例谈由具体到抽象原则在近世代数教学中的应用
近世代数学习系列一 学习方法
近世代数学习方法“近世代数”是一门比较抽象的学科，初学者往往感到虚无飘渺，困难重重。
为此，下面介绍五种常用的学习方法。
一、通过例子来加深对基本理论的理解针对“近世代数”课程的概念抽象、难于理解的特点，我们认为理解概念的一种有效方法是多举已学过的典型例子。
例如，一元多项式环和整数环是主理想整环的例子，关于主理想整环的许多结论都是通过推广关于多项式和整数的结论得到；一个无零因子交换环的商域就是模仿整数环和有理数环间的关系构造的；整环里的因子分解理论就是分解质因数和多项式的因式分解理论的推广。
当我们学习“近世代数”时，就仅仅背下来一些命题、性质和定理，并不意味着真正地理解。
要想真正理解，需要清楚这些命题、性质和定理的前提条件为什么是必要的？而达到这个目的的最有效的方法就是构造反例。
通常的做法是：去掉一个前提条件后，构造一个结论不成立的例子，从而表明所去掉的前提条件是必要的。
例如，关于素理想和极大理想的关系有结论：设R是含1交换环，则R的极大理想一定是素理想。
那么这个结论的条件“含1”是必要的吗？这个问题的答案可从下面的例子容易得到。
例：设R是所有偶数构成的环，Z表示整数环，则4Z是R的极大理想，但4Z不是R的素理想。
二、通过变换角度来寻求问题的解法通过变换角度来寻求问题的解法是一种很普遍的解题方法，通常是将已知或未知较复杂的问题变换为等价的较简单的问题，或者是将新问题变换为已经解决的问题，或者是将未知与已知关系较少的问题变为已知与未知关系较多的问题等等。
下面举例说明这种方法：例：设是从G1到G2的满同态，N2是G2的不变子群，N1= -1(N2)，证明G1/N1同构于G2/N2。
对于这个问题，我们不直接证明G1/N1同构于G2/N2，而是将问题进行变换，先构造从G1到G2/N2的满同态，再证明N1是的核，然后根据同态基本定理知结论正确。
三、通过“同构”的观点将知识点（问题）归类“同构”的概念非常重要，因为凡是具有同构性质的结构在本质上可看成是同一结构。
近世代数心得
近世代数心得
近世代数学让我们探索世界的知识，进行有效的统计和分析，从而有利于人们的生活。
近期的发展将数学的理论与实际的应用融为一体，使得近期的代数发展更加完整。
通过近世代数学的发展，人们可以基于正确的原则，推导出正确的结果。
首先，近世代数学更多地关注数学研究的内在联系，而不仅仅是一些基础计算。
通过对数学研究方法的深入理解，人们可以更好地理解数学研究的本质，从而得出更为准确的结果。
其次，近世代数学引入了抽象代数学，其理论可以应用于多种数学模型，使得数学计算更加灵活。
例如，抽象代数学可以用于表示复杂函数的几何性质，以及复杂数学模型的结构。
此外，抽象代数学也可以应用于数学图论，用于完善数学模型的分析和推理，从而得出更有价值的结论。
此外，近世代数学也引入了非参数和多元统计学，以更精确地区分和描述一组数据，精确地估计一组数据的分布，以及准确地预测一组数据的变化趋势。
这些方法可以应用于社会科学的研究，帮助人们深入理解数据库所表示的社会现象，从而得出较为准确的结论。
最后，近世代数学也引入了信息论。
信息论的研究将数学理论与计算机科学相结合，可以帮助我们从复杂的数据中提取出有效的信息，并对信息进行有效的分类和分析，从而有助于人们做出更准确的决策。
总之，近世代数学已经发展成为一门拥有多样性、活跃性和有效性的学科，旨在探索、实践和应用数学知识。
这一趋势将使数学研究
的视野更加宽广，并且有助于为现实世界的实际问题提供科学的解决方案。
近世代数课程的教学探讨
近世代数课程的教学探讨近世代数课程的教学探讨在近世代数教学中，要注重知识的主线和应用价值，加强与高等代数相关知识的联系。
在教学方法上，要把具体的事例引入课堂，把前后的知识联系起来，形成知识体系，从而调动和鼓励学生主动学习的积极性。
标签：近世代数；教学内容；教学方法近世代数也称为抽象代数是数学与应用数学专业一门非常重要的专业必修课，其特点是高度抽象，逻辑性强，推理严谨。
学生普遍认为是一门难懂难学的课程，加之课程由大学三年一期开设，提前到二年一期，更加大了学习难度，导致很多学生苦不堪言。
但是，如果降低难度和要求，学生就不能学到应有的知识，达不到教学的效果，抽象思维能力和逻辑推理能力也得不到应有的提高，这与我们的教学目标相违背。
那么如何解决学生在学习过程中认为太抽象、难度大的问题，如何提高学生的学习兴趣，这给教师们提出了新的要求和挑战。
本文结合近世代数课程教学的情况，以文献为例，[1]从以下方面，提出几点建议，以供读者参考。
一、教学内容方面近世代数课程涉及大量抽象概念、命题、定理和推论。
对于刚接触这门课程的学生来说，学习起来无疑是非常困难的。
他们觉得内容很无聊，更不用说对这门课的兴趣了。
随着我国高等教育的改革，为适应当前社会发展的需要，高校必须增设其他新课程。
相应的，专业教学计划也做了相应的调整，减少了课时。
这样的话，完全不可能把整本书的所有内容都详细看完。
因此，教师应根据实际需要和其他课程安排，合理安排教学任务，调整教学节奏，激发学生的积极性和主观能动性，不减少教学内容，保证教学质量。
1、抓主线，教内容教材内容主要包括群、环、域三部分，是近世代数的核心内容。
在这三个部分的教学过程中，要抓住主线，围绕这些主线进行系统的教学。
比如一个群的主线是群同态，这是一种保持运算的映射，揭示两个群的一些共同性质，从而区分两者的异同。
群的内容可以围绕群的同态展开；环的主线比较理想；域的主线是域扩展。
如果能抓住这些主线，在实际教学中就能达到事半功倍的效果。
数学中的抽象代数及其应用
数学中的抽象代数及其应用在现代数学领域中，抽象代数是一门研究代数结构的学科。
它以代数系统的广义概念为基础，通过研究各种代数结构及其性质，来揭示数学本质的一门学科。
本文将探讨抽象代数的基本概念、理论及其在实际应用中的重要性。
一、群论群论是抽象代数的基础，它研究的是集合上的一种代数运算——群运算。
群是一个集合和一个运算的组合，满足封闭性、结合律、单位元和逆元四个条件。
通过研究群的性质及其变换规律，群论为其他分支提供了坚实的基础。
群论的应用非常广泛，尤其在密码学领域中起着重要的作用。
群论的概念和性质为密码学提供了理论基础，通过利用群论中的数论运算，可以设计出安全性较高的密码算法，保护信息的传输和存储安全。
二、环论环论是抽象代数中的另一个重要分支，它研究的是环这种代数结构及其性质。
环是一个集合，配以两个二元运算——加法和乘法，并且满足一定的条件。
环论的研究主要集中在环的性质、理论和相关结构上。
环论在数论、代数几何、图论等领域有广泛的应用。
例如，在数论中，环论可以用来研究数的整除性、同余关系等性质；在代数几何中，环论可以用来研究代数簇的结构和性质；在图论中，环论可以用来研究图的生成树、哈密顿路径等问题。
三、域论域论是抽象代数的又一个重要分支，它研究的是域这种代数结构及其性质。
域是一个包含加法和乘法两个运算的集合，并且满足一系列条件，如交换律、结合律、存在加法和乘法的单位元及其逆元等。
域论在代数几何、密码学、编码理论等领域中有广泛应用。
在代数几何中，域论为研究代数簇和其上的函数提供了基础；在密码学中，利用域论中的有限域概念可以设计出高效且安全的密码算法；在编码理论中，域论可以用来研究纠错码和解码算法。
四、线性代数线性代数是抽象代数的一个重要应用领域，它研究的是向量空间及其上的线性变换。
线性代数的主要内容包括线性方程组、矩阵理论、特征值与特征向量等。
线性代数在计算机图形学、量子力学、信号处理等领域中有广泛的应用。
具体与抽象相结合原则在数学教学中的运用
具体与抽象相结合原则在数学教学中的运用
一、具体与抽象相结合原则在数学教学中的运用
1、用具体求解练习加强抽象思维培养
在数学教学中，要鼓励学生体验多态性，利用具体求解练习，加强学生抽象思维的能力。
让学生从具体求解中获取经验，让学生在实践的基础上学会抽象，既要完成具体求解，又要在具体求解上体验抽象思考，通过练习提高思维能力和认识能力。
2、多种教学方法的运用
数学教学要有多种教学方法，结合具体抽象，结合理论实践，不只是教授理论，还要让学生用具体求解和抽象思考结合起来，运用手绘、硬笔板等多种方式让学生快速了解理论中的知识点，提高理解能力。
3、理解变换联系
要让学生一步步从具体到抽象的思考，通过理解变换的联系和角度，逐步构建数学模型，理解理论，学会做题。
理解变换的联系可以引导学生从单一变换，到将多种变换整合起来，从而形成独立的思考能力。
4、变换法推导运算
在数学教学中，应结合具体求解、抽象推理，利用变换法推导数学运算，从而运用变换法形成变换思维，在介入新例子时，能够快速应用变换法求解。
通过直观的具体，加强学生对变换法的灵活运用，提高学生数学处理能力。
总之，在数学教学中，要注重结合具体和抽象，多种教学方法的采用，有效期带引导学生由具体向抽象转变，从而提高学生数学思维的水平，培养学生的习惯，灵活运用数学知识解决实际问题的能力。
近世代数学习心得论文(中文英文对照)
近世代数学习心得《抽象代数》是一门比较抽象的学科，作为初学者的我感到虚无飘渺，困难重重。
我本来英语学的就不好，看到全英的《近世代数》我似乎傻眼了。
通过两个月的学习，发现它还是有规律有方法的。
针对“近世代数”课程的概念抽象、难于理解的特点，我认为理解概念的一种有效方法是多举已学过的典型例子。
多看多做，举一反三。
比如群论里面有一个最基本的问题就是n阶有限群的同构类型有多少。
围绕这个问题可以引出很多抽象的概念，比如元素的阶数，abel群，正规子群，商群，Sylow定理等，同时也会学到如何把这些理论应用到具体的例子分析中学习“近世代数”时，就仅仅背下来一些命题、性质和定理，并不意味着真正地理解。
要想真正理解，需要清楚这些命题、性质和定理的前提条件为什么是必要的？而达到这个目的的最有效的方法就是构造反例。
其次是通过变换角度寻求问题的解法，通常是将已知或未知较复杂的问题变换为等价的较简单的问题，或者是将新问题变换为已经解决的问题，或者是将未知与已知关系较少的问题变为已知与未知关系较多的问题等等先参考着答案做题，然后自己总结方法思路，自己就开始会做了。
问题在是否善于总结归纳。
以前学代数的时候从来没有意识到代数是门很抽象的学科，总在练习的过程中靠点小聪明学过来，也由于这段路一直走得非常平坦，我从来没停下来去想想其本身的理论体系的问题。
现在想想，也许这就是我一直停留在考试成绩一般，却难以有所作为的原因吧。
所以有时走得太快可能未必时间好事。
很可惜现在才了解到这一点，同时也还算幸运，毕竟人还在青年，还来得及改正Modern Algebra learning experience "Abstract Algebra" is a more abstract subjects, as a beginner , I feel vague , difficult. I had to learn English is not good to see the UK 's "Modern Algebra" I seem dumbfounded. Through two months of the study, it is found that there is a regular method .For the " Modern Algebra " course abstract concept , difficult to understand the characteristics , I believe that an effective way to understand the concept is to have learned to cite a typical example . See more and more , by analogy . Such as group theory which has a fundamental problem is a finite group of order n is isomorphic to type numbers . Around this problem can lead to many abstract concepts , such as the order of elements , abel group , normal subgroups , quotient groups , Sylow theorems , etc. , but also learn how to put these theories to the analysis of specific examples to learn " Modern Algebra ", it is just back down a number of propositions , properties and theorems , does not mean that truly understand. To truly understand the need to clear these propositions , properties and theorems prerequisite Why is necessary ? To achieve this purpose the most effective way is to construct counterexample.Followed by changing the angle seek a solution, usually known or unknown to the more complex problem is converted into an equivalent simpler problem , or is transformed into a new problem has been solved , or is unknown with the known relations fewer problems become more known and unknown relationship problems, etc.Do question the answer to the first reference , and then summarize their way thinking that he began to do it. Whether good at summarizing the problem . Previously learned algebra algebra is never realized when the door is very abstract subject , always in the process of practice by learning a little smarter over, but also because this section has gone very flat , I never stopped to think about their own theoretical system problems . Now think about it , maybe this is what I have been stuck in test scores in general, but the reason it is difficult to make a difference . So sometimes a good thing going too fast may not be time . Unfortunately now I understand this, but also lucky , after all, people are still young , still have time to correct。
浅谈数学的抽象性与具体性与其在教学中的应用
浅谈数学的抽象性与具体性与其在教学中的应用在对传统数学教学原则的认识中，具体与抽象相结合原则是呼声最高的原则之一。
抽象是数学的特点，从认识论角度讲,人们对客观世界的认识都是由具体到抽象,由感性认识到理性认识,以至无穷的循环往复过程。
在数学教学过程中，抽象思维与生动具体的对立统一是由教学过程与人的认识的共同性与特殊性决定的，在数学教学中具有特殊意义。
人们对数学科学的认识从具体的丈量土地、统计粮食储量、观察天象得到具有明显直观意义的初等几何和简单的数字计算,又通过这些明显直观的初始概念与逻辑推理得到不太明显的派生概念，伟大的数学研究者们借助派生概念又构建远离现实的数学抽象物，从而形成数学体系。
概括讲就是从研究对象或问题中抽取出数量关系或空间形式而舍弃其他的属性，借助定义和推理进行逻辑构建的思维过程和方法。
数学的抽象性有着几点明显的特征：具有明显的目标，无对象的具体内容，仅仅保留空间形式和数量关系，不管是高中生还是初中生，较难直接理解抽象概念，直观具体分析依旧是主要思考模式；适用范围广泛，既有提炼数学概念的表征性抽象，又有探索数学理论的原理性抽象；含有丰富的层次，不仅表现在直接从现实世界中抽象出相应的空间形式和数量关系，而且还表现为已有数学知识基础上的再抽象。
数学抽象性是数学最基本的抽象性，要求和保证了数学的严谨性，高度的抽象性是出现数学应用的广泛性和数学美的主要根源。
没有了抽象性，也就没有了数学的研究对象。
因此说抽象性是数学的本质。
抽象能力是最基本的数学能力，也就是说把数学形式从内容中分离出来，把数学材料形式化，从具体的数值关系和空间形式中抽象出它们本质特征的能力。
这种能力是发现问题、形成概念的最主要的能力。
数学尤其是初等数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为自己的研究对象。
任何抽象的数学思想和数学方法，都就有具体、生动的现实模型。
数学的抽象性不仅以具体行为基础，而且更以广泛的具体性作为归宿。
因此数学中的具体和抽象是对立统一的，相互区别相互联系相互转化。
让“抽象代数”生动起来——多举例子,善用例子
统就是带有运算 的集 合 ， 群、 环、 域 就 是 三 种 带 有 运 算 的 集 合， 它 们 是 把 集 合 中 运 算 共 同 点 抽 象 出来 做 成 不 同 的 代 数 体系 ， 从 这点上 看 ， “ 近世 代数 ” 是 研 究 本 质 规 律 的 一 门 学
科． “ 近世代数 ” 又名 “ 抽象 代数 ” ， 以 其 抽 象 性 让 学 生 望 而 生畏． 近 年来 ， 国 内众 多 学 者 和 教 育 工 作 者 在 该 学 科 教 学 方 面 的 研 究 在 不 断 探 索 和完 善 中． 当代 数 学 家 冯 克 勤 这 样 说 ：
生 自己 判 断 ， 这样反复判断 中 ， 学 生 在 自然 记 忆 群 的 定 义 的
个 寝 室 的并 集 ， 而这些寝室之间没有交集．
生对概念 、 理 论 有 比较 直 观 而 又 清 晰 的认 识 和 理 解 ． １ ． 多 举 例 子
另外 ， 集 合 的一 种 等 价 关 系 会 做 出 一 种 集 合 的分 类 ， 一 种 集 合 的分 类 方 法 会 决 定 一 个 等 价 关 系 ， 在 实际教学 中 ， 学
生会觉得这个 结论似 懂非 懂 ， 用 刚 才 的 例 子 也 能 轻 松 解 决 这 个问题 ， 只 需 要 把 关 系 定 义 为 Ａ与 曰 有 关 系 当 且 仅 当住
让 学 生变 抽 象 为具 体 的 技 巧． 主要 途 径 有 多 举 例 子 ， 举 身 边 的例 子 ， 举 学科前沿 的例 子， 用 例子 解释 定义 和定 理 ， 把 定
设 Ａ是 绵 阳 师 范 学 院 毕 业 的所 有 大 学 生 组 成 的集 合 ， Ｂ
是 学 校 设 立 过 的所 有 专 业 的集 合 ， 其 中对 应 法 则 是 ： Ａ 中元
近世代数的应用(论文)
近世代数的应用1．分子结构的问题：设在苯环结构上结合CH3或H或NO2，问有多少种不同的化合物？这个问题可以分成两种情况老考虑。
第一种情况是如果把苯环个连接键看成相同的，则分子结构问题就是三种颜色6颗珠子的项链问题第二种情况是如果把苯环的连接键看成不同，单键和双键交替是，则需要另外考虑。
设苯环上碳原子之间是由单键与双键交替连接的，在每个碳原子上结合H或CH3或NO2，问可以形成多少种不同的化合物？解：这个问题与项链问题的不同之处就是旋转群G，由于两个分子重合时，必须经过旋转后单键与单键重合，双键与双键重合。
孤：G={（1），（135）（246），（153）（246），（12）（36）（45），（14）（23）（56），（16）（25）（34）}同构与D3。
全部有标号的分子数3的6次方。
G作用于有标号的分子结构上的不动点数计算如下：所以N=1/6*3*92=138即共可以形成138种不同的物质，此数把个项链看作等同时要大，因为不对称性增加了。
2．开关的线路的计算问题：每个开关的状态，由一个开关的变量来表示，例如用A 表示一个开关变量，用0。
1表示开关的两种状态，则开关的取值是0或1。
由若干的开关A1。
AK组成的一个线路称为开关的线路，一个开关线路也有两种状态，接同用一表示。
接同用一表示，短开用1表示，他的状态由各个开关的状态决定，因而可用一个函数f(A1….AK)来表示，F的取值是0或1，称F为开关函数，每个开关的对应一个开关函数。
S+{0，1}，则开关函数F（A1。
AK）是S*。
*S到S的一个映射。
不难看出，K个开关的变量的开关函数共有2（2（K））个当K=2时工有16个函数。
但是不同的开关可能对于于相同的线路，例如图1中的两个开关线路对应两个开关函数，但是着两个开关本质是相同的。
因此，我们的问题是由N个开关可以组成多少中本质上下不同的开关线路？设X={A1。
AN}，G=SN是X上的对称群，令＃={F1。
近世代数教学中的体会
近世代数教学中的体会作者：秦小二来源：《考试周刊》2014年第13期摘要：近世代数是数学专业的一门重要专业基础课，同时也是一门比较抽象的课程。
怎样才能教好这门课，围绕这一问题，作者谈谈在教学过程中的体会。
关键词：数学教学近世代数教学方法近世代数，通常又称为抽象代数，是本科院校数学专业的一门重要的专业基础课。
一般的院校是学生在学完“高等代数”之后，再开设“近世代数”这门课程，同时“近世代数”又为一些后继课程提供必要的理论基础。
“近世代数”学生的学习过程中起着承上启下的作用。
我在我们学院担任了几个学期的《近世代数》的教学任务，采用的教材是张禾瑞的《近世代数》和刘绍学的《近世代数基础》。
针对我院学生在学习这门课的过程中存在的问题，我谈谈在近世代数教学中的体会。
1.学生认识不足在教学过程中，我发现部分学生对于近世代数这门课程的认识不足。
很多学生对于这门课程的学习很迷茫，不知道为什么要学习这门课程，也不知道怎样学习这门课程。
任课教师应该给学生介绍一下近世代数这门课程在整个大学四年的学习中所处的地位，与其他课程的联系，以及近世代数对他们今后的学习和工作有什么帮助。
通过介绍，学生会对这门课程形成整体的认识和了解。
这对学生今后对这门课程的学习有一定的帮助，同时能够激发学生的学习兴趣。
2.消除畏难心理通过和学生的交谈，我了解到很多学生觉得近世代数这门课很抽象，也很难学，对近世代数的学习存在畏难心理。
针对这种情况，教师在教学中要注意消除学生的畏难心理。
把一些抽象的概念具体化，通过一些具体的模型或典型的例子帮助学生理解抽象概念。
比如，在讲群的概念时，可以通过学生比较熟悉的例子如（Z，+），（R，×），加深学生对概念的理解。
这就要求教师在授课过程中多举例子，把抽象的概念和定理变成具体例子。
3.增强教学的趣味性近世代数这门课的定义、定理比较多，比较抽象，生涩难懂，使得不少学生缺乏对这门课的学习兴趣。
这就要求教师在教学过程中激发学生学习兴趣，增强教学的趣味性。
《近世代数》课程教学改革与探索[权威资料]
![《近世代数》课程教学改革与探索[权威资料]](https://img.taocdn.com/s3/m/31322e3dcec789eb172ded630b1c59eef8c79a1b.png)
《近世代数》课程教学改革与探索摘要：《近世代数》是我校数学与应用数学专业开设的一门内容高度概括、抽象、逻辑推理严谨、系统的课程。
随着科学技术的发展，近世代数的基本思想、理论与方法已经渗透到科学领域的各个方面。
本文从分析近世代数课程特点和当前教学面临的现状出发，结合对近世代数课程的教学实践和经验，提出了在近世代数教学中提高教学质量的一些建议。
关键词：近世代数课程改革教学实践G642 A 1672-1578（2013）10-0021-021 引言代数是研究数、数量、关系与结构的数学分支，其研究对象不仅是数字，而是各种抽象化的结构。
按照研究对象不同，代数可以分为初等代数，线性代数，抽象代数，泛代数以及计算代数等几类。
近世代数（或叫抽象代数）课程是高校开设的代数课程之一。
近世代数是研究各种代数结构的性质与分类的一门学科，是现代数学的基础。
该课程具有形式化推理多、应用范围广、抽象程度高、逻辑性强等特点。
近年来，近世代数的基本思想、基本理论与方法已经渗透到科学领域的很多方面，实际应用也日趋广泛。
同时近世代数课程具有高度的抽象性，它的内容很难与现实生活中的实际形体相联系，理论上具有很强的逻辑性，并且近世代数的习题比较难，再加上学时有限，要想让学生在这有限的学时内较好的掌握近世代数的内容要领，在讲课方法上必须仔细揣摩。
传统的近世代数课程教学是单纯地追求概念的抽象性、逻辑的严密性、结论的明确性和体系的完整性，这样势必会使近世代数课程的知识与现实脱节，导致一些学生感到近世代数枯燥乏味、无用，从而直接影响了学生对近世代数课程和后继课程的学习热情。
所以，近世代数课程的教学改革势在必行，在教学内容、教学方法、教学手段上都必须进行改革。
2 近世代数课程改革的措施2.1从学生出发，激发学生的学习兴趣2.1.1 注重背景知识的介绍近世代数研究各种代数结构的性质和分类，形式化推理多，习题比较难。
数学的抽象是各种具体对象中提炼出共性，从而使应用更加广泛。
初一数学教学中如何帮助学生理解抽象概念
初一数学教学中如何帮助学生理解抽象概念在初一数学教学中，帮助学生理解抽象概念是一个关键的任务。
数学作为一门抽象的学科，往往需要学生具备一定的思维能力和逻辑思维能力。
然而，初一学生对抽象概念的理解和运用能力还比较薄弱。
因此，在数学教学中，教师需要采取一些有效的方法帮助学生理解抽象概念，激发学生的学习兴趣，并提高他们的学习成绩。
下面，本文将介绍一些可能有用的方法。
首先，教师可以通过具体化来帮助学生理解抽象概念。
对于初一学生来说，抽象概念往往是比较难以理解的。
因此，教师可以通过具体化的方式将抽象概念与学生已有的知识和经验相结合，使学生更易于理解。
例如，在教授代数的概念时，教师可以使用具体的例子来说明代数的含义和应用，让学生通过解决实际问题来感受抽象概念的作用。
其次，教师还可以利用图形化的手段帮助学生理解抽象概念。
数学中的许多抽象概念可以通过图形来表示和说明。
通过图形化的手段，学生可以直观地看到抽象概念之间的关系，从而更好地理解这些概念。
例如，在教授几何图形的性质时，教师可以使用具体的图形来说明不同图形之间的特点和关联，让学生通过观察和比较来理解。
此外，教师还可以通过情境化的方式帮助学生理解抽象概念。
在教学中，教师可以通过创造一些生动的情境，将抽象概念与实际生活中的问题相联系，让学生在情境中体验和理解抽象概念的用途和意义。
例如，在教授平行线的概念时，教师可以设计一些与平行线相关的问题，让学生在实际问题中思考和应用抽象概念。
此外，教师还应该通过启发性的提问来引导学生思考和发现抽象概念。
通过提出一些开放性和引导性的问题，教师可以激发学生的思维和探索兴趣，让他们自主地发现和理解抽象概念。
例如，在教学中，教师可以通过提问引导学生思考如何用代数的方式来解决实际问题，让学生主动思考并将抽象概念应用到实际问题中去。
最后，教师还应该通过多种形式的练习和反馈来巩固学生对抽象概念的理解。
通过多次练习和反馈，学生可以不断巩固和加深对抽象概念的理解和应用能力。
《近世代数》课程教学及教学案例分析
《近世代数》课程教学及教学案例分析作者：张慧来源：《当代教育理论与实践》 2016年第1期张慧（宁夏师范学院数学与计算机科学学院，宁夏固原 756000）摘要：以如何提高学生学习《近世代数》课程兴趣为研究目标，针对现阶段近世代数课程中课时紧、学生对于该课程认识不足等问题而造成学习兴趣不高进行了教学及教学案例分析。
经分析得出：可以通过介绍知识点在实际中的应用及结合师范生专业特色来激发学生学习近世代数的兴趣，同时给出如何应对课时紧的办法。
关键词：近世代数；学习兴趣；教学案例中图分类号：G642.0文献标志码：A文章编号：1674-5884（2016）01-0034-03《近世代数》（也称抽象代数）是数学与应用数学专业的一门专业基础课，主要讲授群、环、域3个代数运算系统，通过该课程的学习能够培养学生的抽象思维以及缜密的分析能力。
但是课程符号多、内容难以理解，很多初学者反映近世代数难学，从而产生畏难情绪。
现阶段关于近世代数的教学研究大多从教学内容、课程的重要性以及教学方法的改进做了深入的阐述，针对近世代数课程的教学给出了很好的建议［1-3］。
但这些研究只是从教师的角度出发来探讨如何提高教学质量，却没有从学生的角度出发来研究如何提高学生的学习兴趣，从而达到提高教学质量的目的。
本文以如何提高学生学习近世代数课程兴趣为研究目标，针对教学以及教学案例分析做出了探讨，给出一些建议。
1现阶段近世代数课程教与学存在的问题其一，近世代数在信息安全、生物学、化学、图论中有很多的应用，但学生对于所学知识的应用了解甚少，认为这门课程的内容只不过是由一些枯燥的概念和定理构成的，没有实用性。
如果产生了这样的认识，就会大大降低学生学习的兴趣，更何谈学好这门课程。
其二，当前大部分高校的近世代数课程的课时都有不同程度的压缩，所以在常采用的3类不同的教材中［4－6］课时的安排很紧张，教师为了完成教学任务不得不在短时间内讲授大量的内容，导致学生不能够充分“消化”和“吸收”所学的知识点，进而降低了学习的兴趣。
近世代数教学设计
近世代数教学设计近世代数是数学中的一个重要分支，也是数学中的一门基础课程。
在近世代数的教学设计中，我们需要遵循一定的原则和方法，使学生能够深入理解代数的概念和方法，掌握代数技术，提高解题能力和应用能力。
首先，教学设计中应注重培养学生的代数思维能力。
代数思维是代数学习的核心，也是近世代数的重要特点之一。
因此，在教学中注重培养学生的代数思维能力是必不可少的。
可以通过提供大量的问题和练习，鼓励学生运用代数思维来解决实际问题，培养学生的逻辑推理能力和问题解决能力。
其次，教学设计中应注重理论与实践相结合。
近世代数是一门理论与实践相结合的学科，需要学生掌握一定的理论知识，同时还需要进行大量的实际运算和实际应用。
因此，在教学设计中应设置一定的理论讲解环节，使学生能够理解代数的基本概念和原理；同时，还应设置一定的实际运算和应用题目，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
再次，教学设计中应注重培养学生的创新意识和实践能力。
近世代数是一个不断发展的学科，需要学生具备一定的创新意识和实践能力。
可以通过选题、课堂活动和实践项目等方式来培养学生的创新意识和实践能力。
比如，可以组织学生进行小组合作，自主设计代数问题，并结合实际情境进行求解，从而培养学生独立思考和解决问题的能力。
最后，教学设计中应注重实际应用和跨学科融合。
近世代数不仅仅是一个独立的学科，还具有广泛的实际应用价值。
因此，在教学设计中应注重让学生了解代数在实际生活和其他学科中的应用，激发学生的学习兴趣和学习动力。
比如，可以通过数学建模、实例分析等方式来展示代数在经济、物理、生物等领域的应用，增强学生对代数学习的兴趣和理解。
总之，近世代数的教学设计应注重培养学生的代数思维能力，注重理论与实践相结合，注重培养学生的创新意识和实践能力，注重实际应用和跨学科融合。
通过科学合理的教学设计，使学生能够真正理解代数的概念和方法，掌握代数技术，提高解题能力和应用能力。
同时，也能够激发学生的学习兴趣和学习动力，培养学生的数学思维和创新能力，为学生未来的学习和工作打下良好的数学基础。
近世代数课程的教学探讨
近世代数课程的教学探讨作者：周潘岳何婧来源：《新西部·中旬刊》2018年第04期【摘要】近世代数课程教学在内容上要注重抓主线和知识的应用价值，加强与高等代数相关知识的联系；在教学方法上要以具体实例引入课堂，联系前后知识形成知识系统，引发和鼓励学生主动学习的热情。
【关键词】近世代数；教学内容；教学方法近世代数也称为抽象代数是数学与应用数学专业一门非常重要的专业必修课，其特点是高度抽象，逻辑性强，推理严谨。
学生普遍认为是一门难懂难学的课程，加之课程由大学三年一期开设，提前到二年一期，更加大了学习难度，导致很多学生苦不堪言。
但是，如果降低难度和要求，学生就不能学到应有的知识，达不到教学的效果，抽象思维能力和逻辑推理能力也得不到应有的提高，这与我们的教学目标相违背。
那么如何解决学生在学习过程中认为太抽象、难度大的问题，如何提高学生的学习兴趣，这给教师们提出了新的要求和挑战。
本文结合近世代数课程教学的情况，以文献为例，[1]从以下方面，提出几点建议，以供读者参考。
一、教学内容方面近世代数这门课程的内容涉及到大量抽象的概念、命题、定理和推论，对于刚接触到这门课程的学生来说，学习起来无疑是非常困难的，觉得内容枯燥乏味，更不用提对这门课程的兴趣。
随着我国高等教育的改革，要满足当前社会发展的需要，必须在大学增加其它新的课程。
相应的，专业教学计划做了相应的调整，压缩了课时。
这样一来，想要详细的上完整本书所有的内容，这完全是不可能的。
因此，上课教师应根据实际需求和其它课程安排，在不减少授课内容，保证教学质量的前提下，合理安排教学任务，调整教学节奏，激发学生的积极性和主观能动性。
1、抓主线，教内容教材的内容主要包括群、环、域三个部分，这是近世代数最核心的内容。
在教授这三个部分过程中要抓住主线，围绕这些主线进行系统的教学。
例如，群的主线是群同态，它是保持运算的映射，揭示出两个群的某些共同性质，以此来区分两者的异同。
近代代数基本概念与应用的教学设计与实践
04
教学方法与手段
采用启发式教学法，引导学生主动思考
启发式教学法：通 过问题引导、案例 分析等方式，激发 学生的学习兴趣和 主动性
引导学生主动思考： 鼓励学生自主探究、 发现和解决问题， 培养其独立思考和 创新能力
结合实际应用：将 理论知识与实际应 用相结合，帮助学 生更好地理解和掌 握代数基本概念
鼓励与激励：在评价与反馈中， 要注重鼓励和激励学生，增强 他们的学习积极性和自信心。
测验与考试：通过测验和考试了解学生对代数的掌握情况， 及时调整教学策略
测验与考试的目的：了解学生对代数的掌握情况，找出学生的薄弱环节，为后续教学提 供依据。
测验与考试的内容：涵盖代数的基本概念、定理和计算方法，确保全面评估学生的代数 能力。
课堂表现：观察学生的参与度和课堂表现，及时给予指导和 鼓励
作业完成情况：检查学生的 作业完成情况，及时发现和 解决问题
测验和考试成绩：定期进行 测验和考试，了解学生的学
习进度和掌握情况
课堂表现：观察学生的参与 度和课堂表现，及时给予指 导和鼓励
学习态度和习惯：关注学生 的学习态度和习惯，引导学
生形成良好的学习习惯
注重师生互动：加 强师生之间的交流 与互动，及时了解 学生的学习情况， 调整教学策略
利用多媒体辅助教学，提高教学效果
利用多媒体技术展示抽象概念，帮助学生理解 制作互动式课件，提高学生的参与度 利用多媒体资源丰富教学内容，拓宽学生视野 通过多媒体教学提高学生的学习兴趣和积极性
组织课堂讨论，鼓励学生交流互动
教学资源：利用多媒体课件、 教学视频等教学资源，帮助 学生更好地理解代数的基本
概念和运算性质
课堂练习：通过实例分析，加深学生对代数概念的理解和应 用
浅谈抽象代数的应
浅谈抽象代数的应用1 引言代数学作为数学的一个重要分支，有着悠久的历史。
早期代数学的研究对象是具体的, 以方程根的计算为研究中心。
那时人们已经能够用根式来求解四次以下的方程的根。
此后几乎经历了三百年的时间，数学家们企图用用根式解一般的五次方程而没有成功。
阿贝尔(N.H.Abel)在1824 年证明了高于四次的一般方程不能用根式求解。
伽罗瓦(E.Galois)在1829-1831 年间完成的论文中, 基于其提出的群(置换群)的概念, 建立了代数方程可用根式求解的充要条件。
从而彻底解决了代数方程用根式求解这一近三百年的数学难题。
伽罗瓦提出的“群”概念, 导致了代数学在研究对象、研究方法上的深刻变革,一系列新的代数领域被建立起来。
1930—1931年范·德·瓦尔登(B．L．vander Waerden，1903—)的《近世代数学》一书问世，在数学界引起轰动，由此之后，抽象代数学或近世代数学成为代数学的主流。
一个集合及其上的代数运算构成一个代数结构(代数系统),抽象代数的主要研究内容是研究各种代数结构, 它是在从较高层次上, 撇开形式上很不相似的代数结构的个性, 抽象出其共性, 用统一的方法描述、研究与推理, 从而得到一些反映事物本质的结论, 再把它们应用到具体的系统中去。
由于代数结构中运算的个数以及对运算性质要求的不同, 从而产生了各种各样的代数结构, 这就形成了抽象代数的不同分支, 其中最基本、最重要的分支是群、环和域。
由于代数运算贯穿于任何数学理论与应用中, 以及代数运算和其中元素的一般性, 抽象代数的研究在数学里是基础性的, 其研究方法与结论已渗透到与之相近的数学学科中去。
不仅如此, 抽象代数还为现代物理学、现代化学以及计算机科学、现代通信与密码学提供了语言, 其研究方法与重要结论在上述领域都有重要应用。
抽象代数不仅是计算机科学中广泛使用的数学工具, 而且成为计算机科学的理论基础之一, 如自动机理论、形式语言、数据结构、密码学以及逻辑电路设计、编码理论等。
数学抽象在教学中的应用
数学抽象在小学数学教学中的应用小学数学中的概念、运算、性质和法则等都是通过数学抽象逐步在学生的头脑中建构起来的，因此，提高数学抽象方法使用的有效性，让学生能够通过数学抽象建立正确的数学知识就显得尤为重要，下面来谈谈数学抽象在小学数学教学中的应用。
1.数学抽象时要充分发挥表象的作用。
表象是感性认识的一种高级形式，它是从具体感知到抽象思维的过渡和桥梁，因此在概念形成、计算法则和公式的推导过程中，建立能突出事物共性的典型表象是非常关键的，这为进一步高水平的抽象概括提供了基础。
例如，在认识平行四边形的时候，为了便于抽象概括出其“两组对边相等”“两组对边分别平行”等本质特征，可以提供给学生如下典型图形充分感知、观察比较后，思考这些图形共同之处，然后再抽象概括。
这里典型图形不一定只有一种，可以是多种多样的，这样有助于让学生建立比较丰富的平行四边形的表象。
但是目前的大多数小学数学教材中认识平行四边形一课中所呈现的素材中并没有给出长方形和正方形（可能考虑到学生认知规律的原因），因此常导致学生产生片面认识，即平行四边形的四个角不能是直角，这正是提供的表象不全面导致的。
为了避免这样的问题产生，在选取表象的时候，一定要考虑全面。
2．数学抽象要把握时机，及时抽象概括。
在对具体事物充分感知，形成表象后，就要把握好时机，及时抽象概括了，这样才能使感性认识上升到理性认识，提高学生的思维能力。
试想，如果不及时抽象概括，那么学生的思维水平必然停留在表面的、肤浅的、零碎的外部现象上，对事物的认识就不能够深入下去。
例如，在认识线段的时候，先让学生“把线拉直”，发现毛线两头拉紧后，中间一段是直直的。
然后引导学生在不看实物的情景下，想象出拉直后毛线的状态，并把头脑中形成的图像画下来，以此抽象出线段的概念。
这里的抽象概括是建立在学生充分操作、想象的基础上的，时机是恰当，也是及时的。
3.数学抽象要注意层次性。
小学生的抽象能力是随着年龄的增长而逐步发展着的，是从抽取事物外部特征逐步发展到抽取事物本质特征的，是从借助于具体事物进行较低层次的抽象，发展到借助于表象或者数学概念的较高层次的抽象，这种发展需要教师的指导和点拨。
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| S 3 / A3 | 思考： 用一般有限群 G 去替换特殊有限群 S3 命 题是否仍然成立． 由此提出如下猜想． 猜想 1 若 H 是 G 的正规子群， 则 | G | = | H |· | G | | G /H | ． 结论是 肯 定 的． 由 此 还 可 以 进 一 步 验 证 若 m | n， | G | = n， G 中是否存在阶为 m 的子群 H？ 这对 有限交换群的确是成立的， 可用于证明 Sylow 第一定 理． 例 2 S3 的 共 轭 类 划 分 S3 = C （ 1） ∪ C （ 12） ∪ C （ 123） ， 即为 S3 的共轭类的不交并， 其中 C （ 1） = ｛ a （ 1 ） a －1 | a ∈ S3 ｝ = ｛ （ 1 ） ｝ ， C （ 12） = ｛ a（ 12 ） a －1 | a ∈ S3 ｝ = ｛ （ 12 ） ， （ 13 ） ， （ 23 ） ｝ ， C （ 123） = ｛ a（ 123 ） a －1 | a ∈ S3 ｝ = ｛ （ 123 ） ， （ 132 ） ｝ ， 于是 | S3 | = 6 = 1 + 3 + 2 ， 观察发现命题 2 ． 2 S 命题 3 的共轭类划分为 S 3 = C （ 1 ） ∪ C （ 12 ） ∪ C （ 123） ， 则 | S3 | = | C （ 1） | +| C （ 12） | +| C （ 123） | ． C （ 1） 是 S3 的中心， C （ 12） 、 C （ 123） 中元素均大 其中， 于 1 个． 将这个等式抽象到一般有限群 G 便可得到 类方程．
C2 ， …， Cm ， i = 1， 2， …， m， 为 C1 ， 且 | C i | = ci ， 于是 G | G | = c + c + … + c ． 有限群 的类方程 0 1 m 注： 类方程可应用于证明 Sylow 第一定理． 例 3 S3 的共轭类划分 S3 = C （ 1） ∪ C （ 12） ∪ C （ 123） ， 进一步考察共轭类中元素的正规化子 ， 得到 · 45·
第 33 卷第 10 期 2012 年 10 月
通化师范学院学报 JOURNAL OF TO． 33 №10 Oct． 2012
例谈由具体到抽象原则在近世代数教学中的应用
张桂颖， 李武明
（ 通化师范学院 数学学院， 吉林 通化 134002 ） 摘 要： 该文以 群 的 同 态 定 理、 有 限 群 论 中 Sylow 定 理的 探 求 为 例 介绍 在 近 世 代 数 教 学中 先 察 具体， 后 行 抽象 的 原 则， 便于学
［2 ］ 引理 1 有限群 G 的中心 C 的元素个数 c0 ， 别的 共轭类（ 如果存在， 每类中元素的个数都大于 1 ） 设
1
Sylow 定理的探求
三元对称群 S3 = ｛ （ 1 ） ，（ 12 ） ，（ 13 ） ，（ 23 ） ， （ 123 ） ，（ 132 ） ｝ ． A3 = ｛ （ 1 ） ，（ 123 ） ，（ 132 ） ｝ ， A3 是 S 3 的 | S3 | = 6 = 正规子群， 商群 S3 / A3 = ｛ A3 ，（ 12 ） A3 ｝ ， 例1 3 × 2， 观察发现有关于这三个群的一个命题 ． 命题 1 A3 是 S3 的正规子群，则 | S3 | = | A3 | ·
生更好的理解近世代数这门抽象学科中的基本内容． 关键词： 近世代数; 抽象; 具体 中图分类号： G642 文献标志码： A 文章编号： 1008 － 7974 ( 2012 ) 10 － 0045 － 02 收稿日期： 2012 － 03 － 02 作者简介： 张桂颖（ 1981 － ） ， 女， 吉林通化人， 硕士， 通化师范学院数学学院讲师．
N（ （ 1 ） ） = S3， ［ S3 ： N（ （ 1） ） ］ = | C （ 1） | ， N（ （ 12 ） ） = ｛ （ 1 ） ， （ 12 ） ｝ = ＜ （ 12 ） ＞ ， S3 ： N（ （ 12） ） ］ = | C （ 12） | ， ［ N（ （ 123 ） ） = ｛ （ 1 ） ， （ 12 ） ， （ 123 ） ｝ = ＜ （ 123 ） ＞ ， ［ S3 ： N（ （ 123） ） ］ = | C （ 123） | ． 由此可得到关于特殊群 S3 的一个命题． S3 ： N（ a） ］ = | G a | ． 命题 3 a ∈ C a S3 ， 有［ 进一步考虑用一般有限群 G 去替换特殊有限群 S3 命题是否仍然成立． G ： N（ a） ］ = | C a | ， 猜想 2 a ∈ C a G ， 有［ G 为任一有限群， G a 为元素 a 的共轭类． 其中， 1］中的引理 7 ． 10 ， 结论当然是肯定的， 即为［ 结 论可用于证明 Sylow 第一定理． 例 4 考察三元对称群 S3 的子群 N（ （ 12 ） ） = ｛ （ 1） ， （ 12 ） ｝ = ＜ （ 12 ） ＞ 的共轭子群类 C ＜ （ 12） ＞ = ｛ a ＜ （ 12 ） ＞ a －1 | a ∈ S3 ｝ = ｛ ＜ （ 12 ） ＞ ，＜ （ 13 ） ＞ ，＜ （ 23 ） ＞ ｝ ， C ＜ （ 123）
近世代数也叫抽象代数， 这门课程是数学与应 而且对于以 用数学专业必开的一门重要的基础课， 后攻读代数学方向硕士研究生的学生来说， 近世代 数功底的深厚也直接影响着他们今后的学习情况． 对于我们这类院校的学生来说， 近世代数具有严密 学生很难学透， 即使像 的逻辑性和特有的抽象性， 群、 子群、 环、 子环这样的基本概念， 学生要想真正掌 握也非常吃力． 许多学生对近世代数产生了畏难甚 至厌恶情绪， 再加上学时有限， 要想让学生在这有限 的学时内较好的掌握近世代数的内容要领， 在讲课 方法上必须仔细揣摩． 实际上对于大学的数学课都适合运用由具体到 抽象原则的讲课方法， 尤其对于抽象的近世代数课 程， 在讲解定义、 定理时更应采用这种方法． 所谓由 具体到抽象的原则是指先举出具体实例， 由具体实 例得出性质、 结论， 进而猜想抽象到一般情况是否成 立， 再利用逻辑推演证明其正确性， 若能按照这样的 思路来处理每一个问题， 势必会使学生感觉到近世 代数也不是那么难， 也是有例可寻的． 在近世代数中 一个常被我们做引例而学生又比较熟悉的群就是三 元对称群， 本文将以有限群论中 Sylow 定理的探求 为例介绍由具体到抽象的原则， 再简要介绍这一原 ［1 ］ 则在群的同态定理中的应用方式 ．