高二数学 7.6圆的方程(第一课时)大纲人教版必修

7.6 圆的方程

课时安排

3课时

从容说课

圆是同学们比较熟悉的曲线.本节将介绍圆的标准方程、一般方程和参数方程，其中标准方程和一般方程又统称为圆的普通方程.三种方程各有特点，且可互化.所以通过对本节的学习，应熟练掌握圆的三种方程，并能相互灵活转化.

在初中几何课中己学习过圆的性质，这里只是用解析法研究它的方程与其他图形的位置关系及一些应用.

●课题

§7.6.1 圆的方程（一）

●教学目标

（一）教学知识点

圆的标准方程.

（二）能力训练要求

1.掌握圆的标准方程；

2.能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程；

3.从圆的标准方程熟练地求出圆心和半径.

（三）德育渗透目标

1.渗透数形结合思想；

2.培养学生的思维素质；

3.提高学生的思维能力.

●教学重点

已知圆的圆心为（a,b)，半径为r，则圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.特别地，a=b=0时，它表示圆心在原点，半径为r的圆：x2+y2=r2.

●教学难点

根据条件，利用待定系数法确定圆的三个参数a、b、r，从而求出圆的标准方程.

●教学方法

引导法

引导学生按照求曲线方程的一般步骤根据条件归纳出圆的标准方程.

●教具准备

投影片两张

第一张：§7.6.1 A

第二张：§7.6.1 B

例：如图所示是圆拱桥的一孔圆拱的示意

图.该圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，在建

造时每隔4 m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2

的高度.（精确到0.01 m）.

●教学过程

Ⅰ.课题导入

我们知道，平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点就是圆心，定长就是半径.那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？

Ⅱ.讲授新课

（打出投影片§7.7.1 A)

请同学们试着来求一下圆心是C (a ,b )，半径是r 的圆的方程. ［师］（引导学生分析）：根据圆的定义，不难得出圆C 就是到圆心C (a ,b )的距离等于定长r 的所有点所组成的集合.

［师］这个集合是怎样的一个集合呢？是否可用数学语言把它描述出来？

［生］圆C 就是集合P ={M ｜｜MC ｜=r }.

［师］这样的话，不妨设M （x ,y )是圆上任意一点，由两点间的距离公式，点M 适合的条件可表示为……

［生］（回答）：r b y a x =-+-22)()(.

［师］整理此式，可得到……

［生］(x -a )2+(y -b )2=r 2

.

［师］这个方程就是圆心为C (a ,b )，半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.如果圆心在坐标原点，这时a =0,b =0,则圆的方程是……

［生］x 2+y 2=r 2.

［师］看来，只要已知圆心坐标和半径，便可写出圆的标准方程.

下面，我们看一些例子.

［例1］求以C （1，3）为圆心，并且和直线3x -4y -7=0相切的圆的方程.

分析：要想写出圆的方程，需知圆心坐标和半径，圆心为C （1，

3），而半径需根据已知条件求得，因为圆C 和直线3x -4y -7=0相切，所以半径r 等于圆心C 到这条直线的距离，而后可写出圆C 的方程.

解：已知圆心是C （1，3），

∵圆C 和直线3x -4y -7=0相切，

∴半径r 等于圆心C 到这条直线的距离.

由点到直线距离公式，可得

r =516)4(37

34132=-+-⨯-⨯. ∴所求的圆的方程是

(x -1)2+(y -3)2=25

256. ［例2］已知圆的方程是x 2+y 2=r 2，求经过

圆上一点M （x 0,y 0）的切线的方程.

分析：欲求过M 的直线方程，只要求出此

直线斜率即可.

解：设切线的斜率为k ，半径OM 的斜率为k 1，

∵圆的切线垂直于过切点的半径，

∴k =-

11k . ∵k 1=0

0x y .

∴k =-00

y x .

∴经过点M 的切线方程是：

y -y 0=-00

y x (x -x 0),

整理得x 0x +y 0y =x 02+y 02.

又∵点M （x 0,y 0)在圆上，

∴x 02+y 02=r 2

.

∴所求切线方程是x 0x +y 0y =r 2.

当点M 在坐标轴上时，切线方程为： x =x 0或y =y 0.

可看出上面方程也同样适用.

（打出投影片§7.7.1 B)

［例3］这是一实际应用例子.

分析：首先我们应建立恰当的坐标系，将这一问题转化为数学问题.

解：建立坐标系，圆心在y 轴上，设圆心的坐标是(0,b )，圆的半径是r ，那么圆的方程是x 2+(y -b )2=r 2

.

∵P 、B 都在圆上，所以它们的坐标（0，4）、（10，0）都是这个圆的方程的解.

∴⎩⎨⎧=-+=-+.)0(10,)4(0222222r b r b 解得：b =-10.5,r 2=14.52

∴圆方程为：

x 2+(y +10.5)2=14.52.

把点P 2的横坐标x =-2代入这个圆方程，

得（-2）2+（y +10.5)2=14.52,

∵P 2的纵坐标y ＞0

∴y +10.5=22)2(5.14--

即y =22)2(5.14---10.5

≈14.36-10.5=3.86 (m)

答：支柱A 2P 2的高度约为3.86 m.

Ⅲ.课堂练习

［生］课本P 77,练习1，2，3，4.

1.写出下列各圆的方程：

（1）圆心在原点，半径是3；

解：x 2+y 2=9.

（2）圆心在点C （3，4），半径是5；

解：（x -3）2+(y -4)=5.

(3)经过点P （5，1），圆心在点C （8，-3）

解：r =｜PC ｜=5)31()85(22=++-

圆方程为：(x -8)2+(y +3)2=25

2.已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x +3y -70=0相切，求

圆的方程

.

解：∵圆的半径r 为原点到直线4x +3y -70=0的距离. ∴r =143470

22=+.