第十一章 动量矩定理x 理论力学课件
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v A v 1 v A 7 . 5 0 . 6 5 k / 4 s 3 m 8 . 1 6 k / s 9 m 9
当卫星在椭圆轨道上运行时，所受的引力始
终指向地心，为有心力，所以卫星对地心O的动
量矩保持为常量
rAvArBvB
第二节 质点系的动量矩定理
所以
vBrA rvBA63 76 104 0 008.19k9m /s
dt
riFiE
riFiI
MOEi MOIi
上式中ΣMOiE为作用质点系的所有外力对于O点 之矩的矢量和；ΣMOiI为质点系的内力对于O点之矩 的矢量和。
第二节 质点系的动量矩定理
由于内力总是成对出现的，所以它们对于任一点 的矩之和必等于零，即ΣMOiI=0。故有
dLO
dt
ME Oi
(11-8)
2 i
Jz
是刚体对z轴的转动惯
量，故有
Lz Jz
即，定轴转动刚体对于转动轴的动量矩，等于 刚体对于转动轴的转动惯量与角速度之乘积。
第二节 质点系的动量矩定理
第二节 质点系的动量矩定理
第二节 质点系的动量矩定理
一、质点系对固定点的动量矩定理
L O L 0i rim ivi
求导
d LO d dt dt
图11-6
第二节 质点系的动量矩定理
求：
（1）卫星在椭圆轨道的远地点B处时的速度 为多少？
（2）为使卫星沿新的圆形轨道运行，当它到 达B点时应如何调整其速度？太空阻力 及其它星球的影响不计，地球半径 R=6370km。
第二节 质点系的动量矩定理
解：若质点运动过程中受到的力恒指向某一
固定点，则称该力为有心力。不考虑大气阻力及
5.71k5m /s
设卫星沿新的圆形轨道运行所需的速度 为v2，则由 ②式得
v2 grR2 9.81103046372 0km/s 6.30k6m/s
第二节 质点系的动量矩定理
为使卫星沿着第二个圆形轨道运行，当它 沿椭圆轨道到达B点时，应再开火箭，使其速 度有一个增量
vB v 2 vB 0 .5k 9/m s 1
2020/10/22
第十一章 动量矩定理
第一节 质点系的动量矩 第二节 质点系的动量矩定理 第三节 刚体定轴转动微分方程 第四节 刚体平面运动微分方程
第一节 质点系的动量矩
第一节 质点系的动量矩
第一节 质点系的动量矩
与力对于一点的矩和对于经过该点 的任一轴的矩之间的关系类似，即有： 质点的动量对于一点的矩在经过该点的 任一轴上的投影就等于质点的动量对于 该轴的矩。
若以z轴为例，应有
M O m v zM zm v
第一节 质点系的动量矩
二、定轴转动刚体的动量矩
对于如图所示的定轴转动刚 体，考虑任一质点Mi，其对于z轴
的动量矩为 Lzi m ivii m ii2
整个刚体对z 轴的动量矩为
L zL z i m i i 2 ω ω m i i 2
因
mi
E zi
质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用于质点系的所有外力对于同一轴的矩之和。 称为质点系对固定轴的动量矩定理。
第二节 质点系的动量矩定理
将动量矩式 d LO dt
改M写OEi为
dLO MO Eidt
dL LO2 LO1
t2 O t1
MO Eidt
LO2LO1
t2 t1
t2
t1
M
E xi
dt
t2
t1
M
E yi
dt
t2
t1
M
E zi
dt
第二节 质点系的动量矩定理
对于式
d LO dt
MOEi
若ΣMOiE=0，则LO=常量。即，如果质点
系所受外力对某一固定点O的矩始终等于零，
则质点系对该点的动量矩保持为常量。
这一结论称为质点系动量矩守恒定理。
同样，对于质点系动量矩守恒定理， 其投影形式也成立。
注意：在式②中令h→0，就得到v =7.9 km/s，这就是为使卫星在离地面不远处作圆 周运动所需的速度，称为第一宇宙速度。
第二节 质点系的动量矩定理
卷扬机鼓轮重W，半径为
R，可绕经过鼓轮中心Ｏ的水
平轴 O z 转动，如图11-7所示。 鼓轮上绕一绳，绳的一端挂一 重P的物体。令在鼓轮上作用 一力矩M以提升重物。
即：质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数， 等于作用于质点系的所有外力对于同一点之矩的矢量 和。这就是质点系对任固定点O 的动量矩定理。
第二节 质点系的动量矩定理
将式(11-8)投影到固定坐标系Oxyz的各轴上，
得
dL x
dt
M
E xi
dL y
dt
M
E yi
(11-9)
dL z
dt
M
MO Eidt
(11-10)
上式为动量矩定理的积分形式，式中
外力对O点的冲量矩。
t2 t1
M
OE称i d t为
上式表明：质点系对固定点Ｏ的动量矩在一段时间
内的增量，等于作用于质点系的外力在同一时间内
对Ｏ点的冲量矩之和。
第二节 质点系的动量矩定理
将式(11-10)投影到固定坐标轴x、y、z上，得
L x2 L x1 L y2 L y1 L z2 L z1
其它星球的影响，则卫星运行时只受地球引力的
作用，该引力为
F
mgR 2
R h2
①
其中m为卫星的质量，R为地球半径。
由质点动力学方程，有
m v2 Rh
mg
R2
Rh2
即
v2 gR2 Rh
②
第二节 质点系的动量矩定理
将数据代入 ，②得卫星在第一圆形轨道上运行的速度
v1 7.553km/s
所以卫星在椭圆轨道上A点速度为
没有尾桨的 直升飞机是 怎么飞起来 的
第二节 质点系的动量矩定理
第二节 质点系的动量矩定理
人造地球卫星原来在位于离 地面h=600km的圆形轨道上运行 （如图11-6），为使其进入 r=104km的另一圆形轨迹，须开 动火箭，使卫星在A点的速度于 很短时间内增加0.646km/s，然 后令其沿椭圆轨道自由飞行到达 远地点B，再进入新的圆形轨道。
求重物上升的加速度。鼓 轮可看作均质圆柱，绳的重量 及轮轴处的摩擦都不计。
图11-7
第二节 质点系的动量矩定理
解:将鼓轮与重物作为一个质点系来考虑，作用于
ri mi vi
d ri dt
mi
vi
ri mi
Hale Waihona Puke Baidu
d vi dt
vi mi vi ri mi ai
第二节 质点系的动量矩定理
因vi与mivi同方向，故上式中的vi×mivi=0；而 miai=Fi=FiE+FiI，Fi为作用于质点Mi上的所有力的 合力，分为外力FiE和内力FiI，故有
dLO
当卫星在椭圆轨道上运行时，所受的引力始
终指向地心，为有心力，所以卫星对地心O的动
量矩保持为常量
rAvArBvB
第二节 质点系的动量矩定理
所以
vBrA rvBA63 76 104 0 008.19k9m /s
dt
riFiE
riFiI
MOEi MOIi
上式中ΣMOiE为作用质点系的所有外力对于O点 之矩的矢量和；ΣMOiI为质点系的内力对于O点之矩 的矢量和。
第二节 质点系的动量矩定理
由于内力总是成对出现的，所以它们对于任一点 的矩之和必等于零，即ΣMOiI=0。故有
dLO
dt
ME Oi
(11-8)
2 i
Jz
是刚体对z轴的转动惯
量，故有
Lz Jz
即，定轴转动刚体对于转动轴的动量矩，等于 刚体对于转动轴的转动惯量与角速度之乘积。
第二节 质点系的动量矩定理
第二节 质点系的动量矩定理
第二节 质点系的动量矩定理
一、质点系对固定点的动量矩定理
L O L 0i rim ivi
求导
d LO d dt dt
图11-6
第二节 质点系的动量矩定理
求：
（1）卫星在椭圆轨道的远地点B处时的速度 为多少？
（2）为使卫星沿新的圆形轨道运行，当它到 达B点时应如何调整其速度？太空阻力 及其它星球的影响不计，地球半径 R=6370km。
第二节 质点系的动量矩定理
解：若质点运动过程中受到的力恒指向某一
固定点，则称该力为有心力。不考虑大气阻力及
5.71k5m /s
设卫星沿新的圆形轨道运行所需的速度 为v2，则由 ②式得
v2 grR2 9.81103046372 0km/s 6.30k6m/s
第二节 质点系的动量矩定理
为使卫星沿着第二个圆形轨道运行，当它 沿椭圆轨道到达B点时，应再开火箭，使其速 度有一个增量
vB v 2 vB 0 .5k 9/m s 1
2020/10/22
第十一章 动量矩定理
第一节 质点系的动量矩 第二节 质点系的动量矩定理 第三节 刚体定轴转动微分方程 第四节 刚体平面运动微分方程
第一节 质点系的动量矩
第一节 质点系的动量矩
第一节 质点系的动量矩
与力对于一点的矩和对于经过该点 的任一轴的矩之间的关系类似，即有： 质点的动量对于一点的矩在经过该点的 任一轴上的投影就等于质点的动量对于 该轴的矩。
若以z轴为例，应有
M O m v zM zm v
第一节 质点系的动量矩
二、定轴转动刚体的动量矩
对于如图所示的定轴转动刚 体，考虑任一质点Mi，其对于z轴
的动量矩为 Lzi m ivii m ii2
整个刚体对z 轴的动量矩为
L zL z i m i i 2 ω ω m i i 2
因
mi
E zi
质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用于质点系的所有外力对于同一轴的矩之和。 称为质点系对固定轴的动量矩定理。
第二节 质点系的动量矩定理
将动量矩式 d LO dt
改M写OEi为
dLO MO Eidt
dL LO2 LO1
t2 O t1
MO Eidt
LO2LO1
t2 t1
t2
t1
M
E xi
dt
t2
t1
M
E yi
dt
t2
t1
M
E zi
dt
第二节 质点系的动量矩定理
对于式
d LO dt
MOEi
若ΣMOiE=0，则LO=常量。即，如果质点
系所受外力对某一固定点O的矩始终等于零，
则质点系对该点的动量矩保持为常量。
这一结论称为质点系动量矩守恒定理。
同样，对于质点系动量矩守恒定理， 其投影形式也成立。
注意：在式②中令h→0，就得到v =7.9 km/s，这就是为使卫星在离地面不远处作圆 周运动所需的速度，称为第一宇宙速度。
第二节 质点系的动量矩定理
卷扬机鼓轮重W，半径为
R，可绕经过鼓轮中心Ｏ的水
平轴 O z 转动，如图11-7所示。 鼓轮上绕一绳，绳的一端挂一 重P的物体。令在鼓轮上作用 一力矩M以提升重物。
即：质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数， 等于作用于质点系的所有外力对于同一点之矩的矢量 和。这就是质点系对任固定点O 的动量矩定理。
第二节 质点系的动量矩定理
将式(11-8)投影到固定坐标系Oxyz的各轴上，
得
dL x
dt
M
E xi
dL y
dt
M
E yi
(11-9)
dL z
dt
M
MO Eidt
(11-10)
上式为动量矩定理的积分形式，式中
外力对O点的冲量矩。
t2 t1
M
OE称i d t为
上式表明：质点系对固定点Ｏ的动量矩在一段时间
内的增量，等于作用于质点系的外力在同一时间内
对Ｏ点的冲量矩之和。
第二节 质点系的动量矩定理
将式(11-10)投影到固定坐标轴x、y、z上，得
L x2 L x1 L y2 L y1 L z2 L z1
其它星球的影响，则卫星运行时只受地球引力的
作用，该引力为
F
mgR 2
R h2
①
其中m为卫星的质量，R为地球半径。
由质点动力学方程，有
m v2 Rh
mg
R2
Rh2
即
v2 gR2 Rh
②
第二节 质点系的动量矩定理
将数据代入 ，②得卫星在第一圆形轨道上运行的速度
v1 7.553km/s
所以卫星在椭圆轨道上A点速度为
没有尾桨的 直升飞机是 怎么飞起来 的
第二节 质点系的动量矩定理
第二节 质点系的动量矩定理
人造地球卫星原来在位于离 地面h=600km的圆形轨道上运行 （如图11-6），为使其进入 r=104km的另一圆形轨迹，须开 动火箭，使卫星在A点的速度于 很短时间内增加0.646km/s，然 后令其沿椭圆轨道自由飞行到达 远地点B，再进入新的圆形轨道。
求重物上升的加速度。鼓 轮可看作均质圆柱，绳的重量 及轮轴处的摩擦都不计。
图11-7
第二节 质点系的动量矩定理
解:将鼓轮与重物作为一个质点系来考虑，作用于
ri mi vi
d ri dt
mi
vi
ri mi
Hale Waihona Puke Baidu
d vi dt
vi mi vi ri mi ai
第二节 质点系的动量矩定理
因vi与mivi同方向，故上式中的vi×mivi=0；而 miai=Fi=FiE+FiI，Fi为作用于质点Mi上的所有力的 合力，分为外力FiE和内力FiI，故有
dLO