第十一章 动量矩定理x 理论力学课件
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理论力学课件-动量矩定理
注意到
mi m ,
mi yi myC 0 则 J z ' J zC m d 2
2
例如，对于例6中均质细杆对 z' 轴的转动惯量为
1 2 1 2 1 2 l J z ' J z m ml ml ml 4 3 2 12
五．计算转动惯量的组合法
当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一 部分(物体)的转动惯量, 然后加起来就是整个物体的转动惯量。
若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。
[例8] 图示钟摆，均质直杆：m1、l ； 均质圆盘：m2 、R 。求 JO 。
解：JO JO杆 J O盘
1 2 1 2 2 m1l m2 R m2 (l R) 3 2
[例6]匀质细直杆长为l ，质量为m。求 ① 对z轴的转动惯量Jz ；
② 对z' 轴的转动惯量 Jz’ 。
m 1 2 解：J z l x d x ml l 12 2 l m 1 J z ' x 2 d x ml 2 0 l 3
2
l 2
[例7]设有均质圆薄板，如图所示。其质量为m，半径为R，求 它对中心轴的转动惯量。 解：在圆板上取任意半径 r 处宽为dr 之圆环为微元 。由于圆板匀质，故有
以上结论称为质点系的动量矩守恒定律。
[例3] 已知物重PA > PB ，定滑轮重 P ，半径为r，求 。
解: 取整个系统为研究对象，受力如图示。
运动分析： v = r
MO PAr PB r ( PA PB )r PA PB LO v r v r J O g g r 2 1P 2 由于
mi m ,
mi yi myC 0 则 J z ' J zC m d 2
2
例如，对于例6中均质细杆对 z' 轴的转动惯量为
1 2 1 2 1 2 l J z ' J z m ml ml ml 4 3 2 12
五．计算转动惯量的组合法
当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一 部分(物体)的转动惯量, 然后加起来就是整个物体的转动惯量。
若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。
[例8] 图示钟摆，均质直杆：m1、l ； 均质圆盘：m2 、R 。求 JO 。
解：JO JO杆 J O盘
1 2 1 2 2 m1l m2 R m2 (l R) 3 2
[例6]匀质细直杆长为l ，质量为m。求 ① 对z轴的转动惯量Jz ；
② 对z' 轴的转动惯量 Jz’ 。
m 1 2 解：J z l x d x ml l 12 2 l m 1 J z ' x 2 d x ml 2 0 l 3
2
l 2
[例7]设有均质圆薄板，如图所示。其质量为m，半径为R，求 它对中心轴的转动惯量。 解：在圆板上取任意半径 r 处宽为dr 之圆环为微元 。由于圆板匀质，故有
以上结论称为质点系的动量矩守恒定律。
[例3] 已知物重PA > PB ，定滑轮重 P ，半径为r，求 。
解: 取整个系统为研究对象，受力如图示。
运动分析： v = r
MO PAr PB r ( PA PB )r PA PB LO v r v r J O g g r 2 1P 2 由于
《理论力学》课件 第十一章
第十一章动量定理动量定理、动量矩定理和动能定理统称为动力学普遍定理.§11--1 动量与冲量1、动量的概念：产生的相互作用力⑴定义：质点的质量与速度的乘积称为质点的动量，-----记为mv。
质点的动量是矢量，它的方向与质点速度的方向一致。
kgms/单位)i p v 质点系的动量()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑质心公式：⑵、质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。
)idr p v dt ()i i dm r dt∑注意：质量m i是不变的如何进一步简化？参考重心、形心公式。
李禄昌()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑) p r r cm v =质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。
求质点系的动量问题转化为求刚体质心问题。
cωv C =0v Ccωcov C2．冲量的概念：tF IF I d d IF d 物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和方向有关，还与力作用时间的长短有关。
用力与作用时间的乘积来衡量力在这段时间内积累的作用。
冲量是矢量，方向与常力的方向一致。
冲量的单位是N.S 。
§11-2 动量定理—-确定动量与冲量的关系由牛顿第二定律：F v m )F v m d )称为质点动量定理的微分形式，即质点动量的增量v v ~ ⎰==-21d 12t t It F v m v m称为质点动量定理的积分形式，即在某一时间间隔⎰==-21d 12t t It F v m v m 2、质点系的动量定理(F (F外力：，内力：(F (F M FF F v tF F v i i d )(∑+)()(d d d e ie i It F p ∑=∑=)(d d e i F tp ∑=称为质点系动量定理的微分形式，即质点系动量的质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（主矢）动力学与静力学联系。
)(112e ini Ip p =∑=-p p ~ 称为质点系动量定理的积分形式，即在某一时间)(d d e xx F tp ∑=)(d d e yy Ftp ∑=)(d d e z z F tp ∑=动量定理微分形式的投影式：动量定理积分形式的投影式：)(12e xx x Ip p ∑=-)(12e yy y Ip p ∑=-)(12e zz z Ip p ∑=-动量定理是矢量式，在应用时应取投影形式。
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§11-4 刚体对轴的转动惯量
一．定义： Jz miri2
z
i
对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分
形式
Jz r2 dm
由定义可知，转动惯量不仅与 质量有关，而且与质量的分布有关；
ri
vi
mi
在国际单位制中，转动惯量的单位
是: kg·m2。同一刚体对不同轴的转
Jz mz2
回转半径的几何意义是：假想地将物体的质量集 中到一点处，并保持物体对轴的转动惯量不变，则该 点到轴的距离就等于回转半径的长度。
3、平行轴定理
定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体 对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加 上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，
zC
z1
m
C
Jz1 JzC md2
dLO dt
MO(Fi(e))
若 Mz(F(e))0，则 Lz 常量。
dLz dt
Mz (Fi (e) )
例 高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R，质量 为m1，绕O轴转动。小车和矿石的总质量为m2。作用在鼓轮上
的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动惯量为J，轨道倾角为a。
设绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。
O u
A
mg
mg
解：以系统为研究对象，受力如图。
由于SMO(F (e))＝0，且系统初始静止，所以LO＝0。
设重物A上升的速度为v，则人的绝对速度va的大小为
va uv
v
LOmarvmv0 r
FOy
O
FOx
u
A mg mg
L Om (uv)rm v0r
理论力学：第11章 动量矩定理
对定点 O： LO mO (MvC ) IC
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
易证：
dmO (mv )
dt
mO
(F)
微分形式动量矩定理
其中 O 为定点。
或
dmO (mv) mO (dS )
LH
P vr
b
1
Q r2
Q vC
r
b
sin
1
Q r2
g 2 2 g
g 2 2g
(P
2Q)r
P
b b
(1
sin
)
vC g
系统外力对 H 的力矩：
11-3
ΣmH
(F
(e)
)
m
P
r
b
Q
b
Q
sin
绳子剪断前为静力学问题，易求反力。
绳子剪断后为定轴转动动力学问题，用质心运动定理求： MaC
F (e)
但需要先求出 aC ，用刚体定轴转动微分方程可求： Iz mz (F (e) )
11-5
解：I. 绳子剪断前，受力如图(a)。 W
由对称性： N A0 2
II. 绳子剪断瞬时，受力、运动如图(b)。
11-2
欲用动量矩定理求 aC ， aC 只跟三个运动物体有关，并且有一个“轴”O，如图。 但其中的 N 如何处理？
事实上，滚子沿斜面法向是静平衡的， N = Q cosα。 解：① 求加速度 aC 。
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
易证：
dmO (mv )
dt
mO
(F)
微分形式动量矩定理
其中 O 为定点。
或
dmO (mv) mO (dS )
LH
P vr
b
1
Q r2
Q vC
r
b
sin
1
Q r2
g 2 2 g
g 2 2g
(P
2Q)r
P
b b
(1
sin
)
vC g
系统外力对 H 的力矩：
11-3
ΣmH
(F
(e)
)
m
P
r
b
Q
b
Q
sin
绳子剪断前为静力学问题，易求反力。
绳子剪断后为定轴转动动力学问题，用质心运动定理求： MaC
F (e)
但需要先求出 aC ，用刚体定轴转动微分方程可求： Iz mz (F (e) )
11-5
解：I. 绳子剪断前，受力如图(a)。 W
由对称性： N A0 2
II. 绳子剪断瞬时，受力、运动如图(b)。
11-2
欲用动量矩定理求 aC ， aC 只跟三个运动物体有关，并且有一个“轴”O，如图。 但其中的 N 如何处理？
事实上，滚子沿斜面法向是静平衡的， N = Q cosα。 解：① 求加速度 aC 。
《理论力学》第十一章 动量矩定理
面积速度定理： 质点在有心力作用下其面积速度守恒.
有心力：力作用线始终通过某固定点, 该点称力心.
MO(F) 0
M (mv) r mv 常矢量
(1) r与 v必在一固定平面内,即点M的运动轨迹是平面曲线.
(2) r mv r m dr b 常量 即 r dr 常量
d
即: Jz dt M z (Fi )
或 Jz M z (F)
转动 微分
或
Jz
d2
dt 2
Mz(F)
方程
例11-4
已知：物理摆（复摆），m, JO , a 。 求：微小摆动的周期 。
解：
JO
d2
dt 2
mga sin
微小摆动时， sin
JO
d 2
第十一章 动量矩定理
§11-1 质点和质点系的动量矩
1．质点的动量矩
MO (mv)
mv
M z (mv)
r
[MO (mv)]z Mz (mv)
对点 O 的动量矩
MO (mv) r mv 对 z 轴的动量矩
M z (mv) MO (mv)xy
代数量,从 z 轴正向看, 逆时针为正,顺时针为负.
)
d dt
MO
(mv )
MO
(F)
投影式:
质点对某定点的动量矩对时间的
d dt
M
x
(mv )
M
x
(F)
d dt
M
y
(mv )
M
(F
)
一阶导数,等于作用力对同一点的矩.
－－质点的动量矩定理
有心力：力作用线始终通过某固定点, 该点称力心.
MO(F) 0
M (mv) r mv 常矢量
(1) r与 v必在一固定平面内,即点M的运动轨迹是平面曲线.
(2) r mv r m dr b 常量 即 r dr 常量
d
即: Jz dt M z (Fi )
或 Jz M z (F)
转动 微分
或
Jz
d2
dt 2
Mz(F)
方程
例11-4
已知：物理摆（复摆），m, JO , a 。 求：微小摆动的周期 。
解：
JO
d2
dt 2
mga sin
微小摆动时， sin
JO
d 2
第十一章 动量矩定理
§11-1 质点和质点系的动量矩
1．质点的动量矩
MO (mv)
mv
M z (mv)
r
[MO (mv)]z Mz (mv)
对点 O 的动量矩
MO (mv) r mv 对 z 轴的动量矩
M z (mv) MO (mv)xy
代数量,从 z 轴正向看, 逆时针为正,顺时针为负.
)
d dt
MO
(mv )
MO
(F)
投影式:
质点对某定点的动量矩对时间的
d dt
M
x
(mv )
M
x
(F)
d dt
M
y
(mv )
M
(F
)
一阶导数,等于作用力对同一点的矩.
－－质点的动量矩定理
第十一章.动量矩定理(哈工大-理论力学课件)
角速度的乘积。
ω O
mivi ri mi
L J 2021/6/4 O
O
ω
6
[例1]
O
求对O轴的动量矩。
ω
解：LO J o
l
1 ml 2 vC
3
O ω
LOmCv2 lm2 l2 l1 4m2 l
2021/6/4
7
[例2]
已知：均质杆的质量为m，均质圆盘的质量为2m， 求物体对于O轴的转动惯量和动量矩。
m O(m v)zm z(m v)
动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。
2021/6/4
4
二．质点系的动量矩
质系对点O的动量矩： L O m O (m ivi) ri m ivi
质系对轴z 的动量矩：L z m z(m iv i) L Oz
刚体动量矩计算： 1．平动刚体
LO(rimivi) (mirivi) (mirivC)
2021/6/4
1
第十一章 动量矩定理
§11–1 质点和质点系的动量矩
§11–2 动量矩定理
§11–3 刚体绕定轴的转动微分方程
§11–4 刚体对轴的转动惯量
§11–5 质点系相对于质心的动量矩定理
§11–6 刚体的平面运动微分方程
习题课
2021/6/4
2
§11-1 质点和质点系的动量矩
一．质点的动量矩 质点对于点O 的动量矩 ：质点的动量相对于点O 的矩。 若质点的质量为m ,速度为v，质点相对点O的矢径为r，则
18
dLO dt
MO(Fi(e))
质点系对固定点的动量矩定理:
质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作 用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的 主矩）。
ω O
mivi ri mi
L J 2021/6/4 O
O
ω
6
[例1]
O
求对O轴的动量矩。
ω
解：LO J o
l
1 ml 2 vC
3
O ω
LOmCv2 lm2 l2 l1 4m2 l
2021/6/4
7
[例2]
已知：均质杆的质量为m，均质圆盘的质量为2m， 求物体对于O轴的转动惯量和动量矩。
m O(m v)zm z(m v)
动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。
2021/6/4
4
二．质点系的动量矩
质系对点O的动量矩： L O m O (m ivi) ri m ivi
质系对轴z 的动量矩：L z m z(m iv i) L Oz
刚体动量矩计算： 1．平动刚体
LO(rimivi) (mirivi) (mirivC)
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1
第十一章 动量矩定理
§11–1 质点和质点系的动量矩
§11–2 动量矩定理
§11–3 刚体绕定轴的转动微分方程
§11–4 刚体对轴的转动惯量
§11–5 质点系相对于质心的动量矩定理
§11–6 刚体的平面运动微分方程
习题课
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2
§11-1 质点和质点系的动量矩
一．质点的动量矩 质点对于点O 的动量矩 ：质点的动量相对于点O 的矩。 若质点的质量为m ,速度为v，质点相对点O的矢径为r，则
18
dLO dt
MO(Fi(e))
质点系对固定点的动量矩定理:
质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作 用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的 主矩）。
理论力学第十一章动量矩定理
JO
d 2
dt 2
mga
即：
d 2
dt 2
mga
JO
0
解： 令 2 mga
JO
——固有频率
得
2 0
通解为 O sin(
mgat )
JO
周期为 T 2 2 JO
mga
例11-3 用于测量圆盘转动惯量的三线摆中，
三根长度相等（l）的弹性线，等间距悬挂被测量的圆盘。
已知圆盘半径为 R、重量为W。
dt
dt dt
v dr dt
r d(mv) d(r mv)
dt
dt
dLO dt
MO F
矢量式
质点对固定点的动量矩对时间的导数等于作 用于质点上的力对该点的矩。
★ 质点系的动量矩定理
0
d
dt
i
ri mivi
i
MO (Fii )
i
MO (Fie )
MO (Fie )
i
F2
z
F1
LO rC mvC LC
dLO d
dt dt
rC mvC LC
ri Fie (rC + ri) Fie
rC Fie ri Fie
③
即
drC dt
mvC
rC
d dt
mvC
dLC dt
rC
Fie
dLC dt
由于
① ① drC dt
② vC ,
drC dt
mvC
★ 相对质心的动量矩
LC MC mivi ri mivi
vi vC vir
LC = rimivC rimivir
其中
ri mivC ( miri)vC 0 （rC
理论力学动量矩定律
例11-3
已知：两小球质量皆为 m,初始角速度 。 0
求：剪断绳后, 角时的 .
第十二页，共四十三页。
解： 0 时,
L z12 m0 a a2 m2a 0
0时,
L z2 2 m (a lsi)n 2
Lz1 Lz2
(aal2sin0)2
第十三页，共四十三页。
§11-3 刚体(gāngtǐ)绕定轴的转动微分方程
证明
： (zhèngmíng)
JzCm i(x1 2y1 2)
Jz m ir2 m i(x2y2) m i[x 1 2 (y 1 d )2]
0 m i( x 1 2 y 1 2 ) 2 d m iy 1 d 2 m i
Jz JzC md2
第二十二页，共四十三页。
4．组合法
已知：杆长为 l质量为 m，1 圆盘半径为 ，d质量为 . m 2
（1） 刚体(gāngtǐ)平移LOM O(m vC) LzM z(m vC)
（2）
LJ 刚体(gāngtǐ)绕定轴转动z
z
L z M z ( m iv i) m iv ir i
m i r ir i m ir i2
Jz miri2 －－转动惯量
第三页，共四十三页。
§11-2 动量矩定理(dìnglǐ)
主动力: 约束力:
F 1,F 2,
FN1,FN2
,F n
d
d t(Jz ) M z(F i) M z(F N i)
Mz(Fi)
即: Jz ddt Mz(Fi)
或 Jz M z(F)
转动 微分(wēi fēn)
方程
或
Jz
d2
dt2
Mz
(F)
《理论力学》第十一章 动量矩定理
LO lOi ri mi v i
将动量矩投影到以O为原点的直角坐标轴上
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
Lx l x mv m yv z zv y
L y l y mv m zv x xv z Lz l z mv m xv y yv x
（二）质点系的动量矩L
设质点系由n个质点组成，其中第i个质点 的质量为mi，速度为vi。 质系对任意固定点O的动量矩：
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
LO lOi ri mi v i
质系对任意固定点O的动量矩为各质点 的动量对O点矩的矢量和。
3、刚体动量矩的计算
1）刚体平动
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
例1：均质细长直杆长l，质量m1，与质量为m2,半径
为r，均质圆盘固结。已知角速度为,试求对转轴的 动量矩。 解：
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
第十一章
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
动量矩定理
§1 动量矩（表征物体转动的物理量）
一、动量矩的定义及计算
1. 对任意固定点O的动量矩（矢量）：
质点对固定点的动量矩即质点的动量对固定点的矩： z lO r mv r p mv lo M r F
平轴z的转动惯量。轴z过O点垂直纸面
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5.71k5m /s
设卫星沿新的圆形轨道运行所需的速度 为v2，则由 ②式得
v2 grR2 9.81103046372 0km/s 6.30k6m/s
第二节 质点系的动量矩定理
为使卫星沿着第二个圆形轨道运行，当它 沿椭圆轨道到达B点时，应再开火箭，使其速 度有一个增量
vB v 2 vB 0 .5k 9/m s 1
MO Eidt
(11-10)
上式为动量矩定理的积分形式，式中
外力对O点的冲量矩。
t2 t1
M
OE称i d t为
上式表明：质点系对固定点Ｏ的动量矩在一段时间
内的增量，等于作用于质点系的外力在同一时间内
对Ｏ点的冲量矩之和。
第二节 质点系的动量矩定理
将式(11-10)投影到固定坐标轴x、y、z上，得
L x2 L x1 L y2 L y1 L z2 L z1
E zi
质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用于质点系的所有外力对于同一轴的矩之和。 称为质点系对固定轴的动量矩定理。
第二节 质点系的动量矩定理
将动量矩式 d LO dt
改M写OEi为
dLO MO Eidt
dL LO2 LO1
t2 O t1
MO Eidt
LO2LO1
t2 t1
图11-6
第二节 质点系的动量矩定理
求：
（1）卫星在椭圆轨道的远地点B处时的速度 为多少？
（2）为使卫星沿新的圆形轨道运行，当它到 达B点时应如何调整其速度？太空阻力 及其它星球的影响不计，地球半径 R=6370km。
第二节 质点系的动量矩定理
解：若质点运动过程中受到的力恒指向某一
固定点，则称该力为有心力。不考虑大气阻力及
若以z轴为例，应有
M O m v zM zm v
第一节 质点系的动量矩
二、定轴转动刚体的动量矩
对于如图所示的定轴转动刚 体，考虑任一质点Mi，其对于z轴
的动量矩为 Lzi m ivii m ii2
整个刚体对z 轴的动量矩为
L zL z i m i i 2 ω ω m i i 2
因
mi
2020/10/22
第十一章 动量矩定理
第一节 质点系的动量矩 第二节 质点系的动量矩定理 第三节 刚体定轴转动微分方程 第四节 刚体平面运动微分方程
第一节 质点系的动量矩
第一节 质点系的动量矩
第一节 质点系的动量矩
与力对于一点的矩和对于经过该点 的任一轴的矩之间的关系类似，即有： 质点的动量对于一点的矩在经过该点的 任一轴上的投影就等于质点的动量对于 该轴的矩。
没有尾桨的 直升飞机是 怎么飞起来 的
第二节 质点系的动量矩定理
第二节 质点系的动量矩定理
人造地球卫星原来在位于离 地面h=600km的圆形轨道上运行 （如图11-6），为使其进入 r=104km的另一圆形轨迹，须开 动火箭，使卫星在A点的速度于 很短时间内增加0.646km/s，然 后令其沿椭圆轨道自由飞行到达 远地点B，再进入新的圆形轨道。
ri mi vi
d ri dt
mi
vi
ri mi
d vi dt
vi mi vi ri mi ai
第二节 质点系的动量矩定理
因vi与mivi同方向，故上式中的vi×mivi=0；而 miai=Fi=FiE+FiI，Fi为作用于质点Mi上的所有力的 合力，分为外力FiE和内力FiI，故有
dLO
dt
riFiE
riFiI
MOEi MOIi
上式中ΣMOiE为作用质点系的所有外力对于O点 之矩的矢量和；ΣMOiI为质点系的内力对于O点之矩 的矢量和。
第二节 质点系的动量矩定理
由于内力总是成对出现的，所以它们对于任一点 的矩之和必等于零，即ΣMOiI=0。故有
dLO
dt
ME Oi
(11-8)
即：质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数， 等于作用于质点系的所有外力对于同一点之矩的矢量 和。这就是质点系对任固定点O 的动量矩定理。
第二节 质点系的动量矩定理
将式(11-8)投影到固定坐标系Oxyz的各轴上，
得
dL x
dt
M
E xi
dL y
dt
M
E yi
(11-9)
dL z
dt
M
其它星球的影响，则卫星运行时只受地球引力的
作用，该引力为
F
mgR 2
R h2
①
其中m为卫星的质量，R为地球半径。
由质点动力学方程，有
m v2 Rh
mg
R2
Rh2
即
v2 gR2 Rh
②
第二节 质点系的动量矩定理
将数据代入 ，②得卫星在第一圆形轨道上运行的速度
v1 7.553km/s
所以卫星在椭圆轨道上A点速度为
求重物上升的加速度。鼓 轮可看作均质圆柱，绳的重量 及轮轴处的摩擦都不计。
图11-7
第二节 质点系的动量矩定理
解:将鼓轮与重物作为一个质点系来考虑，作用于
t2
t1
M
E xi
dt
t2
t1
ME yidt来自t2t1M
E zi
dt
第二节 质点系的动量矩定理
对于式
d LO dt
MOEi
若ΣMOiE=0，则LO=常量。即，如果质点
系所受外力对某一固定点O的矩始终等于零，
则质点系对该点的动量矩保持为常量。
这一结论称为质点系动量矩守恒定理。
同样，对于质点系动量矩守恒定理， 其投影形式也成立。
注意：在式②中令h→0，就得到v =7.9 km/s，这就是为使卫星在离地面不远处作圆 周运动所需的速度，称为第一宇宙速度。
第二节 质点系的动量矩定理
卷扬机鼓轮重W，半径为
R，可绕经过鼓轮中心Ｏ的水
平轴 O z 转动，如图11-7所示。 鼓轮上绕一绳，绳的一端挂一 重P的物体。令在鼓轮上作用 一力矩M以提升重物。
v A v 1 v A 7 . 5 0 . 6 5 k / 4 s 3 m 8 . 1 6 k / s 9 m 9
当卫星在椭圆轨道上运行时，所受的引力始
终指向地心，为有心力，所以卫星对地心O的动
量矩保持为常量
rAvArBvB
第二节 质点系的动量矩定理
所以
vBrA rvBA63 76 104 0 008.19k9m /s
2 i
Jz
是刚体对z轴的转动惯
量，故有
Lz Jz
即，定轴转动刚体对于转动轴的动量矩，等于 刚体对于转动轴的转动惯量与角速度之乘积。
第二节 质点系的动量矩定理
第二节 质点系的动量矩定理
第二节 质点系的动量矩定理
一、质点系对固定点的动量矩定理
L O L 0i rim ivi
求导
d LO d dt dt
设卫星沿新的圆形轨道运行所需的速度 为v2，则由 ②式得
v2 grR2 9.81103046372 0km/s 6.30k6m/s
第二节 质点系的动量矩定理
为使卫星沿着第二个圆形轨道运行，当它 沿椭圆轨道到达B点时，应再开火箭，使其速 度有一个增量
vB v 2 vB 0 .5k 9/m s 1
MO Eidt
(11-10)
上式为动量矩定理的积分形式，式中
外力对O点的冲量矩。
t2 t1
M
OE称i d t为
上式表明：质点系对固定点Ｏ的动量矩在一段时间
内的增量，等于作用于质点系的外力在同一时间内
对Ｏ点的冲量矩之和。
第二节 质点系的动量矩定理
将式(11-10)投影到固定坐标轴x、y、z上，得
L x2 L x1 L y2 L y1 L z2 L z1
E zi
质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用于质点系的所有外力对于同一轴的矩之和。 称为质点系对固定轴的动量矩定理。
第二节 质点系的动量矩定理
将动量矩式 d LO dt
改M写OEi为
dLO MO Eidt
dL LO2 LO1
t2 O t1
MO Eidt
LO2LO1
t2 t1
图11-6
第二节 质点系的动量矩定理
求：
（1）卫星在椭圆轨道的远地点B处时的速度 为多少？
（2）为使卫星沿新的圆形轨道运行，当它到 达B点时应如何调整其速度？太空阻力 及其它星球的影响不计，地球半径 R=6370km。
第二节 质点系的动量矩定理
解：若质点运动过程中受到的力恒指向某一
固定点，则称该力为有心力。不考虑大气阻力及
若以z轴为例，应有
M O m v zM zm v
第一节 质点系的动量矩
二、定轴转动刚体的动量矩
对于如图所示的定轴转动刚 体，考虑任一质点Mi，其对于z轴
的动量矩为 Lzi m ivii m ii2
整个刚体对z 轴的动量矩为
L zL z i m i i 2 ω ω m i i 2
因
mi
2020/10/22
第十一章 动量矩定理
第一节 质点系的动量矩 第二节 质点系的动量矩定理 第三节 刚体定轴转动微分方程 第四节 刚体平面运动微分方程
第一节 质点系的动量矩
第一节 质点系的动量矩
第一节 质点系的动量矩
与力对于一点的矩和对于经过该点 的任一轴的矩之间的关系类似，即有： 质点的动量对于一点的矩在经过该点的 任一轴上的投影就等于质点的动量对于 该轴的矩。
没有尾桨的 直升飞机是 怎么飞起来 的
第二节 质点系的动量矩定理
第二节 质点系的动量矩定理
人造地球卫星原来在位于离 地面h=600km的圆形轨道上运行 （如图11-6），为使其进入 r=104km的另一圆形轨迹，须开 动火箭，使卫星在A点的速度于 很短时间内增加0.646km/s，然 后令其沿椭圆轨道自由飞行到达 远地点B，再进入新的圆形轨道。
ri mi vi
d ri dt
mi
vi
ri mi
d vi dt
vi mi vi ri mi ai
第二节 质点系的动量矩定理
因vi与mivi同方向，故上式中的vi×mivi=0；而 miai=Fi=FiE+FiI，Fi为作用于质点Mi上的所有力的 合力，分为外力FiE和内力FiI，故有
dLO
dt
riFiE
riFiI
MOEi MOIi
上式中ΣMOiE为作用质点系的所有外力对于O点 之矩的矢量和；ΣMOiI为质点系的内力对于O点之矩 的矢量和。
第二节 质点系的动量矩定理
由于内力总是成对出现的，所以它们对于任一点 的矩之和必等于零，即ΣMOiI=0。故有
dLO
dt
ME Oi
(11-8)
即：质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数， 等于作用于质点系的所有外力对于同一点之矩的矢量 和。这就是质点系对任固定点O 的动量矩定理。
第二节 质点系的动量矩定理
将式(11-8)投影到固定坐标系Oxyz的各轴上，
得
dL x
dt
M
E xi
dL y
dt
M
E yi
(11-9)
dL z
dt
M
其它星球的影响，则卫星运行时只受地球引力的
作用，该引力为
F
mgR 2
R h2
①
其中m为卫星的质量，R为地球半径。
由质点动力学方程，有
m v2 Rh
mg
R2
Rh2
即
v2 gR2 Rh
②
第二节 质点系的动量矩定理
将数据代入 ，②得卫星在第一圆形轨道上运行的速度
v1 7.553km/s
所以卫星在椭圆轨道上A点速度为
求重物上升的加速度。鼓 轮可看作均质圆柱，绳的重量 及轮轴处的摩擦都不计。
图11-7
第二节 质点系的动量矩定理
解:将鼓轮与重物作为一个质点系来考虑，作用于
t2
t1
M
E xi
dt
t2
t1
ME yidt来自t2t1M
E zi
dt
第二节 质点系的动量矩定理
对于式
d LO dt
MOEi
若ΣMOiE=0，则LO=常量。即，如果质点
系所受外力对某一固定点O的矩始终等于零，
则质点系对该点的动量矩保持为常量。
这一结论称为质点系动量矩守恒定理。
同样，对于质点系动量矩守恒定理， 其投影形式也成立。
注意：在式②中令h→0，就得到v =7.9 km/s，这就是为使卫星在离地面不远处作圆 周运动所需的速度，称为第一宇宙速度。
第二节 质点系的动量矩定理
卷扬机鼓轮重W，半径为
R，可绕经过鼓轮中心Ｏ的水
平轴 O z 转动，如图11-7所示。 鼓轮上绕一绳，绳的一端挂一 重P的物体。令在鼓轮上作用 一力矩M以提升重物。
v A v 1 v A 7 . 5 0 . 6 5 k / 4 s 3 m 8 . 1 6 k / s 9 m 9
当卫星在椭圆轨道上运行时，所受的引力始
终指向地心，为有心力，所以卫星对地心O的动
量矩保持为常量
rAvArBvB
第二节 质点系的动量矩定理
所以
vBrA rvBA63 76 104 0 008.19k9m /s
2 i
Jz
是刚体对z轴的转动惯
量，故有
Lz Jz
即，定轴转动刚体对于转动轴的动量矩，等于 刚体对于转动轴的转动惯量与角速度之乘积。
第二节 质点系的动量矩定理
第二节 质点系的动量矩定理
第二节 质点系的动量矩定理
一、质点系对固定点的动量矩定理
L O L 0i rim ivi
求导
d LO d dt dt