广东深圳中学高中数学必修一导学案13对数函数的应用

13．对数函数的应用

姚亮 学习目标

1．进一步熟悉对数函数与指数函数关系，进一步熟悉对数函数概念、性质． 2．能运用对数函数有关知识解决含有对数符号的函数有关问题． 3．渗透应用意识，初步建立函数思想在方程、不等式中的应用． 一、夯实基础 基础梳理 基础达标

1．已知指函数x y a =图象经过()m n ，点，则对数函数()log a y ax =一定经过点（ ）． A ．()n m ，

B ．()m n ，

C ．()1m n +，

D ．()1n m +，

2．若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图所示，其中a b ，为常数，则函数()x g x a b =+的大致图象是（ ）．

D.

C.

B.

A.

3．（2011年天津）已知2log 3.4

5a =，4log 3.6

5

b =，3log 0.3

12c ⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

则（ ）．

A ．a b c >>

B ．b a c >>

C ．a c b >>

D ．c a b >>

4．函数()12

log 3y x a =-的定义域是23⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭，，则a =__________．

5．（2010年湖北）放射性元素由于不断有原子放射微粒子而变成其他元素，其含量不断减

少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素绝137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位年）满足函数关系：()30

02t M t M =，其中0M 为0t =时铯137的含量，已知30t =时，铯137含量的变化率是10ln 2-（太贝克/年），则()60M =（ ）． A ．5太贝克 B ．75ln 2太贝克 C ．150ln2太贝克 D ．150太贝克 二、学习指引 自主探究

1．下列是关于指数成长函数、指数衰退函数的实际问题，试着解决它们，并体会对数运算在解决这两类问题中的作和．

（1）某细菌的生长过程为一指数成长函数()Q t ，就是说t 分钟后细菌的数量为()0kt Q t Q e =（0Q 、k 为常数），且一开始的数量为1000只，而在20分钟后变为3000只，求一小时后细菌的数量．

（2）任何放射性物质都有所谓的半衰期，亦即数量减半所需经过的时间，一般而言，若一

放射性物质的数量为()0kt Q t Q e =（0Q 、k 为常数），则半衰期即为()01

2

Q Q t =的解．已知

一化石存有碳14，而碳14的半衰期为5730年，部经过多少时间，碳14的存量变为原来的

15

？ 2．函数()()()log 00a f x g x a a =>≠，与()y g x =的单调性有何关系？ （1）试根据下列条件，用“单调增函数”、“单调减函数”填空：

（2）如果()()ln f x g x =的单调增区间为()a b ，，那么()y g x =应满足哪些条件？

有一种说法，()0g x >恒成立，则()()log a f x g x =的值域为R 对吗？请举例研究． （2）当()g x 应满足什么条件时，()()log a f x g x =的定义域为R ？ （3）当()g x 应满足什么条件时，()()log a f x g x =的值域为R ? 4．拓展思维：

请解答下面两个问题，并谈谈有何收获．

（1）解关于x 的不等式()2log 61x x +<+，()0x ∈+∞，；

（2）已知关于x 的方程3log x a =，讨论a 的值来确定方程根的个数． （3）函数()3log f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，写出a 、b 的关系．

案例分析

1．求函数()()

()2log 01a f x x x a a =->≠，的值域和单调区间．

【解析】（1）由20x x ->得01x <<，所以函数()f x 的定义域是()01，． 因为2

2

1110244x x x ⎛

⎫<-=--+≤ ⎪⎝

⎭．

所以，当01a <<时，()21log log 4a a x x -≥，()f x 的值域为1log 4a ⎡⎫

+∞⎪⎢⎣⎭

，．

当1a >时，()21log log 4a a

x x -≤，()f x 的值域为1log 4a ⎛

⎤-∞ ⎥⎝

⎦

，． （2）令2t x x =-，则log a y t =，

当01a <<时，函数log a y t =在()0+∞，为减函数，2t x x =-在102⎛

⎤ ⎥⎝

⎦，上是增函数，在

112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上是减函数，故所给函数在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上是减函数，在112⎡⎫

⎪⎢⎣⎭，上是增函数； 当1a >时，函数log a y t =在()0+∞，为增函数，2t x x =-在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上是增函数，在112⎡⎫

⎪

⎢⎣⎭

，上是减函数，故所给函数在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上是增函数，在112⎡⎫

⎪⎢⎣⎭

，上是减函数．

2．函数()()

2lg 1f x x ax =++．

（1）若函数()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围； （2）若函数()f x 的值域为R ，求a 的取值范围． 【解析】（1）由已知()

2lg 1y x ax =++的定义域为R ， ∴无论x 取任何实数都有210x ax ++>成立，

240a ∴∆=-<，22a ∴-<<．

（2）由已知()

2lg 1y x ax =++的值域为R ，设21t x ax =++， t ∴应取遍全体正实数，y 才能取遍全体实数，

240a ∴∆=-≥时，t 的值域()0⊇+∞，，

2a ∴≤或2a ≥．

3．解决下列问题：

（1）若21a b a >>>，试比较log log log b

b a b

a b a

⋅⋅的大小； （2）若●，且x ，y ，z 都是正数，试比较2x ， 3y ，5z 的大小． 【解析】（1）由21a b a ><>，得1b a a <

<，1b

b a a

∴>>>且log 1a b >，故