中值定理与导数的应用

第三章 中值定理与导数的应用§3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)), 那么f '(x 0)=0.罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)('=ξf .例:设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)1(=f ，证明：在(0,1)内存在ξ，使得ξξξ)()(f f -='．【分析】本题的难点是构造辅助函数，可如下分析：()0)(0)()(0)()()()(='→='+→='+→-='x xf x f x x f f f f f ξξξξξξ【证明】令)()(x xf x G =，则)(x G 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且0)1(1G (1)0,0)(0)0(====f f G ,)()()(x f x x f x G '+=' 由罗尔中值定理知，存在)1,0(∈ξ，使得)()()(ξξξξf f G '+='．即ξξξ)()(f f -='例：设函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有二阶导数且存在相等的最大值，f (a )=g (a ), f (b )=g (b ), 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()().f g ξξ''''=【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令()()()F x f x g x =-，则问题转化为证明()0F ξ''=, 只需对()F x '用罗尔定理，关键是找到()F x '的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F (a )=F (b )=0, 若能再找一点(,)c a b ∈，使得()0F c =，则在区间[,],[,]a c c b 上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对()F x '用罗尔定理即可。

【证明】构造辅助函数()()()F x f x g x =-，由题设有F (a )=F (b )=0. 又f (x ), g (x )在(a , b )内具有相等的最大值, 不妨设存在21x x ≤, ),(,21b a x x ∈使得12[,][,]()max (),()max ()a b a b f x M f x g x M g x ====，若21x x =，令1x c =, 则()0.F c =若21x x <，因111222()()()0,()()()0F x f x g x F x f x g x =-≥=-≤，从而存在12[,](,)c x x a b ∈⊂，使()0.F c =在区间[,],[,]a c c b 上分别利用罗尔定理知，存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==. 再对()F x '在区间12[,]ξξ上应用罗尔定理，知存在12(,)(,)a b ξξξ∈⊂，有()0F ξ''=， 即 ()().f g ξξ''''= 二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 满足（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, 那么在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ, 使得等式))(()()('a b f a f b f -=-ξ例:. 证明当x >0时,x x xx <+<+)1ln(1. 证 设f (x )=ln(1+x ), 显然f (x )在区间[0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有 f (x )-f (0)=f '(ξ)(x -0), 0<ξ<x 。

由于f (0)=0,x x f +='11)(, 因此上式即为ξ+=+1)1l n (x x .高等数学教案 §3 中值定理与导数的应用又由0<ξ<x , 有x x xx <+<+)1l n (1.例 证明：当0<b<a 时，b ba b a a b a -<<-ln 【分析】即证：b b a b a a 1ln ln 1<--< 【证明】令],[,ln )(a b x x x f ∈=，在],[a b 上使用拉格朗日中值定理，知存在，使),(a b ∈ξξξ1)(ln ln ='=--f b a b a,a b <<ξ所以b a 111<<ξ，即b b a b a a 1ln ln 1<--< ，变形得证。

例(真题)设函数()f x 在[0,]+∞上可导，(0)0lim ()2x f f x →+∞==且，证明（1）存在0a >，使得()1f a =（2）对（1）中的a ，存在(0,),a ξ∈使得1'().f aξ=证明：（1）因为lim ()2x f x →+∞=，对于12ε=，存在0A >,使得当x A ≥时，1|()2|2f x -<，因此3()2f A >，由连续函数的介值性，存在(0,)a A ∈，使得()1f a =。

（2）由拉格朗日中值定理，存在(0,),a ξ∈使得()(0)1'().0f a f f a aξ-==-定理 如果函数f (x )在区间I 上的导数恒为零, 那么f (x )在区间I 上是一个常数.例:求证2arccos arcsin π=+x x )11(≤≤-x .证 设)(x f x x arccos arcsin +=，当11<<-x 时有01111)(22≡--+-='xxx f由推论1，)(x f 在区间)1,1(-内为一常数C ，即C x x =+arccos arcsin下面确定常数C 的值，不妨取0=x ，得200arccos 0arcsin )0(π+=+==f C所以当11<<-x 时， 2a r c c o s a r c s i n π=+x x对于1±=x 时，等式显然成立，故命题得证. 三、柯西中值定理柯西中值定理 如果函数f (x )及F (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 且F '(x )在(a , b )内的每一点处均不为零, 那么在(a , b )内至少有一点ξ , 使等式)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=--. 成立.显然, 如果取F (x )=x , 那么F (b )-F (a )=b -a , F '(x )=1, 因而柯西中值公式就可以写成: f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ) (a <ξ<b ), 这样就变成了拉格朗日中值公式了. §3. 2 洛必达法则若0)(lim =→x f ax ，0)(lim =→x g ax ，则 )()(limx g x f ax → 称为00的待定型。

类似的待定型有：00，∞∞，∞⋅0，∞-∞，∞1，00，0∞。

一、00型未定式定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）)()(limx F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 )()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→高等数学教案 §3 中值定理与导数的应用这个定理说明：当)()(limx F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(limx F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.例:计算极限33221216lim 248x x x x x x →-+--+．解:由洛必达法则，得33221216lim 248x x x x x x →-+--+222312lim 344x x x x →-=--263lim 642x x x →==-注:若(),()f x g x ''仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即()()()limlim lim ()()()x ax a x a f x f x f x g x g x g x →→→'''==='''．例: 计算极限arctan 2lim 1x x xπ→+∞-．解arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2211lim 1x x x→+∞-+=-22lim 11x x x →+∞==+． 例: 求极限220)sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→解220)sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→xx xx x x 2sin 12sin 2cos 2sin 2lim 20+--=→ 3sin 112cos 222sin lim20-=⎪⎭⎫⎝⎛+--=→x x x x x 例(真题)求极限()[]41cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+【解析】()[][]244001ln(1tan )1cos ln(1tan )2lim lim sin sin x x x x x x x x x x→→-+--+= 22201ln(1tan )lim 2sin sin x x x x x x→-+=201ln(1tan )1lim 2sin 4x x x x →-+== 二、∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）)()(limx F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用例:计算极限lim (0)nx x x n e→+∞>．解所求问题是∞∞型未定式，连续n 次施行洛必达法则，有 lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n xx n n x -→+∞-= !lim0e xx n →+∞===． 在使用洛必塔法则时应注意以下几点：①洛必塔法则只适用于00型或∞∞型的极限.②如果(x)g )(lim ''x f 仍是00型或∞∞型,则可继续使用洛必塔法则.③如果(x)g )(lim ''x f 不存在且不是∞,并不表明g(x))( lim x f 不存在,只表明洛必塔法则失效,这时应用其他方法求解,即洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．)()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→高等数学教案 §3 中值定理与导数的应用例:sin 2lim2x x xx→∞+=三、其它类型极限求法除00型与∞∞型的未定式之外，还有,0∞⋅ ∞-∞，00，∞1，0∞等未定式，对这类未定式求极限，通常是利用代数恒等变形转化为00或∞∞型，然后用洛必达法则进行计算.例: 求x x x ln lim 0+→. 解 这是∞⋅0型，因此0lim 11lim 1ln lim ln lim 202000=-=-==++++→→∞∞→→xx xx x x x x x x x x .例: 求).1sin 1(lim 0xx x -→ 解 这是∞-∞型，因此 0s i n c o s 2s i n lim cos sin cos 1lim sin sin lim )1sin 1(lim 00000000=-=+-=-=-→→→→xx x x x x x x x x x x x x x x x x例9 求x x x 2tan 4)(tan lim +→π.解 这是∞1型，因此ee eee x xx xxx x x x x x x x 1lim )(tan lim 1)cos sin 22sin (lim 2cot tan ln limtan ln 2tan 42tan 444=====--⋅→→+→+→++ππππ. §3. 3 泰勒公式 一、n 阶泰勒公式１. n 阶带有Lagrange 型余项的Taylor 公式定理1（泰勒） 若函数f 在(a,b)上存在直到n 阶的连续导函数,在(a,b)内存在n ＋1阶导函数,则对任意给定的),(,0b a x x ∈,至少存在一点ξ使得：()(1)1000000()()()()()()()()1!!(1)!n n n n f x f x f f x f x x x x x x x n n ξ++'=+-++-+-+ξ在0,x x 之间。