不定积分的基本公式和运算法则直接积分法

·复习 1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。

·引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。

·讲授新课

第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法

一基本积分公式

由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：

以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。

求函数的不定积分的方法叫积分法。 例1.求下列不定积分.（1）dx x

⎰2

1

（2）

dx x x

⎰

解：（1）

dx x ⎰21

＝2121

21x x dx C C x

-+-=

+=-+-+⎰ （2）dx x x ⎰

＝C x dx x +=⎰

25

235

2

此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为x α

的形式，然后应用幂函

数的积分公式求积分。

二 不定积分的基本运算法则

法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即

dx x g dx x f dx x g x f ⎰⎰⎰±=±)()()]()([

法则1对于有限多个函数的和也成立的．

法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即

dx x f k dx x kf ⎰⎰=)()( （0≠k ）

例2 求3(21)x x e dx +-⎰

解 3(21)x x e d x +-⎰=23

x dx ⎰+dx ⎰-x e dx ⎰

=

4

12

x x x e C +-+。 注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和C 写在末尾，以后仿此。

注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例由于41

()2

x x x e C '+-+=321x

x e +-，所以结果是正确的。

三 直接积分法

在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果（如上例）但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形（包括代数和三角的恒等变形）再利用积分的性质和公式求出结果，这样的积分方法叫直接积分法。

例3 求下列不定积分.

（1）

1)(x dx

⎰

（2）dx x x ⎰+-1

122

解：（1）首先把被积函数

1)()x

化为和式，然后再逐项积分得

1)((1x dx x dx

+-

=--

⎰⎰

xdx dx

=

+--⎰⎰⎰⎰

51

2

2221252

x x x x C =+--+。 注：（1）求函数的不定积分时积分常数C 不能丢掉，否则就会出现概念性的错误。

（2）等式右端的每个不定积分都有一个积分常数，因为有限个任意常数的代数和仍是一个常数，所以只要在结果中写一个积分常数C 即可。

（3）检验积分计算是否正确，只需对积分结果求导，看它是否等于被积函数。若相等，积分结果是正确的，否则是错误的。

（2）222221122(1)111

x x dx dx dx x x x -+-==-+++⎰⎰⎰ 222arctan 1

dx

dx x x C x =-=-++⎰⎰

。 上例的解题思路是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分，是一种重要的解题方法，须掌握。

练习 1 322

324

x x x dx x -++⎰

，2 22221(1)x dx x x ++⎰，3 4

21x dx x +⎰。

答案 1 21432ln ||2

x x x C x

-+-+， 2 1

arctan x C x

-+， 3

3

1arctan 3

x x x C -++ 例4 求下列不定积分.（1）xdx ⎰2tan （2）dx x 2

sin

2

⎰

解：（1）2

2

tan (sec 1)xdx x dx =-⎰

⎰

2sec tan xdx dx x x C =-=-+⎰⎰

（2）C x x dx x dx x

+-=-=⎰⎰sin 2

1

212cos 12sin 2

上例的解题思路也是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分，不过它实现化和是利用三角式的恒等变换。

练习 1

2

cot xdx ⎰

2 2cos 2x dx ⎰

3 cos 2x

dx cosx-sinx

⎰ 答案 1 cot x x C --+ 2 1

(sin )2

x x C ++ 3 sin -cos x x C +

例5 设x x f 2

2

cos )(sin ='，求)(x f .

解：由于x x x f 2

2

2

sin 1cos )(sin -=='，

所以x x f -='1)(，故知)(x f 是x -1的原函数，因此

C x x dx x x f +-=-=⎰2

)1()(2

．

小结 基本积分公式，不定积分的性质，直接积分法。 练习 求下列不定积分.

（1）2(12sin )x dx x

-+⎰

（2）22

12

(

)cos sin dx x x

+⎰

， （3）dt t t ⎰+2)1(，（4

）2

3

)1dt t +⎰，（5）dx x x ⎰+)6(6， （6）dx x x ⎰--2411，（7）dx x x ⎰-)cot csc(csc ，（8）dx x

x ⎰2sin 2cos ， （9）2(cos sin )22t t dt +⎰，（10）dx x ⎰-)1(tan 2，（11

）e (3x x x

dx -⎰。

答案1 2cos 2ln ||x x x C +++， 2 tan -cot x x C +， 3

2

12ln ||2

t t t C +++， 4 2arcsin 3arctan t t C -+， 5

761ln 67x x C ++， 6 31

3

x x C --+， 7 cot csc x x C -++， 8 cot 2x C --+，

9 cos t t C -+， 10 tan 2x x C -+，11

(3)2arcsin 1ln3

x

e x C -++。