正弦交流电有效值的证明

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正弦式交变电流有效值

正弦式交变电流有效值正弦式交变电流有效值，在电工领域是一个非常重要的概念。

交流电是在电路中流动的电流或电压是随时间变化的，而正弦式交变电流则是一种特定形式的交流电。

有效值则是指交流电的幅值，其实际功率损耗与相同幅值的直流电相同的值。

本文将详细介绍正弦式交变电流有效值的相关知识。

我们来了解一下正弦式交变电流的特点。

正弦式交变电流是指电流随时间呈正弦变化的交流电。

在电路中，正弦式交变电流是最常见的一种形式，因为它具有周期性强、稳定性好等特点。

正弦式交变电流的波形呈正弦曲线，可以用数学函数来描述，其频率、幅值等参数都可以通过数学计算来确定。

然后，我们来谈一谈正弦式交变电流有效值的概念。

有效值是指在交流电中，与相同幅值的直流电所产生的功率相同的交流电的幅值。

换句话说，有效值是交流电的幅值，使其在相同电阻上产生的功率与相同幅值的直流电相同。

有效值在电路分析和设计中起着重要作用，可以帮助我们准确计算电路中的功率损耗和电压、电流的大小。

接着，我们来看看如何计算正弦式交变电流的有效值。

在实际应用中，我们可以通过测量交流电的波形，然后利用数学公式计算得出有效值。

一般来说，正弦式交变电流的有效值等于其幅值乘以0.707。

这个系数是根据正弦波形的性质和功率计算得出的。

通过计算有效值，我们可以更准确地分析电路中的功率消耗和电压、电流的大小。

我们来探讨一下正弦式交变电流有效值在实际应用中的作用。

在电力系统和电子设备中，正弦式交变电流的有效值是一个非常重要的参数。

通过准确计算有效值，我们可以更好地设计电路，提高电路的效率和稳定性。

在电力系统中，有效值也是衡量电能消耗和传输效率的重要指标。

因此，正弦式交变电流有效值在实际工程中具有重要的意义。

正弦式交变电流有效值是电工领域中一个重要的概念，它可以帮助我们准确分析电路中的功率损耗和电压、电流的大小。

通过理解正弦式交变电流有效值的概念和计算方法，我们可以更好地应用于实际工程中，提高电路的效率和稳定性。

正弦交流电的有效值

正弦交流电的有效值
正弦交流电的有效值是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解电压和电
流的变化，并在实践中有效运用这种知识。

正弦交流电的有效值可以根据伏安定律的经验值来计算，这一公式定义了正弦
交流电的有效值。

根据伏安定律，正弦交流电的有效值计算公式为：
Veff=Vp×1.11/1.4142，其中Vp表示正弦交流电高峰值，Veff表示正弦交流电的
有效值。

另外，根据充分证明的电力计算公式，正弦交流电的有效值是RMS（Root
Mean Square）值的一种特殊形式，可以表示为：Veff=Va×1.44/2π，其中Va表
示正弦交流电的根均方（RMS）值。

正弦交流电的RMS值是按照电力的单位以期望
的方式进行衡量的，但是正弦交流电的有效值更能准确地表征正弦交流电的实际性能。

正弦交流电的有效值必须严格遵守以上规则，以便实现准确的测量操作。

正弦
交流电的有效值与方波和矩形波相比都要低得多，且增加波形的宽度与同频率方波相比降低有效值，而且正弦交流电的有效值的变化会不断影响测量结果的准确性。

因此，正弦交流电的有效值严格地遵循着以上公式，以便实现准确的测量操作，解决好各种有关正弦交流电的问题，实现高效率、低成本的控制运行与电压控制。

自己理解的正弦波正弦量、平均值、有效值的推导

自己理解的正弦波正弦量、平均值、有效值的推导wxleasyland@2013.1.30有点忘记怎么推导了，自已再重新理解下。

一、基本公式对于一个时间函数的正弦波：即函数是u＝F(t)，注意u≠sin(t)，F≠sin。

但是它是一个正弦波，故u＝sin(￡)，￡与t存在关系即：u＝F(t)＝sin(￡)，￡与t存在关系，￡的单位是角度，t的单位是秒。

sin 只能对“角度”，不能对“秒”。

“秒”要转换成“角度”才能sin。

现在来求解￡是什么，发现：O点，t＝0时，￡＝0A点，t＝T时，￡＝2πB点，t＝2T时，￡＝2×2π即￡与t的关系是￡＝（2π/T）×t故得：u＝F(t)＝sin(￡)＝sin(（2π/T）t) ！！！！另，角速度＝2π/t角频率ω＝2π/T＝2πf，T为周期，f为频率故最终：u＝sinωt！！！！即t乘以ω后，就变成角度了，ωt是角度，就可以sin了！二、对于各种提前、延后的情况：数学上的角度sin曲线（￡为角度）工程上的时间sin曲线（t为时间，T为周期）正常u＝sin￡u＝sinωt提前u＝sin（￡＋π／2）u＝sin（ωt＋π／2）＝sin（ωt＋ω×T／4）延后u＝sin（￡－π／2）u＝sin（ωt－π／2）＝sin（ωt－ω×T／4）即sin函数里面的都是角度！时间需要乘以ω转成角度。

角度要转成时间，就要除以ω。

π／2＝ω×T／4，即T／4相当于是π／2。

三、平均值时间和角度是相当的，角度可以代替时间去计算，这就方便多了。

1. 正弦波平均值肯定为0。

把角度当作时间来简化计算。

把2π当作周期T，把小片段角度d￡当作小片段时间dt。

在一个周期T内的平均值，即是∫u×dt／T，即相当于∫u×d￡／2π用角度时：u=sin￡则∫u×d￡／2π＝∫sin￡×d￡／2π在0～2π区间作积分：故∫sin￡d￡／2π＝(－cos2π＋cos0)/2π＝02. 全波整流的平均值：只要计算0～π即可：∫sin￡d￡／π＝(－cosπ＋cos0)/π＝2／π＝0.6366即平均值＝峰值的0.6366倍。

正弦信号有效值计算公式

正弦信号有效值计算公式
1. 正弦信号有效值定义。

- 设正弦信号u = U_msin(ω t+φ)（U_m为正弦信号的幅值，ω为角频率，φ为初相位）。

- 有效值是根据电流的热效应来定义的，让交流电和直流电分别通过相同的电阻，如果在相同时间内它们产生的热量相等，就把这一直流电的数值叫做这一交流电的有效值。

- 根据有效值的定义，对于正弦电流i = I_msin(ω t+φ)通过电阻R，在一个周期T=(2π)/(ω)内产生的热量Q。

- 对于交流电Q=∫_0^Ti^2Rdt=∫_0^TI_m^2sin^2(ω t +φ)Rdt。

- 因为sin^2(ω t+φ)=(1 - cos(2ω t + 2φ))/(2)，所以Q=∫_0^TI_m^2(1-cos(2ω t + 2φ))/(2)Rdt。

- 计算积分∫_0^Tcos(2ω t+2φ)dt = 0（因为在一个周期内余弦函数的积分为0），∫_0^Tdt=T。

- 所以Q=frac{I_m^2R}{2}∫_0^Tdt=frac{I_m^2RT}{2}。

- 对于直流电I通过电阻R在时间T内产生的热量Q' = I^2RT。

- 由于Q = Q'，即frac{I_m^2RT}{2}=I^2RT，解得I=(I_m)/(√(2))。

- 同理，对于正弦电压u = U_msin(ω t+φ)，其有效值U=(U_m)/(√(2))。

所以，正弦信号（电流或电压）的有效值等于其幅值除以√(2)。

交流电有效值计算方法

交流电有效值计算方法1.如何计算几种典型交变电流的有效值答：交流电的有效值是根据电流的热效应规定的.让交变电流和直流电通过同样的电阻，如果它们在同一时间内产生的热量相等，就把这一直流电的数值叫做这一交流电的有效值.解析：通常求交变电流的有效值的类型有如下几种：（1）正弦式交流电的有效值此类交流电满足公式e =E m s in ω t ,i =I m s in ω t它的电压有效值为E =2mE ，电流有效值I =2mI对于其他类型的交流电要求其有效值，应紧紧把握有效值的概念.下面介绍几种典型交流电有效值的求法.（2）正弦半波交流电的有效值若将右图所示的交流电加在电阻R 上，那么经一周期产生的热量应等于它为全波交流电时的1/2，即U 半2T /R=21（RT U 2全），而U 全=2mU ，因而得U 半=21U m ，同理得I 半=21I m . （3）正弦单向脉动电流有效值因为电流热效应与电流方向无关，所以左下图所示正弦单向脉动电流与正弦交流电通入电阻时所产生的热效应完全相同，即U =2mU ，I =2mI .（4）矩形脉动电流的有效值如右上图所示电流实质是一种脉冲直流电，当它通入电阻后一个周期内产生的热量相当于直流电产生热量的T t ，这里t 是一个周期内脉动时间.由I 矩2R T =（T t ）I m 2RT 或（RU 2矩）T =Tt（Ru 2m ）T ,得I 矩=T t I m ，U 矩=T t U m .当T t =1/2时，I 矩=21I m ，U 矩=21U m . （5）非对称性交流电有效值假设让一直流电压U 和如图所示的交流电压分别加在同一电阻上，交变电流在一个周期内产生的热量为Q 1=222221TR U T R U ⋅+⋅，直流电在相等时间内产生的热量Q 2=RU 2T ，根据它们的热量相等有RU T R U 2212=⋅T 得U =)(212221U U +，同理有I =)(212221I I +.2.一电压U 0=10 V 的直流电通过电阻R 在时间t 内产生的热量与一交变电流通过R/2时在同一时间内产生的热量相同，则该交流电的有效值为多少解：根据t 时间内直流电压U 0在电阻R 上产生的热量与同一时间内交流电压的有效值U 在电阻R /2上产生的热量相同，则V 252,)2/(022===U U t R U t R U o 所以3.在图示电路中，已知交流电源电压u=200s in 10πt V ，电阻R=10 Ω，则电流表和电压表读数分别为A,200 V A,141 VA,200 V A,141 V 分析：在交流电路中电流表和电压表测量的是交流电的有效值，所以电压表示数为u =2200 V=141 V ，电流值i =R U=102200⨯ A=A.答案：B。

正弦交流电有效值的证明

正弦交流电有效值的证明证法一：假设有两个交变电压其最大值与周期均相同，瞬时值表达式分别为u 1=M m sin ωt 、u 2=U m cos ωt,其中，ω=2π/T,把它们分别加在两个阻值相同的电阻上，设电阻的阻值为R ，由于电流的热效应与电流的方向及先后作用的时间顺序无关，故在一个周期内两个交流电产生的热量相等，设都为Q ，产生的总热量Q 总=2Q 。

在任一时刻t ，这两个电阻上的热功率分别为()2211sin m U t u P R R ω==， ()2222cos mU t u P R R ω==. 两个电阻上总的发热功率为()222212sin cos m m U t t U P P P R Rωω+=+==。

可见两个电阻上总的发热功率是一个定值，与时刻t 无关，所以在一个周期内两个电阻上总的发热量为2m U Q PT T R==. 用一个恒定电压为U 的电源，分别给两个相同的电阻R 供电，在相同时间T 内，每个电阻产生的热量是Q=2U T R ，两个电阻产生的总热量为Q=22U T R.由热效应的等效可知222m U U T T R R =。

可得U =。

而这个恒定电流的电压U 就是正弦交变电流的电压的有效值。

电流、电动势有效值可同法证得。

证法二：设流过定值电阻R 的电流按正弦规律变化，即i=I m sin ωt,交流电的瞬时功率为p=i 2R=I m 2Rsin 2ωt. 因为21cos 2sin 2t t ωω-= 代入得 2211cos 222m m p I R I R t ω=-⋅。

上式中，后一项在一个周期内平均值为零，因此在一个周期内交流电平均功率为： 212m P I R =(为最大瞬时功率的一半) 如果考虑一个恒定电流I 与其等效，即P=I 2R ，就有 P=P ，即2212m I R I R =，所以I =U-U证法三：（积分法）设流过定值电阻R 的电流按正弦规律变化，即i=I m sin ωt.因为时刻t 瞬时功率p=i 2R=I m 2Rsin 2ωt ，则一个周期内电阻R 上产生的热量为Q=0Tpdt ⎰. 因为21cos 2sin 2t t ωω-=代入得 2211cos 222m m p I R I R t ω=-⋅,代入上式有： 220011cos 222T T m m Q I Rdt I R tdt ω=-⎰⎰。

正弦交流电有效值推导

正弦交流电有效值推导
正弦交流电有效值推导
一、定义
正弦交流电又称正弦波交流电，是指利用正弦函数为基本函数，经过离散化，产生的多少频率的正弦波形。

它是一种有规律的电信号，所表示的波形具有唯一的频率。

由于周期性的电压波形，一次正弦波可以完全描述出一个完整的周期。

正弦波交流电的有效值又称RMS（Root Mean Square），是指一个给定的正弦波模拟信号的平均功率等于一个实际电压指示器中类
似信号的功率的平方根，记作：
RMS=Vm/√2
其中Vm表示正弦波模拟信号的峰值电压；
二、推导
（1）对信号进行频率变换，因此可以得到：
V(t)=Vm·sin(ωt)
（2）由于一次正弦波可以完全描述一个完整的周期，所以可以写出：
V(t)=Vm·sin(2πft)
（3）将V(t)代入上式：
V(t)=Vm·sin(2πft)
（4）根据正弦波的定义可以得到：
V(t)=[Vm·sin(2πft)]/√2
（5）得出有效值的表达式：
RMS=Vm/√2
所以，正弦波的有效值可以由正弦波的峰值电压和根号2的比值来表示。

交流电有效值证明

2 m
R
T
U2
2T
U
2 m
T
R
R
U Um 2
正弦交流电有效值的证明
u Um sin(t)
方法3：
Q
T 0
(U m
sin(t))2
R
dt
Q Um2 T sin2 (t)dt R0
Q
U
2 m
T
U
2 有
T
2R
R
Q Um2 T 1 cos(2t) dt R0 2
Q Um2 (t sin(2t)) T
Q总
U2 R
2T
在任一时刻t，这两个电阻上的热功率分别为：
P1
u12 R
(U m
sin t)2
R
P2
u22 R
(U m
cos t )2
R
P
P1
P2
U
2 mΒιβλιοθήκη (sin2t
R
cos2
t)
U
2 m
R
可以看出：两个电阻上总的发热功率是一定值，与时刻
t无关。所以在一个周期内两个电阻上总的发热量为：
Q总
PT
U
方法2：
u1 U m sin t
u2 U m cost
把它们分别加在两个阻值相同的电阻上，设电阻的阻值
为R，由于电流的热效应与电流的方向及先后作用的时
间顺序无关，故在一个周期内两个交流电产生的焦耳热
相同，设都为Q，产生的总的焦耳热Q总=2Q。设它们交流电压的有效值为U，则有：
Q U2 T R
2R
2 0
U有
Um 2
Q Um2 T 2R
正弦交流电有效值的证明

交流电有效值计算方法

1.如何计算几种典型交变电流的有效值答：交流电的有效值是根据电流的热效应规定的.让交变电流和直流电通过同样的电阻，如果它们在同一时间内产生的热量相等，就把这一直流电的数值叫做这一交流电的有效值.解析：通常求交变电流的有效值的类型有如下几种：（1）正弦式交流电的有效值此类交流电满足公式e =E m s in ω t ,i =I m s in ω t它的电压有效值为E =2m E ，电流有效值I =2m I对于其他类型的交流电要求其有效值，应紧紧把握有效值的概念.下面介绍几种典型交流电有效值的求法.（2）正弦半波交流电的有效值若将右图所示的交流电加在电阻R 上，那么经一周期产生的热量应等于它为全波交流电时的1/2，即U 半2T /R=21（R T U 2全），而U 全=2m U ，因而得U 半=21U m ，同理得I 半=21I m . （3）正弦单向脉动电流有效值因为电流热效应与电流方向无关，所以左下图所示正弦单向脉动电流与正弦交流电通入电阻时所产生的热效应完全相同，即U =2m U ，I =2m I .（4）矩形脉动电流的有效值如右上图所示电流实质是一种脉冲直流电，当它通入电阻后一个周期内产生的热量相当于直流电产生热量的T t ，这里t 是一个周期内脉动时间.由I 矩2R T =（T t ）I m 2RT 或（R U 2矩）T =T t （R u 2m ）T ,得I 矩=T t I m ，U 矩=T t U m .当T t =1/2时，I 矩=21I m ，U 矩=21U m .（5）非对称性交流电有效值假设让一直流电压U 和如图所示的交流电压分别加在同一电阻上，交变电流在一个周期内产生的热量为Q 1=222221T R U T R U ⋅+⋅，直流电在相等时间内产生的热量 Q 2=RU 2T ，根据它们的热量相等有 RU T R U 2212=⋅T 得 U =)(212221U U +，同理有I =)(212221I I +. 2.一电压U 0=10 V 的直流电通过电阻R 在时间t 内产生的热量与一交变电流通过R/2时在同一时间内产生的热量相同，则该交流电的有效值为多少解：根据t 时间内直流电压U 0在电阻R 上产生的热量与同一时间内交流电压的有效值U 在电阻R /2上产生的热量相同，则V 252,)2/(022===U U t R U t R U o 所以 3.在图示电路中，已知交流电源电压u=200s in 10πt V ，电阻R=10 Ω，则电流表和电压表读数分别为A,200 V A,141 VA,200 V A,141 V分析：在交流电路中电流表和电压表测量的是交流电的有效值，所以电压表示数为 u =2200V=141 V ，电流值i =R U =102200⨯ A= A. 答案：B。

正弦交流电的瞬时值最大值和有效值

正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值
交流电在某一时刻的值称为瞬时值。

电动势、电压和电流的瞬时值分别用小写字母e、u和i表示。

最大的瞬时值称为最大值，也称为幅值或峰值。

电动势、电压和电流的最大值分别用符号Em、Um和Im表示。

在波形图中，曲线的最高点对应的值即为最大值。

交流电的有效值是根据电流的热效应来规定的，让一个交流电和一个直流电分别通过阻值相同的电阻，如果在相同时间内产生的热量相等，那么就把这一直流电的数值叫做这一交流电的有效值。

交流电动势、电压和电流的有效值分别用大写字母E、U和I表示。

计算表明，正弦交流电的有效值和最大值之间有如下关系：
Em=√2E Um=√2U Im=√2I
通常所说的交流电的电动势、电压、电流的值，凡是没有特别说明的，都是指有效值。

例如，照明电路的电源电压为220V，动力电路的电源电压为380V。

用交流电工仪表测量出来的电流、电压都是指有效值；交流电气设备铭牌上所标的电压、电流的数值也都是指有效值。

交流电。

交流电有效值与峰值计算公式推导过程

交流电有效值与峰值计算公式的推导过程兴安红叶 21:30:28满意回答设一周期电流i(t)通过电阻R，由于电流是变化的，各瞬间功率i^2R不同，在极短时间dt 内产生热量为i^2Rdt,在一个周期T内产生的热量为∫T i^2Rdt ,如果通过电阻R，经过时间T产生相等热量的直流电流的大小为I,则有∫T i^2Rdt=I^2RT,这就得到了电流的有效值I=[(1/T)∫T i^2dt]^(1/2)对正弦量，设i(t)=ImSIN(wt+∮）I={1/T∫T Im^2SIN^2(wt+∮)dt}^(1/2)因为 SIN^2(wt+∮)=(1/2)[1-COS^2(wt+∮)]所以 I={(Im^2/2T)∫T [1-COS^2(wt+∮)]dt}^(1/2)={Im^2/2T[t]T}^(1/2)=(Im^2/2)^(1/2)=Im/[2^(1/2)]=0.707Im兴安红叶 21:06:43有效值又叫“方均根值”-----先进行“方”（平方）运算，把其化为功率；再进行“均”（平均），在一个周期内进行功率平均；最后进行“根”（平方根）运算，计算出有效值。

比如说对于交流电压u，其有效值：兴安红叶 21:07:00（其中U是有效值，T是周期，u是瞬时值，可以是任何的周期函数。

）对于正弦波，u=UmSinωt 其中Um是峰值，ω是角频率。

代人上面的式子，计算后就可以得出用兴安红叶20:57:08 一、基本概念：交流电的有效值：正弦电流（电压）的有效值等于其最大值(幅值)的0.707倍。

兴安红叶20:59:27兴安红叶21:00:51兴安红叶21:01:19兴安红叶21:01:47兴安红叶21:02:03兴安红叶21:02:42兴安红叶21:04:11 交流电的有效值：在相同的电阻上分别通以直流电流和交流电流，经过一个交流周期的时间，如果它们在电阻上所损失的电能相等的话，则把该直流电流（电压）的大小作为交流电流（电压）的有效值，正弦电流（电压）的有效值等于其最大值(幅值)的0.707倍。

正弦交流电的最大值与有效值的倍数关系

正弦交流电的最大值与有效值的倍数关系正弦交流电的最大值与有效值之间存在一定的倍数关系，这是因为正弦波的振幅是不断变化的，而我们在计算电路中的电压和电流时通常需要用到一种平均值，这个平均值就是有效值。

有效值可以简单理解为正弦波在一个周期内产生的热效应等于同样时间内的直流电
的效果。

在数学上，正弦波的最大值等于其峰-峰值的一半，而峰-峰值等于最大值的两倍。

因此，最大值和有效值之间的倍数关系可以用以下公式表示：
最大值/有效值 = √2
这个公式表明，正弦交流电的最大值通常是其有效值的√2倍。

这个倍数关系对于计算电路中的电压和电流非常有用，因为它可以帮助我们更准确地计算电路中的功率和能量。

总之，正弦交流电的最大值和有效值之间存在着√2的倍数关系，这个关系对于电路计算很重要，需要在实际应用中注意使用。

- 1 -。

正弦交变电流有效值计算公式的推导

中学教学参考
2018··6 中旬
2018
物理·教学研究
要的结论，但课本没有给出推导过程，而是直接给出：I=
Im
Um
，U=
。
2
2
本文用微积分法、平均值法、三角函数法对推导法
物理学科与数学学科有着密切的联系，在运用物理
知识解题时，一般要进行数学推理和运算。同时新课改
物理·教学研究
正弦交变电流有效值计算公式的推导
广西贺州高级中学（542800）毛亮
［摘
要］对交流电有效值定义的理解和应用以及各种交流电的有效值的计算是高考对学生知识和能力考查的内容之一。人民
教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书物理选修 3-2 中，
正弦交变电流的电压和电流的有效值是一个重要的结论，
以来，数学教材已经发生了变化，在高中阶段已经引入
了导数和微积分的内容，而微积分的引入对高中物理的
教学是有促进作用的，虽说学习起来有点难，但是有利
于进入高校后的学习。
现有一正弦交变电流，
如图 1 ，它的瞬时表达式为
i1=Imsinωt。
交流电的电流、电压及功
图1
率都是随时间变化的，其中电
一门科学，更是一门艺术，是科学与艺术的综合。物理
课堂精准教学需要做到优化、独到；教师的教学热情与
教态可以激发教学活力；学生的学习要做到自主、深刻；
评价要做到科学、激励；借助信息技术要做到恰当、有
效。只有这样才能把精准教学落到实处。
［参考文献］
［1］彭红超，祝智庭 . 面向智慧学习的精准教学活动生成性设
学后教，当堂练习，个性教学，合作学习”这些都是符合
新课程理念与新时代要求的。

正弦交变电流有效值和最大值关系的简单推证

正弦交变电流有效值和最大值关系的简单推证
我们知道，交变电流的有效值是根据电流的热效应加以规定的．让交变电流和直流电分别通过相同的电阻R，如果它们在相同时间（比方一个周期）内产生的热量相等，就将这一直流电的数值称为这一交变电流的有效值．
正弦交变电流i（t）、正弦交变电压u（t）的有效值I、U与最大值I m、U m之间存在以下关系
设有一个电阻R，通以交变电流i，在很短的一段时间△tj内，流过电阻R的交变电流值ij可以认为是恒定的，因而很短时间△tj内在电阻R
如果一个周期T由N段极短时间间隔△t1、△t2、……△t j、……△t N（N是一个大数）组成，那么在一个周期内．交变电流在电阻R上产生的总热量Q为
而直流电流在同一时间内在电阻R上产生的热量
Q=I2RT
根据有效值的定义，当以上两种热量相等时，这个直流电流I的数值就等于交变电流i 的有效值，于是
上式右边常量R提到总和符号之外，就得到交变电流有效值为
（2）式右边是交变电流的平方，在一个周期内取平均后再取平方根．即交变电流的有效值实际等于它的方均根值，即
对于正弦交变电流，有
i=I m sinωt，i j=I m sinωtj
式中ω=2πf是角频率（f是频率）．因而
现在就将求有效值归结为求sin2ωt的平均值，然后开方，即求sinωt的方均根值．
利用三角函数关系
将它们分别在一周期内取平均．由于在一个周期内交流电的波形是对称的，sinωt、sin2ωt、…cosωt、cos2ωt…在一周期内的平均值为零，于是
由（5）、（6）
由（4）、（8）二式，最后得交变电流i的有效值
同理有交变电压u的有效值所以（1）式得证．。

正弦交流电的瞬时值、最大值、有效值

正弦交流电的瞬时值、最大值、有效值
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
正弦交流电的瞬时值、最大值、有效值
在了解正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值之前我们先来看看前一节课中的正弦交流电电动势波形图，如下右图所示。

这个波形图还可以用数学表达式表示为：
公式中：Em表示为最大值、ω为电角度、e为瞬时值、t表示时间。

由上述公式可见，交流电的大小是随着时间变化而变化的，瞬时值（某一瞬间）的大小在零和正负峰值之间变化，最大值也仅是一瞬间数值，不能反映交流电的做工能力。

于是便引入有效值的概念，其定义为：
如果交流电和直流电分别通过同一电阻，两者在相同的时间内所消耗的电能相等（或所产生的焦耳热相同），则此直流电的数值就叫做交流电有效值的数值。

正弦交流电的电动势、电压、电流的有效值分别以E、U、I表示。

通常所说的交流电的电动势、电压、电流的大小均值它的有效值。

交流电电气设备上标的额定值以及交流电仪表所指示的数值也均为有效值。

理论和实验均已表面、正弦交流电的有效值与最大值之间的关系为：
其他正弦量（电压、电流等）也可以写出文中开头第一个表达式的形式：
电压、电流也都有瞬时值、最大值、有效值。

一般瞬时值用小写字母（如u、i等）表示，最大值用大写字母附有下标m字母表示（如Um、Im）。

有效值用大写字母（U、I）表示。

最大值与有效值的关系为：。

交流电有效值的计算

交流电有效值的计算江苏省新海高级中学崔晓霞 222006交变电流的大小和方向随时间作周期性变化。

为方便研究交变电流的特性，根据电流的热效应引入了有效值这一物理量。

一、正弦交流电有效值表达式的推导：交流电的有效值是用它的热效应规定的，因此设法求出正弦交流电的热效应，才能求出其有效值，正弦交流电电压的瞬时值u =U m ·sinωt ，如果把这加在负载电阻R 上，它的瞬时电功率22cos 1sin 2222t R U t R U R u P mm ⋅-⋅=⋅==ωω 其图像如图1所示．由微元法可知，P-t 图线和t 轴之间所包围的面积就是功（图中打斜条的部分）．不难看出，图中有斜条打△的部分和无斜条打△的部分面积是相同的，因此打斜条部分的面积就是P =U 2m /2R 线和t 轴之间的面积．设正弦交流电电压的有效值是U ，根据有效值的定义：RU R U m 222= 可得：2/m U U = 同理可得：2/m I I =；2/m E E =此关系式仅适用于正弦交流电，那么非正弦交流电的有效值又该如何求解呢？二、非正弦交流电有效值的计算例1. 如图2甲乙所示分别表示交变电流随时间变化的图象，则这两个交流电的有效值分别是 V 和 A 。

解析：对于图甲，该交变电流在每个周期T 内都可看作两个阶段的直流电流：前T /3中，U 1=100V ，后2T /3中，U 2=50V 。

在一个周期中，该交变电流在电阻R 上产生的热量为：32503100323222221T R T R T R U T R U Q ⋅+⋅=+⋅= ① 设该交流电电压的有效值为U ，则上述热量T Q ⋅=RU 2②联立①、②两式，可得有效值为V 250=U 对于图乙，从t ＝0开始的任意一个周期内，前半周期是大小不变的直流电，为I A 15=，图1图2 甲乙后半周期是有效值为I A 252=的交变电流。

设所求交变电流的有效值为I ，根据有效值的定义，选择一个周期的时间，利用在相同时间内通过相同的电阻所产生的热量相等，由焦耳定律得 I RT I R T I R T 2122222=+ 即I 2225125212=⨯+⨯() 解得I A =532 点评：对于非正弦交流电，要从有效值从定义出发，根据热效应求解。