期权和公司债务的定价

课程：专业英语专业：概率论与数理统计年级：2009级姓名：董南成绩：期权和公司债务的定价费希尔·布莱克（Fischer Black）迈伦.斯科尔斯（Myron Scholes）如果期权能在市场中正确地定价，就有可能确定由期权及其标的股票的多头和空头所构造的资产组合的收益。

运用这个原理，可以推导出一个理论上的期权定价公式。

因为几乎所有的公司负债都可以被视为期权的组合，推导期权的公式和分析也可用于诸如普通股、公司债券和权证等公司负债。

特别地，公式可以用于推导可违约公司债券的贴现值。

介绍期权是一种受制于一定条件，在指定的期限内，赋予买入或卖出某种资产权利的保证。

“美式期权”是一种可以在期权到期之前的任意时间行使的期权。

“欧式期权”是一种只能在一个未来指定的日期行使的期权。

行使期权时资产支付的价格被称为“行使价格”或“执行价格”。

期权可被行使的最后一天被称为“截止日”或“到期日”。

最简单的期权品种是赋予购买单一普通股的权利。

本文中大部分我们都是讨论这种期权，这种期权常被归为“看涨期权”。

v1.0 可编辑可修改一般来说，股票的价格越高，期权的价值就越大。

当股票价格远大于行使价格时，期权肯定会被行使。

期权的现值因此也会近似等于股票的价格减去与期权有相同到期日、面值等于执行价格的纯贴现债券的价格。

另一方面，如果股票的价格远小于行使价格，期权到期时不会被行使，它的价值近似为零。

如果期权的截止日在非常遥远的未来，那么在到期日支付行使价格的债券的价格会非常低，期权的价值就近似等于股票的价格。

在另一方面，如果到期日非常近，期权的价值就近似等于股票的价格减去行使价格，如果股票价格低于行使价格，期权的价值为零。

通常地，如果股票的价值不变，期权价值随到期日的接近而下降。

这些期权价值和股票价格关系的一般性质常用图1中的图形说明。

直线A 代表期权的最大值，因为期权的价值不会超过股票的价格。

直线B 代表期权的最小值，因为期权的价值不为负且不会小于股票的价格减去行使价格。

直线321,,T T T 和依次代表到期日越来越短的期权的价值。

一般地，代表期权价值的曲线是向上凹的。

由于它也位于45度直线A 的下方，我们可以看到期权的变动比股票的更不稳定。

一个给定股票价格百分比的变动会导致一个到期日恒定的期权的价值更大的变动。

然而，期权的相对变动性不是一个常数，它依赖于股票的价格和到期日。

先前大部分有关于期权定价的工作都是以权证的形式表述的。

例如，Sprenkle （1961）、Ayres （1963）、Boness （1964）、Samuelson （1965）、Baumol 、Malkiel 和Quandt （1966）和Chen （1970）都推导出同样的定价公式的一般形式。

然而，他们的公式都是不完整的，因为他们都没有涉及有一个或多个任意参数的情况。

例如，Sprenkle 的期权定价公式如下：)()(2*1b cN k b kxN -)()(21/ln **21t t t t c kx b --+=υυ )()(21/ln **22t t t t c kx b ---=υυ 在这个表达式中，x 是股票价格，c 是行使价格，*t 是到期日，t 是当前日期，2υ是股票回报的方差率，ln 是自然对数，)(b N 是累计正态密度函数。

但k 和*k 是未知的参数。

Sprenkle （1961）定义k 为当权证到期时股票价格的期望值与股票当前价格的比值，*k 是基于股票风险的一个贴现因子。

他尝试以经验估计k和*k的值，但结果发现他还是无能为力。

更典型地，Samuelson（1965）有两个未知参数α和β，其中α是股票的期望回报率，β是权证的期望回报率或应用于权证的贴现率。

他假设当权证到期时股票合理的价值分布服从对数正态分布且在行使价格切断分布并取这个分布的期望值。

随后他用贴现率β将这个期望值贴现至今。

不幸地是，在资本市场均衡的条件下似乎没有证券的定价模型能用这个合适的程序确定权证的价值。

在随后的论文中，Samuelson和Merton（1969）认识到当权证行使时贴现其可能价值分布的期望值不是合适的程序。

他们进一步发展了将期权价格看做股票价格函数的理论。

他们还认识到贴现率在某种程度上是由投资者愿意持有的全部股票与期权的应收账款这个必要条件确定的。

但他们没有利用投资者也必须持有其它资产的事实，因此影响其贴现率的期权和股票的风险仅仅是无法回避风险的一部分。

他们最终的公式依赖于他们所假设的典型投资者的效用函数。

Thorp和Kassouf（1967）表述了我们开发模型的观念之一。

他们用实际权证价格的曲线模拟得到了一个权证的经验定价公式。

之后他们利用这个公式计算了用作对冲的一个多头和另一个空头的股票与权证的比例。

他们没有从事均衡的研究，即对冲的回报应该等于一项无风险资产的回报。

我们下面所展示的是用均衡条件来推导理论上的定价公式。

定价公式为了能根据股票价格推导出期权价值的公式，我们假设一些市场对于股票和期权的“理想条件”。

a) 短期利率是已知的且在整个时间段内是常数。

b) 股票价格在连续的时间内随机游动且其方差率与股票价格的平方成比例。

因此在任意有限时间间距的末端合理的股票价格分布是对数正态的。

股票回报的方差是常数。

c) 股票不支付红利和其它的股利派发。

d) 期权是“欧式的”，也就是说它只能在到期日行使。

e) 买卖股票和期权是没有交易费用。

f) 可用短期利率借到任意价格单位的证券买进或持有。

g) 短期卖出没有处罚金。

没有证券的卖家直接接受买家提供的证券价格，且同意将来与买家进行清算并支付他与那天证券价格相当的一定数量的证券。

在这些假设下，期权的价值只依赖于股票的价格、时间和已知为常数的变量。

因此，可以设计一个由股票多头和期权空头组成的对冲策略，它的价值不依赖于股票价格，但依赖于时间和一直常数的值。

记),(t x w 为期权的价值，它是股票价格x 和时间t 的函数，相对于一股股票的多头期权被卖空的数量为：),(11t x w （1） 在表达式（1）中，下标表示),(t x w 的对第一个自变量的偏导数。

为了理解这个不依赖于股票价格的对冲策略，注意到当股票价格变化很小时期权价值的变化与股票价格的变化的比例为),(1t xw。

对于第一种近似法，如果股票价格的变化量为x∆，期权价格的变化量为xtxw∆),(1，由表达式（1）给出的期权数量的变动为x∆。

因此，股票多头的变动值将会近似地抵消11w期权空头的变动值。

当变量x和t的变动时，期权被卖空的数量随股票对冲策略改变。

如果对冲是持续持有的，那么上文中提到的近似法是准确的，且对冲策略的回报与股票的变动值是完全独立的。

事实上，做对冲的回报是确定的。

为了说明对冲策略的构造，我们考虑图1中的实心线（2T）并且假设股票价格以$为起点，因此期权的价值就以$为起点。

同时假设直线在那点的斜率为21。

这意味着对冲策略是买入一股股票同时卖出两单位期权。

一股股票花费$，销售两单位期权的收入为$，因此这个策略的收益为$。

如果对冲策略不随股票价格的改变而改变，那么在有限时间间距的末端的权益值包含了一定的不确定性。

假设两单位期权从$涨到$同时股票从$涨到$，或它们从$跌到$同时股票从$跌到$。

因此，当股票价格在正负两个方向变动$时收益从$变为$。

即当股票价格在正负两个方向变动$时收益下降了$。

另外，曲线随期权到期日的改变而转换（如图1中由2T到3T）。

结果期权价值的下降意味着股票价格的大变动导致对冲的收益增加和可能损失的抵消。

注意到随着股票价格的大变动收益的下降的幅度很小。

股票价格变动值越小，收益的下降值与股票价格的变动值之间的比例股票价格变动值就越小。

同时也注意到收益变动的方向与股票价格变动的方向独立的，这意味着在股票价格遵循连续一个随机游动且方差率为常数的假设下，收益回报和股票回报之间的协方差为零。

如果股票价格和“市场投资组合”的价值遵循一个协方差为常数的联合的连续随机游动，它意味着收益回报与市场回报之间的协方差为零。

因此，如果能不断调整期权的空头策略可以使对冲的风险为零。

如果这个策略不能不断地调整，风险也较小，且利用对冲策略的投资组合也能分散全部的风险。

一般而言，由于对冲策略包含一股股票多头和11w 单位期权的空头，此策略的收益值为：1w w x - （2）在短间隔t ∆上收益的变动值为：1w w x ∆-∆ （3）假设空头策略不断地变动，我们可以利用随机微积分的知识去展开w ∆，即),(),(t x w t t x x w -∆+∆+如下：t w t x w x w w ∆+∆+∆=∆2221121υ （4） 在（4）式中，w 的下标指的是偏导数，2υ是股票回报的方差率。

将表达式（3）代入（4）式，我们得到对冲策略的收益变动值为： 122211/)21(w t w x w ∆+-υ （5）由于对冲策略的收益回报是确定的，回报必须等于t r ∆。

即使对冲策略不是不断变动的，风险也很小且全部都可以分散，因此对冲策略的期望回报就是短期利率。

否则，套利者就会通过借入大量资金实施对冲策略并从中获利，这个过程就会迫使回报下降至短期利率。

因此（5）式中收益的变动必须等于（2）式中的收益值乘上t r ∆。

t r w w x w t w x w ∆-=∆+-)/(/)21(1122211υ （6） 消去两边的t ∆，重新整理，我们得到一个期权价值的微分方程。

11221221w x rxw rw w υ--= （7）记*t 为期权的到期日，c 为行使价格，我们知道；,),(*c x t x w -= c x ≥ （8） ,0= c x <这是),(t x w 受制于边界条件（8）满足微分方程（7）的唯一公式。

这个公式就是期权定价公式。

为了解出这个微分方程，我们作以下的置换：)21)(/2[(),(22)(*υυ-=-r y e t x w t t r )],)(21(/[ln *2t t r c x ---υ )()21)(/2(*222t t r ---υυ （9） 有了这个置换，微分方程变为；112y y = （10）并且边界条件变为：,0)0,(=u y 0<u （11） ],1[)21/()21(22-=-υυr u e c 0≥u 微分方程（10）是物理学中的热传导方程，它的解由Churchill(1963,p155)给出。

换成我们的记号，方程的解为; dq e e c s u y u q r s q u ⎰∞---+-=δυυπ2/2/)21/()21)(2(222]1[2/1),( (12)将（12）式代入（9）式，简化后，我们得到：)()(),(2)(1*d N ce d xN t x w t t r --= tt t t r c x d --++=**21))(21(/ln υυ （13） t t t t r c x d ---+=**22))(21(/ln υυ 在（13）式中，)(d N 是累计正态密度函数。