考研高数总复习第九章欧几里得空间第一节
高等代数-9第九章 欧几里得空间
（线性性）
4) ( , ) 0, 当且仅当 o 时 ( , ) 0. （非负性）
则称 ( , )为 和 的内积,称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧几里得空间.
§1 定义与基本性质
b
§1 定义与基本性质
线性性 ( k f lg , h) a k f ( x ) lg ( x ) h( x )dx
b
k f ( x )h( x )dx l g ( x )h( x )dx
a a
b
b
k ( f , h ) l ( g , h)
非负性 ( f , f ) f ( x ) f ( x ) dx f 2 ( x ) dx 0 a a 且 ( f , f ) 0 f ( x ) 0. 故( f , g) 为一内积, C (a , b) 构成欧氏空间.
注1 欧几里得空间 V是特殊的线性空间. (1)V为实数域 R上的线性空间; (2)V既有向量的线性运算,还有内积运算; (3) , V ,( , ) R. 注2 欧几里得空间,Euclidean Space, 简称欧氏空间. 欧几里得(Euclid,约公元前330 年—前275年),古希腊数学家,是几 何学的奠基人,被称为“几何之 父”. 他最著名的著作是《几何原本》.
b b
§1 定义与基本性质
2. 内积的运算性质 设V为欧氏空间, , , , i V , k , l , ki R
1) ( , k ) k ( , ) 2) ( , ) ( , ) ( , ) 3) ( , k l ) k ( , ) l ( , ) 4) ( k l , ) k ( , ) l ( , )
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(欧几里得空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品】
第9章欧几里得空间9.1复习笔记一、定义与基本性质1．欧几里得空间定义设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（α，β），它具有以下性质：（1）（α，β）＝（β，α）；（2）（kα，β）＝k（α，β）；（3）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）；（4）（α，α）≥0，当且仅当α＝0时（α，α）＝0.这里α，β，r是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间．2．长度（1）定义非负实数称为向量α的长度，记为|α|．（2）关于长度的性质①零向量的长度是零，②|kα|＝|k||α|，③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0，向量1αα就是一个单位向量，通常称此为把α单位化．3．向量的夹角（1）柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量α，β有|（α，β）|≤|α||β|当且仅当α，β线性相关时，等号才成立．（2）非零向量α，β的夹角＜α，β＞规定为（3）如果向量α，β的内积为零，即（α，β）＝0，那么α，β称为正交或互相垂直，记为α⊥β．零向量才与自己正交．（4）勾股定理，即当α，β正交时，|α＋β|2＝|α|2＋|β|2．4．有限维空间的讨论（1）度量矩阵设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意两个向量α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋x nεn，β＝y1ε1＋y2ε2＋…＋y nεn，由内积的性质得a ij＝（εi，εj）（i，j＝1，2，…，n），显然a ij＝a ji，于是利用矩阵，（α，β）还可以写成（α，β）＝X'AY，其中分别是α，β的坐标，而矩阵A＝（a ij）nn称为基ε1，ε2，…，εn的度量矩阵．（2）性质①设η1，η2，…，ηn是空间V的另外一组基，而由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为C，即（η1，η2，…，ηn）＝（ε1，ε2，…，εn）C，于是基η1，η2，…，ηn的度量矩阵B＝（b ij）＝（ηi，ηj）＝C'AC；表明不同基的度量矩阵是合同的．②对于非零向量α，即有（α，α）＝X'AX＞0．因此，度量矩阵是正定的．二、标准正交基1．正交向量组欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组．按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组．2．标准正交基（1）定义在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基．说明：①对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基．②一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵．（2）标准正交基的求法①定理1n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基．②定理2对于n维欧氏空间中任意一组基ε1，ε2，…，εn，都可以找到一组标准正交基η1，η2，…，ηn，使L（ε1，ε2，…，εi）＝L（η1，η2，…，ηi），i＝1，2，…，n．定理2中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法称做施密特正交化过程．例：把α1＝（1，1，0，0），α3＝（－1，0，0，1），α2＝（1，0，1，0），α4＝（1，－1，－1，1）变成单位正交的向量组．解：①先把它们正交化，得β1＝α1＝（1，1，0，0），②再单位化，得3．基变换公式设ε1，ε2，…，εn与η1，η2，…，ηn是欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是A＝（a ij），即因为η1，η2，…，ηn是标准正交基，所以矩阵A的各列就是η1，η2，…，ηn在标准正交基ε1，ε2，…，εn下的坐标．4．正交矩阵n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A＝E．由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基．三、同构1．同构定义实数域R上欧式空间V与V'称为同构的，如果由V到V'有一个双射σ，满足（1）σ（α＋β）＝σ（α）＋σ（β），（2）σ（kα）＝kσ（α），（3）（σ（α），σ（β））＝（α，β），这里α，β∈V，k∈R，这样的映射σ称为V到V'的同构映射．同构的欧氏空间必有相同的维数．每个n维的欧氏空间都与R n同构．2．同构的性质同构作为欧氏空间之间的关系具有（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性；（4）两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同．.四、正交变换1．定义欧氏空间V的线性变换A称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对于任意的α，β∈V，都有（Aα，Aβ）＝（α，β）．2．性质。
第九章 欧几里得空间
(1 , 2 ,, n ) (1 , 2 ,, n )C
于是不难算出，基 1 , 2 ,, n 的度量矩阵
B bij i , j C AC .
(11)
这就是说，不同基的度量矩阵是合同的. 根据条件(4) ，对于非零向量 ，即
0 0 X 0
a11 a 21 (1 , 2 ,, n ) ( 1 , 2 ,, n ) a n1
因为 1 , 2 ,, n 是标准正交基，所以
a12 a 22 an2
a1n a2n a nn
1 , 当 i j ; ( i , j ) 0 , 当 i j.
有
( , ) X AX 0
因此，度量矩阵是正定的. 反之，给定一个 n 级正定矩阵 A 及 n 维实线性空间 V 的一组基 1 , 2 ,, n . 可以规定 V 上内积， 使它成为欧几里得空间， 并且基的 1 , 2 ,, n 度量矩阵是 A . 欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下显然也是一个欧几里得空间 . 欧几里得空间以下简称为欧氏空间 .
第九章 欧几里得空间 §1 定义与基本性质
一、向量的内积 定义 1 设 V 是实数域 R 上一个向量空间,在 V 上定义了一个二元实函数，称 为内积,记作 ( , ) ,它具有以下性质: 1) ( , ) ( , ) ; 2) (k , ) k ( , ) ; 3) ( , ) ( , ) ( , ) ; 4)
i 1 j 1 n n
令
aij ( i , j )
显然
(i , j 1 , 2 ,, n)
(8)
高等代数欧几里得空间课件
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，可 以表示向量之间的关系和线性变换。
VS
矩阵的性质
矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、 标量乘法和乘法满足相应的运算规则，矩 阵的转置、行列式、逆等也具有相应的性 质和定义。
矩阵的运算规则
1 2 3
矩阵的加法 矩阵的加法满足交换律和结合律，即 $A+B=B+A$和$(A+B)+C=A+(B+C)$。
运算规则二
如果 $W_1$ 和 $W_2$ 是子空间，且 $W_1 cap W_2 = {0}$， 则 $W_1 + W_2$ 是子空间。
运算规则三
如果 $W$ 是子空间，且 $u in W$，则存在唯一的 $v in W$ 使得 $u + v = 0$。
欧几里得空的同
06
构与等价
同构的定义与性质
等价性质
等价的欧几里得空间具有相同的秩，且线性变换在等价 下是可逆的。
THANKS.
矩阵运算对应线性变换运 算
矩阵的加法、标量乘法和乘法分别对应线性 变换的加法、标量乘法和复合运算。
特征与特征向量
04
特征值与特征向量的定义
特征值
对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零的数λ和相应的非零向量x，使得Ax=λx成立， 则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A的对应于λ的特征向量。
特征向量
与特征值λ对应的非零向量x称为矩阵A的对应于λ的特征向量。
助于学生更好地理解和掌握这一概念。
04
复数域上的全体二维向量构成的集合是一个二维复数 欧几里得空间。
向量与向量的运算
ห้องสมุดไป่ตู้02
向量的定义与表示
高等代数--第九章 欧几里得空间
反过来，如果等号成立，由以上证明
过程可以看出，或者 0 ，或者 ( , ) 0, ( , ) 也就是说 , 线性相关。
结合具体例子来看一下这个不等式是很有意 思的。对于例1的空间Rn ，(5)式是:柯西不等式
| a1b1 a2b2 an bn |
这就是说，不同基的度量矩阵是合同的。
根据条件4)，对于非零向量 ，即
0 0 X 0
有
( , ) X ' AX 0,
因此，度量矩阵是正定的。 欧几里得空间以下简称为欧氏空间。 BACK
标准正交基
定义6 欧氏空间V中一组非零的向量，如果它 们两两正交，就称为一正交向量组。 按定义，由单个非零向量所成的向量组也 是正交向量组。
即对于任意的向量 , 有
| ( , ) || || | . (5)
当且仅当 , 线性相关时，等号才成立。 证明 当 0，(5)式显然成立。以下设 0。 令t是一个实变数，作向量 t . 由4)可知，不论t取何值，一定有 ( , ) ( t , t ) 0. 即 ( , ) 2( , )t ( , )t 2 0. (6)
(m1 ,i ) ( ,i ) ki (i ,i ) (i 1,2,, m).
取
( , i ) ki (i 1,2,, m). ( i , i )
有
( i , m1 ) 0 (i 1,2,, m).
m1 0 。因此 1 , 2 ,, m , m1 由 的选择可知， 1 , 2 ,, m , 是一正交向量组，根据归纳法假定， m1 可以扩充成一正交基。于是定理得证。 定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩 充正交向量组的方法。
欧几里得空间复习
(7) 对n级实对称阵A, 都存在n级正交矩阵T， 使T AT T 1 AT 为对角阵.
9
二、基本题型
1. 欧氏空间的判定（内积是否满足4条） 2. 向量的内积，长度，距离，夹角的计算 欧氏空间中度量矩阵的计算 3.标准正交基的求法（重点） 4.子空间正交补（内射影）的计算
5.实对称矩阵对角化方法（重点）
n级实数矩阵A是正交矩阵 AA E .
标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵;
A是正交矩阵 A的列向量组和行向量组都构成 R 的标准正交基.
n
4.2. 对称变换与对称矩阵
设 是n维欧氏空间V 的一个线性变换. 是 对称变换的刻化 : 1) 对 , V ,( ( ), ) ( , ( )); 2) 是对称变换 在标准正交基下的矩阵 是对称矩阵.
内射影
4. 欧氏空间的线性变换 4.1. 正交变换与正交矩阵 设 是n维欧氏空间V 的一个线性变换. 是正
交变换的刻化 : 1) 对 , V ,( ( ), ( )) ( , ); 2) 对 V , 都有 | ( ) || |; 3) 设 1 , 2 , , n 是V 的标准正交基, 是正交 变换 ( 1 ), ( 2 ), , ( n )也是V 的标准正交基; 4) 是正交变换 在任意标准正交基下的 矩阵是正交阵.
解得基础解系1 (2, 2,1,0), 2 (5, 4,0, 3)
于是 W L(1 ,2 ).
注 : 当已知 W 的基向量时, 求正交补W 的过 程就是求一个相应的齐次线性方程组的解空间的 过程.
1 1 例 2 设1 2 , 求一个 3阶正交矩阵T , 3 2 使得T的第一列是 1 .
高等代数-欧几里得空间
2) (, ) (, ) (, )
s
s
推广： ( , i ) ( , i )
i 1
i 1
3) (0, ) 0
§9.1 定义与基本性质
二、欧氏空间中向量的长度
1. 引入长度概念的可能性
1）在 R3向量 的长度（模） . 2) 欧氏空间V中， ,V , (, ) 0
使得 有意义.
③ ( , ) R.
§9.1 定义与基本性质
例1．在 Rn 中，对于向量
a1,a2, ,an , b1,b2, ,bn
1）定义 ( , ) a1b1 a2b2 anbn
（1）
易证 ( , ) 满足定义中的性质 1 ～ 4 .
所以, ( , ) 为内积. 这样Rn 对于内积 ( , ) 就成为一个欧氏空间.
2. 向量长度的定义
,V , ( , ) 称为向量 的长度. 特别地，当 1时，称 为单位向量.
§9.1 定义与基本性质
3. 向量长度的简单性质
1) 0; 0 0
2) k k
3）非零向量 的单位化：
1.
（3）
§9.1 定义与基本性质
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 引入夹角概念的可能性与困难
注：
① 零向量与任意向量正交.
②
, ,
2
即 cos, 0
.
§9.1 定义与基本性质
5. 勾股定理
设V为欧氏空间， , V
2 2 2
证： 2 , , 2, ,
2 2 2
( , ) 0
.
§9.1 定义与基本性质
推广：若欧氏空间V中向量1,2 , ,m 两两正交，
当 n 3 时，1）即为几何空间 R3中内积在直角 坐标系下的表达式 . ( , )即 .
欧几里得空间
例3 已知 2,1,3,2, 1,2,2,1
在通常的内积定义下，求 ,( , ), , , .
例1 C(a,b) 为闭区间 [a,b] 上的所有实连续函数
所成线性空间，对于函数 f ( x), g( x) ，定义
b
( f , g) a f ( x)g( x) dx
②
则 C(a,b) 对于②作成一个欧氏空间.
证： f ( x), g( x), h( x) C(a,b), k R
b
1 . ( f , g) a f ( x)g( x) dx
b
( g, f )=a g( x) f ( x) dx
b
b
2 . (k f , g) a k f ( x)g( x) dx ka f ( x)g( x) dx
k( f , g)
3
.
(f
g,
h)
b
a
f (x)
k 1
l 1
nn
nn
( k , l )ckiclj
aklckiclj CiAC j
k1 l 1
k1 l 1
B (i , j ) CiAC j
C1
C
2
A
C1
,
C2
,
Cn
,Cn CAC
欧氏空间的定义
设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量
、 , 定义一个二元实函数，记作 ( , ) ，若 ( , ) 满足性质： , , V , k R
高等数学第九章第一节复习
f(i ,i )i
存在(与D的划分法无关，与点(i ,i )的取法无关)，
则称 f(x, y)在D上可积，并称极限值为 f(x, y)在D上的
二重积分，记作 f (x, y)d .
D
说明：(1) 二重积分各部分名称如下：
n
Df(x,y)dl i0m i1f(i,i)i
积 被 积面 被 分 积 分积 积 区 函 变元 表 域 数 量素 达
(k1f1k2f2 knfn)d
D
k 1f 1 d k 2f 2 d k n f n d .
D
D
D
性质3 对于积分区域的可加性：设D分为D1与D2 ，则
f (x ,y )d f (x ,y )d f (x ,y )d .
D
D 1
D 2
性质4 记D的面积为，则 1dd.
D
D
性质5 如果在D上 f(x, y) g(x, y)，则
z
3
3
(2)(1xy)dxd, y
C
D
其中D： x 0, y 0, x y 1。
解 该积分表示三棱锥OABC的体积， O
y B
1
D(1xy)dxdຫໍສະໝຸດ 6.xA小结二重积分的定义（和式的极限） 二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积） 二重积分的物理意义（平面薄片的质量） 二重积分的性质（性质1~7）
习题(P79)：4(1)(2)(4)，5(2)(3)。
思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，
找出它们的相同之处与不同之处.
思考题解答
定积分与二重积分都表示某个和式的极限值， 且此值只与被积函数及积分区域有关；都是用先 化整为零再积零为整的思想，用“划分、近似、 求和、取极限”的方法，求某个总量 。
第九章 欧氏空间
= ( , ) + ( , ) .
3 ) ( , 0 ) = (0 , ) = 0；
4) ( ki i , l j j ) ki l j ( i , j );
i 1 j 1 i 1 j 1
s
n
s
n
5 ) | ( , ) | | | | |，当且仅当 , 线性相
关时，等号才成立.
2 长度、夹角与正交
(1) 设V是欧氏空间，对任意V，非负实数 ( , ) 称为向量 的长度，记为 | |. 即| | 度为1的向量称为单位向量. 如果≠0，则
( , ) ，长
1 | |
是单位
向量，称为将单位化.
(2) 非零向量 , 的夹角 < , > 规定为
为 V1 . 如果V1 V2 ，且V=V1 + V2 ，则称V2为V1的
正交补，记为V1.
(2) 正交子空间有下列结果： 1) 设V是欧氏空间， , i , j V，则
L(1 , 2 , … , t) 等价于 j (j=1, 2, ..., t);
L(1 , 2 , … , s) L(1 , 2 , … , t)等价于i j
第九章
欧氏空间
内 容 摘 要
1 内积和欧几里得空间
(1) 设 V 是实数域 R 上一个线性空间，如果对V中 任意两个元素 , 有一个确定的实数( , )与它们对应， 且满足：
1) ( , ) = ( , )；
2) (k , ) = k( , )；
3) ( + , ) = ( , ) + ( , ) ； 4) ( , ) 0，当且仅当 = 0 时 ( , ) = 0 .
第九章 欧几里得空间
第九章 欧几里得空间 §1定义与基本性质一、向量的内积定义1 设V 是实数域R 上一个向量空间,在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:1) ),(),(αββα=; 2) ),(),(βαβαk k =; 3) ),(),(),(γβγαγβα+=+;4) 0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间.例1 在线性空间n R 中,对于向量),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα,定义内积.),(2211n n b a b a b a +++= βα (1)则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.在3=n 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.例2 在n R 里, 对于向量),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα,定义内积.2),(2211n n b na b a b a +++= βα则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就也成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.,对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间.例 3 在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数)(),(x g x f 定义内积⎰=badxx g x f x g x f )()())(),((. (2)对于内积(2)，),(b a C 构成一个欧几里得空间.同样地，线性空间n x R x R ][],[对于内积(2)也构成欧几里得空间. 例4 令H 是一切平方和收敛的实数列+∞<=∑∞=1221),,,,(n n n x x x x ξ所成的集合,则H 是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间.二、欧几里得空间的基本性质 1）定义中条件1）表明内积是对称的.),(),(),(),()2αββααββαk k k k ==='.),(),(),(),(),(),()3γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+'定义2 非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α.显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：αα||k k = (3)这里V R k ∈∈α,.长度为1的向量叫做单位向量.如果,0≠α由(3)式，向量αα1就是一个单位向量.用向量α的长度去除向量α，得到一个与α成比例的单位向量，通常称为把α单位化.柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量βα,有βαβα≤),( (5)当且仅当βα,线性相关时，等式才成立.对于例1的空间n R ，(5)式就是.22221222212211n nn n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++对于例2的空间),(b a C ，(5)式就是212212)()()()(⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎰⎰⎰ba ba badx x g dx x f dx x g x f定义3 非零向量βα,的夹角><βα,规定为πβαβαβαβα≤≤>=<,0,),(arccos,根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式βαβα+≤+.定义4 如果向量βα,的内积为零，即),(=βα那么βα,称为正交或互相垂直，记为βα⊥.两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为2π.只有零向量才与自己正交. 勾股定理：当βα,正交时，.222βαβα+=+推广：如果向量两m ααα,,,21 两两正交，那么22221221mmαααααα+++=+++ .设V 是一个n 维欧几里得空间，在V 中取一组基n εεε,,,21 ，对于V 中任意两个向量n n x x x εεεα+++= 2211,n n y y y εεεβ+++= 2211,由内积的性质得∑∑===++++++=ni nj ji j inn n n y x y y y x x x 1122112211),(,),(εεεεεεεεβα令),,2,1,(),(n j i a j i ij ==εε(8)显然.ji ij a a =于是∑∑===ni nj ji ijyx a11),(βα (9)利用矩阵，),(βα还可以写成AYX '=),(βα, (10)其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n ny y y Y x x x X 2121, 分别是βα,的坐标，而矩阵nnij a A )(=称为基n εεε,,,21 的度量矩阵.上面的讨论表明，在知道了一组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按（9）或（10）来计算，因而度量矩阵完全确定了内积.设n ηηη,,,21 是空间V 的另外一组基，而由n εεε,,,21 到n ηηη,,,21 的过渡矩阵为C ，即Cn n ),,,(),,,(2121εεεηηη =于是不难算出，基n ηηη,,,21 的度量矩阵()()ACC b B ji ij '===ηη,. (11)这就是说，不同基的度量矩阵是合同的.根据条件(4)，对于非零向量α，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠000 X有0),(>'=AX X αα因此，度量矩阵是正定的.反之，给定一个n 级正定矩阵A 及n 维实线性空间V 的一组基n εεε,,,21 .可以规定V 上内积，使它成为欧几里得空间，并且基的n εεε,,,21 度量矩阵是A .欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下显然也是一个欧几里得空间. 欧几里得空间以下简称为欧氏空间.§2 正交基一、标准正交基定义5 欧氏空间V 的一组非零的向量,如果它们两两正交，就称为一个正交向量组.按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组.正交向量组是线性无关的.这个结果说明，在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n 个.定义6 在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基组.对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基. 设n εεε,,,21 是一组标准正交基，由定义，有⎩⎨⎧≠==.,0;,1),(j i j i j i 当当εε(1)显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质.换句话说，一组基为标准正交基的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵.因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同于单位矩阵.这说明在n 维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵.由此断言，在n 维欧氏空间中，标准正交基是存在的.在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即n n εαεεαεεαεα),(),(),(2211+++= . (2)在标准正交基下，内积有特别简单的表达式.设.2211n n x x x εεεα+++=.2211n n y y y εεεβ+++=那么.),(2211Y X y x y x y x n n '=+++= βα (3)这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广.应该指出，内积的表达式(3)，对于任一组标准正交基都是一样的.这说明了，所有的标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位.二、规范正交基的存在性及其正交化方法定理1 n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基. 应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法.如果从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后就得到一组正交基.再单位化，就得到一组标准正交基.定理2 对于n 维欧氏空间中任意一组基n εεε,,,21 ，都可以找到一组标准正交基n ηηη,,,21 ，使=),,,(21i L εεε .,,2,1,),,,(21n i L i =ηηη应该指出，定理中的要求=),,,(21i L εεε .,,2,1,),,,(21n i L i =ηηη就相当于由基n εεε,,,21 到基n ηηη,,,21 的过渡矩阵是上三角形的.定理2 中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称为施密特（Schimidt ）正交化过程.例1 )1,1,1,1(),1,0,0,1(),0,1,0,1(),0,0,1,1(4321--=-===αααα 变成单位正交组.三、正交矩阵上面讨论了标准正交基的求法.由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式.设n εεε,,,21 与n ηηη,,,21 是欧氏空间V 中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是)(ij a A =，即=),,,(21n ηηη ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n n a a a a a a a a a21222211121121),,,(εεε因为n ηηη,,,21 是标准正交基，所以⎩⎨⎧≠==.,0;,1),(j i j i j i 当当ηη(4)矩阵A 的各列就是n ηηη,,,21 在标准正交基n εεε,,,21 下的坐标.按公式(3),(4)式可以表示为⎩⎨⎧≠==+++.,0;,12211j i j i a a a a a a nj ni j i j i 当当(5)(5)式相当于一个矩阵的等式EA A =' (6)或者A A'=-1定义7 n 组实数矩阵A 称为正交矩阵，如果E A A ='由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基.最后指出，根据逆矩阵的性质，由EA A ='即得EA A ='写出来就是⎩⎨⎧≠==+++.,0;,12211j i j i a a a a a a jn in j i j i 当当(7)(5)式是矩阵列与列之间的关系，(7)式是矩阵行与行之间的关系.这两组关系是等价的.例2 考虑定义在闭区间]2,0[π上一切连续函数所作成的欧氏空间]2,0[πC .函数组.,sin ,cos ,,sin ,cos ,1 nx nx x x构成]2,0[πC 的一个正交组.把上面的每一向量除以它的长度,就得到]2,0[πC 的一个标准正交组:.,sin 1,cos 1,,sin 1,cos 1,21 nx nx x x πππππ例3 欧氏空间n R 的基））（0,,0,1,0,,0( i i =ε,ni,,2,1 =是n R 的一个标准正交基.§3 同构定义8 实数域R 上欧氏空间V 与V '称为同构的,如果由V 到V '有一个双射σ，满足1))()()(βσασβασ+=+, 2))()(ασασk k =, 3)),())(),((βαβσασ=,这里R k V ∈∈,,βα，这样的映射σ称为V 到V '的同构映射.由定义，如果σ是欧氏空间V 到V '的一个同构映射，那么也是V 到V '作为线性空间的同构映射.因此，同构的欧氏空间必有相同的维数.设V 是一个n 维欧氏空间，在V 中取一组标准正交基n εεε,,,21 ，在这组基下，V 的每个向量α都可表成n n x x x εεεα+++= 2211令nn R x x x ∈=),,,()(21 ασ就是V 到n R 的一个双射，并且适合定义中条件1),2).上一节(3)式说明，σ也适合条件3)，因而σ是V 到n R 的一个同构映射，由此可知，每个n 维的欧氏空间都与n R 同构.同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性.既然每个n 维欧氏空间都与n R 同构，按对称性与传递性得，任意两个n 维欧氏空间都同构.定理3 两个有限维欧氏空间同构⇔它们的维数相等.这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间的结构完全被它们的维数决定.§4正交变换定义9欧氏空间V 的线性变换A 叫做一个正交变换,如果它保持向量的内积不变，即对任意的，都有V ∈βα,,都有.(A α,A β)=),(βα.正交变换可以从几个不同方面公平加以刻画.定理4 设A 是维欧氏空间的一个线性变换，于是下面四个命题是相互等价的：1）A 是正交变换；2）A 保持向量的长度不变，即对于V ∈α,|A α|=|α|;3）如果n εεε,,,21 是标准正交基，那么A 1ε, A 2ε,…, A n ε也是标准正交基；4）A 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.因为正交矩阵是可逆的，所以正交变换是可逆的.由定义看出，正交变换实际上就是一个欧氏空间到自身的同构映射，因而正交变换的乘积与正变换的逆变换还是正交变换.在标准正交基下，正交变换与正交矩阵对应，因此，正交变换的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵.如果A 是正交矩阵，那么由EA A ='可知12=A或者1±=A .因此，正交变换的行列式等于+1或-1.行列式等于+1的正交矩阵通常称为旋转，或者称为第一类的；行列式等于-1的正交变换称为第二类的.例如，在欧氏空间中任取一组标准正交基n εεε,,,21 ，定义线性变换A 为：A ,11εε-= A n i i i ,,3,2, ==εε.那么，A 就是一个第二类的正交变换.从几何上看，这是一个镜面反射.例1 令H 是空间3V 里过原点的一个平面, 3V ∈∀ξ,令ξ对于H 的镜面反射ξ'与它对应.ξξσ' :是3V 的一个正交变换.例2 设)(3R L ∈σ,令3321132),,(),,,()(V x x x x x x ∈=∀=ξξσ.则σ是3R 的一个正交变换.例 3 将2V 的每一向量旋转一个角ϕ的正交变换关于2V 的任意标准正交基的矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ϕϕϕϕcos sin sin cos . 又令σ是例1中的正交变换.在平面H 内取两个正交的单位向量21,γγ,再取一个垂直于H 的单位向量3γ,那么{}321,,γγγ是3V 的一个规范正交基, σ关于这个基的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001以上两个矩阵都是正交矩阵.§5子空间定义10 设21,V V 是欧氏空间V 中两个子空间.如果对于任意的21,V V ∈∈βα，恒有),(=βα则称21,V V 为正交的，记为21V V ⊥.一个向量α，如果对于任意的1V ∈β，恒有),(=βα则称α与子空间1V 正交，记为1V ⊥α.因为只有零向量与它自身正交，所以由21V V ⊥可知{}021=V V ；由1V ⊥α,1V ∈α可知0=α.定理5 如果子空间s V V V ,,,21 两两正交，那么和s V V V +++ 21是直和. 定义11 子空间2V 称为子空间1V 的一个正交补，如果21V V ⊥，并且VV V =+21.显然，如果2V 是1V 的正交补，那么1V 也是2V 的正交补. 定理6 n 维欧氏空间V 的每一个子空间1V 都有唯一的正交补.1V 的正交补记为⊥1V ，由定义可知维（1V ）+维（⊥1V ）=n推论 ⊥1V 恰由所有与1V 正交的向量组成. 由分解式⊥⊕=11V V V可知，V 中任一向量α都可以唯一分解成21ααα+=其中2211,V V ∈∈αα.称1α为向量α在子空间1V 上的内射影.§6 实对称矩阵的标准形由第五章得到，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，换句话说，都有一个可逆矩阵C 使AC C '成对角形.现在利用欧氏空间的理论，第五章中关于实对称矩阵的结果可以加强.这一节的主要结果是：对于任意一个n 级实对称矩阵A ，都存在一个n 级正交矩阵T ，使ATTAT T 1-='成对角形.引理1 设A 是实对称矩阵，则A 的特征值皆为实数.对应于实对称矩阵A ，在n 维欧氏空间n R 上定义一个线性变换A 如下：A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n nx x x A x x x 2121. (1) 显然A 在标准正交基⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,,010,00121 n εεε (2)下的矩阵就是A .引理2 设A 是实对称矩阵，A 的定义如上，则对任意n R ∈βα,，有(A α,β)=(α,A β), (3)或βααβA A '=')(定义12 欧氏空间中满足等式(3)的线性变换称为对称变换.容易看出，对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵.用对称变换来反映实对称矩阵，一些性质可以看得更清楚.引理3 设A 是对称变换，1V 是A -子空间，则⊥1V 也是A -子空间.引理4 设A 是实对称矩阵，则n R 中属于A 的不同特征值的特征向量必正交.定理7 对于任意一个n 级实对称矩阵A ，都存在一个n 级正交矩阵T ，使成ATTAT T 1-='对角形.下面来看看在给定了一个实对称矩阵A 之后，按什么办法求正交矩阵T 使ATT '成对角形.在定理的证明中看到，矩阵A 按(1)式在n R 中定义了一个线性变换.求正交矩阵T 的问题就相当于在n R 中求一组由A 的特征向量构成的标准正交基.事实上，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n n t t t t t t t t t 21222122121111,,,ηηη是n R 的一组标准正交基，它们都是A 的特征向量.显然，由n εεε,,,21 到n ηηη,,,21 的过渡矩阵就是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n t t t t t t t t t T212222111211T是一个正交矩阵，而ATT AT T'=-1就是对角形.根据上面的讨论，正交矩阵T 的求法可以按以下步骤进行： 1. 求出A 的特征值.设r λλ,,1 是A 的全部不同的特征值. 2. 对于每个i λ，解齐次方程组0)(21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ni x x x A E λ求出一个基础解系，这就是A 的特征子空间iV λ的一组基.由这组基出发，按定理2的方法求出iV λ的一组标准正交基iik i ηη,,1 .3. 因为r λλ,,1 两两不同，所以根据这一节引理4，向量组rrk r k ηηηη,,,,,,11111还是两两正交的.又根据定理7以及第七章§5的讨论，它们的个数就等于空间的维数.因此，它们就构成n R 的一组标准正交基，并且也都是A 的特征向量.这样，正交矩阵T 也就求出了.例 已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=0111101111011110A 求一正交矩阵T 使AT T '成对角形.应该指出，在定理7中，对于正交矩阵T 我们还可以进一步要求1=T事实上，如果求得的正交矩阵T 的行列式为-1，那么取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1111S那么TS T =1是正交矩阵，而且11==S T T显然AT T AT T '='11.如果线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n nn n n n yc y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111,， 的矩阵()ij c C =是正交的，那么它就称为正交的线性替换.正交的线性替换当然是非退化的.用二次型的语言，定理7可以叙述为：定理8 任意一个实二次型jiij ni nj j i ijaa x x a=∑∑==,11都可以经过正交的线性替换变成平方和2222211n n y y y λλλ+++ ,其中平方项的系数n λλλ,,,21 就是矩阵A 的特征多项式全部的根.最后指出，这一节的结果可以应用到几何上化简直角坐标系下二次曲线的方程，以及讨论二次曲线的分类.在直角坐标系下，二次曲线的一般方程是0222222321231312233222211=+++++++++d z b y b x b yz a xz a xy a x a x a x a(5)令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321332313232212131211,,b b b B z y x X a a a a a a a a a A则(5)可以写成02=+'+'d X B AX X(6)经过转轴，坐标变换公式为,111333231232221131211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x c c c c c c c c c z y x 或者1CXX =其中C 为正交变换且1=C ，在新坐标系中，曲面的方程就是0)(2)(111=+'+''d X C B X AC C X根据上面的结果，有行列式为1的正交矩阵C 使⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='32100000λλλAC C 这就是说，可以作一个转轴，使曲面在新坐标系中的方程为02221*31*21*1213212211=++++++d z b y b x b y y x λλλ其中Cb b b b b b ),,(),,(321*3*2*1=这时，再按照321,,λλλ是否为零的情况，作适当的移轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程.譬如说，当321,,λλλ全不为零时，就作移轴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=.,,3*3212*2211*121λλλb z z b y y b x x 于是曲面的方程化为0*223222221=+++dz y x λλλ其中32*322*212*1*λλλb b b d d---=.§7 向量到子空间的最小距离·最小二乘法在解析几何中，两个点α和β间的距离等于向量βα-的长度. 定义13 长度βα-称为向量α和β的距离，记为),(βαd 不难证明距离的三条性质： 1）),(),(αββαd d =;2）0),(≥βαd ，并且仅当βα=时等号才成立； 3）),(),(),(βγγαβαd d d +≤（三角不等式）在中学所学几何中知道一个点到一个平面（一条直线）上所有点的距离以垂线最短.下面可以证明一个固定向量和一个子空间中各向量间的距离也是以“垂线最短”.先设一个子空间W ，它是由向量k ααα,,,21 所生成，即),,,(21k L W ααα =.说一个向量α垂直于子空间W ，就是指向量α垂直W 于中任何一个向量.易证α垂直于W 的充要条件是α垂直于每个),,2,1(k i i =α.现给定β，设γ是W 中的向量，满足γβ-垂直于W .要证明β到W 中各向量的距离以垂线最短，就是要证明，对于W 中任一向量δ，有δβγβ-≤-.我们可以画出下面的示意图：证明 )()(δγγβδβ-+-=-因W 是子空间，W W ∈∈δγ,,则W ∈-δγ.故γβ-垂直于δγ-.由勾股定理，222δβδγγβ-=-+-故δβγβ-≤-这就证明了，向量到子空间各向量间的距离以垂线最短.这个几何事实可以用来解决一些实际问题.其中的一个应用就是解决最小二乘法问题.例 已知某种材料在生产过程中的废品率y 与某种化学成分x 有关.下列表中记载了某工厂生产中y 与相应的x 的几次数值：我们想找出y 对x 的一个近似公式. 最小二乘法问题：线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=-+++=-+++0,0,022112222212111212111n s ns n n s s s s b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a可能无解.即任何一组数s x x x ,,,21 都可能使∑=-+++ni i s is i i b x a x a x a122211)( (1)不等于零.我们设法找00201,,,s x x x 使（1）最小，这样的00201,,,s x x x 称为方程组的最小二乘解.这种问题就叫最小二乘法问题.下面利用欧氏空间的概念来表达最小二乘法，并给出最小二乘解所满足的代数条件.令.,,,112112121212222111211AX x a x a x a Y x x x X b b b B a a a a a a a a a A s j j nj s j jj sj j j s n ns n n s s =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑∑===(2)用距离的概念，（1）就是2BY -最小二乘法就是找00201,,,s x x x 使Y 与B 的距离最短.但从（2），知道向量Y 就是.21222122121111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ns s s s n n a a a x a a a x a a a x Y 把A 的各列向量分别记成s ααα,,,21 .由它们生成的子空间为),,,(21s L ααα =.Y就是),,,(21s L ααα =中的向量.于是最小二乘法问题可叙述成：找X 使（1）最小，就是在),,,(21s L ααα =中找一向量Y ，使得B 到它的距离比到子空间),,,(21s L ααα =中其它向量的距离都短.应用前面所讲的结论，设s s x x x AX Y ααα+++== 2211是所求的向量，则AXB Y BC -=-=必须垂直于子空间),,,(21s L ααα =.为此只须而且必须),(),(),(21====s C C C ααα回忆矩阵乘法规则，上述一串等式可以写成矩阵相乘的式子，即.0,,0,021='='='C C C s ααα而'''s ααα,,,21 按行正好排成矩阵A '，上述一串等式合起来就是)(=-'AX B A或BA AX A '='这就是最小二乘解所满足的代数方程，它是一个线性方程组，系数矩阵是A A '，常数项是B A '.这种线性方程组总是有解的.回到前面的例子，易知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=35.056.060.081.090.090.000.1,12.411.410.419.318.317.316.3B A 最小二乘解b a ,所满足的方程就是0='-⎪⎪⎭⎫⎝⎛'B A b a A A ,即为⎩⎨⎧=-+=-+.012.573.27,0675.193.2775.106b a b a解得81.4,05.1=-=b a （取三位有效数字）.§8 酉空间介绍定义14 设V 是复数域上一个线性空间，在V 上定义了一个二元复函数，称为内积,记作),(βα，它具有以下性质:1)),(),(αββα=，),(αβ是),(αβ的共轭复数;2) ),(),(βαβαk k =; 3) ),(),(),(γβγαγβα+=+;4) ),(αα是非负实数,且0),(=αα当且仅当0=α这里γβα,,是V 中任意的向量,k 是任意复数,这样的线性空间称为酉空间.例1 在线性空间n C ,对向量()()n n b b b a a a ,,,,,,,2121 ==βα定义内积为n n b a b a b a +++= 2211),(βα, (1)显然内积（1）满足定义14中的条件.这样nC 就成为一个酉空间.由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似，有一套平行的理论，因此在这只简单地列出重要的结论，而不详细论证.1) ),(),(βαβαk k =. 2) ),(),(),(γαβαγβα+=+. 3)),(αα叫做向量α的长度，记为||α.4) 柯西–布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即对于任意的向量βα,有|||||,|βαβα≤,当且仅当βα,线性相关时等号成立.注意：酉空间中的内积),(βα一般是复数，故向量之间不易定义夹角但仍引入5) 向量βα,，当0),(=βα时称为正交的或互相垂直.在n 维酉空间中，同样可以定义正交基和标准正交基，并且关于标准正交基也有下述一些重要性质：6) 任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化，并扩充为一组标准正交基.7）对n 级复矩阵A ，用A 表示以A 的元素的共轭复数作元素的矩阵.如A 满足E A A A A ='='，就叫做酉矩阵.它的行列式的绝对值等于1.两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵. 8) 酉空间V 的线性变换A ，满足(A α,A β)=(α,β),就称为V 的一个酉变换.酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.9）如矩阵A 满足AA ='则叫做埃尔米特(Hermite)矩阵.在酉空间n C 中令A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n nx x x A x x x 2121 则(A α,β)=(α,A β).A 也是对称变换.10）V 是酉空间，1V 是子空间，⊥1V 是1V 的正交补，则⊥⊕=11V V V 又设1V 是对称变换的不变子空间，则⊥1V 也是不变子空间.11）埃尔米特矩阵的特征值为实数.它的属于不同的特征值的特征向量必正交.12）若A 是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵C ，使ACC AC C'=-1是对角形知阵.13）设A 为埃尔米特矩阵，二次齐次函数XA X x x ax x x f ni nj j i ijn '==∑∑==1121),,,(叫做埃尔米特二次型.必有酉矩阵C ，当时CY X =n n n n y y d y y d y y d x x x f +++= 22211121),,,(.第九章 欧几里得空间 (小结)一、欧氏空间1. 内积、欧氏空间的概念及其简单性质.2. 柯西—布涅可夫斯基不等式:2(,)(,)(,)αβααββ≤.3. 向量的长度:α=4. 两个非零向量α与β的夹角:(,)arccosαβθαβ=.).0(πθ≤≤若(,)0αβ=,则α与β正交. 二、标准正交基 １. 标准正交基的概念.２. 标准正交基的求法—施密特正交化方法.３. 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.反过来，假如两个基之间的过渡矩阵是正交矩阵，而且其中一个基是标准正交基，那么另一个基也是标准正交基.三、正交补 内射影 1. 向量与集合正交的概念.2. 欧氏空间的子空间1V 的正交补的概念.3. 设1V 是V 的子空间,则⊥⊕=11V V V ,且V ∈∀α可以唯一写成21ααα+=,其中⊥∈∈1211,V V αα,则称1α是α在1V 上的内射影. 四、欧氏空间的线性变换 1.正交变换(1) V 的线性变换σ是正交变换⇔ ① σ保持向量的长度不变. ② σ保持向量的内积不变.③ σ把规范正交基仍变为规范正交基. ④ σ关于规范正交基的矩阵是正交矩阵.(2) 正交矩阵的性质① 正交矩阵为可逆矩阵,其逆仍为正交矩阵. ② 正交矩阵的行列式为1或-1. ③ 正交矩阵的伴随矩阵是正交矩阵. 2. 对称变换(1) 假如欧氏空间V 的线性变换σ满足:))(,()),((βσαβασ=,V ∈∀βα,那么σ叫做对称变换.(2) n 维欧氏空间V 的线性变换是对称变换⇔σ在V 的标准正交基下的矩阵是对称矩阵.(3) 设σ是欧氏空间V 的对称变换,若W 是σ的不变子空间,则⊥W 也是σ的不变子空间.(4) 实对称矩阵的特征值都是实数,相应地有对称变换的特征值都是实数. (5) 设A 是实对称矩阵,则属于A 的不同特征值的特征向量是正交的.(6) 任一个n 阶实对称矩阵A 都可以正交对角化,即存在正交矩阵U ,使得AU UAU U 1-='是对角形式,相应地有对于欧氏空间V 的任一个对称变换σ,存在V 的标准正交基, σ在这个标准正交基下的矩阵是对角形式. 六、欧氏空间的同构 1. 欧氏空间同构的概念.2. 两个有限维欧氏空间同构⇔它们的维数相同.3. 每个n 维欧氏空间都与n R 同构.本章的重点是欧氏空间的基本概念、标准正交基、正交变换和正交矩阵、对称变换与对称矩阵.难点是正交变换、正交补、对称变换.。
第九章 欧式空间(第一讲)
2
( , )
2
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2
2
,
即
( , )
2
2
2
.
开方便得
( , )
.
综合ⅰ，ⅱ便知定理成立. 基于定理1.1的结果，又可以给出欧氏空间中两向量夹 角的定义.
定义1.3 对于欧氏空间中两个非零向量α, β ，定义α与 β的夹角为
累次应用以上两条及欧氏空间定义中的条件2）3）即可得 到3）式.
性质2 对于欧氏空间中任意向量α ，总有（α ，0）= （0，α）=0. 证明 由
( , 0) ( , 0 0) ( , 0) ( , 0)
即得（α ，0）=0.再由内积的交换律又知（0，α）= （α ，0）=0 . 特别，有（0，0）=0 .再结合欧氏空间定义中的第4） 条规定，便得如下结论：内积空间中向量α为零向量的充 分必要条件是（α ，α ）=0 ，也就是说，零向量是内积空 间中与自身的内积为0的唯一向量.
即对欧氏空间中任一组向量我们看到殴氏空间在向量的长度夹角正交等方面与我们已熟知的普通几何空间确有许多相像之处
线性代数
机动
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结束
第九章
欧氏空间*
通过上两章的学习，我们对线性空间有了比较深入的 了解.线性空间是涉及一个集合、一个数域、两种运算、 八个条件的一个整体概念.它包含着丰富的内容，有着广 泛的应用.在这一章里将讨论一类特殊发线性空间—欧氏 空间.我们还将发现，欧氏空间与人们熟悉的几何空间有 许多相似的结果.通常的实向量内积、长度、夹角、距离 等概念都可以平行地在欧氏空间上建立起来，并得到类似 的相应结果.
欧几里得空间
第九章 欧几里得空间1. 设21,V V 是欧氏空间V 的两个子空间，证明：12121212(),()V V V V V V V V ⊥⊥⊥⊥⊥⊥+==+。
证：设12(),V V α⊥∈+即12.V V α⊥+任取112,V V V β∈⊂+有,αβ⊥从而1V α⊥即1.V α⊥∈同理可证2,V α⊥∈从而12,V V α⊥⊥∈此即1212()V V V V ⊥⊥⊥+⊂。
设12,V V α⊥⊥∈则1V α⊥∈且2,V α⊥∈即1V α⊥且2,V α⊥任取12,V V β∈+有121122(,),V V βββββ=+∈∈于是1212(,)(,)(,)(,)0αβαββαβαβ=+=+=，所以αβ⊥。
由β的任意性12,V V α⊥+即12(),V V α⊥∈+于是1212()V V V V ⊥⊥⊥⊂+，故得1212()V V V V ⊥⊥⊥=+。
以1V ⊥替换12,V V ⊥换2V 代入上式得121212()()()V V V V V V ⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥+==，故得1212()V V V V ⊥⊥⊥=+.2. 证明：正交矩阵的实特征值为1±。
证：设A 为正交矩阵，λ为A 的实特征值，为对应的特征向量，即,A ξλξ=取共轭转置得,A ξλξ'''=再右乘A ξ有2,A A ξξλξξ'''=利用A A E '=得2,λξξξξ''=由于0,ξξ'>所以21,λ=故有 1.λ=±3. 证明：奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个特征值。
证明：设旋转所对应的正交矩阵为A ，那么(1)nE A A A A A E A ''-=-=--。
由于n 为奇数，且1,A =于是()E A E A E A '-=--=--，故0,E A -=即1为A 的一个特征值。
4. 证明：第二类正交变换一定以1-作为它的一个特征值。
第九章欧几里得空间
第九章 欧几里得空间习题解答1、 设()ij a =A 是一个n 级正定矩阵，而12(,,,)n x x x α= ，12(,,,)n y y y β= .在n R 中定义内积(,)αβ为'(,)αβαβ=A .1）证明：在这个定义之下，n R 成一欧氏空间； 2）求单位向量1(1,0,,0)ε= ，2(0,1,,0)ε= ， ，(0,0,,1)nε= 的度量矩阵；3）具体写出这个空间中的柯西-布涅柯夫斯基不等式。
解 1）只要证明按定义'(,)αβαβ=A （是数，等于其转置）的一个二元实函数是一个内积就可以了。
1 ''''(,)()(,)αβαβαββαβα====A A A ；2''(,)()()(,)k k k k αβαβαβαβ===A A ；3'''(,)()(,)(,)αβγαβγαγβγαγβγ+=+=+=+A A A4',(,)ij i ji ja x x αααα==∑A .由于A 是正定矩阵，所以,ij i ji ja x x ∑是正定二次型，从而(,)0αα≥，并且仅当α=时，(,)αα=。
由此可见，n R 在这一定义之下成一欧式空间。
2）设单位向量的度量矩阵为()ij b =B .那么111()10(,)(010)(,1,2,,)10n iji j ij i n n n a a b a i j n a a εε⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦，此即=B A.3）,(,)ij i ji ja x x αβ=∑，α==β==，故柯西-布涅柯夫斯基不等式为,ij i j i ja x y ≤∑2、 在4R 中，求,αβ之间的夹角,αβ<>（内积按通常定义），设1）(2,1,3,2)α=，(1,2,2,1)β=-； 2）(1,2,2,3)α=，(3,1,5,1)β=； 3）(1,1,1,2)α=，(3,1,1,0)β=-；解 1）(,)21123(2)210αβ=⨯+⨯+-+⨯=，所以 .2αβπ<>=.2）(,)18αβ=，(,)18αα=，(,)36ββ=，c o s,2αβ<>==.4αβπ<>=. 3）(,)3αβ=，(,)7αα=，(,)11ββ=，3c o s ,αβ<>=，所以13.a rc c o sαβ-<>=3、(,)d αβαβ=-通常称为α与β的距离，证明：(,)(,)(,)d d d αγαββγ≤+.证 由文献[1]P.362的三角形不等式，有(,)()()(,)(,)d d d αγαγαββγαββγαββγ=-=-+-≤-+-=+.4、在4R 中求一单位向量与(1,1,1,1)-，(1,1,1,1)--，(2,1,1,3)正交。
第九章欧几里得空间
已知欧氏空间上的一组基,如何求正交基? 定理 2 对于 n 维欧氏空间中任意一 组基
, , , , 使 1 2 n
, , , 1 2 n ,都可以找到一组标准正交基
L ( , , , ) L ( , , , ) ,1 i , 2 , , n . 1 2 i 1 2 i
( AA ) ( ) ,
则称A 为正交变换.
定理 4 设A 是n维欧氏空间 V 的一个 线性变换，于是下面四个命题是相互等价的: 1) A 是正交变换;
V ,A ; 2) A 保持向量的长度不变,即对于
, , , 3) 如果 1 2 n 是标准正交基,那么
引入“长度”的概念：
几何空间中: 向量的长度: 定义 2
.
非负实数 ( α , α ) 称为向量 α 的长度,记为 α
引入“夹角”的概念：
几何空间中:
非零向量的夹角: c o s ,
在欧式空间中能否类似定义？
柯西－布涅柯夫斯基不等式： 对任意的向量α , β ，
(α , β) α β .
当且仅当 α , β 线性相关时，等号才成立. 定义 3 非零向量 α , β 的夹角 < α, β > 规定为： (α , β) <α , β> =a rc c o s . αβ
定义 4
如果向量 α , β 的内积为零，即
(α, β) 0,
那么 α , β 称为正交或互相垂直，记为 α β .
1 T 'A T TA T 成对角形.
要证明这个结果,需要如下准备: 引理 1 设A是实对称矩阵,则A的特征值皆为实数.
n 对应于实对称矩阵A,在n维欧氏空间 R 上定义一个线 性变换A 如下: x1 x1 x x2 2 A A . xn xn
第九章 欧几里得空间 习题答案
第九章 欧几里得空间部分习题答案习 题（P393-P397）1．设()ij a =A 是一个n 级正定矩阵，而12(,,,)n x x x = α，12(,,,)n y y y = β．在nR 中定义内积(,)αβ为(,)'=A αβαβ．1）证明在这个定义之下，nR 成一欧氏空间；2）求单位向量1(1,0,,0)= ε，2(0,1,,0)= ε， ，(0,0,,1)n = ε的度量矩阵； 3）具体写出这个空间中的柯西－布涅柯夫斯基不等式． 解 1）显然(,)'=A αβαβ是n R 上的一个二元实函数，且 ①(,)()(,)''''''=====A A A A αβαβαββαβαβα； ②(,)()()(,)k k k k ''===A A αβαβαβαβ；③(,)()(,)(,)'''+=+=+=+A A A αβγαβγαγβγαγβγ；④由于A 是正定矩阵，故(,)0'=≥A αααα，并且，当且仅当=0α时，(,)0=αα． 因此，根据欧氏空间的定义，在这个定义之下，nR 成为欧氏空间．2）由于(,)i j i j ij a '==A εεεε，,1,2,,i j n = ，故12,,,n εεε的度量矩阵就是A ．3）根据11(,)n nij i j i j a x y =='==∑∑A αβαβ，其中12(,,,)n x x x = α，12(,,,)n y y y = β，所以这个空间中的柯西－布涅柯夫斯基不等式为11n nij iji j a x y==≤∑∑2．在4R 中，求,αβ之间的夹角,<>αβ（内积按通常定义）．设 1）(2,1,3,2)=α，(1,2,2,1)=-β； 2）(1,2,2,3)=α，(3,1,5,1)=β；3）(1,1,1,2)=α，(3,1,1,0)=-β．解 1）由于(,)21123(2)210=⨯+⨯+⨯-+⨯=αβ，故,2π<>=αβ．2）由于(,)1321253118=⨯+⨯+⨯+⨯=αβ，且(,)1122223318=⨯+⨯+⨯+⨯=αα，(,)3311551136=⨯+⨯+⨯+⨯=ββ，故,arccos 24παβ<>===．3）同样，直接计算得(,)3=αβ，(,)7=αα，(,)11=ββ，故,αβ<>==． 『方法技巧』首先判断(,)αβ是否为零，如果为零，那么α与β正交，即,2π<>=αβ；否则，计算(,)αα和(,)ββ，由定义(,),arccos||||αβ<>=αβαβ求α与β的夹角．4．在4R 中求一单位向量与(1,1,1,1),(1,1,1,1),(2,1,1,3)---正交． 解 设所求向量为1234(,,,)x x x x =α．由α与已知向量都正交，得方程组1234123412340,0,230.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--+=⎨⎪+++=⎩ 直接解得它的一个基础解系为(4,0,1,3)=-η．又因为α是单位向量，所以14,0,1,3)||=±=-αηη． 『特别提醒』要注意与η同向和反向的单位向量都满足要求． 5．设12,,,n ααα是欧氏空间V 的一组基，证明：1）如果V ∈γ使(,)0i =γα，1,2,,i n = ，那么=0γ；2）如果12,V ∈γγ使对任一V ∈α有12(,)(,)=γαγα，那么12=γγ．『解题提示』只需要说明(,)0=γγ和12(,)0i -=γγα，1,2,,i n = ． 证明 1）由于12,,,n ααα为欧氏空间V 的一组基，故存在12,,,n k k k ，使得1122n n k k k =++ γααα．于是，根据(,)0i =γα，1,2,,i n = ，得到11221122(,)(,)(,)(,)(,)0n n n n k k k k k k =++=++= γγγαααγαγαγα．因此=0γ．2）由于对任意的V ∈α有12(,)(,)=γαγα，故对任意的i α也有12(,)(,)i i =γαγα，即12(,)0i -=γγα，1,2,,i n = ．根据1）可知12-=0γγ，即12=γγ．6．设123,,εεε是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：()()()11232123312311122,22,22333=+-=-+=--αεεεαεεεαεεε 也是一组标准正交基．证法1 由于123,,εεε是标准正交基，故12222112(,)()()0333333=⨯+⨯-+-⨯=αα， 13212212(,)()()()0333333=⨯+⨯-+-⨯-=αα，23211222(,)()()()0333333=⨯+-⨯-+⨯-=αα， 11222211(,)()()1333333=⨯+⨯+-⨯-=αα，22221122(,)()()1333333=⨯+-⨯-+⨯=αα， 33112222(,)()()()()1333333=⨯+-⨯-+-⨯-=αα，即1,,(,)0.i j i j i j =⎧=⎨≠⎩αα 所以123,,ααα也是三维欧氏空间中的一组标准正交基．证法2 设从123,,εεε到123,,ααα的过渡矩阵为A ，即22112123122⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ．直接计算可知22122112122129122122-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪'=---= ⎪⎪ ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭A A E ，即A 是正交矩阵．从而123,,ααα也是三维欧氏空间中的一组标准正交基．『解题提示』方法1利用定义直接进行了证明；方法2则根据：如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基也是标准正交基．7．设12345,,,,εεεεε是五维欧氏空间V 的一组标准正交基，()1223,,V L =ααα，其中115=+αεε，2124=-+αεεε，31232=++αεεε，求1V 的一组标准正交基．解 首先说明123,,ααα线性无关．事实上，设112233k k k ++=0ααα，即1231232332415(2)()k k k k k k k k +++-++++=0εεεεε，根据12345,,,,εεεεε是线性无关的，得1230k k k ===，即123,,ααα线性无关．于是123,,ααα是1V 的一组基．下面，根据施密特正交化方法对它们标准正交化：正交化：1115==+βαεε，22221124511(,)11(,)22=-=-+-αββαβεεεεββ，3132331212351122(,)(,)(,)(,)=--=++-αβαββαββεεεεββββ；单位化：115()2=+ηεε，2124522)=-+-ηεεεε， 312351()2=++-ηεεεε．则123,,ηηη即为1V 的标准正交基．『方法技巧』这类求一个欧氏空间或其子空间的标准正交基的题目，首先确定该欧氏空间或子空间的一组基，然后再将这组基标准正交化即可求得．12．设12,,,m ααα是n 维欧氏空间V 中一组向量，而111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)m m m m m m ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭αααααααααααααααααα∆． 证明：当且仅当0≠∆时12,,,m ααα线性无关．证明 设有线性关系1122m m k k k +++=0 ααα，将其分别与i α取内积，可得方程组111212112122221122(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)0.m m m mm m m m m k k k k k k k k k +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ αααααααααααααααααα 由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式0≠∆，故当且仅当0≠∆时12,,,m ααα线性无关．『方法技巧』将∆构造成一个线性方程组的系数矩阵．题目中的矩阵∆称为向量组的格拉姆矩阵，当12,,,m ααα为一组基时，其格拉姆矩阵∆即为度量矩阵．16．证明：反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数．证明 设A 是反对称矩阵，ξ是属于特征值λ的特征向量，即λ=ξξA ，则用'ξ左乘两边得()()()()()λλ'''''''''==-=-=-=-=-ξξξξξξξξξξξξξξA A A A A ，由于≠0ξ，故λλ=-，从而λ为纯虚数或零．事实上，令a bi λ=+，可得0=a ，即bi =λ，因此或者0λ=或bi =λ（0b ≠）．『方法技巧』与证明实对称矩阵的特征值均为实数的方法类似． 17．求正交矩阵T 使'T AT 成对角形，其中A 为：1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022； 2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----542452222； 3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0041001441001400； 解 1）矩阵A 的特征多项式为()()()22021214202λλλλλλλ--=-=--+E A ， 则A 的特征值为2,4,1321-===λλλ，分别求解齐次方程组()i λ-0E A X =得对应的特征向量为123(2,1,2),(2,2,1),(1,2,2)'''=--=-=ααα．将其单位化得123111(2,1,2),(2,2,1),(1,2,2)333'''=--=-=ηηη．令1232211(,,)1223212-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭ηηηT ，则T 即为所求，且142⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪-⎝⎭T AT ．2）矩阵A 的特征多项式为()()2222254110245λλλλλλ---=--=---E A ，则A 的特征值为1210,1λλ==（二重）．分别求解齐次方程组()i λ-0E A X =得：110λ=的特征向量为1(1,2,1)'=--α，21λ=的特征向量为2(2,1,0)'=-α，3(2,1,1)'=α．将其正交单位化得1231(1,2,2),2,1,0),2,4,5)3'''=--=-=ηηη， 令123132(,,)3203⎛- ==-⎝ηηηT ， 则T 即为所求，且1011⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭T AT ．3）矩阵A 的特征多项式为()()()()0410145533410140λλλλλλλλλ-----==-+-+----E A ，则A 的特征值为12345,5,3,3λλλλ==-==-．分别求齐次方程组()i λ-0E A X =得相应的特征向量为1234(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)''''==--=--=--αααα，将其单位化得12341111(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)2222''''==--=--=--ηηηη，令1234111111111(,,,)111121111-⎛⎫ ⎪- ⎪==⎪--- ⎪-⎝⎭ηηηηT ， 则T 即为所求，且5533⎛⎫ ⎪- ⎪'= ⎪ ⎪-⎝⎭T AT ． 『方法技巧』实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的，如果属于某个特征值λ的特征向量只有一个时，则只需对它单位化即可，此时，它必与其它向量正交．18．用正交线性替换化下列二次型为标准形：1）32212322214432x x x x x x x --++； 2）22212312132322448x x x x x x x x x ---++；3）432122x x x x +；『解题提示』按照上一题的方法求出能够使得二次型的矩阵A 可对角化的T ，则=X TY 即为所求的正交线性替换．解 1）原二次型的矩阵120222023-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，且A 的特征多项式为(5)(2)(1)λλλλ-=--+E A ，则其特征值为1235,2,1λλλ===-．分别求齐次方程组()i λ-0E A X =得相应的特征向量为123(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)'''=-=--=ααα，单位化得123111(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)333'''=-=--=ηηη， 令1231221(,,)2123221⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪-⎝⎭ηηηT ，则T 是正交矩阵，且521⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪-⎝⎭T AT ．那么正交线性替换=X TY ，使得原二次型化为22212352y y y +-． 2）原二次型的矩阵122224242-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A ，且A 的特征多项式为2(7)(2)λλλ-=+-E A ，则其特征值为127,2λλ=-=（二重）．分别求齐次方程组()i λ-0E A X =得相应的特征向量为123(1,2,2),(2,1,0),(2,0,1)'''=-=-=ααα，正交单位化得1231(1,2,2),(2,1,0),(2,4,5)3515'''=-=-=ηηη， 令12351(,,)1015100⎛-== -⎝ηηηT ，则T 是正交矩阵，且722-⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭T AT ．那么正交线性替换=X TY ，使得原二次型化为222123722y y y -++． 3）原二次型的矩阵100100000010010⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ， 且A 的特征多项式为22(1)(1)λλλ-=+-E A ，则其特征值为11λ=（二重），21λ=-（二重）．分别求齐次方程组()i λ-0E A X =得相应的特征向量为1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,1,0,0),(0,0,1,1)''''===-=-αααα，正交单位化得1234(1,1,0,0),0,1,1),1,0,0),0,1,1)2222''''===-=-ηηηη， 令123410101010(,,,)010120101⎛⎫⎪-⎪==⎪⎪-⎝⎭T ηηηη，则T 是正交矩阵，且1111⎛⎫ ⎪⎪'= ⎪- ⎪-⎝⎭T AT ． 那么正交线性替换=X TY ，使得原二次型化为22221234y y y y +--． 19．设A 是n 级实对称矩阵，证明：A 正定的充分必要条件是A 的特征多项式的根全大于零． 证明 由于A 是实对称矩阵，根据教材中的定理7知，存在一个n 级正交矩阵T ，使得121n λλλ-⎛⎫⎪⎪'=== ⎪ ⎪⎝⎭ T AT T AT Λ． 又因为相似矩阵有相同的特征值，且对角形矩阵的特征值即为其对角线上的元素，所以12,,,n λλλ 为A 的全部的特征根，即A 的特征多项式的全部根．再根据合同的矩阵具有相同的正定性，故A 正定的充分必要条件是对角形矩阵Λ是正定的，而Λ正定当且仅当12,,,n λλλ 全大于零．因此A 正定的充分必要条件是A 的特征多项式的根全大于零． 『方法技巧』利用相似矩阵具有相同的特征值，合同的矩阵具有相同的正定性．。
高等代数考研复习[欧氏空间]
![高等代数考研复习[欧氏空间]](https://img.taocdn.com/s3/m/e842560da26925c52dc5bf6b.png)
(A ,A ) (, ),
则称 A 是正交变换. 2.2 关于正交变换的几个等价命题
设 A 是欧氏空间V的一个线性变换，则下面
四个命题相互等价： (1) A 是正交变换； (2) A 保持向量的长度不变，即对任意的
d) n维欧空间中任意一个正交向量组都能扩充 成一组标准正交基.
3) 标准正交基的求法：施密特(Schmidt)正交 化方法
题型分析：
例1 设 1,2, ,n 是欧氏空间V的基，证明：
1) 若 V 使得 ( ,i ) 0, 则 0.
2) 若 1, 2 V , 对任意的 V 有 (1, ) ( 2, )
2.3 正交变换是可逆的；正交变换的乘积与 正交变换的逆变换仍然是正交变换. 正交变换在 任何一组标准正交基下的矩阵都是正交矩阵，
其行列式等于正负1，行列式为1的正交变换称 为第一 类的，或旋转；行列式为-1的正交变换 称为第二类的.
2.4 对称变换的定义 设A 是欧氏空间V的线性变换，如果对任意
(
2
,1)
(
n
,1
)
(1,2 ) (2,2 )
(n ,2 )
为基1,2, ,n 的度量矩阵.
(1,n )
(
2
,
n
)
(
n
,
n
)
2) 度量矩阵的性质
a) 设, 在n维欧氏空间V的基1,2, ,n 下的 坐标分别为 X (x1, x2, , xn ), Y ( y1, y2, , yn ), 则 (, ) X AY , 其中A是基1,2, ,n 的度量矩 阵.特别当1,2, ,n 是标准正交基时，A=E,则
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因此，与 2) (3k)(, 相+)当=地,2k就)(()有k,=(,)；, )=) +k((,, ))；；
2 ) ( , k3)) =(4()k(+,),=,k()),3=)0)(=(，k(当,+,且))；,+仅()当=, ()=；, 0 时 ) + (( ,,
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,
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4)
() ==,((+,),)+)0=(4，(), 当(,). 且),+仅( ), 当) 0，=当0且时仅(当,
取
t (, ) . ( , )
代入 (5) 式，得
( , ) ( , )2 0 , ( , )
即
( , )2 ( , ) ( , ) .
两边开方便得
| ( , ) | | | | | .
当 , 线性相关时，等号显然成立.
反过来，如
果等号成立，由以上证明过程可以看出，或者 =0
)==0
3) ( + , ) = ( , ) + ( , ) ； 由条件 4) (有, ( ), ) 0，0 . 当且仅所当以对于=任0意时的向( , )
量 ， (,) 是有意义的. 在几何空间中，向量 的长度为 (,) . 类似地，我们在一般的欧几
里得空间中引进向量长度的概念.
二、长度
的地位，因此有必要引入度量的概念.
解析几何中我们看到，向量的长度与夹角等度 量性质都可以通过向量的内积来表示，而且向量的 内积有明显的代数性质，所以在抽象的讨论中，我 们取内积作为基本概念.
一、内积
1. 定义
定义 1 设 V 是实数域 R 上一线性空间，在
内积 V 上定义了一个二元实函数，称为
，记作
第一节 定义与基本性质
主要内容
内积 长度 夹角 度量矩阵 举例
在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法
与数量乘法，统称为线性运算.
如果我们以几何
空间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型，
那么就会发现向量的度量性质，如长度、夹角等，
在线性空间的理论中没有得到反映.
但是向量的度
量性质在许多问题中(其中包括几何问题)有着特殊
式就成是就的成空为间一个C (欧a 几, b里) 中得，空对间于. 函以数后f仍(x用) , Rgn(x来) 表定示义这内
b 积个f (欧x)几g里(x得)d空x 间 .
1
b f 2 (x)dx 2
1
b g 2 (x)dx 2 .
( , )，它具有以下性质：
1) ( , ) = ( , )； 2) (k , ) = k( , )； 3) ( + , ) = ( , ) + ( , ) ； 4) ( , ) 0，当且仅当 = 0 时 ( , ) = 0 .
这里 , , 是 V 中任意的向量，k 是任意实
同样地，线性空间 R[ x ] , R[ x ]n 对于内积 (2)
也构成欧几得里空间.
内积定义中的四个性质：
3.
欧几里得空间的性质 内积定义中内的积四定个义性中质的：四个性质：
下面来看欧几1)里(得空, 间)的=一(些基, 本)性；质.
首先，定1义) (中2)条,(k件) ,=()1=), (k()表,；,明)内=)积；(是,对称)的；.
| 定a1b义1 内a积2b2 anbn |
( , a12)=aa221 b1+ a2 ba2n2+ …b12 +abn22bn . bn2 .(1
对于| (显例然, 2，) 内|在中积闭的| 欧区(1几|)间|里适得[合a|空,定间b]义C上(中a的, 的b所) 条，有件实，连这(续4样)函，数R
= (a1 , a2 , … , an ) , = (b1 , b2 , … , bn ) ,
定义内积
( , ) = a1 b1 + a2 b2 + … + an bn .
(1)
显然，内积 (1) 适合定义中的条件，这样， Rn
就成为一个欧几里得空间.
以后仍用 Rn 来表示这
个欧几里得空间. 在 n = 3 时，(1) 式就是几何空间中向量的内积
3) ( + , =) =+(t ,. ) + ( , ) ；
由 4) (可, 知，) 不0论，t 当取何且值仅，当一定有= 0 时 ( , ) = 0 .
( , ) = ( + t , + t ) 0.
即
( , ) + 2( , ) t + ( , ) t 2 0.
(5)
性质 2 柯西 - 布涅柯夫斯基不等式
设 , 是任意两个向量，则
| ( , ) | | | | |，
(4)
当且内仅当积 ,定 线义性相中关时的，等四号个才成性立. 质：
1)证(明,
)
当
=
(
=,
0 时)；，(4)
式显然成立.
以下
设 2)(0k. , )令=t k是(一个, 实)变；数，作向量
1. 定义
定义 2 非负实数
( , ) 长 称为向量 的
度，记为 | |.
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的
长度才是零，这样定义的长度有以下的性质：
2. 性质
性质 1 设 k R, V , 则有
| k | = | k | | |.
(3)
证明
| k | (k, k)
k 2 (,) | k || | .
或者
(, ) 0 , ( , )
也就是说 , 线性相关.
证毕
3. 两个著名的不等式
| (对,于 )例| 1| 在|中|线的 欧性| 几空里间得空R间n 中Rn，，对于(向4)量 式就
是
= (a1 , a2 , … , an ) , = (b1 , b2 , … , bn ) ,
在直角坐标系中的坐标表达式.
例 2 在闭区间 [a , b] 上的所有实连续函数所
成的空间 C (a , b) 中，对于函数 f (x) , g (x) 定义内
积
b
( f , g) a f (x)g(x)dx .
(2)
由定积分的性质不难证明，对于内积 (2)，C (a , b)
构成一欧几里得空间.
数，这样的线性空间 V 称为欧几里得空间.
在欧几里得空间的定义中，对它作为线性空间 的维数并无要求，可以是有限维的，也可以是无限 维的.
几何空间中向量的内积显然适合定义中列举的 性质，所以几何空间中向量的全体构成一个欧几里 得空间.
2. 欧几里得空间举例
下面再看两个例子.
例 1 在线性空间 Rn 中，对于向量