(优选)第二节定积分的计算

原式
2
1
3t 2dt
3
2 t2 11 dt
0 1t
0 1 t
2
1
30 [(t 1) 1 t ]dt
3[1 t 2 t ln1 t ] 2
2
0
3ln3.
例11
求
a 0
1 dx
a2 x2
(a 0).
f (x)
3
x
1
ex
0 x1 1 x3
,求
3
f ( x)dx.
0
解
3
f ( x)dx
1
3
f ( x)dx f ( x)dx
0
0
1
1(3 x 1)dx 3 e xdx
0
1
(3
4
x3
1
x)
(ex )
3
4
1
0
111 4 e3 e .
计算
11 1 x2 dx.
解
1 1
（优选）第二节定积分的计算
定理6.1 (微积分学基本定理或原函数存在定理)
如果 f ( x)在 [a,b] 上连续,
x
p( x) a f (t)dt,
则 p( x)是 f ( x) 在 [a,b]上的一个原函数,
即有
p( x) ( x a
f (t)dt)
f ( x).
证 p( x) lim p( x x) p( x) • • • • •
解
1 x2dx
(1
1
x3)
1 13 1 03
1.
0
3 03
3
3
例7
求 2 sin x cos x dx. 0
解 原式
4 (cos x sin x)dx
0
2(sin x cos x)dx
4
(sin x cos x) 4 0
(
cos
x
sin
x)
2
4
2 2 2.
例8
设
(cos x)2 ( sin x) ( x ln x)2(1 ln x)
(cos x)2 sin x ( x ln x)2(1 ln x).
变上限求导总结
(1)上限 x 被积函数在上限处的值 (2)上限 ( x) 被积函数在上限处的值
乘以上限的导数
(3)下限变 交换上下限加负号再求导 (4)上下限变 利用区间可加性拆开再求导
a
所以
x
a f (t)dt F ( x) c
令xa
则
a
f (t )dt F (a) c
a
c F(a)
所以
x
a
f
(t )dt
F ( x)
F (a)
再令 x b
得
b
a f (t)dt F (b) F (a).
b f ( x)dt F( x) b F(b) F(a)
a
a
例6 求 1 x2dx. 0
解
ห้องสมุดไป่ตู้
p(u) u sint 2dt 和 u x3 x 复合而成 0
f ( x) sinu2 ( x 3 x) (3 x2 1)sin( x3 x)2 .
(x)
(a f (t)dt) f [( x)]( x)
例4 设 f ( x) xln x t 2dt, 求 f ( x). cos x
F (t ) [ 1( x)]
f [(t)](t) 1 (t)
f (x)
b
a f ( x)dx
F[ 1( x)] b a
F[ 1(b)] F[ 1(a)]
F( ) F( ).
例10
求 8 1 dx. 0 1 3 x
解 令 x t 3 则dx 3t 2dt
当 x0时 t 0 当 x8时 t 2
x0
x
a x x x b
xx
x
f (t)dt f (t)dt
x x
f (t)dt
lim a x0
a
x
lim x
x0
x
lim f ( )x lim f ( ) lim f ( ) f ( x).
x0 x
x0
x
例1 设 f ( x) x cos 2 tdt, 求 f (x). 0
b
a f [ ( x)] ( x)dx
F[( x)]b a
F[(b)] F[(a)]
F( ) F( )
例9 求 2 sin2 x cos xdx.
令 sin x u
0
解
2 sin2 x cos xdx
0
1 u2du
0
1 u3 3
1
0
1 13 3
1 03 3
1. 3
解
2 sin2 x cos xdx
2 sin2
xd sin x
1 (
sin3
x)
2
0
0
3
0
1 sin3 1 sin3 0 1 .
3 23
3
注 不写出新变量 u时,积分限不换!
第二类换元积分法具体做题步骤:
b f ( x)dx令x (t)
f [ (t)] (t)dt
a
F(t)
F( ) F( )
证 {F[ 1( x)]}
解 f ( x) xln x t 2dt 0 t 2dt xln x t 2dt
cos x
cos x
0
cosx t 2dt xln x t 2dt
0
0
f ( x) ( cosx t 2dt) ( xln x t 2dt)
0
0
(cos x)2 (cos x) ( x ln x)2( x ln x)
1 x2
dx
(
1 ) 1 x 1
11
2.
注 这是错误的,因为定理要求连续.
三.定积分的换元积分法
第一类换元积分(凑微分)法具体做题步骤:
b f [ ( x)] ( x)dx a
( x) u
f (u)du
F(u)
F( ) F( )
证 F[(x)]
f (u)( x) f [( x)]( x)
所以
y
cos x e y2
.
二.牛顿—莱布尼兹 (Newton leibniz) 公式
定理6.2 如果 f ( x)在 [a,b] 上连续, F ( x)是 f ( x)
在
[a, b]
上的一个原函数,
则
b
a
f
( x)d x
F(b)
F (a).
证 因 F(x) f ( x)
x
( f (t)dt) f ( x)
解 f ( x) ( x cos 2 tdt) cos2 x. 0
例2 设 f ( x) 1 et2 dt, 求 f ( x). x
解 f ( x) 1 et2 dt x et2 dt
x
1
f ( x) e x2 .
例3 设 f ( x) x3x sint 2dt, 求 f ( x). 0
例5
x2 1 t 2 dt
求极限 lim 0 x0
x2
.
x2
解 lim 0 x0
1 t 2 dt
x2
lim x0
1 x4 2x lim
2x
x0
1 x4 1.
例6 求由方程
y et2 dt
x
cos tdt 0
所确定
0
0
的隐函数的导数.
解 方程两边作为 x的函数同时求导
e y2 y cos x 0