2-单自由度受迫振动解析

2
2.1 简谐激励下的受迫振动
所谓简谐激励就是正弦或余弦激励。
2.1.1 振动微分方程及其解
设单自由度黏滞阻尼系统受到的激励为 F(t)=F0sinwt ，这里 w为激振频率，利用牛顿 定律并引入阻尼比z 可得到
F0 x 2wnz x w x sin wt m
2 n
第2章 单自由度系统的受迫振动
第2章 单自由度系统的受迫振动
4
因此方程的全解为：
x(t ) e
zwn t
( A cos wn 1 z t
2
2
B sin wn 1 z t ) X sin(w t )
系数A和B由初始条件确定。
设 t＝ 0 时 ,
x 0 x x0 , x
则：
A x0 X sin x0 zwn Xw ( x0 X sin ) cos B wd w d wd
求得C和为
C (1 ) (2z )
2 2
2
2z arctan 1 2
第2章 单自由度系统的受迫振动 2.1 简谐激励下的受迫振动
12
确定C和后得到
F0 F0 1 iwt iwt z H (w )e H ( w ) e k k Cei
*

F0 / k (1 ) (2z )
2 2 2
ei (wt )
F0 H (w ) ei (wt ) k
Xei (wt )
第2章 单自由度系统的受迫振动 2.1 简谐激励下的受迫振动
13
这里的X与和前面给出的结果一样，即
X
F0 / k (1 2 ) 2 (2z ) 2
2z arctan 1 2
第2章 单自由度系统的受迫振动 2.1 简谐激励下的受迫振动
5
所以黏滞阻尼在正弦激励作用下的响应
（解）最终表示为：
x0 zwn x0 xe sin wd t x0 cos wd t wd zwn t zwn sin w cos Xe sin wd t sin cos wd t wd
zwnt
X cos(w t )
8
第2章 单自由度系统的受迫振动
2.1 简谐激励下的受迫振动
无阻尼系统的响应（解）
正弦激励 余弦激励
x

wn
x0
sin wnt x0 cos wnt x
sin wn t
wn
x0
sin wnt x0 cos wnt
kwn (1 )
2
w F0
而强迫振动部分才是我们最关心的。
第2章 单自由度系统的受迫振动
2.1 简谐激励下的受迫振动
7
若为余弦激励, 则响应（解）为：
x0 zwn x0 xe sin wd t x0 cos wd t wd zwnt zwn cos w sin Xe sin wd t cos cos wd t wd
zwnt
X sin(w t )
第2章 单自由度系统的受迫振动
2.1 简谐激励下的受迫振动
6
上述解的第一部分代表由初位移和初速
度引起的自由振动，第二部分代表由干扰
力引起的自由振动，它们都是衰减振动，
随时间的推移而消失，称为瞬态响应或暂 态响应； 最后只剩下第三部分，代表与激振力同 形式的等幅的强迫振动，称为稳态响应，
H(w) 称为复频率响应函数，是系统对频 率为w 的单位谐干扰力的复响应的振幅。
第2章 单自由度系统的受迫振动 2.1 简谐激励下的受迫振动
11
令 1 2 2iz Cei
则 1 2 2iz C (cos i sin ) 比较系数得
1 2 C cos 2z C sin
分别取 z* 式的实部和虚部就是对应于 余弦和正弦激励的稳态响应。
第2章 单自由度系统的受迫振动
2.1 简谐激励下的受迫振动
14
2.1.3 稳态响应分析
1. 幅频特性曲线
对于稳态响应 x*(t)=Xsin(wt －)，定义动
力放大系数b 为响应的振幅X与最大干扰力F0
所引起的静位移的比值：
X 1 b H (w ) F0 / k (1 2 ) 2 (2z ) 2
2 n
其实部和虚部分别分别代表余弦和
正弦激励。令其特解为
z Ze
*
iw t
第2章 单自由度系统的受迫振动
2.1 简谐激励下的受迫振动
10
代入方程得到
F0 / m iw t z e 2 2 w 2izwnw wn F0 iw t H (w ) e k
*
Байду номын сангаас
其中
1 H (w ) 2 1 2iz
2.1 简谐激励下的受迫振动
3
齐次方程的通解上章已经给
出。设其特解为：
x* (t ) X sin(wt )
代入方程确定系数X和为：
X
F0 / k (1 ) (2z )
2 2 2
,
2z arctan 2 1
其中：
w wn
为频率比。
2.1 简谐激励下的受迫振动
第2章 单自由度系 统的受迫振动
第2章 单自由度系统的受迫振动
1
上一章研究的自由振动只是系统对
初始扰动 ( 初始条件 ) 的响应。由于阻
尼的存在,振动现象很快就会消失。
要使物体作持续的振动，必须有外
界激励输入给系统以补充阻尼消耗的
能量。
系统在外部激励作用下的振动称为
受迫振动或强迫振动。
第2章 单自由度系统的受迫振动
以z为参数，画出b－ 曲线即幅频特性曲线， 表明了阻尼和激振频率对响应幅值的影响。
第2章 单自由度系统的受迫振动 2.1 简谐激励下的受迫振动
15
第2章 单自由度系统的受迫振动
2.1 简谐激励下的受迫振动
F0 cos wn t 2 k (1 )
F0 cos w t 2 k (1 )
2.1 简谐激励下的受迫振动
F0 sin w t 2 k (1 )
第2章 单自由度系统的受迫振动
9
2.1.2 复数解法(稳态响应)
将振动方程写为复数形式
F0 iw t z 2wnz z w z e m