带电粒子在磁场中偏转历年高考题详解

7.（08四川卷）24．如图，一半径为R 的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上。整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下。一电荷量为q （q ＞0）、质量为m 的小

球P 在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O ’。球心O 到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ（0＜θ＜)2

π

。为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度大小的最

小值及小球P 相应的速率。重力加速度为g 。

解析：据题意，小球P 在球面上做水平的匀速圆周运动，该圆周的圆心为O ’。P 受到向下的重力mg 、球面对它沿OP 方向的支持力N 和磁场的洛仑兹力 f ＝qvB ① 式中v 为小球运动的速率。洛仑兹力f 的方向指向O ’。根据牛顿第二定律 0cos =-mg N θ ②

θ

sin sin 2

R v m

N f =- ③ 由①②③式得

0cos sin sin 22

=+-θ

θθqR v m qBR v ④

由于v 是实数，必须满足

θθ

θcos sin 4sin 2

2

gR m qBR -

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=∆≥0 ⑤ 由此得B ≥

θ

cos 2R g

q m

⑥

可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度大小的最小值为 θ

cos 2min R g

q

m B =

⑦

此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为

m

R qB v 2sin min θ

=

⑧

由⑦⑧式得 θθ

sin cos gR

v =

⑨ 8.（08重庆卷）25.题25题为一种质谱仪工作原理示意图.在以O 为圆心，OH 为对称轴，夹角为2α的扇形区域内分

布着方向垂直于纸面的匀强磁场.对称于OH 轴的C 和D 分别是离子发射点和收集点.CM 垂直磁场左边界于M ，且OM=d.现有一正离子束以小发散角（纸面内）从C 射出，这些离子在CM 方向上的分速度均为v 0.若该离子束中比荷为

q

m

的离子都能汇聚到D ，试求： （1）磁感应强度的大小和方向（提示：可考虑沿CM 方向运动的离子为研究对象）； （2）离子沿与CM 成θ角的直线CN 进入磁场，其轨道半径和在磁场中的运动时间； （3）线段CM 的长度.

解析：（1）设沿CM 方向运动的离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R

由1

2

R '=2

00mv qv B R =

R=d

得B ＝

mv qd

磁场方向垂直纸面向外

（2）设沿CN 运动的离子速度大小为v ，在磁场中的轨道半径为R ′，运动时间为t 由

v cos θ=v 0

得v ＝

cos v θ

R ′=

mv qB

=

cos d

θ

方法一： 设弧长为s

t =s v

s=2(θ+α)×R ′ t =

2v R '

⨯+）（αθ

（09年全国卷Ⅰ）26（21分）如图，在x 轴下

方有匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于x y 平面向外。P 是y 轴上距原点为h 的

一点，N 0为x 轴上距原点为a 的一点。A 是一块平行于x 轴的挡板，与x 轴的距离为，A

的中点在y 轴上，长度略小于。带点粒子与挡板碰撞前后，x 方向的分速度不变，y 方向

的分速度反向、大小不变。质量为m ，电荷量为q （q>0）的粒子从P 点瞄准N 0点入射，最后又通过P 点。不计重力。求粒子入射速度的所有可能值。

解析：设粒子的入射速度为v,第一次射出磁场的点为'

O N ,与板碰撞后再次进入磁场的位置为1N .粒子在磁场中运动的轨道半径为R,有qB

mv

R =

…⑴ 粒子速率不变,每次进入磁场与射出磁场位置间距离1x 保持不变有

=1x θsin 2R N N O O ='

…⑵

粒子射出磁场与下一次进入磁场位置间的距离2x 始终不变,与1N N O '

相等.由图可以看出a x =2……⑶

设粒子最终离开磁场时,与档板相碰n 次(n=0、1、2、3…).若粒子能回到P 点,由对称性,出射点的x 坐标应为-a,即()a nx x n 2121=-+……⑷

由⑶⑷两式得a n n x 1

2

1++=

……⑸ 若粒子与挡板发生碰撞,有4

21a

x x >-……⑹ 联立⑶⑷⑹得n<3………⑺ 联立⑴⑵⑸得

a n n m qB v 1

2

sin 2++⋅=

θ………⑻

把2

2

sin h

a h +=

θ代入⑻中得

0,2

2=+=n mh

h a qBa v o …………⑼

1,432

21=+=n mh h a qBa v …………⑾

2,322

22=+=n mh

h a qBa v …………⑿

（09年全国卷Ⅱ）25. （18分）如图，在宽度分别为1l 和2l 的两个毗邻的条形区域分别有匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直于纸面向里，电场方向与电、磁场分界线平行向右。一带正电荷的粒子以速率v 从磁场区域上边界的P 点斜射入磁场，然后以垂直于电、磁场分界线的方向进入电场，最后从电场边界上的Q 点射出。已知PQ 垂直于电场方向，粒子轨迹与电、磁场分界线的交点到PQ 的距离为d 。不计重力,求电场强度与磁感应强度大小之比及粒子在磁场与电场中运动时间之比。

答案：221122212arcsin()2l d dl

dl l d

++

解析：本题考查带电粒子在有界磁场中的运动。

粒子在磁场中做匀速圆周运动,如图所示.由于粒子在分界线处的速度与分界线垂直,圆心O 应在分界线上,OP 长度即为粒子运动的圆弧的半径R.由几何关系得

22

12)(d R l R -+=………①

设粒子的质量和所带正电荷分别为m 和q,由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得

……………②

设P '为虚线与分界线的交点,α='∠P PO ,则粒子在磁场中的运动时间为

v

R t α

=

1……③ 式中有R

l 1

sin =

α………④粒子进入电场后做类平抛运动,其初速度为v,方向垂直于电R

v m

qvB 2

=