曲线积分

曲线积分知识点讲稿

一.对弧长的曲线积分:

1.引例 :设L 是质量分布不均匀的构件，

密度为f(x,y)，则弧

M i-1M i 的质量

△M i =f(ξi , ηi )△s i

M=i n

i i i s f ∆∑

=→),(lim

1

ηξλ

2.弧长曲线积分的定义: 设L 为OXY 平面内的一条光滑曲线弧，端点为A,B,函数f(x,y)在L 上有界，在L 上任意插入一系列点),(,),,(),,(111222111---⋯n n n y x M y x M y x M ，并取B M A M n ==,0，把L 分成n 个小段，令第i 个小弧段的长度为△s i ，又),(i i ηξ为第i 个小弧段上的任意一点，

作乘积i i i s f ∆),(ηξ(i=1,2,3,…，n),并对i 求和i n

i i i s f ∆∑=),(1

ηξ，如果当各个小弧段的长度的

最大值λ→0时，这个和式的极限存在，则称此极限值为函数f(x,y)在曲线弧L 上对弧长的

曲线积分或第一类曲线积分，记为⎰L

ds y x f ),(，即

⎰

L

ds y x f ),(=i n

i i i s f ∆∑

=→),(lim

1

ηξλ

其中f(x,y)叫做被积函数，L 叫做积分弧段. 3.对弧长曲线积分的性质: (1). =±⎰L

ds y x g y x f )],(),([⎰

L

ds y x f ),(⎰±

L

ds y x g ),(

(2). ⎰L

ds y x kf ),(=⎰

L

ds y x f k ),(

(3).

⎰

L

ds y x f ),(=⎰1

),(L ds y x f +

)(),(212

L L L ds y x f L +=⎰

(4). 变换L 的起点和终点，对弧长的曲线积分的值不变(但一般取下限<上限). (5).

⎰=L

L ds

其中L 表示曲线的弧长,也可看作如下三种情况的推广.

a b dx

b

a

-=⎰, [b-a]的长度,

D dxdy

D

=⎰⎰ D 的面积,

Ω=⎰⎰⎰Ω

dxdydz

Ω的体积.

Y

二.对弧长的曲线积分的计算法

设f(x,y)在曲线弧L 上有定义且连续 (1).L 是参数方程 ⎩

⎨⎧==)()

(t y t x ψϕ (α≤t ≤β)

φ(t),ψ(t)有一阶连续导数 并且0)()(22≠'+'t t ψϕ 2

2

)()(y x s ∆+∆≈

∆ 又∵

dt t t dt t x )()()(ϕϕϕ'≈-+=∆ , dt t t dt t y )()()(ψψψ'≈-+=∆

∴△s 的近似值即弧长元素d s 为

2

2222

2

))(())(()()(dt t dt t dy dx ds ψϕ'+'=

+=

=dt t t )()(22ψϕ'+'

∴⎰L

ds y x f ),(=]

)(),([⎰β

α

ψϕt t f dt t t )()(2

2ψϕ'+'

(2).曲线L 的方程 : ⎩⎨

⎧≤≤==)(,)

(b x a x y y x x 则

⎰

L

ds y x f ),(=⎰b

a

x y x f )]

(,[dx x y )(12

'+

(3). 曲线L 的方程 ⎩⎨

⎧≤≤==)(,)(d y c y

y y x x 则

⎰

L

ds y x f ),(=⎰d

c

y y x f ]

),([dy y x )(12

'+

(4).曲线Γ为空间曲线其方程为: ⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤===)(,)()

()(βαωψϕt t z t y t x 则

⎰

Γ

ds z y x f ),,(=⎰β

α

ωψϕ)]

(),(),([t t t f dt t t t )()()(2

22ωψϕ'+'+'

★(5)曲线方程是极坐标形式 L: r=r(θ), θ0≤θ≤θ1 ⎩

⎨⎧==θθθθs i n )(c o s

)(r y r x (θ0≤θ≤θ1) 则

θθθθθθθθθd r r r r f ds y x f L

⎰

⎰

'+=

1

)()(]sin )(,cos )([),(2

2

计算对弧长的曲线积分 : 1.

⎰+

L

ds y x )2(,其中L 为连接两点(2,0),(0,3)的直线段

解: AB:

13

2=+y x ,即x y 2

33-

=

∴2

131,2

32

=

'+-

='y y X

0 A(2,0)

⎰⎰⎰+=

-

+=

+2

2

0)32

1(

2

132

13)

2

332()2(dx x dx x x ds y x L

=213

7)341(2132

2=

+x x 2. ∮L

(x 2+y 2)n ds,其中L 为圆周 x=acost, y=asint (0≤t ≤2π)

解: adt dt y x ds t a y t a x ='+'=

='-='22

,cos ,sin

∮L

(x 2+y 2)n ds=1

220

2

2

2])sin ()cos [(+=+⎰n n a

adt t a t a ππ

3. I=∮L

(x 2+y 2+5)n ds= 12π , 其中L 为x 2+y 2

=1的圆周.

4. I=∮L

(4x 2+5y 2

-16)ds= 4K , 其中L 为椭圆

14

5

2

2

=+

y

x

,周长为K.