初二数学梯形知识精讲精练义务几何试题
初二梯形性质及判定练习题
初二梯形性质及判定练习题梯形的定义梯形是指两边是平行线段的四边形。
梯形的性质* 对于同一梯形，上底和下底两边平行。
* 对于同一梯形，左右两边相等。
* 对于同一梯形，上下两边长度之和等于对角线长度之和。
梯形判定方式* 同一四边形，两边平行，另两边不平行，就是梯形。
* 一般判定定理：如果一个四边形的两对角线互相等长，那么这个四边形是梯形。
梯形的分类* 直角梯形：梯形中有个直角。
* 等腰梯形：左右两边相等的梯形。
练题设梯形ABCD中，AB // CD，AB = 8cm，BC = CD = 6cm，AD = 4cm。
1. 求梯形ABCD的面积。
2. 过点D作线段AD的平行线与AB交于E点，求三角形CDE 的面积。
3. 过线段AD中点O作BC的垂线，交与BC于点P，求三角形AOP的面积。
分析解答1. 梯形面积公式：$S_{ABCD} = \frac{AB+CD}{2} \times AD = \frac{8+6}{2} \times 4 = 28$ (平方厘米)。
2. 因为AD // BE，所以三角形CDE与梯形ABCD面积相同，而梯形ABCD的面积为28平方厘米，所以三角形CDE的面积为28平方厘米。
3. 因为AO与BC垂直，所以 $\angle AOP = 90°$，所以三角形AOP为直角三角形，而AO = $\frac{AD}{2} = 2$，OP = BC - BP = BC - $\frac{AD}{2}$ = 6 - 2 = 4，所以三角形AOP的面积为$\frac{AO \times OP}{2} = 4$ (平方厘米)。
以上是初二梯形性质及判定练习题的内容。
初二梯形性质及判定练习题
初二梯形性质及判定练习题梯形的定义和性质梯形是一个四边形，它的两边是平行的，而另外两边不平行。
梯形的两个平行边称为梯形的底边和顶边，而两个不平行的边称为梯形的腰。
梯形有以下性质：1. 对角线：梯形的两条对角线不平行，且它们相交于一点。
2. 底角和顶角：梯形的底边和顶边上的角是对顶角，它们的度数之和为180度。
3. 腰角和底角：梯形的腰上的角和底边上的角是对顶角，它们的度数之和为180度。
判定梯形的条件一个四边形是梯形的条件为：1. 两边平行：四边形的两条边是平行的。
2. 底角相等：四边形的底边上的两个角度数相等。
判定题练1. 四边形ABCD的边AB与边CD平行，AB=CD=10cm，底角B=底角C=70度。
判断四边形ABCD是否为梯形。
2. 四边形EFGH的边EF与边GH平行，EF=GH=12cm，底角E=底角F=90度。
判断四边形EFGH是否为梯形。
3. 四边形IJKL的边IJ与边KL平行，IJ=12cm，KL=8cm，底角J=底角L=60度。
判断四边形IJKL是否为梯形。
4. 四边形MNOP的边MN与边OP平行，MN=12cm，OP=15cm，底角M=底角N=70度。
判断四边形MNOP是否为梯形。
判定结果1. 四边形ABCD是梯形。
根据条件，边AB与边CD平行，底角B=底角C=70度满足梯形的定义和性质。
2. 四边形EFGH不是梯形。
虽然边EF与边GH平行，但底角E=底角F=90度大于180度，不满足梯形的定义和性质。
3. 四边形IJKL是梯形。
根据条件，边IJ与边KL平行，底角J=底角L=60度满足梯形的定义和性质。
4. 四边形MNOP不是梯形。
虽然边MN与边OP平行，但底角M=底角N=70度大于180度，不满足梯形的定义和性质。
注意：以上判定结果基于给定条件和梯形的定义和性质，根据题目提供的数据进行推断和判断。
初二数学梯形知识精讲精练义务几何试题
卜人入州八九几市潮王学校初二数学梯形知识精讲精练义务几何【学习目的】1．理解梯形、等腰梯形、直角梯形的概念．2．掌握等腰梯形的性质和断定，并会运用它们进展有关的计算和证明．【主体知识归纳】1．梯形定义一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．2．梯形的有关概念〔1〕梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底．〔2〕梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做梯形的腰．〔3〕梯形的高：梯形两底间的间隔叫做梯形的高．3．特殊梯形的定义〔1〕直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．〔2〕等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．4．梯形的断定〔1〕根据梯形定义．〔2〕有一组对边平行且不相等的四边形是梯形．5．等腰梯形的性质〔1〕等腰梯形的两腰相等、两底平行．〔2〕等腰梯形在同一底上的两个角相等．〔3〕等腰梯形的对角线相等．〔4〕等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴．6．等腰梯形的断定〔1〕两腰相等的梯形是等腰梯形．〔2〕在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．〔3〕对角线相等的梯形是等腰梯形．【根底知识精讲】1．等腰梯形的断定方法，一般是先断定一个四边形是梯形，然后再用“两腰相等〞或者“同一底上的两角相等〞来断定它是等腰梯形．断定一个四边形是梯形时，断定两边不平行常有困难，可用断定平行的两边不相等．2．梯形是在学完三角形和平行四边形的根底上学习的，研究梯形时，常常需要添加适当的辅助线，把梯形转化成平行四边形和三角形．以下几个图形就是梯形中常用的辅助线形式〔如图4－71，图4－72，图4－73，图4－74，图4－75〕：特别是关于等腰梯形，添加有关辅助线后就会出现等腰三角形，因此等腰梯形具有与等腰三角形相仿的性质：〔1〕两腰相等；〔2〕同一底上的两角相等；〔3〕过上、下两底中点的直线是它的对称轴．【例题精讲】［例1］，如图4－76，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB与CD不平行，且AB＝CD，求证：ABCD是等腰梯形．图4—76剖析：由AB不平行CD，且AB＝CD知，欲证结论只须证四边形ABCD是梯形，即证一组对边平行且不相等，添加辅助线，构造成平行四边形．证明：过点D作DE∥AB交BC于E，那么∠B＝∠DEC，∵∠B＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∴DE＝DC，又∵AB＝DC，∴AB＝DE，且AB∥DE，∴四边形ABED 是平行四边形，∴AD BE ，且BC ≠AD ，∴四边形ABCD 是梯形，且AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是等腰梯形．［例2］如图4－77，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AE 为高，且AE ＝12，BD ＝15，AC ＝20．〔1〕求AB ＋CD 的长；〔2〕求证：AC ⊥B D ．图4—77剖析：欲求AB ＋CD 的长，可通过平移对角线，化梯形问题为三角形问题，再用勾股定理的逆定理，从而问题得证．〔1〕解：过点A 作AF ∥BD 交CD 的延长线于F ，那么四边形AFDB 为平行四边形，FD ＝AB ，AF ＝BD ＝15，FC ＝AB ＋DC ，∵AE ⊥FC ，AE ＝12，AC ＝20，∴EF ＝22AE AF -＝9，EC ＝22AE AC -＝16∴AB ＋CD ＝FC ＝EF ＋EC ＝25．〔2〕证明：在△ACF 中，∵AC ＝20，CF ＝25，AF ＝15，∴AC 2＋AF 2＝FC 2，∴AF ⊥AC ， ∵AF ∥BD ，∴AC ⊥BD ．说明：梯形的对角线时，往往平移对角线，把两对角线及两底的和集中到一个三角形中去．［例3］如图4－78，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＋BC ，E 是CD 的中点，求证：〔1〕AE ⊥BE ；〔2〕AE 、BE 分别平分∠BAD 及∠AB C ．图4—78剖析：由E是CD的中点，想到延长AE交BC延长线于F，即可得到两个全等三角形，并且将AD移至BC延长线上．这时，BF为上、下两底的和，由条件可得△ABF为等腰三角形，结论即可得证．证明：〔1〕延长AE交BC的延长线于F，∵AD∥BC，∴∠1＝∠F，∠D＝∠2．∵DE＝CE，∴△AED≌△FEC．∴AE＝FE，AD＝CF∵AB＝AD＋BC，∴AB＝BC＋CF，即AB＝BF∴BE⊥AE〔2〕∵AB＝BF，AE＝FE，∴BE平分∠ABC，同理AE平分∠BA D．【同步达纲练习】1．选择题〔1〕四边形ABCD中，假设∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶2∶1∶3，那么这个四边形是〔〕A．梯形B．等腰梯形C．直角梯形D．任意四边形〔2〕以线段a＝16，b＝13，c＝10，d＝6为边作梯形，其中a、c作为梯形的两底，这样的梯形能作〔〕A．0个B．1个C．2个D．无数个〔3〕梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AC与BD相交于O，那么图中全等三角形一共有〔〕A．2对B．3对C．4对D．5对〔4〕直角梯形的一腰长为6 cm，这腰与底所成的角为30°，那么另一腰长是〔〕A．3 cmB．1.5 cmC．6 cmD．9 cm〔5〕一个等腰梯形的两底之差为12，高为6，那么等腰梯形的锐角为〔〕A．30°B．45°C．60°D．75°〔6〕直角梯形的一腰为10 cm，该腰与下底的夹角为45°，且下底为上底长的2倍，那么直角梯形的面积是〔〕A．75 cm2B．100 cm2 C．10〔2＋1〕cm2D．10〔22＋1〕cm2〔7〕等腰梯形的一角为120°，上底为10，下底为30，那么它的腰长为〔〕A．10B．20 C．103D．203〔8〕等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，E为DC的中点，AD＝2，BC＝8，BE把梯形的周长分成差为3的两局部，那么AB的长为〔〕A．3B．9 C．3或者9D．无法确定2．填空题〔1〕梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝30°，∠B＝45°，AD＝8，DC＝3，那么AB＝_____．〔2〕等腰梯形的两底长的和是10，两底差是4，一底角为45°，那么其面积为_____．〔3〕等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，对角线AC平分∠BAD，这个梯形的周长为4.5 cm，AB＝1.5 cm，那么CD＝_____cm．〔4〕在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞DC，CE∥DA，交AB于E，并且△BCE的周长为7 cm，CD为3 cm，那么梯形的周长为_____cm．〔5〕如图4－79，梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝AB＝BC，BD⊥CB，那么∠C＝_____，∠A＝_____．图4—79〔6〕梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝3，CD＝5，那么BC＝_____．〔7〕在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝50°，∠C＝80°，BC＝5，AD＝3，那么CD＝_____．〔8〕如图4－80，AB∥CD，E为ADAB＋CD＝BC．〔填写上要求：在等式∠A＝90°，∠CEB＝90°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，BE＝CE，AE＝DE中，选择两个等式添在横线上．〕图4—803．如图4－81，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC－AD＝3 cm，∠B＝90°，∠C＝45°，梯形面积是19.5 cm2，求梯形两底长．图4—814．如图4－82，梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥AB，AB＝BC，AE⊥BC于E．求证：CD＝CE．图4—825．如图4－83，梯形ABCD中，AB∥DC，AE⊥DC于E，AE＝12，BD＝15，AC＝20，求梯形ABCD的面积．图4—836．：如图4－84，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，PA＝PD．求证：PB＝P C．图4—84请你将上述题目的条件“在等腰梯形ABCD中，AD∥BC〞改为另一种四边形，其余条件都不变，使结论“PB＝PC〞仍然成立，再根据改编后的题目画出图形，写出和求证，并进展证明．【思路拓展题】想一想一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直间隔为8米，梯子的顶端下滑2米后，底端将程度滑动2米吗？参考答案【同步达纲练习】1．〔1〕C〔2〕A〔3〕B〔4〕A〔5〕B〔6〕A〔7〕B〔8〕B2．〔1〕43＋7〔2〕10〔3〕1〔4〕13〔5〕60°120°〔6〕6〔7〕2〔8〕∠1＝∠2，∠3＝∠43．5 cm8 cm4．提示：过C作CF⊥AB，先证CD＝AF，再证△ABE≌△CBF，∴BE＝BF，∴CE＝AF．5．150．提示：过点A作AF∥BD交CD的延长线于F，可得ABDF为平行四边形，从而AF＝15，易求EF＝9，EC＝16，即AB＋CD＝25．6．略．【思路拓展题】想一想程度滑动也是2米．。
初二数学梯形练习题
初二数学梯形练习题梯形是初中数学的一个重要概念，通过学习梯形的性质和相关公式，我们可以解决很多与梯形相关的问题。
本篇文章将为大家提供一些初二数学梯形练习题，帮助大家巩固相关知识点。
练习题一：计算面积已知梯形ABCD，其中AB∥CD，AB=10cm，CD=16cm，AD=12cm。
求梯形ABCD的面积。
解答：梯形的面积可以通过上底和下底的平均值乘以高得到。
根据题目给出的信息，梯形ABCD的上底为10cm，下底为16cm，可以计算得到平均底长为(10+16)/2=13cm。
梯形的高为AD=12cm。
因此，梯形ABCD的面积为13cm×12cm=156cm²。
练习题二：计算周长已知梯形EFGH，其中EF∥GH，EF=6cm，GH=10cm，FG=3cm，EH是梯形的高。
求梯形EFGH的周长。
解答：梯形的周长可以通过将各边的长度相加得到。
根据题目给出的信息，梯形EFGH的边长分别是EF=6cm，GH=10cm，FG=3cm。
由于上底和下底不平行，我们无法直接得到梯形的高。
然而，根据题目中的信息，我们可以通过应用勾股定理求解。
根据勾股定理，我们可以得到：FG²+EH²=EF²。
代入已知的数值，可得3²+EH²=6²，即9+EH²=36。
解方程可得EH=√27=3√3。
因此，梯形EFGH的周长为6cm+10cm+3cm+3√3cm=19cm+3√3cm。
练习题三：已知面积和底长已知梯形IJKL的面积为40cm²，上底JK为8cm，下底IL为12cm。
求梯形IJKL的高。
解答：根据上面提到的梯形面积的计算方法，面积可以通过上底和下底的平均值乘以高得到。
根据题目给出的信息，梯形IJKL的上底为8cm，下底为12cm，可以计算得到平均底长为(8+12)/2=10cm。
梯形的面积为40cm²。
代入公式，可得40cm²=10cm×h，解方程可得h=4cm。
初二下册数学梯形练习题
初二下册数学梯形练习题梯形是初中数学中常见的一个几何形状，具有四边形的特点，并且两边是平行的，但长度不一样。
学习和掌握梯形的性质和计算是数学学习中的基础，下面将给出一些初二下册数学梯形练习题，以帮助同学们更好地理解和应用这些知识点。
1. 计算下面梯形的面积：4cm|─────|6cm| ||─────|9cm解析：首先，我们需要找出梯形的上底和下底的长度。
根据图示可知，梯形的上底为4cm，下底为9cm。
其次，我们需要确定梯形的高。
从图中可以看到，梯形的高为6cm。
根据梯形面积公式：面积 = (上底+ 下底) ×高 ÷ 2，代入已知数值进行计算：面积 = (4 + 9) × 6 ÷ 2 = 13 ×6 ÷ 2 = 78 ÷ 2 = 39cm²。
所以，这个梯形的面积为39cm²。
2. 已知一个梯形的上底为12cm，下底为8cm，面积为60cm²，求其高的长度。
解析：设梯形的高为h。
根据梯形的面积公式可得：60 = (12 + 8) ×h ÷ 2，化简得：60 = 20h ÷ 2，进一步计算得：60 = 10h。
将方程两边除以10，得到：h = 6。
所以，这个梯形的高为6cm。
3. 如图，已知ABCD为梯形，AB平行于DC，AB = 5cm，BC =7cm，AD = 4cm，求梯形ABCD的面积。
A────B╱╲D────────────C解析：根据题意，我们可以知道梯形的上底为AB = 5cm，下底为CD = 7cm。
接下来，我们需要找到梯形的高。
根据题目中给出的信息，AD为梯形的高，AD = 4cm。
根据梯形面积公式：面积 = (上底 + 下底) ×高 ÷ 2，代入已知数值进行计算：面积 = (5 + 7) × 4 ÷ 2 = 12 × 4 ÷ 2 = 48 ÷ 2 = 24cm²。
八年级数学下册《梯形》(基础)知识点归纳及典型例题讲解
梯形（基础）知识点归纳及典型例题讲解【学习目标】1．理解梯形的有关概念，理解直角梯形和等腰梯形的概念．2．掌握等腰梯形的性质和判定．3．初步掌握研究梯形问题时添加辅助线的方法，使问题进行转化．4. 熟练运用所学的知识解决梯形问题．5. 掌握三角形，梯形的中位线定理.【要点梳理】知识点一、梯形的概念一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角.要点诠释：（1）定义需要满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③另一组对边不平行.（2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同.梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组对边必不相等.（3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长度来决定梯形的上、下底.知识点二、等腰梯形的定义及性质1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形.2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等.（2）等腰梯形的两条对角线相等.要点诠释：（1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质.（2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行.（3）等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的.知识点三、等腰梯形的判定1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形.2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形.（2）对角线相等的梯形是等腰梯形.知识点四、辅助线梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是：知识点五、三角形、梯形的中位线联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.【典型例题】类型一、梯形的计算1、已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4.求∠B的度数及AC的长.【答案与解析】解：过A点作AE∥DC交BC于点E．∵ AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形．∴ AD＝EC，AE＝DC．∵ AB＝DC＝AD＝2，BC＝4，∴ AE＝BE＝EC＝AB．可证△BAC是直角三角形，△ABE是等边三角形．∴∠BAC＝90°，∠B＝60°．在Rt△ABC中，2223=-=．AC BC AB∴ ∠B ＝60°，23=AC ．【总结升华】平移一腰，把梯形分成一个平行四边形和三角形. 举一反三：【变式】如图所示，已知四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠A ＝90°，BC ＝BD ，CE ⊥BD ，垂足为E ． (1)求证：△ABD ≌△ECB ；(2)若∠DBC ＝50°，求∠DCE 的度数．【答案】证明：(1)∵ AD ∥BC ， ∴ ∠ADB ＝∠EBC ． 又∵ CE ⊥BD ，∠A ＝90°， ∴ ∠A ＝∠CEB ． 在△ABD 和△ECB 中，A CEBADB EBC BD CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABD ≌△ECB ．(2)∵ ∠DBC ＝50°，BC ＝BD ，∴ ∠BCD ＝65°． 又∵ ∠BEC ＝90°，∴ ∠BCE ＝40°．∴∠DCE＝∠BCD－∠BCE＝25°．2、如图所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC⊥BD，AD＝4，BC＝10，求梯形的面积．【思路点拨】题目中有对角线互相垂直的条件，可通过平行移动对角线的方法，将两条对角线集中到一个直角三角形中，利用这个条件求出高．【答案与解析】解：如图所示，过D作DF∥AC交BC的延长线于F，作DE⊥BC于E，∴四边形ACFD为平行四边形，∴ DF＝AC，CF ＝AD＝4．∵ AC⊥BD，AC∥DF，∴ ∠BDF ＝∠BOC ＝90°． ∵ ABCD 是等腰梯形 ∴ AC ＝BD ，∴ BD ＝DF ．∴ BF ＝BC ＋CF ＝14，∴ DE ＝12BF ＝7．∴ 1(410)7492ABCDS=+⨯=梯形． 【总结升华】作对角线的平行线（平移对角线），将上底平移与下底拼接在一起构造两底之和，把梯形转化成平行四边形是常见的辅助线方法． 类型二、梯形的证明3、如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 、∠BCD 的平分线分别交BC 、AD 于点E 、F ，AE 、DC 的延长线交于点G ，试说明四边形AFCG 为等腰梯形．【思路点拨】先证明四边形AFCG为梯形，再通过证底角相等证明四边形AFCG为等腰梯形.【答案与解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，又AE、CF分别为∠BAD、∠BCD的平分线，∴∠1＝∠2＝∠4，又AD∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CF∥AG，又AF不平行于CG，∴四边形AFCG为梯形；又∠G＝∠BCD－∠3＝∠2＋∠4－∠3＝∠1，∴四边形AFCG为等腰梯形（同一底上两个角相等）．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，难度适中，解题关键是熟练掌握并灵活运用等腰梯形的判定方法．举一反三：【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠BAD、∠CDA的平分线AE、DF分别交直线BC于点E、F．求证：CE＝BF．【答案】证明：在梯形ABCD中，AB＝DC，∴∠ABC＝∠DCB，∠BAD＝∠CDA．∵AE、DF分别为∠BAD与∠CDA的平分线，∴∠BAE＝12∠BAD，∠CDF＝12∠CDA．∴∠BAE＝∠CDF．∴△ABE≌△DCF．（ASA）∴BE＝CF．∴BE－BC＝CF－BC．即CE＝BF．4、如图所示，在梯形ABCD中，AD ∥BC ，对角线AC ＝5，BD ＝12，两底AD 、BC 的和为13．（1）求证：AC ⊥BD ；（2）求梯形ABCD 的面积．【答案与解析】证明：（1）过D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于E 点，又∵ AD ∥BC ，∴ 四边形ACED 为平行四边形．∴ DE ＝AC ＝5，CE ＝AD ．在△BDE 中，BD ＝12，DE ＝5，BE ＝BC ＋CE ＝BC ＋AD ＝13，且22251213+=，即DE 2＋BD 2＝BE 2，∴ △BDE 为直角三角形，∴ ∠BDE ＝90°，则DE ⊥BD ，又DE ∥AC ，∴ AC ⊥BD ．（2）111()222ABD CBD ABCD S S S BD OA BD OC BD OA OC =+=+=+g g △△梯形 115123022BD AC ==⨯⨯=g ． 【总结升华】（1）对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长度乘积的一半．（2）通过辅助线将已知数据转化在同一个三角形内，然后由勾股定理的逆定理得到垂直关系，这是本题的关键．类型三、三角形、梯形的中位线5、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐变小C ．线段EF 的长不变D ．无法确定【答案】C ；【解析】连AR ，由E 、F 分别为PA ，PR 的中点知EF 为△PAR 的中位线, 则12EF AR ，而AR 长不变，故EF 大小不变.【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．6、在直角梯形ABCD 中（如图所示），已知AB∥DC，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，EF 为中位线，且BC ＝EF ＝4，那么AB ＝（ ）A ．3B ．5C ．6D ．8【答案】B；【解析】解：作CG⊥AB于G点，∵∠ABC＝60°BC＝EF＝4，∴BG＝2，设AB＝x，则CD＝x－2，∵EF为中位线，∴AB+CD＝2EF，即x+x－2＝8，解得x＝5，【总结升华】此题综合运用了梯形的中位线定理、直角三角形的性质．在该图中，最关键的地方是正确的构造直角三角形．。
初二数学梯形练习题
初二数学梯形练习题梯形是初中数学中常见的一个几何形状，它具有独特的性质和特点。
本文将为大家提供一些初二数学梯形练习题，帮助大家加深对梯形的理解和运用。
练习题一：如图所示，ABCD是一个梯形，AD∥BC，AB=10cm，CD=5cm，AC=8cm。
（1）请计算梯形的高；（2）请计算梯形的上底和下底之和。
练习题二：如图所示，EFGH是一个梯形，EF∥GH，EF=12cm，FG=6cm，GH=8cm。
（1）请计算梯形的高；（2）请计算梯形的上底和下底之和。
练习题三：如图所示，IJKL是一个梯形，IK∥JL，IK=5cm，JL=9cm，IL=7cm。
（1）请计算梯形的高；（2）请计算梯形的上底和下底之和。
练习题四：如图所示，MNOP是一个梯形，NO∥MP，NO=16cm，MP=12cm，MN=9cm。
（1）请计算梯形的高；（2）请计算梯形的上底和下底之和。
解析：在解答上述梯形练习题时，我们需要运用梯形的性质和定理。
首先，我们知道梯形的高是指梯形两底的垂直距离。
其次，梯形的上底和下底之和等于梯形两腰的和。
基于这些性质和定理，我们可以依次解答上述练习题。
练习题一的解答：（1）由题可知，梯形的上底和下底分别为AB=10cm和CD=5cm，利用梯形的高可以求得：梯形的高 = AC - BD = 8cm - 5cm = 3cm。
所以，梯形的高为3cm。
（2）梯形的上底和下底之和等于梯形两腰的和，即：上底和下底之和 = AB + CD = 10cm + 5cm = 15cm。
所以，梯形的上底和下底之和为15cm。
练习题二的解答：（1）根据题目信息，梯形的上底和下底分别为EF=12cm和GH=8cm，利用梯形的高可以求得：梯形的高 = FG = 6cm。
所以，梯形的高为6cm。
（2）梯形的上底和下底之和等于梯形两腰的和，即：上底和下底之和 = EF + GH = 12cm + 8cm = 20cm。
所以，梯形的上底和下底之和为20cm。
初中数学华师大版八年级下册试题 梯形-讲义
梯形
重难点易错点辨析
题一：下列叙述中，正确的是()
A．只有一组对边平行的四边形是梯形
C．梯形有两个内角是锐角，其余两个角是钝角
D．梯形是轴对称图形
等腰梯形的性质和判定
题二：如图，在等腰梯形AB CD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，以下四个结论：
①∠ABC=∠DCB
②OA=OD
③∠BCD=∠BDC
④S△AOB=S△D O C
其中正确的是( )
A．①②B．①④C．②③④D．①②④
金题精讲
题一：如图所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，E为CD的中点，若用S1、S2、S3分别表示△ADE、△EBC、△ABE的面积，则S1、S2、S3的关系是()
A．S1+S2＞S3B．S1+S2=S3C．S1+S2＜S3D．以上都不对
题二：如图，直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=30°，折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF=CF=8．
(1)求∠BDF的度数；
(2)求AB的长．
题三：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=C D=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC＋PD的最小值为．
思维拓展
题一：如图，平行四边形ABCD是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是．
讲义参考答案
重难点易错点辨析
题一：A．题二：D．
金题精讲
题一：B．题二：(1)90°；(2)6．题四：(1)略；(2)10．
思维拓展
题一：1:2．。
初二梯形试题及答案
初二梯形试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是梯形的定义？A. 一组对边平行的四边形B. 一组对边相等的四边形C. 一组对边平行且相等的四边形D. 一组对边垂直的四边形答案：A2. 如果一个梯形的上底是5厘米，下底是10厘米，高是4厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 20B. 25C. 30D. 35答案：B3. 一个梯形的两条腰分别为8厘米和10厘米，高为6厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 24B. 30C. 36D. 42答案：C4. 等腰梯形的两条腰相等，那么它的对角线是否相等？A. 是B. 否C. 无法确定D. 只有在特殊情况下相等答案：A5. 下列哪个选项不是梯形的性质？A. 梯形的对角线相等B. 梯形的对角线互相垂直C. 梯形的对边平行D. 梯形的对边不相等答案：B6. 一个梯形的上底是3厘米，下底是7厘米，高是4厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 8B. 10C. 12D. 14答案：C7. 等腰梯形的两底边平行，那么它的对角线是否平行？A. 是B. 否C. 无法确定D. 只有在特殊情况下平行答案：B8. 一个梯形的上底是6厘米，下底是12厘米，高是5厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 30B. 35C. 40D. 45答案：A9. 梯形的中位线等于两底边的平均值，那么中位线的长度是？A. 上底加下底除以2B. 上底减下底除以2C. 上底乘下底除以2D. 上底除以下底除以2答案：A10. 一个梯形的上底是4厘米，下底是8厘米，高是3厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 6B. 12C. 18D. 24答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 一个梯形的上底是8厘米，下底是12厘米，高是5厘米，它的面积是________平方厘米。
答案：502. 如果一个梯形的上底是7厘米，下底是11厘米，那么它的中位线长度是________厘米。
答案：93. 等腰梯形的两腰相等，且对角线互相垂直，那么它的面积是________平方厘米。
梯形性质及判定练习题
梯形性质及判定练习题梯形是一种四边形，其两边边平行，而另外两边不平行。
在本练题中，我们将探讨梯形的性质以及如何判定一个四边形是否为梯形。
梯形的性质梯形具有以下性质：1. 两底角相等：梯形的两个底角（与较长边相对的两个角）是相等的。
两底角相等：梯形的两个底角（与较长边相对的两个角）是相等的。
2. 两腰相等：梯形的两条斜边（与底平行的两边）是相等的。
两腰相等：梯形的两条斜边（与底平行的两边）是相等的。
3. 对角线交点连线平分底角：梯形的对角线交点连线将底角平分。
对角线交点连线平分底角：梯形的对角线交点连线将底角平分。
4. 底角与顶角之和等于180度：梯形的底角和顶角之和总是等于180度。
底角与顶角之和等于180度：梯形的底角和顶角之和总是等于180度。
判定一个四边形是否为梯形要判定一个四边形是否为梯形，可以根据以下条件进行判断：1. 两对边平行：如果一个四边形的两对边都是平行的，那么它就是一个梯形。
两对边平行：如果一个四边形的两对边都是平行的，那么它就是一个梯形。
2. 底角相等：如果一个四边形的两个底角是相等的，那么它就是一个梯形。
底角相等：如果一个四边形的两个底角是相等的，那么它就是一个梯形。
如果一个四边形同时满足上述两个条件，那么我们可以确定它是一个梯形。
练题让我们来练一下判定一个四边形是否为梯形。
1. 判定以下四边形是否为梯形：*使用上述判定条件，来判断这个四边形是否为梯形，并解释理由。
*这个四边形是一个梯形。
它满足两对边平行的条件（上边和下边平行，左边和右边平行），同时底角相等。
2. 判定以下四边形是否为梯形：*使用上述判定条件，来判断这个四边形是否为梯形，并解释理由。
*这个四边形不是一个梯形。
虽然两对边平行（上边和下边平行，左边和右边平行），但底角并不相等。
练题结束。
通过不断练判定梯形的条件，我们可以更好地理解和应用梯形的性质。
梯形的性质和判定练习题
梯形的性质和判定练习题梯形是几何学中常见的一个图形，具有一些特殊的性质和判定规则。
本文将介绍梯形的性质和提供一些练题，帮助读者加深对梯形的理解。
梯形的定义梯形是一个四边形，其中有两条平行边，被称为梯形的上底和下底。
其他两条边称为梯形的腰。
可以将梯形分为两个三角形：一个是上底和下底之间的三角形，另一个是两个腰和下底之间的三角形。
梯形的性质1. 上底和下底平行：梯形的上底和下底是平行的，它们之间的距离是恒定的。
2. 上底和下底长度之和等于腰的长度之和：即上底长度加上下底长度等于两个腰的长度之和。
3. 两个腰的长度之差等于上底和下底长度之差的一半：即两个腰的长度相减等于上底长度减去下底长度的一半。
4. 对角线长度相等：梯形的对角线是连接两个非相邻顶点的线段，对角线长度相等。
5. 对角线互相平分：梯形的对角线互相平分，即将对角线分成两段，每段长度相等。
梯形的判定判定一个四边形是否是梯形，可以根据下面的规则进行确定：1. 有两边互相平行：一个四边形有两条边是平行的，即上底和下底平行，那么它是梯形。
2. 还需要满足以下任意一个条件：- 上底和下底长度之差等于两个腰的长度差的一半。
- 上底和下底长度之和等于两个腰的长度之和。
只有同时满足上面两个条件，一个四边形才可以被判定为梯形。
判定练题1. 下图中的四边形是否是梯形？为什么？2. 下图中的四边形是否是梯形？为什么？3. 下图中的四边形是否是梯形？为什么？参考答案1. 是梯形。
上底和下底是平行的，且上底和下底长度之和等于两个腰的长度之和。
2. 不是梯形。
虽然上底和下底是平行的，但上底和下底长度之和不等于两个腰的长度之和。
3. 是梯形。
上底和下底是平行的，且上底和下底长度之差等于两个腰的长度差的一半。
通过以上练习题，我们可以加深对梯形的性质和判定规则的理解。
梯形初二练习题
梯形初二练习题梯形是初中数学中的常见几何形状之一。
通过梯形的初二练习题，我们可以巩固和拓展对梯形性质和计算的理解。
以下是一些梯形初二练习题及其解答。
1. 题目：在梯形MNOP中，底边MN = 12 cm，上底OP = 8 cm，高h = 5 cm。
求梯形的面积和周长。
解答：首先，我们可以通过面积公式求解梯形的面积。
梯形的面积公式为：面积 = 1/2 × (上底 + 下底) ×高。
将已知数据代入公式，我们有：面积 = 1/2 × (8 cm + 12 cm) × 5 cm= 50 cm²。
因此，梯形的面积为50平方厘米。
接下来，我们计算梯形的周长。
梯形的周长可以通过将四条边相加计算得出。
边NO = 边MP = 上底OP = 8 cm。
边MN = 底边 = 12 cm。
因此，梯形的周长 = 8 cm + 8 cm + 12 cm + 12 cm = 40 cm。
综上，梯形的面积为50平方厘米，周长为40厘米。
2. 题目：ABCD是一个梯形，AB ∥ CD，AB = 6 cm，CD = 10 cm，AD = 8 cm，BC = 12 cm。
求梯形的面积。
解答：根据梯形的面积公式，我们可以计算出梯形的面积。
面积 = 1/2 × (上底 + 下底) ×高。
已知上底AB = 6 cm，下底CD = 10 cm，梯形的高为AD = 8 cm。
将已知数据代入公式，我们有：面积 = 1/2 × (6 cm + 10 cm) × 8 cm= 64 cm²。
因此，梯形的面积为64平方厘米。
3. 题目：在梯形PQRS中，边PS与边QR互相垂直，边PR = 10 cm，边QS = 6 cm，边PS = 8 cm。
求梯形的面积和周长。
解答：首先，我们计算梯形的面积。
面积 = 1/2 × (上底 + 下底) ×高。
初中中考复习之梯形(精编含答案)
∴AE=EB=BF=FC。
在△ABF和△CBE中，∵AB=CB，∠ABF=∠CBE， BF=BE，
∴△ABF≌△CBE（SAS）。∴∠BAF=∠BCE，AF=CE。
在△AME和△CMF中，
∵∠BAF=∠BCE，∠AME=∠CMF ，AE=CF，
∴△AME≌△CMF（AAS）。∴EM=FM。
在△BEM和△BFM中，∵BE=BF，BM=BM，
点，∴BE=CE。
在△ABE和△DCE中，
∵AB=DC，∠B=∠C
，BE=CE，
∴△ABE≌△DCE（SAS）。∴AE=DE。
7、证明：∵ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∴∠B=∠BCD, ∠BCD =∠EDC。
∴∠B=∠EDC。又∵CE=CD。∴∠EDC=∠E。∴∠B=∠E。
8、解：（1）180°－2α。
（1）∠BEF=_____(用含α的代数式表示)； （2）当AB＝AD时，猜想线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且 AE＞AB，AB＝mDE，AD＝nDE”，其他条件不变（如图2），求 的值（用含m、n的代数式表示）。
9.我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”，“三角 形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”．类似的， 我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位 线．通过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？并证 明你的结论．
6.如图，在等腰梯形ABCD中，点E为底边BC的中点，连结AE、DE．求 证：AE=DE．
7.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且 CE=CD，求证：∠B=∠E
人教版 八年级数学讲义 梯形及等腰梯形 (含解析)
第19讲 梯形及等腰梯形知识定位讲解用时：3分钟A 、适用范围：人教版初二，基础较好；B 、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习梯形及等腰梯形。
梯形和等腰梯形属于四边形章节，选择填空中会涉及到，也经常出现在几何大题中，是中考考查范围内的一个重要知识点，熟练掌握一般梯形、直角梯形和等腰梯形及它们的性质和判定，灵活运用并处理含梯形的综合类型题目.知识梳理讲解用时：20分钟梯形的认识1、定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形（概念记清楚哦）一般梯形梯形标注：梯形是特殊的四边形，有且只有一组对边平行哦2、梯形的分类：一般梯形、特殊梯形（直角梯形、等腰梯形） 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形 等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形直角梯形 等腰梯形AB//CD AB//CD AD ≠BC AD=BC AD ⊥CD AD 不平行BC3、梯形的中位线：连接梯形两腰上的中点的线段叫做梯形的中位线.梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半你知道怎么证明吗？EF//AB//CD EF=12（AB+CD ）1、等腰梯形的性质定理性质定理1：等腰梯形同一底边上的两个角相等性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等性质3：等腰梯形既是轴对称图形，只有一条对称轴（底边的垂直平分线）∠A=∠B AC=BD 虚线为等腰梯形的对称轴∠C=∠D2、等腰梯形的判定定理判定定理1：同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形判定3：利用定义课堂精讲精练【例题1】已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=CD=6，∠B=60°，那么下底BC的长为．【答案】10【解析】首先过A作AE∥DC交BC与E，可以证明四边形ADCE是平行四边形，进而得到CE=AD=4，再证明△ABE是等边三角形，进而得到BE=AB=6，从而得到答案．解：如图，过A作AE∥DC交BC与E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AD=EC=4，AE=CD，∵AB=CD=6，∴AE=AB=6，∵∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE=AB=6，∴BC=6+4=10．故答案为：10．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了梯形，关键是掌握梯形中的重要辅助线，过一个顶点作一腰的平行线得到一个平行四边形．教学建议：利用梯形的知识作辅助线构造出平行四边形和等边三角形.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：普陀区期中年份：2017【练习1.1】如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=75°，AD=2，BC=7，那么AB= ．【答案】5【解析】过点D作DE∥AB交BC于E，根据平行线的性质，得∠DEC=∠B=30°，根据三角形的内角和定理，得∠EDC=75°，再根据等角对等边，得DE=CE．根据两组对边分别平行，知四边形ABED是平行四边形，则AB=DE=CE=7﹣2=5，从而求解．解：过点D作DE∥AB交BC于E，∴∠DEC=∠B=30°．又∵∠C=75°，∴∠CDE=75°．∴DE=CE．∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD=BE=2．∴AB=DE=CE=BC﹣BE=BC﹣AD=7﹣2=5．故答案为：5．讲解用时：3分钟解题思路：此题综合考查了平行四边形的判定及性质、平行线的性质、等角对等边的性质，解题的关键是作平行线构造平行四边形．教学建议：利用梯形的知识作辅助线构造出平行四边形进行求解.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：潍坊三模年份：2016【例题2】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，如果AB=5，BC=4，CD=3，那么AD= ．【答案】2【解析】试题分析：过点D作DE⊥AB于点E，后根据勾股定理即可得出答案．解：过点D作DE⊥AB于点E，如下图所示：则DE=BC=4，AE=AB﹣EB=AB﹣DC=2，AD==2．故答案为：2．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了梯形及勾股定理的知识，难度不大，属于基础题．教学建议：利用梯形和勾股定理的知识进行求解.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：普陀区期末年份：2016【练习2.1】如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，DE⊥EC．求证：（1）DE平分∠ADC；（2）AD+BC=DC．【答案】（1）DE平分∠ADC；（2）AD+BC=DC【解析】试题分析：（1）延长DE交CB的延长线于F，可证得△AED≌△BEF，根据三线合一的性质可得出CD=CF，推出∠CDF=∠F，由∠ADF=∠F即可证明；（2）由△AED≌△BEF，根据三线合一的性质可得出CD=CF，进而利用等线段的代换可证得结论；证明：（1）延长DE交CB的延长线于F，∵AD∥CF，∴∠A=∠ABF，∠ADE=∠F．在△AED与△BEF中，，∴△AED≌△BEF，∴AD=BF，DE=EF，∵CE⊥DF，∴∠CDF=∠F，∵AD∥CF，∴∠ADE=∠F，∴∠ADE=∠CDF，∴ED平分∠ADC．（2）∵△AED≌△BEF，∴AD=BF，DE=EF，∵CE⊥DF，∴CD=CF=BC+BF，∴AD+BC=DC．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查梯形、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是因为点E是中点，所以应该联想到构造全等三角形，这是经常用到的解题思路，同学们要注意掌握．教学建议：学会运用梯形、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质进行解题.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：松江区期末年份：2017【例题3】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD与中位线EF交于点G，若AD=2，EF=5，那么FG= ．【答案】4【解析】试题分析：根据梯形中位线性质得出EF∥AD∥BC，推出DG=BG，则EG 是△ABD的中位线，即可求得EG的长，则FG即可求得．解：∵EF是梯形ABCD的中位线，∴EF∥AD∥BC，∴DG=BG，∴EG=AD=×2=1，∴FG=EF﹣EG=5﹣1=4．故答案是：4．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了梯形的中位线，三角形的中位线的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．教学建议：熟练掌握梯形的中位线、三角形的中位线知识并灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】边长为8的正方形ABCD中，E、F是边AD、AB的中点，连接CE，取CE中点G，那么FG= ．【答案】6【解析】试题分析：根据题意，正方形ABCD的边长为8，E边AD的中点，可得出AE、BC的长；又由点F、G分别是AB、CE的中点，根据梯形的中位线定理，可得出FG的长；解：如图，∵正方形ABCD的边长为8，E、F是边AD、AB的中点，∴AE=4，BC=8，又∵点G是CE的中点，∴FG为梯形ABCE的中位线，∴EF==×（4+8）=6．故答案为：6．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了梯形的中位线定理，熟练掌握梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．教学建议：学会应用梯形的中位线定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】在梯形ABCD中．AB∥CD，EF为中位线，则△AEF的面积与梯形ABCD的面积之比是．【答案】1：4【解析】试题分析：过A作AG⊥BC于G，交EF于H，再根据梯形的中位线定理及面积公式解答即可．解：过A作AG⊥BC于G，交EF于H，∵EF是梯形ABCD的中位线，∴AD+BC=2EF，AG=2AH，设△AEF的面积为xcm2，即EF•AH=xcm2，∴EF•AH=2xcm2，∴S=（AD+BC）•AG=×2EF×2AH=2EF•AH=2×2xcm2=4xcm2．梯形ABCD∴△AEF的面积与梯形ABCD的面积之比为：1：4．故答案为：1：4．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了梯形的中位线定理，比较简单，注意掌握梯形的中位线定理即是梯形的中位线等于上下底和的一半．教学建议：学会应用梯形的中位线定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：六安期末年份：2013【练习4.1】在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是边AB、CD的中点．如果AD=5，EF=11，那么BC= ．【答案】17【解析】试题分析：根据梯形中位线定理“梯形的中位线长是上下底和的一半”，进行计算．解：根据梯形中位线定理，得EF=（AD+BC），则BC=2EF﹣AD=2×11﹣5=17．讲解用时：2分钟解题思路：考查了梯形的中位线定理．教学建议：熟练掌握并应用梯形的中位线定理.难度： 2 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，BD平分∠ABC，∠A=60°．求：梯形ABCD的周长．【答案】10【解析】试题分析：由等腰梯形的性质得出∴∠ABC=∠A=60°．周长∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=90°，由直角三角形的性质得出AD=AB．AB=2AD=4．证出∠CDB=∠CBD．得出CD=BC=2．即可求出梯形ABCD的周长．解：在梯形ABCD中，∵DC∥AB，AD=BC=2，∠A=60°．∴∠ABC=∠A=60°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠ADB=90°，∴AD=AB．∴AB=2AD=4．又 DC∥AB，∴∠CDB=∠ABD，又∠ABD=∠CBD，∴∠CDB=∠CBD．∴CD=BC=2．∴梯形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=4+2+2+2=10．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．教学建议：掌握等腰梯形的性质和判定并灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，∠A=60°，对角线BD平分∠ABC．（1）求对角线BD的长；（2）求梯形ABCD的面积．【答案】（1）2√3；（2）3√3【解析】试题分析：（1）根据等腰梯形的同一底上的两个底角相等，即可求得∠B的度数，根据三角形的内角和定理证明△ABD是直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解；（2）过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G，在直角△ADB中求得DH和AH的长，则AB即可求得，然后利用梯形的面积公式求解．解：（1）∵DC∥AB，AD=BC，∴∠A=∠ABC．∵BD平分∠ABC，∠A=60°，∴∠ABD=∠ABC=30°．∴∠ADB=90°．∵AD=2，∴AB=2AD=4．∴BD=．（2）过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G．∵DC∥AB，BD平分∠ABC，∴∠CDB=∠ABD=∠CBD．∵BC=2，∴DC=BC=2．在RT△ADH和RT△BCG中，，∴RT△ADH≌RT△BCG．∴AH=BG．∵∠A=60°，∴∠ADH=30°．∴AH=AD=1，DH=．∵DC=HG=2，∴AB=4．∴．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．教学建议：掌握等腰梯形的性质并灵活应用.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，BD平分∠ABC．∠A=60°，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积．【答案】3√3【解析】根据等腰梯形的同一底上的两个底角相等，即可求得∠B的度数，根据三角形的内角和定理证明△ABD是直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解，过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G，在直角△ADB中求得DH和AH的长，则AB即可求得，然后利用梯形的面积公式求解．解：∵DC∥AB，AD=BC，∴∠A=∠ABC．∵BD平分∠ABC，∠A=60°，∴∠ABD=∠ABC=30°．∴∠ADB=90°．∵AD=2，∴AB=2AD=4．∴BD=．过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G．∵DC∥AB，BD平分∠ABC，∴∠CDB=∠ABD=∠CBD．∵BC=2，∴DC=BC=2．在Rt△ADH和Rt△BCG中，，∴Rt△ADH≌Rt△BCG．∴AH=BG．∵∠A=60°，∴∠ADH=30°．∴AH=AD=1，DH=．∵DC=HG=2，∴AB=4．∴梯形ABCD的面积=．讲解用时：4分钟解题思路：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．教学建议：熟练地运用等腰梯形、平行线、等腰三角形的性质进行解题.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】已知：如图，等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6cm，对角线BD平分∠ADC，下底BC的长比等腰梯形的周长小20cm，求上底AD的长．【答案】4cm【解析】试题分析：由等腰梯形的性质得出AB=DC，AD∥BC，得出∠ADB=∠CBD，再由已知条件得出BC=DC=AB，由梯形中位线定理得出AD+BC=2EF=12cm，由已知条件求出BC，即可得出AD的长．解：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴∠CBD=∠CDB，∴BC=DC=AB，∵EF是等腰梯形的中位线，∴AD+BC=2EF=12cm，∵下底BC的长比等腰梯形的周长小20cm，∴BC=AB+BC+CD+AD﹣20，即BC=AB+DC﹣8，∴BC=8cm，∴AD=4cm．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的判定、梯形中位线定理；熟练掌握等腰梯形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．教学建议：利用等腰梯形、等腰三角形的判定、梯形中位线等知识点进行解题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E为边BC上一点，且AE=DC．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）当∠B=2∠DCA时，求证：四边形AECD是菱形．【答案】（1）四边形AECD是平行四边形；（2）四边形AECD是菱形【解析】试题分析：（1）由等腰梯形的性质（等腰梯形同一底上的角相等），可得∠B=∠DCB，又由等腰三角形的性质（等边对等角）证得∠DCB=∠AEB，即可得AE∥DC，则四边形AECD为平行四边形；（2）根据平行线的性质，易得∠EAC=∠DCA，又由已知，由等量代换即可证得∠EAC=∠ECA，根据等角对等边，即可得AE=CE，则四边形AECD为菱形．证明：（1）∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴∠B=∠DCB，∵AE=DC，∴AE=AB，∴∠B=∠AEB，∴∠DCB=∠AEB，∴AE∥DC，∴四边形AECD为平行四边形；（2）∵AE∥DC，∴∠EAC=∠DCA，∵∠B=2∠DCA，∠B=∠DCB，∴∠DCB=2∠DCA，∴∠ECA=∠DCA，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=CE，∵四边形AECD为平行四边形，∴四边形AECD为菱形．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定以及等腰三角形的判定与性质．解题的关键是仔细识图，应用数形结合思想解答．教学建议：利用等腰梯形、平行四边形的判定、菱形的判定等知识点进行解题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：连云港校级模拟年份：2010【练习7.1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC，点E在边CB的延长线上，并且BE=AD，点F在边BC上．（1）求证：AC=AE；（2）如果∠AFB=2∠AEF，求证：四边形AFCD是菱形．【答案】（1）AC=AE；（2）四边形AFCD是菱形【解析】试题分析：（1）由已知条件可判定四边形ABCD是等腰梯形，利用等腰梯形的性质以及给出的条件利用SAS可判定△ABE≌△ADC，从而可证得结论；（2）由（1）和外角和定理可证得AD=DC=AF=CF，所以四边形AFCD是菱形．证明：（1）∵AD∥BC，BA=AD=DC，∴梯形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC=∠DCE，∵∠ABE+∠ABC=180°，∠DCE+∠D=180°，∴∠D=∠ABE，又∵BE=AD，∴△ABE≌△ADC，∴AC=AE．（2）∵∠AFB=∠CAF+∠FCA，∠AFB=2∠E，∴2∠E=∠CAF+∠FCA，∵∠E=∠DAC=∠DCA，又∵AD∥BC，∴∠DAC=∠FCA，∴AD=DC=AF=CF，∴四边形AFCD是菱形．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查等腰梯形的性质及全等三角形的判定方法的综合运用，难度较大，解答此类综合题目还需从基本做起，掌握一些基本性质是解答此类题目必备的．教学建议：利用等腰梯形的性质、全等三角形的判定等知识点进行解题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如果梯形的中位线长为6，一条底边长为8，那么另一条底边长等于．【答案】4【解析】只需根据梯形的中位线定理“梯形的中位线等于两底和的一半”，进行计算．解：根据梯形的中位线定理，得另一底边长=中位线×2﹣一底边长=2×6﹣8=4．故答案为：4难度：2 适应场景：练习题例题来源：金山区二模年份：2018【作业2】如图，等腰梯形ABCD的面积为144，AD∥BC，AB=DC，且AC⊥BD．求等腰梯形ABCD的高．【答案】12【解析】过点D 分别作DE∥AC与BC的延长线交于点E，DF⊥BC，垂足为点F，将等腰梯形的面积转化为△DBE的面积，从而求得三角形的高即可得到等腰梯形的高．解：过点D 分别作DE∥AC与BC的延长线交于点E，DF⊥BC，垂足为点F．∵AD∥BC，∴四边形ACED是平行四边形．∴AD=CE，AC=DE．又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD．∴BD=DE．∴BF=FE．∵AC⊥BD，∴∠BGC=∠BDE=90°．∴．又∵AB=CD，∴△ADB≌△CED．∴S△BED =S梯形ABCD=144，∵BE•DF=144，∴×2DF2=144∴等腰梯形ABCD的高等于12．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：普陀区期末年份：2014【作业3】如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AC、BD是对角线，△ABD≌△ABE．求证：四边形AEBC是平行四边形．【答案】四边形AEBC是平行四边形【解析】根据等腰梯形的对角线相等，易得AC=BD，又由△ABD≌△ABE，易得AD=AE，BD=BE，则可证得AE=BC，AC=BE，根据有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AEBC是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AD=BC，AC=BD，又∵△ABD≌△ABE，∴AD=AE，BD=BE，∴AE=BC，AC=BE，∴四边形AEBC是平行四边形．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：香坊区期末年份：2011。
《梯形定理典型例题及练习》
《梯形定理典型例题及练习》梯形定理典型例题及练引言梯形定理是几何学中重要的定理之一，它描述了梯形的性质和特点。
掌握梯形定理的例题和练可以帮助我们更好地理解和应用该定理。
典型例题例题1已知梯形ABCD，AB和CD平行，AB>CD，AC和BD交于点O。
若AO的延长线与BC的延长线交于点M，证明：∠BOM =∠COD。
例题2梯形ABCD中，AB为底边，CD为顶边，AC和BD交于点O。
已知∠AOB = 105°，OA=3，OB=5，求BC的长度。
例题3已知梯形ABCD，AB平行于CD，AC和BD交于点O。
已知AO:OC = BO:OD = 2:3，求证：∠AOC = ∠BOD。
练题1. 在梯形ABCD中，AB平行于CD，AC和BD交于点O。
若∠AOC = 60°，∠BOD = 80°，求证：∠A = ∠B。
2. 已知梯形ABCD，AB平行于CD，AC和BD交于点O。
已知AB=6，CD=4，AC=5，求证：∠AOC = ∠BOD。
3. 梯形ABCD中，AB为底边，CD为顶边，AC和BD交于点O。
已知∠AOB = 120°，OA=4，OB=6，求BC的长度。
4. 已知梯形ABCD，AB和CD平行，AB>CD，AC和BD交于点O。
若AO的延长线与BC的延长线交于点M，证明：∠BOM = ∠COD。
这些例题和练题涵盖了梯形定理的不同情况和应用场景，通过解答这些问题，我们可以更好地掌握梯形定理的原理和运用方法。
总结梯形定理是几何学中的基础定理之一，它描述了梯形的性质和特点。
通过解决典型例题和练习题，我们可以更好地理解和应用梯形定理，提高自己的几何学能力。
四边形梯形精讲精练
四边形梯形精讲精练1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底.(2)不平行的两边叫做梯形的腰.(3)梯形的四个角都叫做底角.2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.4.等腰梯形的性质：(1)等腰梯形的两腰相等； (2)等腰梯形同一底上的两个底角相等. (3)等腰梯形的对角线相等.5.等腰梯形的判定方法：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.7.面积公式： S=(a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).六、平面图形1.平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.2.平面图形镶嵌的条件：(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.(2)n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：①n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°；②n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍.1．在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为各边的中点，顺次连结E，F，G，H，得到中点四边形EFGH．当AC＝BD时，则四边形EFGH是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．如图，矩形ABCD中8AB=把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F．若254AF=，则AD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7 3．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形C．四条边相等的四边形是矩形D．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当AC＝BD时，它是矩形D．当AC垂直平分BD时，它是正方形5．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定ABE ADF≌的是（）A．BE DF∠=∠∠=∠C．AE AF=B．BAF DAE=D．AEB AFD 6．下列说法不正确的是（）A．平行四边形两组对边分别平行B．平行四边形的对角线互相平分C．平行四边形的对角互补，邻角相等D．平行四边形的两组对边分别平行且相等7．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段．这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别________．8．（2022·沈阳市第四十三中学九年级月考）如图，在△ABC中，∠A＝50°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB、CD为边作平行四边形BCDE，则∠E的度数为_____．9．已知：如图，平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，AE BD⊥于点E，CF BD⊥于点F．求证：OE OF=．10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，若点M为线段AD上任意一点(M与A、D不重合)．问：当点M在什么位置时，MB＝MC，请说明理由．。
创界学校八年级数学梯形知识精讲试题
智才艺州攀枝花市创界学校初二数学梯形实验【本讲教育信息】一、教学内容：梯形1.理解梯形的意义及分类．2.学会把梯形分割成熟悉的图形．3.掌握等腰梯形的特征．二、知识要点：1.梯形的定义〔1〕一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．〔2〕一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．〔3〕两腰相等的梯形叫做等腰梯形．2.梯形的识别〔1〕一组对边平行另一组对边不平行的四边形是梯形．〔2〕一组对边平行且不相等的四边形是梯形．3.等腰梯形的性质〔1〕等腰梯形同一底上的两个内角相等．〔2〕等腰梯形的对角线相等．〔3〕等腰梯形是轴对称图形，对称轴是通过两底边中点的直线，不是中心对称图形．4.等腰梯形的识别〔1〕两腰相等的梯形是等腰梯形．〔2〕同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．〔3〕对角线相等的梯形是等腰梯形．三、重点难点：重点是探究等腰梯形的特征及识别；难点是灵敏把梯形分割成熟悉的图形，并借助熟悉的图形特征来识别解决问题．【典型例题】例1.如下列图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC延长线上的点，且CE＝AD，试判断△BDE的形状，并说明理由．分析：由等腰梯形ABCD易知AC＝BD，由CE∥AD且CE＝AD可得四边形ACED是平行四边形，那么AC ＝DE，问题得以解决．解：△BDE是等腰三角形．理由：因为AD∥CE，AD＝CE，所以四边形ACED是平行四边形，所以AC＝DE．又因为四边形ABCD是等腰梯形，所以AC＝BD，所以BD＝DE，所以△BDE是等腰三角形．评析：DE可以看作是由AC平移得到的，在梯形中，我们常利用平移，轴对称的思想解决问题．例2.如下列图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，过点C作CE⊥AC且与AB的延长线交于点E，试证明四边形AECD是等腰梯形．分析：显然CD∥AE，只要说明AD＝CE就能得出四边形AECD是等腰梯形．而AD＝BC，问题就转化成了证明△BCE的两边长相等．证明：在菱形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝60°，所以∠CAB＝30°，∠CBE＝60°．又CE⊥AC，所以∠E＝60°，所以△CBE是等边三角形，所以CE＝CB＝AD．又DC∥AB，所以四边形AECD是等腰梯形．例3.如下列图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°，∠C＝50°，BC＝10cm，AD＝4cm，试求AB的长．分析：过点D作腰AB的平行线，将梯形ABCD分割为平行四边形ABED和△DEC，利用平行四边形、三角形的知识解决．解：过点D作DE∥AB，交BC于点E，那么四边形ABED为平行四边形．由DE∥AB，可得∠DEC＝∠B＝80°．又∠C＝50°，那么∠EDC＝180°－∠DEC－∠C＝50°，所以∠C＝∠EDC，所以DE＝EC．由四边形ABED为平行四边形，可得AB＝DE，BE＝AD＝4cm，所以EC＝BC－AD＝6cm，从而有DE＝6cm，所以AB＝DE＝6cm．评析：解决梯形问题的根本思路是将梯形转化为三角形或者平行四边形加以解决，本例采用了平移一腰AB的方法，还可以采用平移另一腰CD来解决，更简单．例4.在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC＝12，BD＝9．此梯形的上、下底之和是__________．分析：四边形问题在不能得到直接解决时可以转换为三角形问题解决．作DE∥AC交BC的延长线于点E，那么DE＝AC＝12，因为AC⊥BD，所以∠BDE＝90°．在R t△BDE中，BD＝9，DE＝12，所以BE＝15．又AD＝CE．所以BC＋AD＝BC＋CE＝BE＝15．解：15评析：假设题中没有可以利用的三角形、平行四边形，可以通过作辅助线构造三角形来解决．例5.如图①，在直角梯形纸片ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，CD＞AD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF．连接EF并展开纸片．〔1〕判断四边形ADEF的形状；〔2〕取线段AF的中点G，连接EG，假设BG＝CD，试说明四边形GBCE是等腰梯形．分析：要说明四边形GBCE是等腰梯形，只需BC＝GE，可以考虑把BC和GE转化成两全等三角形的对应边，或者平行四边形的对边，或者等腰三角形的两腰等，或者用其他中间线段代换．解：〔1〕因为四边形ABCD是直角梯形，所以∠A＝∠ADC＝90°由折叠知∠DEF＝90°，AD＝DE．所以四边形ADEF是正方形．〔2〕连结DG，因为G是AF的中点，在△ADG和△FEG中，AD＝FE，∠A＝∠EFG＝90°，AG＝FG，所以△ADG≌△FEG，所以DG＝EG．在直角梯形ABCD中，BG＝CD，所以四边形BCDG是平行四边形，所以DG＝BC，所以EG＝BC．所以四边形GBCE是等腰梯形．【方法总结】1.本节学习了梯形、等腰梯形和直角梯形的有关概念以及梯形和等腰梯形的特征，在学习过程中应注意它们之间的区别．2.掌握解决有关梯形问题中经常作辅助线的方法．如下列图：【模拟试题】〔答题时间是：45分钟〕一.选择题1.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝60°，那么∠1＝〔〕A.35°B.40°C.60°D.80°2.等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，那么一个底角是〔〕A.30°B.45°C.60°D.75°3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，CD＝5，那么AD的长是〔〕A.6B.5C.4D.34.以下四边形：①等腰梯形，②正方形，③矩形，④菱形的对角线一定相等的是〔〕A.①②③B.①②③④C.①②D.②③*5.如图，设M，N分别是直角梯形ABCD两腰AD，CB的中点，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE翻折，M与N恰好重合，那么AE∶BE等于〔〕A.2∶1B.1∶2C.3∶2D.2∶3*6.梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝50°，∠C＝80°，BC＝8cm，AD＝5cm，那么DC长为〔〕A.3cmB.2cmC.4cmD.cm*7.梯形的两底长分别是16cm和24cm，下底角分别是60°和30°，那么较短腰长为〔〕A.3cmB.8cmC.12cmD.4cm**8.：如下列图，AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝15，AC＝20，那么梯形ABCD的面积是〔〕A.130B.140C.150D.160二.填空题1.梯形ABCD中，AB∥CD，周长为30cm，DE∥BC且交AB于E，CD＝5cm，那么△ADE的周长为_________．2.直角梯形的两腰之比为1∶2，那么这个梯形的最大角为__________度．3.等腰梯形的上底为6cm，下底为8cm，高为cm．那么腰长为__________cm．4.等腰梯形有一角为120•°，•腰长为3cm，•一底边长为4cm，•那么另一底边长为_______．5.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC，AB＝6cm，那么AE＝__________cm.*6.如下列图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B与∠C互余，AD＝5，BC＝13，∠C＝60°，那么该梯形的面积为__________．三.解答题1.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，AB＝4，BC＝7，求∠B•的度数．2.如图，E、F是梯形ABCD的两底AD、BC的中点，且EF⊥BC，•试证明梯形ABCD是等腰梯形．3.：梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝4，BC＝9，CD＝5，DA＝6．〔1〕求证：AB⊥BC；〔2〕求梯形ABCD的面积．**4.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，E是DC的中点，•证明∠AEB＝2∠CBE．【试题答案】一.选择题1.C2.B3.B4.A5.A6.A7.D8.C二.填空题20cm.1504.1cm或者7cm8〔过A或者D作一腰的平行线〕三.解答题1.60°提示：过A作AE∥CD，得平行四边形AECD，分析可知△ABE为等边三角形．2.提示：分别过E作EG∥AB交BC于G，EH∥DC交BC•于H，•可证得EG＝•EH，所以梯形ABCD是等腰梯形可证得．3.〔1〕过点D作DE∥AB交BC于点E，那么AB＝DE＝4，∠DEC＝∠ABC，AD＝BE＝6，CE＝9－6＝3．在△DEC中，DC＝5，DC2＝25，DE2＋CE2＝42＋32＝25，所以DC2＝DE2＋CE2．所以△DCE是直角三角形，所∠DEC ＝90°．所以∠ABC＝90°，即AB⊥BC；〔2〕梯形ABCD的面积＝〔AD＋BC〕·AB＝30．4.由于DE＝EC，AD∥BC，假设延长AE交BC的延长线于F，就构造出△ADE和△FCE全等．从而AE＝EF．这时BE为R t△ABF斜边上的中线．由此知∠EBF＝∠F．由∠AEB＝∠CBE＋∠F可得结论．。
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初二数学梯形知识精讲精练人教义务几何【学习目的】1．理解梯形、等腰梯形、直角梯形的概念．2．掌握等腰梯形的性质和断定，并会运用它们进展有关的计算和证明．【主体知识归纳】1．梯形定义一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．2．梯形的有关概念〔1〕梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底．〔2〕梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做梯形的腰．〔3〕梯形的高：梯形两底间的间隔叫做梯形的高．3．特殊梯形的定义〔1〕直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．〔2〕等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．4．梯形的断定〔1〕根据梯形定义．〔2〕有一组对边平行且不相等的四边形是梯形．5．等腰梯形的性质〔1〕等腰梯形的两腰相等、两底平行．〔2〕等腰梯形在同一底上的两个角相等．〔3〕等腰梯形的对角线相等．〔4〕等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴．6．等腰梯形的断定〔1〕两腰相等的梯形是等腰梯形．〔2〕在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．〔3〕对角线相等的梯形是等腰梯形．【根底知识精讲】1．等腰梯形的断定方法，一般是先断定一个四边形是梯形，然后再用“两腰相等〞或者“同一底上的两角相等〞来断定它是等腰梯形．断定一个四边形是梯形时，断定两边不平行常有困难，可用断定平行的两边不相等．2．梯形是在学完三角形和平行四边形的根底上学习的，研究梯形时，常常需要添加适当的辅助线，把梯形转化成平行四边形和三角形．以下几个图形就是梯形中常用的辅助线形式〔如图4－71，图4－72，图4－73，图4－74，图4－75〕：特别是关于等腰梯形，添加有关辅助线后就会出现等腰三角形，因此等腰梯形具有与等腰三角形相仿的性质：〔1〕两腰相等；〔2〕同一底上的两角相等；〔3〕过上、下两底中点的直线是它的对称轴．【例题精讲】［例1］，如图4－76，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB与CD不平行，且AB＝CD，求证：ABCD是等腰梯形．图4—76剖析：由AB不平行CD，且AB＝CD知，欲证结论只须证四边形ABCD是梯形，即证一组对边平行且不相等，添加辅助线，构造成平行四边形．证明：过点D作DE∥AB交BC于E，那么∠B＝∠DEC，∵∠B＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∴DE＝DC，又∵AB＝DC，∴AB＝DE，且AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD BE，且BC≠AD，∴四边形ABCD是梯形，且AB＝CD，∴四边形ABCD是等腰梯形．［例2］如图4－77，梯形ABCD中，AB∥CD，AE为高，且AE＝12，BD＝15，AC＝20．〔1〕求AB＋CD的长；〔2〕求证：AC⊥B D．图4—77剖析：欲求AB ＋CD 的长，可通过平移对角线，化梯形问题为三角形问题，再用勾股定理的逆定理，从而问题得证．〔1〕解：过点A 作AF ∥BD 交CD 的延长线于F ，那么四边形AFDB 为平行四边形，FD ＝AB ， AF ＝BD ＝15，FC ＝AB ＋DC ，∵AE ⊥FC ，AE ＝12，AC ＝20，∴EF ＝22AE AF -＝9，EC ＝22AE AC -＝16∴AB ＋CD ＝FC ＝EF ＋EC ＝25．〔2〕证明：在△ACF 中，∵AC ＝20，CF ＝25，AF ＝15，∴AC 2＋AF 2＝FC 2，∴AF ⊥AC ，∵AF ∥BD ，∴AC ⊥BD ．说明：梯形的对角线时，往往平移对角线，把两对角线及两底的和集中到一个三角形中去．［例3］如图4－78，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＋BC ，E 是CD 的中点，求证：〔1〕AE ⊥BE ；〔2〕AE 、BE 分别平分∠BAD 及∠AB C ．图4—78剖析：由E是CD的中点，想到延长AE交BC延长线于F，即可得到两个全等三角形，并且将AD移至BC延长线上．这时，BF为上、下两底的和，由条件可得△ABF为等腰三角形，结论即可得证．证明：〔1〕延长AE交BC的延长线于F，∵AD∥BC，∴∠1＝∠F，∠D＝∠2．∵DE＝CE，∴△AED≌△FEC．∴AE＝FE，AD＝CF∵AB＝AD＋BC，∴AB＝BC＋CF，即AB＝BF∴BE⊥AE〔2〕∵AB＝BF，AE＝FE，∴BE平分∠ABC，同理AE平分∠BA D．【同步达纲练习】1．选择题〔1〕四边形ABCD中，假设∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶2∶1∶3，那么这个四边形是〔〕A．梯形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．任意四边形〔2〕以线段a＝16，b＝13，c＝10，d＝6为边作梯形，其中a、c作为梯形的两底，这样的梯形能作〔〕A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个〔3〕梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AC与BD相交于O，那么图中全等三角形一共有〔〕A．2对 B．3对 C．4对 D．5对〔4〕直角梯形的一腰长为6 cm，这腰与底所成的角为30°，那么另一腰长是〔〕A．3 cm B．1.5 cm C．6 cm D．9 cm〔5〕一个等腰梯形的两底之差为12，高为6，那么等腰梯形的锐角为〔〕A．30° B．45° C．60° D．75°〔6〕直角梯形的一腰为10 cm，该腰与下底的夹角为45°，且下底为上底长的2倍，那么直角梯形的面积是〔〕A．75 cm2 B．100 cm2 C．10〔2＋1〕cm2 D．10〔22＋1〕cm2〔7〕等腰梯形的一角为120°，上底为10，下底为30，那么它的腰长为〔〕A．10 B．20 C．103 D．203〔8〕等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，E为DC的中点，AD＝2，BC＝8，BE把梯形的周长分成差为3的两局部，那么AB的长为〔〕A．3 B．9 C．3或者9 D．无法确定2．填空题〔1〕梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝30°，∠B＝45°，AD＝8，DC＝3，那么AB＝_____．〔2〕等腰梯形的两底长的和是10，两底差是4，一底角为45°，那么其面积为_____．〔3〕等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，对角线AC平分∠BAD，这个梯形的周长为4.5 cm，AB＝1.5 cm，那么CD＝_____cm．〔4〕在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞DC，CE∥DA，交AB于E，并且△BCE的周长为7 cm，CD为3 cm，那么梯形的周长为_____cm．〔5〕如图4－79，梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝AB＝BC，BD⊥CB，那么∠C＝_____，∠A＝_____．图4—79〔6〕梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝3，CD＝5，那么BC＝_____．〔7〕在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝50°，∠C＝80°，BC＝5，AD＝3，那么CD＝_____．〔8〕如图4－80，AB∥CD，E为ADAB＋CD＝BC．〔填写上要求：在等式∠A＝90°，∠CEB＝90°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，BE＝CE，AE＝DE中，选择两个等式添在横线上．〕图4—803．如图4－81，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC－AD＝3 cm，∠B＝90°，∠C＝45°，梯形面积是19.5 cm2，求梯形两底长．图4—814．如图4－82，梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥AB，AB＝BC，AE⊥BC于E．求证：CD＝CE．图4—825．如图4－83，梯形ABCD中，AB∥DC，AE⊥DC于E，AE＝12，BD＝15，AC＝20，求梯形ABCD的面积．图4—836．：如图4－84，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，PA＝PD．求证：PB＝P C．图4—84请你将上述题目的条件“在等腰梯形ABCD中，AD∥BC〞改为另一种四边形，其余条件都不变，使结论“PB＝PC〞仍然成立，再根据改编后的题目画出图形，写出和求证，并进展证明．【思路拓展题】想一想一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直间隔为8米，梯子的顶端下滑2米后，底端将程度滑动2米吗？参考答案【同步达纲练习】1．〔1〕C 〔2〕A 〔3〕B 〔4〕A 〔5〕B 〔6〕A 〔7〕B〔8〕B2．〔1〕43＋7 〔2〕10 〔3〕1 〔4〕13 〔5〕60° 120°〔6〕6 〔7〕2 〔8〕∠1＝∠2，∠3＝∠43．5 cm 8 cm4．提示：过C作CF⊥AB，先证CD＝AF，再证△ABE≌△CBF，∴BE＝BF，∴CE＝AF．5．150．提示：过点A作AF∥BD交CD的延长线于F，可得ABDF为平行四边形，从而AF＝15，易求EF＝9，EC＝16，即AB＋CD＝25．6．略．【思路拓展题】想一想程度滑动也是2米．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
厚积薄发，一鸣惊人。
关于努力学习的语录。
自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。
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不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。
不敢高声语，恐惊读书人。
不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。
博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。
播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。
保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。
百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。