =，可知B 要么是单元素集合，要么是三元素集合，（1）当B 是单元素集合，则方程①有两个相等的实根，方程②无实根，此时0a =； （2）当B 是三元素集合，则方程①有两个不相等的实根，方程②有两个相等的实根，此时20120a a ≠⎧⎨∆=-=⎩，解得a =±实数a 的所有可能取值构成集合{}S =-故答案为： {}-【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的判断，解题的关键是对新定义的理解，考查学生的分析审题能力与分类讨论思想，属于中档题.13．已知函数2()43f x x x =-+，()52g x mx m =+-，若对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是 ________.【答案】(,3][6,)-∞-⋃+∞【分析】根据对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使得12()()f x g x =，可得两个函数值域的包含关系，进而根据关于m 的不等式组，解不等式组即可.【详解】因为()22()4321f x x x x =-+=--，所以函数()f x 的对称轴为2x =，对任意的[]11,4x ∈，记()[]1,3f x ∈-.记[]1,3A =-.由题意知，当0m =时不成立，当0m >时，()52g x mx m =+-在[]1,4上是增函数，所以[]()5,25g x m m ∈-+，记[]5,25B m m =-+由题意知，B A所以m m -≥-+≥⎧⎨⎩15253，解得6m ≥. 当0m <时，()52g x mx m =+-在[]1,4上是减函数，所以[]()25,5g x m m ∈+-，记[]25,5C m m =+-，由题意知，C A ⊇所以251{53m m +≤--≥，解得3m ≤-. 综上所述，实数m 的取值范围是(,3][6,)-∞-⋃+∞.故答案为: (,3][6,)-∞-⋃+∞【点睛】解决本题的关键是将问题转化为对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使得12()()f x g x =，可得两个函数值域的包含关系，进而分别求两个函数的值域.14．已知函数()228x x x f a =++（0a >），集合(){}0A x f x =≤，()(){}8B x f f x =≤，若A B =≠∅，则a 的取值范围为______.【答案】4⎡⎤⎣⎦【解析】先根据A ≠∅，利用0∆≥求得a 的范围，再求出集合,A B ，利用A B =，即可求解.【详解】解：A B =≠∅，即()()()0,8f x f f x ≤≤有解，由()0f x ≤知：()222484320a a ∆=-⨯=-≥，解得：a ≤-或a ≥又0a >，a ∴≥令()2280x a f x x =++≤，解得：a x a -≤≤-故{A x a x a =-≤-， ()()8f f x ≤，令()u f x =，即()8f u ≤，又()228x ax f x =++，易知：()()()()208,222288f f a a a a =-=-+⨯-+=，0a >，故20a u -≤≤，即(){}20B x a f x =-≤≤，又A B =，故()2f x a ≥-恒成立，即()min 2f x a ≥-，又()()()()22min 288f x f a a a a a =-=-+⋅-+=-+，即282a a -+≥-，即2280a a --≤，解得：24a -≤≤，又a ≥a ⎡⎤∴∈⎣⎦.故答案为：4⎡⎤⎣⎦.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用A B =得出()min 2f x a ≥-.三、解答题15．已知{}(){}22240,2110A xx x B x x a x a =+==+++-=∣∣. (1)若A 是B 的子集，求实数a 的值；(2)若B 是A 的子集，求实数a 的取值范围.【答案】(1)1a =；(2)1a -或1a =.【分析】（1）由题得{}4,0B A ==-，解2Δ0402(1)401a a >⎧⎪-+=-+⎨⎪-⨯=-⎩即得解；（2）由题得B A ⊆，再对集合B 分三种情况讨论得解.【详解】(1)解：由题得{}4,0A =-.若A 是B 的子集，则{}4,0B A ==-，所以2Δ0402(1),1401a a a >⎧⎪-+=-+∴=⎨⎪-⨯=-⎩. (2)解：若B 是A 的子集，则B A ⊆.①若B 为空集，则()22Δ4(1)41880a a a =+--=+<，解得1a <-；②若B 为单元素集合，则()22Δ4(1)41880a a a =+--=+=，解得1a =-.将1a =-代入方程()222110x a x a +++-=，得20x =，即{}0,0x B ==，符合要求；③若B 为双元素集合，{}4,0B A ==-，则1a =.综上所述，1a -或1a =.16．已知命题:p 关于x 的不等式10mx -≥的解集为A ，且2A ∈；命题:q 关于x 的方程2x 2x m 0-+=有两个不相等的正实数根.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的范围；（2）若命题p 和命题q 中至少有一个是假命题，求实数m 的范围.【答案】（1）12m ≥（2）12m <或m 1≥ 【分析】（1）根据不等式的解集且2A ∈,代入即可根据命题p 为真命题求得数m 的范围. （2）先求得命题p 和命题q 都为真命题时m 的范围,根据补集思想即可求得命题p 和命题q 中至少有一个是假命题时m 的范围.【详解】（1）命题:p 关于x 的不等式10mx -≥的解集为A ,且2A ∈因为命题p 为真命题所以210m -≥ 解得12m ≥（2）命题:q 关于x 的方程2x 2x m 0-+=有两个不相等的正实数根当命题q 为真命题时,1212440020m x x m x x ∆=->⎧⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩ 解得01m <<当命题p 和命题q 都为真命题1201m m ⎧≥⎪⎨⎪<<⎩ 所以112m ≤< 所以若命题p 和命题q 中至少有一个是假命题 则12m <或m 1≥ 所以实数m 的范围为12m <或m 1≥ 【点睛】本题考查了不等式的解法,一元二次方程根的分布特征,复合命题真假的关系,属于中档题.17．定义：若任意,m n A ∈（m ，n 可以相等），都有10mn +≠，则集合,,1m n B x x m n A mn ⎧⎫+==∈⎨⎬+⎩⎭称为集合A 的生成集； (1)求集合{3,4}A =的生成集B ；(2)若集合{,2}A a =，A 的生成集为B ，B 的子集个数为4个，求实数a 的值；(3)若集合(1,1)A =-，A 的生成集为B ，求证A B =.【答案】(1)387,,51713B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭(2)1a =±或12a =(3)证明见解析【分析】（1）根据新定义算出x 的值即可求出B ；（2）B 的子集个数为4个，转化为B 中有2个元素，然后列出等式即可求出a 的值； （3）求出B 的范围即可证明出结论【详解】(1)由题可知，(1)当3m n ==时，3331335x +==+⨯ ， (2) 当4m n ==时，44814417x +==+⨯，（3）当3,4m n ==或4,3m n ==时，34713413x +==+⨯ 所以387,,51713B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ (2)（1）当2m n ==时，2241225x +==+⨯， （2）当m n a ==时，22211a a a x a a +==++ （3）当2,m n a ==或,2m a n ==时，212a x a+=+ B 的子集个数为4个，则B 中有2个元素， 所以24251a a =+或222112a a a a +=++ 或24125a a +=+ ， 解得1a =±或12a =（2a =舍去）, 所以1a =±或12a =. (3)证明：(),1,1m n A ∀∈-=，()()111011m n m n mn mn++++=>++， ()()111011m n m n mn mn---+-=<++， ∴ 111m n mn+<+-<，即()1,1B =- B A ∴⊆，又(1,1)A =-，所以A B ⊆，所以A B =18．已知123{|(,,,,)n n S A A a a a a ==，0i a =或1，1,2,,}i n =(2)n ≥，对于,n U V S ∈，(,)d U V 表示U 和V 中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令(0,0,0,0,0)U =，存在m 个5V S ∈，使得(,)2d U V =，写出m 的值； （Ⅱ）令0(0,0,0,,0)n W =个，若,n U V S ∈，求证：(,)(,)(,)d U W d V W d U V +≥；（Ⅲ）令123(,,,,)n U a a a a =，若n V S ∈，求所有(,)d U V 之和．【答案】（Ⅰ）10m =； （Ⅱ）见解析（ⅠⅡ）见解析【详解】试题分析：本题是综合考查集合推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点，题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于n S 的，其实n S 中的元素就是一个n 维的坐标，其中每个坐标都是0或者1，也可以这样理解，就是一个n 位数字的数组，每个数字都只能是0或1，第二个定义(,)d U V ．第一问，根据5V S ∈，且(,)2d U V =及(,)d U V 的意义：表示U 和V 中相应的元素不同的个数，可知25m C =；第二问，根据0i a =或1，1,2,,i n =，分类讨论0i a =，0i b =时，i a +0i b =i i a b =-；当0i a =， 1i b =时，i a +1i b =i i a b =-；当1i a =，0i b =时，i a +1i b =i i a b =-；当1i a =，1i b =时，i a +2i b =0i i a b ≥-=；可证，i a +i b i i a b ≥-，再相加即可证明结论；第三问，结合第一问，得出使(,)k d u v r =的k v 共有rn C 个，分别计算出21(,)n k k d u v =∑和21(,)nk k d u v =∑，再相加即可． 试题解析：（Ⅰ）2510C =；（Ⅱ）证明：令123(,,)n u a a a a =⋯⋯，123(,,)n v b b b b =⋯⋯ ∵0i a =或1，0i b =或1；当0i a =，0i b =时，i a +0i b =i i a b =-当0i a =， 1i b =时，i a +1i b =i i a b =-当1i a =，0i b =时，i a +1i b =i i a b =-当1i a =，1i b =时，i a +2i b =0i i a b ≥-= 故i a +i b i i a b ≥-∴(,)(,)d u w d v w +=123()n a a a a ++++123()n b b b b +++++ 123()n a a a a =++++123()n b b b b +++++112233()n n a b a b a b a b ≥-+-+-++-(,)d u v =（Ⅲ）解：易知n S 中共有2n 个元素，分别记为(1,2,,2)n k v k = 123(,,)n v b b b b =⋯⋯∵0i b =的k v 共有12n -个，1i b =的k v 共有12n -个．∴21(,)n k k d u v =∑ =1111111122(202120212021)n n n n n n n n a a a a a a -------+-+-+-++-+- =12n n -⋅∴21(,)nk k d u v =∑=12n n -⋅． 法二：根据（Ⅰ）知使(,)k d u v r =的k v 共有r n C 个， ∴21(,)n k k d u v =∑=012012n n n n n C C C n C ⋅+⋅+⋅++⋅21(,)n k k d u v =∑=120(1)(2)0n n n n n n n n C n C n C C --⋅+-⋅+-⋅++⋅ 两式相加得21(,)nk k d u v =∑=12n n -⋅【解析】计数原理的应用．。
上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一下期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共16.0分）1.如果α是第三象限的角，那么必然不是下列哪个象限的角（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.函数，的反函数是（）A. B.C. D.3.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2a cos B=c，且满足 sin A sin B（2-cos C）=sin2+，则△ABC为（）A. 锐角非等边三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形4.已知函数f（x）=cos（3x+φ）满足f（x）≤f（1）恒成立，则（）A. 函数一定是奇函数B. 函数一定是奇函数C. 函数一定是偶函数D. 函数一定是偶函数二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）5.2019°是第______象限．6.已知角α的终边经过点P（2，-3），则sinα=______7.已知tanα=2，则=______．8.函数y=的定义域为______．9.已知，，，则=______．10.已知，在第二象限，则=______．11.方程5sin x=4+2cos2x的解集为______．12.已知，则=______．13.将函数y=sin2x的图象先沿x轴向左平移个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到函数y=f（x）图象，对于函数y=f（x）有以下四个判断：①该函数的解析式为；②该函数图象关于点，对称；③该函数在，上是增函数；④若函数y=f（x）+a在，上的最小值为1，则．其中正确判断的序号是______（写出所有正确判断的序号）．14.已知△ABC中，7sin2B+3sin2C=2sin2A+2sin A sin B sin C，则=______．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15.已知．（1）求sinαcosα的值；（2）若α为第二象限的角，求的值．16.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中＞，＞，＜＜）的相邻对称轴之间的距离为，且该函数图象的一个最高点为，．（1）求函数f（x）的解析式和单调递增区间；（2）若，，求函数f（x）的最大值和最小值．17.如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y关于投产持续时间t（单位：小时）的关系y=f（t）均近似地满足函数f（t）=A sin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）．（1）根据图象，求函数f（t）的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟m（m＞0）小时投产，求m的最小值．点（不含端点），过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）若△AEF外接圆的直径长为，求EF的值；（2）求BC的取值范围；（3）问点D在何处时，△DEF的面积最大？最大值为多少？答案和解析1.【答案】B【解析】解：α是第三象限的角，则α（2kπ+π，2kπ+），k Z，所以（kπ+，kπ+），k Z；所以可以是第一、第三、或第四象限角．故选：B．先写出角α的范围，再除以3，从而求出角的范围，看出是第几象限角．本题考查了角的范围与象限角的判断问题，是基础题．2.【答案】D【解析】解：函数的反函数是y=-cosx，x[0，π]，故选：D．根据反三角函数的定义即可求出本题主要考查反正弦函数的定义和性质，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：将已知等式2acosB=c，利用正弦定理化简得：2sinAcosB=sinC，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0，∵A与B都为△ABC的内角，∴A-B=0，即A=B，已知第二个等式变形得：sinAsinB（2-cosC）=（1-cosC）+=1-cosC，-[cos（A+B）-cos（A-B）]（2-cosC）=1-cosC，∴-（-cosC-1）（2-cosC）=1-cosC，即（cosC+1）（2-cosC）=2-cosC，整理得：cos2C-2cosC=0，即cosC（cosC-2）=0，∴cosC=0或cosC=2（舍去），∴C=90°，则△ABC为等腰直角三角形．故选：C．已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到A=B，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将A+B=C，A-B=0代入计算求出cosC的值为0，进而确定出C为直角，即可确定出三角形形状．此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，积化和差公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：由函数f（x）=cos（3x+φ）满足f（x）≤f（1）恒成立，得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，即函数f（x+1）一定为偶函数，故选：D．由三角函数图象的性质及函数图象的平移得：函数f（x）=cos（3x+φ）满足f（x）≤f（1）恒成立，得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，即函数f（x+1）一定为偶函数，得解．本题考查了三角函数图象的性质及函数图象的平移，属中档题．5.【答案】三【解析】解：2019°=360°×5+219°，是第三象限角．故答案为：三．根据终边相同的角化为k•360°+α，k Z，α[0°，360°）即可．本题考查了终边相同的角的定义与应用问题，是基础题．6.【答案】【解析】解：∵角α的终边经过点P（2，-3），则x=2，y=-3，r=|OP|==，∴sinα==，故答案为：-．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．7.【答案】【解析】解：tanα=2，则===．故答案为：直接利用同角三角函数基本关系式化简所求的表达式为正切函数的形式，代入求解即可．本题考查同角三角函数基本关系式以及三角函数化简求值，考查计算能力．8.【答案】[2kπ-，2kπ+]，k Z【解析】解：根据函数y=，可得cosx≥0，可得2kπ-≤x≤2kπ+（k Z），故函数的定义域为[2kπ-，2kπ+]，k Z，故答案为：[2kπ-，2kπ+]，k Z．根据函数y=，可得cosx≥0，再结合余弦函数的图象，求得x的范围．本题主要考查余弦函数的图象的特征，解三角不等式，属于基础题．9.【答案】【解析】解：由，得-cos，即cos，∴sinα=，则tanα==．∴=-cot（）=-tanα=．故答案为：．由已知求得cosα，进一步得到tanα，再由诱导公式求．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．10.【答案】2【解析】解：若在第二象限，∴cosα=-，则=====2，故答案为：2根据同角三角函数关系以及三角函数的倍角公式进行化简即可．本题主要考查三角函数的化简和求值，利用同角三角函数关系以及三角函数倍角公式是解决本题的关键．11.【答案】{x|x=arcsin+2kπ，或x=π-arcsin+2kπ，k Z}【解析】解：方程5sinx=4+2cos2x可化为5sinx=4+2（1-2sin2x），即4sin2x+5sinx-6=0，解得sinx=，或sinx=-2（不合题意，舍去）；所以该方程的解集为{x|x=arcsin+2kπ，或x=π-arcsin+2kπ，k Z}．故答案为：{x|x=arcsin+2kπ，或x=π-arcsin+2kπ，k Z}．方程化为关于sinx的一元二次方程，求出sinx的值，再写出方程的解集．本题考查了三角函数方程的求解与应用问题，是基础题．12.【答案】【解析】解：由，得2sinα=，∴，则tanα=．由tan==1，解得tan =（舍）或．∴===．故答案为：．由已知等式求得tanα，展开二倍角的正切求得tan，再由两角差的正切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查两角和与差的三角函数，考查计算能力，是中档题．13.【答案】③④【解析】解：根据题意知，f（x）=sin（x），令x=则，y=≠0∴①②错误；由三角函数的性质知③④正确；故答案为③④．运用三角函数图象的平移变化及三角函数的性质可解决此问题．本题考查图象的变换及三角函数的性质的简单应用．14.【答案】【解析】解：7sin2B+3sin2C=2sin2A+2sinAsinBsinC，由正弦定理可得：7b2+3c2=2a2+2bcsinA，∴a2=，又a2=b2+c2-2bccosA，∴=b2+c2-2bccosA，化为：2（sinA-2cosA）==≥2=2，当且仅当b=c时取等号．即2sin（A-θ）≥2，其中tanθ=2，sinθ=，cosθ=．即sin（A-θ）≥1，又sin（A-θ）≤1，∴sin（A-θ）=1．∴A-θ=+2kπ，即A=θ++2kπ，k N*．∴sin（A+）=sin（θ+++2kπ）=cos（θ+）=（cosθ-sinθ）=×（-）=-．∴=cos（）=sin（A+）=．故答案为：-．由已知结合正弦定理可得：7b2+3c2=2a2+2bcsinA，由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA，化为：2（sinA-2cosA）==≥2=2，进一步得到sin（A-θ）≥1，又sin（A-θ）≤1，可得sin（A-θ）=1．得到A=θ++2kπ，k N*．求出sin（A+），再由诱导公式得答案．本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．15.【答案】解：（1）∵，∴平方得sin2α+2sinαcosα+cos2α=，得2sinαcosα=-1=-，得sinαcosα=-．（2）若α为第二象限的角，sinα＞0，cosα＜0，则=+===-．【解析】（1）利用同角三角函数关系，利用平方进行计算即可（2）利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用同角三角函数关系以及三角函数的诱导公式是解决本题的关键．16.【答案】解：（1）由题意有：A=2，T=π，即ω==2，由当x=时，函数f（x）取最大值，即2×+φ=2k，解得φ=2kπ，又0＜φ＜，所以φ=，即f（x）=2sin（2x+），令2kπ≤2x+，得：k，（k Z）故函数f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+）．函数f（x）的单调递增区间为：[kπ，k]（k Z）．（2）当，，则2x+[，]，所以2sin（2x+）[1，2]，故函数f（x）的最大值为2，最小值为1．【解析】（1）由三角函数解析式的求法得：由题意有：A=2，T=π，即ω==2，由当x=时，函数f（x）取最大值，即2×+φ=2k，解得φ=2kπ，又0＜φ，所以φ=，即f（x）=2sin（2x+），（2）由三角函数的值域的求法得：当，则2x+[，]，所以2sin（2x+）[1，2]，得解．本题考查了三角函数解析式的求法及三角函数的值域，属中档题．17.【答案】（本题满分为14分）解：（1）由图知T=12=，∴ω=，…（1分）A+b=5，b-A=3，可得：A=1，b=4，…（3分）∴f（t）=sin（x+φ）+4，代入（0，5），得φ=+2kπ，又0＜φ＜π，∴φ=…（5分）即f（t）=sin（t+）+4，…（6分）（2）设乙投产持续时间为t小时，则甲的投产持续时间为（t+m）小时，由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间t变化的关系式为：f（t）=cos t+4；同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：f（t+m）=cos（t+m）+4；两企业用电负荷量之和f（t+m）+f（t）=cos（t+m）+cos t+8（t≥0）；------（8分）依题意，有f（t+m）+f（t）=cos（t+m）+cos t+8≤9恒成立，即cos（t+m）+cos t≤1恒成立，展开有：（cos m+1）cos t-sin m sin t≤1恒成立，------（10分）∵（cos m+1）cos t-sin m sin t=A cos（t+ϕ），（其中，A=，cosϕ=；sinϕ=）；∴A=≤1，-----------------------（11分）整理得到：cos m≤-，------------------------（12分）依据余弦函数图象得：+2kπ≤m≤+2kπ，（k Z），即12k+4≤m≤12+8，取k=0得：4≤m≤8∴m的最小值为4．-----------------------（14分）【解析】（1）根据图象最值求A，b，根据周期求出ω，利用特殊点求出φ的值，可求函数f（t）的解析式．（2）设乙投产持续时间为t小时，则甲的投产持续时间为（t+m）小时，依题意，有f（t+m）+f（t）=cos（t+m）+cos t+8≤9恒成立，展开由三角函数恒等变换化简整理可得：cos m≤-，依据余弦函数图象得：+2kπ≤m≤+2kπ，（k Z），取k=0得m的范围，从而可求m的最小值．本题考查三角函数图象和性质及其应用、恒等变换等知识，考查建立三角函数模型，数据处理能力、运算求解能力和抽象概括能力，考查函数与方程的思想、转化与化归的思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵在锐角△ABC中，，∴sin A=，∵△ bc•，∴bc=13，∵△AEF外接圆的直径长为，由正弦定理可得，==，∴EF=3；（2）在△ABC中，由余弦定理得，BC2=b2+c2-2bc cos A=b2+c2-10≥2bc-10=16，当且仅当b=c=时取等号，∴BC≥4；BC的取值范围：[4，+）；（3）设，则，∵，∴AB•AC=，∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴，，∴，，∵===-，∴当x=3时，的最大值为，．∴当x=3时，三角形ABD与三角形ADC面积相等∴D为BC的中点，∴当D为BC的中点时，△DEF的面积最大，最大值为．【解析】（1）根据面积为6可得bc，然后由正弦定理可得EF；（2）用余弦定理得到BC2=b2+c2-2bccosA，然后用重要不等式可得BC的范围；（3）设，然后根据面积关系将△DEF的面积用x表示出来，再用一元二次函数求其最大值即可．本题考查了等边三角形的面积计算公式、余弦定理、全等三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
上海市华东师范大学第二附属中学2024届高三上学期期中 数学试题(含解析)
华二附中高三期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.不等式221x x -≥-的解集为___________.【答案】[)0,1【解析】【分析】根据移项，通分，将分式不等式化为()10x x -≤且1x ≠，即可求解.【详解】有已知得2201x x --≥-，()212011x x x x ---≥--，01x x -≥-，01x x ≤-,即()10x x -≤且1x ≠，则不等式的解集为[)0,1，故答案为：[)0,1.2.已知3,0,cos 225ππαα⎛⎫⎛⎫∈--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α=________．【答案】2425-##0.96-【解析】【分析】先求得3sin 5α=-，4cos 5α=，再利用二倍角正弦公式即可求得sin 2α的值.【详解】因为π,02α⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且5os 3si 2n παα⎛⎫-= ⎪=-⎝⎭，则4cos 5α=，则3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭故答案为：2425-.3.设252i1i iz +=++，则z =________．【答案】12i +##2i 1+【解析】【分析】由题意首先计算复数z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得()252i 2i 2i 2i2i 112i 1i i 11i i 1z +++-=====-++-+-，则12i z =+.故答案为：12i +.4.钝角ABC 中，3,60a b A === ，则ABC 的面积是__________.【答案】4【解析】【分析】利用余弦定理与面积公式即可得【详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，代入数据2793c c =+-，解得1c =或2c =，因为ABC 是钝角三角形，22222cos 022a c b c B ac ac+--==<，所以1c =，所以ABC 的面积是133sin 24bc A =.故答案为：3345.圆2222210x y ax ay a a +++++-=的半径的最大值为______.【答案】233【解析】【分析】化为圆的标准方程求出半径，根据a 的范围利用抛物线的单调性可得答案.【详解】由2222210x y ax ay a a +++++-=可得()2223124a x y a a a ⎛⎫+++-⎝=-+ ⎪⎭，当23104a a --+>表示圆，即解得a 的取值范围是22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，=，2324433y a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭是开口向下对称轴为23a =-的抛物线，在22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，在22,33⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减，所以23a =-时最大值为233.故答案为：233．6.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =_______．【答案】85-【解析】【分析】由题意知公比1q ≠，设首项为1a ，由6221S S =求出2q ，再代入4S 求出11a q-，由此求得8S ．【详解】等比数列{}n a 中，45S =，6221S S =，显然公比1q ≠，设首项为1a ，则41(1)51a q q-=--①，6211(1)21(1)11a q a q q q --=--②，化简②得42200q q +-=，解得24q =或25q =-（不合题意，舍去），代入①得1113=-a q ，所以844118(1)1(1)(1)(15)(116)85113a q a S q q q q -==-+=⨯-⨯+=---．故答案为：85-7.已知a b 、满足21a b += ，且()1,1a =- ，则b 在a 上数量投影的最小值为________．【答案】122+-【解析】【分析】据题意设(,)b x y = ，代入条件可推得点(,)x y 在以11(,)22-为圆心，半径为12的圆上运动，再根据数量投影概念得出数量投影与x y -有关，利用直线和圆的位置关系求得x y -的范围，进而求出数量投影最小值．【详解】设(,)b x y = ，则2(21,21)a b x y +=+-，由|2|1a b +=，可得22(21)(21)1x y ++-=，即22111()()224x y ++-=，所以点(,)x y 在以11(,)22-为圆心，半径为12的圆上，又b 在a上数量投影为a b a b b a a b⋅⋅⋅==，令x y t -=，则由直线0x y t --=与圆22111()()224x y ++-=有公共点，12≤，即212t +≤，解得222112112222t +---≤≤-+⇒-≤，故b在a上数量投影的最小值为12+-．故答案为：12+-．8.正四面体ABCD 的棱长为2，则所有与A ，B ，C ，D 距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为______．3【解析】【分析】根据题意知，到正四面体ABCD 四个顶点距离相等的截面分为两类：一类是由同一顶点出发的三条棱的中点构成的三角形截面，这样的截面有4个；另一类是与一组相对的棱平行，且经过其它棱的中点的四边形截面，这样的截面有3个；求出所有满足条件的截面面积之和即可．【详解】设E 、F 、G 分别为AB 、AC 、AD 的中点，连结EF 、FG 、GE ，则EFG 是三棱锥A BCD -的中截面，可得平面//EFG 平面BCD ，点A 到平面EFG 的距离等于平面EFG 与平面BCD 之间的距离，A ∴、B 、C 、D 到平面EFG 的距离相等，即平面EFG 是到四面体ABCD 四个顶点距离相等的一个平面；正四面体ABCD 中，象EFG 这样的三角形截面共有4个．正四面体ABCD 的棱长为2，可得1EF FG GE ===，EFG ∴ 是边长为1的正三角形，可得13sin6024EFG S EF FG =⋅⋅=；取CD 、BC 的中点H 、I ，连结GH 、HI 、IE ，EI 、GH 分别是ABC 、ADC 的中位线，∴1//2EI AC ,1//2GH AC 得//EI GH ∴四边形EGHI 为平行四边形；又AC BD = 且AC BD ⊥，1//2EI AC ，1//2HI BD EI HI ∴=且EI HI ⊥，∴四边形EGHI 为正方形，其边长为112AB =，由此可得正方形EGHI 的面积1EGHI S =；BC 的中点I 在平面EGHI 内，B ∴、C 两点到平面EGHI 的距离相等；同理可得D 、C 两点到平面EGHI 的距离相等，且A 、B 两点到平面EGHI 的距离相等；A ∴、B 、C 、D 到平面EGHI 的距离相等，∴平面EGHI 是到四面体ABCD 四个顶点距离相等的一个平面，且正四面体ABCD 中，象四边形EGHI 这样的正方形截面共有3个，因此，所有满足条件的正四面体的截面面积之和等于34343134EFG EGHI S S +=⨯+⨯= ．3．【点睛】本题主要考查了正四面体的性质、点到平面距离的定义、三角形面积与四边形形面积的求法等知识，属于难题．9.设n ∈N *，a n 为(x ＋4)n －(x ＋1)n 的展开式的各项系数之和，1222...555n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()()222n n t b t -+-+(t ∈R )的最小值为____.【答案】12【解析】【分析】根据展开式求出系数和得52nnn a =-，求出22n n n b -=，将()()222n n t b t -+-+转化为点2,2n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭到(),2t t -的距离的平方，结合几何意义即可得解.【详解】a n 为(x ＋4)n －(x ＋1)n 的展开式的各项系数之和，即52n n n a =-，522155n n n n-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，考虑()20,,2255nf n n n N n n *⎛⎫=>∈+< ⎪⎝⎭，()()()()12112151525n nn f n n f n nn +⎛⎫+ ⎪++⎝⎭==<⎛⎫⎪⎝⎭，所以()20,5nf n n n N *⎛⎫=>∈ ⎪⎝⎭递减，所以()220,55nf n n ⎛⎫⎛⎤=∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以2155n n n na n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，212...12n n n b n -=+++-=，()()()22222222n n n n t b t n t t ⎛⎫--+-+=-+-+ ⎪⎝⎭，可以看成点2,2n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭到(),2t t -的距离的平方，即求点2,2n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线2y x =-的距离最小值的平方，由图可得即求点()1,0或()2,1到直线20x y +-=的距离的平方，即212=故答案为：12【点睛】此题考查求二项式系数，数列增减性与求和，通过几何意义转化求解代数式的最值，涉及转化与化归思想和数形结合思想.10.已知抛物线2(0)y ax a =>，在y 轴正半轴上存在一点P ，使过P 的任意直线交抛物线于M N 、，都有2211||||MP NP +为定值，则点P 的坐标为________．【答案】10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】设直线MN 的解析式为y kx m =+，联立方程组，利用一元二次方程根与系数的关系和两点间的距离公式，化简整理，即可得到点P 的坐标．【详解】设(0,)P m ．设直线MN 的解析式为y kx m =+，联立2(0)y axa =>得到：22ax kx m ax m kx =+-=，，整理，得20ax kx m --=，则1212,k m x x x x a a+==-设221122(,),(,),M x ax N x ax 则()()222222222222111222()1,()1PMx m ax k x PN x m ax k x =+-=+=+-=+∴22122222212111||||1,x x MP NP k x x ++=⨯+()2121222212211,x x x x k x x +-=⨯+222211k m a a k m a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯+⎛⎫- ⎪⎝⎭222121k am k m +=⨯+即存在12m a=时，222114||||a MP NP +=，即存在10,2P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得2211||||MP NP +为定值24a故答案为：10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭．11.某学校有如图所示的一块荒地，其中60m AB =，40m AD =，45m BC =，π2DAB ∠=，2π3ABC ∠=，经规划以AB 为直径做一个半圆，在半圆外进行绿化，半圆内作为活动中心，在以AB 为直径的半圆弧上取,E F 两点，现规划在OEF 区域安装健身器材，在OBE △区域设置乒乓球场，若BOE EOF ∠=∠，且使四边形AOEF 的面积最大，则cos EOF ∠=______．【答案】3318-【解析】【分析】设O BOE E F θ∠∠==，先求得四边形OEFA 面积的表达式，然后利用导数求得当1cos 8θ-=时，四边形AOEF 的面积最大.【详解】设O BOE E F θ∠∠==，根据题意易知π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∵OF OA =，OAF △为等腰三角形，且OFA OAF ∠=∠，又∵BOF OFA OAF ∠=∠+∠，∴EOF OFA OAF θ∠=∠=∠=，∴//OE FA ，∴四边形OEFA 为梯形，则四边形OEFA 面积：()()13030sin π2sin 450sin sin 22S θθθθ⎡⎤=⨯⨯⨯-+=+⎣⎦，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()2450cos 2cos 24504cos cos 2S θθθθ=+=+-'，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令0S '=，则24cos cos 20θθ+-=，解得331cos 8θ=（舍）或1cos 8θ-=，设为φ为1cos 8θ-=所对应的角，∵cos y θ=在π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，∴()0,θϕ∈时，331cos ,18θ⎛⎫-∈ ⎪⎪⎝⎭，()24504cos cos 20S θθ'=+->，S 单调递增，∴π,2θϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，331cos 0,8θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()24504cos cos 20S θθ'=+-<，S 单调递减．∴当1cos 8θ-=时，面积最大，即331cos 8EOF -∠=．故答案为：18．【点睛】方法点睛：求解面积最大值或最小值有关问题，可先将面积的表达式求出，然后根据表达式选取合适的方法来求最值.可以考虑的方向有函数的单调性、二次函数的性质、基本不等式、三角函数值域、导数等知识.12.M 是正整数集的子集，满足：1,2022,2023M M M ∈∈∉，并有如下性质：若a 、b M ∈，则M ∈，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则M 的非空子集个数为________．【答案】202221-【解析】【分析】根据题意，先判断M 中相邻两数不可能大于等于2，可得2，3，⋯，2021M ∈，从而求出M ，再根据子集的个数与集合元素个数之间的关系即可得答案．【详解】由题意可知：若x ，()y M x y ∈<，则1x +，2x +，⋯，1y -均属于M ，而事实上，若2y x -≥，中12x y x y ++≤<<，所以11x y +≤≤-，故[x ，]y 中有正整数，从而M 中相邻两数不可能大于等于2，故2，3，⋯，2021M ∈，若2024p ≥，p M ∈，则有2023M ∈，与2023M ∉矛盾，当2022a b ==2022=，当1a b ==时，则1=，所以[1∈，2022]，所以{1M =，2，⋯，2022}，所以非空子集有202221-个．故答案为：202221-．【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知集合{3,2,0,1,2,3,7},{,}A B xx A x A =--=∈-∉∣，则B =（）A.{0,1,7}B.{1,7}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3,7}【答案】B 【解析】【分析】根据集合的描述法及元素与集合的关系求解.【详解】因为{3,2,0,1,2,3,7}A =--，{,}B xx A x A =∈-∉∣，所以{1,7}B =.故选：B.14.对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）A.2431r r r r <<<B.4231r r r r <<<C.4213r r r r <<<D.2413r r r r <<<【答案】A 【解析】【分析】根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．【详解】由给出的四组数据的散点图可以看出，图1和图3是正相关，相关系数大于0，图2和图4是负相关，相关系数小于0，图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以1r 接近于1，2r 接近于1-，由此可得24310r r r r <<<<．故选:A.15.已知函数()sin2f x x π=，任取t ∈R ，记函数()f x 在[,1]t t +上的最大值为t M ，最小值为t m ，设()t t h t M m =-，则函数()h t 的值域为（）A.12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.1,122⎡-+⎢⎣⎦C.12⎡-⎢⎣D.,122+⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】考虑一个周期内()h t 的情况，根据t 的取值，求得()h t 的解析式，结合三角函数的值域，求该函数值域即可.【详解】因为()444t t h t M m +++=-，其中44,t t M m ++分别是指()f x 在区间[]4,5t t ++上的最大值和最小值，因为()f x 的周期242T ππ==，故()f x 在区间[]4,5t t ++的图象与在区间[],1t t +上的图象完全相同，故44,t t t t M M m m ++==，故()()4h t h t +=，即()h t 是周期为4的函数，故(),R h t t ∈的值域与()[],2,2h t t ∈-时的值域相同；又()f x 在[]2,1--单调递减，[]1,1-单调递增，在[]1,2单调递减，故当32,2t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()sin 2f t t π=，最小值为1-，此时()sin12h t t π=+；当3,12t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()1sin cos 222f t t t πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，最小值为1-，此时()cos12h t t π=+；当[)1,0t ∈-时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()1cos2f t t π+=，最小值为()sin 2f t t π=，此时()cossin 22h t t t ππ=-24t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为1，最小值为()sin 2f t t π=，此时()1sin 2h t t π=-；当1,12t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为1，最小值为()1cos 2f t t π+=，此时()1cos 2h t t π=-；当[]1,2t ∈时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()sin2f t t π=，最小值为()1cos 2f t t π+=，此时()sincos 22h t t t ππ=-24t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；故()h t 在[]22-,的函数图象如下所示：数形结合可知，()h t 的值域为12⎡-⎢⎣.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数值域的求解，涉及三角函数值域的求解；处理问题的关键是能够根据题意，找到()h t 的周期，同时要对t 进行分类讨论求()h t 的解析式，属综合困难题.16.已知曲线:1(0,)n nx yC n n a b+=>∈R ．当4,2,1n a b ===时，①曲线C 所围成的封闭图形的面积小于8；②曲线C 上的点到原点O 的距离的最大值为1417．则（）A.①成立②成立B.①成立②不成立C.①不成立②成立D.①不成立②不成立【答案】A 【解析】【分析】根据曲线在一个长为4，宽为2的矩形内部判断①正确，利用三角换元计算得到②正确，【详解】因为曲线:1(0,)n nx yC n n a b+=>∈R ．所以，当4,2,1n a b ===时，曲线44:116xC y +=，对①：因为44121162x y x ≤⇒-≤-≤=，当且仅当0y =时取等号，44611111x y y -⇒-=≤≤≤，当且仅当0x =时取等号，故曲线在一个长为4，宽为2的矩形内部，故曲线C 所围成的封闭图形的面积小于248⨯=，正确；对②：设曲线上一点为(,)M x y ，则44116x y +=，设224cos sin x y θθ⎧=⎨=⎩，M 到原点的距离的平方为224cos sin )x y θθθϕ+=+=+，[0,2πθ∈，tan 4ϕ=，当sin()1θϕ+=时，距离平方有最大值为，故距离的最大值为1417，正确．故选：A ．三、解答题（本大题共有5题满分78分）解下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.甲乙两人进行乒乓球比赛，现约定：谁先赢3局谁就赢得比赛，且比赛结束．若每局比赛甲获胜的概率为13，乙获胜的概率为23．（1）求甲赢得比赛的概率；（2）记比赛结束时的总局数为X ，写出X 的分布列，并求出X 的期望值．【答案】（1）1781（2）分布列见详解，()10727E X =.【解析】【分析】（1）根据题意，求出甲胜共进行3局，4局，5局的概率，再利用互斥事件的概率公式求解；（2）X 的可能值为3，4，5，分别求出每种情况的概率，按照步骤求分布列即可.【小问1详解】比赛采用5局3胜，甲赢得比赛有以下3种情况：①甲连赢3局：3111327P ⎛⎫== ⎪⎝⎭；②前3局2胜1负，第4局甲赢：22231212C 33327P 骣骣骣琪琪琪==琪琪琪桫桫桫;③前4局甲2胜2负，第5局甲赢：222341218C 33381P 骣骣骣琪琪琪==琪琪琪桫桫桫，所以甲赢得比赛的概率为1231781P P P ++=.【小问2详解】X 可以取3，4，5所以()331213333P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()22241285C 3327P X 骣骣琪琪===琪琪桫桫,()18104132727P X ==--=,由此可得X 的分布列为：X345P131027827所以()11081073453272727E X =⨯+⨯+⨯=.18.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB BC PC ====，（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PC B --的大小．【答案】（1）证明见解析（2）π3【解析】【分析】（1）先由线面垂直的性质证得PA BC ⊥，再利用勾股定理证得BC PB ⊥，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC 与平面PBC 的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【小问1详解】因为PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，同理PA AB ⊥，所以PAB 为直角三角形，又因为PB ==1,BC PC ==所以222PB BC PC +=，则PBC 为直角三角形，故BC PB ⊥，又因为BCPA ⊥，PA PB P = ，所以BC ⊥平面PAB .【小问2详解】由（1）BC ⊥平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，则BC AB ⊥，以A 为原点，AB 为x 轴，过A 且与BC 平行的直线为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0)A P C B ，所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)AP AC BC PC ====-，设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z = ，则0m AP m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即1110,0,z x y =⎧⎨+=⎩令11x =，则11y =-，所以(1,1,0)m =-，设平面PBC 的法向量为()222,,x n y z = ，则0n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200y x y z =⎧⎨+-=⎩，令21x =，则21z =，所以(1,0,1)n =，所以1cos ,222m n m n m n⋅===⨯，又因为二面角A PC B --为锐二面角，所以二面角A PC B --的大小为π3.19.已知函数()()cos2,sin f x x g x x ==．（1）判断函数()ππ42H x f x g x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的奇偶性，并说明理由；（2）设函数()()πsin 0,02h x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭，若函数π2h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和()πh x -都是奇函数，将满足条件的ω按从小到大的顺序组成一个数列{}n a ，求{}n a 的通项公式．【答案】19.非奇非偶函数，理由见解析20.*2N 3n a n n =∈，【解析】【分析】（1）函数()sin 2cos H x x x =-+，为非奇非偶函数．运用奇偶性的定义即可得到；（2）由奇函数和诱导公式可得ππ2k ωϕ+=，()ππ,Z l k l ϕω-=∈，解得2()3k l ω=-，即可得到所求通项公式【小问1详解】函数()ππππcos 2sin 4222H x f x g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 2cos x x =-+，为非奇非偶函数．理由：定义域为R ，()sin 2()cos()sin 2cos ()H x x x x x H x -=--+-=+≠，且()()H x H x -≠-，即有()H x 为非奇非偶函数；【小问2详解】函数π2h x ⎛⎫+⎪⎝⎭和()πh x -都是奇函数，即有πsin 2x ωωϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭和()sin πx ωϕω+-均为奇函数，则ππ2k ωϕ+=，()ππ,Z l k l ϕω-=∈，解得2()3k l ω=-，由于0ω>，k ，Z l ∈，则*2N 3n n ω=∈，．故数列{}n a 的通项公式为*2N 3n a n n =∈，20.过坐标原点O 作圆22:(2)3C x y ++=的两条切线，设切点为,P Q ，直线PQ 恰为抛物2:2,(0)E y px p =>的准线.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点,,,A B M N 满足：2,2TA TM TB TN ==，设AB 中点为D .（i ）求直线TD 的斜率；（ii ）设TAB △面积为S ，求S 的最大值.【答案】（1）22y x =（2）（i ）0；（ii ）48【解析】【分析】（1）设直线PQ 与x 轴交于0,02p P ⎛⎫-⎪⎝⎭，由几何性质易得：20CP CP CO =⋅，即可解决；（2）设()()()001122,,,,,T x y A x y B x y ，（i ）中，由于TA 中点M 在抛物线E 上，得20101222y y x x ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，将()()1122,,,A x y B x y ，代入联立得D 点纵坐标为1202y y y +=，即可解决；（ⅱ）由（i ）得点200034,2y x D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1213222S TD y y =⋅-=又点T 在圆C 上，得2200041y x x =---，可得：2S =即可解决.【小问1详解】设直线PQ 与x 轴交于0,02p P ⎛⎫-⎪⎝⎭.由几何性质易得：0CPP 与OCP △相似，所以CP CO CP CP=，20CP CP CO =⋅，即：3222p ⎛⎫- ⎝+⎪⎭=⋅，解得：1p =.所以抛物线E 的标准方程为：22y x =.【小问2详解】设()()()001122,,,,,T x y A x y B x y （i ）由题意，TA 中点M 在抛物线E 上，即20101222y y x x ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，又2112y x =，将2112y x =代入，得：2210100240y y y x y -+-=，同理：2220200240y y y x y -+-=，有1202120024y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩，此时D 点纵坐标为1202y y y +=，所以直线TD 的斜率为0.（ⅱ）因为()222212120012122342442y y y y y x x x y y +--++===，所以点200034,2y x D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时1212S TD y y =⋅-，2200000343222y x TD x y x -=-=-，12y y -=所以322S =又因为点T 在圆C 上，有()220023x y ++=，即2200041y x x =---，代入上式可得：323222S ==由022x -≤-≤+，所以03x =-时，S取到最大价32482=.所以S 的最大值为48.21.已知函数()()ln 1f x x =+，2()1(g x x bx b =++为常数)，()()().h x f x g x =-（1）若函数()f x 在原点的切线与函数()g x 的图象也相切，求b ；（2）当2b =-时，[]12,0,1x x ∃∈，使12()()h x h x M -≥成立，求M 的最大值；（3）若函数()h x 的图象与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<，证明：1202x x h +⎛⎫' ⎪⎝⎭＜【答案】（1）3b =或1-；（2）ln 21+；（3）证明过程见解析.【解析】【分析】（1）计算()f x 在原点的切线方程，然后与()g x 联立，利用Δ0=，计算即可.（2）求得()h x '，判断函数()h x 单调性，根据条件等价于()()max min h x h x M -≥，简单计算即可.（3）利用()()1200h x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求得()()211221ln 1ln 1x x x x b x x +-+++=-，然后计算122x x h +⎛⎫' ⎪⎝⎭，并利用等价条件可得()21221121ln021x x x x x x -+-<+++，构建新函数并采取换元2111x t x +=+，求导计算即可.【小问1详解】由()11f x x '=+，所以()()01,00f f ='=，所以函数()f x 在原点的切线方程为：y x =，将该切线方程代入()g x 可得：()2110x b x +-+=，依据题意可得()21403b b ∆=--=⇒=或1-，所以3b =或1-；【小问2详解】当2b =-时，()2()ln 121h x x x x =+-+-，()21322211x h x x x x -=-+='++，当[]0,1x ∈时，()0h x '>，所以()h x 在[]0,1单调递增，则()()()()max min 1ln 2,01h x h h x h ====-，由题可知：[]12,0,1x x ∃∈使得()()12h x h x M -≥成立等价于()()max min h x h x M -≥，所以ln 21M ≤+，所以M 的最大值为ln 21+；【小问3详解】由题可知：()()()()2111122222ln 110ln 110h x x x bx h x x x bx ⎧=+---=⎪⎨=+---=⎪⎩，所以两式相减可得：()()211221ln 1ln 1x x x x b x x +-+++=-，由1()21h x x b x '=--+，所以()121212222x x h x x b x x +⎛⎫'=-++ ⎪++⎝⎭，所以()()21121221ln 1ln 1222x x x x h x x x x +-++⎛⎫'=- ⎪++-⎝⎭，由120x x <<，要证1202+⎛⎫'< ⎪⎝⎭x x h ，即证()21221121ln 021x x x x x x -+-<+++，即()()()()2122112111ln 0111x x x x x x +-+⎡⎤+⎣⎦-<++++，令()21111x t t x +=>+，所以即证明：22ln 01t t t --<+，令()()22ln 11t m t t t t -=->+，所以()()()2211t m t t t '--=+，当1t >时，()0m t '<，所以()m t 在()1,+∞单调递减，所以()()10m t m <=，所以1202+⎛⎫'< ⎪⎝⎭x x h .【点睛】关键点睛：第（1）问关键在于求得切线方程；第（2）问在于使用等价转化()()max min h x h x M -≥；第（3）问在于化简得到()()211221ln 1ln 1x x x x b x x +-+++=-，然后进行换元计算.。
上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含解析)
2025届华二附中高三10月月考数学试卷一、填空题1．若集合，则__________．2．已知复数，则__________．3．展开式中的系数为60，则实数__________．4．己知是单调递增的等比数列，，则公比q 的值是__________．5．已知，则_________．6．已知函数，若在定义域内为增函数，则实数p 的最小值为__________．7．己知双曲线，左，右焦点分别为，关于C 的一条渐近线的对称点为P ．若，则的面积为__________．8．己知，则的最小值为__________．9．已知函数是上的奇函数，则__________．10．对平面直角坐标系中两个点和，记，称，为点与点之间的“距离”，其中表示p ，q 中较大者．设是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为r 的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以r 为半径的“圆”．以原点O 为圆心，以为半径的“圆”的面积为__________．11．长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：{23},{(4)(2)0}A xx B x x x =<<=+->∣∣A B = 1i z =+|2i |z -=5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x a ={}n a 453824,128a a a a +==π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()2ln p f x px x x=--()f x 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12F F 2F 12PF =12PF F △0,0,23x y x y >>+=23x y xy+tan tan()()12tan()x f x x θθθ-+=-+ππ,20242024⎡⎤-⎢⎥⎣⎦tan θ=()111,P x y ()222,P x y 1212121212max ,11x x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭12PP 1P 2P t -max{,}p q ()000,P x y 0r >0P t -0P t -12t -100=⨯水库实际蓄水里水库总蓄水里（i ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；（ii ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；（iii ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变记x 为调度前某水库的蓄满指数，y 为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y 关于x 的函数解析式：①；②；③；④．则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是__________．12．将棱长为1的正方体的上底面绕着其中心旋转得到一个十面体（如图），则该十面体的体积为__________．二、单选题13．“”是“对任意的正整数x ，均有的（ ）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件14．己知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ）A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.315．已知函数不是常数函数，且满足对于任意的，，则（ ）A ．B ．一定为周期函数C ．不可能为奇函数D ．存在16．如图，将线段AB ，CD 用一条连续不间断的曲线连接在一起，需满足要求：曲线经过点B ，C ，并且在点B ，C 处的切线分别为直线AB ，CD ，那么下列说法正确的是（ ）命题甲：存在曲线满足要求命题乙：若曲线和满足要求，则对任意实数，当时，曲线满足要求[0,100]21620y x x =-+y =5010x y =π100sin 200y x =1111ABCD A B C D -1111A B C D 45︒ABCD EFGH -1a =2a x x+≥ξ()22,N σ(0)0.2P ξ≤=(24)P ξ<≤()f x ,R a b ∈()()2()()f a b f a b f a f b ++-=(0)0f =()f x ()f x ()00R,2x f x ∈=-()y f x =()y f x =sin cos (,,)2ax bx y c a b c +=+∈R 1()y f x =2()y f x =,λμ1λμ+=12()()y f x f x λμ=+A ．甲命题正确，乙命题正确B ．甲命题错误，乙命题正确C ．甲命题正确，乙命题错误D ．甲命题错误，乙命题错误三、解答题17．如图，在正三棱柱中，分别是的中点，的边长为2．（1）求证：平面；（2）若三棱柱的高为1，求二面角的正弦值．18．放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．己知2023年该机场飞往A 地，B 地及其他地区（不包含A ，B 两地）航班放行准点率的估计值分别为和、2023年该机场飞往A 地，B 地及其他地区的航班比例分别为0.2，0.2和0.6试解决一下问题：（1）现在从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；（2）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由．19．在中，，内有一点M ，且．（1）若，求的面积；（2）若，求BM 的长．20．己知圆，直线过点且与圆交于点B ，C ，BC 中点为D ，过中点E 且平行于的直线交于点P ，记P 的轨迹为（1）当到直线时，求直线方程；（2）求的方程；（3）坐标原点O 关于的对称点分别为，点关于直线的对称点分别为，过的直线与交于点M ，N ，直线相交于点Q ，求的面积．111ABC A B C -1,,D D F 1111,,BC B C A B 4,BC BE ABC = △EF ∥11ADD A 1B EF C --84%80%，75%84%，ABC △π10,3BC ABC =∠=ABC △2,π3BM CM AMB ⊥∠=BM =ABC △14AC =221:(1)16A x y ++=1l 2(1,0)A 1A 2A C 1A D 1AC Γ1A 1l 1l Γ12,A A 12,B B 12,A A y x =12,C C 1A 2l Γ12,B M B N 12QC C △21．对于函数，定义域R ，为若存在实数，使，其中，则称为“倒数函数”，为“的倒数点”．己知．（1）如果对成立．求证：为周期函数；（2为“关于倒数点”，且只有两个不同的解，求函数m 的值；（3）设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，求a 的取值范围．()f x 0x ()()001f x f x λ+=0λ≠()f x 0x ()f x λ()e ,()(0)x g x h x x a a ==+>()(1)1f x f x +=x R ∈()h x 2-2()()m h x g x =(),0()1,0()g x x x x h x ω>⎧⎪=⎨<⎪⎩()x ω2025届华二附中高三10月月考数学试卷参考答案一、填空题1．【答案】2．3．【答案】12【解析】展开式的通项为，令，则，所以展开式中的系数为，解得．4．【答案】2【解析】由等比数列性质知，联立，解得或，因为是单调递增的等比数列，所以，即．5．【答案】6．【答案】1【解析】函数．要使在定义域内为增函数，只需在上恒成立即可，即在上恒成立，即在上恒成立．，当且仅当，即时等号成立，，即实数p 的最小值为1．7．【答案】4{23}xx <<∣5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭552155C C kk k k k k k a T x a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭523k -=1k =5ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 15C 60a =12a =3645a a a a =454524128a a a a +=⎧⎨=⎩45816a a =⎧⎨=⎩45168a a =⎧⎨=⎩{}n a 45816a a =⎧⎨=⎩542a q a ==725- 22222()2ln ,(0,),()p p px x p f x px x x f x p x x x x-+'=--∈+∞=+-=()f x (0,)+∞()0f x '≥(0,)+∞220px x p -+≥(0,)+∞221x p x ≥+(0,)+∞222111x x x x =≤=++ 1x x =1x =1p ∴≥【解析】设与渐近线交于M ，则，所以，由O ，M 分别与的中点，知且，即，由，所以．8．【答案】【解析】9．【答案】【解析】2PF b y x a=222,tan ,sin b b F M OM MOF MOF a c⊥∠=∠=222sin ,F M OF MOF b OM a =⋅∠===12F F 2PF 1OM PF ∥1112OM PF ==1a =e =2c b ==1221442142PF F OMF S S ==⨯⨯⨯=△△1+223(2)211x y x x y y x y xy xy y x+++==++≥+2-tan tan()()12tan()x f x x θθθ-+=-+tan tan tan 1tan tan tan tan 121tan tan x x x x θθθθθ+--=+-⨯-tan (1tan tan )(tan tan )1tan tan 2(tan tan )x x x x θθθθθ--+=--+()2tan 1tan 12tan (tan 2)tan xxθθθ-+=--+上的奇函数，又上的奇函数．10．【答案】4【解析】设是以原点O为圆心，以为半径的圆上任一点，则．若，则；若，则有．由此可知，以原点O 为圆心，以为半径的“圆”的图形如下所示：则“圆”的面积为．11．【答案】②④【解析】①，该函数在时函数值为180，超过了范围，不合题意；②为严格增函数，且，则，符合题意；③，当时，不合题意④，当时，，故该函数在上严格递增，又ππ(),20242024f x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()2tan 1tan y x θ=-+⋅tan 20,tan 2θθ∴+=∴=-(,)P x y 12t -||||1max ,1||1||2x y x y ⎧⎫=⎨⎬++⎩⎭||||11||1||2y x y x ≤=++||1||1x y =⎧⎨≤⎩||||11||1||2x y x y ≤=++||1||1y x =⎧⎨≤⎩12t -t -224⨯=()2221116120(60)180202020y x x x x x =-+=--=--+60x =y =[0,100],[0,100]x y ∈∈10≤x ≤5010xy =50x =50101050x=<π100sin 200y x =[0,100]x ∈ππ0,2002x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[0,100]π100sin[0,100]200y x =∈设即即，易知在上为严格减函数令，则存在，有当；当；故在严格递增，在严格递减．故上即上，故④符合题意12．【解析】如图作出原正方体，与HE ，EF 的交点分别为M ，N ，HE 与的交点为P ，上底面非重叠部分是8个全等的等腰直角三角形，设每个等腰直角三角形的边长为a ，则，所以，π()100sin ,[0,100]200g x x xx =-∈ππ()100cos 1,[0,100]200200g x x x '=⋅⋅-∈ππ()cos 12200g x x '=⋅-ππ()cos 12200g x x =⋅-[0,100]()0g x '=0[0,100]x ∈()0g x '=[]00,,()0x x g x '∈>[]0,100,()0x x g x '∈<()g x []00,x []0,100x (0)0,(100)0g g ==[0,100]()0g x ≥[0,100]π100sin 200x x ≥1111ABCD A B C D -11A B 11A D 21a =a =所以，设该十面体的体积为V ，二、单选题13．【答案】A【解析】对任意的正整数x ，均有，所以，当时，取最大值1，所以．因为时，一定成立；时，不一定成立．所以“”是“对任意的正整数x ，均有”的充分不必要条件．14．【答案】B【解析】因为服从正态分布，且，所以，所以15．【答案】C【解析】由题意，函数满足对于任意的，令，解得或．若，令，则，故，与题设不为常数函数矛盾，所以A 错误；所以，此时令，得，即，所以必然为偶函数，所以C 正确；||1MN ==-1111144ABCD A B D A MP E ABNMC V V V V --=-+11111144||332A MP ABNM S A A S MN =-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯△四边形211114141323=-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=2a x x +≥222,2x a x a x x +≥∴≥-+1x =22x x -+1a ≥1a =1a ≥1a ≥1a =1a =2a x x +≥ξ()22,N σ(0)0.2P ξ≤=(4)0.2P ξ>=11(24)[12(0)](120.2)0.322P P ξξ<≤=-≤=⨯-⨯=()f x ,R,()()2()()a b f a b f a b f a f b ∈++-=0a b ==(0)0f =(0)1f =(0)0f =,0a x b ==()()0f x f x +=R,()0x f x ∀∈=(0)1f =0,a b x ==()()2()f x f x f x +-=()()f x f x -=()f x再令，则，所以D 错误；例如，函数符合题意，此时函数在上严格递增，且不为周期函数，所以B 错误．故选：C ．16．【答案】B【解析】由图知点，所以直线AB 的方程为，直线CD 的方程为，所以，对于命题甲：曲线的导函数为，当时，，当时，，代入得，即，又由，得，方程组中a ，b 不可解，故命题甲不正确；对于命题乙：当时，有，即，故当时，曲线满足要求，故命题乙正确，综上，故选B三、解答题17．【答案】（1）见解析；（2）2x a b ==2()2112x f x f ⎛⎫=-≥- ⎪⎝⎭e e ()2x xf x -+=()f x (0,)+∞(0,4),(1,3),(2,1),(4,0)A B C D 4y x =-+122y x =-+11,2AB CD k k =-=-sin cos (,,)2ax bx y c a b c +=+∈R 1(cos sin )2y a ax b bx '=-1x =1y =-2x =12y =-1(cos sin )2y a ax b bx '=-1( c o s s i n )1211( c o s 2 s i n 2)22a ab b a a b b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩cos sin 2cos 2sin 21a a b b a a b b -=-⎧⎨-=-⎩sin cos 32sin 2cos 212a b c a b c +⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩(sin cos )(sin 2cos 2)4a b a b +-+=1λμ+=121122(1)(1)()11111(2)(2)()2222x x y f f y f f λμλμλμλμλμλμ=='''⎧=+=--=-+=-⎪⎨'''=+=--=-+=-⎪⎩12112x x y y =='⎧=-⎪⎨'=-⎪⎩1λμ+=12()()y f x f x λμ=+25【解析】（1）证明：取的中点G ，连接FG ，DG ，根据题意可得，且，由三棱柱得性质知，所以，则四边形DGEF 是平行四边形，所以，因为面，面，所以面．（2）因为是等边三角形，且边长为2，所以，因为三棱柱的高为1，以D 为坐标原点，的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系：所以，所以，设平面BEF的法向量11A D 11FG B D ∥1111,22FG B D DE BD ==11BD B D ∥FG BD ∥EF DG ∥EF ⊄11ADD A DG ⊂11ADD A EF ∥11ADD A ABC △AD BC ⊥1,,DB AD DD111,0,0,,,(1,0,0),(1,0,1)22E F B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113,0,0,0,,,0,122BE EF EC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111,,m x y z =则，令，所以，设平面的一个法向量为，所以，令，则，所以，设二面角为，所以，所以，所以二面角的正弦值为．18．【解析】（1）设"该航班飞往A 地"， "该航班飞往B 地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"，则，由全概率公式得，，所以该航班准点放行的概率为0.778（2）（2），11111110020x m BE x z y m EF y z ⎧=⋅=-=⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⋅=+=⎩⎪⎩ 1y =113,02z x ==32m ⎛⎫= ⎪⎝⎭1C EF ()222,,n x y z =122222222330220n EC x z z x n EF y z z y ⎧⎧⋅=-+==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⋅=+==⎪⎪⎩⎩22y =22x z ==n = 1B EF C --([0,π])θθ∈|||cos |||||m n m n θ⋅= 2sin 5θ==1B EF C --251A =2A =3A =C =()()()1230.2,0.2,0.6P A P A P A ===()()()1230.84,0.8,0.75P C A P C A P C A ===∣∣∣()()()()()()112232()P C P A P C A P A P C A P A P C A =++∣∣∣0.840.20.80.20.750.60.778=⨯+⨯+⨯=()()()()11110.20.84()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣因为，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大．19．【答案】（1；（2【解析】（1）在直角中，，可得，因为，则在中，，则，所以，解得，则（2）在中，，即，即，解得或（舍去），设，则，()()()()22220.20.8()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣()()()()33330.60.75()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣0.60.750.20.840.20.8⨯>⨯>⨯BMC △BM =ππ,63MBC BCM ∠=∠=10BC =BM =ABM △π2π,63ABM AMB ∠=∠=π6BAM ∠=2ππsin sin 36AB BM ==15AB =11sin 151022ABC S AB BC ABC =⋅∠=⨯⨯=△ABC △222π2cos 3AC AB BC AB BC =+-⋅211961002102AB AB =+-⋅⨯210960AB AB --=16AB =6AB =-CBM θ∠=π2ππ,π333ABM BAM θθθ⎛⎫∠=-∠=---= ⎪⎝⎭在中，可得，可得，即，则，则20．【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】（1）（2）由题意得，．因为D 为BC 中点，所以，即，又，所以，又E 为的中点，所以，所以，所以点P 的轨迹是以为焦点的椭圆（左、右顶点除外）．设，其中．则故．（3）思路一：由题意得，，且直线的斜率不为0，ABM △10cos 2πsin sin sin 3AB BM θθθ==10cos sin θθ=16sin θθ=tan θ=cos θ==cos BM BC θ=⋅=1)y x =-22:1(2)43x y x Γ+=≠±1)y x =-12(1,0),(1,0)A A -1A D BC ⊥12A D A C ⊥1PE A D ∥2PE A C ⊥2A C 2||PA PC =121112||4PA PA PA PC AC A A +=+==>Γ12,A A 2222:1()x y x a a bΓ+=≠±2220,a b a b c >>-=24,2,1,a a c b =====22:1(2)43x y x Γ+=≠±1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l可设直线，且．由，得，所以，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，，解得．故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．思路二：由题意得，，且直线的斜率不为0，可设直线，且．由，得，所以，()()21122:1,,,,l x my M x y N x y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++()121223my y y y =-+1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()21122222y x x x y x ++=--()()()()12212211221212112112331112223933333222y y y y y y my my y y y my my y y y y y y y -++--++=====---+---4x =-4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l ()()21122:1,,,,l x my M x y N x y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．思路三：由题意得，，且直线的斜率不为0．()121223my y y y =-+1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++-=⎢⎥+--⎣⎦()()()()21121221211221132322133y my y my my y y y y my y my y y ⎡⎤++-⎛⎫+-==⎢⎥ ⎪+--+⎝⎭⎣⎦()()121221212323243my y y y y y y y ++-+⎡⎤==-⎢⎥+⎣⎦4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l（i ）当直线垂直于x 轴时，，由得或．不妨设，则直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，所以，故Q 到的距离，此时的面积是．（ii ）当直线不垂直于x 轴时，设直线，且．由，得，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得．下证：．即证，即证，2l 2:1l x =-221431x y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩132x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1B M 3(2)2y x =+2B N 1(2)2y x =-3(2)21(2)2y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩43x y =-⎧⎨=-⎩(4,3)Q --12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=2l ()()21122:(1),,,,l y k x M x y N x y =+122,2x x ≠±≠±22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()()22224384120k x k x k +++-=221212228412,4343k k x x x x k k --+==++1MB 11(2)2y y x x =++2MB 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++-=⎢⎥+--⎣⎦()()()()()()()()2112121221121212124262121234k x x k x x x x x x k x x k x x x x ⎡⎤++++--+==⎢⎥++-+-++⎣⎦121212426434x x x x x x -+=-++()121212426434x x x x x x -+=-++()121241016x x x x =-+-即证，即证，上式显然成立，故点Q 在直线，所以Q 到的距离，此时的面积是定值，为．由（i ）（ii ）可知，的面积为定值．思路四：由题意得，，且直线的斜率不为0，可设直线，且．由，得，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，因为，所以，故直线的方程为：22224128410164343k k k k ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()22244121081643k k k -=---+4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=12QC C △1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l ()()21122:1,,,,x my M x y N x l y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--2222143x y +=22222324y x x y ⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭2B N 2223(2)4x y x y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭由，得，解得．故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．21．【答案】（1）递增区间为，递减区间为；（2）；（3）．【解析】（1）对成立，得，所以2为函数的周期．（2为"关于倒数点"，得，即，即，得，设的定义域为R，求导得，当时，严格递增；时，严格递减；时，严格递增，所以的单调递增区间为，递减区间为，成立，（舍）（3）依题意，，1122(2)223(2)4y y x x x y x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎛⎫+⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩()()1212422322y y x x x x -=-+++()()()()12122222121212444933113139634y y y y mx my m y y m y y m m m ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥=-=-=-=⎢⎥+++++-+++⎢⎥⎣⎦⎣⎦4x =-4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=(,3),(1,)-∞--+∞(3,1)--34e -(2,e)()(1)1f x f x +=x R ∈1()(2)(1)f x f x f x ==++()f x ()h x 2-2)1h h =22)1,2)10a a a a ++=+-+-=(1)(1)0a a +--=1a =2()e (1)x x x ϕ=+2()e (1)2e (1)e (1)(3)x x x x x x x x ϕ'=+++=++(,3)x ∈-∞-()0,()x x ϕϕ'>(3,1)x ∈--()0,()x x ϕϕ'<(1,)x ∈-+∞()0,()x x ϕϕ'>()x ϕ(,3),(1,)-∞--+∞3(3,1).(3)4m e ϕ---=-=(1)0m ϕ=-=e ,0()1,0x x x x x a ω⎧>⎪=⎨<⎪+⎩由恰有3个“可移1倒数点”，得方程恰有3个不等实数根，①当时，，方程可化为，解得，这与不符，因此在内没有实数根；②当时，，方程可化为，该方程又可化为．设，则，因为当时，，所以在内严格递增，又因为，所以当时，，因此，当时，方程在内恰有一个实数根；当时，方程在内没有实数根．③当时，没有意义，所以不是的实数根．④当时，，方程可化为，化为，于是此方程在内恰有两个实数根，则有，解得因此当时，方程在内恰有两个实数根，当在内至多有一个实数根，综上，a 的取值范围为．()x ϕ()(1)1x x ωω+=0x >10x +>()(1)1x x ωω+=21e 1x +=12x =-0x >(0,)+∞()(1)0x x ωω+=10x -<<10x +>()(1)1x x ωω+=11x e x a+=+1ex a x +=-1()e x k x x +=-1()e 1x k x +'=-(1,0)x ∈-()0k x '>()k x (1,0)-(1)2,(0)e k k -==(1,0)x ∈-()(2,e)k x ∈(2,e)a ∈()(1)1x x ωω+=(1,0)-(0,2][e,)a ∈+∞ ()(1)1x x ωω+=(1,0)-1x =-10,(1)x x ω+=+1x =-()(1)1x x ωω+=1x <-10x +<()(1)1x x ωω+=1111x a x a ⋅=+++22(21)10x a x a a ++++-=(,1)-∞-()222(21)41021121(21)10a a a a a a a ⎧+-+->⎪+⎪-<-⎨⎪-+++->⎪⎩a >a >()(1)1x x ωω+=(,1)-∞-0a <≤()(1)1x x ωω+=(,1)-∞-(2,e)(2,e)⎫+∞=⎪⎪⎭。
2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019 学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献 .十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122 .若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为A．32f B．322fC．1225f D．1227f【答案】 D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解 .详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为122，所以a n 122a n 1(n 2,n N )，又a1 f ，则a8 a1q7 f(122)7 1227 f故选 D. 点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列 . 等比数列的判断方法主要有如下两种：a n 1 *a n *( 1)定义法，若q( q 0,n N*)或q( q 0,n 2,n N *)，数a n a n 1列{a n}是等比数列；2( 2)等比中项公式法，若数列{a n}中，a n 0且a n21 a n a n 2(n 3,n N*)，则数列{a n} 是等比数列 .222．已知函数f x 2cos2x sin2x 2，则A．f x 的最小正周期为，最大值为3B．f x 的最小正周期为，最大值为4C ． f x 的最小正周期为 2π，最大值为 3D ． f x 的最小正周期为 2π，最大值为 4 【答案】 B【解析】 首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为35f x cos2x ，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项 22【详解】根据题意有 f x cos2x 1 1 cos2x 2 3 cos2x 5 ，22 22所以函数 f x 的最小正周期为 T 2，35且最大值为f x max4 ，故选 B.【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式， 并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性 质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果 .答案】解析】 由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可 详解】由函数图象平移变换的性质可知：y sin 2 x sin2x .10 5则函数的单调递增区间满足： 2k 2x 2k k Z ， 22 即 k x k k Z ，443 函数的单调递减区间满足： 2k2x 2k k Z ， 223．将函数 y sin(2x ) 的图象向右平移5个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间 C ．在区间 [3 ,5 ] 上单调递增 44[5 ,3 ] 上单调递增 42B ．在区间D ．在区间 3[ , ] 上单调递减 43[ ,2 ] 上单调递减将y sin2x 5 的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：令 k 1 可得一个单调递增区间为： 3 44633即k x k k Z ， 44令 k 1可得一个单调递减区间为： 5 ,7 ，本题选择 A 选项.44【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换， 三角函数的单调区间的判断等知识， 意在考查学生 的转化能力和计算求解能力 .2k 14．已知函数 y 5cos x （其中 k N ），对任意实数 a ，在区间 a,a 3 365上要使函数值 出现的次数不少于 4 次且不多于 8 次，则 k 值为（ ）4A ．2或3B ．4 或 3C ．5或 6D ．8或 7【答案】 A【解析】 根据题意 先表示出函数的周期，5然后根据函数值 出现的次数不少于 4 次且4 多于 8次，得到周期的范围， 从而得到关于 k 的不等式，从而得到 k 的范围，结合 k N ， 得到答案 . 【详解】2k 1 函数 y 5cos x ，3626 T 所以可得 2k 1 2k 1 ， 3因为在区间 a,a 3 上，函数值 5 出现的次数不少于 4次且不多于 8 次， 45 2k 1 1 2k 1 所以 5cos x 得 cos x 4 36 4 3 6小于等于 8，而 y cos 2k 3 1 x 6 与 y 41 的图像在一个周期 T 内有 2 个，3 6 42k 1即 y cos2k 13 1x 与 y64的图像在区间 a ,a 3 上的交点个数大于等于 4，所以 2T 3，即 4T3623 2k 137 解得 32 k 72，又因 k N ，所以得 k 2 或者 k 3 ， 故选： A.点睛】 本题考查正弦型函数的图像与性质， 根据周期性求参数的值， 函数与方程， 属于中档题 .、填空题答案】3, 6解析】 根据 y arcsin x 的单调性，结合 x 的范围，得到答案 详解】函数 y arcsin x 是单调递增函数，x 1 时， y arcsin 1 ，2 2 6故答案为： 3, 6 【点睛】本题考查反三角函数的单调性，根据函数的单调性求值域，属于简单题 . 6．数列 a n 的前 n 项和 S n n 2 n 1,则 a n 的通项公式 a n ________________3 n 1 【答案】 2n n 2解析】 根据 a n 和 S n 之间的关系 ,应用公式 a nS1n 1 得出结果n n nS n S n 1 n 2详解】5．函数y arcsinx x 3, 1的值域是 2 2 的值域是所以 x 3 时， 2y arcsin所以函数的值域当n 1时,a1 S1 3 ；当n 2时,a n S n S n 1 n2 n 1 n 1 n 1 1 2n ；3 n 1∴ aan2n n 2∴3 n 1故答案为：2n n 2【点睛】本题考查了a n 和S n之间的关系式 ,注意当n 1和n 2时要分开讨论 ,题中的数列非等差数列 .本题属于基础题7．f x 3sin x cos x的值域是____________ .【答案】2,2解析】对f x 进行整理，得到正弦型函数，然后得到其值域，得到答案详解】f x 3sin x cosxsinx 1cosx2sin x6因为sin x 6 1,1所以f x 的值域为2,2 .故答案为：2,2【点睛】本题考查辅助角公式，正弦型函数的值域，属于简单题8．“a1 a4 a2 a3 ”是“数列a1,a2,a3,a4 依次成等差数列”的____________ 条件(填“充要”，充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”)答案】必要非充分解析】通过等差数列的下标公式，得到必要条件，通过举特例证明非充分条件，从而得到答案 .详解】 因为数列 a 1,a 2,a 3,a 4 依次成等差数列， 所以根据等差数列下标公式，可得 a 1 a 4 a 2 a 3 ，当a 1 a 2 1 ， a 3 a 4 2 时，满足a 1 a 4 a 2 a 3 ， 但不能得到数列 a 1,a 2,a 3,a 4 依次成等差数列 所以综上， “a 1 a 4 a 2 a 3 ”是“数列 a 1,a 2,a 3,a 4 依次成等差数列 ”的必要非充分条件 故答案为：必要非充分 .【点睛】 本题考查必要非充分条件的证明，等差数列通项的性质，属于简单题 . 9．已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且 S 10 10 ， S 20 30 ，则 S 30 答案】 60解析】【详解】 若数列 {a n } 为等差数列则 S m ，S 2m -S m ，S 3m -S 2m 仍然成等差数列．所以 S 10， S 20-S 10， S 30-S 20 仍然成等差数列． 因为在等差数列 {a n } 中有 S 10=10，S 20=30， 2 20 10 S 30 30 所以 S 30=60 ． 故答案为 60．答案】 450【考点】 余弦定理；三角形的面积公式 .1a11．已知数列 {a n } 中，其中 a1 9999 ， a n (a n 1)a 1，那么 log 99 a 100 ___________________________答案】 110．已知 ABC 的三边分别是a,b,c ，且面积 a 2 b 2 c 2S ，则角 C解析】 试题分析：由a 2b 2c 2 S，可得1 absinC 2a 2b 2c 2整理得sinCa 2b 2c 22abcosC ，即 tanC 1，所以 C 450 .1【解析】 由已知数列递推式可得数列 {log 99 a n }是以 log 99 a 1 log 99 9999 1 为首项， 991以 9999 为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解． 【详解】由 an (a n 1)，得 log 99 a n a 1 log 99 a n 1 ，log 99 a n a1 9999，log 99 a n 1 1 1 1则数列 {log 99a n } 是以 log 99 a 1 log 99 99 99 1 为首项，以 9999 为公比的等比数列， 99991 1 99log 99 a 100 (9999 )99 1．99故答案为： 1．【点睛】 本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子 的理解．12．等比数列 a n 中首项 a 1 2 ，公比q 3,a n a n+1+ +a m 720 n,m N * ,n m ，则 n m ______________________ .【答案】 9【解析】 根据等比数列求和公式，将 a n a n+1+ +a m 720 进行转化，然后得到关于n 和 m 的等式，结合 n,m N *,n m ，讨论出 n 和 m 的值，得到答案【详解】因为等比数列 a n 中首项 a 1 2 ，公比 q 3 ，所以 a n ,a n 1, , a m 成首项为 a n 2 3n 1，公比为 3的等比数列，共 n m 1项，整理得 3n m1 1 73n 201因为n,m N ,n m所以可得，等式右边为整数，故等式左边也需要为整数，所以a n a n+1+ +a m2 3n 11 3m n 127013则3n 1应是 720的约数， 所以可得 3n 1 3,9, 27 ， 所以 n 1,2,3 ， 当 n 1 时，得 3m 721 ，此时 m N * 当 n 2 时，得 3m 1 241，此时 m N 当 n 3时，得 3m 2 81，此时 m 6 ， 所以 m n 9 ， 故答案为： 9.【点睛】 本题考查等比数列求和的基本量运算，涉及分类讨论的思想，属于中档题 13．在△ ABC 中，sin 2 A sin 2C 2018sin 2 B ，则at(n Atan )atn C B atn Atan atBn C2 【答案】 2 2017【解析】【详解】因为 sin 2 A sin 2C 2018sin 2 B 所以 a 2 c 2 2018 b 2注意到： tanA tanB tanC tanA tanB tanC2故tanA tanC tan B tanA tanB tanCsin 2B 1 b 2 2ac 2b 22 sinA sinC cosB ac a 2 c 2 b 2 2018b 2b 22017故答案为： 2 201714．已知数列 a n 的通项公式为 a n lg 1 n 2 23n ,n 1,2,3, ,S n 是数列的前 n 项 和，则 l n im S n ________ 答案】 lg32 tanA tanCtan 2B tanA tanB tanC ta 1nA ta 1nC tanB解析】 对数列 a n 的通项公式 a n lg 1 2 2 进行整理，再求其前 n 项和，利 n n 23n用对数运算规则，可得到 S n ，从而求出 l n im S n ，得到答案 . 详解】点睛】三、解答题 1 15．在 △ABC 中， a=7， b=8， cosB = – ．7（Ⅰ）求∠A ；Ⅱ ）求 AC 边上的高．π答案】 (1) ∠A=3【解析】 分析：（1）先根据平方关系求 sinB ,再根据正弦定理求 sinA ，即得 A ；（2）11 根据三角形面积公式两种表示形式列方程 absinC hb ，再利用诱导公式以及两角22 和正弦公式求 sinC ，解得 AC 边上的高．2 a n lg 1 n 23n lg2n 2 3n 2 2n 2 3nlgn1n2 n n 3所以 S n a 1 a 2 a 3a nlg2 3lg 3 4 lg 1 4 2 5 4 5 lg36n1n2lg 3n n 31n31 31 lg n lg 13 n所以lim S n n lim lg n1 3 1 1n n lg3.31故答案为： lg3.本题考查对数运算公式，由数列的通项求前n 项和，数列的极限，属于中档题 （2） AC 边上的高为332详解：解：（1）在△ABC 中，∵cosB=–1 ，∴B ∈（ π，π），∴sinB= 1 cos 2B 4 3．由点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条 件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的 .16．已知un a n a n 1b a n 2b 2 ab n 1 b n n N *,a,b 0 .（ 1）当 a b 时，求数列 u n 前 n 项和 S n ；（用 a和 n 表示）；答案】（1） a 1时，S n n n 3 ,a 1时，2Sn n 1 an 2 n 22a n 1 a 2 2a ；（2）n 1 a 2解析】（1）当 a b 时，求出 u n n 1 a n ，再利用错位相减法， 求出 u n 的前 n 项和 S n ；（2）求出 un 的表达式，对 a ， b 的大小进行分类讨论，从而求出数列的极限 u n 1 详解】2）求l n imu nu n 1正弦定理得sinA sinBsinA7∴ sin A= 3 ．∵B ∈（ π，π）， 22∴ A ∈（ 0，π）， ∴∠ A= π．232）在 △ABC 中， ∵sinC=sin （ A+B ） =sin AcosB+sin BcosA= 3 1 1 = 3 3 ．2 7 27 14如图所示，在 △ABC 中， ∵sinC= h ，∴h=BC sinC =7 3 3 3 3BC14 2∴AC 边上的高为 3 3 ．2u na,a blim n u n 1b,a b（ 1）当 a b 时，可得 u n n 1 a n ， 当 a 1时，得到 u n n 1 ，所以S n当 a 1 时， 所以 S n 2a 3a 2 4a 3na n 1 n 1 a n ，两边同乘 a 得 aS n 2a 2 3a 3 4a 4 na n n 1 a n 1上式减去下式得 1 a S n 2a a a a n 1 aa 1 a n n 1 1 a S n a n 1 a n 1，1aa 1 a a n 1 a n1 所以 S n 21 a 1 an 1 an 2 n 2 an 1 a 2 2a21a所以综上所述， a 1时， S n n n 3 ； a 1时， n 22）由（ 1）可知当 a b时， u nn 1 a n则 lim u nlim n 1n 1ann u n 1n na n 1 nn1 n1 n当 a1 b 时， unana n 1bab n 1 b n S nn 1 an 2n 2 an 1 a 2 2aa n 1 lim a ；n nnan 1 n 1ab则u nn 1 n 1ab nnab1 b a b a b a点睛】 本题考查错位相减法求数列的和，数列的极限，涉及分类讨论的思想，属于中档题x17 ． 已知方程 arctan arctan （2 x ） a ；2x（ 1）若 a ，求 arccos 的值；42（ 2）若方程有实数解，求实数 a 的取值范围；3）若方程在区间 [5,15] 上有两个相异的解 、 ，求 的最大值 .112) [arctan ,arctan ] ；2 10 6 2 10 619；x程有实数解即 a 在 arctan x arctan 2 x 的值域上，（ 3）根据二次函数的性 质列不等式组得出 tana 的范围，利用根与系数的关系得出 α+β的最值 . 试题解析：x x π 2 x1) arctan x arctan 2 x π2 1 x 2或1 ， )2 4 x 2 x ，12x arccos =22）x2xu n lim n lim n u n 1 nn1nnaba n 1b n 1an若 b a 0， n 1 n 1u n a b l nim nl n im n n n u n 1 na ba b alim n b所以综上所述 lim n n u n 1a,a b b,a b答案】（ 1） 或 ；33）解析】 试题分析： （1）a 4 时，由已知得到 x2x2x 2 x 11 x 2或1;(2) 方3x2t arctan arctan 2 x a tana tana 2,t 4 x,2 1x 2 x t 26t 1012tana 1 , 1 a arctan 1 ,arctan 12 10 6 2 10 6 2 10 6 2 10 63）因为方程在区间5,15 上有两个相异的解、，所以4 x 11, 1 , 4 4 11 19318 ．（ 1）证明：cos 3x 4cos x 3cosx ；（2）证明：对任何正整数n，存在多项式函数f n x ，使得cos nx f n cosx 对所有实数 x 均成立，其中f n x 2n 1x n a1x n 1a n 1x a n,a1, ,a n均为整数，当n 为奇数时，a n 0，当 n 为偶数时，an 12 ；m（ 3）利用（ 2）的结论判断cos 1 m 6,m N*是否为有理数？【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不是解析】（1）cos 3x cos 2x x ，利用两角和的正弦和二倍角公式，进行证明；2）对n分奇偶，即n 2k 1和n 2k 两种情况，结合两角和的余弦公式，积化和差公式，利用数学归纳法进行证明；（3）根据（ 2）的结论，将cos 表示出来，然7 后判断其每一项都为无理数，从而得到答案 .详解】1）cos 3x cos 2x x cos2 x cosx sin 2x sin x2cos2x 1 cosx 2sin 2xcosx2cos3x cosx 2 1 cos2x cosx34cos x 3cosx 所以原式得证 .（ 2）n 为奇数时，2 3 2n 3 时，cos 3x f3cosx 2 cos x a1cos x a2cosx a3，其中a3 0 ，成立n 2k 1 时，cos 2k 1 x f2k 1 cosx2k 2 2k 1 2k 2 2k 32 cos xa 1 cos x a 2 cos x a 2k 2 cosx a 2k 1 ，其中 a 2k 1 0，成立n 2k 1时， cos 2k 1 x f 2k 1 cosx2k 2k 1 2k 2k 12 cos xa 1cos x a 2 cos x a 2k cosx a 2k1 ，其中a 2k10，成立，则当 n 2k 3 时，cos 2k 3 x cos 2k 1 x 2x cos 2k 1 xcos2x sin 2k 1 sin2x所以得到cos 2k 3 x 2cos 2k 1 xcos2 x cos 2k 1 x2k cos 2k 1 x a1 cos2 k x a 2 cos 2k 1 x a 2k cosx a 2k 1 2cos 2x 12k 2 2k 1 2k 2 2k 32 cos x a 1 cos x a 2 cos x a 2k 2 cosx a 2k 12k 2 2k 3 2k 2 2k 1 2k 12 cos x 4a 1 cosx 4a 2 2 cos x2a 2k a 2k 1 cosx2k 1因为 a 1, ,a n 均为整数，所以 4 a 1,4 a 2 2 , , 2a 2k a 2k 1 也均为整数， 故原式成立；n 为偶数时， 2 1 2 2n 2时， cos2x f 2 cosx 2 cos x a 1 cos x a 2 ，其中 a 1 2 1，n2k 2 时， cos 2k 2 xf 2k2cosx2k 3 2k 2 2k 3 2k 42 cos x a 1 cosx a 2 cosxa 2k 3 cosx a 2k 2 ，其中a 2k 2 1 2 11，成立，n 2k 时， cos2kx f 2k cosx2k 1 2k 2k 1 2k 22 cos x a 1 cos x a 2 cos xa 2k 1 cosx a 2k2kk其中 a 2k1 2 1 k 1 ，成立， 则当 n 2k 2 时，cos 2k 2 x cos 2kx 2x cos2kxcos2x sin2kxsin2x2k 2cos 2k 3 xcos 2k 1 xcos2xcos 2k 1 cos2x 所以得到3）由（ 2）可得 cos 1 m 6,m N *1 m 6,m N其中 2m 1,a 1,a 2 a m 均为有理数，本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式， 积化和差公式， 数学归纳法证明， 属于难题 .cos 2k 3 x 2cos2kxcos2x cos 2k 2 x2k 12k 2k 12k 222 2cos x a 1cosx a 2 cosx a 2k 1 cosx a 2k 2cos x 12k 3 2k 22k 3 2k 42 cos x a 1 cos x a 2 cos x a 2k3 cosx a 2k 2 22k 1 cos 2k 2 x 4a 1 cos 2k 1x 4a 2 22k 1 cos 2k x 2a 2k 1 a 2k 3 cosx 2a 2ka 2k 2其中 2a 2k a 2k 2 1 ，因为 a 1, ,a n 均为整数，2k 1所以 4 a 1 ,4 a 2 2 , , 2a 2k 1 a 2k 3 也均为整数， 故原式成立；综上可得：对任何正整数 n ，存在多项式函数 f n x ，使得 cos nx f n cosx 对所 有实数 x 均成立，其中n 1 n n 1f n x 2n 1x n a 1x n 1 a n 1x a n ，a 1, ,a n 均为整当 n 为奇数时， a n 0 ， n当 n 为偶数时， an1 2 ；m cos f m cos 2m 1 mcos a 1 m1cos7 a m 1 cos 7a mm因为 cos 为无理数，所以 cos m,cos77m17 m 1 m m 1故 2m 1 cos m a 1 cos m 1 a m 1 cos a m 为无理数，7 1 7 m 1 7 m cos 7均为无理数， 所以 cos 1 m 6,m N * 不是有理数 . 【点睛】。
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第十七章 排列组合与二项式定理17．1 乘法原理和加法原理 基础练习1．5个应届高中毕业生报考三所重点院校，每人报一所且只能报一所院校，则共有__________种不同的报名方法．解：每位学生可以有3种报考重点院校的方式，由乘法原理可得：53243=． 2．在所有三位数中，有且只有两个数字相同的三位数有__________个． 解：（1）百位和十位一样，有9981⨯=种， （2）百位和个位一样，有9981⨯=种，（3）十位和个位一样，有99981⨯⨯=种，一共243种．3．由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位奇数的个数是__________． 解：首先末尾必须排奇数，其次最高位不排0，则34432l 288⨯⨯⨯⨯⨯=．4．从0到8这9个数字中选4个数字组成没有重复数字的四位数，按下列要求分别求符合条件的个数． ①四位数中奇数的个数．②四位数中偶数的个数．③四位数中能被25整除的个数．④四位数中大于4500的个数．⑤四位数中小于3570的个数． 解：①47761176⨯⨯⨯=．②按首位是否为零分类，87647761512⨯⨯+⨯⨯⨯=．③66276114⨯⨯+⨯=．④48764761512⨯⨯⨯+⨯⨯=．⑤287647656870⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯=．5．从2，3，5，7这四个数字中，任取两个分别作为分数的分子和分母．有几个是真分数?几个是假分数? 解：（1）按照分母可以取7，5，3分类，则3216++=． （2）按照分母可以取2，3，5分类，3216++=．6．已知{}210123m ∈--，，，，，，{}321012n ∈---，，，，，，且方程221x y m n+=是表示中心在原点的双曲线，则表示不同的双曲线最多有多少条?解：0mn <，则分0m >，0n <和0m <，0n >，则223313⨯+⨯=． 能力提高7．在一张平面上画了2 007条互不重合的直线1l ，2l ，…，2007l 始终遵循垂直、平行交替的规则进行：12l l ⊥,23l l ∥,34l l ⊥，…．这2007条互不重合的直线的交点共有多少个?解：100310041007012⨯=．8．4个学生各写一张贺卡放在一起，然后每人从中各取一张，但不能取自己写的那一张贺卡，则不同的取法共有多少种?解：由于先让一人甲去拿一种有3种方法，假设甲拿的是乙写的贺卡，接下来让乙去拿，乙此时也有3种方法，剩下两人中必定有一人自己写的贺卡还没有发出去． 这样两人只有一种拿法，3319⨯⨯=，故答案为9．9．一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育，数学课排在上午，班会课排在下午，有多少种不同排课方法?解：数学课排第一节，班会课排在下午，然后再排体育，则2432148⨯⨯⨯⨯=， 数学课不排第一节，先排数学，再排班会，再排体育课，则323321108⨯⨯⨯⨯⨯=， 则有156种不同排课方法．10．如果一个三位正整数形如“123a a a ”满足12a a ∠且32a a <，则称这样的三位数为凸数，求这样的凸数的个数．解：对2a 进行分类讨论，由题意，当中间数是2时，首位可取1，个位可取0，1，故总的种数有212=⨯， 当中间数为3时，首位可取1，2，个位可取0，1，2，故总的种数共有623=⨯， …，当中间数为9时，首位可取1，2，…，8，个位可取0，1，2，…，8，故总的种数共有7289=⨯，故所有凸数个数为1223348926122030425672240⨯+⨯+⨯++⨯=+++++++=，故答案为：240． 17．2 排列 基础练习1．解方程：①32213P 2P 6P x x x +=+．②13P 17160r=． 解：①将排列写为分数形式，则()()()()31221615x x x x x x x x --=++-⇒=，②4x =． 2．10个人站成一排，要求甲，乙之间必须站4个人，则共有多少种不同的站法?解：甲，乙之间选4个人，然后把这6个人视为一个整体，则24582858P P P 52P 403200⨯⨯=⨯⨯=． 3．一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目．3个舞蹈节目在节目单中的先后顺序固定，可排出多少种不同的节目单?解：3个舞蹈节目无先后顺序，则一共88P 种，3个舞蹈节目在节目单中的先后顺序固定，则有8888P 6720P 种．4．一铁路线上原有”个车站．为适应客运需要，新增加了m 个车站()1m >，客运车票因此增加了62种．问现有多少个车站?（来回的车票不同）解：226262212n m n P P n m m m+-=⇒=-+⇒=，15n =，则17m n +=． 5．4位男生和4位女生围成一个圆圈，如果男女相问表演舞蹈，有多少种排法? 解：3!4!144⨯=．6．6颗不同珍珠与6颗不同的玛瑙相隔串成一串项链，有多少种不同的串法? 解：15!6!432002⨯⨯= （项链可以翻转）．7．有8个队比赛，采取淘汰制，在赛前抽签时，实际上可得到多少种不同的安排法?解：48!331524!⨯=⨯． 能力提高8．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王5名志愿者中选派4人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余3人均能从事这四项工作，求不同的选派方案数． 解：由题意知本题需要分类， 若小张或小赵入选，则有选法113223C C P 24=；若小张、小赵都人选，则有选法2323P P 12=，根据分类计数原理知共有选法36种． 故答案为：36．9．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，求不同站法的总数．解：由题意知本题需要分组解决，由于对于7个台阶上每一个只站一人有37P 种；若有一个台阶有2人，另一个是1人共有1237C P 种，则根据分类计数原理知共有不同的站法种数是336种． 故答案为：336．10．在99⨯的黑白相间的棋盘上，有多少种方法将8只互不攻击的车放在同色的格子里?（称放在棋盘的同一行或同一列的2只车是互相攻击的）解：先考虑8只互不攻击的车放在黑色格里的方法种数，再考虑放在白色格里的方法种数．注意到，放在奇数行的黑格的车与放在偶数行的黑格的车不能互相攻击；同理：放在奇数行的白格的车与放在偶数行的白格的车不能互相攻击．（1）将原棋盘中奇数行的黑格拼成一个55⨯的棋盘，有5!种方法放置5只互不攻击的车在此棋盘里．将原棋盘中偶数行的黑格拼成一个44⨯的棋盘，有4!种方法放置4只互不攻击的车在此棋盘里．从而，共有5!4!⨯种方法将9只互不攻击的车放在原棋盘的黑格里．再从9只车中拿走任意一只车满足条件且其中没有重复，于是共有95!4!⨯⨯种方法将8只互不攻击的车放在原棋盘的黑格里．（2）将原棋盘中奇数行的白格，偶数行的白格分别拼成一个54⨯的棋盘，有5!种方法放置4只互不攻击的车在各自棋盘里，于是，共有()()2254325!⨯⨯⨯=种方法将8只互不攻击的车放在棋盘的白格里． 于是一共有()295!4!5!40320⨯⨯+=种方法．17．3 组合 基础练习1．圆上有8个点，任意两点可连成弦，两弦交点在圆内的有__________个．解：两弦的交点就是两弦的四个顶点构成的四边形的对角线的交点．于是两弦的交点数就是四边形的个数．于是，两弦交点在圆内的有48C 70=． 2．以正方体的顶点为顶点的四面体个数是__________个．解：正方体的八个顶点构成12个矩形，于是48C 1258-=． 3．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，则有多少种不同的分配方法?解：由挡板法可得，79C 36=． 4．100件产品中有4件次品，现抽取3件检查，（1）恰好有一件次品的取法有__________种． （2）既有正品又有次品的取法有__________种．解：（1）12496C C 18240=．（2）1221496496C C C C 18816+=．5．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有__________种．解：4441284C C C 34650=． 6．从5双不同尺码的鞋子中任取4只，使其中至少有2只能配成一双，则有多少种不同的取法?解：4只鞋配成一双或配成两双，则1211254225C C C C C 130+=．7．如图17-2，点1P ，2P ，…，10P 分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组()()1110ijkP P P P i j k <<<，，，≤有多少个？图 17-2PP 96解：35C 333+=个．8．m ，n ，r +∈N ，试证明：011220C C C C C C C C C r r r r r n m n m n m n m n m --+=++++．解：构造数学模型证明．全班有n m +个人，从中选出r 个人当志愿者。
原式等价于先把全班人分成两组，A 组人数为n ，B 组人数为m ．然后从A ，B 组中共选出r 人．9．将两个a 和两个b 共4个字母填在44⨯的小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使用相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有多少种?解：()22222124444169C P C P C P 3960--=．10．平面上给定5个点，已知连接这些点的直线互不平行，互不垂直，也不重合．过每个点向其余四点的连线作垂线，这些垂线的交点最多能有多少个（不计已知的5个点）?解：垂线共有6530⨯=条，交点共有230C 435=个，由于同一点所作垂线无交点，且同一直线的垂线无交点．共扣除()15105125+⨯=个点．则实际有435125310-=个．17．4 其他几种排列组合基础练习1．有一排5个信号的显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则共可发出的不同信号有多少种? 解：每个窗有3种亮灯方式，由乘法原理可知：一共53243=种方式．2．组成mathematician 的13个字母，可以组成多少个不同的13字母的单词？解：mathematician 中有2个m ，2个t ，2个i ，3个a ，于是共有13!2!2!2!3!⋅⋅⋅个不同的单词．3．晚会上共有9个演唱节目和4个舞蹈节目，要求每两个舞蹈节目之间至少有两个演唱节目．则有多少种不同的节目顺序表?解：4!·9!·47C ．4．求123413x x x x +++≤的正整数解的组数． 解：12344x x x x +++=，5，6， (13)然后用挡板法解题，得到：3333412C C C 715+++=．5．88x y z n ++=，x ，y ，*z ∈N 有666组正整数解，求n 的最大值． 解：max 8837304n =+⨯=．6．在1到610之间有多少个整数的各位数字之和等于9?解：转化成方程1234569x x x x x x +++++=的自然数解个数的问题，等价于方程12345615y y y y y y +++++=的正整数解个数的问题，514C 2002=． 7．3 570有多少不同的偶数因子?解：3570235717=⨯⨯⨯⨯，偶数因子里一定有2，3，5，7，17四个质数的每一个质数可能有，可能没有．则4216=． 能力提高8．如果从1，2，…，14中，按从小到大的顺序依次取出以1a ，2a ，3a 使同时满足：213a a -≥，323a a -≥，那么所有符合要求的不同取法有多少种? 解：811120nn k k ===∑∑种．9．有多少种方法将100表示成3的非负幂次的和的形式?（加数的不同排列是作同一种的表示方法） 解：402．10．由数字1，2，3组成n 位数()3n ≥，且在n 位数中，1，2，3每一个至少出现1次，那么，这样的”位数有多少个? 解：n 位数有133323n n I A A -=-⨯+个．17．5 排列与组合的综合应用 基础练习1．电梯里有7名乘客，在10层楼房的每一层停留，如果恰有3个乘客在同一层出去，有2个乘客在另一层同时出去，这样的下客方法有多少种? 解：1058400．2．把2000个不加区分的小球分别放在10个不同的盒子里，使得第i 个盒子里至少有i 个球()1210i =，，，，则不同的方法总数是多少?解：()()()123101231020001291995x x x x x x x x ++++=⇒+-+-++-=，即()()()123101291995x x x x +-+-++-=的正整数解的组数，等价于把1 955个一样的球分给10个人，每人至少得一个球．然后利用挡板法解题，91954C ．3．路上有编号为1，2，3，…，10共十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，且两端的灯也不能关掉，则满足条件的关灯方法共有多少种? 解：插空法解题，36C 20=．4．7粒相同的骰子扔在桌面上，可能出现多少种不同的结果?解：此问题为可重取组合数问题，用证明多元一次方程非负整数解的隔板模型做． 此问题即是求：{123456}，，，，，的七元可重组合数的个数．建立模型：7个相同的球排成一排，向八个间隔中插入5块隔板，一个间隔中可插多块．此时，第一块隔板左侧球的个数为1的个数，第一块和第二块间的球的个数为2的个数，依次类推．求插法总数． 为简化问题，在每块隔板左侧加一个球，题目变成12个球排成一排，向除了第一个球左边的间隔以外的12个间隔中插5块隔板，每个间隔只能插一块，求插法总数．512C 792=． 5．3个白球，6个红球排成一个圆环，共有多少种排法?解：10种．6．从1，2，…，21中任取若干个数相加，使其和为偶数，问共有多少种不同的取法？解：()021010111111C C C 21+++⋅-．能力提高7．8个人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，问有几种不同的坐法？ 解：将甲乙两人视作一个整体，7676P P 2120076-⨯=．8．在圆周上顺时针方向依次放置着数1，2，…，10，从中取三个数，要求其中任意两个都不圆周上相邻的数，则共有多少种取法？解：由容斥原理得()310101021050C -⨯-+=（123110x x x <<≤≤，212x x -≥，322x x -≥，13102x x +-≥）． 9．如图17-4所示，平面被分成六个区域，进行六染色，旋转后重合视为同一种，求染法总数．图 17-4解：()()311112512162636434655366C C C C C P C C 6P C C P 61140+++⋅++⋅=．10．空间有n 个平面，其中任意2个不平行，任意3个不共线，任意4个不共点，则空间被划分成多少个区域?解：3566n n ++．11．若四位数，n abcd =的各位数码以，a ，b ，c ，d 中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称n 为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．解：称()a a a a ，，，为n 的数码组，则a ，b ，c ，d M ∈={1，2，…，9}； 一、当数码组只含一个值，为()a a a a ，，，，1a =，2，…，9，共得9个n 值． 二、当数码组恰含两个值以，a ，b ()a b >．（1）数码组为()a a a b ，，，型，则任取三个数码皆可构成三角形，对于每个a ∈{2，…，9}，b 可取1a -个值，则数码组个数为()92136a a =-=∑，对于每组()a a a b ，，，， b 有4种占位方式，于是这种n 有364144⨯=个．（2）数码组为()a b b b ，，，型()a b >，据构成三角形条件，有2b a b <<． M 中a 的个数共得16个数码组，对于每组()a b b b ，，，，a 有4种占位方式，于是这种n 有16464⨯=个． （3）数码组为()a a b b ，，，型()a b >，据构成三角形条件，有2b a b <<，同上得16个数码组，对于每组()a a b b ，，，，两个a 有24C 6=种占位方式，于是这种n 有16696⨯=个．以上共计1446496304++=个．三、当数码组恰含三个值a ，b ，()c a b c >>．（1）数码组为()a b c c ，，，型，据构成三角形条件，则有2c b a c <<<这种()a b c c ，，，有14组，每组中a ，b 有24A 12=种占位方式，于是这种n 有1412168⨯=个．（2）数码组为()a a b c ，，，型，c b a b c <<<+，此条件等价于M ={1，2，…，9}中取三个不同的数构成三角形的方法数，有34组，每组中a ，b 有24A 12=种占位方式，于是这种n 有3412408⨯=个． （3）数码组为（a ，a ，b ，c ）型，c b a b c<<<+，同情况（2），有2434A 408=个n 值．以上共计168408408984++=个n 值．四、a ，b，c ，d 互不相同，则有d c b a c d <<<<+，这种a ，b ，c ，d 有16组，每组有4!个排法，共得164!384⨯=个n 值．综上，全部四位三角形数n 的个数为93049843841681+++=个． 17．6 二项式定理 基础练习1．求1021x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项．解：461010C C 210==． 2．已知9a x ⎛- ⎝的展开式中3x 的系数为94，求常数a 的值． 解：943992199C C rrr r r r a a T x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，则8r =， 1898999C4164a a =⇒=．得出：4a =．3．10的展开式和第3项小于第4项，求x 的取值范围．解：5105611010CC rr r r r T x--+==，则55552332341010C C T T x x --<⇒<， 10532451200x x x <⇒< 4．若12nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为20-，求n ．解：当x 为正数时，212nnxx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 常数项为()2C 120nn n -=-，解得：3n =．当x 为负数时，()2121nnn xx ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭， 常数项为()2C 120nn n -=-，解得：3n =． 综上：3n =．5．求在32212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数．解：3622112x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()6216C 1r rr r T x -+=-，则2r =，则含2x 项的系数为15．6．求()()10211x x x ++-展开式中含4x 项的系数．解：432101010C C C 135-+=． 能力提高7．在二项式n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．解：2102112C C C 822nn n n ⎛⎫=+⇒= ⎪⎝⎭，则584181C 2rr r r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，则0r =，4，8，有理项为41T x =，4584135C 28T x x ==，8229811T C 2256x x -8==． 8．已知()6sin x α+1的展开式中2x 项的系数与415cos 2x α⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数相等，求解α．解：(42126415C sin C cos 2cos cos 2πarccos 12k ααααα⎛⎫=-⇒-2-1=0⇒⇒± ⎪⎝⎭，k ∈Z ．9．()12nx +的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．解：()556C 2n T x =，()667C 2n T x =，依题意有5566C 2C 28n n n =⇒=．()812x ∴+的展开式中，二项式系数最大的项为()44458C 21120T x x ==．设第1r +项系数最大，则有11881188C 2C 256C 2C 2r r r r r r r r r --++⎧⋅⋅⎪⇒⎨⋅⋅⎪⎩≥≤≤≥． 则系数最大的项为561792T x =，671792T x =．最大的项为：561792T x =，671792T x =．10．已知()log 21nx x +的展开式中有连续三项的系数之比为123∶∶，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112，求x 的值．解：()()()()()11!!!1231231!1!!!1!1!k k k n n n n n n C C C n k k n k k n k k -+=⇒=-+----+∶∶∶∶∶∶∶∶，()()()!!112311!1!!!12n n k n k n k k n k k n k =⇒=⇒=--+---+∶∶，()()()!!1223253!!1!1!3n n k n k n k k n k k n k +=⇒=⇒=+---+-∶∶，联立：31142535n k n n k k =-=⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩．这三项是第5，6，7项．展开式的倒数第二项为：()213log 2log 21422C 1128log 3log xx xx x x =⇒=⇒=⇒=．则x =，或2x =． 17．7 二项式定理的性质与应用基础练习1．记()12nx -展开式中i x 的项系数为i a ，0i =，1，2，…，n ．求122222nna a a +++． 解：()C 2i i i na =-，则().012211C C 1222nii n n n n i a a a=+++=-=-=-∑． 2．若()727012731x a a x a x a x +=++++，（1）求0127a a a a ++++的值．（2）求0246a a a a +++的值．（3）求1357a a a a +++的值．解：（1）求二项展开式中各项系数之各，相当于去掉展开式中的示知字母x ，这可由赋值法令1x =实现．则()701273116384a a a a ++++=+=．①（2）若要求二项展开式中奇数项系数之和，可由赋值法令1x =-， 则()70123731128a a a a a -+-+-=-+=-．②将①，②两式相加得：()0246216384128a a a a +++=-，则02468128a a a a +++=．（3）将①，②两式相减得：()1357216384128a a a a +++=+， 则13578256a a a a =++=． 3．（1）求理论上：2511222n -++++能被31整除()*n ∈N ．（2）求1227272727C C C S =+++除以9的余数．解：（1）由于()5125152122221321311121n nn n n --++++==-=-=+-- 0111C 31C 31C 31C 1n n n nn n n n --=⨯+⨯++⨯+-()0112131C 31C 31C n n n n n n ---=⨯+⨯++，则原式能被31整除．（2）()91227279272727C C C 2181911S =+++=-=-=--()091889081789999999C 9C 9C 9C 19C 9C 9C 2=⨯-⨯++⨯--=⨯-⨯++-()081789999C 9C 9C 17=⨯-⨯++-+，故S 被9除的余数为7．4．101011-的末尾连续零的个数是几个．解：()10100101991010101010101110011C 100C 100C 100C 1-=+-=⨯+⨯++⨯+-()208178101010100C 100C 100C 1000=⨯+⨯+++则101011-的末尾连续零的个数是3个．5．若)()21*20r m r m αα+=+∈<<1N ，，，求证：()1m αα+=．解：))212121221012221212122C C 2C 2r r r rr r r r +++-+++-=+⋅+⋅+()()()21221210122212121212C 5C 52C 522r rr r r r r r +-+++=+⎡⎤+--⋅+⋅+-⎢⎥⎣⎦2221332121212222rr r r r C C -+++⎡⎤=⋅+⋅++⎢⎥⎣⎦1313212121*2121212525252r r r r r r r r C C C ---++++⎡⎤=⋅+⋅⋅+++∈⎣⎦N ．()201∈，，从而)()21201r +∈，．所以()131321212121212125252522r r r r r r r r r m C C C ---++++=⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+ )212r a +=．故()))()21212122541r r rmαα+++ +=⋅=-=．6．设((19821515x=+++，求数x的个位数字．解：令((19821515y=+-，则((((1982198215151515x y⎡⎤⎡⎤+=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．由二项式定理知，对任意正整数n，((()22151521515220n nn nnC-+=+⋅⋅+为整数，且个位数字为零．因此，x y+是个位数字为零的整数．下面对y估值．因为50150.225<=<=，且((88191515-<，所以(1919021520.20.4y<<<⨯<．故x的个位数字为9．7．已知10x px q-+能被()21x+整除，求p，q．解：()()1010111x px q x p x p q-+=-++-+++()()()()()2101210101C11C111x x x p x p q=+-++++++-+++()()()()2102101101C11p q p x x x=++-+++++++10101009p q pp q++==-⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩．能力提高8．设()21*11nna q q q n q-=++++∈≠±N，，1212C C C nn n n n nA a a a=+++．（1）用q，n表示nA．（2）当31q-<<时，求lim2nnnA→∞．（3）设122nn nAb b b+++=，证明：数列{}n b是等比数列．解：（1）11nnqaq-=-，()1111211C C C111n nin n ni i u in n n ni i iqqA qq q q===+--⎛⎫==⋅-=⎪---⎝⎭∑∑∑．（2）()1111lim lim1lim0121211nnnn n nA qq q q→∞→∞→∞⎧⎫⎡⎤⎡⎤+⎪⎪⎛⎫=⋅-=⋅-=⎢⎥⎨⎬⎪⎢⎥---⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭．（3）1111111112212222n n nn nn n nA A q q qbq++++⎡⎤+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⋅-=⋅⎢⎥⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，11122qb+=⋅．∴数列{}n b 是等比数列．9．已知a ，b 均为正整数，且a b >，222sin ab a b θ=+（其中π02θ<<），()22sin n A a b n θ=+⋅，求证：对一切*n ∈N ，n A 均为整数．解：因为222sin ab a b θ=+，且π02θ<<，a b >，所以2222cos a b a b θ-==+． 显然sin n θ为()cos sin ni θθ+的虚部， ()()()222222222221cos isin i 2i nn n a b ab a b aqb a b a b a b θθ⎛⎫-+=+=-+ ⎪++⎝⎭+ ()()2221i n n a b a b =++．所以()()()222cos isin i n n a b n n a b θθ++=+．从而()22sin n n A a b n θ=+为()2i n a b +的虚部．因为a 、b 为整数，根据二项式定理，()2na bi +的虚部当然也为整数，所以对一切*n ∈N ，n A 为整数．10．观察下列等式：15355C C 22+=-；197399C C 22+=+；1591311513131313C C C C 22+++=-； 15913171571717171717C C C C C 22++++=+；…由以上等式推测一个一般的结论：对于*n ∈N ，15144141414141C C C C n n n n n n x +++++++++．解：()4104114414141411C C C n n n n n n n x x x +++++++=+++．分别将i ，i -，1，1-代入，即可得()15941412141414141212nn n n n n n n C C C C +--++++++++=+-． 11．某市2005年底人口为20万，人均住房面积为8平方米，计划2009年底人均住房面积达到10平方米，如果该市将人口平均增长率控制在1%，则要实现上述计划，这个城市每年平均至少要新建住房面积为多少万平方米？（结果以万平方米为单位，保留两位小数） 解：高每年平均新增住房x 平方米，则2010年住房面积为 ()22000008416000004x x m ⨯+=+，2009年人口数为()20000011%⨯+，依题意知()41600000420000011%10x +=⨯+⨯，解之得12.05x =（万平方米）．。