二阶常微分方程边值问题的数值解法

摘要本文主要研究二阶常微分方程边值问题的数值解法。

对线性边值问题，我们总结了两类常用的数值方法，即打靶法和有限差分方法，对每种方法都列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码，通过具体的算例对这两类方法的优缺点进行了细致的比较。

关键字：常微分方程边值问题；打靶法；差分法；ABSTRACTThis article mainly discusses the numerical methods for solving Second-Order boundary value problems for Ordinary Differential Equations. On the one hand, we review two types of commonly used numerical methods for linear boundary value problems, i.e. shooting method and finite difference method. For each method, we give both the exact calculating steps , we compare the advantages and disadvantages in detail of these two methods through a specific numerical example.Key words：Boundary-Value Problems for Ordinary Differential Equations；Shooting Method；Finite Difference Method；目录第一章引言................................................................................................................... - 1 -第二章二阶线性常微分方程.................................................................................. - 2 -2.1试射法（“打靶”法） ............................................................................................ - 3 -2.1.1简单的试射法............................................................................................ - 3 -2.1.2 基于叠加原理的试射法........................................................................... - 4 -2.2 有限差分法......................................................................................................... - 10 -2.2.1 有限差分逼近的相关概念...................................................................... - 11 -2.2.2 有限差分方程的建立............................................................................. - 13 -2.2.3 其他边值条件的有限差分方程............................................................. - 14 -2.2.4 有限差分方程的解法............................................................................. - 16 -第三章二阶非线性微分方程........................................................ 错误!未定义书签。

3.1基于牛顿迭代法的打靶法.......................................................... 错误!未定义书签。

3.1.1 第一类边值条件推导..................................................... 错误!未定义书签。

3.1.2 其他边值条件的推导................................................... 错误!未定义书签。

3.1.3 算法及程序代码........................................................... 错误!未定义书签。

3.2 基于改进的牛顿迭代法的打靶法............................................. 错误!未定义书签。

3.2.1 算法的推导................................................................... 错误!未定义书签。

3.2.2 算法及代码................................................................... 错误!未定义书签。

第四章改进算法的算例 ................................................................. 错误!未定义书签。

第五章总结 ................................................................................................................... - 20 -参考文献 .......................................................................................................................... - 21 -致谢............................................................................................................ 错误!未定义书签。

第一章引言微分方程是现代数学中一个很重要的分支，从早期的微积分时代起，这个学科就成为了理论研究和实践应用的一个重要领域。

在微分方程理论中，定解条件通常有两种提法：一种是给出了积分曲线在初始时刻的性态，相应的定解条件称为初值问题；另一种是给出了积分曲线首末两端的性态，这类条件则称为边界条件，相应的定解问题称为边值问题。

常微分方程边值问题在应用科学与工程技术中有着非常重要的应用，例如工程学、力学、天文学、经济学以及生物学等领域中的许多实际问题通常会归结为常微分方程边值问题[12]的求解。

文献[9]给出了边值问题求解的方法，虽然求解常微分方程边值问题有很多解析方法可以求解，但这些方法只能用来求解一些特殊类型的方程，对从实际问题中提炼出来的微分方程往往不再适用，因而对常微分方程边值问题的数值方法的研究显得尤为重要。

经典的数值方法主要有：试射法（打靶法）和有限差分法，见文献[2]。

对于二阶线性边值问题，差分法的优点在于稳定性较好，但它的精度不高。

而用打靶法求解线性问题时，解的精度较高，这是因为打靶法将边值问题的求解转化为相应的初值问题的求解，因而可以使用具有较高精度的Runge-Kutta法（见文献[1]），但是算法稳定性较差。

在本文中，我们首先总结了二阶线性边值问题的数值算法：打靶法、有限差分法。

对每种方法都列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码，通过具体的算例对这两类方法的优缺点进行了细致的比较。

由于简单的打靶法过分依赖经验，我们考虑了基于线性叠加原理的打靶法，将线性边值问题转化为两个初值问题，并通过线性叠加得到原边值问题的解。

第二章 二阶线性常微分方程二阶常微分方程一般可表示成如下的形式：),,()(y y x f x y '=''， b x a ≤≤ (1)边值条件有如下三类[9]：第一类边值条件α=)(a y ， β=)(b y (2)第二类边值条件α=')(a y ， β=')(b y (3)第三类边值条件[19]ααα='-)()(10a y a y ， βββ='+)()(10b y b y (4)其中010≥αα， 010≥ββ， 010≠+αα， 010≠+ββ。

在对边值问题用数值方法求解之前，应该从理论上分析该边值问题的解是否存在，若问题的解不存在，用数值方法计算出来的数据没有任何意义。

下面的定理给出了边值问题存在唯一解的充分条件。

定理1.1设方程(2.1)中的函数f 及yf ∂∂，y f '∂∂在区域 },,|),,{(∞<'<-∞≤≤'=Ωy y b x a y y x内连续，并且(ⅰ),0),,(>∂'∂yy y x f Ω∈'∀),,(y y x ； (ⅱ)y y y x f '∂'∂),,(在Ω内有界，即存在常数M ，使得 M y y y x f ≤'∂'∂),,(， Ω∈'∀),,(y y x ，则边值问题(2.1)-(2.4)的解存在且唯一[18]。

本章我们假设函数),,(y y x f '可以简单地表示成)()()(),,(x r y x q y x p y y x f -+'='，即边值问题(2.1)-(2.2)为具有如下形式的二阶线性边值问题⎩⎨⎧==≤≤=+'+''-βα)(,)(,)()()(b y a y b x a x r y x q y x p y (2.5)此时，解的存在唯一性定理(定理1.1)可以简单地表述为下述推论。

推论 2.1 设)(x p ，)(x q ，)(x r 在[a ，b]上连续，且在[a ，b]内0)(≥x q ，则线性边值问题(2.5)的解存在且唯一.注：如无特别说明，本文中用到的(2.5)中的微分方程均满足推论2.1中的条件。