范里安《微观经济学：现代观点》(第7、8版)课后习题详解-(选 择)

第5章 选 择

1．假定两种商品是完全替代品，商品2的需求函数是什么？

答：假设完全替代的效用函数是：()1212,u x x x x =+，（为了简化计算，这里只考虑替代比例为1∶1的情况）在预算约束下，消费者选择效用最大化，即：

121200

max x x x x ≥≥+，

1122..s t p x p x m +=

由约束条件，解得2211m p x x p -=

，同时由于10x ≥，则22

1

0m p x p -≥，即：22/x m p ≤。 将1x 的表达式以及约束条件22/x m p ≤代入效用函数后，得到：

22

222220111max 1x m p m p x p m x x p p p ≤≤⎛⎫

-+

=+- ⎪⎝⎭

从而解得：

()12212212212

00P P x P P m m P P P m

P P P <⎧⎪

==⎨⎪>⎩

，，到间的任何值

如图5-1所示。

图5-1 完全替代商品的需求曲线

2．假设无差异曲线是一条斜率为b -的直线，并且给定任意的价格12p p 、和收入m ，那么，消费者的最优选择是什么？

答：如图5-2所示，比较预算线与无差异曲线的斜率可知，当1

2

P P b >时，消费者的最优选择为只购买商品2；当

1

2P P b <时，消费者的最优选择为只购买商品1；当12

P P b =时，任意购买都是消费者的最优选择。

图5-2 完全替代偏好的最优选择

3．假定一个消费者在每一杯咖啡里总是加2汤匙糖。如果每汤匙糖的价格为1p ，每杯咖啡的价格为2p ，消费者花费m 美元在咖啡和糖上。那么，他或她将打算购买多少咖啡和糖？

答：设1x 表示糖，2x 表示咖啡，消费者的效用函数为：(){}1212,min ,2u x x x x =，那么消费者的最优选择总是满足：212x x =，将这一条件代入预算线方程1122p x p x m +=中，可以得到11222m x p p =

+

、212

2m

x p p =+。

4．假定消费者对冰淇淋和橄榄有很高的非凸性偏好，而他所面临的价格为12p p 、，并有m 美元可供支出。那么他的最优消费束是什么？

答：消费者的最优消费束为（0，

2m P ）或者为（1

m

P ，0）。 这是因为：在非凹性偏好的情况下，消费者对于端点消费束的偏好甚于对平均消费束的偏好，因此这种情况下，消费者的最优选择为只消费两种商品中的一种商品，即最优消费束为（0，

2m P ）或者为（1

m

P ，0）。

5．如果一个消费者的效用函数为()4

1212,u x x x x =，那么，他在商品2上的花费占他收入

的比例是多少？

解：消费者会把4/5的收入花费在商品2上。

分析如下：这是一个典型的柯布-道格拉斯效用函数，对其进行单调变换，可得()1/54/51212,u x x x x =。关于柯布-道格拉斯效用函数有一个特殊性质，即消费者在每种商品上

的花费总是占他收入的一个固定份额，这个份额的大小由效用函数中的指数来决定。

证明过程如下：在预算约束下，消费者最大化其效用：

1211200

max x x x x αα

-≥≥，

1122s t p x p x m +=.．

由拉格朗日乘数法有：

()1121122max x x m p x p x ααλ-+--

从而得到一阶条件为：

()11121122

1x x p x x p αα

αααλαλ---⎧=⎪⎨-=⎪⎩ 则

()11111121222212

11p x p x x x p x p x x x αα

αα

λαα

λαα--===-- 所以消费者会把（1α-）的收入花费在商品2上。在本题中，消费者会将4

5

的收入花费在商品2上。

6．在哪一种类型的偏好下，无论课征从量税还是课征所得税，消费者的境况会一样好？ 答：当消费者的偏好为互补型时，无论课征从量税还是课征所得税，消费者的境况会一样好。如图5-3所示，在征税后，无论在哪种税收条件下，消费者的最优选择都不变，所以两种税收条件下，消费者的境况一样好。

图5-3 对互补型偏好征税