《一元一次不等式组的应用》典型例题

《一元一次不等式组的应用》典型例题例题1车站有待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，原计划用50节BA,两种型号的车厢将这批货物运至北京，已知每节A型货箱的运费为0.5万元，每节B型货箱的运费为0.8万元，甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货箱，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货箱，按此要求安排BA,两种货箱的节数，共有哪几种方案？请你设计出来，并说明哪种方案的运费最少？例题2幼儿园大班分苹果，若每人分3个，则余8个，若前面每人分5个，则最后一个小朋友得到的苹果数不足3个，求有多少个小朋友和多少个苹果？例题3某班需要买一些笔记本和钢笔以表扬在数学竞赛中获奖的10名学生，已知笔记本的单价是3.5元，钢笔的单价是8元，且购买奖品的金额不超过70元．问至多能买几支钢笔？例题4某宾馆底楼客房比二楼少5间，某旅游团有48人，若全安排在底楼，每间4人，房间不够，每间5人，有房间没有住满，又若安排住二楼，每间3人，房间不够，每间4人，又有房间没有住满，问宾馆底楼有客房几间？例题5幼儿园有玩具若干件，分给小朋友，如果每人3件，那么还余59件，如果每人分5件，那么最后一个小朋友少几件，来这个幼儿园有多少玩具？多少个小朋友？例题6某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产一件A种产品需甲种原料9kg、乙种原料3kg；生产一件B种产品需甲种原料4kg、乙种原料10kg．（1）设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组；（2）如果x是整数，有哪几种符合题意的生产方案？请你帮助设计．例题7一条铁路线上E,,A,,各站之间的路程如图所示，单位为千米．一BDC列火车7：30从A站开出，向E站行驶，行驶速度为80km/h，每站停车时间约4min，问这列火车何时行驶在D站与E站之间（不包括D站、E站）的铁路线上．例题8某自行车厂今年生产销售一种新自行车，现向你提供以下有关信息：（1）该厂去年已备有这种自行车的车轮10000只，车轮车间今年平均每月可生产车轮1500只，每辆自行车需装配2只轮；（2）该厂装配车间（自行车生产最后一道工序的生产车间）每月至少可装配这种自行车1000辆，但不超过1200辆；（3）今年该厂已收到各地客户订购这种自行车共14500辆的订货单；（4）这种自行车出厂销售单价为500元/辆．设该厂今年这种自行车的销售金额为a万元，请你根据上述信息，判断a的取值范围．例题9某园林的门票每张10元，一次使用．考虑人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种购买个人年票的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）．年票分C,三类：A,BA类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再买门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元．（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出进入该园林的次数最多的购票方式．（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A在年票比较合算．例题10有两个学生参加四次测验，他们的平均分数不同，但都是低于90分的整数．他们又参加了第五次测验，测验后他们的平均成绩都提高到90分．问在第五次测验时，这两个学生的分数各是多少？（满分100分，得分都是整数）例题11大小盒子共装球99个，每个大盒装12个，小盒装5个，恰好装完，盒子个数大于10，问：大小盒子各多少个？参考答案例题1 分析 这是一道方案设计优化问题，要将货物运至北京，车厢的总装载重量必须大于或等于货物的总量，由此可列不等式。

解答 设需要A 型车厢x 节，由题意得⎩⎨⎧≥-+≥-+1150)50(35151530)50(2535x x x x 解得3028≤≤x ，因为x 为整数，所以x 取28，29，30，即有3种方案：（1）A 型28节，B 型22节；（2）A 型29节，B 型21节；（3）A 型30节，B 型20节，由题意知，运费403.0)50(8.05.0+-=-+=x x x y ，当30=x 时，y 取最小值，即A 型车厢20节，B 型车厢20节时运费最少．例题2 分析 设有x 个小朋友，则苹果数为83+x ．如果每人分5个，因为最后一个小朋友的苹果数不足3个，所以83+x 应在)1(5-x 和3)1(5+-x 之间，可得不等式组．解答 设幼儿园大班共有x 个小朋友，根据题意得⎩⎨⎧+-<++<-）（）（2.3)1(5831 ,83)1(5x x x x 由（1）得213,132,8355<<+<-x x x x ； 由（2）得5,102,35583>-<-+-<+x x x x ． 所以不等式组的解集为2135<<x ． 又因为x 为整数，故6=x ．所以，有6个小朋友，共有苹果3×6＋8＝26（个）．例题3 分析 因为每人只获1件奖品，故笔记本和钢笔的数量和是10，总金额不超过70元．根据题意，可列出下列由方程和不等式组成的式子．解答 设购买x 本笔记本，y 支钢笔，依题意可得⎩⎨⎧≤+=+）（）（2.7085.31 ,10y x y x 由（1）得y x -=10，（3）将（3）代入（2）得708)10(5.3≤+-y y ，解得970≤y ． 又y 是正整数，所以y 的最大值是7，即至多能买7支钢笔．例题4 解答 设底楼有x 间客房，则二楼有(x +5)间客房，根据题意，得⎩⎨⎧<>484485x x ， ∴9＜x ＜12．依题意，又可得⎩⎨⎧>+<+48)5(448)5(3x x ，∴ 7＜x ＜11．故 x =10．答：底楼有10间客房．说明 本题是列不等式解应用题，在确定设未知数后，关键是找出不等式关系和列出不等式，为此须认真斟酌关键词语如“不够”和“没住满”的含义．例题5 分析 此问题中有两个未知数，且没有等量关系，有不等关系，因此可考虑用不等式组来解．解答 设小朋友x 人，则有⎩⎨⎧<+->+)2(5593)1()1(5593xx x x解（1），得32<x ，解（2），得5.29>x ，∴ .325.29<<x∵ x 为整数，∴ .31,30=x此时.152,149593=+x 答：幼儿园有小朋友30人，玩具149件；幼儿园有小朋友31人，玩具152件．说明 利用一元一次不等式组解应用题的步骤与列一元二次方程组解应用题大体相同，不同的是后者寻求的是等量关系，列出的是等式，前者寻求的是不等关系，列出的是不等式，并且解不等式组所得结果通常为一解集，需从解集中找出符合题意的答案．例题6 解答 （1）根据题意，x 满足不等式组：⎩⎨⎧≤-+≤-+290)50(103360)50(49x x x x （2）解不等式组，得 3230≤≤x ．因为x 是整数，所以32,31,30=x ．因此生产方案有三种：生产A 种产品30件、B 种产品20件；或生产A 种产品31件、B 种产品19件；或生产A 种产品32件、B 种产品18件．例题7 分析 如果设这列火车行驶至DE 这段铁路线上任意一处（不包括E D ,）所经过的时间为x ，那么就能用x 的一次式表示列车所经过的路程．根据这个路程应大于（80＋50＋70）km ，且小于（80＋50＋70＋60）km ，就可列出不等式组，解出x 的取值范围．再根据列车出发的时间，就能求出列车何时行驶在DE 这段铁路线上．解答 设这列火车行驶至DE 这段铁路线上任意一处（不包括E D ,）所经过的时间为x ，则相应所经过的路程为)2.0(80-x km ．依题意，得⎩⎨⎧++>-+++<-）（）（2).705080()2.0(801 ),60705080()2.0(80x x 解不等式（1），得45.3<x ．解不等式（2），得7.2>x ．∴不等式组的解集是45.37.2<<x ．7.5＋2.7＝10.2（时），7.5＋3.45＝10.95（时）．答：这列火车行驶在DE 这段铁路线上的时间是10：12至10：57．说明 列不等式组时，要注意单位的统一，否则会影响表达式的正确性． 例题8 解答 （1）去年备有和今年生产的车轮共有1000＋1500×12＝28000（只），共可装配自行车的辆数为28000÷2＝14000（辆）．（2）该厂全年生产自行车的辆数范围是：≤⨯121000全年生产自行车辆数121200⨯≤，即≤12000全年生产自行车辆数14400≤．（3）今年订购自行车14500辆，可知供不应求，以最快生产速度也不能满足社会要求，得扩大生产能力．（4）由上分析可知5001400050012000⨯≤≤⨯a ，∴600（万元）700≤≤a （万元）．说明 本例中14400辆是可以生产出，但实际上原料供应只能保证生产14000辆，故计算a 的范围时只能用14000辆参与计算．例题9 分析 讨论某次经济行为是否合算，即要看这种方式与其他方式比较是否花费最少，故本题（2）要转化为用不等式组的知识求解．解答 （1）因为12080<，所以不可能选A 类年票．若选B 类年票，则1026080=-（次）； 若选C 类年票，则1334080=-（次）； 若不购买年票，则81080=（次）． 所以计划用80元花在该园林的门票上时，选择购买C 类年票的方法进入园林的次数最多，为13次．（2）设至少超过x 次时，购买A 类年票比较合算，则有不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>>+>+,12010,120340,120260x x x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>>,12,3226,30x x x 其公共解集为30>x ．所以，一年中进入该园林至少超过30次时，购买A 类年票比较合算．说明 本例展示的是生活中的一件小事，但暗示我们，生活中无处不存在数学的身影，渗透在生活中的一个个细节中．例题10 分析 此例中的未知量较多（如两学生前四次的平均分数，第五次测验的分数等），且没有足够的等量关系，难以列方程组求解．但题中蕴含两个不等关系：平均分低于90分；满分100分，即测验分数不超过100分．于是考虑利用不等式的有关知识求解．解答 设其中某个学生前4次的平均分为x 分，第5次测验的成绩为y 分，依题意有9054=+y x ，即x y 4450-=． 由第5次测验的成绩高于90分，而又不大于100分，得100445090≤-<x ， 解得905.87<≤x ，因为x 为整数，故88=x 或89．又已知两个学生平均分数不等，故前4次的平均分一个为88分，另一个为89分，第5次测验一个学生的成绩为98分，另一个的成绩为94分．说明 利用不等式（组）解应用题，其步骤与列方程（组）解应用题大体相同．不同的是，后者探求等量关系，列出的是等式，而前者寻求不等关系，列出的是不等式，并且解不等式（组）得到的结果通常为一解集，需从解集中找出符合题意的答案．例题11 分析 问题中有两个未知量，只有一个等量关系，另外还有一个附加条件，这是一个求有条件的不定方程整数解的问题，求不定方程整数解的一种方法是观察系数特征，用试验的办法求解．解答 设大、小盒分别有x 个、y 个，根据题意得：⎩⎨⎧>+=+②①10 9512y x y x 由①知y 为奇数，且③ 1235812599--=-=y y x ， ∵x 为自然数，∴).35(12-≤y 通过试验可得3=y 时，7=x ，但10=+y x 与10>+y x 矛盾，故舍去，当15=y 时，2=x ，即⎩⎨⎧==.152y x 也可以用逐步代换的方法（常规方法）求解如下： 由①得12358--=y x ， 设υ=-1235y ，则.53225312++=+=υυυy再设υυ=+532，则.2112235-+-=-=υυυυ 再设t =-21υ，得12+=t υ（t 为整数）逐步回代得⎩⎨⎧+=-=.312,57t y t x （t 为整数）． 由于x ，y 均为自然数，即⎩⎨⎧>+>-.0312,057t t ∴ .52141<<-t ∴ 0=t 或1． 当1=t 时，3,7==y x ，但与10>+y x 矛盾，舍去．当1=t 时，15,2==y x ，符合题意．说明 不定方程组可以通过消元转化为二元一次不定方程求解，如中国古代“百鸡问题”、“孙子定理”、“鸡兔同笼”等，都属于这一类求解问题．。