小学奥数教程-余数性质(三) (87) (含答案)
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【答案】 4
【例 3】 号码分别为 101,126,173,193 的 4 个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和 被 3 除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?
【考点】余数的加减法定理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算 101，126，173，193 除以 3 的余数分别为 2，0，2，1。
3.余数的乘法定理
a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以 c 所得的余数。 例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23×16 除以 5 的余数等于 3×1＝3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以 c 的余数。 例如：23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 23×19 除以 5 的余数等于 3×4 除以 5 的余数，即 2. 乘方：如果 a 与 b 除以 m 的余数相同，那么 an 与 bn 除以 m 的余数也相同．
但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式 2 两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往 可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题。
例题精讲
模块一、余数的加减法定理
【例 1】 幼儿园的老师给班里的小朋友送来 40 只桔子，200 块饼干，120 块奶糖。平均分发完毕，还剩 4 只桔子，20 块饼干，12 粒奶糖。这班里共有_______位小朋友。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。 例如：23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 23+19＝42 除以 5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数为 2
2.余数的加法定理
a 与 b 的差除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之差。 例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23－16＝7 除以 5 的余数等于 2，两个余数差 3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14 除以 5 的余数分别是 3 和 4，23－14＝9 除以 5 的余数等于 4，两个余数差为 3＋5－4＝4
那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用 2，0，2，1 两两相加除以 3 即可。显然 126 运动员打 5 盘 是最多的。 【答案】 5
【例 4】 有一个整数，用它去除 70，110，160 所得到的 3 个余数之和是 50，那么这个整数是______． 【考点】余数的加减法定理 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】小学数学奥林匹克 【解析】 (70 + 110 + 160) − 50 = 290 ， 50 ÷ 3 =16......2 ，除数应当是 290 的大于 17 小于 70 的约数，只可能是
5-5-3.余数性质（三）
教学目标
1. 学习余数的三大定理及综合运用 2. 理解弃 9 法，并运用其解题
知识来自百度文库拨
一、三大余数定理：
1.余数的加法定理
a 与 b 的和除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之和，或这个和除以 c 的余数。 例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23+16＝39 除以 5 的余数等于 4，即两个余数的和 3+1.
【考点】余数的加减法定理 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第 3 题，8 分 【解析】40-4=36，200-20=180，120-12=108。小朋友的人数应是 36，180，108 的大于 20 的公约数，只有
36。 【答案】 36
【例 2】 在 1995，1998，2000，2001，2003 中，若其中几个数的和被 9 除余 7，则将这几个数归为一组．这 样的数组共有______组．
二、弃九法原理
在公元前 9 世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一 个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是 这样进行的：
例如：检验算式1234 + 1898 + 18922 + 678967 + 178902 = 889923 1234 除以 9 的余数为 1 1898 除以 9 的余数为 8 18922 除以 9 的余数为 4 678967 除以 9 的余数为 7 178902 除以 9 的余数为 0 这些余数的和除以 9 的余数为 2 而等式右边和除以 9 的余数为 3，那么上面这个算式一定是错的。 上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几 个加数除以 9 的余数的和再除以 9 的余数一定与等式右边和除以 9 的余数相同。
【考点】余数的加减法定理 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】少年数学智力冬令营 【解析】1995，1998，2000，2001，2003 除以 9 的余数依次是 6，0，2，3，5．因为 2 + 5 = 2 + 5 + 0 = 7 ，
2 + 5 + 3 + 6 = 0 + 2 + 5 + 3 + 6 = 7 + 9 ， 所 以 这 样 的 数 组 共 有 下 面 4 个 ： (2000, 2003) ， (1998, 2000, 2003) ， (2000, 2003, 2001,1995) ， (1998, 2000, 2003, 2001,1995) ．
5-5-3.余数性质（一）.题库
教师版
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而我们在求一个自然数除以 9 所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的 各个位数字之和除以 9 的余数就可以了，在算的时候往往就是一个 9 一个 9 的找并且划去，所以这种方法被 称作“弃九法”。
所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模 9 同余于它的各数位上数字之和。 以后我们求一个整数被 9 除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被 9 除的余数 即可。 利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用 注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。 例如：检验算式 9+9=9 时，等式两边的除以 9 的余数都是 0，但是显然算式是错误的
【例 3】 号码分别为 101,126,173,193 的 4 个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和 被 3 除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?
【考点】余数的加减法定理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算 101，126，173，193 除以 3 的余数分别为 2，0，2，1。
3.余数的乘法定理
a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以 c 所得的余数。 例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23×16 除以 5 的余数等于 3×1＝3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以 c 的余数。 例如：23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 23×19 除以 5 的余数等于 3×4 除以 5 的余数，即 2. 乘方：如果 a 与 b 除以 m 的余数相同，那么 an 与 bn 除以 m 的余数也相同．
但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式 2 两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往 可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题。
例题精讲
模块一、余数的加减法定理
【例 1】 幼儿园的老师给班里的小朋友送来 40 只桔子，200 块饼干，120 块奶糖。平均分发完毕，还剩 4 只桔子，20 块饼干，12 粒奶糖。这班里共有_______位小朋友。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。 例如：23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 23+19＝42 除以 5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数为 2
2.余数的加法定理
a 与 b 的差除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之差。 例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23－16＝7 除以 5 的余数等于 2，两个余数差 3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14 除以 5 的余数分别是 3 和 4，23－14＝9 除以 5 的余数等于 4，两个余数差为 3＋5－4＝4
那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用 2，0，2，1 两两相加除以 3 即可。显然 126 运动员打 5 盘 是最多的。 【答案】 5
【例 4】 有一个整数，用它去除 70，110，160 所得到的 3 个余数之和是 50，那么这个整数是______． 【考点】余数的加减法定理 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】小学数学奥林匹克 【解析】 (70 + 110 + 160) − 50 = 290 ， 50 ÷ 3 =16......2 ，除数应当是 290 的大于 17 小于 70 的约数，只可能是
5-5-3.余数性质（三）
教学目标
1. 学习余数的三大定理及综合运用 2. 理解弃 9 法，并运用其解题
知识来自百度文库拨
一、三大余数定理：
1.余数的加法定理
a 与 b 的和除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之和，或这个和除以 c 的余数。 例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23+16＝39 除以 5 的余数等于 4，即两个余数的和 3+1.
【考点】余数的加减法定理 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第 3 题，8 分 【解析】40-4=36，200-20=180，120-12=108。小朋友的人数应是 36，180，108 的大于 20 的公约数，只有
36。 【答案】 36
【例 2】 在 1995，1998，2000，2001，2003 中，若其中几个数的和被 9 除余 7，则将这几个数归为一组．这 样的数组共有______组．
二、弃九法原理
在公元前 9 世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一 个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是 这样进行的：
例如：检验算式1234 + 1898 + 18922 + 678967 + 178902 = 889923 1234 除以 9 的余数为 1 1898 除以 9 的余数为 8 18922 除以 9 的余数为 4 678967 除以 9 的余数为 7 178902 除以 9 的余数为 0 这些余数的和除以 9 的余数为 2 而等式右边和除以 9 的余数为 3，那么上面这个算式一定是错的。 上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几 个加数除以 9 的余数的和再除以 9 的余数一定与等式右边和除以 9 的余数相同。
【考点】余数的加减法定理 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】少年数学智力冬令营 【解析】1995，1998，2000，2001，2003 除以 9 的余数依次是 6，0，2，3，5．因为 2 + 5 = 2 + 5 + 0 = 7 ，
2 + 5 + 3 + 6 = 0 + 2 + 5 + 3 + 6 = 7 + 9 ， 所 以 这 样 的 数 组 共 有 下 面 4 个 ： (2000, 2003) ， (1998, 2000, 2003) ， (2000, 2003, 2001,1995) ， (1998, 2000, 2003, 2001,1995) ．
5-5-3.余数性质（一）.题库
教师版
page 1 of 7
而我们在求一个自然数除以 9 所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的 各个位数字之和除以 9 的余数就可以了，在算的时候往往就是一个 9 一个 9 的找并且划去，所以这种方法被 称作“弃九法”。
所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模 9 同余于它的各数位上数字之和。 以后我们求一个整数被 9 除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被 9 除的余数 即可。 利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用 注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。 例如：检验算式 9+9=9 时，等式两边的除以 9 的余数都是 0，但是显然算式是错误的