第4章 希尔伯特空间 研究生 数值分析 教学课件

范数
n
x (x, x)
xi 2 ，
i 1
则 n 按范数是完备的内积空间，即 Hilbert 空间。
n
n
特别的，在 Rn 中，内积(x, y)
xi yi ，范数 x
xi2 。
i 1
i 1
例 2 在 L2[a,b]中，x(t), y(t) L2[a,b]，
b
定义内积 (x, y) a x(t) y(t)dt （满足三条公理）
引理（柯西—许瓦兹不等式 Cauchy—Schwarz）：
x, yU ，有 x, y x y
验证 x (x, x) 满足范数的三条公理。
① 显然
② x ( x, x) x
③ 因为 x y 2 (x y, x y) (x, x) (x, y) (x, y) ( y, y)
① (x, y) (x, y) ② (x, y z) (x, y) (x, z)
2）内积空间中的范数 在内积空间 U 中，若令
x (x, x) ，即 x 2 (x, x)
可验证满足范数的三条公理，故 U 是按内积导出的赋 范线性空间。进一步也可由范数导出距离
(x, y) x y (x y, x y) ，则 U 也是距离空间。
范数
x(t)
(
b
x2
(t
)dt
)
1 2
，
a
则 L2[a,b]按范数是完备的内积空间。
若 L2[a,b]为复值函数，则定义内积
b
(x, y) a x(t) y(t)dt （满足三条公理）
例 3 在l2 {x x (x1, x2,L ), xi2 , xi为复数}中， i 1
x (x1, x2,L ), y ( y1, y2,L ) l2，定义
第4章 希尔伯特（ Hilbert）空间
§4.1 内积空间和Hilbert空间 §4.2 正交分解与投影定理 §4.3 广义Fourier分析
当 K 是实数域时，称 U 为实内积空间；K 为复数 域时，称 U 为复内积空间。通常 U 指的是复内积 空间。
当 U 为内积空间时，推得：x, y, z U,, 有
x y 2 x y 2 (x y, x y) (x y, x y) x 2 (x, y) ( y, x) y 2 x 2 (x, y) ( y, x) y 2 2( x 2 y 2 )
（2）判别定理 若赋范线性空间 X 的范数 g 满足平行 四边形公式 x y 2 x y 2 2( x 2 y 2 ) ，则 X 可成为 内积空间。
（即内积空间 U 按距离 (x, y) x y (x y, x y) 是 完备的，亦是 Banach 空间）
5）举例
例 1 在 n ——n 维（实或复数）向量空间中，
x (x1, x2,L , xn ), y ( y1, y2,L , yn ) n ， 定义
n
内积 (x, y) xi yi （满足三条公理） i 1
证： ①当 X 为实赋范线性空间时，定义
(x, y) 1 ( x y 2 x y 2 ) 4
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理；
② 当 X 为复赋范线性空间时，定义
(x, y) 1 ( x y 2 x y 2 ) i ( x iy 2 x iy 2 )
4
4
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理。
注：若赋范线性空间 X 的范数不满足平行四边形公式， 则 X 不能成为内积空间。
（3）内积的连续性
在内积空间 U 中，内积(x, y) 是两个变元 x, y 的连函数，
即当 xn x, yn y （按范数）时，数列 (xn, yn ) (x, y)
4）希尔伯特（Hilbert）空间 定义 完备的内积空间 U 称为 Hilbert 空间，记作 H
x 2 2 Re(x, y) y 2
x 2 2 x y y 2 ( x y )2
(Q Re(x, y) (x, y) x y )
故
x y x y
3）内积空间的性质 （1）在内积空间 U 中，按内积导出的范数满足平行四边 形公式
证明：
x y 2 x y 2 2( x 2 y 2 )
x x0
inf yM
x y
而且 x0 是 M 中使（**）成立的唯一点。
（**）
（
x x0
inf yM
x y 说明 x0 是 M 中逼近 x 的最好元）
问：当 U、M 满足什么条件时，x U 在 M 中有投影？
3）投影定理 设 M 是 Hilbert 空间中闭线性子空间，则
x y 2 x 2 y 2 称为“商高定理”，即勾股定理。
（2）设 L 是内积空间 U 中的一个稠密子集，x U ，若 x L，则 x=0（零元素）。
（3）设 U 是内积空间，M U ，则 M 为 U 的闭线 性子空间。
（4）设 U 是内积空间， M U 为线性子空间，若 x0 为 x 在 M 上的投影，则
（1）若(x, y) 0 ，称 x 与 y 正交，记作 x y ；
（2）若y N, 有(x, y) 0 ，称 x 与 N 正交，记作 x N ；
（3）若x M ,y N, 有(x, y) 0 ，称 M 与 N 正交，
记作 M N ；
（4） U 中与 M 正交的所有元素的全体称为 M 的正交 补，记作 M ，即
内积 (x, y) xi yi （满足三条公理） i 1
1
范数 x ( xi 2)2 ，
i1
则l 2 是 Hilbert 空间。
例 4 C[a,b]是按范数 x max x(t) 不是内积空间（因为 t[ a ,b ]
不满足平行四边形公式）。
§4. 2 正交分解与投影定理
1) 定义（正交性）设 U 是内积空间，x, y U, M , N U
M {y y M , y U}。
（5）设 M 为 U 的线性子空间，x U , 若x0 M , x1 百度文库M ，
使得
x x0 x1
（*）
则称 x0 为 x 在 M 上的正交投影，（*）式称为 x 关于 M 的
正交分解。
2) 性质 （1）设 U 是内积空间， x, y U , 若x y，则