中考数学一轮复习第15讲 二次函数的应用及综合问题(讲练案)(解析版)

第三单元函数与平面直角坐标系

第15讲二次函数的应用及综合问题

知识点名师点晴

二次函数的实际应用1．常见题型

1>抛物线形类

2>商品销售类

3>几何类

2．应用二次函数解决实际问题的步骤

1>找问题中的变量和常量以及他们之间的函数关系式

2>列函数表达式表示他们之间的关系

3>应用二次函数的图象及性质解决问题

4>检验结果的合理性

二次函数在提二次函数在实际问题

中的应用通常是在一定的取值范围

内，一定要注意是否包含顶点坐标，

如果顶点坐标不在取值范围内，应

按照对称轴一侧的增减性探讨问题

结论。

一次

函数

与二

次函

数的

综合

运用

一次函数作为实际问题的基础，在此可以延伸已知条件，

得到与一次函数自变量相关的二次函数，随后运用二次函

数的性质去解决问题。

（1

）解决含多个变量的问题时，先

注意分析这些变量之间的关系，然

后从中选取一个取值能影响其他变

量的值的变量作为自变量，再根据

问题的条件寻求可以反映实际问题

的函数，以此作为解决实际问题的

数学模型。

（2）选择最住方案实际上是在比较

的基础上完成的，在没有学习函教

之前，一般是将全部方案一一列举

出来，然后根据题意选择一个最住

方案；学习函数之后，我们可以利

用函教的性质，直接求出最住方案。

1．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）

A．y=﹣2x2B．y=2x2 C．y=﹣

1

2

x2D．y=

1

2

x2

【答案】C

【解析】

由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为y=ax2，a≠0；那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．则﹣2=4a，解得a=-

1

2

，那么y=﹣

1

2

x2．

故选：C．

2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），某抛物线的顶点坐标为D（﹣

1，1）且经过点B，连接AB，直线AB与此抛物线的另一个交点为C，则S△BCD：S△ABO=（）

A．8：1 B．6：1 C．5：1 D．4：1

【答案】B

【解析】

设直线AB的解析式为y=kx+b，二次函数的解析式为y=a（x+1）2+1，将点A（1，0）、B（0，2）代入y=kx+b

中得：

2

k b

b

+=

⎧

⎨

=

⎩

，解得：

2

2

k

b

=-

⎧

⎨

=

⎩

，

∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2；

将点B（0，2）代入到y=a（x+1）2+1中得：2=a+1，解得：a=1，

∴二次函数的解析式为y=（x+1）2+1=x2+2x+2．将y=﹣2x+2代入y=x2+2x+2中得：

﹣2x+2=x2+2x+2，整理得：x2+4x=0，解得：x1=﹣4，x2=0，∴点C的坐标为（﹣4，10）．∵点C（﹣4，10），点B（0，2），点A（1，0），∴55∴BC=4AB．∵直线AB解析式为y=﹣2x+2可变形为2x+y﹣2=0，∴|﹣2+1﹣2|=3，|﹣2|=2．

∴S△BCD：S△ABO=4×3：2=12：2=6：1．

3．小明跳起投篮，球出手时离地面20

9

m，球出手后在空中沿抛物线路径运动，并在距出手点水平距离4m

处达到最高4m．已知篮筐中心距地面3m，与球出手时的水平距离为8m，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求此抛物线对应的函数关系式；

（2）此次投篮，球能否直接命中篮筐中心？若能，请说明理由；若不能，在出手的角度和力度都不变的情况下，球出手时距离地面多少米可使球直接命中篮筐中心？

【答案】（1）y=()2

1449

x --+；(2）不能正中篮筐中心；3米. 【解析】

（1）设抛物线为y=()2

44a x -+，

将（0，

209）代入，得()2

044a -+=209， 解得a=1

9

-，

∴所求的解析式为y=()2

1449x --+；

（2）令x=8，得y=()2

18449--+=209

≠3，

∴抛物线不过点（8，3）， 故不能正中篮筐中心； ∵抛物线过点（8，

209

）， ∴要使抛物线过点（8，3），可将其向上平移79个单位长度，故小明需向上多跳7

9

m 再投篮（即球出手时距离地面3米）方可使球正中篮筐中心．

4．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x 元，每星期的销售量为y 件．

（1）求y 与x 之间的函数关系式；

（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？ 【答案】(1)y=﹣30x+2100；(2) 每件售价定为55元时，最大利润6750元． 【解析】

（1）根据题意可得： y=300+30（60﹣x ） =﹣30x+2100；