空间解析几何(下篇)剖析
空间解析几何
b
a
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3. 向量与数的乘法
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
规定 :
总之:
a a
运算律 : 结合律
(
a)
(
a)
a
11可aa见a;a ;
分配律
(a
b)
a
b
则有单位向量 a
1 a
a.
因此
a
a
a
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a ax i ay j az k b bx i by j bz k
及实数 1,
解: 设 M 的坐标为
如图所示
AM MB
AM OM OA MB OB OM
OM O A (OB OM )
A
M B
o
A
得 即
OM
1
1
(OA
OB
B
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
M
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说明: 由
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
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例1. 证明三角形余弦定理
c2 a2 b2 2ab cos
证: 如图 . 设
CB a, C A b, AB c
则
A b
c
C
Ba
c 2 (a b)(a b) aa bb2ab
a 2 b 2 2 a b cos
a a ,b b ,c c
c2 a2 b2 2ab cos
b
在
a
上的投影为
b
记作 Pr ja b
空间解析几何课程教学大纲
《空间解析几何》课程教学大纲一、课程基本信息
二、课程目标及对毕业要求指标点的支撑
三、教学内容及进度安排
四、课程考核
五、教材及参考资料
[1]吕林根、许子道编.解析几何（第四版）.北京：高等教育出版社，2014,ISBN：
9787040193640.
[2]李养成.空间解析几何.北京：科学出版社，2013,ISBN：9787030193520.
[3]丘维声.解析几何（第二版）.北京：北京大学出版社，2008,ISBN：9787301003497.
[4]纪永强.空间解析几何.北京:高等教育出版社，2014,ISBN：9787040365375.
六、教学条件
需要配置有投影屏幕的教室。
授课电脑需要安装WindowS7、OffiCe2010、Mat1ab2015>MathType6.9>几何画板、FIaSh的正版软件。
附录：各类考核评分标准表。
空间解析几何6
解析几何 第二章 空间解析几何
即
2 2 x y 1 h2 h2 2 1 2 b 2 1 2 a c c z h
它与用平行于xOz的平面来截割所得结果完全类 似。 如果a=b,则成为单叶旋转双曲面。
方程
x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 2 2 1与 2 2 2 1 2 a b c a b c
所表示的曲面也是单叶双曲面。
解析几何 第二章 空间解析几何
z
（二）双叶双曲面
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 a b c
a 2 2 顶点 b h , h, 0 在腰圆( 1) b
解析几何 第二章 空间解析几何
z
x
y
z
（11）
（12）
（13）
x
y
解析几何 第二章 空间解析几何
用平行于xOz平面y=h来截单叶双曲面，截口
的方程为
x2 z2 h2 2 2 1 2 (5 ) b a c y h c 2 2 实轴 // z轴，实轴长 h b b a 2 虚轴 // x轴， 虚轴长 h b2 b
来截割曲面，得到截线方程
x 2 y 2 h2 x 2 y 2 h2 2 2 2 1 2 2 2 1 (8) 与 a b c b c a z h z h 当h=c时，截得的图形为一点
当h>c时，截线为椭圆，两半轴是
h h a 2 1 与b 2 1 c c
若点P(x,y,z)是椭球面上的点，则点P的 关于yOz坐标平面的对称点P′(-x,y,z)也在 椭球面上，
N8-1空间解析几何简介剖析
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2) y1 b 时, 截痕为相交直线:
z
x z 0 ac
y b (或 b)
x
y
3) y1 b 时, 截痕为双曲线:
z
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
0
y y1
x
y
(实轴平行于z 轴; 虚轴平行于x 轴）
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B. 双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
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（1）抛物面
z
A. 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
y x
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.
例9（P320-例6）作方程
的图形 .
解: 范围 z 0. x, y R
x2 y2 0 与坐标面的交线：
z0
原点
z x2 z y2
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
F(x, y, z) 0
两个基本问题 :
z
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
S
如何求曲面方程.
oy x
(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
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1. 平面的方程
教学要求：
１.了解多元函数的概念。掌握二元函数的定义与图形特点. ２.知道二元函数的极限与连续性的概念。 ３.理解多元函数偏导数与全微分的概念；熟练掌握求偏导
数与全微分的方法；掌握求多元复合函数偏导数的方法. ４.掌握由一个方程确定的隐函数求偏导数的方法（例如由
《空间解析几何》教学中的探索研究
《空间解析几何》教学中的探索研究《空间解析几何》是高中数学的一个重要内容，它是建立在平面解析几何的基础上，通过引入第三个坐标轴来研究空间中的点、线、面等几何对象的方法和性质。
学习《空间解析几何》既需要理论上的研究，也需要实践中的探索，下面将对空间解析几何教学中的探索研究进行阐述。
在《空间解析几何》的教学中，探索研究有助于学生深入了解空间解析几何的概念和基本原理。
学生在学习空间解析几何时，可以通过实际问题的探索来引导他们发现和理解空间解析几何的概念和基本原理。
可以给学生一个实际问题，让他们通过自己的思考和探索，逐步引导他们认识到空间中的点、线、面等几何对象可以用坐标表示，进一步明确空间解析几何中的坐标系、坐标、坐标轴等基本概念。
在《空间解析几何》的教学中，探索研究对于培养学生的数学建模能力和问题解决能力非常重要。
空间解析几何是一门与实际问题联系紧密的数学学科，学生在学习过程中可以通过探索研究的方式，将所学的数学知识应用到实际问题的建模和解决中。
可以给学生一些实际问题，让他们通过分析问题、建立数学模型、运用空间解析几何的方法来解决问题。
通过这样的探索研究，学生不仅可以提高对空间解析几何知识的理解，还可以培养他们的数学思维能力和问题解决能力。
在《空间解析几何》的教学中，探索研究也有助于培养学生的创新意识和团队合作精神。
学生在探索研究的过程中，需要积极主动地思考问题、寻找解决方案，并与同学们进行交流和合作。
通过这样的探索研究，学生可以培养他们的创新意识和团队合作精神，激发他们对数学学科的兴趣和热爱。
《空间解析几何》教学中的探索研究对于学生的数学学习和发展具有重要意义。
探索研究能够帮助学生深入理解空间解析几何的概念和基本原理，培养他们的数学建模能力和问题解决能力，同时也可以提高学生的创新意识和团队合作精神。
在教学实践中，教师应积极引导学生进行探索研究，为学生提供合适的学习环境和机会，使他们在探索中学习、在实践中提高，最终达到提升数学水平的目标。
第四 章空间解析几何
O
P1
Q1
Q2
y
P2
x
由于△M1NM2是直角三角形，∠M1NM2是直角， 所以
|M1M2|2＝|M1N|2＋ |NM2|2
又△M1PN也是直角三角形且
|M1N|2＝|M1P|2＋ |PN|2
所以
而
|M1M2|2＝|M1P|2＋ |PN|2＋|NM2|2
|M1P| ＝ |P1P2| ＝ |x2－x1|
设所求单位向量为bmnp由于它在xoy平面上且是单位向量所以满足于是垂直液体密度所指一方的液体的质量流向单位时间内经过这区域的单位向量计算为垂直于向量各点处的流速均为常的一个区域液体在区上面积为设液体流过平面体积为所以这柱体的高为的夹角夹角就是高与地面的垂线的的斜柱体这柱体的斜斜高为的液体组成一个底面积单位时间内流过这区域的质量为所指一方的液体域流向从而单位时间内这区432向量的向量积定义45给定向量a与b的向量积crossproduct或称外积exteriorproduct叉积crossproduct是满足下面条件的一个向量记为bsinabab分别垂直于a和b且abab符合右手规则图415
(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c (4)a+(-a)=0
则称向量c 为向量 a与 b的差．记作：a-b ．即若b+c=a ，
则 a-b=c．求向量的差的运算称为向量的减法．
设给定两向量a 与 b，若从点O 作两向量OA=a ， OB=b ，则由定义可知，以向量b 的终点B 为起点， 向量 a的终点A 为终点的向量BA 就是向量 a与b 的差 A (图4-9)。
一、向量的概念 在实际中经常遇到两种量，一种是用数表示 的量，叫做数量或标量，如质量、温度、体积等。 另一种是要用数量和方向才能表示的量，即既有大 小、又有方向的量，叫做向量(vector)或矢量，如 速度、力等。 向量常用有向线段来表示。有向线段的长度表 示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向， 以A为起点，B为终点的有向线段所表示的向量记 做 AB（图4－5）。也可用黑体字母来表示，如向量 a,b,x等。
空间解析几何习题答案解析(最新整理)
一、计算题与证明题1．已知, , , 并且． 计算．1||=a 4||=b 5||=c 0=++c b a a c c b b a ⨯+⨯+⨯解：因为, , , 并且1||=a 4||=b 5||=c 0=++c b a 所以与同向，且与反向a b b a +c 因此，，0=⨯b a 0=⨯c b 0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a 2．已知, , 求．3||=⋅b a 4||=⨯b a ||||b a ⋅解：（1）3cos ||=⋅=⋅θb a b a（2）4sin ||=⋅=⨯θb a b a 得()222)1(+()252=⋅b a 所以5=⋅b a 4．已知向量与共线, 且满足, 求向量的坐标．x )2,5,1(,-a 3=⋅x ax 解：设的坐标为，又x ()z y x ,,()2,5,1-=a 则 （1）325=-+=⋅z y x x a 又与共线，则x a 0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y kyx j y x i z y z y x kj i 所以()()()05252222=-+++--y x x z z y 即 （2）010*********22=-++++xy xz yz z y x 又与共线，与夹角为或x a x a 0π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax 整理得（3）103222=++z y x 联立解出向量的坐标为()()()321、、x ⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,1016．已知点, 求线段的中垂面的方程．)7,8,3(A )3,2,1(--B AB 解：因为,()7,8,3A )3,2,1(--B 中垂面上的点到的距离相等，设动点坐标为，则由得AB B A 、()z y x M ,,MB MA =()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x 化简得027532=-++z y x 这就是线段的中垂面的方程。
高等数学-第八章空间解析几何pptPPT课件
O Axi, O Byj,OC zk
r x i y j zk (x,y,z)
k iO
j r
M B
y
A
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
x
N
xi,y j,zk 称为 r 沿向 三个坐标轴量 方向的分向量.
高等数学(下册)
四、利用坐标作向量的线性运算
设 a (a x,a y,a z)b , (b x,b y,b z),为实数，则
过空间一定点 O ,
由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点 • 坐标轴 • 坐标面 • 卦限(八个)
Ⅲ
Ⅳ
Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
zz 轴(竖轴) yoz面
oxoy面
Ⅴ
Ⅱ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
高等数学(下册)
在直角坐标系下
点 M 1 1有序数组
称有序数组为点M的坐标,记为 M
(x, y, z) 1 1向径 r (x, y, z)
一、向量的概念
高等数学(下册)
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量
表示法:
有向线段
uuuuuur r M1M 2, a ,
(又称矢量).
M2
M1
向量的模 :
向量的大小,
uuuuuur r 记作M1M2 , a ,
向径 (矢径):
起点为原点的向量.
自由向量: 单位向量:
与起点无关的向量. 模为 1 的向量,
零向量: 模为 0 的向量,
高等数学(下册)
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同,
则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ;
第七章空间解析几何简介详解
空间的点一一对应有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, 坐标原点O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,0, z)
n维空间 Rn中的点：
n元有序数组 (x1 , x2 ,, xn )
其中，数 xi称为该点的第i个坐标.
n维空间中两点间的距离：
PQ ( y1 x1)2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2
其中，点为 P( x1 , x2 ,, xn ) 和 Q( y1 , y2 ,, yn )
空间解析几何简介
一、空间直角坐标 二、空间两点间的距离
三、曲面及其方程
一、空间直角坐标
三条坐标轴的正方向 符合右手法则.
z 竖轴
(vertical axis)
即以右手握住 z
轴，当右手的四个
原点 o •
手指从 x轴正向以
2
角度转向正向 y 轴
(origin)
y 纵轴
(ordinate axis)
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
例 2 设 P 在 x轴上，它到点P1(0, 2,3)的距离 为到点P2(0,1,1)的距离的两倍，求点P 的坐标.
解 因为 P 在 x轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
面方程.
解 设 M ( x, y, z)是球面上任一点, 根据题意有 | MM0 | R, ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的点、直线和平面，以及它们之间的关系和性质。
通过解析几何，我们可以更好地理解和描述三维空间中的几何图形，从而解决与空间相关的问题。
一、平面方程在空间解析几何中，平面是一个基本概念。
为了方便研究和描述平面，我们需要找到一种方式来表示平面。
平面方程就是用来表示平面的一种方式。
一个平面可以由一个点和一个法向量确定。
假设平面上的一点为P，法向量为n，那么平面的方程可以表示为Ax + By + Cz +D = 0，其中A、B、C和D是常数。
这就是平面的一般方程。
二、直线方程与平面类似，直线也是空间解析几何中的一个重要概念。
为了描述直线，我们同样需要找到一种方式来表示它。
直线方程可以通过点和向量来确定。
设直线上的一点为P，方向向量为v，那么直线的方程可以表示为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct，其中x0、y0、z0是直线上的一点的坐标，a、b、c是方向向量v的分量，t是参数。
三、直线与平面的位置关系在解析几何中，直线与平面的位置关系也是一个重要的问题。
直线可以与平面相交、平行或重合。
为了判断直线和平面的位置关系，我们可以通过求解方程组来解决。
假设直线的方程为L：x = x0 + at，y =y0 + bt，z = z0 + ct，平面的方程为P：Ax + By + Cz + D = 0。
将直线方程代入平面方程，将得到一个关于参数t的一元方程。
如果这个方程有解，那么直线与平面相交；如果方程无解，那么直线与平面平行；如果方程有无穷多解，那么直线与平面重合。
四、空间曲线除了点、直线和平面，空间解析几何还涉及到更为复杂的空间曲线。
空间曲线可以由参数方程、一般方程或者向量方程来表示。
不同的曲线有着不同的性质和特点，如曲率、切线等。
通过研究空间曲线，我们可以理解曲线在空间中的运动和变化规律。
总结：空间解析几何是数学中的一个重要分支，通过解析几何的方法，我们可以更好地研究和描述空间中的几何图形。
2020高考数学解析几何内容剖析及备考建议
2020高考数学解析几何内容剖析及备考建议解析几何是高中数学的重要内容。
高考主要考查直线与圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义、标准方程和简单的几何性质。
其中直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系是考查重点。
运动与变化是研究几何问题的基本观点，利用代数方法研究几何问题是基本方法。
试题强调综合性，综合考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等思想方法，突出考查考生推理论证能力和运算求解能力。
一、直线与方程1．在平面直角坐标系下，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2. 理解直线的倾斜角概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．能根据两条直线的斜率判断两条直线平行或垂直．4．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式、一般式），了解斜截式与一次函数的关系．5．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．6．掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．二、圆的方程1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判定圆与圆的位置关系．3．能用直线与圆的方程解决一些简单的问题。
4 ．初步了解用代数方法处理几何问题的思想。
三、空间直角坐标系1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。
2．会简单应用空间两点间的距离公式。
四、圆锥曲线（理科）1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
2．掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率、渐近线）．4．了解曲线与方程的对应关系。
5．理解数形结合思想。
了解圆锥曲线的简单应用。
四、圆锥曲线（文科）1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率、渐近线）．3．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率）．4．理解数形结合思想。
空间解析几何的基本概念及其应用
虚拟现实与增强现实： 通过空间解析几何技术， 实现更真实、更自然的 虚拟场景和增强现实体 验。
自动驾驶：利用空间 解析几何方法，提高 自动驾驶车辆的环境 感知和路径规划能力。
医学影像分析：结合空 间解析几何理论，实现 更准确、更自动的医学 影像分析和诊断。
空间解析几何的研究方向
添加项标题
几何计算：研究如何利用计算机进行几何形状的计算和模拟，例 如计算机图形学、CAD等领域。
动画制作：通过空间解析几 何来创建逼真的动画效果
游戏开发：利用空间解析几 何来设计游戏场景和角色
3D建模：使用空间解析几何 来构建三维模型
虚拟现实：通过空间解析几何 来实现更加真实的虚拟环境
在机器人学中的应用
机器人路径规划：利用空间解析几何的方法，计算机器人在空间中的最优路径
机器人姿态控制：通过解析几何的方法，控制机器人的姿态，使其能够稳定地在空间中移动
空间解析几何的 发展趋势
空间解析几何的新理论
几何大数据：处理大规模几何数据，挖掘几何规律 几何计算：高效、精确地进行几何计算，提高计算精度 几何深度学习：结合深度学习技术，进行几何模式识别和分类 几何优化：寻找最优的几何解决方案，解决复杂几何问题
空间解析几何的新应用
人工智能与机器学习： 利用空间解析几何理论， 开发更高效的人工智能 算法和机器学习模型。
空间解析几何在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。
空间解析几何的基本元素
点：空间中的基本单元，表示 位置和方向
直线：由无数点按某一方向无 限延伸形成的几何对象
平面：由无数直线按某一方向 无限延伸形成的几何对象
向量：有大小和方向的几何对 象，表示空间中的力和速度等 物理量
空间解析几何的基本定理
2025年解析几何知识点与应用剖析
2025年解析几何知识点与应用剖析在当今科技飞速发展的时代，数学作为基础学科的重要性愈发凸显。
解析几何作为数学的一个重要分支，不仅在理论研究中具有重要地位，而且在实际应用中也发挥着巨大的作用。
本文将对 2025 年解析几何的知识点与应用进行全面剖析。
一、解析几何的基本知识点1、坐标系坐标系是解析几何的基础，它为我们描述点的位置提供了一种精确的方法。
常见的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
在直角坐标系中，通过横坐标和纵坐标来确定点的位置；而在极坐标系中，则通过极径和极角来描述点。
2、曲线方程曲线方程是解析几何的核心概念之一。
它将几何图形与代数方程联系起来，使得我们能够通过代数运算来研究几何图形的性质。
常见的曲线方程包括直线方程、圆的方程、椭圆方程、双曲线方程和抛物线方程等。
直线方程：一般式为 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0，其中 A、B 不同时为 0；点斜式为 y y₁＝ k(x x₁)，其中 k 为斜率，（x₁, y₁)为直线上一点。
圆的方程：标准式为（x a)²＋（y b)²＝ r²，其中（a, b) 为圆心坐标，r 为半径。
椭圆方程：标准式为 x²/a²＋ y²/b²＝ 1（焦点在 x 轴）或 y²/a²＋x²/b²＝ 1（焦点在 y 轴），其中 a 和 b 分别为椭圆的长半轴和短半轴。
双曲线方程：标准式为 x²/a² y²/b²＝ 1（焦点在 x 轴）或 y²/a² x²/b²＝ 1（焦点在 y 轴），其中 a 和 b 分别为双曲线的实半轴和虚半轴。
抛物线方程：标准式为 y²＝ 2px（焦点在 x 正半轴），y²＝－2px （焦点在 x 负半轴），x²＝ 2py（焦点在 y 正半轴），x²＝－2py（焦点在 y 负半轴），其中 p 为焦点到准线的距离。
空间解析几何的基础概念
几何计算在计算机图形学中 的应用
空间数据的可视化和分析
几何优化和算法设计在机器 人和自动驾驶中的应用
空间解析几何的未来展望
空间解析几何与人工智能 的结合
空间数据的处理和分析
空间感知和定位技术的应 用
空间解析几何在虚拟现实 和增强现实中的应用
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空间解析几何有助于理解三维空间 中点、线、面等几何元素的关系， 以及空间变换和运动等方面的知识。
空间解析几何对于培养学生的逻辑 思维和创造性思维具有重要意义， 有助于提高学生的数学素养和解决 问题的能力。
空间解析几何的基本概念
第二章
点、直线和平面的定义
点：空间中的零维对象，表示一个位置。 直线：空间中的一维对象，由无数个点组成，表示一个方向或路径。 平面：空间中的二维对象，由无数个点组成，表示一个平面区域。
坐标系：笛卡尔坐标系、极坐标系、 球面坐标系等
空间解析几何的研究对象
向量、向量的模和向量的数 量积
向量的向量积和向量的混合 积
点、直线和平面的几何性质
平面和直线之间的位置关系
空间解析几何的重要性
空间解析几何是数学的重要分支， 为几何学、物理学和工程学等领域 提供了基础。
空间解析几何在计算机图形学、机 器人学、航天技术等领域有广泛应 用，为这些领域的发展提供了理论 基础。
经济学：空间解析几何在经济学中也有着重要的应用，如在计量经济学、区域经济和城 市规划等领域中，可以利用空间解析几何的方法来分析和解释各种经济现象和数据。
生物学：在生物学中，空间解析几何可以帮助科学家更好地理解和描述生物体的形态和 结构，如解剖学、细胞生物学和生态学等领域中都可以看到空间解析几何的应用。
《空间解析几何》课件
THANKS
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通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领 域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解 析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等， 求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义 。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模 等基本概念。
空间解析几何简介课件
一点 M 的线速度 的表示式 .
解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 , 使 , 其
方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l 上任取一点 O, 作
向径
它与 的夹角为 , 则
点 M离开转轴的距离
a r sin
a M
且
符合右手法则
l
v r
O
*三、向量的混合积
1. 定义 已知三向量 a , b , c , 称数量
设 P是 中3一个平面， VP 定义如上，则 中3 与二维子
空间VP 正交的非零向量称为平面P的法向量；平面 P的
所有法向量添上零向量组成 的3 一个一维子空间， 中3
以平面 的P法向量为方向向量的直线称为平面 的法P 线 。
a b c c Pr jc a b c Prjc a Prjc b
c Pr jc a c Pr jc b a c b c
4. 数量积的坐标表示
设 a ax e1 ay e2 az e3 , b bx e1 by e2 bz e3 ,则
( ax e1 ay e2 az e3 ) (bx e1 by e2 bz e3 )
内容小结
设 a (ax , ay , az ) , b (bx ,by ,bz ), c (cx , cy , cz )
1. 向量运算
加减: 数乘: 点积:
a b (ax bx , ay by , az bz )
a (ax ,ay ,az )
a b axbx ayby azbz
叉积:
i jk ab ax ay az
bx by bz
ax ay az
混合积: a b c ( a b ) c bx by bz
2. 向量关系:
高等数学：空间解析几何
a和向量b的数量积(内 积),这种运算也称为点乘,记作a·
b,即
由数量积的定义7-2以及向量夹角的定义7-1可以得到:
(1)a·
a=|a|2;
(2)向量a 和向量b 互相垂直的充分必要条件是a·
b=0.
空间解析几何
两个向量的数量积满足下列运算规律:
当向量a和b至少有一个是零向量时,规定其夹角<a,b>可
以在0到π之间任意取值.
空间解析几何
在物理中,我们已经知道,若力F 作用在物体上,使其产生
位移s,则该力所作的功为
即F 所作的功W 是向量F 和s的模相乘再乘以它们夹角的余
弦.这种运算在其他问题中也 会遇到,因此我们引入向量的结
构性运算.
空间解析几何
例7-13 设一平面与x 轴、y 轴和z 轴的交点分别为
P(a,0,0)、Q(0,b,0)和 R(0,0,c),求这个平面的方程,其中a ≠0,b
≠0,c ≠0.
解 设所求平面的一般方程为
空间解析几何
由 题意可知P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c)三点都在该平
面上,所以这三点的 坐标都满足一般方程,即有
空间解析几何
．
例7-16 求点(1,-2,-1)到平面2x +y-2z+4=0的距离.
解 由式(7-13)可得
空间解析几何
7.4 空间直线方程
一、 直线方程
如图7-10所示,在空间直角坐标系中给定一条直线L,任一
个与这条直线平行的非零向量s={a,b,c}称为该直线的方向向
量.在直线L 上取一个定点M0(x0,y0,z0),设M(x,y,z)是直线L上任
空间解析几何问题的探索与解决
空间解析几何问题的探索与解决空间解析几何问题是数学中的一个重要分支，它研究的是在三维空间中的几何图形的性质、相互关系以及运动规律。
在解决这类问题时，我们需要运用坐标系、向量和方程等工具，通过分析几何图形的特点和关系，求解未知量，得到问题的具体答案。
在本文中，我将向您介绍一些典型的空间解析几何问题，并提供对应的解决方法。
1. 直线与平面的交点问题：存在一直线和一个平面，求它们的交点坐标。
首先，我们可以使用平面的方程和直线的参数方程来解决这个问题。
假设直线的参数方程为x=x₀+ma, y=y₀+mb,z=z₀+mc；平面的方程为Ax+By+Cz+D=0。
将直线的参数方程代入平面的方程，解方程组即可得到交点坐标。
2. 直线与直线的关系问题：给定两个直线的参数方程，判断它们的位置关系。
我们可以先求解两直线的方向向量，如果方向向量不平行，则两直线有且只有一个交点；如果两直线的方向向量平行且不重合，则两直线平行；如果两直线的方向向量重合，则两直线重合。
3. 空间中点的坐标问题：对于已知的两个点A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)，求它们连线的中点的坐标。
中点的坐标可以通过以下公式得到：M((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2)。
4. 空间中的距离问题：给定两个点A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)，求它们之间的距离。
我们可以根据勾股定理，计算欧氏距离：d=√((x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²+(z₁-z₂)²)。
5. 空间中的角度问题：给定三个非共线的点A(x₁, y₁, z₁)、B(x₂, y₂, z₂)和C(x₃, y₃, z₃)，求两个向量AB和AC之间的夹角。
夹角可以通过以下公式得到：cosθ=(AB·AC)/(|AB||AC|)。
其中，·表示向量的点积，|AB|和|AC|分别表示向量的模。
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空解精要（升华部分）序这个部分是空解的精华部分，与高代数分都有联系，关键在于你能否发现其中的玄机。
我相信，当你看完以下的知识点时，一切都会水落石出。
这部分的重点有：柱而，锥而，旋转曲面，二次曲而及其一般线性理论，还有参数方程。
*注意：这部分的知识点如果不涉及度量问题，那么在仿射坐标系下也成立。
一.最完美二次曲面一球而1.定义：在三维线性空间中，我们把到定点的距离等于定长的点的集合叫做球面，这个定点叫球心。
球心到球而的任何点的距离叫做半径。
2.球而的方程：以点（心）b，z°）为球心，R为半径的球面标准方程为（x-x0^ +（y-y0^ +（Z_Z0）2=R2这是一个二次曲面，它的一般形式为x2+ y2 +z2 +Ax + By + Cz + D = O命题1:用一个平面去截取球面，得到的截面是一个圆。
命题2：如果一个平面与球面相切，那么切点与球心的连线垂直于该平面。
3.切而的求法：根据数学分析里面的求偏导数来做，无需刻意记住二次曲而一般理论中的公式。
二.柱面的锥面（一）•柱面1.定义：由平行于某一定方向且与一条空间定曲线相交的一族平行直线所组成的曲而叫做柱面，定曲线叫做准线，平行直线中的每条都叫（直）母线，定方向是直母线的方向，也叫柱面方向。
2.柱而方程的构造从定义中可以看出，柱面的存在由准线和母线族决定，如果确定了准线的方程和母线的方向，那么就可以得出柱面的方程。
如果已知准线方程为F（x,y,z） = 0G（x,y,z） = °母线方向为（l,m, n）于是，假设一点A3」山）在柱面上，这里假设的R是准线与母线的交点，而母线的位置具有任意性，于是将准线和母线联立就可以取遍所有的母线，也就是柱面的方程兀一为_z—勺/ m n FCW“Zi）= O &（心”心）=0 从中消去心牙心，得到的就是柱面方程。
特别地，准线是圆，椭圆，双曲线，抛物线的柱而分别叫做圆柱而，椭圆柱而，双曲柱而，抛物柱而。
例题1:设柱面准线方程为f + ）广=z<2x-z = 0母线方向为为（-2,1,0）,求柱而方程。
解：设斥（心儿和为准线与母线的交点，于是，”2 +昇=勺................... （*）2西-勺=0过A的母线为-2 0 1令这个等式的值为t,得母线的参数方程x = x{-2t,y=y l,z = Z l+t得X]=兀+ 2人必=”石=乙一『，代入（*）,得(x + 2/)‘ +)，= z_/2x-z + 5r = 0消去t,得柱面方程为+25 y2 +4z2 +4xz-10x-20z = 0这是解决柱面方程题目的常规方法。
如果准线是圆，那么柱面就是圆柱面，这个可以用后而的旋转曲面来解决。
（二）锥面1.定义：过定点且与一条（不过定点的）定曲线相交的一族直线组成的曲而叫做锥面，定点叫做顶点，定曲而叫做锥而的准线，这族共点直线中的每条直线都叫母线。
X ■2.锥而方程的构造同理于柱面，锥面由准线和定点确定，由母线族生成。
于是只要能够遍取所有的母线就行，所以，设P\x M）是准线与母线的交点，顶点疏心儿,心）也在过A 的母线上，于是由直 线的两点式方程可以确定该母线方程为再把烈召」心）代入准线方程，得F （x p y p z,） = 0 < G&j,zJ = O .............................................联立①®,消去召j,召得到的就是锥面方程。
3. 圆锥面定义：准线是圆，母线与轴的夹角为定角的锥而叫做圆锥 面。
（估计谁都知道，不必多说了！）命题1：如果方程可以变为x 2 + /-tan 2a.?=O 的形式，则锥 面是圆锥面，。
是母线与轴的夹角。
其中x, y,z 的 位置可以任意换。
很明显这是特殊的情形，对于一般的锥面，有以下判定定理 命题2: 一个关T x-x^y-y^z-z^的齐次方程表示以点（无，儿,z （））为顶点的锥面。
由此可以看出，平面就是一种特殊的锥面！例题2：己知锥面顶点为（3,-2）,准线为x 2 + y 2-z 2 = \,x-y + z = O ,求该锥面方程。
―心_『一儿_ Z-Zo 州一忑力一凡勺一％ ........................ ①解：设斥（舛亠zj是准线上一点，连接A与顶点（3厂1厂2）的母线为x-3 _ y_3 _ z_3州一3 >')—3 Z] — 3将这个等式的值记为〉得兀]=3 + 心_3)y} =一1 + 心 + 1), .......................... ①石=—2 + f(z + 2)代入心X忆到准线方程中，满足............................ ②.齐_开+召=°联立①©,消去t,得3(x — 3)~ — 5(y +1)~ +7(z + 2)~ — 6(x—3)( y +1) + 10(x_3)(z_2)_2(y+ l)(z + 2) = 0即为所求锥面方程。
三.旋转曲面（一）一般旋转曲面的构造1.定义：一条曲线绕一条直线旋转一周所产生的曲面叫做旋转曲面，曲线叫做旋转曲面的母线，直线叫做轴。
由于，母线上任意一点绕轴旋转都是一个圆，这个圆也叫纬圆或纬线。
其中与纬圆相对垂直的母线也叫经线。
命题：经线可以作为母线，但母线不一定为经线。
假设母线（或经线）方程为,母线上有一点2.旋转曲面方程的构造A（心儿zj轴1经过仇（心y%），方向向量0=（Z,加加,假设还有一点P（x, y,z）与A在同一纬圆上。
于是有（X—x0）2 + （y-y0）2+（Z~Z Q）~=（x K— x0）2 + （＞'| -y0）~ + （石一z°）~/（X-X|）+ 〃心一”）+ 〃（乙一©） = oF（W 召）=°Gy JM J=O从中消去心，得到的就是旋转曲面的方程。
例题3：求直线= J = |绕直线x于z旋转所得的旋转1 2 2曲面方程。
解：在母线^L = 2=|上任取一点恥“必)，在轴上取(0, 0,0),所以过片的纬圆方程为[•(X—坷)+ 1 •(〉，一”)+l・(z — zj = o< 。
丁 2 *> 2 。
x-+y-+z~=x~ + y[ + z；将片代入经线方程，得鱼二1 2 2经纬己经确定，于是从上面等式中消去召石，得A2 + y2 +z2 = — (x4-y + z4-4)2 + —(x + y + z-l)2' 25 25即为所求。
(二)绕坐标轴旋转1.旋转定律一般地，坐标平而上的曲线绕此平而上的一条坐标轴旋转，其旋转曲面方程按下列方式写出：对于曲线在坐标面上的方程，保留与旋转轴同名的坐标，而其他两个坐标平方和的平方根代替方程中的另一坐标。
2.椭球而y2 z2设椭圆方程为r：kr + ^ = 1,绕y轴旋转，贝IJx = O不要管x,保留y,将z换成何了，则得到的椭球面方程为匚+心三=1b~ a~请根据规律，写出绕Z轴旋转的结果:3.双曲面J ■y z t将双曲线r：hrv = 1绕z轴旋转所得的旋转曲面为x = 0■这里出现一个负号，所以是单叶双曲面。
b"L当绕y轴旋转时，得到的是三+可c~ b~ c~这里有两个负号，判定为双叶双曲面。
4.抛物面抛物面有两种形式，一是椭圆抛物而，而是双曲抛物而。
椭圆抛物面的标准形式为｛ +可 Gcr b~其中，x, y,z的位置不定。
这个等式左边是椭圆方程的一部分，右边是抛物线方程的一部分，所以叫椭圆抛物而。
它的构造在于先将抛物线旋转得到旋转抛物面，然后做伸缩变换，把纬圆变成椭圆。
如图，在椭圆抛物面中，沿Z轴方向看是抛物线，于是关于Z是一次项；俯视xOy平面可看到的是椭圆, 所以方程中关于x和y的项是二次项。
通过这个规律可以判定图像的大致形态。
性质：当平面沿纬线方向切割椭圆抛物面时，截线是一个椭圆，与椭圆抛物面斜交时，可能岀现圆。
无论是圆还是椭圆，中心总在对称轴上，也在对称平面上。
双曲抛物面的标准形式为4-^ = 2z,这个图像由于a- b~像马鞍一样，所以又叫马鞍面。
其中，原点是鞍点，它的图形在坐标系的分布与椭圆抛物而完全类似。
（三）二次直纹曲面1.定义：所谓直纹曲面，就是指能够由直线生成的曲面。
2.常见的二次直纹曲面：单叶双曲而，双曲抛物面。
3.析因式法所谓的析因式法，就是把曲面的方程通过因式分解，从而求出生成直线族。
很明显，单叶双曲面和双曲抛物而都有两族直母线。
4.单叶双曲面两族直母线的性质⑴对于单叶双曲而上的每一点，两族直母线中各有唯一的一条直母线通过该点；⑵异族的任意两条直母线共而；⑶同族的任意两条直母线是异而直线；⑷两族直母线无公共直线.5.双曲抛物而两族直母线的性质⑴对于双曲抛物而的任意点，两族直母线中各有一条直母线经过这一点；⑵任意两条异族直母线都相交；⑶两族直母线中无公共直线；⑷同族任意两条直母线异面；⑸同族中所有直母线必平行于同一平而；例题4：求单叶双曲面上过P (2,1,3)的两条直母线。
解：(析因式法)根据平法差公式分解因式得到两族直母线分别为 人 =«(i+y) 〉*和, (X z\ "1 T + T =〃2(1_刃 I / 3丿 Xf~fj =/A(i+刃把点p 的坐标代入， 得人:人=1,“=0,于是过P 点的两族直母线的方程分 别为1 ・ y = 0x 'z n ，化简后即为所求。
---- =U 2 3附：对于双曲抛物而的析因式，采用如下分法:若方程为务一話= 2z,这就是双曲抛物线的两族直母线。
分解为41 9四.二次曲而的一般理论（一）判断曲面类型（回顾二次型与矩阵）对于一般形式的二次曲而F（x、y, z） = + a22y2 + r/33z2 + 2a]2xy^ + 2a[3xz + 2a23yz记中间的矩阵为A,称为二次曲面的矩阵；二次部分的矩阵为记才，称为二次矩阵。
当判断一个一般形式的曲面时，通过非退化线性替换把二次曲而的矩阵变成标准型或者规范形，然后写出方程，这个时候就可以得出曲面到底是什么了。
（二）主方向，特征方程，特征根在这里明确一下，不要去寻找他们的几何意义，因为目前城主也没找出他们的意义。
不过可以确定的是：特征方程就是高代里面的特征多项式，特征根就是特征值，特征根对应的主方向就是指特征值对应的特征向量。
接下来复习下线性变换的特征矩阵!‘3-2 0、例题5:求“二-1 3 -1的特征值（特征根）和特「5 7 —1丿征向量（主方向）。
2-3 2 0解答：令\A E-A\= 1 2-3 1 =05 -7 2 + 1得（A-1X/1-2）2=O所以，特征值为1和2 （二重根）属于1的特征向量是 2 0丫《?1 -2 1 y = 0 的非零解，即（5 -7 2几丿 0a = k （l ，l ，l ） 属于2的特征向量是b = h （2,\-\）主方向为2:1： -1于是，遇到求特征根与主方向的时候，可以完全按照线性变换来求！在这里，特征根有一下性质：1. 二次曲而的三个特征根都是实数；2. 二次曲而的三个特征根不全为0；3. 不同特征根对应的主方向一定互相垂直；4. 对于任意二次曲而，至少存在3个两两垂直的主 方向。