《一元一次不等式组的应用》典型例题

《一元一次不等式组的应用》典型例题

例题1车站有待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，原计划用50节B

A,两种型号的车厢将这批货物运至北京，已知每节A型货箱的运费为0.5万元，每节B型货箱的运费为0.8万元，甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货箱，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货箱，按此要求安排B

A,两种货箱的节数，共有哪几种方案？请你设计出来，并说明哪种方案的运费最少？

例题2幼儿园大班分苹果，若每人分3个，则余8个，若前面每人分5个，则最后一个小朋友得到的苹果数不足3个，求有多少个小朋友和多少个苹果？

例题3某班需要买一些笔记本和钢笔以表扬在数学竞赛中获奖的10名学生，已知笔记本的单价是3.5元，钢笔的单价是8元，且购买奖品的金额不超过70元．问至多能买几支钢笔？

例题4某宾馆底楼客房比二楼少5间，某旅游团有48人，若全安排在底楼，每间4人，房间不够，每间5人，有房间没有住满，又若安排住二楼，每间3人，房间不够，每间4人，又有房间没有住满，问宾馆底楼有客房几间？

例题5幼儿园有玩具若干件，分给小朋友，如果每人3件，那么还余59件，如果每人分5件，那么最后一个小朋友少几件，来这个幼儿园有多少玩具？多少个小朋友？

例题6某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产一件A种产品需甲种原料9kg、乙种原料3kg；生产一件B种产品需甲种原料4kg、乙种原料10kg．

（1）设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组；

（2）如果x是整数，有哪几种符合题意的生产方案？请你帮助设计．

例题7一条铁路线上E

,

,

A,

,各站之间的路程如图所示，单位为千米．一

B

D

C

列火车7：30从A站开出，向E站行驶，行驶速度为80km/h，每站停车时间约4min，问这列火车何时行驶在D站与E站之间（不包括D站、E站）的铁路线上．

例题8某自行车厂今年生产销售一种新自行车，现向你提供以下有关信息：（1）该厂去年已备有这种自行车的车轮10000只，车轮车间今年平均每月可生产车轮1500只，每辆自行车需装配2只轮；

（2）该厂装配车间（自行车生产最后一道工序的生产车间）每月至少可装配这种自行车1000辆，但不超过1200辆；

（3）今年该厂已收到各地客户订购这种自行车共14500辆的订货单；

（4）这种自行车出厂销售单价为500元/辆．

设该厂今年这种自行车的销售金额为a万元，请你根据上述信息，判断a的取值范围．

例题9某园林的门票每张10元，一次使用．考虑人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种购买个人年票的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）．年票分C

,三类：

A,

B

A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再买门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元．

（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出进入该园林的次数最多的购票方式．（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A在年票比较合算．例题10有两个学生参加四次测验，他们的平均分数不同，但都是低于90

分的整数．他们又参加了第五次测验，测验后他们的平均成绩都提高到90分．问在第五次测验时，这两个学生的分数各是多少？（满分100分，得分都是整数）

例题11大小盒子共装球99个，每个大盒装12个，小盒装5个，恰好装完，盒子个数大于10，问：大小盒子各多少个？

参考答案

例题1 分析 这是一道方案设计优化问题，要将货物运至北京，车厢的总装载重量必须大于或等于货物的总量，由此可列不等式。

解答 设需要A 型车厢x 节，

由题意得?

??≥-+≥-+1150)50(35151530)50(2535x x x x 解得3028≤≤x ，

因为x 为整数，所以x 取28，29，30，

即有3种方案：

（1）A 型28节，B 型22节；（2）A 型29节，B 型21节；（3）A 型30节，B 型20节，

由题意知，运费403.0)50(8.05.0+-=-+=x x x y ，当30=x 时，y 取最小值，即A 型车厢20节，B 型车厢20节时运费最少．

例题2 分析 设有x 个小朋友，则苹果数为83+x ．如果每人分5个，因为最后一个小朋友的苹果数不足3个，所以83+x 应在)1(5-x 和3)1(5+-x 之间，可得不等式组．

解答 设幼儿园大班共有x 个小朋友，根据题意得

???+-<++<-）（）（2

.3)1(5831 ,83)1(5x x x x 由（1）得2

13,132,8355<<+<-x x x x ； 由（2）得5,102,35583>-<-+-<+x x x x ． 所以不等式组的解集为2

135<

所以，有6个小朋友，共有苹果3×6＋8＝26（个）．

例题3 分析 因为每人只获1件奖品，故笔记本和钢笔的数量和是10，总金额不超过70元．根据题意，可列出下列由方程和不等式组成的式子．

解答 设购买x 本笔记本，y 支钢笔，依题意可得

???≤+=+）（）（2

.7085.31 ,10y x y x 由（1）得y x -=10，（3）

将（3）代入（2）得708)10(5.3≤+-y y ，解得9

70≤y ． 又y 是正整数，所以y 的最大值是7，即至多能买7支钢笔．

例题4 解答 设底楼有x 间客房，则二楼有(x +5)间客房，

根据题意，得?

??<>484485x x ， ∴9＜x ＜12．

依题意，又可得???>+<+48

)5(448)5(3x x ，

∴ 7＜x ＜11．

故 x =10．

答：底楼有10间客房．

说明 本题是列不等式解应用题，在确定设未知数后，关键是找出不等式关系和列出不等式，为此须认真斟酌关键词语如“不够”和“没住满”的含义．

例题5 分析 此问题中有两个未知数，且没有等量关系，有不等关系，因此可考虑用不等式组来解．

解答 设小朋友x 人，则有???<+->+)

2(5593)1()1(5593x

x x x 解（1），得32

解（2），得5.29>x ，

∴ .325.29<

∵ x 为整数，∴ .31,30=x

此时.152,149593=+x 答：幼儿园有小朋友30人，玩具149件；幼儿园有小朋友31人，玩具152件．

说明 利用一元一次不等式组解应用题的步骤与列一元二次方程组解应用

题大体相同，不同的是后者寻求的是等量关系，列出的是等式，前者寻求的是不等关系，列出的是不等式，并且解不等式组所得结果通常为一解集，需从解集中找出符合题意的答案．

例题6 解答 （1）根据题意，x 满足不等式组：

?

??≤-+≤-+290)50(103360)50(49x x x x （2）解不等式组，得 3230≤≤x ．

因为x 是整数，所以32,31,30=x ．

因此生产方案有三种：生产A 种产品30件、B 种产品20件；或生产A 种产品31件、B 种产品19件；或生产A 种产品32件、B 种产品18件．

例题7 分析 如果设这列火车行驶至DE 这段铁路线上任意一处（不包括E D ,）所经过的时间为x ，那么就能用x 的一次式表示列车所经过的路程．根据这个路程应大于（80＋50＋70）km ，且小于（80＋50＋70＋60）km ，就可列出不等式组，解出x 的取值范围．再根据列车出发的时间，就能求出列车何时行驶在DE 这段铁路线上．

解答 设这列火车行驶至DE 这段铁路线上任意一处（不包括E D ,）所经过的时间为x ，则相应所经过的路程为)2.0(80-x km ．

依题意，得

???++>-+++<-）（）（2

).705080()2.0(801 ),60705080()2.0(80x x 解不等式（1），得45.3

解不等式（2），得7.2>x ．

∴不等式组的解集是45.37.2<

7.5＋2.7＝10.2（时），7.5＋3.45＝10.95（时）．

答：这列火车行驶在DE 这段铁路线上的时间是10：12至10：57．

说明 列不等式组时，要注意单位的统一，否则会影响表达式的正确性． 例题8 解答 （1）去年备有和今年生产的车轮共有

1000＋1500×12＝28000（只），

共可装配自行车的辆数为

28000÷2＝14000（辆）．

（2）该厂全年生产自行车的辆数范围是：

≤?121000全年生产自行车辆数121200?≤，

即≤12000全年生产自行车辆数14400≤．

（3）今年订购自行车14500辆，可知供不应求，以最快生产速度也不能满足社会要求，得扩大生产能力．

（4）由上分析可知5001400050012000?≤≤?a ，

∴600（万元）700≤≤a （万元）．

说明 本例中14400辆是可以生产出，但实际上原料供应只能保证生产14000辆，故计算a 的范围时只能用14000辆参与计算．

例题9 分析 讨论某次经济行为是否合算，即要看这种方式与其他方式比较是否花费最少，故本题（2）要转化为用不等式组的知识求解．

解答 （1）因为12080<，所以不可能选A 类年票．

若选B 类年票，则

102

6080=-（次）； 若选C 类年票，则133

4080=-（次）； 若不购买年票，则81080=（次）． 所以计划用80元花在该园林的门票上时，选择购买C 类年票的方法进入园林的次数最多，为13次．

（2）设至少超过x 次时，购买A 类年票比较合算，则有不等式组

?????>>+>+,12010,120340,120260x x x 解得???????>>>,

12,3226,30x x x 其公共解集为30>x ．

所以，一年中进入该园林至少超过30次时，购买A 类年票比较合算．

说明 本例展示的是生活中的一件小事，但暗示我们，生活中无处不存在数学的身影，渗透在生活中的一个个细节中．

例题10 分析 此例中的未知量较多（如两学生前四次的平均分数，第五

次测验的分数等），且没有足够的等量关系，难以列方程组求解．但题中蕴含两个不等关系：平均分低于90分；满分100分，即测验分数不超过100分．于是考虑利用不等式的有关知识求解．

解答 设其中某个学生前4次的平均分为x 分，第5次测验的成绩为y 分，依题意有905

4=+y x ，即x y 4450-=． 由第5次测验的成绩高于90分，而又不大于100分，得100445090≤-

因为x 为整数，故88=x 或89．

又已知两个学生平均分数不等，故前4次的平均分一个为88分，另一个为89分，第5次测验一个学生的成绩为98分，另一个的成绩为94分．

说明 利用不等式（组）解应用题，其步骤与列方程（组）解应用题大体相同．不同的是，后者探求等量关系，列出的是等式，而前者寻求不等关系，列出的是不等式，并且解不等式（组）得到的结果通常为一解集，需从解集中找出符合题意的答案．

例题11 分析 问题中有两个未知量，只有一个等量关系，另外还有一个附加条件，这是一个求有条件的不定方程整数解的问题，求不定方程整数解的一种方法是观察系数特征，用试验的办法求解．

解答 设大、小盒分别有x 个、y 个，根据题意得：???>+=+②①

10 9512y x y x 由①知y 为奇数，且③ 12

35812599--=-=y y x ， ∵x 为自然数，∴).35(12-≤y 通过试验可得3=y 时，7=x ，

但10=+y x 与10>+y x 矛盾，故舍去，

当15=y 时，2=x ，即???==.

152y x 也可以用逐步代换的方法（常规方法）求解如下： 由①得12

358--

=y x ， 设υ=-1235y ，则.53225312++=+=υυυy

再设

υυ=+532，则.2112235-+-=-=υυυυ 再设

t =-21υ，得12+=t υ（t 为整数）逐步回代得???+=-=.

312,57t y t x （t 为整数）． 由于x ，y 均为自然数，即???>+>-.

0312,057t t ∴ .5

2141<<-t ∴ 0=t 或1． 当1=t 时，3,7==y x ，但与10>+y x 矛盾，舍去．

当1=t 时，15,2==y x ，符合题意．

说明 不定方程组可以通过消元转化为二元一次不定方程求解，如中国古代“百鸡问题”、“孙子定理”、“鸡兔同笼”等，都属于这一类求解问题．