初二数学梯形知识精讲精练义务几何试题

初二数学梯形知识精讲精练人教义务几何

【学习目的】

1．理解梯形、等腰梯形、直角梯形的概念．

2．掌握等腰梯形的性质和断定，并会运用它们进展有关的计算和证明．

【主体知识归纳】

1．梯形定义一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．

2．梯形的有关概念

〔1〕梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底．

〔2〕梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做梯形的腰．

〔3〕梯形的高：梯形两底间的间隔叫做梯形的高．

3．特殊梯形的定义

〔1〕直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．

〔2〕等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．

4．梯形的断定

〔1〕根据梯形定义．

〔2〕有一组对边平行且不相等的四边形是梯形．

5．等腰梯形的性质

〔1〕等腰梯形的两腰相等、两底平行．

〔2〕等腰梯形在同一底上的两个角相等．

〔3〕等腰梯形的对角线相等．

〔4〕等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴．

6．等腰梯形的断定

〔1〕两腰相等的梯形是等腰梯形．

〔2〕在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．

〔3〕对角线相等的梯形是等腰梯形．

【根底知识精讲】

1．等腰梯形的断定方法，一般是先断定一个四边形是梯形，然后再用“两腰相等〞或者“同一底上的两角相等〞来断定它是等腰梯形．断定一个四边形是梯形时，断定两边不平行常有困难，可用断定平行的两边不相等．

2．梯形是在学完三角形和平行四边形的根底上学习的，研究梯形时，常常需要添加适当的辅助线，把梯形转化成平行四边形和三角形．

以下几个图形就是梯形中常用的辅助线形式〔如图4－71，图4－72，图4－73，图4－74，图4－75〕：

特别是关于等腰梯形，添加有关辅助线后就会出现等腰三角形，因此等腰梯形具有与等

腰三角形相仿的性质：〔1〕两腰相等；〔2〕同一底上的两角相等；〔3〕过上、下两底中点的直线是它的对称轴．

【例题精讲】

［例1］，如图4－76，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB与CD不平行，且AB＝CD，求证：ABCD是等腰梯形．

图4—76

剖析：由AB不平行CD，且AB＝CD知，欲证结论只须证四边形ABCD是梯形，即证一组对边平行且不相等，添加辅助线，构造成平行四边形．

证明：过点D作DE∥AB交BC于E，那么∠B＝∠DEC，

∵∠B＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∴DE＝DC，

又∵AB＝DC，∴AB＝DE，且AB∥DE，

∴四边形ABED是平行四边形，

∴AD BE，且BC≠AD，

∴四边形ABCD是梯形，且AB＝CD，

∴四边形ABCD是等腰梯形．

［例2］如图4－77，梯形ABCD中，AB∥CD，AE为高，且AE＝12，BD＝15，AC＝20．〔1〕求AB＋CD的长；

〔2〕求证：AC⊥B D．

图4—77

剖析：欲求AB ＋CD 的长，可通过平移对角线，化梯形问题为三角形问题，再用勾股定理的逆定理，从而问题得证．

〔1〕解：过点A 作AF ∥BD 交CD 的延长线于F ，那么四边形AFDB 为平行四边形，FD ＝AB ， AF ＝BD ＝15，FC ＝AB ＋DC ，

∵AE ⊥FC ，AE ＝12，AC ＝20，

∴EF ＝22AE AF -＝9，EC ＝22AE AC -＝16

∴AB ＋CD ＝FC ＝EF ＋EC ＝25．

〔2〕证明：在△ACF 中，∵AC ＝20，CF ＝25，AF ＝15，

∴AC 2＋AF 2＝FC 2，∴AF ⊥AC ，

∵AF ∥BD ，∴AC ⊥BD ．

说明：梯形的对角线时，往往平移对角线，把两对角线及两底的和集中到一个三角形中去．

［例3］如图4－78，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＋BC ，E 是CD 的中点，求证：〔1〕AE ⊥BE ；〔2〕AE 、BE 分别平分∠BAD 及∠AB C ．

图4—78

剖析：由E是CD的中点，想到延长AE交BC延长线于F，即可得到两个全等三角形，并且将AD移至BC延长线上．这时，BF为上、下两底的和，由条件可得△ABF为等腰三角形，结论即可得证．

证明：〔1〕延长AE交BC的延长线于F，

∵AD∥BC，∴∠1＝∠F，∠D＝∠2．

∵DE＝CE，∴△AED≌△FEC．∴AE＝FE，AD＝CF

∵AB＝AD＋BC，∴AB＝BC＋CF，即AB＝BF

∴BE⊥AE

〔2〕∵AB＝BF，AE＝FE，

∴BE平分∠ABC，同理AE平分∠BA D．

【同步达纲练习】

1．选择题

〔1〕四边形ABCD中，假设∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶2∶1∶3，那么这个四边形是〔〕A．梯形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．任意四边形

〔2〕以线段a＝16，b＝13，c＝10，d＝6为边作梯形，其中a、c作为梯形的两底，这样的梯形能作〔〕

A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个

〔3〕梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AC与BD相交于O，那么图中全等三角形一共有〔〕

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对

〔4〕直角梯形的一腰长为6 cm，这腰与底所成的角为30°，那么另一腰长是〔〕A．3 cm B．1.5 cm C．6 cm D．9 cm

〔5〕一个等腰梯形的两底之差为12，高为6，那么等腰梯形的锐角为〔〕

A．30° B．45° C．60° D．75°

〔6〕直角梯形的一腰为10 cm，该腰与下底的夹角为45°，且下底为上底长的2倍，那么直角梯形的面积是〔〕

A．75 cm2 B．100 cm2 C．10〔2＋1〕cm2 D．10〔22＋1〕cm2

〔7〕等腰梯形的一角为120°，上底为10，下底为30，那么它的腰长为〔〕

A．10 B．20 C．103 D．203

〔8〕等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，E为DC的中点，AD＝2，BC＝8，BE把梯形的周长分成差为3的两局部，那么AB的长为〔〕

A．3 B．9 C．3或者9 D．无法确定

2．填空题

〔1〕梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝30°，∠B＝45°，AD＝8，DC＝3，那么AB＝_____．〔2〕等腰梯形的两底长的和是10，两底差是4，一底角为45°，那么其面积为_____．〔3〕等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，对角线AC平分∠BAD，这个梯形的周长为4.5 cm，AB＝1.5 cm，那么CD＝_____cm．

〔4〕在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞DC，CE∥DA，交AB于E，并且△BCE的周长为7 cm，CD为3 cm，那么梯形的周长为_____cm．

〔5〕如图4－79，梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝AB＝BC，BD⊥CB，那么∠C＝_____，∠A＝_____．