2017年重庆市高考数学一模试卷(理科)

2017年重庆市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足（z+i）（1﹣2i）=2，则复数z在复平面内的对应点所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={x|1＜2x＜4}，则A∩B=（）A．{x|1≤x≤2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0≤x＜2}3．（5分）若过点M（1，1）的直线l与圆（x﹣2）2+y2=4相较于两点A，B，且M为弦的中点AB，则|AB|为（）A．B．4 C．D．24．（5分）（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数为（）A．30 B．70 C．90 D．﹣1505．（5分）已知函数的图象向左平移个单位后关于y轴对称，则函数f（x）的一个单调递增区间是（）A．B．C．D．6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1+a2+a3=a4+a5，S5=60，则a10=（）A．16 B．20 C．24 D．267．（5分）设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）将5名学生分到A，B，C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有（）A．18种B．36种C．48种D．60种9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．14 B．15 C．16 D．1710．（5分）设实数x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）＜f（x）对任意的x∈R恒成立，则下列不等式均成立的是（）A．f（ln2）＜2f（0），f（2）＜e2f（0）B．f（ln2）＞2f（0），f（2）＞e2f（0）C．f（ln2）＜2f（0），f（2）＞e2f（0） D．f（ln2）＞2f（0），f（2）＜e2f（0）12．（5分）已知函数f（x）=若关于x的方程f2（x）+f（x）+m=0有三个不同实数根，则m的取值范围是（）A．B．m≤﹣2 C．D．m＞2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设向量的夹角为θ，已知向量，若，则θ=．14．（5分）如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，若直角三角形两条直角边的长分别为a，b，且a=2b，则在大正方形内随即掷一点，这一点落在正方形内的概率为．15．（5分）已知α∈（，π），且cos2α+sin（π+2α）=，则tanα=．16．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于两点A，B，若点M 满足=（+），过M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若|PF|=2，则M点的横坐标为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，2S n=3a n﹣2n（n∈N+）．（Ⅰ）证明数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n+2n+1，求证：++…+＜．18．（12分）为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h 的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关．（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+d19．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（Ⅰ）若C=2B，求证：cosA=3cosB﹣4cos3B；（Ⅱ）若bsinB﹣csinC=a，且△ABC的面积S=，求角B．20．（12分）已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，点P（x0，y0）在椭圆C上．（Ⅰ）求•的最小值；（Ⅱ）若y0＞0且•=0，已知直线l：y=k（x+1）与椭圆C交于两点A，B，过点P且平行于直线l的直线交椭圆C于另一点Q，问：四边形PABQ能否成为平行四边形？若能，请求出直线l的方程；若不能，请说明理由．21．（10分）已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=x2﹣x．（Ⅰ）求过点（﹣1，0）且与曲线y=f（x）相切的直线方程；（Ⅱ）设h（x）=af（x）+g（x），其中a为非零实数，若y=h（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：2h（x2）﹣x1＞0．四．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（α为参数，t＞0），曲线C2：（s为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C3：ρcosθ﹣ρsinθ=2，记曲线C2与C3的交点为P．（Ⅰ）求点P的直角坐标；（Ⅱ）当曲线C1与C3有且只有一个公共点时，C1与C2相交于A、B两点，求|PA|2+|PB|2的值．23．（14分）设f（x）=|x﹣1|+2|x+1|的最小值为m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设a，b∈R，a2+b2=m，求的最小值．2017年重庆市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足（z+i）（1﹣2i）=2，则复数z在复平面内的对应点所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（z+i）（1﹣2i）=2，得，∴．∴复数z在复平面内的对应点的坐标为（），所在象限是第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={x|1＜2x＜4}，则A∩B=（）A．{x|1≤x≤2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0≤x＜2}【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，B={x|1＜2x＜4}={x|0＜x＜2}，∴A∩B={x|1≤x＜2}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．3．（5分）若过点M（1，1）的直线l与圆（x﹣2）2+y2=4相较于两点A，B，且M为弦的中点AB，则|AB|为（）A．B．4 C．D．2【分析】圆（x﹣2）2+y2=4的圆心为C（2，0），半径为2，则|CM|=，CM⊥AB，利用勾股定理可得结论．【解答】解：圆（x﹣2）2+y2=4的圆心为C（2，0），半径为2，则|CM|=，CM ⊥AB，∴|AB|=2=2，故选：A．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查勾股定理的运用，属于基础题．4．（5分）（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数为（）A．30 B．70 C．90 D．﹣150【分析】先求得（1﹣2x）5展开式的通项公式，可得（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数．=C5r•（﹣2x）r，【解答】解：∵（1﹣2x）5展开式的通项公式为T r+1∴（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数为2C52•（﹣2）2+C51•（﹣2）=70，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．5．（5分）已知函数的图象向左平移个单位后关于y轴对称，则函数f（x）的一个单调递增区间是（）A．B．C．D．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ值，利用正弦函数的单调性可求单调递增区间．【解答】解：函数f（x）的图象向左平移个单位后的函数解析式为：y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x+φ+），由函数图象关于y轴对称，可得：+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈z，由于|φ|＜，可得：φ=，可得：f（x）=sin（2x+），由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解答：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，可得，当k=1时，函数f（x）的一个单调递增区间是：[﹣，]．故选：B．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1+a2+a3=a4+a5，S5=60，则a10=（）A．16 B．20 C．24 D．26【分析】利用等差数列有通项公式、前n项和公式列出方程组，求出首项及公差，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a1+a2+a3=a4+a5，S5=60，∴，解得a1=8，d=2，a10=8+9×2=26．故选：D．【点评】本题考查等差数列的第10项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．7．（5分）设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，联立抛物线方程，运用相切的条件：判别式为0，可得b=2a，再由a，b，c的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，渐近线与抛物线相切，可得x2±x+2=0，由△=（）2﹣4××2=0，可得b=2a，c==a，即离心率e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，同时考查直线和抛物线相切的条件：判别式为0，考查方程思想和运算能力，属于中档题．8．（5分）将5名学生分到A，B，C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有（）A．18种B．36种C．48种D．60种【分析】以甲单独住，合伙住进行分类，利用分类计数原理可得．【解答】解：利用分类计数原理，第一类，甲一个人住在一个宿舍时有=12种，第二类，当甲和另一个一起时有=48种，所以共有12+48=60种．故选：D．【点评】本题主要考查了分类计数原理，分类是要不重不漏，属于中档题．9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．14 B．15 C．16 D．17【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．【解答】解：第一次循环：，n=2；第二次循环：，n=3；第三次循环：，n=4；…第n次循环：=，n=n+1令解得n＞15∴输出的结果是n+1=16故选：C．【点评】本题考查程序框图的应用，数列的应用，考查分析问题解决问题的能力．10．（5分）设实数x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义，即可行域内的点与定点（﹣1，0）连线的斜率求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（1，﹣1），联立，得B（1，3）．由=，而．∴目标函数的取值范围是[，]．故选：D．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．11．（5分）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）＜f（x）对任意的x∈R恒成立，则下列不等式均成立的是（）A．f（ln2）＜2f（0），f（2）＜e2f（0）B．f（ln2）＞2f（0），f（2）＞e2f（0）C．f（ln2）＜2f（0），f（2）＞e2f（0） D．f（ln2）＞2f（0），f（2）＜e2f（0）【分析】令g（x）=，求出函数g（x）的导数，判断函数的单调性，从而求出答案．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=＜0，故g（x）在R递减，而ln2＞0，2＞0，故g（ln2）＜g（0），g（2）＜g（0），即＜，＜，即f（ln2）＜2f（0），f（2）＜e2f（0），故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性、导数的应用，构造函数g（x）=是解题的关键，本题是一道中档题．12．（5分）已知函数f（x）=若关于x的方程f2（x）+f（x）+m=0有三个不同实数根，则m的取值范围是（）A．B．m≤﹣2 C．D．m＞2【分析】结合方程f2（x）+f（x）+m=0有三个不同的实数根，将问题转化为函数图象交点的个数判断问题，结合函数f（x）的图象即可获得解答．【解答】解：函数f（x）=的图象如图，若关于x的方程f2（x）+f（x）+m=0有三个不同实数根，令f（x）=t，则方程t2+t+m=0的两根一个大于等于1而另一个小于1．再令g（t）=t2+t+m，则g（1）≤0，即2+m≤0，得m≤﹣2．故选：B．【点评】本题考查的是方程的根的存在性以及根的个数判断，考查转化的思想、数形结合的思想方法，属中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设向量的夹角为θ，已知向量，若，则θ=．【分析】根据条件，可先求出向量的坐标，并可得到，进行数量积的运算，从而能求得x的值，从而求出及的值，从而求出θ的值．【解答】解：，；∵又；∴；∴x=±1；∴；∴；∴．故答案为：．【点评】考查向量坐标的数乘运算，以及向量数量积的坐标运算，向量余弦的计算公式．14．（5分）如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，若直角三角形两条直角边的长分别为a，b，且a=2b，则在大正方形内随即掷一点，这一点落在正方形内的概率为．【分析】求出三角形的面积，再求出大正方形的面积，根据比值解得即可．【解答】解：由题意，大正方形面积为a2+b2=5b2，三角形的面积为ab=b2，∴小正方形面积为b2，∴在大正方形内随即掷一点，这一点落在正方形内的概率为故答案为．【点评】本题考查几何概型的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积和总面积的比，这个比即事件（A）发生的概率．15．（5分）已知α∈（，π），且cos2α+sin（π+2α）=，则tanα=﹣7．【分析】由题意可得tanα＜0，再利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值．【解答】解：∵α∈（，π），∴tanα＜0，∵cos2α+sin（π+2α）=cos2α﹣sin2α=cos2α﹣2sinαcosα=，∴==，∴tanα=（舍去），或tanα=﹣7，故答案为：﹣7．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式的应用，属于基础题．16．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于两点A，B，若点M满足=（+），过M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若|PF|=2，则M点的横坐标为3．【分析】根据已知条件M是AB中点，设出A和B的坐标及直线方程，并将直线方程代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，表示出x1+x2和x1•x2，并求出P点坐标，根据|PF|=2，求得k的值，即可求得M点的横坐标．【解答】解：由题意可知：抛物线y2=4x的焦点为F，准线为x=﹣1，M是AB的中点，设A（x1，y2），B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x﹣1），将直线方程代入抛物线方程消去y得：k2x2﹣（2k2+4）+k2=0，由根与系数的关系：x1+x2=2+，x1•x2=1，又设P（x0，y0），y0=（y1+y2）=[k（x1﹣1）+k（x2﹣1）]=，∴x0=，∴P（，），|PF|=x0+1=+1=2，∴k2=1，∴M点的横坐标为3，故答案为：3．【点评】本题考查抛物线的性质和应用及根与系数的关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，积累解题方法，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，2S n=3a n﹣2n（n∈N+）．（Ⅰ）证明数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n+2n+1，求证：++…+＜．【分析】（Ⅰ）再写一式，两式相减，即可证明数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）b n=a n+2n+1=3n+2n，可得＜，即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）由2S n=3a n﹣2n得：2S n﹣1=3a n﹣1﹣2（n﹣1），∴2S n﹣2S n=3a n﹣3a n﹣1﹣2，即：a n=3a n﹣1+2﹣1+1），所以{a n+1}是以a1+1为首项，公比为3的等比数列，∴a n+1=3（a n﹣1由2S1=3a1﹣2知a1=2，∴a n+1=3n，即a n=3n﹣1；（Ⅱ）证明：b n=a n+2n+1=3n+2n，∵3n+2n＞2n+2n=2n+1，∴＜，∴++…+=++…+＜+…+=．【点评】本题考查等比数列的证明，考查数列与不等式的综合，考查放缩方法的运用，属于中档题．18．（12分）为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h 的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关．（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a +b +c +d【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆的概率，X 可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解： （Ⅰ）因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 与性别有关．…（6分）（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆的概率为．X 可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为．…（12分）【点评】本题考查离散性随机变量的分布列，期望的求法，独立检验的应用，考查分析问题解决问题的能力．19．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（Ⅰ）若C=2B，求证：cosA=3cosB﹣4cos3B；（Ⅱ）若bsinB﹣csinC=a，且△ABC的面积S=，求角B．【分析】（Ⅰ）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，利用分析法即可证明．（Ⅱ）利用余弦定理、正弦定理、三角形的面积公式，结合二倍角公式，即可求出B．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵cosA=3cosB﹣4cos3B，⇔cosA=cosB（3﹣4cos2B），⇔cosA=cosB（3﹣4×），⇔cosA=cosB﹣2cosBcos2B，⇔cosA+2cosBcos2B=cosB，∵C=2B，可得：A=π﹣B﹣C=π﹣3B，∴原式⇔﹣cos3B+2cosBcosC=cosB，⇔2cosBcosC﹣cosB=cos3B，⇔2cosBcosC﹣cosB=cos（B+C）=cosBcoC﹣sinBsinC，⇔cosBcosC﹣cosB=﹣sinBsinC，⇔cosBcosC+sinBsinC=cosB，⇔cos（C﹣B）=cosB，⇔cos（2B﹣B）=cosB，显然成立，故得证cosA=3cosB﹣4cos3B．（Ⅱ）在△ABC中，∵S=，∴bcsinA=，∴bcsinA=bccosA，∴tanA=1，∴A=45°∵bsinB﹣csinC=a，∴sin2B﹣sin2C=，∴cos2C﹣cos2B=，∴cos（270°﹣2B）﹣cos2B=，∴﹣sin2B﹣cos2B=，∴sin（2B+45°）=﹣1，∴2B+45°=270°，∴B=112.5°．故B=112.5°．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，考查了余弦定理、正弦定理、三角形的面积公式、二倍角公式，考查学生的计算能力，正确转化是关键，属于中档题．20．（12分）已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，点P（x0，y0）在椭圆C上．（Ⅰ）求•的最小值；（Ⅱ）若y0＞0且•=0，已知直线l：y=k（x+1）与椭圆C交于两点A，B，过点P且平行于直线l的直线交椭圆C于另一点Q，问：四边形PABQ能否成为平行四边形？若能，请求出直线l的方程；若不能，请说明理由．【分析】（Ⅰ）求出•=x02+y02﹣1=x02+1，即可求•的最小值；（Ⅱ）由题意设直线方程，代入椭圆方程，与韦达定理及弦长公式分别求得丨AB丨和丨PQ丨，由平行四边形的性质可知：丨AB丨=丨PQ丨，即可求得k的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，F1（﹣1，0），F2（1，0），∴=（﹣1﹣x0，﹣y0），=（1﹣x0，﹣y0），∴•=x02+y02﹣1=x02+1∵﹣≤x0≤，∴•最小值1．（Ⅱ）∵•=0，∴x0=﹣1，∵y0＞0，∴P（﹣1，），设A（x1，y1），B（x2，y2）．由直线与椭圆联立得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，由韦达定理可知：x1+x2=﹣，x1•x2=．∴由弦长公式可知丨AB丨=|x1﹣x2|=，∵P（﹣1，），PQ∥AB，∴直线PQ的方程为y﹣=k（x+1）．将PQ的方程代入椭圆方程可知：（2+3k2）x2+6k（k+）+3（k+）2﹣6=0，∵x P=﹣1，∴x Q=，∴丨PQ丨=•丨x P﹣x Q丨=•，若四边形PABQ成为平行四边形，则丨AB丨=丨PQ丨，∴4=丨4﹣4k丨，解得k=﹣．故符合条件的直线l的方程为y=﹣（x+1），即x+y+1=0．【点评】本题考查椭圆的标准方程与性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及平行四边形性质的综合应用，考查计算能力，属于中档题．21．（10分）已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=x2﹣x．（Ⅰ）求过点（﹣1，0）且与曲线y=f（x）相切的直线方程；（Ⅱ）设h（x）=af（x）+g（x），其中a为非零实数，若y=h（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：2h（x2）﹣x1＞0．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，设出切点，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得切点坐标，进而得到所求切线的方程；（Ⅱ）求出h（x）的解析式和导数，讨论a＜0，0＜a＜1，a≥1，求出极值点和单调区间，由2h（x2）﹣x1＞0等价为2h（x2）+x2＞0，由x2=，可得a=1﹣x22，即证明2（1﹣x22）ln（x2+1）+x22﹣x2＞0，由0＜x2＜1，可得1﹣x2＞0，即证明2（1+x2）ln（x2+1）﹣x2＞0，构造函数t（x）=2（1+x）ln（1+x）﹣x，0＜x＜1，求出导数判断单调性，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ln（x+1）的导数为f′（x）=，设切点为（x0，y0），则切线的斜率为k=，点（x0，y0）在f（x）=ln（x+1）上，则y0=ln（1+x0），可得=，解得x0=e﹣1，可得切线的斜率为，则切线方程为y﹣0=（x+1），即为x﹣ey+1=0；（Ⅱ）证明：h（x）=af（x）+g（x）=aln（x+1）+x2﹣x，导数h′（x）=+x﹣1=，x＞﹣1，当a﹣1≥0时，即a≥1时，h′（x）≥0，h（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；当0＜a＜1时，由h′（x）=0得，x1=﹣，x2=，故h（x）在（﹣1，﹣）上单调递增，在（﹣，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；当a＜0时，由h′（x）=0得，x0=，h（x）在（﹣，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．当0＜a＜1时，h（x）有两个极值点，即x1=﹣，x2=，可得x1+x2=0，x1x2=a﹣1，由0＜a＜1得，﹣1＜x1＜0，0＜x2＜1，由2h（x2）﹣x1＞0等价为2h（x2）+x2＞0，即为2aln（x2+1）+x22﹣x2＞0，由x2=，可得a=1﹣x22，即证明2（1﹣x22）ln（x2+1）+x22﹣x2＞0，由0＜x2＜1，可得1﹣x2＞0，即证明2（1+x2）ln（x2+1）﹣x2＞0，构造函数t（x）=2（1+x）ln（1+x）﹣x，0＜x＜1，t′（x）=2（1+x）•+2ln（x+1）﹣1=1+2ln（1+x）＞0，t（x）在（0，1）上单调递增，又t（0）=0，所以t（x）＞0在（0，1）时恒成立，即2（1+x2）ln（x2+1）﹣x2＞0成立则2h（x2）﹣x1＞0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，注意设出切点，以及极值问题，考查不等式的证明，注意运用分类讨论思想方法和运用导数判断单调性，构造函数是解题的关键，属于难题．四．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（α为参数，t＞0），曲线C2：（s为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C3：ρcosθ﹣ρsinθ=2，记曲线C2与C3的交点为P．（Ⅰ）求点P的直角坐标；（Ⅱ）当曲线C1与C3有且只有一个公共点时，C1与C2相交于A、B两点，求|PA|2+|PB|2的值．【分析】（I）曲线C2：（s为参数），消去参数s可得普通方程．曲线C3：ρcosθ﹣ρsinθ=2，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可得直角坐标方程．（II）曲线C1：（α为参数，t＞0），消去参数α可得普通方程，由曲线C1与C3有且只有一个公共点，利用圆心到直线的距离等于半径解得t=．设A（x1，﹣x1），B（x2，﹣x2）．曲线C1与直线C2联立化为4x2+4x﹣7=0，利用根与系数的关系、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：（I）曲线C2：（s为参数），消去参数s可得普通方程：x+y=0．曲线C3：ρcosθ﹣ρsinθ=2，可得直角坐标方程：x﹣y﹣2=0．联立，解得交点P（1，﹣1）．（II）曲线C1：（α为参数，t＞0），消去参数α可得普通方程：x2+（y﹣1）2=t2，可得圆心C1（0，1），半径r=t．∵曲线C1与C3有且只有一个公共点，∴=t，解得t=．设A（x1，﹣x1），B（x2，﹣x2）．联立，化为4x2+4x﹣7=0，∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣．∴|PA|2+|PB|2=×2+×2=﹣4（x1+x2）+4=﹣4x1x2﹣4（x1+x2）+4=2×（﹣1）2﹣4×（﹣1）﹣4×+4=17．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、直线与圆相切的充要条件、直线与圆相交、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（14分）设f（x）=|x﹣1|+2|x+1|的最小值为m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设a，b∈R，a2+b2=m，求的最小值．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围求出函数f（x）的最小值，从而求出m的值即可；（Ⅱ）根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=﹣3x﹣1≥2，当﹣1＜x＜1时，f（x）=x+3＞2，当x≥1时，f（x）=3x+1≥4，∴当x=﹣1时，f（x）取得最小值m=2；（Ⅱ）由题意知a2+b2=2，a2+1+b2+1=4，∴+=（a2+1+b2+1）（+）=[5++]≥，当且仅当=]时，即a2=，b2=等号成立，∴的最小值为．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质的应用，是一道中档题．。