高考数学第二轮复习第八章平面解析几何易错易混点学案

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高中数学知识点易错点梳理八解析几何

高中数学知识点易错点复习资料2013.9.21第18题（解几综合题）——从平几中寻突破到解几中找关系解析几何：近几年高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：1、求曲线方程，适当关注点的轨迹问题，尤其是一些根据定义求解的简单问题；2、位置问题(含切线问题)；3、定点定值问题、最值问题；4、范围问题，以上这些问题由于综合性较强，所以备受高考命题者的青睐，常用来考察学生在数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理等方面的能力．解析几何复习中要以直线和圆、圆锥曲线的标准方程为重点，要重视体现解析几何基本思想的问题的学习，重视以椭圆为背景的圆的问题的学习．另外，解析几何的运算量很大，忌讳不利用定义、图形的几何特征瞎算．18.1、圆锥曲线中的精要结论：1.焦半径：(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>：0201,ex a PF ex a PF -=+=；（左“+”右“-”）；(2)抛物线：20p x PF += 2.弦长公式：]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=；【注】：(1)焦点弦长：i ．椭圆：)(2||21x x e a AB +±=； ii ．抛物线：AB ＝1222sin p x x p α++=；(2)通径（最短弦）：i ．椭圆、双曲线：22b a ；ii ．抛物线：2p .3.过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：122=+ny mx （n m ,同时大于0时表示椭圆，0<mn 时表示双曲线）；4.椭圆中的结论：(1)内接矩形最大面积：2ab ；(2)P ，Q 为椭圆上任意两点，且OP OQ ⊥，则22221111||||OP OQ a b +=+ ； (3)椭圆焦点三角形：122tan 2PF F S b θ∆=，（12F PF θ=∠）；(4)当点P 与椭圆短轴顶点重合时21PF F ∠最大；(5)共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -==，方程t t b y a x (2222=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是ac e =，我们称此方程为共离心率的椭圆系方程．5.双曲线中的结论：(1)双曲线12222=-b y a x （0,0a b >>）的渐近线：02222=-by a x ； (2)共渐近线x a b y ±=的双曲线标准方程为λλ(2222=-by a x 为参数，λ≠0）；(3)双曲线焦点三角形：2cot 221θb S F PF =∆，（21PF F ∠=θ）； (4)等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=(渐近线互相垂直)，离心率2=e ．(5)共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 如果双曲线的渐近线为0=±b y a x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x ． (6) 双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于b ．6.抛物线中的结论：(1)抛物线22y px =(0)p >的焦点弦AB 性质：i ．2124p x x =；212y y p =-； ii ．pBF AF 2||1||1=+ ；iii ．以AB 为直径的圆与准线相切；iv ．以AF （或BF ）为直径的圆与y 轴相切；v ．αsin 22p S AOB =∆. (2)抛物线22y px =(0)p >内结直角三角形OAB 的性质：i ． 2212214,4P y y P x x -==； ii ．AB l 恒过定点)0,2(p ；iii ．B A ,中点轨迹方程：)2(2p x p y -=；iv ．AB OM ⊥，则M 轨迹方程为：222)(p y p x =+-；v ．2min 4)(p S AO B =∆ .(3)抛物线22y px =(0)p >，对称轴上一定点)0,(a A ，则：i ．当0a p <≤时，顶点到点A 距离最小，最小值为a ；ii ．当p a >时，抛物线上有关于x 轴对称的两点到点A 距离最小，最小值为22p ap -. 18.2、两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <. 当22min{,}k a b <时,表示椭圆；当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.18. 3、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）；在ABC ∆中，给出()12AD AB AC =+，则AD 是ABC ∆中BC 边的中线；（2）给出0PM PN +=，即已知P 是MN 的中点；（3）给出以下情形之一：①||AB AC ；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,αβαβ+=且，OC OA OB αβ=+使等于已知,,A B C 三点共线.（4）给出0MA MB ⋅=，等于已知MA MB ⊥，即A M B ∠是直角，给出0MA MB m ⋅=<，等于已知AM B ∠是钝角，给出0MA MB m ⋅=>，等于已知AM B ∠是锐角；（5）给出()MP MA MB MA MBλ=+，等于已知MP 是AM B ∠的平分线；（6）在平行四边形ABCD 中，给出()()0AB AD AB AD +⋅-=，等于已知ABCD 是菱形；（7）在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-，等于已知ABCD 是矩形；（8）在ABC ∆中，给出OP OA =+()||||AB AC AB AC λ+)(+∈R λ，则通过ABC ∆的内心；18.4、解题规律盘点1、交点①直线与圆锥曲线交于不同的两点：直线与二次曲线联立，当二次项系数不为0时，12120x x x x ∆>⎧⎪+=⎨⎪⋅=⎩，x my b =+与二次曲线联立，12120y y y y ∆>⎧⎪+=⎨⎪⋅=⎩； ②直线与圆锥曲线相切：直线与二次曲线联立， 00⎧⎨∆=⎩二次项系数不等于 ③直线与二次曲线有一个公共点：⇒⎩⎨⎧双曲线直线l 二次项系数为0，表示平行于渐近线的两条直线；二次项系数为0，△=0 l ⎧⎨⎩直线抛物线 ⇒二次项系数为0，表示平行于对称轴的一条直线；二次曲线不为0，△=0(2)定点处理思路；(3)①设参数方程；椭圆)0(12222>>=+b a b y a x的参数方程是：为参数）θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==b y a x ；圆222()()x a x b r -+-=的参数方程：为参数）θθθ(sin cos ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 以简化计算. 2、直线(1)设直线方程分斜率k 存在、k 不存在两种情况讨论．如果什么信息也没有：讨论斜率不存在情形，当斜率存在时，往往设为斜截式：y kx b =+；巧设直线方程00()x x k y y -=-回避讨论及运算等问题当直线过定点00(,)x y 时，若设成00()y y k x x -=-有时会出现下列情况：(i)容易忽视斜率不存在的情形；(ii)运算较繁，有时还会陷入僵局.(2)过x 轴上一点(,0)m 的直线一般设为x ty m =+可以避免对斜率是否存在的讨论(3)两解问题：3、角(1)余弦定理; (2)向量的夹角公式4、直线与圆锥曲线(1)直线与圆锥曲线问题解法：1.直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解.【运算规律】：直线与圆锥曲线位置关系运算程式【后话】:联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解时，注意以下问题：①联立的关于“x ”还是关于“y ”的一元二次方程？②二次项系数系数为0的情况讨论了吗？③直线斜率不存在时考虑了吗？④判别式验证了吗？2.设而不求（点差法）——处理弦中点与直线斜率问题步骤如下：已知曲线()22221,0x y a b a b±=>，①设点11(,)A x y 、22(,)B x y 中点为00(,)M x y ，②作差得 =--=2121x x y y k AB ；20AB OM 20b x k k a y =；对抛物线22(0)y px p =≠有0AB 122p y p k y y =+＝.【细节盘点】*1.用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后，注意用判别式、韦达定理、弦长公式；注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用；注意焦点弦可用焦半径公式，其它用弦长公式.*2.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关，“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度(弦长)”问题关键是长度(弦长)公式或“小小直角三角形”.*3. 在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，涉及到“交点”时，转化为函数有解问题；先验证因所设直线斜率存在，造成交点漏解情况，接着联立方程组，然后考虑消元建立关于x 的方程还是y 的方程，接着讨论方程二次项系数为零的情况，再对二次方程判别式进行分析，即0∆=时，直线与曲线相切，……*4.求解直线与圆锥曲线的“弦长”、“交点”问题时，必要条件（注意判别式失控情况）是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必先有“0∆≥”. 求解直线与圆锥曲线的其它问题时，如涉及到二次方程问题，必须优先考虑“二次项系数”与“判别式”问题.*5.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).*6.韦达定理在解几中的应用：①求弦长； ②判定曲线交点的个数； ③求弦中点坐标；④求曲线的方程.(2)直线与圆锥曲线相交的弦长公式 :AB=或12|AB x x =-21221221224)(11))(11(||y y y y ky y k AB -++=-+= 【注】：弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程{(,)0y k xb F x y =+= 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率，12||x x -=(3)抛物线的切线方程①抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.②过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.③抛物线px y 22=与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.5、几何定值、极值问题几何极值问题实际上就是以几何条件出现的极值问题，通常运用几何中的有关不等式和定理解决，有时运用“对角”变换及局部调整法，有时运用三角方法，如有关三角函数性质、正弦定理、三角形面积公式等转化为三角极值问题解决.有关面积与周长的极值问题除了运用有关面积的几何知识外，常常需要用如下结论：①周长一定的三角形中，以正三角形的面积最大；②周长一定的矩形中，以正方形面积最大；③面积一定的三角形中，以正三角形的周长最小；④周长一定的平面曲线中，圆所围成的面积最大；⑤在面积一定的闭曲线中，圆的周长最小；⑥在边长分别相等的多边形中，以圆内接多边形的面积最大；⑦在等周长的边形中，以圆内接多边形的面积最大；⑧在面积一定的边形中，正边形的周长最小.几何定值问题主要是研究和解决变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素的和谐几何性质或位置保持不变等问题.常见的几何定值中的定量问题为定角、定长（线段长、周长、距离之和等）、定比（线段比、面积比）、定积（面积、线段积）等.常见的几何定值中的定位问题为过定点、过定直线等.几何定值问题可以分为两类：一类是绝对的定值问题，即需要证明的定值为一确定的常数.这种定值为所给图形的位置、大小、形状无关；另一类是相对定值问题，即要证明的定值与题设图形中的某些定量有关，这种定值是随题设图形的位置、大小和形状的变化而改变的，因此，只有相对的意义，也就是证明题推断的几何量可以用题设已知量的某种确定的关系来表示.解决定值问题常用的处理思路和方法：（1）利用综合法证明时，需要改变题目的形式，把一般定值题转化为特殊情况，因此，常作辅助图形；其次要明确图形中哪些元素是固定元素，哪些量是定量，分析问题时要围绕着固定元素和定量进行，把定值固定在已知量上；（2）利用参数法证明时，要根据题设的条件，选取适当的参数，然后将所要证明的定值用参数表示出来，最后消去参数，便求得用常量表示的定值；（3）利用计算法证明时，通常借助于正、余弦定理或坐标法将有关量用某些特定的量表示出来，再通过计算证明所求的式子的值为定值；（4）综合运用几何、代数、三角知识证题.6、求轨迹方程的常用方法：⑴直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成(,)0F x y =，是求轨迹的最基本的方法. ⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可.⑶代入法(相关点法或转移法).⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程.⑸交轨法(参数法)：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x 、y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.7、定义解题①椭圆：第一定义：平面上一动点P 到平面上两个定点F 1、F 2的距离和为定值，且|PF 1|+|PF 2|>|F 1F 2|,则P 点轨迹为椭圆．②双曲线：||PF 1|-|PF 2||=定值<｜F 1F 2|③三种圆锥曲线的统一定义：e dPF =||（e ∈(0,1)：椭圆；e =1：抛物线；e>1：双曲线解析几何在高考中占有重要的地位，在这几年的高考试卷中，解析几何的难度在慢慢降低，也就是说不会让你看不懂题的意思，但为了压低平均分，自然只能在计算量以及严密性上下功夫，所以亲一定要注意一些最常见的易错点，一些自己老是忘记的情况（例如直线斜率存不存在啊，△是不是大于零，有没有先设好AB等点的坐标以便于解题的使用等等），这些知识点往往是容易忽略的，也就自然会成为出题老师抓得分点的地方，所以一定要注意。

2020版高考数学第8章平面解析几何第9节圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题教学案理北师大版

第九节圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题[考纲传真] 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．定点问题【例1】已知椭圆E ：x 29＋y 2b2＝1(b ＞0)的一个焦点与抛物线Γ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 相同，如图，作直线AF 与x 轴垂直，与抛物线在第一象限交于A 点，与椭圆E 相交于C ，D 两点，且|CD |＝103.(1)求抛物线Γ的标准方程；(2)设直线l 不经过A 点且与抛物线Γ相交于N ，M 两点，若直线AN ，AM 的斜率之积为1，证明l 过定点．[解] (1)由椭圆E ：x 29＋y 2b2＝1(b ＞0)，得b 2＝9－c 2，由题可知F (c,0)，p ＝2c ，把x ＝c 代入椭圆E 的方程，得y 2C ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 29， ∴y C ＝9－c 23.∴|CD |＝103＝－c 23，解得c ＝2.∴抛物线Γ的标准方程为y 2＝4cx ，即y 2＝8x . (2)证明：由(1)得A (2,4)，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 218，y 1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 228，y 2， ∴k MA ＝y 1－4y 218－2＝8y 1＋4，k NA ＝8y 2＋4，由k MA ·k NA ＝8y 1＋4·8y 2＋4＝1，得y 1y 2＋4(y 1＋y 2)－48＝0.(*)设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝my ＋t ，得y 2－8my －8t ＝0，∴y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－8t ，代入(*)式得t ＝4m －6，∴直线l 的方程为x ＝my ＋4m －6＝m (y ＋4)－6， ∴直线l 过定点(－6，－4)．过抛物线：＝4的焦点且斜率为的直线交抛物线于，两点，且|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出该点的坐标． [解] (1)易知点F 的坐标为(1,0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0，且Δ＝[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，由抛物线的定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8， ∴2k 2＋4k2＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1， ∴直线l 的方程为y ＝±(x －1)．(2)由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)，直线BD 的斜率k BD ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1y 224－y 214＝4y 2－y 1， ∴直线BD 的方程为y ＋y 1＝4y 2－y 1(x －x 1)，即(y 2－y 1)y ＋y 2y 1－y 21＝4x －4x 1，∵y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16，即y 1y 2＝－4(y 1，y 2异号)，∴直线BD 的方程为4(x ＋1)＋(y 1－y 2)y ＝0，恒过点(－1,0)．定值问题【例2】已知动圆P 经过点N (1,0)，并且与圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝16相切． (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设G (m,0) 为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，当k 为何值时，ω＝|GA |2＋|GB |2是与m 无关的定值？并求出该定值．[解] (1)由题意，设动圆P 的半径为r ，则|PM |＝4－r ，|PN |＝r ，可得|PM |＋|PN |＝4－r ＋r ＝4，∴点P 的轨迹C 是以M ，N 为焦点的椭圆，∴2a ＝4,2c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.即点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知－2＜m ＜2，直线l ：y ＝k (x －m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －m ，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝8mk 24k 2＋3，x 1x 2＝4m 2k 2－124k 2＋3， ∴y 1＋y 2＝k (x 1－m )＋k (x 2－m )＝k (x 1＋x 2)－2km ＝－6mk4k 2＋3，y 1y 2＝k 2(x 1－m )(x 2－m )＝k 2x 1x 2－k 2m (x 1＋x 2)＋k 2m 2＝3k2m 2－4k 2＋3，∴|GA |2＋|GB |2＝(x 1－m )2＋y 21＋(x 2－m )2＋y 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2－2m (x 1＋x 2)＋2m 2＋(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝(k 2＋1)[－6m2k 2－＋＋4k2k 2＋2.要使ω＝|GA |2＋|GB |2的值与m 无关，需使4k 2－3＝0，解得k ＝±32，此时ω＝|GA |2＋|GB |2＝7.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△ABF 1的周长为8，且△AF 1F 2的面积的最大时，△AF 1F 2为正三角形．(1)求椭圆C 的方程；(2)若MN 是椭圆C 经过原点的弦，MN ∥AB ，求证：|MN |2AB为定值．[解] (1)由已知A ，B 在椭圆上，可得|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，又△ABF 1的周长为8，所以|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝8，即a ＝2.由椭圆的对称性可得，△AF 1F 2为正三角形当且仅当A 为椭圆短轴顶点，则a ＝2c ，即c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3，则椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：若直线l 的斜率不存在，即l ：x ＝1，求得|AB |＝3，|MN |＝23，可得|MN |2AB＝4.若直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝k (x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1，可得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，有x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝＋k 23＋4k2，由y ＝kx 代入椭圆方程，可得x ＝±233＋4k2，|MN |＝21＋k 2·233＋4k2＝4＋k23＋4k2，即有|MN |2AB＝4.综上可得，|MN |2AB为定值4.范围问题【例3】已知m ＞1，直线l ：x －my －m 22＝0，椭圆C ：x 2m2＋y 2＝1，F 1，F 2分别为椭圆C的左、右焦点．(1)当直线l 过右焦点F 2时，求直线l 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，△AF 1F 2，△BF 1F 2的重心分别为G ，H ，若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．[解] (1)因为直线l ：x －my －m 22＝0经过F 2(m 2－1，0)，所以m 2－1＝m 22，得m 2＝2.又因为m ＞1，所以m ＝2，故直线l 的方程为x －2y －1＝0. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋m 22，x 2m 2＋y 2＝1，消去x ，得2y 2＋my ＋m 24－1＝0，则由Δ＝m 2－8⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24－1＝－m 2＋8＞0，知m 2＜8，且有y 1＋y 2＝－m 2，y 1y 2＝m 28－12.由于F 1(－c,0)，F 2(c,0)，可知G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 13，y 13，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23，y 23.因为原点O 在以线段GH 为直径的圆内，所以OH →·OG →＜0，即x 1x 2＋y 1y 2＜0.所以x 1x 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1＋m 22⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋m 22＋y 1y 2＝(m 2＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫m 28－12＜0.解得m 2＜4(满足m 2＜8)．又因为m ＞1，所以实数m 的取值范围是(1,2)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．[解] (1)由题意知2b ＝2，∴b ＝1.∵e ＝c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2. 椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx＋4m 2－4＝0，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0，化简得m 2＜4k 2＋1 ①，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，∴(4k 2－5)·m 2－4k 2＋1＋4km ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋1＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54 ②，由①②得0≤m 2＜65，120＜k 2≤54.∵原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，∴d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k2＝－1＋9＋k2.又120＜k 2≤54，∴0≤d 2＜87，∴0≤d ＜2147. ∴原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2147.最值问题【例4】 (2019·太原模拟)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 23＝1(a ＞0)的一个焦点为F (－1,0)，左、右顶点分别为A ， B ．经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点．(1)当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长；(2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值． [解] (1)由题意，c ＝1，b 2＝3，所以a 2＝4，所以椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1，易求直线方程为y ＝x ＋1，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝x ＋1，消去y ，得7x 2＋8x －8＝0，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，Δ＝288，x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，所以|CD |＝2|x 1－x 2|＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝247. (2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－1，此时△ABD 与△ABC 面积相等，|S 1－S 2|＝0；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x ＋，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， Δ＞0，且x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，此时|S 1－S 2|＝2||y 2|－|y 1||＝2|y 2＋y 1|＝2|k (x 2＋1)＋k (x 1＋1)|＝2|k (x 2＋x 1)＋2k |＝12|k |3＋4k2，因为k ≠0，上式＝123|k |＋4|k |≤1223|k |·4|k |＝12212＝3当且仅当k ＝±32时等号成立，所以|S 1－S 2|的最大值为 3.(2017·浙江高考)如图，已知抛物线x ＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值．[解](1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋3k 2＋.因为|PA |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－k －k ＋2k 2＋1，所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3，因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上递增，⎝⎛⎭⎪⎫12，1上递减，因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值2716.1.(2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2＞1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |＜2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋m －x 1＋x 2x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m ＞－1时，Δ＞0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．2．(2013·全国卷Ⅰ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ABCD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． [解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1，由此可得b 2x 2＋x 1a 2y 2＋y 1＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝433，y ＝－33，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－533＜n ＜3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±－n 23.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝43 9－n 2. 由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2，当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863. 所以四边形ACBD 面积的最大值为863.。

2018届数学复习第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程学案文

错误!错误!1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．掌握确定直线位置的几何要素．3．掌握直线方程的几种形式(点斜式,两点式及一般式等），了解斜截式与一次函数的关系．知识点一直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角（1)定义：当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准，x轴______与直线l______方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为______．(2）倾斜角的范围为________．2．直线的斜率(1)定义:一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示,即k＝________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．（2）过两点的直线的斜率公式经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式为k＝________。

答案1．(1)正向向上0°（2）[0°，180°）2．(1）正切值tanα(2）错误!1．直线2x＋1＝0的倾斜角为________．解析:直线2x＋1＝0的斜率不存在，倾斜角为90°。

答案:90°2．过点M（－2，m），N(m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为(）A．1 B．4C．1或3 D．1或4解析:由题意知,错误!＝1，解得m＝1。

答案：A知识点二直线方程1．直线方程的五种形式2。

线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为（x1，y1)，(x2，y2）,线段P1P2的中点M的坐标为(x，y），则错误!此公式为线段P1P2的中点坐标公式．答案1．y＝kx＋b y－y0＝k(x－x0)错误!＝错误!错误!＋y b＝1 2。

错误! 错误!3．已知直线l 经过点P （－2，5），且斜率为－错误!。

则直线l 的方程为( ）A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0解析：由点斜式得y －5＝－错误!(x ＋2），即3x ＋4y －14＝0.答案：A4．已知直线l :ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ）A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析:当a ＝0时，直线方程为y －2＝0，不满足题意，所以a ≠0，所以在x 轴上的截距为2＋a a ，在y 轴上的截距为2＋a ，则由2＋a ＝错误!,得a ＝－2或a ＝1。

2020高考数学理科大一轮复习导学案：第八章平面解析几何8.8 Word版含答案

姓名，年级：时间：错误!错误!知识点一曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系:（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．1．判断正误(1)f（x0，y0）＝0是点P(x0,y0）在曲线f（x，y)＝0上的充要条件．( √）(2）方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．（×) (3）到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.（×）（4）方程y＝错误!与x＝y2表示同一曲线．（×）2．方程（x2＋y2－4)错误!＝0的曲线形状是( C ）解析：由题意可得x＋y＋1＝0或错误!，它表示直线x＋y＋1＝0和圆x2＋y2－4＝0在直线x＋y＋1＝0右上方的部分．知识点二直接法求动点的轨迹方程的一般步骤1．建立适当的坐标系,用有序实数对（x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．2．写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M）}．3．用坐标表示条件p(M)，列出方程f（x，y)＝0。

4．化方程f(x，y）＝0为最简形式．5．说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．(必修2P135习题4.1B组第1题改编）等腰三角形ABC,若一腰的两个端点坐标分别是A(4,2）,B（－2，0），A是顶点，则另一个点C的轨迹方程为（ B )A．x2＋y2－8x－4y＝0B．x2＋y2－8x－4y－20＝0(x≠4，x≠－2）C．x2＋y2＋8x＋4y－20＝0(x≠4，x≠－2)D．x2＋y2－8x－4y＋20＝0(x≠4,x≠－2）解析：设另一个点的坐标为C(x，y），则(x－4）2＋（y－2）2＝40，x≠4，x≠－2。

整理得x2＋y2－8x－4y－20＝0（x≠4，x≠－2）．故选B.4．（2019·大连模拟）在△ABC中，BC＝4,A点为动点,满足sin C＋sin B＝2sin A，若以BC为x轴，BC的中点为原点，建立平面直角坐标系，则A点的轨迹方程为错误!＋错误!＝1（y≠0)．解析：由正弦定理得：|AB｜＋｜AC｜＝2｜BC｜，即｜AB|＋|AC|＝8>4.故A点的轨迹为椭圆，则椭圆方程为错误!＋错误!＝1，又因为A，B，C三点不能共线,所以A点的轨迹方程为错误!＋错误!＝1（y≠0）．1．“曲线C是方程f（x,y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y）＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系（1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2）方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．考向一直接法求轨迹方程【例1】（1）已知△ABC的顶点B（0,0)，C（5，0),AB边上的中线长｜CD｜＝3，则顶点A的轨迹方程为________．（2）与y轴相切并与圆C：x2＋y2－6x＝0也外切的圆的圆心的轨迹方程为________．【解析】（1）设A(x，y)，由题意可知D错误!.又∵｜CD|＝3，∴错误!2＋错误!2＝9,即（x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点不共线，∴点A不能落在x轴上，即y≠0，∴点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36（y≠0)．（2）若动圆在y轴右侧，设与y轴相切，且与圆x2＋y2－6x ＝0外切的圆的圆心为P(x，y）(x〉0），则半径长为｜x｜，因为圆x2＋y2－6x＝0的圆心为(3，0)，所以错误!＝｜x｜＋3，则y2＝12x（x〉0），若动圆在y轴左侧,则y＝0,即圆心的轨迹方程为y2＝12x（x〉0）或y＝0(x<0)．【答案】(1)（x－10）2＋y2＝36（y≠0）y2＝12x（x>0）或y＝0（x〈0）1若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点—列式—化简—检验，求动点的轨迹方程时要注意检验,即扣除多余的点，补上遗漏的点。

202新数学复习第八章平面解析几何8.2直线的交点与距离公式学案含解析

第二节直线的交点与距离公式课标要求考情分析1.能根据直线的方程判断两条直线的位置关系．2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．1。

高考对本节内容的考查主要涉及两点间的距离和点到直线的距离．2．常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查，有时也会命制新定义题目．3．题型以选择题、填空题为主，属于中低档题.知识点一两条直线平行与垂直的判定知识点二两条直线的交点知识点三三种距离点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件（1)求点到直线的距离时，应先将直线方程化为一般式．（2)求两平行线之间的距离时，应先将直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等．1．思考辨析判断下列结论正误（在括号内打“√"或“×”)(1）若两条直线的方程组成的方程组有解，则两条直线相交．(×)（2）点P（x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为错误!。

（×）(3）直线外一点与直线上任一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√）(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．(√）（5）若点A，B关于直线l：y＝kx＋b（k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－错误!，且线段AB的中点在直线l上．(√)解析：（1）当方程组有唯一解时两条直线相交,若方程组有无穷多个解,则两条直线重合．（2）应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式，即点P到直线的距离为错误!.(3）因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长，即点到直线的距离．（4）两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长,即两条直线上各取一点的最短距离．（5）根据对称性可知直线AB与直线l垂直且直线l平分线段AB，所以直线AB的斜率等于－错误!，且线段AB的中点在直线l上．2．小题热身(1）已知直线（k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与2（k－3)x－2y＋3＝0平行，那么k的值为(C)A．1或3 B．1或5C．3或5 D．1或2（2）直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直,则a的值为（D)A．－3 B．－错误!C．2 D．3(3）直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a 的值为错误!。

2020高考数学理科大一轮复习导学案：第八章平面解析几何8.7 Word版含答案

姓名，年级：时间：错误!错误!知识点一抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．1．判断正误（1）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ×)(2）抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4。

（×）(3)若一抛物线过点P（－2，3），其标准方程可写为y2＝2px （p>0)．( ×)2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于（ B )A．9 B．8C．7 D．6解析：抛物线y2＝4x的焦点为F（1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF｜＋｜QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8。

知识点二抛物线的标准方程与几何性质3．以x＝1为准线的抛物线的标准方程为（ D ）A．y2＝2x B．y2＝－2xC．y2＝4x D．y2＝－4x解析：由准线x＝1知，抛物线方程为：y2＝－2px（p>0)且错误!＝1，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝－4x.4．(选修2－1P72练习第1（1)题改编)已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴，并且经过点P（－2,－4)，则该抛物线的标准方程为y2＝－8x或x2＝－y.解析：很明显点P在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x 轴负半轴上或y轴负半轴上．当焦点在x轴负半轴上时,设方程为y2＝－2px(p>0),把点P(－2,－4)的坐标代入得（－4)2＝－2p×（－2)，解得p＝4，此时抛物线的标准方程为y2＝－8x;当焦点在y轴负半轴上时,设方程为x2＝－2py(p〉0），把点P （－2，－4）的坐标代入得（－2）2＝－2p×（－4),解得p＝错误!，此时抛物线的标准方程为x2＝－y。

综上可知，抛物线的标准方程为y2＝－8x或x2＝－y.5．（2018·北京卷)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴．若l 被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为(1,0）．解析：由题意知，a〉0，对于y2＝4ax,当x＝1时，y＝±2错误!，由于l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，所以4错误!＝4，所以a＝1，所以抛物线的焦点坐标为（1，0)．1．抛物线定义的两点理解（1)定点不在定直线上．(2)当定点在定直线上时,轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线．2．抛物线的方程特点（1）方程y＝ax2（a≠0）可化为x2＝错误!y，是焦点在y轴上的抛物线．（2）y2＝2px（p>0)：①p表示焦点到准线的距离;②2p为通径长．3．抛物线的图形特点抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形，不是中心对称图形．考向一抛物线的定义及标准方程【例1】(1）(2019·河南豫南九校联考）若抛物线y2＝4x 的准线为l，P是抛物线上任意一点,则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是( ）A．2 B.错误!C.错误!D．3(2)（2019·湖北四地七校联考)已知抛物线y2＝2px（p〉0)，点C(－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线,与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线方程是( )A．y2＝4x B．y2＝－4xC．y2＝8x D．y2＝－8x【解析】（1)由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离,由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点P到准线l的距离与点P到直线3x ＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F（1,0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即错误!＝2.故选A.（2）因为AB⊥x轴，且AB过点F，所以AB是焦点弦,且｜AB｜＝2p,所以S△CAB＝错误!×2p×错误!＝24,解得p＝4或－12（舍)，所以抛物线方程为y2＝8x,所以直线AB的方程为x＝2，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2＝－8x，故选D.【答案】(1)A （2）D1.应用抛物线定义的两个关键点,1由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化。

2023年人教版高中数学第八章立体几何初步易错知识点总结

(名师选题)2023年人教版高中数学第八章立体几何初步易错知识点总结单选题1、已知一个圆锥的体积为3π，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为（）A ．2√3B ．3C ．√3D ．√33答案：C分析：根据圆锥的侧面展开图和圆锥体积公式以及侧面积公式，即可求出结果.设底面半径为r ，高为ℎ，母线为l ，如图所示：则圆锥的体积V =13πr 2ℎ=3π，所以r 2ℎ=9，即ℎ=9r 2，S 侧=12⋅2πrl =2πr 2，则l =2r ，又ℎ=√l 2−r 2=√3r ，所以√3r 3=9，故r =√3．故选：C ．2、已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）A ．√3πB ．√33C ．√33πD ．√3答案：C分析：求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，由πl=2πr，得l=2r，又S=πr2+πr⋅2r=3πr2=3π，所以r2=1，解得r=1；所以圆锥的高为ℎ=√l2−r2=√22−12=√3，所以圆锥的体积为V=13πr2ℎ=13π×12×√3=√33π．故选：C．3、设α、β为两个不重合的平面，能使α//β成立的是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α内有无数个点到β的距离相等D．α、β垂直于同一平面答案：B分析：应用几何体特例，如立方体可排除相关选项；而由面面平行的判定可知B正确应用立方体，如下图所示：选项A：α内有无数条直线可平行于l，即有无数条直线与β平行，但如上图α与β可相交于l，故A不一定能使α//β成立；选项B：由面面平行的判定，可知B正确选项C：在α内有一条直线平行于l，则在α内有无数个点到β的距离相等，但如上图α与β可相交于l，故C 不一定能使α//β成立；选项D：如图α⊥γ，β⊥γ，但α与β可相交于l，故D不一定能使α//β成立；故选：B小提示：本题考查了面面平行的判定，应用特殊与一般的思想排除选项，属于简单题4、如图1，已知PABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在线段PC上，AD⊥PC．将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图2．对于图2，下列选项错误的是（）A．平面PAB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDCC．PD⊥AC D．PB＝2AN答案：A分析：由已知利用平面与平面垂直的性质得到PD⊥平面ABCD，判定C正确；进一步得到平面PCD⊥平面ABCD，结合BC⊥CD判定B正确；再证明AB⊥平面PAD，得到△PAB为直角三角形，判定D正确；可证明平面PBC⊥平面PDC，若平面PAB⊥平面PBC，则平面PAB与平面PDC的交线⊥平面PBC，矛盾，可判断A图1中AD⊥PC，则图2中PD⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PD⊥平面ABCD，则PD⊥AC，故选项C正确；由PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDC，得平面PDC⊥平面ABCD，而平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PDC，故选项B正确；∵AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴AB⊥平面PAD，则AB⊥PA，即△PAB是以PB为斜边的直角三角形，而N为PB的中点，则PB＝2AN，故选项D正确．由于BC⊥平面PDC，又BC⊂平面PBC∴平面PBC⊥平面PDC若平面PAB⊥平面PBC，则平面PAB与平面PDC的交线⊥平面PBC由于AB//平面PDC，则平面PAB与平面PDC的交线//AB显然AB不与平面PBC垂直，故A错误故选：A5、小明同学用两个全等的六边形木板和六根长度相同的木棍搭成一个直六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1，由于木棍和木板之间没有固定好，第二天他发现这个直六棱柱变成了斜六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1，如图所示.设直棱柱的体积和侧面积分别为V1和S1，斜棱柱的体积和侧面积分别为V2和S2，则（）.A．V1S1>V2S2B．V1S1<V2S2C．V1S1=V2S2D．V1S1与V2S2的大小关系无法确定答案：A分析：根据柱体体积、表面积的求法，分别表示出V1S1和V2S2，分析即可得答案.设底面面积为S，底面周长为C，则V1=S⋅AA1，S1=C⋅AA1，所以V1S1=SC，设斜棱柱的高为ℎ，则V2=S⋅ℎ，S2=AB×ℎAB+BC×ℎBC+CD×ℎCD+DE×ℎDE+EF×ℎEF+FA×ℎFA >(AB+BC+CD+DE+EF+FA)×ℎ=Cℎ,所以V2S2<SℎCℎ=SC=V1S1.故选：A6、已知直三棱柱ABC−A1B1C1的各顶点都在同一球面上，且该棱柱的体积为√3，AB=2，AC=1，∠BAC= 60°，则该球的表面积为（）A．4πB．4√2πC．8πD．32π答案：C解析：利用三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为√3，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，求出AA1，再求出ΔABC外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积.∵三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为√3，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，∴12×2×1×sin60°×AA1=√3，∴AA1=2∵BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcos60°=4+1−2=3，∴BC=√3.设ΔABC外接圆的半径为R，则BCsin60°=2R，∴R=1.∴外接球的半径为√1+1=√2，∴球的表面积等于4π×(√2)2=8π.故选：C.小提示：本小题主要考查根据柱体体积求棱长，考查几何体外接球有关计算，属于基础题.7、如图已知正方体ABCD−A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则（）A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN//平面ABCDB．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN//平面ABCDD．直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1答案：A分析：由正方体间的垂直、平行关系，可证MN//AB,A1D⊥平面ABD1，即可得出结论.连AD1，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是A1D的中点，所以M为AD1中点，又N是D1B的中点，所以MN//AB，MN⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD，所以MN//平面ABCD.因为AB不垂直BD，所以MN不垂直BD则MN不垂直平面BDD1B1，所以选项B,D不正确；在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AD1⊥A1D，AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，AD1∩AB=A，所以A1D⊥平面ABD1，D1B⊂平面ABD1，所以A1D⊥D1B，且直线A1D,D1B是异面直线，所以选项C错误，选项A正确.故选：A.小提示：关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.8、牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，该方法不直接给出球体的体积，而是先计算牟合方盖的体积.刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积关系为V 牟V 球=4π，并且推理出了“牟合方盖”的八分之一的体积计算公式，即V 牟8=r 3−V 方盖差，从而计算出V 球=43πr 3.如果记所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V ，则V 方差盖:V =（）A ．√22B ．1C ．√2D ．2√2答案：C分析：计算出V 方盖差，V ，即可得出结论. 由题意，V 方盖差=r 3−18V 牟=r 3−18×4π×43×π×r 3=13r 3，所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V 正=13×r ×r ×(√2r 2)=√26r 3， ∴ V 方盖差V 正=13r 3√2r 36=√2，故选：C ．9、过半径为4的球O 表面上一点M 作球O 的截面，若OM 与该截面所成的角是30°，则O 到该截面的距离是（）A ．4B ．2√3C ．2D ．1答案：C分析：作出球的截面图，根据几何性质计算，可得答案.作出球的截面图如图：设A 为截面圆的圆心，O 为球心，则OA ⊥截面，AM 在截面内，即有OA ⊥AM ，故∠OMA =30∘,所以OA =4×12=2 ,即O 到该截面的距离是2，故选：C10、在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，三棱锥A −B 1CD 1的表面积为4√3，则正方体外接球的体积为（）A ．4√3πB ．√6πC ．32√3πD ．8√6π答案：B解析：根据三棱锥的表面积进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果．解：设正方体的棱长为a ，则B 1D 1=AC =AB 1=AD 1=B 1C =D 1C =√2a ，由于三棱锥A −B 1CD 1的表面积为4√3，所以S =4S △AB 1C =4×12×√32(√2a)2=4√3所以a =√2所以正方体的外接球的半径为√(√2)2+(√2)2+(√2)22=√62，所以正方体的外接球的体积为43π·(√62)3=√6π故选：B．小提示：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.11、如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC=90°，AB=AA1=1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，若点Q在线段B1P上，则下列结论中正确的是（）.A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BDB．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BDC．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BDD．不存在DQ与平面A1BD垂直答案：D分析：依据线面垂直性质定理，利用反证法即可否定选项ABC；按照点Q为线段B1P的中点和点Q不为线段B1P 的中点两种情况利用反证法证明选项D判断正确.连接AB1，交A1B于H在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，AB=AA1=1，则四边形A1B1BA为正方形，则AB1⊥A1B又∠BAC=90°，即AB⊥AC，又AA1⊥AC，AB∩AA1=A，AA1⊂面A1B1BA，AB⊂面A1B1BA则AC⊥面A1B1BA，则AC⊥A1B又AB1⊥A1B，AB1∩AC=A，AB1⊂面AB1C，AC⊂面AB1C则A1B⊥面AB1C，选项A：当点Q为线段B1P的中点时，又D是棱CC1的中点，则DQ//AB1若DQ⊥平面A1BD，则AB1⊥平面A1BD又A1B⊥面AB1C，则面AB1C//平面A1BD，这与AB1∩A1B=H矛盾，故假设不成立，即当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD不正确；选项B：当点Q为线段B1P的三等分点时，又D是棱CC1的中点，则DQ//AB1不成立，即DQ与AB1为相交直线，若DQ⊥平面A1BD，则DQ⊥A1B又AB1⊥A1B，DQ与AB1为相交直线，AB1⊂面AB1P，DQ⊂面AB1P则A1B⊥面AB1P，又A1B⊥面AB1C，则面AB1P//面AB1C这与面AB1P∩面AB1C=AB1矛盾，故假设不成立，即当点Q为线段B1P的点三等分时，DQ⊥平面A1BD，不正确；选项C：在线段B1P的延长线上一点Q，又D是棱CC1的中点，则DQ//AB1不成立，即DQ与AB1为相交直线，若DQ⊥平面A1BD，则DQ⊥A1B又AB1⊥A1B，DQ与AB1为相交直线，AB1⊂面AB1P，DQ⊂面AB1P则A1B⊥面AB1P，又A1B⊥面AB1C，则面AB1P//面AB1C这与面AB1P∩面AB1C=AB1矛盾，故假设不成立，即在线段B 1P 的延长线上，存在一点Q ，使得DQ ⊥平面A 1BD 不正确；选项D ：由选项A 可知，点Q 为线段B 1P 的中点时，DQ ⊥平面A 1BD 不成立；假设点Q 在线段B 1P 上，且不是中点，又 D 是棱CC 1的中点，则DQ //AB 1不成立，即DQ 与AB 1为相交直线，若DQ ⊥平面A 1BD ，则DQ ⊥ A 1B又AB 1⊥A 1B ，DQ 与AB 1为相交直线，AB 1⊂面AB 1P ，DQ ⊂面AB 1P则A 1B ⊥面AB 1P ，又A 1B ⊥面AB 1C ，则面AB 1P //面AB 1C这与面AB 1P ∩面AB 1C =AB 1矛盾，故假设不成立，即点Q 在线段B 1P 上，且不是中点时，DQ ⊥平面A 1BD 不正确；故不存在DQ 与平面A 1BD 垂直.判断正确.故选：D12、在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6答案：D分析：平移直线AD 1至BC 1，将直线PB 与AD 1所成的角转化为PB 与BC 1所成的角，解三角形即可.如图，连接BC 1,PC 1,PB ，因为AD 1∥BC 1，所以∠PBC 1或其补角为直线PB 与AD 1所成的角，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥PC1，又PC1⊥B1D1，BB1∩B1D1=B1，所以PC1⊥平面PBB1，所以PC1⊥PB，设正方体棱长为2，则BC1=2√2,PC1=12D1B1=√2，sin∠PBC1=PC1BC1=12，所以∠PBC1=π6.故选：D双空题13、如图，平面四边形ABCD, ∠B=∠D=90∘, ∠A=120∘,AB=AD=2，将ΔACD沿AC折起到ΔPAC的位置，此时二面角B−AC−P的大小为60∘，连接BP，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为______;三棱锥P−ABC的体积为___________.答案：16π√3 分析：根据题意，可知△APC、△ABC都是以AC为斜边的直角三角形，故三棱锥P−ABC外接球的球心为AC中点，直径为AC，即可求出三棱锥P−ABC外接球的表面积；结合题意求出点P到平面ABC的距离，即可得到三棱锥P−ABC的体积.由∠B=∠D=90∘，可知三棱锥P−ABC外接球的直径为AC，三棱锥P−ABC外接球的半径R=AC2=ABcos60∘2=2，故三棱锥P−ABC外接球的表面积S=4πR2=16π；由题意得点P到直线AC的距离d=APsin60∘=√3，因二面角B−AC−P的大小为60∘，所以点P到平面ABC的距离ℎ=dsin60∘=32，故三棱锥P−ABC的体积V=13S△ABCℎ=13×2×2√32×32=√3.所以答案是：16π；√3 .14、如图，平面CGEC1∩平面ADD1A1=______；平面BHFB1∩平面CDD1C1=______．答案：EG FH分析：数形结合，求出面面相交的交线.平面CGEC1∩平面ADD1A1=EG，平面BHFB1∩平面CDD1C1=FH.所以答案是：EG，FH15、在三棱锥P−ABC中，AP⊥平面PBC，PB⊥PC，PA=PC=2PB=4，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为___________；若动点M在该三棱锥外接球上，且∠MPB=∠MPC，则点M的轨迹长为___________.答案：36π√34π分析：由题，先得出三棱锥P−ABC为直三棱锥，则其外接球相当于以PA、PB、PC为棱的长方体的外接球，则直径为长方体的体对角线，则可求外接球表面积；要使∠MPB=∠MPC，则M在∠BPC的角平分面上，则M的轨迹为圆，利用长方体的性质，求出球心到角平分面的距离，即可求出M的轨迹圆的半径，即可求M的轨迹长由AP⊥平面PBC，PB⊥PC得，三棱锥P−ABC为直三棱锥，其外接球相当于以PA、PB、PC为棱的长方体的外接球，故外接球半径为12√PA2+PB2+PC2=3，故三棱锥P−ABC外接球的表面积为4π×32=36π；如图，PC中点为F，则易得以PA、PB、PF为棱的正方体PAGF−BDHE，由正方体的对称性，要使∠MPB=∠MPC，则M在∠BPC的角平分面上，即面PAHE，故M的轨迹为面PAHE与外接球相交出的圆.取AP、HE中点I、J，由正方体的对称性易得面OIJ⊥面PAHE，且OJ=12PB=1, IJ=√22+22=2√2, OI=√22+12=√5，故cos∠IJO =2√2)2√5)22×1×2√2=√22，故IJ 上的高ℎ=OJ ⋅sin∠IJO =1⋅√1−(√22)2=√22，故M 的轨迹圆的半径r =√32−(√22)2=√342，故轨迹长为2πr =√34π.所以答案是：36π；√34π16、任意一个平面截球所得的图形是____________，任意一个平面截球面所得的图形是____________．答案：一个圆面一个圆分析：根据球的特征分析即可.任意一个平面截球所得的图形是一个圆面，任意一个平面截球面所得的图形是一个圆，所以答案是：一个圆面，一个圆17、球面几何是几何学的一个重要分支，在刚海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用.如图，A ，B ，C 是球而上不在同一大圆(大圆是过球心的平面与球面的交线)上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为AB ，BC ，CA ，由这三条劣弧组成的图形称为球面△ABC .已知地球半径为R ，北极为点N ，P ､Q 是地球表面上的两点.①若P，Q在赤道上，且经度分别为东经40°和东经100°，则球面△NPQ的面积为___________.②若NP=NQ=PQ=2√63R，则球面△NPQ的面积___________.答案：πR 23πR2分析：利用PQ所在的经度求出球面三角形PNQ面积，再利用已知可得三角形PNQ为等边三角形，进而可以求解．解：PQ在赤道上，且经度分别为40°和100°，上半球面面积为12×4π×R2=2πR2，球面△PNQ面积为60°360°×2πR2=πR23，当NP=NQ=PQ=2√6R3时，△PNQ为等边三角形，根据题意构造一个正四面体N−PQS，如图所示：其中心为O，O是高NH的靠近H的四等分点，则cos∠NOP=−cos∠HOP=−OHOP =−OHON=−13，由余弦定理可得：cos∠NOP=ON 2+OP2−PN22ON⋅OP=2R2−PN22R2=−13，解得PN=2√63R，正好为题目所给的长度，所以球面PNQ的面积为S△PNQ=14×4πR2=πR2，所以答案是：πR 23；πR2．解答题18、如图，四棱锥C−ABED中，四边形ABED是正方形，若G，F分别是线段EC，BD的中点.（1）求证：GF//平面ABC.（2）在线段CD上是否存在一点P，使得平面GFP//平面ABC？并说明理由.答案：（1）证明见详解；（2）P为线段CD中点，理由见详解．分析：（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）当P为线段CD中点时，有平面GFP//平面ABC，利用面面平行的判定定理证明即可．(1)证明：由四边形ABED为正方形可知，连接AE必与BD相交于中点F，又G是线段EC的中点，故GF//AC，∵GF⊄面ABC，AC⊂面ABC，∴GF//面ABC；(2)当P为线段CD中点时，有平面GFP//平面ABC，证明：由点P,F分别为CD,BD中点可得：PF//BC∵PF⊄面ABC，BC⊂面ABC，∴PF//面ABC，由(1)可知，GF//面ACD，且GF∩PF=F，故平面GFP//平面ABC．小提示：关键点点睛：本题关键在于掌握空间直线与平面的平行的判定和空间平面与平面的平行的判定．19、如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4, AB=2，∠BAD=60°, E, M, N分别是BC，BB1，A1D的中点.证明：MN//平面C1DE.答案：证明见解析分析：根据中位线可证ME//B1C，再证四边形MNDE为平行四边形，由线面平行判定定理即可求证.连结B1C, ME，如图，∵M, E分别为BB1, BC的中点，∴ME//B1C，且ME=12B1C.又∵N为A1D的中点，∴ND=12A1D.由题设知A1B1//=DC，可得B1C//A1D，B1C=A1D故ME//ND，ME=ND因此四边形MNDE为平行四边形，MN//ED.又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，∴MN//平面C1DE.20、如图是边长为1的正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点，现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体的几分之几？答案：148.解析：根据三棱锥和柱体的体积公式，即可求解.由题意，边长为1的正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点，锯掉的三棱锥的体积V1=13×12×12×12×12=148.正方体的体积V=1×1×1=1.. 锯掉的这块的体积是原正方体的148.所以答案是：148。

全国高考数学第8章平面解析几何热点探究课5平面解析几何中的高考热点问题教师用书文

热点探究课(五) 平面解析几何中的高考热点问题[命题解读] 圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必考一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现．热点1 圆锥曲线的标准方程与性质圆锥曲线的标准方程在高考中占有十分重要的地位．一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小题，最常用的方法是定义法与待定系数法．离心率是高考对圆锥曲线考查的另一重点，涉及a ，b ，c 三者之间的关系．另外抛物线的准线，双曲线的渐近线也是命题的热点．(2017·石家庄质检)如图1，椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.图1(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .【导学号：31222329】[解] (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝ 2＋2 2＋ 2－2 2＝2 3.3分即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.5分(2)连接F 1Q ，如图，由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，又|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|＝(2a －|PF 1|)＋(2a －|QF 1|)，可得|QF 1|＝4a －2|PF 1|. ① 又因为PF 1⊥PQ 且|PF 1|＝|PQ |，所以|QF 1|＝2|PF 1|. ②8分由①②可得|PF 1|＝(4－22)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝(22－2)a . 由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即(4－22)2a 2＋(22－2)2a 2＝4c 2，10分可得(9－62)a 2＝c 2，即c 2a2＝9－62，因此e ＝ca＝9－62＝6－ 3.12分[规律方法] 1.用定义法求圆锥曲线的标准方程是常用的方法，同时应注意数形结合思想的应用．2．圆锥曲线的离心率刻画曲线的扁平程度，只需明确a ，b ，c 中任意两量的关系都可求出离心率，但一定注意不同曲线离心率取值范围的限制．[对点训练1] 已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为22，它的一个顶点为抛物线x 2＝4y 的焦点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y ＝x －1与抛物线相切于点A ，求以A 为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程．[解] (1)椭圆中心在原点，焦点在x 轴上．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，因为抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，所以b ＝1.2分由离心率e ＝c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2＝1＋c 2，从而得a ＝2，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.5分(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以点A (2,1).8分因为抛物线的准线方程为y ＝－1，所以圆的半径r ＝1－(－1)＝2，所以圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.12分热点2 圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．☞角度1 圆锥曲线的定值问题(2016·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1过A (2,0)，B (0,1)两点.【导学号：31222330】(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．[解] (1)由题意得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.3分又c ＝a 2－b 2＝3，所以离心率e ＝c a ＝32.5分 (2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4. 又A (2,0)，B (0,1)，所以直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2).7分令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.9分令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1. 所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN |·|BM |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2y 0x 0－2＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42 x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2.从而四边形ABNM 的面积为定值.12分 [规律方法] 1.求定值问题的常用方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．2．定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类问题中选择消元的方向是非常关键的． ☞角度2 圆锥曲线中的定点问题设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－62.【导学号：31222331】(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的左顶点是A ，若直线l ：x －my －t ＝0与椭圆E 相交于不同的两点M ，N (M ，N 与A 均不重合)，若以MN 为直径的圆过点A ，试判定直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标．[解] (1)由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，可得a 2＝2b 2，2分椭圆方程为x 22b 2＋y 2b2＝1，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－62可得b 2＝2，a 2＝4，故椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.5分(2)由x －my －t ＝0得x ＝my ＋t ，把它代入E 的方程得(m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则 y 1＋y 2＝－2mt m 2＋2，y 1y 2＝t 2－4m 2＋2，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2t ＝4tm 2＋2， x 1x 2＝(my 1＋t )(my 2＋t )＝m 2y 1y 2＋tm (y 1＋y 2)＋t 2＝2t 2－4m2m 2＋2.8分因为以MN 为直径的圆过点A ，所以AM ⊥AN ，所以AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2 ＝2t 2－4m 2m 2＋2＋2×4t m 2＋2＋4＋t 2－4m 2＋2＝3t 2＋8t ＋4m 2＋2＝ t ＋2 3t ＋2 m 2＋2＝0.10分因为M ，N 与A 均不重合，所以t ≠－2，所以t ＝－23，直线l 的方程是x ＝my －23，直线l 过定点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，由于点T 在椭圆内部，故满足判别式大于0，所以直线l 过定点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0.12分[规律方法] 1.假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点．2．从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．热点3 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．图2(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)． [解] (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.2分因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0.①将线段AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2.②由①②得m <－63或m >63. 故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－63∪⎝ ⎛⎭⎪⎫63，＋∞.5分 (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.7分设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12，即m ＝±2时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22.12分 [规律方法] 范围(最值)问题的主要求解方法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数或等量关系，利用判别式、基本不等式、函数的性质、导数法进行求解．[对点训练2] 已知椭圆C ：y 2a ＋x 2b＝1(a >b >0)的焦距为4，且过点(2，－2)．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆焦点的直线l 与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范围.【导学号：31222332】[解] 由椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4.得曲线C 的焦点F 1(0，－2)，F 2(0,2).2分又点(2，－2)在椭圆C 上， 2a ＝2＋0＋2＋ 2＋2 2＝42，所以a ＝22，b ＝2，即椭圆C 的方程是y 28＋x 24＝1.5分(2)若直线l 垂直于x 轴，①则点E (0,22)，F (0，－22)，OE →·OF →＝－8. ②若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋2，点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，将直线l 的方程代入椭圆C 的方程得到：(2＋k 2)x 2＋4kx －4＝0，则x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，x 1x 2＝－42＋k 2，8分所以OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－4－4k 22＋k 2＋－8k 22＋k 2＋4＝202＋k 2－8.10分因为0<202＋k 2≤10，所以－8<OE →·OF →≤2.综上可知，OE →·OF →的取值范围是(－8,2].12分热点4 圆锥曲线中的探索性问题(答题模板)圆锥曲线中的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立．涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题．(本小题满分12分)(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．[解] (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a ).1分又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.3分y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a(x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.5分故所求切线方程为ax －y －a ＝0或ax ＋y ＋a ＝0.6分 (2)存在符合题意的点．证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.7分将y ＝kx ＋a 代入C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .8分从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2 ＝2kx 1x 2＋ a －b x 1＋x 2 x 1x 2＝k a ＋ba.10分当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意.12分[答题模板] 第一步：分别求出曲线y ＝x 24在M 点，N 点处的导数．第二步：利用点斜式分别写出在M 点、N 点的切线方程．第三步：联立直线y ＝kx ＋a 与抛物线y ＝x 24，并写出根与系数的关系式．第四步：由k PM ＋k PN ＝0，结合根与系数的关系式，探索点P 的坐标．第五步：检验反思，查关键点，规范步骤．[温馨提示] 1.(1)在第(2)问中，不能把条件∠OPM ＝∠OPN 适当转化为k 1＋k 2＝0，找不到解题的思路和方法，而不能得分．(2)运算能力差或运算不细心，导致运算结果错误而扣分或者不得分．2．数学阅卷时，主要看关键步骤、关键点，有则得分，无则扣分，所以解题时要写全关键步骤．(1)本题的关键点一是利用导数的几何意义求切线方程，二是把条件中转化为只需直线PM ，PN 的斜率之和为0.(2)解析几何对运算能力要求较高，解题时一定要细心准确，否则可能是思路正确，但是运算结果错误，而不得分．[对点训练3] 如图3，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD上，且PC →·PD→＝－1.图3(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )．又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝ 2.4分所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.5分(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.8分其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1. 从而，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)]＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝－2λ－4 k 2＋－2λ－1 2k ＋1＝－λ－12k ＋1－λ－2. 所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3.10分此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD .此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值－3.12分热点探究训练(五) 平面解析几何中的高考热点问题1．(2014·全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .[解] (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac .2分将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.5分(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a . ①8分由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2 －c －x 1 ＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.10分代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9 a 2－4a 4a 2＋14a ＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.12分2．已知椭圆C 的方程为：x 2＋2y 2＝4.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为坐标原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．[解] (1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2.2分因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.5分 (2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，则OA →·OB →＝0，所以tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.8分又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2 ＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋2 4－x 20 x 20＋4 ＝x 202＋8x 20＋4(0<x 20≤4).10分因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，且当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2.12分3．如图4，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．图4(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值.【导学号：31222333】[解] (1)证明：依题意可设AB 方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8.直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ；BD 的方程为x ＝x 2.2分解得交点D 的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 2，y ＝y 1x 2x 1，注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1，则有y ＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 14y 1＝－2. 因此D 点在定直线y ＝－2上(x ≠0).5分(2)依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0.8分由Δ＝0得(4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2.故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2.分别令y ＝2，y ＝－2得N 1，N 2的坐标为 N 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a ，2，N 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋a ，－2，10分则|MN 2|2－|MN 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －a 2＋42－⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a 2＝8，即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8.12分 4．(2017·郑州质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M . 【导学号：31222334】(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．[解] ∵b ＝1，e ＝22，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＝1＋c 2，解得a 2＝2.3分故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. 设M (x M,0)，由于点A (m ，n )在椭圆C 上，∴－1<n <1.5分∵直线PA 的方程为y －1＝n －1m x ， ∴x M ＝m 1－n ，则 M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1－n ，0. (2)∵点B 与点A 关于x 轴对称，∴B (m ，－n )．设N (x N,0)，则x N ＝m 1＋n.8分 “存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.∵x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1， ∴y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.10分∴y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ .点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2).12分5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，右顶点为A ，且|AF |＝1.图5(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，问：是否存在一个定点M (t,0)，使得 MP →·MQ →＝0.若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由. 【导学号：31222335】[解] (1)由c ＝1，a －c ＝1，得a ＝2，∴b ＝3，3分故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.5分 (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， ∴Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0，即m 2＝3＋4k 2.8分设P (x P ，y P )，则x P ＝－4km 3＋4k 2＝－4k m， y P ＝kx P ＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3m ，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m . ∵M (t,0)，Q (4,4k ＋m )，∴MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m －t ，3m ，MQ →＝(4－t,4k ＋m )，10分 ∴MP →·MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m －t ·(4－t )＋3m ·(4k ＋m )＝t 2－4t ＋3＋4k m(t －1)＝0恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧ t －1＝0，t 2－4t ＋3＝0，即t ＝1.∴存在点M (1,0)符合题意.12分6．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． [解] 由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设直线l 1的方程为y ＝a ，直线l 2的方程为y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.2分(1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2. 所以AR ∥FQ .5分(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2.8分由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1).10分而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1.所以，所求的轨迹方程为y 2＝x －1.12分。

高中数学学业水平测试第八章平面解析几何知识点总结

第八章平面解析几何一、复习内容必修2第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式必修2第四章圆与方程4.1 圆的方程 4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系二、教学目标①.掌握两条直线平行、垂直的条件,能根据直线方程判断两条直线的位置关系; ②.掌握两条直线的夹角公式、到角公式和点到直线的距离公式。

③.掌握圆的标准方程和一般方程.④.掌握圆的方程的两种形式,并能合理合理运用; ⑤.灵活运用圆的几何性质解决问题.三、教学过程（分四个教学单元节完成复习）第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程【知识点】1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[︒∈α,︒=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠).注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式：1=+bya x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）．注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：B C x B A y --=，即，直线的斜率：BA k -=．注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．⇔直线的斜率为1-或直线过原点．（2）直线两截距互为相反数．．．．．．．⇔直线的斜率为1或直线过原点．（3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．⇔直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直：（1）斜截式下，若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+有① 212121,//b b k k l l ≠=⇔；② 12121l l k k ⊥⇔=-；③1212l l k k ⇔≠与相交（2）一般式下，若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=⇔且．② 0212121=+⇔⊥B B A A l l ．【典型例题】【巩固练习】第二节直线的交点坐标与距离公式【知识点】5．平面两点距离公式：设111(,)P x y 、222(,)P x y 则22122121)()(||y y x x P P -+-=．x 轴上两点A,B 间距离：A B x x AB -=．线段21P P 的中点是),(00y x M ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22210210y y y x x x ．6．点到直线的距离公式：点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：2200BA CBy Ax d +++=．7．两平行直线间的距离：两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：距离：2221BA C C d +-=．8．直线系方程：（1）平行直线系方程：① 直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．．② 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可表示为10Ax By C ++=． ③ 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可表示为00()()0A x x B y y -+-=．（2）垂直直线系方程：① 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线，可表示为10Bx Ay C -+=． ② 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线，可表示为00()()0B x x A y y ---=．（3）定点直线系方程：① 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =), 其中k 是待定的系数．② 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=, 其中,A B 是待定的系数．（4）共点直线系方程：经过两直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：交点的直线系方程，为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ (除2l )，其中λ是待定的系数．9．曲线1:(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的交点坐标⇔方程组{(,)0(,)0f x yg x y ==的解．【典型例题】【巩固练习】第三节圆的方程【知识点】10．圆的方程：（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（0>r ）．（2）圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ．（3）圆的直径式方程：若),(),(2211y x B y x A ，，以线段AB 为直径的圆的方程是：0))(())((2121=--+--y y y y x x x x ．注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是)2,2(E D --，F E D r 42122-+=．（2）一般方程的特点：① 2x 和2y 的系数相同且不为零；② 没有xy 项； ③ 0422>-+F E D （3）二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的等价条件是：① 0≠=C A ； ② 0=B ； ③ 0422>-+AF E D ．（4）掌握用待定系数法求圆的方程。

高中数学第八章立体几何初步本章总结学案含解析第二册

第八章立体几何初步本章总结错误!1．空间几何体的表面积[例1］一个直角梯形的上底、下底、高的比为123，求由它旋转而成的圆台的上底面面积、下底面面积和侧面面积的比．［解]如图，设上底面半径、下底面半径、高分别为x、2x、错误!x（x〉0)，则母线长l＝错误!＝2x，∴S上底面＝πx2，S下底面＝π（2x）2＝4πx2,S侧＝π(x＋2x)·2x＝6πx2。

∴圆台的上底面面积、下底面面积和侧面面积的比为14 6.圆台的轴截面是等腰梯形，作辅助线构造直角梯形和直角三角形，从而利用直角梯形和直角三角形的性质求解。

2．空间几何体的体积空间几何体的体积计算公式在实际生活中有着广泛的应用,但只记住公式是远远不够的,我们还应把握图形的内在因素，灵活选择合理的方法加以求解．只有这样才能把所学到的知识灵活运用到现实生活中，才能有效的解决一些问题，达到事半功倍的效果．（1)公式法公式法的思想是：根据题意直接套用体积公式，求出体积．［例2]棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为()A.错误!B。

错误!C。

错误!D。

错误!［解析]连接正方体各面中心构成的八面体由两个棱长为错误!a的正四棱锥组成，正四棱锥的高为错误!，则八面体的体积为V＝2×错误!×（错误!a）2·错误!＝错误!.［答案］C内接问题为高考常考内容,注意相接点的位置是解决此类问题的关键。

（2)割补法割补法的思想是：通过分割或补形将原几何体分割成或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积．[例3]已知三棱锥A。

BCD的表面积为S,其内有半径为r的内切球O（球O与三棱锥A.BCD的每个面都相切,即球心O到三棱锥A。

BCD每个面的距离都为r），求三棱锥A-BCD的体积．［解］连接AO,BO，CO,DO，则三棱锥A。

BCD被分割成为四个小三棱锥：O-ABC，O.ABD，O-ACD，O-BCD，并且这四个小三棱锥的顶点都为O，高都为r，底面分别为△ABC,△ABD，△ACD，△BDC。

高考数学总复习第八章平面解析几何

＝m2＋1≥1，所以 ≤α＜ .故倾斜角
2－1
4
2
[ )π π
α 的取值范围是， . 42
2．经过 P(0，－1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则
直线 l 的斜率 k 和倾斜角 α 的取值范围分别为________，________.
解析：如图所示，结合图形，若 l 与线段 AB 总有公共点，则
∴Error!得 k＜0.
( ) 1
11
∴S△AOB＝2·|OA|·|OB|＝2·
2－ k
·(1－2k)
( ) [ ( ) ] 1 1
1
1
＝ 4－－4k ≥ 4＋2
2k
2
－ ·－4k k
1 ＝4，当且仅当－＝－4k，
k
1
1
即 k＝－时，△AOB 的面积有最小值 4，此时直线 l 的方程为 y－1＝－ (x－2)，即 x
2；令 x＝0，得 y＝－2，即 l1 与 y 轴的交点为(0，－2)，直线 l1 的倾斜角为 135°，∴直线 l2 的倾斜角为 135°－90°＝45°，∴l2 的斜率为 1，故 l2 的方程为 y＝x－2，即 x－y－2＝0.
答案：－2 x－y－2＝0
1．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于 x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于 x，
[ ] [ ] π π π 5π
A. ， ∪ ， 62 2 6
[ ] [ ) π 5π
B. 0， ∪ ，π 66
[ ]5π
C. 0， 6
[ ] π 5π
D. ， 66
3 解析：选 B 设直线的倾斜角为 θ，则 tan θ＝－ cos α，

【艺术生专用】2020版高考数学二轮专题复习第八章平面解析几何第6节

__________ .
解析：设双曲线的方程为 x2－ 4y2＝ λ(λ≠0)，焦距 2c＝ 10， c2＝ 25，
当 λ>0
时，
x2－ λ
y2 λ＝
1
，
λ＋
λ＝ 4
25，∴
λ＝ 20；
4
当 λ<0
时，
y2 － λ－
x2 ＝－λ
1，－
λ＋
－λ 4 ＝25，
4
∴ λ＝－ 20.
故该双曲线的方程为 x2 －y2＝ 1 或 y2－ x2 ＝ 1.
第八章第 6 节
1．已知双曲线的离心率为 2，焦点是 (－ 4,0)， (4,0)，则双曲线的方程为 (
)
A. x2－ y2 ＝ 1 4 12
C. x2 － y2＝ 1 10 6
B. x2 －y2＝ 1 12 4
D.x2－ y2 ＝ 1 6 10
解析： A [ 已知双曲线的离心率为 2，焦点是 ( －4,0)， (4,0)，则 c＝4， a＝ 2，b2＝ 12，
20 5
5 20
答案： x2 － y2＝ 1 或 y2－ x2 ＝ 1
20 5
5 20
7．(2020 宁·德质检 )已知点 P 是以 F 1，F 2为焦点的双曲线 C：x2－ y2＝ 1 上的一点，且 |PF1|
＝3|PF 2|，则△ PF1F 2 的周长为 ________ . 解析：根据题意，双曲线 C 的方程为 x 2－y2＝ 1，则 a＝ 1， b＝1，则 c＝ 2，
C. 2 解析： C
[ 双曲线 x2－ y2＝ 1 的渐近线方程为 a2 b2
D. 17 y＝ ±bx，第一象限的点
a

2022年高考数学核按钮新高考第八章平面解析几何 8

(0，b)的____________叫做直线 l 在 y 轴上的截距．
注：截距____________距离(填“是”或“不是”)．
(2)直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
①
k 存在
斜截式
②
k 存在
两点式
③
④
截距式
⑤
a≠0 且 b≠0
一般式
平面直角坐标系内的所有 ⑥
直线
注：斜截式是________________的特例；截距式是________________的特例．
x＝
，
y＝
．
必备知识
基础自测
核心考点
2022高考数学核按钮 · 专点突破
第八章平面解析几何
2．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴________与直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做
直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x 轴________或________时，我们规定它的倾斜角为 0°．因此，直线的倾斜角 α 的取值范围为__________________．
(5)理解数形结合的思想.
必备知识
基础自测
核心考点
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8．1 直线与方程
第八章平面解析几何
【教材梳理】
1．平面直角坐标系中的基本公式
(1)数轴上 A，B 两点的距离
数轴上点 A 的坐标为 x1，点 B 的坐标为 x2，则 A，B 两点间的距离|AB|＝____________．
必备知识
基础自测
核心考点
第八章平突破
第八章平面解析几何

2020届艺术生高考数学二轮复习课件：第八章平面解析几何第3节

所以 x＋y 的最大值为 6＋2 2，最小值为 6－2 2.
[命题角度 2] 截距型最值问题 2．已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1 上，求 x＋y 的最大值和最小值．
解：设 t＝x＋y，则 y＝－x＋t，t 可视为直线 y＝－x＋t 在 y 轴上的截距，
∴x＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在 y 轴上的截距．
解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即 y＝kx.
当直线 y＝kx 与圆相切时(如图)，斜率 k 取最大值或最小值，此时|2kk2－＋01|＝ 3，解得 k＝± 3. 所以xy的最大值为 3，最小值为－ 3.
与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解． (2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法．
①形如 u＝yx－－ba型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y) 的直线的斜率的最值问题；
2.点与圆的位置关系平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 之间存在着下列关系： (1)d＞r⇔M 在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M 在圆外； (2)d＝r⇔M 在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M 在圆上； (3)d＜r⇔M 在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M 在圆内 .
答案：(x－2)2＋y2＝10
考点一圆的方程(师生共研) [典例] 求圆心在直线 y＝－x＋1 上，且与直线 x＋y－2＝0 相切于点(1,1)的圆的方程．

高三数学学习方法：易错点平面解析几何_名师指点

高三数学学习方法：易错点平面解析几何_名师指点高三数学学习方法：易错点平面解析几何一、高考预测解析几何初步的内容主要是直线与方程、圆与方程和空间直角坐标系，该部分内容是整个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但由于在高中阶段平面解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择题或者填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行.根据近年来各地高考的情况，解析几何初步的考查是稳定的，预计2012年该部分的考查仍然是以选择题或者填空题考查直线与圆的基础知识和方法，而在解析几何解答题中考查该部分知识的应用.圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择题或者填空题，一个解答题.选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，试题考查主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大;解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一.由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2012年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化.解析几何的知识主线很清晰，就是直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程及其简单几何性质，复习解析几何时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去.解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法;数学思想方法在解析几何问题中起着重要作用，数形结合思想占首位，其次分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想，如解析几何中的最值问题往往就是建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值.复习解析几何时要充分重视数学思想方法的运用.二、知识导学(一)直线的方程1.点斜式：;2. 截距式：;3.两点式：;4. 截距式：;5.一般式：，其中A、B不同时为0.(二)两条直线的位置关系两条直线，有三种位置关系：平行(没有公共点);相交(有且只有一个公共点);重合(有无数个公共点).在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.设直线：= + ，直线：= + ，则∥ 的充要条件是= ，且= ; ∥ 的充要条件是=-1.(三)圆的有关问题1.圆的标准方程(r>0)，称为圆的标准方程，其圆心坐标为(a，b)，半径为r.特别地，当圆心在原点(0，0)，半径为r时，圆的方程为.2.圆的一般方程( >0)称为圆的一般方程，其圆心坐标为( ，)，半径为.当=0时，方程表示一个点( ，);当3.圆的参数方程圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：(θ为参数)(θ为参数)(四) 椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义：椭圆的定义中,高中历史，平面内动点与两定点、的距离的和大于这个条件不可忽视.若这个距离之和小于，则这样的点不存在;若距离之和等于，则动点的轨迹是线段.2.椭圆的标准方程：( > >0)，( > >0).3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.4.求椭圆的标准方程的方法：∥ 正确判断焦点的位置;∥ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(五)椭圆的简单几何性质1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为( > >0).∥ 范围：-a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x= 和y= 所围成的矩形里.∥ 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.∥ 顶点：有四个(-a，0)、(a，0) (0，-b)、(0，b).线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.∥ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有= + 、两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.(六)椭圆的参数方程椭圆( > >0)的参数方程为(θ为参数).说明∥ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：;∥ 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.(七)双曲线及其标准方程1. 双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a(小于)的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ，则无轨迹.若时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.2. 双曲线的标准方程：和(a>0，b>0).这里，其中=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.1的常数(离心率)的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是(-c，0)和(c，0)，与它们对应的准线方程分别是和.在双曲线中，a、b、c、e四个元素间有与的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.(九)抛物线的标准方程和几何性质1.抛物线的定义：平面内到一定点(F)和一条定直线(l)的距离相等的点的轨迹叫抛物线。

学案与评测2012高考总复习数学理考点演练北师大版第八单元平面解析几何(解析版)

第八单元平面解析几何第一节直线与方程1. 若直线x ＝2的倾斜角为α，则α＝( )A. 0B. π4C. π2D. 不存在 2. 过点A (－2,4m )，B (m,4)的直线的斜率为1，则m ＝( )A. 35B. 25C. 1D. 2 3. 已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，把直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )A. 3x ＋y －6＝0B. 3x －y ＋6＝0C. x ＋y －3＝0D. x －3y －2＝04. 直线l 过(a －2，－1)和(－a －2,1)且与斜率为k ＝－23的直线垂直，则实数a ＝( ) A. －43 B. －23 C. 43 D. 235. 直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝( )A. 12B. －12C. 24D. －246. 函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)恒过点A ，且点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0(mn >0)上，则1m＋2n的最小值是________． 7. 直线2sin α·x －y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角θ的取值范围是________． 8. 若直线l 的斜率k 的取值范围为[－1，3]，则它的倾斜角α的取值范围是________．9. (2010·青岛模拟)实数x 、y 满足3x －2y －5＝0(1≤x ≤3)，则y x的最大值、最小值分别为________．10. 一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线的方程．11. 求下列直线l 的方程．(1)过点A (0,2)，它的倾斜角的正弦值是35； (2)过点A (2,1)，它的倾斜角是直线l 1：3x ＋4y ＋5＝0的倾斜角的一半；(3)过点A (2,1)和直线x －2y －3＝0与2x －3y －2＝0的交点．12. 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．第二节直线的位置关系1. (2010·福州模拟)“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. (2010·江门模拟)若l1：x＋(1＋m)y＋(m－2)＝0，l2：mx＋2y＋6＝0是两条平行直线，则m 的值是()A. m＝1或m＝－2B. m＝1C. m＝－2D. m的值不存在3. 点P(m－n，－m)到直线xm＋yn＝1的距离等于()A. m2＋n2B. m2－n2C. －m2＋n2D. m2±n24. (2010·哈尔滨模拟)若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点()A. (1，－2)B. (1,2)C. (－1,2)D. (－1，－2)5. 已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝x对称，直线l3⊥l2，则l3的斜率为()A. 12 B. －12 C. －2 D. 26. 直线(m＋2)x－(2m－1)y－3(m－4)＝0，不管m怎样变化恒过点________．7. 若直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝－7＋a平行，则实数a＝________.8. 直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是________．9. 已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值等于________．10. 若y＝a|x|的图像与直线y＝x＋a(a>0)有两个不同的交点，则a的取值范围是________．11. 已知0<k<4，l1：kx－2y－2k＋8＝0，l2：2x＋k2y－4k2－4＝0，两直线与坐标轴围成一四边形，求使得此四边形面积最小时的k值．12. 过点M(0,1)的直线l被l1：x－3y＋10＝0与l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M平分，求l的方程．第三节圆的方程1. 圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )A. (x －2)2＋y 2＝5B. x 2＋(y －2)2＝5C. (x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D. x 2＋(y ＋2)2＝52. 已知点(0,0)在圆x 2＋y 2＋ax ＋ay ＋2a 2＋a －1＝0外，则a 的取值范围为( )A. a >2B. a <－1C. a >12或a <－1 D. a ＝1 3. 对于a ∈R ，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A. x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B. x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C. x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D. x 2＋y 2－2x －4y ＝04. (2010·山东菏泽模拟)若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A. a ＜－2或a ＞23B. －23＜a ＜0 C. －2＜a ＜0 D. －2＜a ＜235. (2011·北京海淀区期末)已知直线l ：y ＝－1，定点F (0,1)，P 是直线x －y ＋2＝0上的动点，若经过点F 、P 的圆与l 相切，则这个圆面积的最小值为( )A. π2B. πC. 3πD. 4π 6. 一条线段AB 长为2，两端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹为( )A. 双曲线B. 椭圆C. 圆D. 圆的一半7. (2011·江南十校联考)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为________．8. 已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.9. 过直线2x ＋y ＋4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程是________．10. (2011·宁波模拟)已知点P (2,1)在圆C ：x 2＋y 2＋ax －2y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为________，半径为________．11.如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．12. 已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l ：x －y ＋10＝0上．若动圆C 过点(－5,0)，求圆C 的方程．第四节直线与圆、圆与圆的位置关系1. (2010·江西)直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥2√3，则k 的取值范围是( )A. ⎣⎡⎦⎤－34，0B. ⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪[0，＋∞) C. ⎣⎡⎦⎤－33，33 D. ⎣⎡⎦⎤－23，0 2. (2011·山东烟台模拟)x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称，过点C (－a ，a )的圆P 与y 轴相切，则圆P 的轨迹方程为( )A. y 2－4x ＋4y ＋8＝0B. y 2＋2x －2y ＋2＝0C. y 2＋4x －4y ＋8＝0D. y 2－2x －y －1＝03. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( )A. 3B. 2C. 6D. 2 34. 已知集合A ＝{(x ，y )|y －3x ≤0}，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋(y －a )2≤1}，若A ∩B ＝B ，则a 的取值范围是( )A. [2，＋∞)B. (－∞，－2]C. [－2,2]D. (－∞，－2]∪[2，＋∞)5. 若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值是( )A. 14B. 12C. 2D. 4 6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围为( )A. [－13,13]B. (－13,13)C. (－13,13]D. [－13,13)7. 若圆C ：x 2＋y 2＋mx －14＝0与直线y ＝－1相切，且其圆心在y 轴的左侧，则m 的值为________．8. 过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的长为________．9. 与直线l ：x ＋y －2＝0和圆A ：x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的、半径最小的圆的标准方程是________．10. 已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程为________．11. 求过点P (4，－1)且与圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0切于点M (1,2)的圆的方程．12. (2011·济南模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA →＋OB →与PQ →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，说明理由．第五节椭圆1. 椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( ) A. 12 B. 32 C. 1 D. 3 2. 椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >4)的离心率的取值范围是( ) A. ⎝⎛⎭⎫0，1516 B. ⎝⎛⎭⎫0，154 C. ⎝⎛⎭⎫1516，1 D. ⎝⎛⎭⎫154，1 3. 椭圆x 212＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( ) A. 7倍 B. 5倍 C. 4倍 D. 3倍4. (2010·烟台模拟)如图，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( )A. －1＋52B. 1－22C. 2－1D. 22 5. (2011·安徽示范高中联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点为P ，且PF 2⊥x 轴，则此椭圆的离心率e 为( )A. 33B. 32C. 22D. 236. (2010·全国Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 相交于A 、B 两点，若AF →＝3FB →，则k ＝( )A. 1B. 2C. 3D. 27. 已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．8. 直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．9. 如图，Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝1，以点C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB 边上，且这个椭圆过A 、B 两点，则这个椭圆的焦距长为________．10. 我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c2＝1(x <0)合成的曲线称作“果圆”(其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0)．如图，设点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点，A 1，A 2和B 1，B 2是“果圆”与x ，y 轴的交点，若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为________．11. (2011·山东省兖州高三第一次模拟考试)已知一直线l 与椭圆x 28＋y 24＝1相交于A 、B 两点，且弦AB 的中点为P (2,1)．(1)求直线l 的方程；(2)求|AB |的长．12. (2010·陕西) 如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的顶点为A 1，A 2，B 1，B 2，焦点为F 1，F 2，|A 1B 1|＝7，S ▱B 1A 1B 2A 2＝2S ▱B 1F 1B 2F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设n 为过原点的直线，l 是与n 垂直相交于P 点，与椭圆相交于A ，B 两点的直线，|OP →|＝1.是否存在上述直线使OA →·OB →＝0成立，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．第六节双曲线1. (2011·皖南八校高三摸底联考)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，F 为右焦点，A 为左顶点，点B (0，b )且AB ⊥BF ，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 3＋12 D. 5＋122. 过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( )A. 28B. 14－82C. 14＋8 2D. 8 23. 已知双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫－33，33 B. ()－3，3 C. ⎣⎡⎦⎤－33，33 D. []－3，3 4. (2010·全国Ⅰ)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则P 到x 轴的距离为( )A. 32B. 62C. 3D. 6 5. (2010·浙江)设F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A. 3x ±4y ＝0B. 3x ±5y ＝0C. 4x ±3y ＝0D. 5x ±4y ＝0 6. (2010·福建)若点O 和点F (－2,0)分别是双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A. [3－23，＋∞)B. [3＋23，＋∞)C. ⎣⎡⎭⎫－74，＋∞D. ⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 7. 已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值是________．8. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程为y ＝±33x .若右顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为________．9. 设F 1和F 2为双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是________．10. 双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线． (1)求双曲线C 的方程；(2)过点P (0,4)的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，交x 轴于Q 点(点Q 与C 的顶点不重合)．当PQ →＝λ1QA →＝λ2QB →，且λ1＋λ2＝－83时，求直线l 的方程． 11. 已知曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，直线l 过A (a,0)、B (0，－b )两点，原点O 到l 的距离是32. (1)求双曲线的方程；(2)过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若OM →·ON →＝－23，求直线m 的方程．12. 已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切，过点P (－4,0)作斜率为14的直线l ，使得l 和G 交于A ，B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P 在线段AB 上，又满足|P A |·|PB |＝|PC |2.(1)求双曲线G 的渐近线的方程；(2)求双曲线G 的方程．第七节抛物线1. 设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y ＝4ax 2的焦点坐标为( )A. (a,0)B. (0，a )C. ⎝⎛⎭⎫0，116a D. 随a 的符号而定 2. (2010·四川)抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( )A. 1B. 2C. 4D. 83. 设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A. y 2＝4xB. y 2＝8xC. y 2＝±4xD. y 2＝±8x4. (2010·陕西)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A. 12B. 1C. 2D. 4 5. (2010·辽宁)设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A. 4 3B. 8C. 8 3D. 166. (2010·山东淄博模拟)设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为( )A. (2,2±2)B. (1，±2)C. (1,2)D. (2,22)7. 过定点P (－2,2)作直线l ，使l 与曲线y 2＝4x 有且仅有一个公共点，这样的直线l 共有________条．8. 某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，则其中最长的支柱的长为________．9. (2009·福建)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.10. (2009·宁夏、海南)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点．若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为________．11. 已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．12. 如图，以原点O 为顶点，以y 轴为对称轴的抛物线E 的焦点为F (0,1)，点M 是直线l ：y ＝m (m <0)上任意一点，过点M 引抛物线E 的两条切线分别交x 轴于点S ，T ，切点分别为B ，A .(1)求抛物线E 的方程；(2)求证：点S ，T 在以FM 为直径的圆上；(3)当点M 在直线l 上移动时，直线AB 恒过焦点F ，求m 的值．第八节直线与圆锥曲线的位置关系1. 已知抛物线x 2＝ay 的焦点恰好为双曲线y 2－x 2＝2的上焦点，则a 的值为( )A. 1B. 4C. 8D. 162. 若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为( ) A. y ＝±12x B. y ＝±2x C. y ＝±4x D. y ＝±14x 3. 设P 是椭圆x 29＋y 25＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋2)2＋y 2＝1和(x －2)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( )A. 4,8B. 2,6C. 6,8D. 8,124. 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 引它的一条渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 交y 轴于E ，若FM ＝2ME ，则该双曲线的离心率为( )A. 3B. 2C. 3D. 25. 已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于P ，则使得PF 1→·PF 2→<0的M 点的概率为( )A. 23B. 263C. 63D. 12 6. 若双曲线x 2m －y 23＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则m ＝________. 7. 已知双曲线y 29－x 2m2＝1(m >0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为1，则m ＝________. 8. 已知点P 是以F 1，F 2为左、右焦点的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左支上一点，且满足PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 2F 1＝23，则此双曲线的离心率为________． 9. 已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线交该抛物线于A ，B 两点，若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点与点F 重合，右顶点与A ，B 构成等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率为________．10. 如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过动点M (a,0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ，且|AB |≤2p .(1)求a 的取值范围；(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值．11. (2011·福建四校统考)过椭圆x 216＋y 24＝1内一点M (1,1)的弦AB . (1)若点M 恰为弦AB 的中点，求直线AB 的方程；(2)求过点M 的弦的轨迹方程．12. 如图，抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，C 1与C 2在第一象限的交点为P ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求抛物线C 1及椭圆C 2的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋t (k ≠0，t >0)与椭圆C 2交于不同两点A ，B ，点M 满足AM →＋BM →＝0，直线FM 的斜率为k 1，试证明k ·k 1>－14.第九节曲线与方程1. (2011·珠海模拟)方程(x ＋y －1)x 2＋y 2－4＝0表示的曲线是( )A. 一直线与一圆B. 一直线与一半圆C. 两射线与一圆D. 两射线与一半圆2. (2010·山东实验中学模拟)已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝0，则点P 的轨迹方程为( )A. x 216＋y 2＝1 B. x 2＋y 2＝4 C. y 2－x 2＝8 D. x 2＋y 2＝83. 设P (a ，b )是单位圆上的点，则Q (a ＋b ，ab )的轨迹方程是( )A. (a ＋b )2＋a 2b 2＝1B. x 2＝2y ＋1C. a 2＋b 2＝1D. x 2＝2y －14. (2010·广东湛江质检)已知△ABC 中，A 、B 的坐标分别为(0,2)和(0，－2)，若三角形的周长为10，则顶点C 的轨迹方程是( )A. x 29＋y 25＝1(y ≠0)B. x 25＋y 29＝1(x ≠0) C. x 236＋y 220＝1(y ≠0) D. x 232＋y 236＝1(x ≠0)5. (2010·广州模拟)已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，则点P 的轨迹方程为( )A. y ＝－2xB. y ＝2xC. y ＝2x －8D. y ＝2x ＋4 6. (2010·湖北)若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( ) A. [－1,1＋22] B. [1－22，1＋22] C. [1－22，3] D. [1－2，3]7. 设P 为双曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是________．8. 长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，动点C (x ，y )满足AC →＝2CB →，则动点C 的轨迹方程是________．9. 若动圆P 过点N (－2,0)且与另一圆M ：(x －2)2＋y 2＝8相外切，则动圆P 的圆心P 的轨迹方程是____________．10. 设Q 是圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝16上的动点，另有A (1,0)，线段AQ 的垂直平分线交直线CQ 于点P ，当点Q 在圆上运动时，点P 的轨迹方程是________．11. (2010·湖北)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．12. (2010·四川)已知定点A (－1,0)，F (2,0)，定直线l ：x ＝12，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交l 于点M ，N . (1)求E 的方程；(2)试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由．参考答案第八单元平面解析几何第一节直线与方程1. 解析：直线x ＝2垂直于x 轴，∴α＝π2.答案：C2. 解析： 4－4m m ＋2＝1，得m ＝25.答案：B3. 解析：由题意知M (2,0)，设已知直线和所求直线的倾斜角分别为α，β，则β＝α＋45°且tan α＝2,45°<α<90°，tan β＝tan(α＋45°)＝tan α＋tan 45°1－tan αtan 45°＝－3，所以所求直线方程为y －0＝－3(x －2)，即3x ＋y －6＝0. 答案：A4. 解析：由已知得－1－1a －2－(－a －2)＝32，∴a ＝－23.答案：B5. 解析：令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k 3，则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24.答案：D6. 解析：易得A (－2，－1)，故2m ＋n ＝1.又∵mn >0，∴m ，n 同正，∴1m ＋2n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝4＋n m ＋4m n ≥4＋2n m ×4m n ＝8，当且仅当n m ＝4m n ，即2m ＝n ＝12时，等号成立．答案：87. 解析：∵k ＝2sin α，α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，∴k ∈[1，3]，即tan θ∈[1，3]，∴θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3.答案：⎣⎡⎦⎤π4，π38. 解析：由－1≤k ≤3，即得－1≤tan α≤3，∴α∈⎣⎡⎦⎤0，π3∪⎣⎡⎭⎫34π，π. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π3∪⎣⎡⎭⎫34π，π 9. 解析：设k ＝y x ，则yx表示线段AB ：3x －2y －5＝0(1≤x ≤3)上的点与原点连线的斜率，其中A (1，－1)，B (3,2)．由图易知：⎝⎛⎭⎫y x max ＝k OB＝23，⎝⎛⎭⎫y x min ＝k OA＝－1. 答案：23，－110. 解析：设所求直线的方程为x a ＋yb ＝1.∵A (－2,2)在直线上，故有－2a ＋2b＝1，①又直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a |×|b |＝1.② 由①，②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程．11. 解析：(1)设直线l 的倾斜角为α，则sin α＝35，tan α＝±34，由斜截式得y ＝±34x ＋2，即3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0.(2)设直线l 和l 1的倾斜角分别为α、β，则α＝β2，又tan β＝－34，则－34＝2tan α1－tan 2α，解得tan α＝3，或tan α＝－13(舍去)．由点斜式得y －1＝3(x －2)，即3x －y －5＝0.(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －3＝0，2x －3y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－4，即两条直线的交点坐标为(－5，－4)．又过A (2,1)，∴k ＝1＋42＋5＝57，故直线方程为l ：y －1＝57(x －2)，化简得：5x －7y －3＝0.12. 解析：方法一：设A (a,0)，B (0，b )(a >3，b >2)，则直线l 的方程为x a ＋yb＝1，∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b ＝1，b ＝2aa －3，从而S △ABO ＝12ab ＝12a ·2a a －3＝a 2a －3，故有S △ABO ＝(a －3)2＋6(a －3)＋9a －3＝(a －3)＋9a －3＋6≥2(a －3)·9a －3＋6＝12，当且仅当a －3＝9a －3，即a ＝6时，(S △ABO )min ＝12，此时b ＝2×66－3＝4，故直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.方法二：依题意知，直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，则有A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， ∴S (k )＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋(－9k )＋4(－k ) ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2(－9k )·4(－k ) ＝12(12＋12)＝12，当且仅当－9k ＝4－k，即k ＝－23时，等号成立，故直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.第二节直线的位置关系1. 解析：a ＝1时，直线x ＋y ＝0和直线x －y ＝0显然互相垂直，反过来，若两直线互相垂直，则1－a ＝0，即a ＝1，故选C. 答案：C2. 解析：若m ＝0或m ＝－1时，易知两直线不平行；若m ≠0且m ≠－1时，则有1m ＝1＋m2≠m －26⇒m ＝1或－2.答案：A3. 解析：因为直线x m ＋yn＝1可化为nx ＋my －mn ＝0，则由点到直线的距离公式，得d ＝|(m －n )n ＋(－m )m －mn |m 2＋n2＝m 2＋n 2. 答案：A4. 解析：因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－k －2，于是直线方程可化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．答案：A5. 解析：∵直线l 1与l 2关于y ＝x 对称，∴直线l 2的方程为x ＝2y ＋3，即y ＝12x －32，∴kl 2＝12.又l 3⊥l 2，∴kl 3＝－1kl 2＝－2.答案：C6. 解析：由已知整理，得m (x －2y －3)＋(2x ＋y ＋12)＝0，由于直线恒过定点，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －3＝0，2x ＋y ＋12＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－215，y ＝－185，即恒过定点⎝⎛⎭⎫－215，－185. 答案：⎝⎛⎭⎫－215，－185 7. 解析：由题意知，a (a －1)－2×3＝0得a ＝－2或a ＝3，当a ＝－2时，两直线重合，舍去，∴a ＝3. 答案：38. 解析：数形结合知所求点即为过P 点垂直于已知直线的交点，可得P ′(5，－3)．答案：(5，－3)9. 解析：∵两直线垂直，∴b 2＋1－ab 2＝0，∴a ＝b 2＋1b 2，∴ab ＝b 2＋1b ＝b ＋1b(b >0)，∴ab ≥2，当且仅当b ＝1时取等号．答案：210. 解析：如图，要使y ＝a |x |的图像与直线y ＝x ＋a (a >0)有两个不同的交点，则a >1. 答案：(1，＋∞)11. 解析：由已知直线l 1：k (x －2)－2(y －4)＝0，l 2：2(x －2)＋k 2(y －4)＝0，均过点(2,4)且kl 1>0，kl 2<0，图像如下图：S ＝S 四边形ODBC ＋S △ABD ＝12(4－k ＋4)×2＋12×2k 2×4 ＝4k 2－k ＋8(0<k <4)．∴S 是关于k 的二次函数，∴当k ＝18时，S 取到最小值．12. 解析：设l 与l 1的交点为A (a ，b )， l 与l 2的交点为B ，如图：则A 、B 关于M 对称，得B (－a,2－b )，由A ∈l 1，B ∈l 2得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a －3b ＋10＝0，－2a ＋2－b －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝2， ∴A (－4,2)，l 过M (0,1)，A (－4,2)，∴k ＝－14，∴y －1＝－14x ，化简得直线l 方程为x ＋4y －4＝0.第三节圆的方程1. 解析：圆与其关于点对称的圆半径相等，故所求圆r ＝5，不同之处在于圆心(－2,0)关于(0,0)对称点为(2,0)．答案：A2. 解析：由点与圆的位置关系的充要条件得02＋02＋a ·0＋a ·0＋2a 2＋a －1>0，得a >12或a <－1.答案：C3. 解析：直线方程可化为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0，易得直线恒过定点(－1,2)．故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0. 答案：C4. 解析：方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0转化为⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝－34a 2－a ＋1，所以若方程表示圆，则有－34a 2－a ＋1＞0，即3a 2＋4a －4＜0⇒－2＜a ＜23.答案：D5. 解析：由于圆经过点F 、P 且与直线y ＝－1相切，所以圆心到点F 、P 与到直线y ＝－1的距离相等，由抛物线的定义知圆心在以点(0,1)为焦点的抛物线x 2＝4y 上，圆与直线x －y ＋2＝0的交点为点P .显然，圆心为抛物线的顶点时，半径最小为1，且与直线x －y ＋2＝0相切于P 点，此时圆面积最小为π，故选B. 答案：B6. 解析：由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AB 的中点到原点的距离总等于1，所以轨迹为圆．答案：C7. 解析：设圆心坐标为(a ，－a )，因为两条直线x －y ＝0与x －y －4＝0平行，故它们之间的距离就等于直径，所以2r ＝42＝22，且r ＝|2a －4|2＝2，解得a ＝1或a ＝3(舍去)，故圆心为(1，－1)，圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝28. 解析：由条件知，圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a2在l ：x －y ＋2＝0上，代入求得a ＝－2. 答案：－29. 解析：因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆，于是解方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，得交点 A ⎝⎛⎭⎫－115，25，B (－3,2)．因为AB 为直径，其中点为圆心，即为⎝⎛⎭⎫－135，65，r ＝12|AB |＝255. 所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋1352＋⎝⎛⎭⎫y －652＝45. 答案：⎝⎛⎭⎫x ＋1352＋⎝⎛⎭⎫y －652＝4510. 解析：由点P (2,1)在圆上得2a ＋b ＝－3，由点P 关于直线x ＋y －1＝0的对称点也在圆C上知直线过圆心，即⎝⎛⎭⎫－a2，1在直线x ＋y －1＝0上，所以 a ＝0，b ＝－3，圆心坐标为(0,1)，半径r ＝2. 答案：(0,1)11. 解析：设动点P (x ，y )，由题意可知P 是△ABD 的重心，故连接AD .由A (－1,0)，B (1,0)，令动点C (x 0，y 0)，则D (2x 0－1,2y 0)，由重心坐标公式：⎩⎨⎧x ＝－1＋1＋(2x 0－1)3，y ＝2y 03，则⎩⎨⎧x 0＝3x ＋12，y 0＝3y2(y 0≠0)，代入x 2＋y 2＝1，整理得所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)． 12. 解析：依题意，可设动圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝25，其中圆心(a ，b )满足a －b ＋10＝0.又∵动圆过点(－5,0)，故(－5－a )2＋(0－b )2＝25.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋10＝0，(－5－a )2＋(0－b )2＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－10b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝5，故所求的圆C 方程为(x ＋10)2＋y 2＝25或(x ＋5)2＋(y －5)2＝25.第四节直线与圆、圆与圆的位置关系1. 解析：圆心的坐标为(3,2)，且圆与x 轴相切．圆心(3,2)到直线的距离d ＝|3k ＋1|k 2＋1，则|MN |＝24－⎝ ⎛⎭⎪⎫|3k ＋1|k 2＋12＝2－5k 2－6k ＋3k 2＋1≥23，解得－34≤k ≤0. 2. 解析：两圆的圆心⎝⎛⎭⎫12a ，－1与(0,0)的中点⎝⎛⎭⎫14a ，－12在直线y ＝x －1上，即－12＝14a －1，故a ＝2，设圆心P 的坐标为(x ，y )，由题意知|PC |＝|x |，所以(x ＋2)2＋(y －2)2＝|x |，所以y 2＋4x－4y ＋8＝0. 答案：C3. 解析：直线的方程为y ＝3x ，圆心为(0,2)，半径r ＝2.由点到直线的距离公式得弦心距等于1，从而所求弦长为222－12＝2 3. 答案：D4. 解析：只有当圆心(0，a )到直线y ＝3x 的距离d ≥r ＝1且在y ＝3x 右下方时，才能使A ∩B＝B ，即|a |2≥1，解得a ≥2或a ≤－2，又点(0，a )需在y ＝3x 右下方，所以a ≤－2.答案：B5. 解析：圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4.由直线被圆截得的弦长为4，可知直线一定过圆心，从而有－2a －2b ＋2＝0，即a ＋b ＝1，于是1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥4，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．故1a ＋1b的最小值是4，故选D.答案：D6. 解析：由题意可知，当且仅当圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线12x －5y ＋c ＝0的距离小于1时，圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，此时有d ＝|c |122＋52<1，得c ∈(－13,13)．答案：B7. 解析：圆C ：⎝⎛⎭⎫x ＋m 22＋y 2＝1＋m 24，圆心为⎝⎛⎭⎫－m 2，0. 由条件知－m2<0，即m >0.又因为圆与直线y ＝－1相切，则0－(－1)＝m 2＋14，即m 2＝3，∴m ＝ 3. 答案： 38. 解析：可得圆方程是(x －3)2＋(y －4)2＝5，又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得|PQ |＝4. 答案：49. 解析：∵圆A ：(x －6)2＋(y －6)2＝18，∴A (6,6)，半径r 1＝32，设所求圆的圆心为B .当圆心A 、B 和直线l 上的切点在一条直线上时，半径最小． ∵A 到l 的距离为52， ∴所求圆B 的直径 2r 2＝52－r 1＝22，即r 2＝ 2.∴|OB |＝|OA |－r 2－r 1＝22，由OA →与x 轴正半轴成45°角，∴B (2,2)． ∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2. 答案：(x －2)2＋(y －2)2＝210. 解析：设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝2(a <0)， ∴圆心(a,0)到直线x ＋y ＝0的距离等于2，故由|a ＋0|2＝2，得a ＝－2.答案：(x ＋2)2＋y 2＝211. 解析：设所求圆的圆心为A (m ，n )，半径为r ，则A ，M ，C 三点共线，且有|MA |＝|AP |＝r ，因为圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0的圆心为C (－1，3)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －1＝2－31＋1，(m －1)2＋(n －2)2＝(m －4)2＋(n ＋1)2＝r ，解得m ＝3，n ＝1，r ＝5，所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5.12. 解析：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.① 直线与圆交于两个不同的点A ，B 等价于 Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2) ＝42(－8k 2－6k )>0.解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4，③而P (0,2)，Q (6,0)，PQ →＝(6，－2)．所以OA →＋OB →与PQ →共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34.由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫－34，0，故没有符合题意的常数k .第五节椭圆1. 解析：由题意知，右焦点坐标为(1,0)，则其到直线y ＝3x 的距离为d ＝|3－0|3＋1＝32.答案：B2. 解析：∵e ＝1－1a 2，且a >4，∴154<e <1，故选D.答案：D3. 解析：由题意知，点P 的横坐标为3，把x ＝3代入椭圆方程x 212＋y 23＝1，得y ＝±32，故|PF 2|＝32，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝43，所以|PF 1|＝732，故|PF 1|＝7|PF 2|.答案：A4. 解析：|AB |2＝a 2＋b 2，|BC |2＝b 2＋c 2， |AC |2＝(a ＋c )2.∵∠ABC ＝90°，∴|AC |2＝|AB |2＋|BC |2，即(a ＋c )2＝a 2＋2b 2＋c 2， ∴2ac ＝2b 2，即b 2＝ac .∴a 2－c 2＝ac ，∴a c －ca＝1，即1e －e ＝1.解之得e ＝－1±52，又∵e >0，∴e ＝－1＋52.答案：A5. 解析：由已知得|PF 1|＋|PF 2|＝433c ＝2a ⇒c a ＝32.答案：B6. 解析：A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵AF →＝3FB →，∴y 1＝－3y 2，∵e ＝32，设a ＝2t ，c ＝3t ，b ＝t ，∴C 的方程可化为x 2＋4y 2－4t 2＝0，直线AB 方程为x ＝sy ＋3t .代入消去x ，得(s 2＋4)y 2＋23sty －t 2＝0，∴y 1＋y 2＝－23sts 2＋4，y 1y 2＝－t 2s 2＋4，∴－2y 2＝－23sts 2＋4，－3y 22＝－t 2s 2＋4，解得s 2＝12，∴k ＝ 2.答案：B7. 解析：由题意得2a ＝12，c a ＝32，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3，故椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝18. 解析：由题意知椭圆的焦点在x 轴上，又直线x ＋2y －2＝0与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b ＝1，c ＝2，从而a ＝5，e ＝c a ＝255.答案：255解析：设另一焦点为D ， ∵∠CAB ＝90°，AC ＝AB ＝1，∴BC ＝2，又∵AC ＋AD ＝2a ，AC ＋AB ＋BC ＝4a ，∴a ＝2＋24，∴AD ＝2a －AC ＝2＋22－1＝22，∴在Rt △ACD 中焦距CD ＝62.答案：6210. 解析：由题意知，|OF 0|2＝a 2－b 2， |OF 2|2＝b 2－c 2，又△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧2|OF 2|＝1，|OF 0||OF 2|＝tan 60°⇒⎩⎨⎧b 2－c 2＝14，a 2－b 2b 2－c 2＝3，又a 2＝b 2＋c 2，∴b 2－c 2＝14，且c 2b 2－c2＝3，∴c 2＝34，b 2＝c 2＋14＝1，∴a 2＝b 2＋c 2＝1＋34＝74.∴a ＝72，b ＝1.答案：72，111. 解析：(1)若斜率不存在，则由椭圆的对称性及弦AB 的中点为P (2,1)，知不成立；若斜率存在，设斜率为k 则直线的方程为：y －1＝k (x －2)， ∴y ＝kx ＋1－2k ，代入椭圆方程得：x 2－2(kx ＋1－2k 2)＝8，整理得：(1＋2k 2)x 2＋4k (1－2k )x ＋2(1－2k )2－8＝0，①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k (2k －1)2k 2＋1＝4，解得k ＝－1，即l 的方程为：x ＋y －3＝0. (2)当k ＝－1时，方程①为： 3x 2－12x ＋10＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝103.∴|AB |＝216－4×103＝433.12. 解析：(1)由|A 1B 1|＝7知a 2＋b 2＝7，① 由S ▱A 1B 1A 2B 2＝2S ▱B 1F 1B 2F 2，知a ＝2c ，② 又b 2＝a 2－c 2.③由①②③解得a 2＝4，b 2＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，假设使OA →·OB →＝0成立的直线l 存在，①l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y ＝kx ＋m ，由l 与n 垂直相交于P 点且|OP →|＝1得|m |1＋k 2＝1，即m 2＝k 2＋1. 由OA →·OB →＝0得x 1x 2＋y 1y 2＝0，将y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋(4m 2－12)＝0，由求根公式可得x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，④x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2，⑤0＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝x 1x 2＋k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，将④，⑤代入上式并化简得(1＋k 2)(4m 2－12)－8k 2m 2＋m 2(3＋4k 2)＝0，⑥将m 2＝1＋k 2代入⑥并化简得－5(k 2＋1)＝0，矛盾．故此时直线l 不存在． ②当l 垂直于x 轴时，满足|O P →|＝1的直线l 的方程为x ＝1，x ＝－1，则A ，B 两点的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32，⎝⎛⎭⎫1，－32或⎝⎛⎭⎫－1，32，⎝⎛⎭⎫－1，－32，当x ＝1时，OA →·OB →＝⎝⎛⎭⎫1，32·⎝⎛⎭⎫1，－32＝－54≠0；当x ＝－1时，OA →·OB →＝⎝⎛⎭⎫－1，32·⎝⎛⎭⎫－1，－32＝－54≠0， ∴此时直线l 也不存在，综上可知，使OA →·OB →＝0成立的直线l 不存在．第六节双曲线1. 解析：∵AB ⊥BF ，∴b 2＝ac ，即c 2－a 2＝ac ，故e 2－e －1＝0且e >1，所以e ＝5＋12. 答案：D2. 解析：|PF 2|＋|PQ |＋|QF 2|＝|PF 2|－|PF 1|＋|QF 2|－|QF 1|＋2|PQ | ＝14＋8 2. 答案：C3. 解析：由题意知，F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画图像数形结合可知应选C. 答案：C4. 解析：不妨设动点P 到x 轴的距离为d ，由双曲线的定义得 ||PF 1|－|PF 2||＝2，再由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＋1，即cos 60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＋1，解得|PF 1|·|PF 2|＝4，又S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝12×22·d ，解得d ＝62，故P 到x 轴的距离为62.答案：B5. 解析：如图，∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，且|PF 2|＝|F 1F 2|，∴|PF 1|＝2a ＋2c ，在△F 2DF 1中，利用勾股定理(a ＋c )2＋(2a )2＝(2c )2得5a 2＋2ac －3c 2＝0，得(5a －3c )·(a ＋c )＝0，即5a ＝3c ，令c ＝5t (t ≠0)，则a ＝3t ，b ＝4t ，∴x 232t 2－y242t2＝1，渐近线方程为4x ±3y ＝0. 答案：C6. 解析：因为F (－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1，设点P (x 0，y 0)，则有x 203－y 20＝1(x 0≥3)，解得y 20＝x 203－1(x 0≥3)，因为FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0＝－34，因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)，故选B. 答案：B7. 解析：设右焦点为F 1，依题意，|PF |＝|PF 1|＋4，∴|PF |＋|P A |＝|PF 1|＋4＋|P A |≥|AF 1|＋4＝5＋4＝9. 答案：98. 解析：设右顶点A (a,0)，则1＝|3a |12，∴a ＝2.∵33＝ba ，∴b ＝23 3.∴双曲线方程为x 24－3y 24＝1.答案：x 24－3y24＝19. 解析：在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos 60°，∴|F 1F 2|2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1||PF 2|. 又|F 1F 2|2＝20，||PF 1|－|PF 2||＝4， ∴|PF 1||PF 2|＝4，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝ 3.答案： 310. 解析：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，由题知，椭圆的焦点为(±2,0)，∴双曲线C 的焦点为(±2,0)，c ＝2，又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线， ∴ba＝3，解得a 2＝1，b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为：x 2－y 23＝1.(2)由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：y ＝kx ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则Q ⎝⎛⎭⎫－4k ，0，∵PQ →＝λ1QA →，∴⎝⎛⎭⎫－4k ，－4＝λ1⎝⎛⎭⎫x 1＋4k ，y 1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＝λ1⎝⎛⎭⎫x 1＋4k ，－4＝λ1y 1⇒⎩⎨⎧x 1＝－4kλ1－4k ，y 1＝－4λ1.∵A (x 1，y 1)在双曲线C 上，∴16k 2⎝⎛⎭⎫1＋λ1λ12－163λ21－1＝0，(48－3k 2)λ21＋96λ1＋48－16k 2＝0，同理有：(48－3k 2)λ22＋96λ2＋48－16k 2＝0，若48－3k 2＝0，则直线l 过顶点，不合题意，所以48－3k 2≠0，∴λ1，λ2是二次方程(48－3k 2)x 2＋96x ＋48－16k 2＝0的两根，∴λ1＋λ2＝963k 2－48＝－83，∴k ＝±2，经检验当k ＝±2时，Δ＞0，直线l 的方程为y ＝2x ＋4或y ＝－2x ＋4.11. 解析：(1)依题意：l 方程为x a ＋y －b ＝1，即bx －ay －ab ＝0，由原点O 到l 的距离为32，得ab a 2＋b 2＝ab c＝32，又e ＝c a ＝233，∴b ＝1，a ＝3，故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.(2)显然直线m 不与x 轴垂直，设m 方程为y ＝kx －1，则点M 、N 坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 23－y 2＝1的解．消去y ，得(1－3k 2)x 2＋6kx －6＝0.①由已知得1－3k 2≠0，由根与系数关系，知x 1＋x 2＝6k 3k 2－1，x 1x 2＝63k 2－1，OM →·ON →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－1)(kx 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2－k (x 1＋x 2)＋1 ＝6(1＋k 2)3k 2－1－6k 23k 2－1＋1＝63k 2－1＋1. ∵OM →·ON →＝－23，∴63k 2－1＋1＝－23，∴k ＝±12，当k ＝±12时，方程①有两个不等的实数根，故直线l 方程为y ＝12x －1或y ＝－12x －1.12. 解析：设双曲线G 的渐近线的方程为：y ＝kx ，则由渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切可得：|5k |k 2＋1＝5，所以k ＝±12.双曲线G 的渐近线的方程为：y ＝±12x .(2)由(1)可设双曲线G 的方程为：x 2－4y 2＝m ，把直线l 的方程y ＝14(x ＋4)代入双曲线方程，整理得3x 2－8x －16－4m ＝0.则x A ＋x B ＝83，x A x B ＝－16＋4m 3.(*)∵|P A |·|PB |＝|PC |2，P ，A ，B ，C 共线且P 在线段AB 上， ∴(x P －x A )(x B －x P )＝(x P －x C )2，即：(x B ＋4)(－4－x A )＝16，整理得：4(x A ＋x B )＋x A x B ＋32＝0，将(*)代入上式可解得：m ＝28，此时Δ＞0.所以，双曲线G 的方程为x 228－y 27＝1.第七节抛物线1. 解析：抛物线标准方程为x 2＝14a y ，当a >0时，p ＝18a，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116a ；当a <0时，p ＝－18a，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116a . 答案：C2. 解析：由y 2＝2px ＝8x 知p ＝4，故焦点到准线的距离就是p . 答案：C3. 解析：焦点为F ⎝⎛⎭⎫a 4，0，l ：y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0得y A ＝－a 2， S △OAF ＝12⎪⎪⎪⎪a 2·⎪⎪⎪⎪a 4＝a216＝4，∴a ＝±8，∴y 2＝±8x . 答案：D4. 解析：抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p2，因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，所以3＋p2＝4，p ＝2.答案：C 5. 解析：抛物线的焦点F (2,0)，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，所以点A (－2，43)、P (6,43)，从而|PF |＝6＋2＝8. 答案：B6. 解析：由题意知，F (1,0)，设A (x 0，y 0)，OA →·AF →＝(x 0，y 0)·(1－x 0，－y 0)＝－x 20＋x 0－y 20＝－4⇒x 20＋y 20－x 0－4＝0.①又因为点A 在抛物线上，所以y 20＝4x 0.② 由①、②方程联立，可得A (1，±2)．答案：B7. 解析：画图可知，一条与对称轴平行，两条与抛物线相切，共3条．答案：38. 解析：以拱顶为原点，水平线为x 轴，建立坐标系，如图，由题意知，|AB |＝20，|OM |＝4，A 、B 坐标分别为(－10，－4)、(10，－4)，设抛物线方程为x 2＝－2py ，将A 点坐标代入，得100＝－2p ×(－4)，解得p ＝12.5，于是抛物线方程为x 2＝－25y .。

新教材高中数学第8章立体几何初步8 5 3平面与平面平行学案含解析新人教A版必修第二册

8.5.3 平面与平面平行学习任务核心素养1．掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题．(重点)2．平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．(难点)1．通过平面与平面平行的判定定理和性质定理的学习，培养直观想象的核心素养．2．借助平行关系的综合问题，提升逻辑推理的核心素养．上海世界博览会的中国国家馆被永久保留．中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉．问题：(1)展馆的每两层所在的平面平行，那么上层面上任一直线状物体与下层地面有何位置关系？(2)上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是什么位置关系？知识点1平面与平面平行的判定定理文字语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行图形语言符号语言a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α作用证明两个平面平行1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)如果一条直线和一个平面内的另一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．()(2)如果一个平面内有两条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行．()(3)直线a∥平面β，直线b∥平面β，a⊂平面α，b⊂平面α⇒平面α∥平面β．()〖答案〗(1)×(2)×(3)×2．在长方体ABCD-A′B′C′D′中，下列结论正确的是()A．平面ABCD∥平面ABB′A′B．平面ABCD∥平面ADD′A′C．平面ABCD∥平面CDD′C′D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′D〖在长方体ABCD-A′B′C′D′中，上底面ABCD与下底面A′B′C′D′平行．〗知识点2平面与平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行图形语言符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b作用证明两条直线平行3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)平面α∥平面β，平面α∩平面γ＝直线a，平面β∩平面γ＝直线b⇒直线a∥直线b．()(2)平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β⇒a∥b．()〖答案〗(1)√(2)×4．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是() A．平行B．相交C．异面D．平行或异面A〖因为圆台的上、下底面互相平行，所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n．〗5．已知长方体ABCD-A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定A〖由面面平行的性质定理易得．〗类型1平面与平面平行的判定〖例1〗(对接教材P140例4)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．求证：(1)E，F，B，D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB．〖解〗(1)连接B1D1，∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，∴EF∥B1D1．而BD∥B1D1，∴BD∥EF．∴E，F，B，D四点共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD．又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB．∴MN∥平面EFDB．连接MF．∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1．∴MF∥AD且MF＝AD．∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF．又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，∴AM∥平面BDFE．又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB．平面与平面平行的判定方法(1)定义法：两个平面没有公共点．(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β．(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ．[跟进训练]1．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在P A，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．〖证明〗∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP．又∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC．∵四边形ABCD为平行四边形．∴BC∥AD，∴MQ∥BC．又∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC．又∵MQ∩NQ＝Q，MQ⊂平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴平面MNQ∥平面PBC．类型2平面与平面平行的性质〖例2〗如图，已知平面α∥平面β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且P A＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．平面与平面平行性质定理的条件有哪些？〖提示〗必须具备三个条件：①平面α和平面β平行，即α∥β； ②平面γ和α相交，即α∩γ＝a ；③平面γ和β相交，即β∩γ＝b .,以上三个条件缺一不可.〖解〗因为AC ∩BD ＝P ，所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD ，因为α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ，所以AB ∥CD ，所以P A AC ＝PB BD ，即69＝8－BD BD ，所以BD ＝245．将本例改为：若点P 在平面α，β之间(如图所示)，其他条件不变，试求BD 的长．〖解〗与本例同理，可证AB ∥CD ．所以P A PC ＝PB PD ，即63＝BD －88，所以BD ＝24．应用平面与平面平行性质定理的基本步骤[跟进训练]2．已知三个平面α，β，γ满足α∥β∥γ，直线a 与这三个平面依次交于点A ，B ，C ，直线b 与这三个平面依次交于点E ，F ，G ．求证：AB BC ＝EF FG．〖证明〗连接AG 交β于H ，连接BH ，FH ，AE ，CG ．因为β∥γ，平面ACG ∩β＝BH ，平面ACG ∩γ＝CG ，所以BH ∥CG ．同理AE ∥HF ，所以AB BC ＝AH HG ＝EF FG ，所以AB BC ＝EF FG．类型3 平行关系的综合应用〖例3〗如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ．求证：GH ∥平面P AD ．〖证明〗如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO ．∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点，又M是PC的中点，∴P A∥MO，而AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴P A∥平面BMD，又∵P A⊂平面P AHG，平面P AHG∩平面BMD＝GH，∴P A∥GH．又P A⊂平面P AD，GH⊄平面P AD，∴GH∥平面P AD．1．证明直线与直线平行的方法(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质等．(2)基本事实4．(3)线面平行的性质定理．(4)面面平行的性质定理．2．证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的判定定理．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．[跟进训练]3．如图，三棱锥A-BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．求证：CD∥平面EFGH．〖证明〗由于四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH．∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD．又∵EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD．又∵EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH．1．在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1E与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1GA〖根据面面平行的判定定理，可知A正确．〗2．(多选题)设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在一个平面γ，满足α∥γ，β∥γD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αCD〖对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交．若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项C，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故选项C的内容是α∥β的一个充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选CD．〗3．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线D〖由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确．〗4．用一个平面去截三棱柱ABC-A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于点E，F，G，H．若A1A>A1C1，则截面的形状可以为________．(填序号)①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形．②⑤〖当FG∥B1B时，四边形EFGH为矩形；当FG不与B1B平行时，四边形EFGH 为梯形．〗回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)平面与平面平行的判定定理是什么？还有哪些方法可以判断平面与平面平行？(2)平面与平面平行的性质定理是什么？平面与平面平行的性质还有哪些？(3)如何实现线线平行、线面平行及面面平行的转化？。

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高考数学第二轮复习第八章平面解析几何易错
易混点学案
1、利用两点式计算斜率时易忽视x1＝x2时斜率k不存在的情况、
2、用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误、
3、直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式、
4、由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视判断B是否为0，当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－、第二节两直线的位置关系
1、在判断两直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑、
2、运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错、第三节圆的方程对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一成立条件、第四节直线与圆、圆与圆的位置关系
1、对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在情形、
2、两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形、第五节椭圆
1、椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2|这一条件，当2a＝
|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a＜|F1F2|不存在轨迹、2、求椭
圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为＋＝1(a ＞b＞0)、3、注意椭圆的范围，在设椭圆＋＝1(a＞b＞0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因、第六节双曲线
1、双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件、若2a＝
|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞|F1F2|则轨迹不存在、2、双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同、若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，)；若a＝b＞0，则双曲线的离心率e ＝；若0＜a＜b，则双曲线的离心率e＞、3、注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a、b、c关系，在椭圆中a2＝b2＋
c2，而在双曲线中c2＝a2＋b
2、4、易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系、当焦点在x轴上，渐近线斜率为，当焦点在y轴上，渐近线斜率为、第七节抛物线
1、抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线、
2、抛物线标准方程中参数p易忽视只有p＞0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义、第八节圆锥曲线的综合问题
1、直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点、
2、直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点、。