三角单元辛普森积分
辛普森公式 龙贝格算法
辛普森公式龙贝格算法辛普森公式与龙贝格算法 辛普森公式和龙贝格算法是数值计算中常用的数值积分方法。
它们可以用于计算函数的定积分，通过将复杂的定积分问题转化为更简单的求和问题来求解。
下面将介绍辛普森公式和龙贝格算法的原理和应用。
辛普森公式是一种通过将函数划分为多个小区间，并在每个区间内使用二次多项式逼近函数曲线的方法来求解定积分。
该公式的基本思想是将函数曲线近似看作是由一系列抛物线段组成的，然后通过对这些抛物线段的面积进行求和来获取整个函数曲线下的面积。
辛普森公式的推导基于牛顿-科特斯公式，通过将区间划分为偶数个小区间，并在每个小区间内使用二次多项式逼近函数曲线来计算定积分。
这种方法可以大大提高计算的精确性，尤其在对曲线进行高精度逼近时特别有效。
龙贝格算法是一种迭代方法，通过逐步细化区间格点来逼近定积分的方法。
它的基本思想是将区间进行二等分，然后通过递归地对子区间进行步长缩放和函数值计算，以获得更加精确的数值积分结果。
龙贝格算法的核心是通过不断加密区间格点和调整步长来逐渐提高计算精度，直到满足预设的误差要求。
这种方法在计算复杂函数的定积分时非常有用，它能够自适应地调整计算步长，并在迭代过程中逐渐收敛到期望的结果。
辛普森公式和龙贝格算法在数值计算中广泛应用于求解定积分问题。
它们适用于各种类型的函数，包括连续函数、平滑函数和非平滑函数。
通过适当选择区间划分和迭代次数，可以有效地控制计算误差，并获得满足要求的数值积分结果。
这种方法相对于传统的数值积分方法具有更高的精确性和可靠性，能够满足各种实际应用的计算需求。
总之，辛普森公式和龙贝格算法是数值计算中常用的数值积分方法。
它们通过将复杂的定积分问题转化为更简单的求和问题，并利用适当的逼近和迭代方法来提高计算精度。
这些方法在实际应用中具有很高的灵活性和可靠性，可以应对各种类型的函数和积分问题。
通过合理应用辛普森公式和龙贝格算法，我们能够更准确、更快速地求解定积分，为科学研究和工程计算提供有力的支持。
高数积分公式大全
高数积分公式大全高等数学中的积分公式是解决多种数学问题的重要工具。
积分是微积分的核心概念之一，是对函数进行求和的过程。
下面将介绍一些常见的积分公式。
一、基本积分公式1. 幂函数积分：$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$，其中$n$为常数，$C$为常数项。
2. 正弦函数积分：$\int \sin x dx=-\cos x+C$。
3. 余弦函数积分：$\int \cos x dx=\sin x+C$。
4. 指数函数积分：$\int e^x dx=e^x+C$。
5. 对数函数积分：$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$。
6. 反正切函数积分：$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$。
7. 反正弦函数积分：$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$。
8. 反余弦函数积分：$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arccos x+C$。
二、常用积分公式1. 分部积分法：$\int u dv=uv-\int v du$，其中$u$和$v$是可导函数。
2. 三角函数积分：- $\int \sin^2 x dx=\frac{1}{2}(x-\sin x \cos x)+C$。
- $\int \cos^2 x dx=\frac{1}{2}(x+\sin x \cos x)+C$。
- $\int \sin^3 x dx=-\frac{1}{3}\cos^3 x+C$。
- $\int \cos^3 x dx=\frac{1}{3}\sin^3 x+C$。
3. 积化和差公式：$\int \sin(a+b)x dx=-\frac{\cos(a+b)x}{a+b}+C$。
$\int \cos(a+b)x dx=\frac{\sin(a+b)x}{a+b}+C$。
4. 积化导法：$\intf(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$，其中$F$为$f$的一个原函数。
辛普森(simpson)公式
辛普森(Simpson)公式是用于数值积分的重要方法之一，它可以更精确地计算定积分的值。
由于其高精度和易于理解的特点，辛普森公式被广泛运用于科学计算和工程领域。
本文将对辛普森公式的原理、推导过程以及应用进行详细介绍。
一、辛普森公式的原理辛普森公式是利用多项式的插值思想来逼近定积分的值。
其基本原理是将被积函数在每个小区间上用二次多项式来逼近，然后对所有区间上的二次多项式进行积分，最终得到整个函数的积分值。
辛普森公式的精度比较高，尤其适合于二次或四次多项式的积分计算。
二、辛普森公式的推导在区间[a,b]上进行积分，将区间等分成n段，每段长度为h=(b-a)/n。
设被积函数为f(x)，则辛普森公式的推导过程如下：1. 计算积分区间的分割点首先需要计算各个分割点的横坐标 xi(i=0,1,2,...,n)，即xi=a+ih(i=0,1,2,...,n)。
2. 计算每个分段上的积分值对于每个小区间 [xi-1,xi]，可以采用三点插值公式来逼近积分值：∫f(x)dx≈h/3*(f(xi-1)+4f((xi-1+xi)/2)+f(xi))3. 求和计算总的积分值将所有小区间上的积分值相加，即可得到整个区间[a,b]上的定积分值。
经过以上推导，可以得到辛普森公式的表达式为：∫f(x)dx≈h/3*(f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+...+2f(xn-2)+4f(xn-1)+f(xn))三、辛普森公式的应用辛普森公式在数值积分中有着广泛的应用，尤其适用于被积函数光滑而且二次可微的情况。
在实际工程和科学计算中，经常需要对曲线和曲面进行积分计算，而辛普森公式可以提供比较精确的积分结果。
在概率统计学、信号处理、图像处理等领域，辛普森公式也被广泛运用。
在概率密度函数的计算中，可以利用辛普森公式来对密度函数进行积分，从而得到概率分布的特征参数。
辛普森公式作为一种数值积分的方法，具有计算精度高、易于编程实现等特点，因此在实际工程和科学计算中得到了广泛的应用。
辛普森积分法
辛普森积分法
辛普森积分法是一种在数值分析和计算数学中用来计算积分的方法。
蒙特卡洛方法的
出现催生了辛普森积分法，蒙特卡罗法是一种随机分布技术，它由1个或多个随机变量组成，所以它可以被用来计算整个积分函数的积分。
辛普森积分法是蒙特卡洛方法的一种改
进和发展，它通过将原始分布变换为多个离散的粗糙数据来改善蒙特卡洛方法，从而提高
计算精度。
辛普森积分法分为两个部分：误差分析和实现。
误差分析用于评估拟合性能，这里的
拟合指的是模拟实验的结果在实际应用中的误差。
误差分析包括三个步骤：选择一个离散
粗糙数据网格，在该网格上运行一组实验，分析模拟实验和数学积分结果之间的拟合情况。
下一步是实现，也就是如何将实验结果转换为积分结果。
辛普森积分法使用一种称为“重新编织”的技术，它将原始的数据网格拆分成一系列交叉的搜索区域，并将这些搜索
区域重新并入原始的数据网格中，从而使每个搜索区域的数据更加精细，从而提高计算精度。
辛普森积分法因其可控的误差水平，优秀的拟合性能和易于实现，而被广泛应用于金融、数据分析、天文学和机器人学等领域。
说明simpson公式的几何意义
说明simpson公式的几何意义辛普森（simpson）公式是牛顿-科特斯公式当n=2时的情形，也称为三点公式。
利用区间二等分的三个点来进行积分插值。
其科特斯系数分别为1/6，4/6，1/6。
设拟柱体的高（两底面α，β间的距离）为h，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与平面α之间距离h的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积v为v = h (s_1 + 4s_0 + s_2) /6.式中，s_1和s_2是两底面的面积，s_0是中截面的面积（即平面γ与平面α之间距离h=h/2时得到的截面的面积）。
事实上，不光就是拟将柱体，其他符合条件（所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面回去截该图形时所获得的横截面面积就是该平面与一底之间距离的不能少于3次的函数）的立体图形也可以利用该公式谋体积。
只需要证明根据公式算出来的体积和用积分算出来的体积相等即可。
设立横截面面积就是横截面低h的不能少于3次的函数：f(h)= ah^3 + bh^2 + ch + d。
那么，利用分数排序体积，可以获得（分数Class40~h）：v = ∫ f(x) dx= ah^4 /4 + bh^3 /3 + ch^2 /2 +dh；利用公式计算体积，可以得到：v = h (s_1 + 4s_0 + s_2) /6= h ( f(0) + 4f(h/2) + f(h) ) /6= h [ d + 4 (ah^3 /8 + bh^2 /4 + ch /2 + d) + (ah^3 + bh^2 + ch + d) ]/6= ah^4 /4 + bh^3 /3 + ch^2 /2 +dh。
因此两式成正比，公式初等矩阵。
remark：当函数f(h)次数高于或等于4次时，公式一般不成立。
这只需验证f(h)=h^4时公式不成立即可。
Simpson Rule Summary 辛普森法则
考虑积分[,]()ba b aI f x dx =⎰，如果在区间[a ，b]内取等间隔的N 份，间隔长度为h ，简述矩形（、梯形、Simpson 法则）计算积分的i ）理论、误差精度分析，和算法计算流程。
解：对于缓变函数我们可以用各个区间中点上函数值作来近似该区间的平均值1/2()i i f f x -≈其中1/211()2i i i x x x --≡+。
矩形法则：f(x)在区间[a,b]上的积分用矩形求积定义如下[,]1/21Na b i i I h f -==∑第i 个区间对积分的贡献为：11[,]1/2()ii i i x x x i x I f x dx hf ---=≈⎰如果围绕该区间中点1/2i x -的邻域内对函数f(x)作泰勒级数展开， 有2(3)31/21/21/21/21/21/21/2111()()()()1!2!3!i i i i i i i f x f f x x f x x f x x -------'''=+-+-+-+ 其中1/2i f -'，1/2i f -''和(3)1/2i f -分别表示了f(x)在1/2i x x -=处的一阶，二阶和三阶导数。
相应地，积分在子区间内的值可以表示为111111/21/21/221/21/2(3)31/21/21()()1!1()2!1()3!iii i i i i i ii x x x i i i x x x x i i x x i i x f x dx f dx f x x dxf x x dx f x x dx------------'=+-''+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰其中第一项是矩形积分的近似值，第二项则由于其中的积分等于零而消除。
从而，矩形法则在宽度为h 的单个子区间内的最高阶误差由第三项给出111[,]1/2321/21/21/2()1()2!24ii i i i i x x x i x x i i i x I f x dx hf h f x x dx f -------∆≡-''''≈-=⎰⎰在整个[a,b]区间上的总误差则通过将所有N 个子区间的贡献相加得到32[,][,]21()()()()2424ba b a b ab a b a I f x dx I h f f N ξξ--''''∆=-≈=⎰其中我们利用了Nh=(b-a)，并且取()f ξ''为f(x)在[a,b]上的二阶导数的均值。
自适应辛普森法积分算法推导
自适应辛普森法积分算法推导介绍在数值计算中，积分是一个重要的概念，用于计算曲线下的面积、求解微分方程等问题。
辛普森法是一种常用的数值积分方法，它通过将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上采用插值的方法来近似计算积分值。
自适应辛普森法是辛普森法的一种改进算法，它通过动态调整小区间的划分，使得在积分计算过程中达到更高的精度和效率。
辛普森法的原理辛普森法的原理是基于插值多项式的思想。
首先，将积分区间[a, b]均匀划分为n 个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。
然后，对于每个小区间，采用二次多项式来近似曲线上的点。
假设在第i个小区间上，有三个点(xi-1, f(xi-1))、(xi, f(xi))和(xi+1,f(xi+1))，其中xi = a + i*h，f(x)是要进行积分的函数。
则可以使用二次多项式来近似曲线上的点，即通过插值得到一个二次多项式p(x)，满足p(xi-1) =f(xi-1)，p(xi) = f(xi)和p(xi+1) = f(xi+1)。
二次多项式p(x)的表达式为： p(x) = f(xi-1)((x-xi)(x-xi+1))/((xi-1-xi)(xi-1-xi+1)) + f(xi)((x-xi-1)(x-xi+1))/((xi-xi-1)(xi-xi+1)) +f(xi+1)((x-xi-1)(x-xi))/((xi+1-xi-1)*(xi+1-xi))然后，对于每个小区间，计算二次多项式p(x)在区间上的积分值，即∫[xi-1,xi+1] p(x) dx。
将所有小区间的积分值相加，即可得到整个积分区间[a, b]上的近似积分值。
辛普森法的步骤辛普森法的步骤如下： 1. 将积分区间[a, b]均匀划分为n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。
2. 对于每个小区间，计算二次多项式p(x)在区间上的积分值，即∫[xi-1, xi+1] p(x) dx。
python辛普森积分
python辛普森积分（实用版）目录1.辛普森积分的定义与原理2.Python 中实现辛普森积分的方法3.辛普森积分的实际应用案例4.总结与展望正文1.辛普森积分的定义与原理辛普森积分（Simpson"s rule）是一种数值积分方法，用于计算定积分。
其基本原理是：将积分区间划分为若干子区间，然后在每个子区间的中点进行取样，最后根据各点取样值及其权重计算出积分结果。
辛普森积分的权重函数是基于二次差分公式，可以提高积分精度。
2.Python 中实现辛普森积分的方法Python 中可以使用 SciPy 库实现辛普森积分。
SciPy 提供了`scipy.integrate.simpson`函数，用于计算辛普森积分。
下面是一个简单的例子：```pythonimport numpy as npfrom scipy.integrate import simpson# 定义被积函数def f(x):return x**3# 定义积分区间a, b = 0, 1# 使用辛普森积分计算积分结果result = simpson(f, a, b)print("辛普森积分结果：", result)```3.辛普森积分的实际应用案例辛普森积分在实际应用中具有较高的数值稳定性和精度，尤其在处理高阶函数的积分问题时表现优越。
例如，在计算物理、化学、金融等领域的问题时，辛普森积分可以提供较为精确的解。
4.总结与展望辛普森积分是一种高效的数值积分方法，Python 提供了方便的实现手段。
通过掌握辛普森积分的原理和方法，我们可以在实际问题中更加精确地求解定积分问题。
三角单元辛普森积分
三角单元辛普森积分
三角形函数在辛普森积分中的应用是将被积函数进行插值，然后再进行积分计算。
辛普森积分是一种复合数值积分方法，它将被积函数在每个小区间上用一个二次多项式进行插值，然后对这些插值多项式进行积分求和。
对于三角形函数的辛普森积分，可以先将被积函数进行三角形插值，然后再对插值多项式进行积分。
三角形插值的基本思想是利用三角函数的性质，将被积函数在每个小区间上用一个三角多项式进行逼近。
常用的三角多项式有正弦函数和余弦函数。
具体步骤如下：
1. 将被积函数按照等间隔的步长进行划分，得到若干个小区间。
2. 在每个小区间内，利用三角函数的性质，构造出一个三角多项式进行插值逼近。
常用的是使用正弦函数或余弦函数作为基函数，利用最小二乘法来确定插值多项式的系数。
3. 对每个小区间上的插值多项式进行积分计算，得到该区间上的积分值。
4. 将所有小区间上的积分值相加，得到最终的辛普森积分结果。
三角形函数的辛普森积分在计算三角函数型的积分时比较常用，特别是当被积函数在整个积分区间上的性质较为复杂，或无法直接求解积分的解析表达式时，辛普森积分可以通过插值逼近的方式来计算积分近似值，具有较高的精度和稳定性。
自适应辛普森法积分算法推导
自适应辛普森法积分算法推导自适应辛普森法积分算法推导1. 引言在数学和工程领域中，积分算法是一项重要的计算工具，用于求解曲线下的面积、求解定积分等问题。
辛普森法是一种常用的数值积分方法，而自适应辛普森法则是在辛普森法的基础上进行改进的一种算法。
本文将对自适应辛普森法积分算法进行推导和解析，帮助读者深入理解该算法的原理和应用。
2. 自适应辛普森法积分算法概述自适应辛普森法是一种数值积分方法，通过对被积函数进行区间划分，利用辛普森公式进行数值积分。
在每个小区间上计算辛普森公式的近似值，然后根据精度要求和误差估计值来决定是否对当前区间进行进一步的划分，从而实现自适应性。
该算法的优点是能够适应被积函数的不规则性，同时具有较高的数值积分精度。
3. 自适应辛普森法推导下面，我们将对自适应辛普森法进行推导。
假设被积函数为f(x)，要计算区间[a, b]上的定积分∫f(x)dx。
我们将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间长度为h=(b-a)/n。
利用辛普森公式对每个小区间进行数值积分：∫f(x)dx ≈ (h/6) * (f(a) + 4*f((a+b)/2) + f(b))将所有小区间上的积分值相加，得到整个区间[a, b]上的近似积分值。
我们计算近似解的误差估计值，如果误差估计值大于预设的精度要求，就对误差较大的小区间进行进一步划分，重复以上步骤，直到满足精度要求为止。
4. 自适应辛普森法的应用与优点自适应辛普森法在实际应用中具有广泛的应用价值。
该算法能够适应被积函数的不规则性，对于具有较大波动的函数能够给出较为精确的数值积分结果。
由于该算法具有自适应性，能够根据不同函数的特点进行区间划分和积分计算，因此适用于多种类型的函数积分计算。
5. 个人观点与总结自适应辛普森法作为一种数值积分方法，不仅具有较高的数值积分精度，同时也具有较强的适应性和灵活性。
在工程实践中，我曾经使用自适应辛普森法对复杂函数进行积分计算，取得了较为满意的结果。
辛普森公式
Simpson算法及其推广形式摘要：本文研究了辛普森公式的数值积分的计算方法问题，并且更进一步研究了变步长复化的辛普森公式和二重积分的辛普森公式的问题。
首先是对一维辛普森公式和变步长复化辛普森公式以及二维辛普森公式的推导及其算法，进行误差分析，并且列举了实例。
然后，对辛普森公式进行改进，这里的改进最主要是对辛普森公式的代数精度进行提高，从而使辛普森公式对积分的计算更加精确。
另外，还研究了辛普森公式的推广形式。
最后，在结论的当中列举了一个例子。
关键词：辛普森公式算法改进推广形式二重积分的辛普森公式Abstract：This paper first studies the calculation methods of the numerical integration in simpson formula, and then study of the long-simpsonformula and the double integral simpson formula problem. First, study thealgorithm and derived of one-dimensional simpson formula andstep-change in simpson formula, as well as two-dimensional simpsonformula, and then analysis the error. Finally , list the example. In this ,improve the simpson formula. This improved the most important is toincre ase the simpson formula’s accuracy of algebra. Besides, we study thesimpson formula’s promotion of forms. At the last, we list a example inthe conclusion.Key word:The simpson formula, Algorithm, Improve, Promotion of forms, The simpson formula of the two-dimensional integral.1 引言辛普森公式主要的研究数值积分（numerical integration）的。
自适应辛普森法积分算法推导
自适应辛普森法积分算法推导
自适应辛普森法是一种数值积分方法，用于在给定的积分范围内计算函数的积分近似值。
其主要思想是通过将积分区间分成若干个小区间，并对每个小区间进行辛普森法积分，然后将所有小区间的积分结果相加，得到整个积分区间的积分近似值。
下面是自适应辛普森法积分算法的推导过程：
1. 将积分区间[a, b]平均分成n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。
2. 计算整个积分区间的辛普森法积分近似值I1，可以使用以下公式计算：
I1 = (h/3) * [f(a) + 4*f((a+b)/2) + f(b)]
3. 将整个积分区间再次平均分成2n个小区间，每个小区间的长度为h/2。
4. 计算每个小区间的辛普森法积分近似值，总共得到2n+1个积分值。
5. 计算每相邻两个小区间的积分值之差的绝对值，记为D = |I2 - I1|，其中I2为上一步骤得到的积分值。
6. 如果D小于给定的精度阈值，即D < ε，其中ε为设定的精度阈值，则结束计算，将I2作为最终的积分近似值。
7. 如果D大于等于给定的精度阈值，则将n的值加倍，回到
第1步继续计算。
通过迭代的过程，不断缩小积分区间的长度，最终得到满足要求的积分近似值。
需要注意的是，在实际应用中，为了避免出现无限递归的情况，通常会限制n的最大值，当n超过最大值时，结束计算。
此外，还可以添加其他终止条件，如设置最大迭代次数等。
这就是自适应辛普森法积分算法的推导过程。
三角形simpson积分公式
三角形simpson积分公式
三角形Simpson积分公式是一种用于数值积分的方法，特别适用
于用有限点数来近似计算三角形区域面积的情况。
该公式基于Simpson 法则，将三角形分割为若干个小三角形，然后对每个小三角形应用Simpson法则进行积分。
具体而言，假设三角形的三个顶点为(A, B, C)，分别对应于坐标(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)。
那么，我们可以将三角形分割为三
个小三角形，分别由三个顶点和三角形重心G组成。
对于每个小三角形，我们可以使用Simpson法则进行积分计算。
对于具有函数f(x, y)的二元函数的积分，Simpson法则可以表示为：∫∫f(x, y)dxdy ≈ (A/3) * [ f(x1, y1) + f(x2, y2) + f(x3, y3) + 4*f(xG, yG) ]
其中，A是三角形的面积，f(xG, yG)是在重心G处的函数值。
需要注意的是，这种积分方法要求函数f(x, y)在三角形内是光滑的，且在三角形边界上的函数值和导数值是已知的。
此外，Simpson积分公式只提供了一个近似解，并不能保证完全准确。
拓展部分：
三角形Simpson积分公式可以进一步进行拓展，例如可以将更大的三角形划分为更多的小三角形，从而提高计算精度。
此外，该方法也可以应用于计算其他几何形状的面积，只需要将形状适当划分为小区域，并应用相应的Simpson法则。
除了面积计算，该方法还可以用于计算其他类型的数值积分问题，例如计算三维体积等。
辛普森求积公式的代数精度
辛普森求积公式的代数精度辛普森求积公式是数值分析中一个非常重要的工具，它在计算定积分的时候有着独特的优势。
那啥是辛普森求积公式的代数精度呢？咱们今儿个就来好好说道说道。
先来说说代数精度这个概念哈。
代数精度简单来说，就是一个求积公式对于某些多项式能精确计算积分的程度。
比如说，如果一个求积公式对于一次多项式能精确计算积分，那它的代数精度至少是 1；如果对于二次多项式能精确计算积分，代数精度至少就是 2 ，以此类推。
那辛普森求积公式到底咋样呢？它的代数精度是 3 。
为啥是 3 呢？咱们来详细瞅瞅。
假设咱有个函数 f(x) ，然后把积分区间 [a,b] 平均分成 n 等份，每个小区间的长度就是 h = (b - a) / n 。
辛普森求积公式就可以写成：∫[a,b] f(x)dx ≈ (h/3) * [f(a) + 4f((a + b)/2) + f(b)]咱们来验证一下为啥它的代数精度是 3 。
先看对于一次多项式，也就是 f(x) = Ax + B 。
把它代入辛普森求积公式，经过一通计算，会发现算出来的结果和精确积分是一样的，这说明它对一次多项式能精确计算积分。
再看二次多项式，f(x) = Ax² + Bx + C ，同样代入算一算，还是和精确积分一样。
到三次多项式的时候，f(x) = Ax³ + Bx² + Cx + D ，这时候代入辛普森求积公式算出来的结果就和精确积分不一样啦，这就说明辛普森求积公式对于三次多项式不能精确计算积分。
所以综合来看，辛普森求积公式的代数精度就是 3 。
我记得之前在给学生讲这个知识点的时候，有个学生就特别迷糊，怎么都搞不明白。
我就给他举了个特别简单的例子。
比如说咱要计算从 0 到 2 区间上，函数 f(x) = x²的定积分。
按照精确的积分计算方法，算出来应该是 8/3 。
然后咱们用辛普森求积公式来算，h = (2 - 0) / 1 = 2 ，f(0) = 0 ，f(2) = 4 ，中间那点 f(1) = 1 ，代入公式就是 (2/3) * [0 + 4 * 1 + 4] ，算出来也是 8/3 ，完全正确！通过这个简单的例子，那学生一下子就明白啦，脸上露出了恍然大悟的表情，我这心里也特别有成就感。
辛普森积分法则
辛普森法則 - 數值積分(二)在許多的實際問題中，常會遇到無法由積分方法求出的定積分。
此類的定積分，我們可借由數值方法去求它的近似值，在此僅介紹二種較常用的方法，有興趣的讀者可閱讀數值分析(Numerical analysis)之書籍。
辛普森法則(Simpson (Simpson’’s Rule)若()f x 在[,]a b 上有定義，將區間[,]a b 分割為n 等分(取n 為偶數)，既012n a x x x x b =<<<<= ，其中,0,1,,i x a i x i n =+D "= ，b a x n -D =。
這裡我們想用過001122(,()),(,()),(,())x f x x f x x f x 三點的拋物線2()g x x x a b g =++來取代()f x 在02[,]x x 的定義，進而求出它的近似積分值1A (如圖6-3)，最後用連加的方式求得()f x 在[,]a b 上的近似積分。
由假設我們有20000220202111122222()()()()22()()f x g x x x x x x x f x g x x x f x g x x x a b g a b g a b g a b g ì==++ïï++æöæö==++=++íç÷ç÷èøèøïï==++î圖6-3令 2200()()x x x x f x dx g x dx »òò 202x x x x dx a b g =++ò203232x x x x x ab g =++ 3322202020()()()32x x x x x x ab g =-+-+- 22202020022()4()322x x x x x x x x x a b g a b g a b g éùæö++D æöæö=++++++++êúç÷ç÷ç÷ç÷èøèøêúèøëû 012[()4()()]3x f x f x f x D =++所以 24022()()n n b x x x a x x x f x dx f x dx -=+++òòòò012234[()4()()][()4()()]33x x f x f x f x f x f x f x D D »++++++ 21[()4()()]3n n n x f x f x f x --D +++ 01234[()4()2()4()2()3x f x f x f x f x f x D =+++++ 212()4()()]n n n f x f x f x --+++若令01221[()4()2()2()4()()]3n n n n x S f x f x f x f x f x f x --D =++++++ ，且(4)()f x 在[,]a b 上連續，則我們可估計出辛普森法則的誤差值為5(4)4()()max |()|180b n n a a x b b a E f x dx S f x n ££-=-£ò例題1. 試用辛普森法則估計210x e dx -ò，取6n =。
算法笔记--辛普森积分公式
算法笔记--⾟普森积分公式⼀图胜千⾔。
⾃适应⾟普森模板：const double eps=1e-10;double f(double x){//你的函数。
}double simpson(double l,double r){return (f(l)+4.0*f((l+r)/2.0)+f(r))/6.0*(r-l);}double integral(double l,double r){double mid=(l+r)/2.0;double res=simpson(l,r);if(fabs(res-simpson(l,mid)-simpson(mid,r))<eps)return res;else return integral(l,mid)+integral(mid,r);}复合⾟普森模板：double f(double x) {double l = max(s1, x-w);double r = min(s2, x+w);if(r-l < eps) return eps;else return r-l;}double simpson(double l, double r) {return (f(l) + 4.0*f((l+r)/2.0) + f(r))/6.0*(r-l);}double integral(double l, double r) {double m = (l+r)/2.0;double res = simpson(l, r);if(fabs(res-simpson(l, m)-simpson(m, r)) < eps) return res;else return integral(l, m) + integral(m, r);}double fuhesimpson(double l, double r, int n) {double h = (r-l)/n, ans = 0;for (int i = 0; i < n; ++i) {ans += integral(l+i*h, l+(i+1)*h);}return ans;}参考:例题1：代码：#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define ll long long#define pb push_back#define pi acos(-1.0)#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))const double eps=1e-10;double a,b;double f(double x){return b*sqrt(1.0-(x*x)/(a*a));}double simpson(double l,double r){return (f(l)+4.0*f((l+r)/2.0)+f(r))/6.0*(r-l);}double integral(double l,double r){double mid=(l+r)/2.0;double res=simpson(l,r);if(fabs(res-simpson(l,mid)-simpson(mid,r))<eps)return res; else return integral(l,mid)+integral(mid,r);}int main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);int T;cin>>T;double l,r;while(T--){cin>>a>>b>>l>>r;cout<<fixed<<setprecision(3)<<2*integral(l,r)<<endl; }return0;}View Code。
辛普森求积公式
摘要在工程实验及研究中，实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。
曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系.可以说，曲线拟合模型与我们的生活生产密切相关.本课题着重介绍曲线拟合模型及其应用，其中包括它的基本思想、模型的建立、以及具体应用.为了更好的了解曲线拟合模型，可以将它分为线性与非线性模型，在模型建立的基础上我们可以用最小二乘法来解决一些我们日常所应用的问题.关键词曲线拟合；线性与非线性模型；最小二乘发目录引言 (1)第一章曲线拟合 (2)§1.1 基本思想及基本概念 (2)§1.1.1 方法思想 (2)§1.1.2几个基本概念 (2)§1.2辛普森算法基本定义及其应用 (4)§1.2.1辛普森求积公式的定义 (4)§1.2.2辛普森求积公式的几何意义 (5)§1.2.3辛普森求积公式的代数精度及其余项 (5)§1.2.4辛普森公式的应用 (6)第二章辛普森求积公式的拓展及其应用 (7)§2.1 复化辛普森求积公式 (7)§2.1.1问题的提出 (7)§2.1.2复化辛普森公式及其分析 (7)§2.1.3复化辛普森公式计算流程图 (8)§2.1.4复化辛普森公式的应用 (9)§2.2 变步长辛普森求积公式 (10)§2.2.1变步长辛普森求积公式的导出过程 (10)§2.2.2变步长辛普森求积公式的加速过程 (12)§2.2.3变步长辛普森求积公式的算法流程图 (13)§2.2.4变步长辛普森公式算法程序代码 (14)§2.2.5变步长辛普森求积公式的应用 (14)§2.2.6小结 (14)§2.2.7数值求积公式在实际工程中的应用 (14)参考文献 (16)附录A (17)附录B (18)附录C (21)引言辛普森是英国数学家.1710年8月20日生于波士沃希；1761年5月14日卒于波士沃希.在定积分近似计算中，以他的姓来命名的“辛普森公式”，虽早在他之前牛顿的学生柯特斯（Cotes）和斯特林就已经得出了（包括一些更高阶的近似公式），但真正广泛地为人所知并加以应用，则是1743年辛普森重新发现之后的事了.辛普森的工作使牛顿的微积分学说得到了进一步完善.在我们的日常生活中计算积分与我们的生活生产密切相关.所以掌握数值积分方法是学生储备知识能量的武器.数值积分的一个基本的计算策略，用易于积分的简单函数来逼近曲线)y .f(x 简单曲线下面的面积近似等于)f下面的面积.如果涉及初等函数的积分找不到其(x他由初等函数构成的解析表达式，或者只在一些离散的x点上知道函数的值，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来，因此能够借助微积分学的牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的机会是不多的.那么就必须对定积分进行数值逼近.数值积分实现是将整个闭区间]f进行(x,[ba划分为N个小段，在每个小段上对)低阶分段多项式逼近.对每个小段上的逼近多项式积分时，就得到基本公式.基本公式只涉及足够多的))f(xx对来定义分段多项式的某一段，将此公式应用到N个小段并,(把结果相加得到复合公式，或称为扩展公式. 在一个小段中节点的位置和数目决定了基本公式的很多重要特性.当节点均匀分布时，所有的积分公式称为牛顿—柯特斯公式.例如，梯形、辛普森、柯特斯求积公式等.经典辛普森求积公式来源于Lagrange插值多项式的应用，它的代数精度高达3阶，其形变后的代数精度高达4阶，且二者都具有良好的稳定性与收敛性，从而提高了计算效率及准确度，是定积分近似计算常使用的方法，一直是理工科大学生必修的内容. 下面将给出具体辛普森求积公式的具体思想以及其算法程序设计并给出将其拓展后在实际工程问题中的应用.第一章 辛普森求积公式的理论实际问题当中常常需要计算积分，有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系.依据人们所熟知的微积分基本定理，对积分dx x f I ba ⎰=)(只要找到被积函数)(x f 的原函数)(X F ,便有下列牛顿-莱布尼茨公式：⎰-=b a a F b F dx x f )()()(，但实际计算dx x f ba ⎰)(往往遇到一些困难，如: 1))(x f 的原函数不能用初等函数表示，故不能用牛顿-莱布尼茨公式计算.2) 虽然找到了)(x f 的原函数, 但因表达式过于复杂而不便应用牛顿-莱布尼茨公式.3) )(x f 在许多实际问题中是以列表函数的形式给出, 即仅仅知道其在一些节点处的函数值， 牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用，因此有必要研究积分的数值计算问题，数值积分是解决上述困难的一种有效方法.§1.1基本思想及基本概念§1.1.1 方法思想由定积分中值定理：b a a b f dx x f I b a ≤≤-==⎰ξξ),)(()(可知: 积分可以通过被积函数在ξ处的值得到. 由于积分中值定理仅仅告诉我们ξ在一定条件下是存在的, 但并没有给出确定ξ的方法. 一个很自然的想法就是利用被积函数)(x f 在节点b x x x x a n =≤≤≤= 210处函数值的加权平均来替代(近似))(ξf , 按此思想有)()(0i ni i b a x f A dx x f ∑⎰=≈ （1-1） 这就是数值求积的思想（有效地解决了本章开始提出的问题），权因子i A 和节点i x n i ,,2,1,0 =的不同确定方法就对应不同的数值求积公式.§1.1.2 几个基本概念定义1.1 称形如(1-1)式的求积公式为机械求积公式,其中i A 仅节点的选择与)(x f 无关，b x x x x a n =≤≤≤= 210称为求积节点，i A （n i ,,2,1,0 =）称为求积系数.定义1.2 如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立,而对于1+m 次多项式就不准确成立, 则称该求积公式具有m 次代数精度（或代数精确度）.注1.1 a) m 越大近似程度越高，标志着使函数准确成立的“个数”越多，但代数精度不是唯一衡量标准.b) 若机械求积公式的代数精度0≥m ，则有a b A ni i -=∑=0.c) 若机械求积公式的代数精度为m ，即当m x x x f ,,1)(=时，由（1.1）式可得，对任意次数不超过m 的k 次多项式m k x P k ≤),(有)()(0i k ni i b a k x P A dx x P ∑⎰=≡. d) 代精度的高低, 从侧面反映求积公式的精度高低.定义1.3 称求积公式∑==nk k k n x f A I 0)(为插值型求积公式，式中求积系数k A 通过插值基函数.,1,0)())(()()())(()()(110110n k x x x x x x x x x x x x x x x x x l n k k k k k k n k k k =--------=+-+- 积分求得，即 .,,1,0,)(n k dx x l A b a k k ==⎰ （1-2）定理1.1 插值型求积公式的代数精度至少为n 次.定义1.4 若节点将被积区间等分成n 等分, 即.,2,1,0,n i i na b a x i =-+=则相应的插值求积公式称为Newton-Cotes (牛顿-柯特斯)求积公式. 即等距节点情形下的插值求积公式称为牛顿-柯特斯公式, 相应的求积系数称为Cotes 系数. 常见的几个简单求积公式( Newton-Cotes 公式)，如表1-1所示：表1-1 几种简单N-C 求积公式总结表 n 名称形式 1=n 梯形求积公式)]()([2)(b f a f a b T dx x f b a +-=≈⎰ 2=n 辛普森求积公式 )]()2(4)([6)(b f b a f a f a b S dx x f ba +++-=≈⎰4=n 柯特斯求积公式 )](7)(32)(12)(32)(7[90)(321b f x f x f x f a f a b C dx x f b a ++++-=≈⎰其中.1,,1,,-=-=+=n k na b h kh a x k 注1.2 a ）8≥n 时，N-C 公式出现数值不稳定.b ）n 为偶数时，N-C 公式的代数精度至少为1+n 次，n 为奇数时，N-C 公式的代数精度至少为n 次.定义1.5 截断误差: 由（1-3） 当1=n 时可得梯形求积公式的截断误差T R],[)(,],[,)(12)("))((2)("))((!2)("23b a C x f b a a b f dx b x a x f dx b x a x f T I R b a b a T ∈∈--=--=--=-=⎰⎰ηηηξ 类似的，可得当2=n ，4=n 时的截断误差注1.3 从截断误差公式可知，当区间长度a b -较大时，求积公式误差较大.§1.2辛普森算法基本定义及其应用§1.2.1 辛普森求积公式的定义设计积分区间],[b a 划分为n 等份，步长na b -，选取等距节点kh a x k +=构造出的插值型求积公式)()()(k n k n x f c a b I -= 为牛顿—柯特斯（Newton-Cotes ）公式，式中)(n k c 称为柯特斯系数.根据插值型求积公式系数（1-2），引进变换th a x +=，则有⎰∏⎰∏≠=-≠=---=---=n kj j kn n n k j j n k dt j t n k n nk dt j k j t a b h c 0000)()()!(!)1( 当2=n 时，由上式有61)2)(1(4120)2(0=--=⎰dt t t c dx x n f x f A dx x f f R f I f I b a n n i n i i b a n n )()!1()()()(][][][1)1(0⎰∑⎰++=+=-==-ωξ64)1(2120)2(1=--=⎰dt t t c 61)1(4120)2(2=-=⎰dt t t c 则相应的求积公式是辛普森求积公式：)]()2()([6)(b f b a f a f a b dx x f s b a ++-==⎰ （1-4） §1.2.2辛普森求积公式的几何意义辛普森公式的几何意义就是用通过A,B,C 三点的抛物线)(x L y =代替)(x f y =所得曲边梯形面积，如图1.1所示.§1.2.3辛普森求积公式的代数精度及其余项由N-C 公式的特点知，当n 为偶数时N-C 公式的代数精度至少为1+n 次，由于Simpson 求积公式为2=n 时的N-C 公式，故它的代数精度至少为3次，即3≥m将4)(x x f =代入Simpson 公式（1-4）左边5554a b dx x b a -==⎰右边≠+++-=))2(4(6444b b a a a b 左边 由此可知4)(x x f =使得Simpson 求积公式不准确成立，所以3=m 即Simpson 公式代数精度为3次由N-C 公式的余项公式（1-3）知，当2=n 时可得辛普森求积公式的截断误差 y xO0 )(x L y =a 2b a + b A BC)(x f y =图1.1 辛普森求积公式的几何意义图],[)(],,[),()2(1804)4(4b a C x f b a f a b a b R s ∈∈---=ηη （1-5） §1.2.4辛普森公式的应用例1.1 用辛普森求积公式计算积分dx x x ⎰+1024. 由积分形式可知 2,1,0===n b a用辛普森公式计算有下式)]1()21(4)0([614102f f f dx x x s ++=+=⎰其中24)(x x x f +=. 计算流程图C 语言程序代码及其运算结果详见附录A分析附录A 可知 111765.04102=+⎰dx x x开始定义函数f （x ）输入n ，a ，b 的值计算h=（b-a ）/n调用函数f （x ），计算s 的值输出s 的值结束图1.2 例1.1流程图第二章 辛普森求积公式的拓展及其应用为了提高精度，通常在实际应用中往往采用将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式，如：梯形公式或辛普森公式，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复化求积公式，本章重点介绍复化辛普森求积公式.§2.1 复化辛普森求积公式§2.1.1问题的提出由截断误差可知，当区间长度a b -较大时，Newton-Cotes 求积公式的误差较大. 为构造更高精度的数值积分公式，可以采用分段低次多项式替代整体高次多项式，为此，利用积分关于区间具有可加性，将],[b a 区间上的积分，分成若干小区间上的积分，以此来减少积分区间长度引起的误差.这就引用了复化求积公式. 其基本思想是：先把积分区间分成一些长度较小的子区间，在每个子区间上使用低阶的牛顿-柯特斯公式，即利用n a b h ih a x dx x f dx x f i n i x x b a i i -=+==∑⎰⎰=-,,)()(11 并把小区间n i x x i i ,,2,1],,[1 =-上的积分dx x f ii x x ⎰-1)(用前面的方法近似求得，由此即可得到相应的复化求积公式. 最常用的是复化梯形公式和复化辛普森公式，下面学习辛普森求积公式.§2.1.2复化辛普森公式及其分析定义 2.1 将小区间n i x x i i ,,2,1],[1 =-上的积分分别用辛普森公式计算，即可得到复化辛普森公式n n i i n i i i i i b a ni S b f x f x f a f h x f x f x f h dx x f =+++=++≈∑∑⎰∑=--=--=)]()(4)(2)([6)]()(4)([6)(111112121 其中221h x x i i ==-. 另一种定义形式为：用分段二次插值函数代替，记1,2,1,0,2-==m k m n 在第k 段的两个小区间上，用三个结点))(,()),(,()),(,(2222121222++++k k k k k k x f x x f x x f x 作二次插值函数)(x s k ，然后积分，求m 段之和可得整个区间上的近似积分mab h x f x f x f x f hs m k k m k k m n 2))(2)(4)()((3112101220-=+++=∑∑-=-=+ 称该求积公式为复化辛普森求积公式（抛物线公式）.定理2.1 若],,[)(4b a C x f ∈则复化辛普森公式的截断误差为b a f h a b S dx x f n b a≤≤--=-⎰ξξ),()2(180)()()4(4 且0)],()([)21(1801)("'"')4(4→-→-⎰h b f a f h S dx x f ban. 注 2.1 从误差公式可以看出当],[)(4b a C x f ∈时，n S 比n T 2的精度一般要高，但他们的计算量几乎一样.注2.2 ○1nS 属于机械型求积公式，但不属于插值型、也不属于N-C 求积公式. ○2n S 的代数精度为4次，具有稳定性和收敛性即][f I S n→（∞→n 或∞→h ）.§2.1.3复化辛普森公式计算流程图为了减少计算工作量，优化程序设计，将复化辛普森公式nni i n i i i i i b a n i S b f x f x f a f hx f x f x f hdx x f =+++=++≈∑∑⎰∑=--=--=)]()(4)(2)([6)]()(4)([6)(111112121改写为])}2(])12([2{)]()([5.0[3}])12([2)2()]()([5.0{3}])12([4)2(2)()({61111111∑∑∑∑∑==-=-=-++-++--=-+++++-=-+++++-=n i n i n i n i ni n ih a f h i a f b f a f n a b h i a f ih a f b f a f n a b h i a f ih a f b f a f a b S 则于此相对应的辛普森流程图为：§2.1.4 复化辛普森公式的应用例2.1 用复化辛普森公式计算正弦积分的近似值.分析该积分可知,sin )(dx xxx f =0=a ，1=b 则 125.081==-=n a b h 为步长C 语言程序代码及其运算结果详见附录B 由此可知94608.04=S开始输入A,B,NH=（B-A ）/（2*N ）S=0.5*（F （A ）- F （B ）），调用函数FS=S+2*F[A+（2*I-1*H ）]+（F （A+2*I*H ）），调用函数FS=（B-A ）/（3*N ）S输出S结束I=1,N定义函数F++I8sin 10==⎰n dxx xS n 图2.1 复化辛普森算法流程图例2.2 用复化辛普森公式计算定积分84102=+⎰n dx x x. 分析该积分可知24)(x x x f +=，0=a ，1=b 则125.081==-=n a b h 为步长 C 语言程序代码及其运算结果详见附录B. 由此可知11157.04=S在利用插值型求积公式求积分时，为了提高精度有两种途径.一是提高积分区间上的插值多项式的阶数，从而也就提高了求积的阶数.但是，由于插值多项式的阶数越高，其逼近性质未必好（即精度未必能提高），因此，牛顿-柯特斯公式的阶数越高，其积分精度也未必越高，工程上一般只作到六阶牛顿-柯特斯公式（即龙贝格公式）为止.二是采用复化公式，尽量减小每个求积小区间的长度.在实际应用时，往往将两种方法混合使用，以便提高求积的精度.§2.2 变步长辛普森求积公式在数值积分中，精度是一个很重要的问题，如果误差太大，就没有实际意义.为了提高精度，通过需要在复化求积公式中尽量减少各细分小区间的长度，即减少步长h .显然，如果步长h 取得太大，则精度就难以保证.但是，如果步长取得太小，则计算工作量就随之增大，并且，由于项数增加，其误差积累也就增大.因此，在采用复化公式求积时，关键的问题是合理地选择步长（即合理选择对整个积分区间的细分数），以便既能满足精度要求，又不至于引起过多的误差积累和过大的计算工作量.在实际计算过程中，通常采用变步长的求积法.§2.2.1变步长辛普森求积公式的导出过程变步长辛普森求积公式是建立在变步长梯形公式的基础上，同时它又是龙贝格算法导出的中间过程，我们知道, 若被积函数具有一定的光滑性, 则增加节点可以降低复化求积公式的截断误差.这里需要解决的问题是增加节点后的复化求积方法能否充分利用已有的计算工作量. 譬如: 若将n T 作为⎰=ba dx x f I )(的近似精度不够, 需减少步长(增加节点数)计算相应的m T 来近似I , 当然我们想要充分利用已经求得的n T .为此, 设区间n b a ],[等分后, 利用复化梯形公式已经求得n T 这一结果, 为了得到精度更高的数值结果, 我们将原有的步长折半, 即把区间],[b a 分为n 2等分, 然后应用复化梯形公式求得n T 2.下面将会看到这样既提高了精度, 又能充分利用已经求得的n T .事实上, 我们可以建立n T 与n T 2的下述递推关系. 设nab h x f x f h T n i i i n -=+=∑-=+,)]()([211 则∑∑∑∑-=+-=+-=+++-=+=++=++=1101011102)(221)(2)]()([4)]()(2)([4212121n i i n n k k n k k k i k k n h n x f h T x f h x f x f h x f x f x f hT其中nab x x h k k -=-=-1 即，∑-=+=12221n i n nh T T 新增分点的函数值 注2.3 由上述公式可知在n T 的基础上计算n T 2只需调用n 次函数即可，最大限度地节省了n T 2的计算量.加速公式的导出：由前面的误差分析，我们可以得到复化梯形公式n T 的截断误差为2)("12h f ab ξ--，即 2)("12h f ab T I n ξ--=- 类似根据复化梯形公式n T 2的截断误差为2)2)(("12hf a b η--，有 22)2)(("12hf a b T I n η-≈-两式相比可得412≈-n T I ， 其中dx x f f I I b a ⎰==)()(即)(3122n n n T T T I -≈- （2-1）注2.4 ○1公式（2-1）说明n T 2的误差可以近似地由n T 2与n T 表现， 这样就给出了复化梯形公式估计误差的事后估计法.○2由公式（2-1）还可以得到校正公式（加速公式） n n n n n T T T T T I 3134)(31222-=-+≈数值实验结果表明，在一定条件下，上式计算出来的值比原来的n T 2好得多，上述公式称为梯形公式的加速公式.梯形求积公式的实质：假设已知n T ，n T 2，则nk k k n k k k n k n k k k k k n n S x f x f x f hx f x f hx f x f hx f x f h T T =++=+-+++=-=+-=+-=-=+++∑∑∑)]()(4)([6)]()([231)]}()([4)]()([4{3431341101101012212121即n n n T T S 31342-=上式表明n T 与n T 2通过上面公式处理后，可得精度更高的n S .即复化辛普森公式，这也是加速的实质.§2.2.2变步长辛普森求积公式的加速过程类似梯形加速公式的推导，由n S 的截断误差公式（1-5）可得][1512n n n S S S I -≈-即n n n n n S S S S S I 1511516][151222-=-+≈注2.5 ○1上述两个公式分别称为复化辛普森公式估计误差的事后估计公式及复化辛普森公式的加速公式.○2类似地可以证明： n n n S S C 15115162-=○3在求得n C ，nC 2的基础上，可以进一步加速得：龙贝格公式n n n C C R 63163642-=§2.2.3变步长辛普森求积公式的算法流程图开始 N=1，H=B-AIP=F(A)+F(B) FIC=0,X=A-H/2K=1,NX=X+HIC=IC+F(x) FI2=(4*IC+IP)*H/6N=1|I2-I|<ESPI1<=I2,IP=IP+2*ICN=N+NH=0.5*HYNNI=2I输出结束图2.2 变步长辛普森算法流程图§2.2.4变步长辛普森公式算法程序代码详见附录C§2.2.5变步长辛普森求积公式的应用例2.3 用变步长辛普森求积公式计算定积分dx x x⎰+1024取000001.0=ε.C 语言程序代码及其运算结果详见附录C. 分析结果可知111572.04102=+⎰dx x x§2.2.6小结通过分析例1.1、2.2、2.3有下表2-1表2-1 三种算法比较 算法名称 代数精度积分形式计算结果 余项辛普森求积 3dx x x⎰+10240.111765111765.0)4ln 5(ln 21-- 复化辛普森求积 4dx x x⎰+10240.1115711157.0)4ln 5(ln 21-- 变步长辛普森求积dx x x⎰+10240.111572111572.0)4ln 5(ln 21-- 由表2-1可以得出用变步长辛普森求积公式求得的结果偏离准确值的程度最小，即其计算结果最接近准确值，其次是复化辛普森求积方法，辛普森求积方法较前述两种方法误差较大.但三种算法均具有良好的稳定性与收敛性，从而提高了计算效率及准确度．在工程技术中有较为广泛的应用.§2.2.7 数值求积公式在实际工程中的应用例 2.4人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆。
自适应辛普森法积分算法推导
自适应辛普森法积分算法推导
【实用版】
目录
1.辛普森法的基本原理
2.自适应辛普森法积分算法的推导过程
3.自适应辛普森法积分算法的优点与应用
正文
一、辛普森法的基本原理
辛普森法是一种数值积分方法，它是由英国数学家托马斯·辛普森于1856 年提出的。
辛普森法的基本原理是：将一个不规则的函数 f(x) 在某一区间 [a, b] 上分成 n 个等分点，然后用一个类似于多项式的函数来近似代替 f(x)，最后将这个多项式的积分求出，即为 f(x) 在 [a, b] 上的积分值。
二、自适应辛普森法积分算法的推导过程
自适应辛普森法积分算法是对辛普森法的一种改进，它的主要特点是能够自适应地调整积分节点的分布，从而使得积分结果更加精确。
自适应辛普森法积分算法的推导过程如下：
设 f(x) 在区间 [a, b] 上已知，我们需要求解∫[a, b]f(x)dx 的值。
首先，我们将区间 [a, b] 等分为 n 个部分，每个部分的长度为 h，即 h = (b - a) / n。
然后，我们在每个分点的位置上构造一个辛普森基函数 Si(x)，Si(x) 的取值为：
Si(x) = (x - xi)^(i - 1) * (x - xi)^(n - i) / h^n
其中，xi 是第 i 个分点的横坐标，取值范围为 [a, b]。
辛普森公式 二重积分
辛普森公式二重积分辛普森公式是一种用于计算二重积分的数值近似方法。
在数学和工程领域中，我们经常需要计算二重积分，而辛普森公式能够帮助我们简化这一计算过程。
辛普森公式的基本思想是将要积分的区域分割成若干个小矩形，并在每个小矩形内使用一个二次函数来逼近被积函数。
然后，通过对这些小矩形进行积分，再将结果加起来，就可以得到原始函数在整个区域上的近似积分值。
具体而言，辛普森公式通过将待积函数在每个小矩形内进行三点逼近，即使用一个二次函数来模拟被积函数。
这个二次函数由小矩形两端点和中点处的函数值确定。
然后，我们可以利用求解二次函数积分的公式，计算出每个小矩形的积分值。
在使用辛普森公式计算二重积分时，我们需要将区域分割成若干个小矩形，并计算每个小矩形的面积和高度。
然后，通过将这些面积和高度相乘，并将结果加起来，即可得到二重积分的近似值。
辛普森公式的优点是计算精度相对较高，尤其在对光滑函数进行积分时，结果更加准确。
此外，辛普森公式的计算过程相对简单，不需要过多的数学理论支持，因此在实际应用中被广泛采用。
然而，辛普森公式也存在一些局限性。
首先，辛普森公式只适用于二重积分，对于更高维度的积分问题，并不适用。
其次，辛普森公式在处理非光滑函数时，可能会出现较大的误差。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点选择合适的数值积分方法。
辛普森公式是一种用于计算二重积分的数值近似方法。
通过将待积函数进行逼近，并对小矩形进行积分，我们可以得到二重积分的近似值。
辛普森公式在实际应用中具有较高的计算精度和简便性，但也需要注意其适用范围和局限性。
在解决实际问题时，我们应根据具体情况选择合适的数值积分方法，以保证计算结果的准确性和可靠性。
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三角单元辛普森积分
三角单元辛普森积分
1. 引言
三角单元辛普森积分是数值积分中一种常见的方法，用于计算在三角形区域上的积分值。
它是辛普森积分在三角形网格上的推广，通过将三角形划分为若干小的子三角形，然后对每个子三角形进行辛普森积分，最后将它们的积分值相加得到整个三角形区域的积分值。
在本文中，我们将从简单的定义开始，逐渐深入探讨三角单元辛普森积分的原理和应用。
2. 定义与原理
2.1 三角单元划分
在进行三角单元辛普森积分前，首先需要将三角形区域划分为若干个小三角形。
常见的划分方法有二分法和四分法。
以二分法为例，即将三角形按照中垂线方向分成两个子三角形。
2.2 辛普森积分
辛普森积分是一种利用多项式插值的方法来近似计算积分值的方法。
它将要积分的函数表示为若干个低阶多项式的线性组合，然后对这些多项式进行积分求和。
在辛普森积分中，我们使用二次多项式对原函
数进行插值，即通过原函数在三个等距节点处的函数值来逼近。
2.3 三角单元辛普森积分原理
三角单元辛普森积分原理是将辛普森积分的思想应用于三角形区域的积分计算。
通过对每个子三角形进行辛普森积分，然后将它们的积分值相加，即可得到整个三角形区域的积分值。
这里需要注意的是，三角单元辛普森积分要求三角形区域的划分足够细致，以保证精度和准确性。
3. 应用与实例
三角单元辛普森积分广泛应用于各种科学和工程领域中的数值计算，特别是在有限元分析中。
在电磁场分析中，我们需要对电磁场分布进行积分求解，从而得到电场势能或磁场能量等相关参数。
而三角单元辛普森积分可以帮助我们对三角形网格上的电磁场进行精确的积分计算，进而得到准确的结果。
4. 个人观点和理解
个人而言，三角单元辛普森积分是一种非常有用的数值积分方法。
它能够针对三角形区域的复杂几何形状进行积分计算，具有较高的准确性和精度。
三角单元辛普森积分方法也易于理解和实现，适用于各种计算环境和领域。
然而，三角单元辛普森积分也存在一些限制，如对三角形划分的要求较高，需要进行额外的计算和存储等。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的积分方法。
总结与回顾
本文对三角单元辛普森积分进行了全面评估和探讨。
我们从定义与原
理开始，介绍了三角单元划分和辛普森积分的基本概念，然后深入解
析了三角单元辛普森积分的原理和应用。
在应用与实例部分，我们以
电磁场分析为例，说明了三角单元辛普森积分在科学和工程领域的实
际应用。
在个人观点和理解部分，我提出了三角单元辛普森积分的优
点和局限性，并强调了选择合适积分方法的重要性。
通过本文的阐述，我希望读者能对三角单元辛普森积分有一个更全面、深刻、灵活的理解。
参考文献：
- Smith, G. D. (2018). Numerical Integration Techniques in Structural Engineering. Springer.
- Zienkiewicz, O. C., & Taylor, R. L. (2005). The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals. Elsevier.三角单元辛普森积分是一种在数值分析中广泛应用的方法，它可以用于求解函数的积分，
特别适用于三角形几何形状的区域。
在这篇文章中，我们将进一步解
析三角单元辛普森积分的原理和应用，并探讨它在科学和工程领域中
的实际应用。
1. 原理与定义：
三角单元辛普森积分的原理基于辛普森积分的思想，即将被积函数看
作是一条曲线，在每个小区间内用二次多项式逼近曲线，并对每个小
区间进行积分。
三角单元辛普森积分将该思想应用于三角形区域，通
过将三角形划分为若干个小的三角形来逼近被积函数，并对每个小三
角形施加辛普森积分。
2. 三角单元划分的概念：
三角单元划分是将一个大的三角形区域分解为多个小的三角形的过程。
在三角单元辛普森积分中，选择一个合适的三角单元划分非常重要，
它决定了逼近精度和计算效率。
常见的划分方法有等边划分和Delaunay三角剖分等。
通过将大的三角形区域分割成小的三角形，可以更准确地逼近被积函数。
3. 三角单元辛普森积分的原理：
三角单元辛普森积分的原理是在每个小三角形上进行辛普森积分。
对
于每个小三角形，通过将其边界上的三个点连接起来，构建一个二次
多项式来逼近被积函数。
使用辛普森积分公式对这个二次多项式进行
积分。
将每个小三角形的积分结果累加起来，得到整个三角形区域的
积分结果。
4. 三角单元辛普森积分的应用：
三角单元辛普森积分在科学和工程领域有着广泛的应用。
在电磁场分析中，通过将电磁场分布函数表示为三角形区域上的函数，并使用三角单元辛普森积分对其进行积分，可以获得电磁场的各种参数，如电荷分布、电场强度等。
三角单元辛普森积分还可以应用于流体力学、结构分析等领域。
5. 个人观点与理解：
三角单元辛普森积分具有一些优点和局限性。
它可以在复杂的几何形状上进行积分，并能够在准确性和计算效率之间找到良好的平衡。
通过合理选择三角单元划分的方法和参数，可以提高逼近精度。
然而，三角单元辛普森积分的计算精度受到划分的精度和被积函数的光滑度的影响，当被积函数具有尖锐的峰值或不连续性时，可能导致积分结果的不准确。
选择合适的数值积分方法对于保证积分结果的准确性也十分重要。
通过三角单元辛普森积分的原理和应用，我们可以更全面、深刻、灵活地理解这一数值分析方法。
在实际应用中，我们应该根据问题的特点选择合适的积分方法，并注意划分精度和被积函数的性质对积分结果的影响。
三角单元辛普森积分在科学和工程领域的实际应用中具有
重要意义，对于解决复杂问题具有一定的优势和局限性。
数字可以预测三角单元辛普森积分的结果。