高二数学 7.6圆的方程(第一课时)大纲人教版必修
必修2《圆的标准方程》1(人教版)PPT课件
极坐标方程与标准方程的关系
通过极坐标与直角坐标的转换公式 $x = rcostheta, y = rsintheta$， 可以将极坐标方程转换为标准方程。
标准方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 可以通过配方转换为极坐标方 程。
极坐标方程的应用
描述圆的形状和大小。 解决与圆相关的几何问题，如求圆的面积、周长等。
圆的几何意义
01
02
03
04
圆是中心对称图形，对称中心 是圆心。
圆也是轴对称图形，任何经过 圆心的直线都是它的对称轴。
圆的周长与直径的比值是一个 常数，这个常数叫做圆周率π
。
圆的面积与半径的平方成正比 ，比例系数是π。
2023
PART 02
圆的标准方程
REPORTING
标准方程的形式
圆的标准方程为： $(x - a)^{2} + (y b)^{2} = r^{2}$
切线的定义
与圆有且仅有一个公共点 的直线。
切线的性质
切线与半径垂直，且切点 到圆心的距离等于半径长 。
切线的判定方法
若直线与圆有公共点，且 过该点的半径与直线垂直 ，则该直线为圆的切线。
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PART 06
圆的综合应用
REPORTING
圆与直线的位置关系
相离
直线与圆没有交点，即圆心到直 线的距离大于圆的半径。
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$
标准方程的应用
用于判断点与圆的位置关系 用于求解与圆有关的轨迹问题
用于求解圆的切线方程 用于解决与圆相关的最值问题
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最新-[原创]新教材高二数学(圆的参数方程) 精品
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§7.6 圆的参数方程一．教学内容分析教科书根据三角函数的定义，推导出了圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程，然后直接给出圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程cos sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩（为参数）. 在具体教学过程中，对如何根据圆的平移得到后一个参数方程，可作适当的介绍.在介绍了圆的参数方程以后，教科书简单介绍了一般的参数方程和普通方程的概念.在此，对参数方程的教学要求要注意控制，不要让学生系统地学习怎样求曲线的参数方程，而只是为了在某些问题的叙述中，能使学生区分曲线的参数方程和普通方程这两种不同形式，初步了解参数方程和普通方程的意义，能够把一些简单曲线（如圆和直线等）的参数方程化为普通方程. 在曲线方程的某些问题中，借助于参数方程，能使它们的解决变得容易.因为参数方程把曲线上点的坐标通过参数直接表示出来，比较清楚地指出了曲线上点的坐标的特点.教科书中的例6，就是把曲线的普通方程转化为参数方程后加以解决的.许多问题可以作这样的转化，当然有时也把给定参数方程的问题转化为普通方程来解决.教科书中的例6也可以直接用普通方程来解决.二．教学目标概览1.理解圆心在原点,半径为r 的圆的参数方程,能较熟练地求出圆心在原点,半径为r 的圆的参数方程.2.明确参数θ的意义,能说明参数θ与圆上一点坐标变量,x y 之间的联系.3.理解圆心不在原点的圆的参数方程,能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程.4.了解一般曲线的参数方程和普通方程的意义.5.能将圆的参数方程与普通方程进行相互转化,会用圆的参数方程去解决一些简单的问题.6.通过本节的教学互动,进一步培养学生观察、猜想、验证、证明的能力，激发其学习数学的兴趣.三．聚焦重点难点重点是圆心在原点,半径为r 的圆的参数方程以及圆心不在原点的圆的参数方程.难点是圆的参数方程的应用和“观察、猜想、验证、证明”能力的培养.四．教与学辅助工具几何画板.五．教与学师生互动1．观察研究，发现规律．在几何画板平台上，画出如图7—36所示的圆.拖动点P ，使其在圆上运动，让学生观察，从圆O 与x 轴的正半轴的交点o P 开始，按逆时针方向旋转运动到点P 时oPOP θ∠=与P 的位置变 化之间的关系.得到结论：点P 的位置与旋转角θ有密切的关系. 当θ变化时，点P 在圆O 上的位置也随着变化.然后，教师引导学生根据三角函数的定义，找出点P 的横坐标x 与纵坐标y 关于θ的函数关系，从而得出圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程是cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（1） 其中，θ是参数.请问，参数θ的几何意义是什么？（以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角）2．创设情景，得出新知.在坐标系（几何画板平台上）中，先画出圆心在1(,)O a b ，半径为r 的圆.请问，能否给出它的参数方程？（若学生反映较困惑，则给出引导1）引导1：能否利用圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程来解决这个问题？（这时，在坐标系中画出圆心在原点O ，半径为r的圆.）经教师的引导，学生通过观察两个圆可以得到如下结论：由于两个圆的大小一样，则可以把圆1O 看成是由圆O 按向量(,)v a b 平移而得到.于是，师生一起，利用向量平移的有关知识，求出圆心在1O ，半径为r 的圆的参数方程是cos sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩（为参数） （2） 3．对照比较，由特殊到一般.与圆的参数方程概念对照比较，引导学生得出一般的参数方程的概念：（由学生自己归纳） 一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即()()x f t y g t =⎧⎨=⎩（3） 并且对于t 的每一个允许值，由方程组（3）所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上，那么方程组（3）就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数.在这里，需向学生强调参数方程中的参数，可以是有物理的（如时间、位移、离心角）几何意义的参数（如斜率等）. 也可以是没有明显意义的参变数，要注意参数的取值范围与x 、y 的取值范围的制约关系. 然后指出：相对于参数方程来说，以前所学习过的关于x 、y 的直角坐标方程，叫做曲线的普通方程.4．课堂练习181P 练习1，2要求：练习1，口答；练习2，学生上台板演. 之后由台下的学生来评价板演学生的作业情况，最后，教师点评总结.5． 例题讲解1例1（80P 例6）如图7—38，已知点P 是圆2216x y +=上的一个动点，点A 是x 轴上的定点，坐标为(12,0).当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是什么？分析：由于点M 为点P 和点A 的中点，点A的坐标已知，点P 在已知圆上，故而点P 的坐标可以用参数θ来表示，所以，点M 的坐标便可以表示了，由此便可以求出线段PA 的中点M 的轨迹方程，进而知道其轨迹.解：设点M 的坐标是(,)x y .因而圆2216x y +=的参数方程为4cos ,4sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩所以可设点P 的坐标为(4cos ,sin )θθ.由线段中点坐标公式得点M 得轨迹参数方程为62cos ,2sin .x y θθ=+⎧⎨=⎩所以，线段PA 的中点的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆.（说明：讲解此题时，可先让学生来试着解决，教师引导帮助.）想一想1：这个问题不用参数方程怎么解决？（由此得到求轨迹的一种重要方法：相关点法（或代入法））想一想2：若点M 不是线段PA 的中点，那么点M 的轨迹又是什么呢？想一想3：若点M 在线段PA 的延长线或反向延长线上，那么点M 的轨迹又是什么呢？6．课堂练习281P 练习3.请学生上讲台来板演.想一想1：你能否根据题意粗略的画出线段PQ 中点的轨迹？想一想2：如果在线段PQ 上任取一点M ，那么点M 的轨迹是什么？想一想3：如果在线段PQ 的延长线或反向延长线上任取一点M ，那么点M 的轨迹是什么？ （说明：这样可以培养学生的观察、猜想、验证、证明的能力，激发学生学习的兴趣）7．例题讲解2例2 求函数sin 1()cos 2f θθθ-=-的最大值和最小值. 分析：sin 1()cos 2f θθθ-=-的形式相似于斜率2121y y k x x -=-的形式，因此可以把sin 1()cos 2f θθθ-=-看作是动点(cos ,sin )θθ与定点(2,1)连线的斜率.所求问题转化为求斜率()f θ的最大值和最小值.由于动点(cos ,sin )θθ在圆221x y +=上，因此可以把这个问题转化到图形上来处理.(利用几何画板作出圆221x y +=以及相关的点，这样，学生就很清楚地知道，当过定点(2,1)与动点(cos ,sin )θθ的直线与圆相切时，取得最值)解：根据题意，作出如图7—39所示的图. 所要求的函数sin 1()cos 2f θθθ-=-的最大值与最 小值，就转化为求动点P 与定点(2,1)连线的斜率的最大值与最小值.从图7—39可以得知，当直线PM 和圆相切时，分别得到其最大值与最小值.设直线PM 的斜率为k ，所以，其方程为：1(2)y k x -=-，即120kx y k -+-=.当直线PM 与圆相切时，1OP =，即1=，解得 0k =或43k =. 所以，min ()0f θ=，max 4()3f θ=. 点评：从例2可以看出，转化的思想方法与数形结合的思想方法对于学生的学习以及解题是相当有帮助的.8．课堂小结（可让学生总结）1． 圆的参数方程cos sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩（为参数），θ的几何意义. 2. 圆的参数方程的应用（例1，例2），以及在解题中转化的思想方法与数形结合的思想方法的应用.3．在学习中，应多注意观察、猜想、验证、证明，这样有助于培养自己对问题的观察力，对知识的洞察力.9．作业习题7.6 9，10.六．教学设计说明（1）本节教学内容是圆的参数方程及其应用.教学设计方案在继续遵循“以学生为本，发展学生个性”教学思想原则基础之上，着力研究结构性原则和适应性原则在教学中的应用.一要注意数学教学中不应把培养学生解决某一个（或类）具体的数学问题的能力当作能力培养的目标，而应着眼于培养学生良好的认知结构（知识结构与认识结构的综合体）.二要注意数学教学适应学生的思维发展水平，并且要积极促进思维的发展，不能在“低水平上重复”.（2）重视学生的学习经历和经验，强调积极主动学习态度的形成，使获得基础知识与基本技能的过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程，促进学生素质的全面发展.（3）本课利用了几何画板平台进行辅助教学，提高了教学的效率，让“静”数学变成“动”数学，充分调动了学生的积极性，激发了学生学习的兴趣，让教学重点难点得到很好的解决.（4）通过例6与练习3，在几何画板平台上，引导学生观察，然后猜想、验证，最后证明，培养其思考问题、解决问题的能力和以科学家的方式考虑问题，这对于学生的整体发展和个性的发展是相当有益的.。
人教版高三数学《圆的标准方程》PPT课件
坚持——驶向胜利的彼岸
或 x0 a2 y0 b2 r
(3)点M x0 , y0 在圆外 （x0 a)2 （y0 b)2 r 2
或 x0 a2 y0 b2 r
通过这节课的学习， 同学们有什么收获？还有 什么不清楚的地方？
五、课堂小结
1.圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
(x a)2 (y b)2 r2
点M一定在这个圆上
思考5：我们把方程 (x a)2 ( y b)2 r 2
称为圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程， 那么确定圆的标准方程需要几个独立条件？
确定圆的标准方程需要 a , b , r 三个独立条件。
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
O
C
x
(x a)2 (y b)2 r2
圆的标准方程
练习
1、已知圆心和半径,求圆的标准方程。
（1）圆心C(0，0），半径r=1 x2 + y2 = 1 圆心C(0，0），半径r=2 x2 + y2 = 4
（2）圆心C(-1，0），半径r=3 (x +1)2 + y2 = 9 圆心C(2，0），半径r=4 (x 2)2 + y2 = 16
（3）圆心C(0，-2），半径r=2 x2+ (y +2)2 = 4 圆心C(0，3），半径r=5 x2+ (y 3)2 = 25
观察（1）、（2）、（3）组题的圆心坐标分 别有什么特点？想一想能得到什么结论？
几种特殊位置的圆的方程: 圆心在原点: x2 + y2 = r2
圆心在x轴上: (x a)2 + y2 = r2 圆心在y轴上: x2+ (y b)2 = r2 练习
数学人教版必修二圆的方程知识点
数学人教版必修二圆的方程知识点
数学人教版必修二中关于圆的方程的内容主要涉及以下几个知识点：
1. 圆的标准方程：圆的标准方程为：(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)为圆心的坐标，r为圆的半径。
2. 圆的一般方程：圆的一般方程为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。
一般方程推导出标准方程的方法是完成平方并合并同类项。
3. 圆的参数方程：若圆的圆心为(a, b)，半径为r，则圆的参数方程为x = a + rcosθ，y = b + rsinθ，其中θ为参数。
4. 圆的切线方程：过圆上的一点M(x₁, y₁)的切线方程为xx₁ + yy₁ = r²，其中r为圆的半径。
5. 过圆心的直线方程：过圆心的直线方程为x/a + y/b = 1，其中a和b分别为圆心的横纵坐标。
6. 圆与直线的位置关系：可以利用圆的一般方程和直线的方程，通过解方程组来判断
圆与直线的位置关系。
以上是数学人教版必修二中有关圆的方程的主要知识点。
希望对你有所帮助！。
高二数学 7.6圆的方程(备课资料)大纲人教版必修
●备课资料参考练习题1.求以下各圆的标准方程：〔1〕圆心在y =-x 上且过两点〔2，0〕，〔0，-4〕；〔2〕圆心在直线2x +y =0上，且与直线x +y -1=0切于点〔2，-1〕.〔3〕圆心在直线5x -3y =8上，且与坐标轴相切.分析：从圆的标准方程(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a 、b 、r 三个参数.解：〔1〕设圆心坐标为(a ,b )，那么所求圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2,∵圆心在y =-x 上，∴b =-a ①又∵圆过〔2，0〕，〔0，-4〕∴〔2-a 〕2+b 2=r 2②a 2+(-4-b )2=r 2③由①②③联立方程组可得a =3,b =-3,r 2=10.∴所求圆的方程为(x -3)2+(y +3)2=10.〔2〕∵圆与直线x +y -1=0相切，并切于点M 〔2，-1〕，那么圆心必在过点M 〔2，-1〕且垂直于x +y -1=0的直线l 上，l 的方程为y =x -3，⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+-=21023y x y x x y 由 即圆心为C 〔1，-2〕，r =2)21()12(22=+-+-,∴所求圆的方程为：(x -1)2+(y +2〕2=2.〔3〕设所求圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2,∵圆与坐标轴相切，∴a =±b ,r =｜a ｜又∵圆心(a ,b )在直线5x -3y =8上.∴5a -3b =8, 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-±=ar b a b a 835得⎪⎩⎪⎨⎧=-==⎪⎩⎪⎨⎧===111444r b a r b a 或∴所求圆的方程为：〔x -4)2+(y -4)2=16或(x -1)2+(y +1)2＝1.x 2+y 2=25.求：〔1〕过点A 〔4，-3〕的切线方程.〔2〕过点B 〔-5，2〕的切线方程.分析：求过一点的切线方程，当斜率存在时可设为点斜式，利用圆心到切线的距离等于圆的半径列出方程，求出斜率k 的值，斜率不存在时，结合图形验证，当然假设过圆上一点的切线方程，可利用公式xx 0+yy 0=r 2求得.解：〔1〕∵点A 〔4，-3〕在圆x 2+y 2=25上.∴过点A 的切线方程为：4x -3y -25=0.〔2〕当过点B 〔-5，2〕的切线的斜率存在时，设所求切线方程为y -2=k (x +5). 即kx -y +5k +2=0 由51252=++k k 得2021=k . ∴此时切线方程为：21x -20y +145=0.当过点B 〔-5，2〕的切线斜率不存在时，结合图形可知x =-5，也是切线方程. 综上所述，所求切线方程为：21x -20y +145=0或x =-5.2+y 2-2x=0外切，且与直线x+3y=0相切于点〔3，-3〕的圆的方程.分析：使用圆的标准方程，由题设列出方程组，求解待定系数.解：设所求圆方程为〔x-a 〕2+(y-b)2=r 2.圆x 2+y 2-2x=0的圆心为〔1，0〕，半径为1.由两圆外切得 ().1)0(122+=-+-r b a ① 由圆与直线x+3y=0切于点〔3，-3〕. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+.)3(1|3|131·332r b a ，a b 由②得b=3(a-4),代入③得r=±〔2a-6〕. 将b=3(a-4)及r=2a-6代入③，得a=4,b=0,r=2. 同理，将r=-(2a-6),b=3(a-4)代入①，可得a=0,b=--43,r=6.故所求圆的方程为〔x-4〕2+y 2=4或x 2+(y+43)2=36.●备课资料参考练习题P 〔5，-3〕，Q 〔0，6〕两点，并且圆心在直线l ：2x -3y -6=0上的圆方程.分析一：〔1〕利用圆的标准方程，先求出PQ 的垂直平分线l 1，由l 1与l 的交点即圆心C ，再求半径r =｜OC ｜.分析二：〔2〕利用圆的一般方程：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，分别将P 、Q 代入方程得两个方程组，再由圆心(2,2E D --〕在直线l 上得一方程，解关于D 、E 、F . 解：设所求圆的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0将P (5,-3),Q (0,6)代入得5D -3E +F =-34①6E +F =-36② 又∵圆心〔2,2E D --〕在直线2x -3y -6=0上 ∴2D -3E +12=0③联①②③组成方程组得D =-38,E =-364,F =92. ∴所求圆的方程为x 2+y 2-38x -364y +92=0. C 过点A 〔1，2〕，B 〔3，4〕且在x 轴上截得的弦长为6，求圆C 的方程.分析：因所求圆的弦长为6，为求弦长，由｜x 2-x 1｜=212214)(x x x x -+及韦达定理来解.解：设所求圆的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0令y =0得x 2+Dx +F =0由韦达定理，得x 1+x 2=-D ,x 1x 2=F .由｜x 2-x 1｜=212214)(x x x x -+=6∴D 2-4F =36 ①将A 〔1，2〕，B 〔3，4〕分别代入x 2+y 2＋Dx +Ey +F =0得D +2E +F =-5 ②3D +4E +F =-25 ③解由①②③组成的方程组得D =-8,E =-2,F =7或D =12,E =-22,F =27.故所求圆的方程为：x 2+y 2+12x -22y +27=0或x 2+y 2-8x -2y +7=0评述：与弦长有关的问题，要注意使用韦达定理，这样可使运算简化.x 2+y 2+x -6y +m =0与直线x +2y -3=0相交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，假设OP ⊥OQ ,求m 的值.分析：设P 1(x 1,y 1)、Q 〔x 2,y 2).由OP ⊥OQ得k OP ·k OQ =-1即x 1x 2+y 1y 2=0故可用韦达定理来解.解：由⎩⎨⎧=-+=++++0320622y x m y x y x 消去y 得：5x 2+10x +4m -27=0.设P 1(x 1,y 1)、Q (x 2,y 2)由韦达定理知x 1·x 2=5274-m ， x 1+x 2=-2.消去x 得：5y 2-12y +m =0∴y 1·y 2=512+m 由OP ⊥OQ ,得k OP ·k OQ =-1 ∴2121x x y y =-1 ∴x 1x 2+y 1y 2=0 ∴5125274++-m m =-1 ∴m =2.4.设方程(x 2+y 2-25)+a (2x -y -10)=0；a 可取任何实数值，求证：这个方程表示圆恒过两定点.证明：假设(x 2+y 2-25)+a (2x -y -10)=0对任意a 成立，那么⎩⎨⎧=--=-+010202522y x y x解得：⎩⎨⎧==⎩⎨⎧-==0543y x y x 即圆恒过定点〔3，-4〕、〔5，0〕.5.△ABC 的三个顶点坐标分别为A 〔-1，5〕，B 〔-2，-2〕，C 〔5，5〕，求其外接圆的方程.分析：设出圆的方程的一般式，列方程组求待定系数.解：设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,由题设得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++--=+++-，F E D ，F E D ，F E D 0505508220265解得D=-4，E=-2，F=-20.∴△ABC 的外接圆方程为x 2+y 2-4x-2y-20=0.评述：用待定系数法求圆的方程：〔1〕如果由己知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a 、b 、r.〔2〕如果己知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F.●备课资料参考练习题〔1〕圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin 8cos 8y x (0≤θ＜2π〕假设圆上一点M 的坐标为(4,-43)，那么M 所对应的参数θ的值为.分析：将点M 的坐标代入参数方程分别求得sin θ,cos θ的值，由此求θ的值.解：将点M 〔4，-43〕代入⎩⎨⎧==θθsin 8cos 8y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==23sin 21cos θθ 又∵0≤θ＜2π,∴θ=35π. 答案：35π (2)圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 33cos 35y x ,那么它的普通方程为.分析：由参数方程解得cos θ、sin θ的表达式，由cos 2θ+sin 2θ=1求出x 与y 的关系式，即可求得.解：由⎩⎨⎧+=+-=θθsin 33cos 35y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=33sin 35cos y x θθ 由cos 2θ+sin 2θ=1得(x +5)2+(y -3)2=9答案：(x +5)2+(y -3)2=9M 是圆x 2+y 2-4x =0上的一个动点，点N 〔2，6〕为定点，当点M 在圆上运动时，求线段MN 的中点P 的轨迹方程，并说明轨迹的图形.分析：先将圆x 2+y 2-4x =0化为(x -2)2+y 2=4利用圆的参数方程求解.解法一：将圆的方程化为：〔x -2〕2+y 2=4,那么其参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin 2,cos 22y x故可设点M 〔2+2cos θ,2sin θ)又∵点N 〔2，6〕.∴MN 的中点P 为⎩⎨⎧+=+=θθsin 3cos 2y x ∴点P 的轨迹方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin 3cos 2y x 它表示圆心在〔2，3〕，半径为1的圆.x 、y 满足x 2+y 2-2x +4y =0，求x -y 的最大值.分析一：将圆化为参数方程来解.解法一：将圆x 2+y 2-2x +4y =0变为(x -1)2+(y +2)2=5, ∴圆的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=θθsin 52cos 51y x代入x -y 得 x -y =〔1+5cos θ〕-(-2+5sin θ) =3+5〔cos θ-sin θ) =3+10cos(θ+4π) ≤3+10∴x -y 的最大值为3+10.分析二：令x -y =u 代入圆方程来解.解析二：令u =x -y ，那么y =x -u 代入圆方程得2x 2+2(1-u )x +u 2-4u =0由Δ=4(1-u )2-8(u 2-4u )≥0即u 2-6u -1≤0∴3-10≤u ≤3+10即3-10≤x -y ≤3+10∴x -y 的最大值为3+10. x 2+(y -1)2=1上任意一点P 〔x ,y )，不等式x +y +m ≥0恒成立，某某数m 的取值X 围. 分析：将圆的参数方程代入x +y +m ≥0，转化为求m 的最值问题来解.解：由x 2+(y -1)2=1得其参数方程为：⎩⎨⎧+==θθsin 1cos y x 代入x +y +m ≥0得cos θ+1+sin θ+m ≥0∴m ≥-cos θ-sin θ-1∴m ≥-2sin(θ＋4π)-1恒成立， ∴转化为求-2sin(θ+4π)-1的最大值， ∴-2sin 〔θ+4π〕-1的最大值为2-1. ∴m ≥2-1. x 2+y 2=1,定点A (1,0),B 、C 是圆上两个动点，保持A 、B 、C 在圆上逆时针排列，且∠BOC =3π〔O 为坐标原点〕，求△ABC 重心G 的轨迹方程.分析：利用三角形重心坐标公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=33321321y y y y x x x x 来解. 解：令B 〔cos θ,sin θ〕,那么C (cos(θ+3π),sin(θ+3π)),设重心坐标为G 〔x ,y 〕 那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=)3sin(sin 31)3cos(cos 131πθθπθθy x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)6sin(33)6cos(3131πθπθy x 化为普通方程得：(x -31)2+y 2=31.。
人教版高中数学《圆的标准方程》说课稿
问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？ 其中哪几个步骤必不可少？
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如(x,y)表示曲线上 任意一点M的坐标； （2）写出适合条件 p 的点M的集合P={M|p(M)}； （3）用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)=0； （4）化方程f(x,y)=0为最简形式； （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 其中步骤(1)(3)(4)必不可少．
下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．
求圆心是C(a, b)，半径是r的圆的方程。
解：设M(x,y)是圆上任意一点， 根据圆的定义|MC|=r 由两点间距离公式，得
y M
．
r C
x a
2
y b r
2
①
x 说明： 1.特点：明确给出了圆心和 半径。 2.确定圆的方程必须具备三个 独立的条件。 O
问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆. 问题2：图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么 性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？ 圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它 们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分 别确定了圆的位置(定位）和大小（定型）．
x 3
x 8
2
2
y 4 5
2
2
（3）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3)
y 3 25
练习2.写出下列各圆的圆心坐标和半径 （1）
2 x 1 y 6 2
2 2
1, 0
a,0
6
3
（2） x 1 y 2 9 （3） x a
“兴趣是最好的老师!”可利用生活中的实例：小学课 本中所学习的《赵州桥》、学生在游乐场见过的摩天轮 等，以两个圆的模型为背景，激发学生学习圆的兴趣.
人教版高中数学教案圆的标准方程
人教版高中数学教案圆的标准方程教学目标：1. 理解圆的标准方程的概念和意义。
2. 学会运用圆的标准方程解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 圆的标准方程的概念和意义。
2. 运用圆的标准方程解决实际问题。
教学难点：1. 圆的标准方程的推导和理解。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入圆的概念，复习已学过的圆的性质。
2. 提问：我们已经学过圆的方程了，圆的方程有哪些形式呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解圆的标准方程的概念和意义。
2. 通过示例展示圆的标准方程的推导过程。
3. 解释圆的标准方程中的各个符号的含义。
三、例题解析（10分钟）1. 给出一个实际的例题，让学生尝试运用圆的标准方程解决。
2. 引导学生思考并解答例题，解释解题思路和方法。
四、课堂练习（10分钟）1. 给出一些练习题，让学生独立完成。
2. 引导学生运用圆的标准方程解决实际问题。
2. 让学生反思自己在解题过程中的优点和不足，提出问题并讨论解决方法。
教学延伸：1. 进一步学习圆的方程的其他形式。
2. 探索圆的方程在实际问题中的应用。
教学反思：六、课堂互动（10分钟）1. 教师提出问题：“圆的标准方程能否表示所有的圆？”引导学生进行思考和讨论。
2. 学生分组进行讨论，分享各自观点和理由。
七、拓展学习（10分钟）1. 教师介绍圆的一般方程，即圆的方程可以表示为(x-a)²+(y-b)²=r²的形式。
2. 学生跟随教师一起推导一般方程，理解其中各个参数的含义。
3. 教师给出一些例子，让学生运用一般方程解决圆的相关问题。
八、练习与巩固（10分钟）1. 学生独立完成一些关于圆的标准方程的练习题，巩固所学知识。
2. 教师选取部分学生的作业进行点评，指出其中的错误和不足之处，并进行讲解。
九、课堂小结（5分钟）1. 教师引导学生回顾本节课所学的圆的标准方程的概念、推导过程和应用。
圆的标准方程第一课时课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2 .写出下列圆的标准方程：
（1）圆心为C（-3,4），半径是√5;
（2）圆心为C（-8,3），且x0 , y0 ) 与圆（x-a）2+(y-b)2=r2的
位置关系有几种？如何去判断
点在圆内
点在圆上
2.4.1圆的标准方程
《古朗月行》
唐 李白
小时不识月，呼作白玉盘。
又疑瑶台镜，飞在青云端。
如右图，若把天空看作一个平面，月亮看作
（1）结合全诗，解释“呼”、“疑”的意思。
一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆
（2）这首诗表达了诗人怎样的思想情感？
的的方程如何表示？
回顾与思考：直线的方程我们是怎样建立起来的？
一个点＋一个方向：点斜式
特殊形式(斜截式）
直线的确定
两个点：两点式
特殊形式（截距式）
y-y0=k(x-x0)
y y1
x x1
（x1 x2，y1 y2）
y1 y2 x1 x2
直线的几何要素
类似地，想要建立圆的方程需要确定圆的几何要素
问题1：什么是圆？初中时我们是怎样给圆下定义的？
定长 点
定点
平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆．
问题2：圆的几何要素是什么？（如何确定一个圆？）
圆的大小由什么确定？圆的位置由什么确定？
半径
圆心
确定圆的几何要素：圆心和半径
A
r
问题3：至此你能根据圆的定义及圆的几何要素确定圆
的方程了吗？
定长 点
定点
平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆．
2、我们是如何获取这些知识的？
高中数学圆的方程课件1 新课标 人教版 必修2(B)
同． 圆的一般方程的特点 ：
（1）和的系数相同，都不为 0． （2）没有形如的二次 项． 圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：
（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆 心和半径一目了然．
（2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与 结构，更适合方程理论的运用．
【实例分析】
例1：下列方程各表示什么图 形．
（1） x2 y2 0
（2） x2 y2 2x 4 y 4 0
（3） x2 y2 2ax b2 0
例2：求过三点O0，0，M11，1, M24，2 的圆的方程，
并求出圆心坐标和半 径．
例3： 经过点 M 6，0 作圆 C：x2 y2 6x 4 y 9 0
的割线，交圆C 于 A、B 两点，求线段AB的中点P的轨
x
D
2
y
D
2
D2
E2
4F
②
2 2
4
（1）当 D2 E2 4F 0 时， ②表示以为 D ， E 圆心、
2 2
以 1 D2 E2 4F 为半径的圆； 2 （2）当 D2 E2 4F 0 时， ②表示一个点 D ， E ；
2 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，②不表示任何曲 线．
教学难点
圆的一般方程特点的研究．
【引入】
圆的标准方程： x a2 y b2 r 2
把它展开得： x2 y2 2ax 2by a2 b2 r 2 0
任何圆的方程都可以通过展开化成形如：
x2 y2 Dx By F 0
①
的方程．
【问题1】
形如①的方程的曲线是否都是圆？
①配方法，得：
圆的一般方程的定义：
人教版高中数学必修圆与方程的教案
人教版高中数学必修圆与方程的教案方程，是指含有未知数的等式。
方程是表示两个数学式(如两个数、函数、量、运算)之间相等关系的一种等式，使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。
求方程的解的过程称为“解方程”。
今天在这给大家整理了一些人教版高中数学必修圆与方程的教案，我们一起来看看吧!人教版高中数学必修圆与方程的教案1圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程(1)标准方程，圆心，半径为r;(2)一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点;当时，方程不表示任何图形。
(3)求圆方程的方法：一般都采纳待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r;若利用一般方程，需要求出D，E，F;另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：(1)设直线，圆，圆心到l的距离为，则有;;(2)过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(课本命题).②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广).4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
当时两圆外离，此时有公切线四条;当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条;当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线;当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线;当时，两圆内含;当时，为同心圆。
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7.6 圆的方程
课时安排
3课时
从容说课
圆是同学们比较熟悉的曲线.本节将介绍圆的标准方程、一般方程和参数方程，其中标准方程和一般方程又统称为圆的普通方程.三种方程各有特点，且可互化.所以通过对本节的学习，应熟练掌握圆的三种方程，并能相互灵活转化.
在初中几何课中己学习过圆的性质，这里只是用解析法研究它的方程与其他图形的位置关系及一些应用.
●课题
§7.6.1 圆的方程（一）
●教学目标
（一）教学知识点
圆的标准方程.
（二）能力训练要求
1.掌握圆的标准方程；
2.能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程；
3.从圆的标准方程熟练地求出圆心和半径.
（三）德育渗透目标
1.渗透数形结合思想；
2.培养学生的思维素质；
3.提高学生的思维能力.
●教学重点
已知圆的圆心为（a,b)，半径为r，则圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.特别地，a=b=0时，它表示圆心在原点，半径为r的圆：x2+y2=r2.
●教学难点
根据条件，利用待定系数法确定圆的三个参数a、b、r，从而求出圆的标准方程.
●教学方法
引导法
引导学生按照求曲线方程的一般步骤根据条件归纳出圆的标准方程.
●教具准备
投影片两张
第一张：§7.6.1 A
第二张：§7.6.1 B
例：如图所示是圆拱桥的一孔圆拱的示意
图.该圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，在建
造时每隔4 m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2
的高度.（精确到0.01 m）.
●教学过程
Ⅰ.课题导入
我们知道，平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点就是圆心，定长就是半径.那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？
Ⅱ.讲授新课
（打出投影片§7.7.1 A)
请同学们试着来求一下圆心是C (a ,b )，半径是r 的圆的方程. ［师］（引导学生分析）：根据圆的定义，不难得出圆C 就是到圆心C (a ,b )的距离等于定长r 的所有点所组成的集合.
［师］这个集合是怎样的一个集合呢？是否可用数学语言把它描述出来？
［生］圆C 就是集合P ={M ｜｜MC ｜=r }.
［师］这样的话，不妨设M （x ,y )是圆上任意一点，由两点间的距离公式，点M 适合的条件可表示为……
［生］（回答）：r b y a x =-+-22)()(.
［师］整理此式，可得到……
［生］(x -a )2+(y -b )2=r 2
.
［师］这个方程就是圆心为C (a ,b )，半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.如果圆心在坐标原点，这时a =0,b =0,则圆的方程是……
［生］x 2+y 2=r 2.
［师］看来，只要已知圆心坐标和半径，便可写出圆的标准方程.
下面，我们看一些例子.
［例1］求以C （1，3）为圆心，并且和直线3x -4y -7=0相切的圆的方程.
分析：要想写出圆的方程，需知圆心坐标和半径，圆心为C （1，
3），而半径需根据已知条件求得，因为圆C 和直线3x -4y -7=0相切，所以半径r 等于圆心C 到这条直线的距离，而后可写出圆C 的方程.
解：已知圆心是C （1，3），
∵圆C 和直线3x -4y -7=0相切，
∴半径r 等于圆心C 到这条直线的距离.
由点到直线距离公式，可得
r =516)4(37
34132=-+-⨯-⨯. ∴所求的圆的方程是
(x -1)2+(y -3)2=25
256. ［例2］已知圆的方程是x 2+y 2=r 2，求经过
圆上一点M （x 0,y 0）的切线的方程.
分析：欲求过M 的直线方程，只要求出此
直线斜率即可.
解：设切线的斜率为k ，半径OM 的斜率为k 1，
∵圆的切线垂直于过切点的半径，
∴k =-
11k . ∵k 1=0
0x y .
∴k =-00
y x .
∴经过点M 的切线方程是：
y -y 0=-00
y x (x -x 0),
整理得x 0x +y 0y =x 02+y 02.
又∵点M （x 0,y 0)在圆上，
∴x 02+y 02=r 2
.
∴所求切线方程是x 0x +y 0y =r 2.
当点M 在坐标轴上时，切线方程为： x =x 0或y =y 0.
可看出上面方程也同样适用.
（打出投影片§7.7.1 B)
［例3］这是一实际应用例子.
分析：首先我们应建立恰当的坐标系，将这一问题转化为数学问题.
解：建立坐标系，圆心在y 轴上，设圆心的坐标是(0,b )，圆的半径是r ，那么圆的方程是x 2+(y -b )2=r 2
.
∵P 、B 都在圆上，所以它们的坐标（0，4）、（10，0）都是这个圆的方程的解.
∴⎩⎨⎧=-+=-+.)0(10,)4(0222222r b r b 解得：b =-10.5,r 2=14.52
∴圆方程为：
x 2+(y +10.5)2=14.52.
把点P 2的横坐标x =-2代入这个圆方程，
得（-2）2+（y +10.5)2=14.52,
∵P 2的纵坐标y ＞0
∴y +10.5=22)2(5.14--
即y =22)2(5.14---10.5
≈14.36-10.5=3.86 (m)
答：支柱A 2P 2的高度约为3.86 m.
Ⅲ.课堂练习
［生］课本P 77,练习1，2，3，4.
1.写出下列各圆的方程：
（1）圆心在原点，半径是3；
解：x 2+y 2=9.
（2）圆心在点C （3，4），半径是5；
解：（x -3）2+(y -4)=5.
(3)经过点P （5，1），圆心在点C （8，-3）
解：r =｜PC ｜=5)31()85(22=++-
圆方程为：(x -8)2+(y +3)2=25
2.已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x +3y -70=0相切，求
圆的方程
.
解：∵圆的半径r 为原点到直线4x +3y -70=0的距离. ∴r =143470
22=+.
∴圆方程为：x 2+y 2
=196.
3.写出过圆x 2+y 2=10上一点M (2,6)的切线的方程. 解：利用例2结论可得：
切线方程为2x +6y =10.
4.已知圆的方程是x 2+y 2=1,求：
（1）斜率等于1的切线的方程.
（2）在y 轴上截距是2的切线的方程.
解：（1）设切点坐标为M (x 0,y 0)
则k OM =-1=0
x y
又∵x 02+y 02
=1 ∴⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==
2
2
22
22220000y x y x 或
∴切线方程为y ＋22
=x -22
或y -22
=x +22
即:y =x ±2.
（2）设切点M （x 0,y 0），切线与y 轴交点B （0，
2）
则：k OM ·k BM =-1 即0
0002
x y x y -⋅=-1
x 02
+y 02-2y 0=0
又∵x 02+y 02
=1
(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2 ［例3］ ∴或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2
22200x y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==222200x y ∴切线方程为y =±x +
2.
Ⅳ.课时小结 通过本节学习，首先要掌握根据圆心坐标和圆的半径可写出圆的标准方程.
其次，根据圆的标准方程可求得圆心坐标和半径.
另外，还要会变通一些条件，从而求得圆的半径或圆心坐标，以便写出圆的标准方程.还需了解的是过圆x 2+y 2=r 2上一点(x 0,y 0)的切线方程为：x 0x +y 0y =r 2
.
最后，还要注意结合初中所学的平面几何知识和前面所学的直线方程的有关知识解决一些综合性问题.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P 81习题7.6 1,2,3,4.
(二）1.预习内容：课本P 77～79
2.预习提纲：
（1）圆的一般方程有何特点？
（2）圆的标准方程和圆的一般方程如何互化？
●板书设计
§7．6．1 圆的方程（一）
一、圆的标准方程
［例1］
［例2］。