例谈由具体到抽象原则在近世代数教学中的应用

C2 ， …， Cm ， i = 1， 2， …， m， 为 C1 ， 且 | C i | = ci ， 于是 G | G | = c + c + … + c ． 有限群 的类方程 0 1 m 注： 类方程可应用于证明 Sylow 第一定理． 例 3 S3 的共轭类划分 S3 = C （ 1） ∪ C （ 12） ∪ C （ 123） ， 进一步考察共轭类中元素的正规化子 ， 得到 · 45·
［2 ］ 引理 1 有限群 G 的中心 C 的元素个数 c0 ， 别的 共轭类（ 如果存在， 每类中元素的个数都大于 1 ） 设
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Sylow 定理的探求
三元对称群 S3 = ｛ （ 1 ） ，（ 12 ） ，（ 13 ） ，（ 23 ） ， （ 123 ） ，（ 132 ） ｝ ． A3 = ｛ （ 1 ） ，（ 123 ） ，（ 132 ） ｝ ， A3 是 S 3 的 | S3 | = 6 = 正规子群， 商群 S3 / A3 = ｛ A3 ，（ 12 ） A3 ｝ ， 例1 3 × 2， 观察发现有关于这三个群的一个命题 ． 命题 1 A3 是 S3 的正规子群，则 | S3 | = | A3 | ·
| S 3 / A3 | 思考： 用一般有限群 G 去替换特殊有限群 S3 命 题是否仍然成立． 由此提出如下猜想． 猜想 1 若 H 是 G 的正规子群， 则 | G | = | H |· | G | | G /H | ． 结论是 肯 定 的． 由 此 还 可 以 进 一 步 验 证 若 m | n， | G | = n， G 中是否存在阶为 m 的子群 H？ 这对 有限交换群的确是成立的， 可用于证明 Sylow 第一定 理． 例 2 S3 的 共 轭 类 划 分 S3 = C （ 1） ∪ C （ 12） ∪ C （ 123） ， 即为 S3 的共轭类的不交并， 其中 C （ 1） = ｛ a （ 1 ） a －1 | a ∈ S3 ｝ = ｛ （ 1 ） ｝ ， C （ 12） = ｛ a（ 12 ） a －1 | a ∈ S3 ｝ = ｛ （ 12 ） ， （ 13 ） ， （ 23 ） ｝ ， C （ 123） = ｛ a（ 123 ） a －1 | a ∈ S3 ｝ = ｛ （ 123 ） ， （ 132 ） ｝ ， 于是 | S3 | = 6 = 1 + 3 + 2 ， 观察发现命题 2 ． 2 S 命题 3 的共轭类划分为 S 3 = C （ 1 ） ∪ C （ 12 ） ∪ C （ 123） ， 则 | S3 | = | C （ 1） | +| C （ 12） | +| C （ 123） | ． C （ 1） 是 S3 的中心， C （ 12） 、 C （ 123） 中元素均大 其中， 于 1 个． 将这个等式抽象到一般有限群 G 便可得到 类方程．
N（ （ 1 ） ） = S3， ［ S3 ： N（ （ 1） ） ］ = | C （ 1） | ， N（ （ 12 ） ） = ｛ （ 1 ） ， （ 12 ） ｝ = ＜ （ 12 ） ＞ ， S3 ： N（ （ 12） ） ］ = | C （ 12） | ， ［ N（ （ 123 ） ） = ｛ （ 1 ） ， （ 12 ） ， （ 123 ） ｝ = ＜ （ 123 ） ＞ ， ［ S3 ： N（ （ 123） ） ］ = | C （ 123） | ． 由此可得到关于特殊群 S3 的一个命题． S3 ： N（ a） ］ = | G a | ． 命题 3 a ∈ C a S3 ， 有［ 进一步考虑用一般有限群 G 去替换特殊有限群 S3 命题是否仍然成立． G ： N（ a） ］ = | C a | ， 猜想 2 a ∈ C a G ， 有［ G 为任一有限群， G a 为元素 a 的共轭类． 其中， 1］中的引理 7 ． 10 ， 结论当然是肯定的， 即为［ 结 论可用于证明 Sylow 第一定理． 例 4 考察三元对称群 S3 的子群 N（ （ 12 ） ） = ｛ （ 1） ， （ 12 ） ｝ = ＜ （ 12 ） ＞ 的共轭子群类 C ＜ （ 12） ＞ = ｛ a ＜ （ 12 ） ＞ a －1 | a ∈ S3 ｝ = ｛ ＜ （ 12 ） ＞ ，＜ （ 13 ） ＞ ，＜ （ 23 ） ＞ ｝ ， C ＜ （ 123）
近世代数也叫抽象代数， 这门课程是数学与应 而且对于以 用数学专业必开的一门重要的基础课， 后攻读代数学方向硕士研究生的学生来说， 近世代 数功底的深厚也直接影响着他们今后的学习情况． 对于我们这类院校的学生来说， 近世代数具有严密 学生很难学透， 即使像 的逻辑性和特有的抽象性， 群、 子群、 环、 子环这样的基本概念， 学生要想真正掌 握也非常吃力． 许多学生对近世代数产生了畏难甚 至厌恶情绪， 再加上学时有限， 要想让学生在这有限 的学时内较好的掌握近世代数的内容要领， 在讲课 方法上必须仔细揣摩． 实际上对于大学的数学课都适合运用由具体到 抽象原则的讲课方法， 尤其对于抽象的近世代数课 程， 在讲解定义、 定理时更应采用这种方法． 所谓由 具体到抽象的原则是指先举出具体实例， 由具体实 例得出性质、 结论， 进而猜想抽象到一般情况是否成 立， 再利用逻辑推演证明其正确性， 若能按照这样的 思路来处理每一个问题， 势必会使学生感觉到近世 代数也不是那么难， 也是有例可寻的． 在近世代数中 一个常被我们做引例而学生又比较熟悉的群就是三 元对称群， 本文将以有限群论中 Sylow 定理的探求 为例介绍由具体到抽象的原则， 再简要介绍这一原 ［1 ］ 则在群的同态定理中的应用方式 ．
生更好的理解近世代数这门抽象学科中的基本内容． 关键词： 近世代数; 抽象; 具体 中图分类号： G642 文献标志码： A 文章编号： 1008 － 7974 ( 2012 ) 10 － 0045 － 02 收稿日期： 2012 － 03 － 02 作者简介： 张桂颖（ 1981 － ） ， 女， 吉林通化人， 硕士， 通化师范学院数学学院讲师．
第 33 卷第 10 期 2012 年 10 月
通化师范学院学报 JOURNAL OF TONGHUA NORMAL UNIVERSITY
Vol． 33 №10 Oct． 2012
例谈由具体到抽象原则在近世代数教学中的应用
张桂颖， 李武明
（ 通化师范学院 数学学院， 吉林 通化 134002 ） 摘 要： 该文以 群wenku.baidu.com的 同 态 定 理、 有 限 群 论 中 Sylow 定 理的 探 求 为 例 介绍 在 近 世 代 数 教 学中 先 察 具体， 后 行 抽象 的 原 则， 便于学