第4章 希尔伯特空间 研究生 数值分析 教学课件
数值分析第4章(2)
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0.76 −0.01 −0.14 −0.16 x1 −0.01 0.88 −0.03 0.05 x 2 −0.14 −0.03 1.01 −0.12 x3 −0.16 0.05 −0.12 0.72
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(2) d ª (4.16) ½ ª (4.18) O Ž x(k+1). (3) e b − Ax(k+1) / b
C q ).
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(4) ˜ x(k) := x(k+1), k := k + 1, = Ú ½ (2).
(I − ω D −1L)x(k+1) = [(1 − ω )I + ω D −1U ]x(k) + ω D −1b,
=
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(D − ω L)x SOR S “
(k +1)
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(k )
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x(k+1) = (D − ω L)−1 [(1 − ω )D + ω U ]x(k) + ω b ,
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11/14
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希尔伯特空间
一百年前的数学界有两位泰斗：庞加莱和希尔伯特，而尤以后者更加出名，我想主要原因是他曾经在1900年的世界数学家大会上提出了二十三个著名的希尔伯特问题，指引了本世纪前五十年数学的主攻方向，不过还有一个原因呢，我想就是著名的希尔伯特空间了。
希尔伯特空间是希尔伯特在解决无穷维线性方程组时提出的概念，原来的线性代数理论都是基于有限维欧几里得空间的，无法适用，这迫使希尔伯特去思考无穷维欧几里得空间，也就是无穷序列空间的性质。
大家知道，在一个欧几里得空间R^n上，所有的点可以写成为：X=（x1，x2，x3，...，xn）。
那么类似的，在一个无穷维欧几里得空间上点就是：X= （x1，x2，x3，....xn，.....），一个点的序列。
欧氏空间上有两个重要的性质，一是每个点都有一个范数（绝对值，或者说是一个点到原点的距离），||X||^2=∑xn^2，可是这一重要性质在无穷维时被破坏了：对于无穷多个xn，∑xn^2可以不存在（为无穷大）。
于是希尔伯特将所有∑xn^2为有限的点做成一个子空间，并赋以X*X'=∑xn*xn' 作为两点的内积。
这个空间我们现在叫做l^2，平方和数列空间，这是最早的希尔伯特空间了。
注意到我只提了内积没有提范数，这是因为范数可以由点与自身的内积推出，所以内积是一个更加强的条件，有内积必有范数，反之不然。
只有范数的空间叫做Banach空间，（以后有时间再慢慢讲:-）。
如果光是用来解决无穷维线性方程组的话，泛函就不会被称为现代数学的支柱了。
Hilbert空间中我只提到了一个很自然的泛函空间：在无穷维欧氏空间上∑xn^2为有限的点。
这个最早的Hilbert space叫做l^2（小写的l 上标2，又叫小l2空间），非常类似于有限维的欧氏空间。
数学的发展可以说是一部抽象史。
最早的抽象大概是一个苹果和一头牛在算术运算中可以都被抽象为“一”，也就是“数学”本身的起源（脱离具体物体的数字运算）了，而Hilbert space理论发展就正是如此：“内积+ 线性”这两个性质被抽象出来，这样一大类函数空间就也成为了Hilbert space。
数值分析课件 第4章 数值积分与数值微分
第4章 数值积分与数值微分1 数值积分的基本概念实际问题当中常常需要计算定积分。
在微积分中，我们熟知，牛顿—莱布尼兹公式是计算定积分的一种有效工具，在理论和实际计算上有很大作用。
对定积分()ba I f x dx =⎰，若()f x 在区间[,]ab 上连续，且()f x 的原函数为()F x ，则可计算定积分()()()ba f x dx Fb F a =-⎰ 似乎问题已经解决，其实不然。
如1）()f x 是由测量或数值计算以数据表形式给出时，Newton-Leibnitz 公式无法应用。
2）许多形式上很简单的函数，例如222sin 1(),sin ,cos ,,ln x x f x x x e x x-=等等，它们的原函数不能用初等函数的有限形式表示。
3）即使有些被积函数的原函数能通过初等函数的有限形式表示，但应用牛顿—莱布尼兹公式计算，仍涉及大量的数值计算，还不如应用数值积分的方法来得方便，既节省工作量，又满足精度的要求。
例如下列积分24111ln11arc 1)arc 1)xdxxtg tg C++=+⎡⎤+++-+⎣⎦⎰对于上述这些情况，都要求建立定积分的近似计算方法—数值积分法。
1.1 数值求积分的基本思想根据以上所述，数值求积公式应该避免用原函数表示，而由被积函数的值决定。
由积分中值定理：对()[,]f x C a b∈，存在[,]a bξ∈，有()()()baf x dx b a fξ=-⎰表明，定积分所表示的曲边梯形的面积等于底为b a-而高为()fξ的矩形面积（图4-1）。
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出()fξ。
我们将()fξ称为区间[,]a b上的平均高度。
这样，只要对平均高度()fξ提供一种算法，相应地便获得一种数值求积分方法。
如果我们用两端的算术平均作为平均高度()f ξ的近似值，这样导出的求积公式[()()]2b a T f a f b -=+ (1.1)便是我们所熟悉的梯形公式（图4-2）。
数值分析PPT教案
遗传算法
模拟生物进化过程的优 化算法，适用于多变量、 非线性、离散的最优化
问题。
数值积分和微分的方法
01
02
03
04
矩形法
将积分区间划分为若干个小的 矩形区域，每个矩形区域上的 函数值乘以宽度然后相加。
梯形法
将积分区间划分为若干个小的 梯形区域，每个梯形区域上的 函数值乘以宽度然后相加。
理解和应用能力。
培养创新思维和解决问题的能力
03
学生应该培养创新思维和解决问题的能力，以便在未来的学习
和工作中更好地应对挑战。
THANK YOU
感谢聆听
误差累积效应
误差的来源和传播
初始误差放大 误差传递规律
误差的度量和控制
绝对误差和 相对误差
误差的估计 和容忍度
提高数据精 度
选择合适的 算法和数值 方法
控制误差的 方法
迭代收敛性 和稳定性分 析
方法的稳定性和收敛性
方法的稳定性 不受初始条件和舍入误差的影响
对输入数据的变化具有稳健性
方法的稳定性和收敛性
课程目标
02
01
03
掌握数值分析的基本概念、原理和方法。
能够运用数值分析方法解决实际问题，提高计算能力 和数学素养。
培养创新思维和实践能力，为后续学习和工作奠定基 础。
02
数值分析基础
数值分析的定义和重要性
数值分析的定义
数值分析是一门研究数值计算方法及其应用的学科，旨在解决各 种数学问题，如微积分、线性代数、微分方程等。
电子工程
在电子工程中，数值分析用于 模拟电路的行为和性能。通过 电磁场理论和数值方法，可以 优化电路设计和性能，提高电 子设备的效率和稳定性。
北大随机信号分析基础课件 4.1 希尔伯特变换和解析过程
第四章 窄带随机过程 4.1 希尔伯特变换和解析过程4.1.1 希尔伯特变换 一． 希尔伯特变换的定义设有实信号)(t x ，它的希尔伯特变换记作)(ˆt x或)]([t x H ，并定义为τττπd t x t x H t x ⎰∞∞--==)(1)]([)(ˆ用'ττ+=t 代入上式，进行变量替换，可得到上式的等效形式为：'')'(1)(ˆτττπd t x t x ⎰∞∞-+-=也可得'')'(1)(ˆτττπd t x t x ⎰∞∞--=希尔伯特反变换为τττπd t xt x H t x ⎰∞∞----==)(ˆ1)](ˆ[)(1经变量替换后得τττπτττπd t xd t xt x ⎰⎰∞∞-∞∞-+=--=)(ˆ1)(ˆ1)(二． 希尔伯特变换的性质1. 希尔伯特变换相当于一个090的理想移相器。
从定义可以看出，希尔伯特变换是)(t x 和t π1的卷积，即tt x t xπ1*)()(ˆ=于是，可以将)(ˆt x看成是将)(t x 通过一个具有冲激响应为t t h π1)(=的线性滤波器的输出。
由冲激响应可得系统的传输函数为)sgn()(ωωj H -=式中，)sgn(ω为符号函数，其表达式为0101)sgn(<-≥=ωωω可得滤波器的传输函数为00)(<≥-=ωωωj j H即1)(=ωH202)(<≥-=ωπωπωϕ上式表明，希尔伯特变换相当于一个090的理想移相器。
由上述分析可得，)(ˆt x的傅立叶变换)(ˆωX 为)()sgn()sgn()()(ˆωωωωωX j j X X-=-⋅= 2. )(ˆt x的希尔伯特变换为)(t x -，即)()](ˆ[t x t x H -=。
3. 若)(*)()(t x t v t y =，则)(t y 的希尔伯特变换为)(*)(ˆ)(ˆ*)()(ˆt x t v t x t v t y==4.)(t x 与)(ˆt x的能量及平均功率相等，即 dt t xTdt t x Tdt t xdt t x TTT TT T ⎰⎰⎰⎰-∞→-∞→∞∞-∞∞-==)(ˆ21lim )(21lim )(ˆ)(2222此性质说明希尔伯特变换只改变信号的相位，不会改变信号的能量和功率。
研究生数值分析课件ch
数值分析是数学的一个重要分支，主要研究如何利用数值方法求解数学问题和近似计算 实际问题的数值解。它为科学研究、工程技术和实际应用等领域提供了重要的数学工具。 数值分析的重要性在于它能够将许多抽象的数学概念和理论转化为具体的数值计算方法，
使得我们能够更加方便地解决各种复杂的实际问题。
数值分析的应用领域
在金融领域，数值分析也被 广泛应用于风险评估、投资 组合优化、期权定价等方面 。通过数值分析的方法，我 们可以更加准确地评估投资 风险和收益，从而做出更加 明智的决策。
数值分析的发展历程
总结词
数值分析的发展历程可以追溯到上世纪初，随着计算 机技术的不断发展，数值分析的理论和方法也在不断 更新和完善。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式与复化求积法
牛顿-莱布尼兹公式
该公式是微积分中的一个基本定理，用于计算定积分。 通过将积分区间分成若干小区间，并在每个小区间上应 用微积分基本定理，再利用定积分的线性性质进行求和 ，最后取极限得到定积分的值。
复化求积法
当被积函数是复杂函数或者积分区间是复杂形状时，直 接应用牛顿-莱布尼兹公式可能会遇到困难。此时，可以 采用复化求积法，即将积分区间分成若干个小区间，然 后在每个小区间上应用牛顿-莱布尼兹公式，最后将所有 的结果相加得到定积分的近似值。
改进欧拉法
为了提高欧拉方法的精度，可以对欧拉方法进行改进。一种常见的改进方法是使用二阶 欧拉方法，它考虑了更多的函数值，从而提高了逼近的精度。
龙格-库塔方法
龙格-库塔方法是一种高阶数值方法，用于求解常微分方程。它基于泰勒级数的思想，通过迭代的方式逐步逼近方程的精确解 。与欧拉方法相比，龙格-库塔方法具有更高的精度和更好的稳定性。
数值分析PPT
A为待定系数，利用导数条件 P3'(x1) m1 ，求出A， 但求出的 P3(x)通常为3次多项式，
一般情况下 P3(x) 也有可能为二次多项式，
原来方法更加准确。
（2）求余项: R(x)=f(x)－P3(x)
易知: x0, x2是R(x)的一重零点，x1 为R(x)的二重零点,
∴ R(x)可写为
多项式，则对任何 x a,b 有:
Rn (x)
f (n1) ( ) (n 1)!
Wn
1
(
x)
n
其中 Wn1(x) (x xi ), (a,b) ，且与x有关。 i0
证明：考虑插值节点上有 Rn (xi ) 0 (i 0,1,,n)
∴ 这些节点是 Rn (x) 的零点,
可设 Rn (x) k(x) Wn1(x)
∴ K(x) 1 f 4 ( )
4!
∴插值余项为R(x) =
1 4!
f
4 (
)(x
x0
)(x
x1 )2
(x
x2
)
在插值区间内与x有关.
4.5 埃尔米特插值（Hermite 法国数学家）
有时插值函数不仅要求在节点上与原函数相同，还要求 其导数的值与原函数的值相同，即要求
H2n＋1(xi)=f (xi)， H’2n＋1(xi)=f ’(xi) i=0、1、…、n
1 i k lk (xi ) 0 i k
n
则插值多项式为: Ln (x) yi li (x) i0
lk (x) 构造过程：
上式表明：n 个点 x0 , x1, xk1, xk1, xn 都是 lk (x) 的零点。
lk (x) Ak (x x0 )(x x1) (x xk1)(x xk1) (x xn )
希尔伯特空间
一百年前的数学界有两位泰斗：庞加莱和希尔伯特，而尤此后者更为有名，我想主要原由是他以前在 1900 年的世界数学家大会上提出了二十三个有名的希尔伯特问题，引导了本世纪前五十年数学的主攻方向，可是还有一个原由呢，我想就是有名的希尔伯特空间了。
希尔伯特空间是希尔伯特在解决无量维线性方程组时提出的观点，本来的线性代数理论都是鉴于有限维欧几里得空间的，没法合用，这迫使希尔伯特去思虑无量维欧几里得空间，也就是无量序列空间的性质。
大家知道，在一个欧几里得空间 R^n 上，全部的点能够写成为： X= （ x1，x2，x3，...，xn ）。
那么近似的，在一个无量维欧几里得空间上点就是： X= （ x1， x2， x3 ， ....xn， .....），一个点的序列。
欧氏空间上有两个重要的性质，一是每个点都有一个范数（绝对值，或许说是一个点到原点的距离），||X||^2= ∑ xn^2 ，但是这一重要性质在无量维时被损坏了：关于无量多个 xn，∑ xn^2能够不存在（为无量大）。
于是希尔伯特将全部∑ xn^2 为有限的点做成一个子空间，并赋以∑xn*xn' 作为两点的内积。
这个空间我们此刻叫做 l^2 ，平方和数列空间，这是最早 X*X'=的希尔伯特空间了。
注意到我只提了内积没有提范数，这是因为范数能够由点与自己的内积推出，所之内积是一个更为强的条件，有内积必有范数，反之否则。
只有范数的空间叫做 Banach 空间，（此后有时间再慢慢讲 :- ）。
假如光是用来解决无量维线性方程组的话，泛函就不会被称为现代数学的支柱了。
Hilbert 空间中我只提到了一个很自然的泛函空间：在无量维欧氏空间上∑xn^2 为有限的点。
这个最早的 Hilbert space 叫做 l^2（小写的 l 上标 2，又叫小 l2 空间），特别近似于有限维的欧氏空间。
数学的发展能够说是一部抽象史。
最早的抽象大体是一个苹果和一头牛在算术运算中能够都被抽象为“一”，也就是“数学”自己的发源（离开详细物体的数字运算）了，而Hilbert space理论发展就正是这样：“内积 + 线性”这两个性质被抽象出来，这样一大类函数空间就也成为了 Hilbert space。
1.4+希尔伯特空间
f f , ek ek
k 1
就说 f 可以展开
成关于正交标准系的 Fourier 级数。
下面定理给出 f f , ek ek 成立的条件
k 1
Hilbert 空间 H 中任何元素 f 关于任何正交标 定理5：
一一映照 A ，保持线性及内积，即是说，对任何
x, y H1及两个数 , ，成立着
A x y Ax Ay
及
Ax, Ay x, y
则说 H1 与 H 2同构。
定理9.具有可列正交标准化完全系的 Hilbert 空间与
l 2 同构。
定理10.可分Hilbert 空间必定是有限维或可列维（即 具有可列正交标准化完全系）空间。 说明：由定理9和定理10知，任何一个可分的 Hilbert
为级数的前 i xi Sn
i 1
n
,使
Sn x x X ，则称级数
收敛，并称 为这级数的和，记为 x i xi
x i xi
i 1 n
定义7：设 ek 为内积空间的正交标准化系， f H 称 f , ek ek 为元素 f 关于正交标准化系的 ek 的傅 k 1 立叶（ Fourier ）级数，称 为 Fourier 系数。如果有
积,使范数 x 就是由内积导出的范数. 不是任何线性赋范空间都可如此定义内积
例: C a, b 的范数
x max x t
a t b
,取 x t 1 , ,但因为
y t
t a ba
则 x, y C a, b ,且
北大随机信号分析基础课件希尔伯特变换和解析过程
北⼤随机信号分析基础课件希尔伯特变换和解析过程第四章窄带随机过程 4.1 希尔伯特变换和解析过程4.1.1 希尔伯特变换⼀．希尔伯特变换的定义设有实信号)(t x ，它的希尔伯特变换记作)(?t x或)]([t x H ，并定义为τττπd t x t x H t x ?∞∞--==)(1)]([)(?⽤'ττ+=t 代⼊上式，进⾏变量替换，可得到上式的等效形式为：'')'(1)(?τττπd t x t x ?∞∞-+-=也可得'')'(1)(?τττπd t x t x ?∞∞--=希尔伯特反变换为τττπd t xt x H t x ?∞∞----==)(?1)](?[)(1经变量替换后得τττπτττπd t xd t xt x ?-∞∞-+=--=)(?1)(?1)(⼆．希尔伯特变换的性质1. 希尔伯特变换相当于⼀个090的理想移相器。
从定义可以看出，希尔伯特变换是)(t x 和tπ1的卷积，即tt x t xπ1*)()(?=于是，可以将)(?t x看成是将)(t x 通过⼀个具有冲激响应为t t h π1)(=的线性滤波器的输出。
由冲激响应可得系统的传输函数为)sgn()(ωωj H -=式中，)sgn(ω为符号函数，其表达式为0101)sgn(<-≥=ωωω可得滤波器的传输函数为00)(<≥-=ωωωj j H即1)(=ωH=ωπωπω?上式表明，希尔伯特变换相当于⼀个090的理想移相器。
由上述分析可得，)(?t x的傅⽴叶变换)(?ωX 为)()sgn()sgn()()(?ωωωωωX j j X X-=-?= 2. )(?t x的希尔伯特变换为)(t x -，即)()](?[t x t x H -=。
3. 若)(*)()(t x t v t y =，则)(t y 的希尔伯特变换为)(*)(?)(?*)()(?t x t v t x t v t y==4.)(t x 与)(?t x的能量及平均功率相等，即 dt t xTdt t x Tdt t xdt t x TTT TT T ?-∞→-∞→∞-==)(?21lim )(21lim )(?)(2222此性质说明希尔伯特变换只改变信号的相位，不会改变信号的能量和功率。
数值分析全套课件
Ln n si n
ˆ L2n (4L2n Ln ) / 3
n L error 192 3.1414524 1.4e-004 384 3.1415576 3.5e-005 3.1415926 4.6e-010
3/16
通信卫星覆盖地球面积
将地球考虑成一 个球体, 设R为地 球半径,h为卫星 高度,D为覆盖面 在切痕平面上的 投影(积分区域)
( x1 x2 ) | x1 | ( x2 ) | x2 | ( x1 )
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例3.二次方程 x2 – 16 x + 1 = 0, 取
求 x1 8 63 使具有4位有效数
63 7.937
解:直接计算 x1≈8 – 7.937 = 0.063
( x1 ) (8) (7.937) 0.0005
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误差的有关概念
假设某一数据的准确值为 x*,其近似值 为 x，则称
e(x)= x - x*
为 x 的绝对误差 而称
e( x) x x er ( x ) , x x
*
( x 0)
为 x 的相对误差
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如果存在一个适当小的正数ε
，使得
e( x) x x
计算出的x1 具有两位有效数
1 0.062747 修改算法 x1 8 63 15.937 4位有效数 (15.937) 0.0005 ( x1 ) 0.000005 2 2 (15.937) (15.937)
16/16
1
参考文献
[1]李庆扬 关治 白峰杉, 数值计算原理(清华) [2]蔡大用 白峰杉, 现代科学计算 [3]蔡大用, 数值分析与实验学习指导 [4]孙志忠,计算方法典型例题分析 [5]车刚明等, 数值分析典型题解析(西北工大) [6]David Kincaid,数值分析(第三版) [7] John H. Mathews,数值方法(MATLAB版)
第四章 Hilbert 空间
1．正交系及规范正交系 1） 定义 设在 U 空间中有一组非零的元素列 （或点列）
{en } ，
①若 (ei , e j ) = 0 (i ≠ j ) ，则称{en } 为正交系；
⎧0 , i ≠ j (ei , e j ) = ⎨ ②若 1 , i = j ，则称{en } 为规范正交系 ⎩
（或标准正交系） 。
x ⊥ L ，则 x=0（零元素） 。
（3）设 U 是内积空间， ∀M ⊂ U ，则 M ⊥ 为 U 的闭线 性子空间。
（4）设 U 是内积空间， x ∈ U , M ⊂ U 为线性子空间， 若 x0 为 x 在 M 上的投影，则
x − x0 = inf x − y
y∈M
（**）
而且 x0 是 M 中使（**）成立的唯一点。 （ x − x0 = inf x − y 说明 x0 是 M 中逼近 x 的最好元） y∈M
∞
按内
积 ( x, y ) = ∑ xi yi 为规范正交系。
i =1
L[2−π ,π ] 中，若规定内积 例3 在
( x, y ) = ∫ x(t ) y (t )dt ，
−π
π
则三角函数系
1 1 1 , cos t , sin t , 2π π π
,
1
π
cos nt ,
1
π
sin nt ,
L[2−π ,π ] 中的规范正交系。 是
§4.1 内积空间和Hilbert空间
1）定义（内积空间） 设 U 是数域 K（实或复数域） 上的线性空间，若 ∀ x , y ∈ U ，存在唯一的数 ( x, y )∈ K ， 满足下列三条（内积公理） ： ① 对第一变元的线性性：
数值分析课件第4章
二、复合梯形公式
将 区 间 [a, b] 等 分 为 n 个 小 区 间 [ xk , xk1], 其 中
xk a kh,
(h b a ,k 0,1, n
, n 1),
并在每个小区间上应用梯形公式, 则得复合梯形公式
I
b
n 1
f ( x )d x
a k0
xk 1 xk
f ( x )d x
第四章 数值积分和数值微分
内容提要 4.1 引言 4.2 牛顿-柯特斯公式 4.3 复化求积公式 4.4 龙贝格求积公式 4.5 高斯求积公式 4.6 数值微分
工科研究生公共课程数学系列
机动 上页 下页 首页 结束
4.1 引言
一、数值求积的基本思想
对定义在区间［a,b］上的定积分
b
Iaf(x)dxF(b)F(a)
b f ( x )d x S b a [ f (a ) 4 f ( a b ) f (b )]
a
6
2
当 n 4时 , 得到 柯特斯(cotes) 公式
C
b a [7 90
f
(x0 )
32
f
( x1 ) 12
f
(x2 )
32
f
(x3 )
7
f
( x 4 )],
其中 xk
a kh, h
机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列将区间等分为个小区间其中并在每个小区间上应用梯形公式则得复合梯形公式称为复合梯形公式余项为二复合梯形公式机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列的中点为在每个小区间上应用辛普森公式则得复合辛普森公式称为复合辛普森公式三复合辛普森公式机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列对于函数给出时的函数表试用复合梯形公式及复合辛普森公式计算积分181438120997397809896158097672670958851058347809361556090885160841470908414709机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列3sin计算积分若用复合梯形公式问区间应分多少等份才能使误差不超过若取同样的求积节点改用复合辛普森公式截断误差是多少
《数值分析》ppt课件
7.
er
a b
er
(a)
er
(b)
30
例4
ε(p)
设有三个近似数
p ≈ 6.6332
≈0.02585
a=2.31,b=1.93,c=2.24
它们都有三位有效数字，试计算p=a+bc，e ( p)和e r ( p) 并问：p的计算结果能有几位有效数字？
2位
例5
设f (x, y) cos y , x 1.30 0.005, y 0.871 0.0005. x
er
e x
x x x
.
由于精确值 x 未知, 实际上总把
e x
作为x*的
相对误差，并且仍记为er , 即
er
e x
.
❖定义 近似值 x* 的相对误差上限(界) (relative accuracy)
εr
|
ε x
|.
注:相对误差一般用百分比表示.
17
例1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆
注:理论上讲,e 是唯一确定的, 可能取正, 也可能取负.
e > 0 不唯一，当然 e 越小越具有参考价值。
15
提问：绝对误差限的大小能否完全地 表示近似值的好坏？ 例如：有两个量
x 10 1 , y 1000 5
思考
问：谁的近似程度要好一些？
16
❖定义 近似值 x* 的相对误差 (relative error)
a 2.18
e r(b) e (b) 0.00005 0.0024%
b 2.1200
19
➢有效数字 ( significant digits)
数值分析学习课件
数值分析学习课件目录1. 内容概要 (2)1.1 数值分析的重要性 (2)1.2 课件内容概述 (3)2. 基础知识准备 (4)2.1 数学知识要点 (6)2.2 计算机基础 (7)2.3 编程基础 (8)3. 数值计算的基本原理 (10)3.1 误差理论 (11)3.2 近似计算 (13)3.3 算法稳定性与收敛性 (15)4. 数值计算方法与技巧 (16)4.1 插值与逼近 (17)4.2 微分与积分计算 (19)4.3 线性代数方程求解 (19)4.4 优化计算方法 (21)5. 数值分析的应用实例 (22)5.1 数据拟合与预测分析 (23)5.2 微分方程数值解法应用 (24)5.3 线性规划优化问题应用 (26)5.4 其他领域的应用实例 (27)6. 实践操作指导 (28)6.1 编程实践环境搭建 (30)6.2 数值计算软件使用介绍 (31)6.3 编程实践案例分析 (32)7. 课程总结与展望 (33)7.1 课程重点内容回顾 (34)7.2 数值分析发展趋势 (35)7.3 学习建议与展望 (37)1. 内容概要数值分析是一个研究数值算法的学科，旨在寻找有效的方法来求解大量的数学问题，特别是那些无法得到精确解或者求解起来过于繁杂的问题。
它在物理学、工程学、经济学、生物技术以及许多其他科学领域中都是至关重要的。
本课程将涵盖数值分析的核心概念和方法，重点是数值线性代数、数值积分、数值微分方程以及数值优化等经典主题。
学生将理解这些问题的数学背景，掌握相关的数值算法，并能够运用编程实现这些算法。
学生还将学习误差分析、收敛性理论以及如何选择和实现适合特定问题的数值方法。
在整个课程中，学生将通过实际问题的解决，如物理模型、金融模型、生物数据的分析和处理等，来应用所学的数值分析知识和技能。
通过本课程的学习，学生不仅能够加深对数值方法的理解，还能增强解决实际问题的能力。
1.1 数值分析的重要性数值分析是利用计算机解决数学问题的重要工具，在许多领域，例如物理、工程、金融、生物等，现实世界的问题常常难以用精确的解析解表达出来。
希尔伯特空间
希尔伯特空间在数学领域，希尔伯特空间是欧几里德空间的一个推广，其不再局限于有限维的情形。
与欧几里德空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念）。
此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西列等价于收敛列，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。
希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。
希尔伯特空间是公式化数学和量子力学的关键性概念之一。
[编辑本段]简单介绍希尔伯特，D.(Hilbert,David，1862～1943)德国数学家,生于东普鲁士哥尼斯堡(前苏联加里宁格勒)附近的韦劳。
中学时代,希尔伯特就是一名勤奋好学的学生,对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣,善于灵活和深刻地掌握以至应用老师讲课的内容。
1880年,他不顾父亲让他学法律的意愿,进入哥尼斯堡大学攻读数学。
1884年获得博士学位,后来又在这所大学里取得讲师资格和升任副教授。
1893年被任命为正教授,1895年,转入格廷根大学任教授,此后一直在格廷根生活和工作,于1930年退休。
在此期间,他成为柏林科学院通讯院士,并曾获得施泰讷奖、罗巴切夫斯基奖和波约伊奖。
1930年获得瑞典科学院的米塔格-莱福勒奖,1942年成为柏林科学院荣誉院士。
希尔伯特是一位正直的科学家,第一次世界大战前夕,他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的《告文明世界书》上签字。
战争期间，他敢干公开发表文章悼念"敌人的数学家"达布。
希特勒上台后，他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策。
由于纳粹政府的反动政策日益加剧,许多科学家被迫移居外国,曾经盛极一时的格廷根学派衰落了,希尔伯特也于1943年在孤独中逝世。
希尔伯特空间以大卫·希尔伯特的名字命名，他在对积分方程的研究中研究了希尔伯特空间。
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范数
n
x (x, x)
xi 2 ，
i 1
则 n 按范数是完备的内积空间，即 Hilbert 空间。
n
n
特别的，在 Rn 中，内积(x, y)
xi yi ，范数 x
xi2 。
i 1
i 1
例 2 在 L2[a,b]中，x(t), y(t) L2[a,b]，
b
定义内积 (x, y) a x(t) y(t)dt （满足三条公理）
M {y y M , y U}。
（5）设 M 为 U 的线性子空间，x U , 若x0 M , x1 M ，
使得
x x0 x1
（*）
则称 x0 为 x 在 M 上的正交投影，（*）式称为 x 关于 M 的
正交分解。
2) 性质 （1）设 U 是内积空间， x, y U , 若x y，则
内积 (x, y) xi yi （满足三条公理） i 1
1
范数 x ( xi 2)2 ，
i1
则l 2 是 Hilbert 空间。
例 4 C[a,b]是按范数 x max x(t) 不是内积空间（因为 t[ a ,b ]
不满足平行四边形U 是内积空间，x, y U, M , N U
证： ①当 X 为实赋范线性空间时，定义
(x, y) 1 ( x y 2 x y 2 ) 4
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理；
② 当 X 为复赋范线性空间时，定义
(x, y) 1 ( x y 2 x y 2 ) i ( x iy 2 x iy 2 )
4
4
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理。
x 2 2 Re(x, y) y 2
x 2 2 x y y 2 ( x y )2
(Q Re(x, y) (x, y) x y )
故
x y x y
3）内积空间的性质 （1）在内积空间 U 中，按内积导出的范数满足平行四边 形公式
证明：
x y 2 x y 2 2( x 2 y 2 )
引理（柯西—许瓦兹不等式 Cauchy—Schwarz）：
x, yU ，有 x, y x y
验证 x (x, x) 满足范数的三条公理。
① 显然
② x ( x, x) x
③ 因为 x y 2 (x y, x y) (x, x) (x, y) (x, y) ( y, y)
（1）若(x, y) 0 ，称 x 与 y 正交，记作 x y ；
（2）若y N, 有(x, y) 0 ，称 x 与 N 正交，记作 x N ；
（3）若x M ,y N, 有(x, y) 0 ，称 M 与 N 正交，
记作 M N ；
（4） U 中与 M 正交的所有元素的全体称为 M 的正交 补，记作 M ，即
x x0
inf yM
x y
而且 x0 是 M 中使（**）成立的唯一点。
（**）
（
x x0
inf yM
x y 说明 x0 是 M 中逼近 x 的最好元）
问：当 U、M 满足什么条件时，x U 在 M 中有投影？
3）投影定理 设 M 是 Hilbert 空间中闭线性子空间，则
（即内积空间 U 按距离 (x, y) x y (x y, x y) 是 完备的，亦是 Banach 空间）
5）举例
例 1 在 n ——n 维（实或复数）向量空间中，
x (x1, x2,L , xn ), y ( y1, y2,L , yn ) n ， 定义
n
内积 (x, y) xi yi （满足三条公理） i 1
范数
x(t)
(
b
x2
(t
)dt
)
1 2
，
a
则 L2[a,b]按范数是完备的内积空间。
若 L2[a,b]为复值函数，则定义内积
b
(x, y) a x(t) y(t)dt （满足三条公理）
例 3 在l2 {x x (x1, x2,L ), xi2 , xi为复数}中， i 1
x (x1, x2,L ), y ( y1, y2,L ) l2，定义
① (x, y) (x, y) ② (x, y z) (x, y) (x, z)
2）内积空间中的范数 在内积空间 U 中，若令
x (x, x) ，即 x 2 (x, x)
可验证满足范数的三条公理，故 U 是按内积导出的赋 范线性空间。进一步也可由范数导出距离
(x, y) x y (x y, x y) ，则 U 也是距离空间。
x y 2 x 2 y 2 称为“商高定理”，即勾股定理。
（2）设 L 是内积空间 U 中的一个稠密子集，x U ，若 x L，则 x=0（零元素）。
（3）设 U 是内积空间，M U ，则 M 为 U 的闭线 性子空间。
（4）设 U 是内积空间， M U 为线性子空间，若 x0 为 x 在 M 上的投影，则
第4章 希尔伯特（ Hilbert）空间
§4.1 内积空间和Hilbert空间 §4.2 正交分解与投影定理 §4.3 广义Fourier分析
当 K 是实数域时，称 U 为实内积空间；K 为复数 域时，称 U 为复内积空间。通常 U 指的是复内积 空间。
当 U 为内积空间时，推得：x, y, z U,, 有
注：若赋范线性空间 X 的范数不满足平行四边形公式， 则 X 不能成为内积空间。
（3）内积的连续性
在内积空间 U 中，内积(x, y) 是两个变元 x, y 的连函数，
即当 xn x, yn y （按范数）时，数列 (xn, yn ) (x, y)
4）希尔伯特（Hilbert）空间 定义 完备的内积空间 U 称为 Hilbert 空间，记作 H
x y 2 x y 2 (x y, x y) (x y, x y) x 2 (x, y) ( y, x) y 2 x 2 (x, y) ( y, x) y 2 2( x 2 y 2 )
（2）判别定理 若赋范线性空间 X 的范数 g 满足平行 四边形公式 x y 2 x y 2 2( x 2 y 2 ) ，则 X 可成为 内积空间。