考研高数总复习第九章欧几里得空间第一节

同样地，线性空间 R[ x ] , R[ x ]n 对于内积 (2)
也构成欧几得里空间.
内积定义中的四个性质：
3.
欧几里得空间的性质 内积定义中内的积四定个义性中质的：四个性质：
下面来看欧几1)里(得空, 间)的=一(些基, 本)性；质.
首先，定1义) (中2)条,(k件) ,=()1=), (k()表,；,明)内=)积；(是,对称)的；.
式就成是就的成空为间一个C (欧a 几, b里) 中得，空对间于. 函以数后f仍(x用) , Rgn(x来) 表定示义这内
b 积个f (欧x)几g里(x得)d空x 间 .
1
b f 2 (x)dx 2
1
b g 2 (x)dx 2 .
的地位，因此有必要引入度量的概念.
解析几何中我们看到，向量的长度与夹角等度 量性质都可以通过向量的内积来表示，而且向量的 内积有明显的代数性质，所以在抽象的讨论中，我 们取内积作为基本概念.
一、内积
1. 定义
定义 1 设 V 是实数域 R 上一线性空间，在
内积 V 上定义了一个二元实函数，称为
，记作
或者
(, ) 0 , ( , )
也就是说 , 线性相关.
证毕
3. 两个著名的不等式
| (对,于 )例| 1| 在|中|线的 欧性| 几空里间得空R间n 中Rn，，对于(向4)量 式就
是
= (a1 , a2 , … , an ) , = (b1 , b2 , … , bn ) ,
( , )，它具有以下性质：
1) ( , ) = ( , )； 2) (k , ) = k( , )； 3) ( + , ) = ( , ) + ( , ) ； 4) ( , ) 0，当且仅当 = 0 时 ( , ) = 0 .
这里 , , 是 V 中任意的向量，k 是任意实
性质 2 柯西 - 布涅柯夫斯基不等式
设 , 是任意两个向量，则
| ( , ) | | | | |，
(4)
当且内仅当积 ,定 线义性相中关时的，等四号个才成性立. 质：
1)证(明,
)
当
=
(
=,
0 时)；，(4)
式显然成立.
以下
设 2)(0k. , )令=t k是(一个, 实)变；数，作向量
)==0
3) ( + , ) = ( , ) + ( , ) ； 由条件 4) (有, ( ), ) 0，0 . 当且仅所当以对于=任0意时的向( , )
量 ， (,) 是有意义的. 在几何空间中，向量 的长度为 (,) . 类似地，我们在一般的欧几
里得空间中引进向量长度的概念.
二、长度
在直角坐标系中的坐标表达式.
例 2 在闭区间 [a , b] 上的所有实连续函数所
成的空间 C (a , b) 中，对于函数 f (x) , g (x) 定义内
积
b
( f , g) a f (x)g(x)dx .
(2)
由定积分的性质不难证明，对于内积 (2)，C (a , b)
构成一欧几里得空间.
取
t (, ) . ( , )
代入 (5) 式，得
( , ) ( , )2 0 , ( , )
即
( , )2 ( , ) ( , ) .
两边开方便得
| ( , ) | | | | | .
当 , 线性相关时，等号显然成立.
反过来，如
果等号成立，由以上证明过程可以看出，或者 =0
1. 定义
定义 2 非负实数
( , ) 长 称为向量 的
度，记为 | |.
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的
长度才是零，这样定义的长度有以下的性质：
2. 性质
性质 1 设 k R, V , 则有
| k | Leabharlann Baidu | k | | |.
(3)
证明
| k | (k, k)
k 2 (,) | k || | .
| 定a1b义1 内a积2b2 anbn |
( , a12)=aa221 b1+ a2 ba2n2+ …b12 +abn22bn . bn2 .(1
对于| (显例然, 2，) 内|在中积闭的| 欧区(1几|)间|里适得[合a|空,定间b]义C上(中a的, 的b所) 条，有件实，连这(续4样)函，数R
因此，与 2) (3k)(, 相+)当=地,2k就)(()有k,=(,)；, )=) +k((,, ))；；
2 ) ( , k3)) =(4()k(+,),=,k()),3=)0)(=(，k(当,+,且))；,+仅()当=, ()=；, 0 时 ) + (( ,,
3
) (
,
+
4)
() ==,((+,),)+)0=(4，(), 当(,). 且),+仅( ), 当) 0，=当0且时仅(当,
第一节 定义与基本性质
主要内容
内积 长度 夹角 度量矩阵 举例
在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法
与数量乘法，统称为线性运算.
如果我们以几何
空间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型，
那么就会发现向量的度量性质，如长度、夹角等，
在线性空间的理论中没有得到反映.
但是向量的度
量性质在许多问题中(其中包括几何问题)有着特殊
= (a1 , a2 , … , an ) , = (b1 , b2 , … , bn ) ,
定义内积
( , ) = a1 b1 + a2 b2 + … + an bn .
(1)
显然，内积 (1) 适合定义中的条件，这样， Rn
就成为一个欧几里得空间.
以后仍用 Rn 来表示这
个欧几里得空间. 在 n = 3 时，(1) 式就是几何空间中向量的内积
数，这样的线性空间 V 称为欧几里得空间.
在欧几里得空间的定义中，对它作为线性空间 的维数并无要求，可以是有限维的，也可以是无限 维的.
几何空间中向量的内积显然适合定义中列举的 性质，所以几何空间中向量的全体构成一个欧几里 得空间.
2. 欧几里得空间举例
下面再看两个例子.
例 1 在线性空间 Rn 中，对于向量
3) ( + , =) =+(t ,. ) + ( , ) ；
由 4) (可, 知，) 不0论，t 当取何且值仅，当一定有= 0 时 ( , ) = 0 .
( , ) = ( + t , + t ) 0.
即
( , ) + 2( , ) t + ( , ) t 2 0.
(5)