高中数学-向量的加法运算及其几何意义
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向量1.将加向法量的平平移行到同四一边起形点法物则理: 模型“位移的合成”理解.
2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线
问题a：除了b 零向量，有没有不能用平行四 边形法则求和向量的情况？
r 对于零向量与任一向量a,我们规定
rrrr r a0 0a a
向量加 法
特例：共线向量
a b
讲授新课
4. 你能证明向量加法的结合律:
D
A
C
B
讲授新课
4. 你能证明向量加法的结合律:
D
A
C
B
向量加法满足交换律和结合律
(1)向量加法交r换律r： r r ab ba
(2)向量加法结合律：
rr r r r r (a+b)+c a (b c)
以上两个运算律可以推广到任意多个 向量.
D (a + b) + c
课堂小结：
向量加法的物理背景
三角形法则
向量的加法运算
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法实际应用
向量加法
向量加 法
下课 !!!!!!!! 课后作业:A本51页~54页
向量加法
A
B
AC a b
方向相同
a b
C
CA
B
AC a b
方向相反
请选用合适符号连接：
rr
rr
a b ____ a b(<,>, ,, )
rr 非零向量a,b处于什么位置时？
r r r r rr
探究 (1) a b a b a，b不共线或共线反向
r r r r rr (2) a b a b a，b共线且同向
(><) O
三角形法则
平行四边形法则
(><) O
复习回顾：
uuur r 向量的表示：AB或a
有向线段
向量
向量的大小 (长度、模)
向量的方向
单位向量 与零向量
相等向量与 平行向量 相反向量 (共线向量)
既有大小又有方向的量叫向量； 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.
向量加 法
日常生活中遇到的向量加法问题:
问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
E
O
F1+F2=F
E
O
F
力F对橡皮条产生的效果，与力F1和F2共同作用产 生的效果相同，物理学中把力F叫做F1和F2的合力.
向量加法
向量加 法
例如:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
E
O
F1+F2=F
F是以F1与F2为邻边所形成的 平行四边形的对角线
E
O
F
向量加 法
向求算量,两叫加个做法向向的量量定ar的,br义加的:法我和,们的ar 把运br
叫做
rr a, b
的和向量.
向量加法
向 量
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
加
法
的 定
a
b
义
C
C
B
B
A
A
uuur uuur uuur
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之们有联系吗?
向量加 法
方法巩固:
向量加 法
向量加法的三角形法则可
向量加法的三角形法则:
推广到多个向量相加，如： uuur uuur uuur uuur uuur uuur
1.将向量平移使得它们首尾AB相连BC CD DE EF AF ，
2.和向量即是第一个向量的这首时指也向必第须二“个首向尾量相的连尾”.可结合
20km.
rr r r
rr
2.若a，b满足 a 3，b 5，求 a b 的
rr 最大值，并指出a，b满足什么条件时? rr a b 取到最大值.
1、（1）
ab
书本84页课堂练习
（2）
b
b
ab b
a
（3） a b b
a
a
（4） a b
b
a
b
b
2、（1）
b
ab
ba
（2） b
a
ab
a
向向量量加加法法
O
AB BC AC
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之们有联系吗?
向量加法
向量加法
向 量
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
加
法
的 定
a
b
义
三 角 形 法 则:
平行四边形法则:
C
C
b
B
B
b
b
A
A
a
O
a
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.
力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.
例如:某人从A点向东走到B.然后从B点向北走到C. 思考:这个人所走过的位移是多少?
分析 :由物理知识可以知道:
C
从A点到B点然后到C点的 合位移,就是从A点到C点 的位移.
AB + BC = AC
A
B
向量加法
向量加 法
例如:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点.
同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
讲授新课
4. 你能证明向量加法的结合律:
D
A
C
B
讲授新课
4. 你能证明向量加法的结合律:
D
A
C
B
讲授新课
4. 你能证明向量加法的结合律:
D
A
C
B
讲授新课
4. 你能证明向量加法的结合律:
D
A
C
B
讲授新课
4. 你能证明向量加法的结合律:
D
A
C
B
讲授新课
4. 你能证明向量加法的结合律:
D
A
C
B
向量加 法
求船实际航行的速度的大小和方向
？ 解：如图，设 AB表示水流的 速度，AD表示渡船的速度， AC表示渡船实际过 江的速度.(由平行四边形
D
C
5
法则可以得到)
A B 船从由南AuB岸 uur的AD码得R头tAABC点, 出发到达对
2
岸 码的 头得t码aCnA头点 CCA能 CB 2点 否252,， 回 查52计照 到算这 码 2器9 可种 头得走AC法点 AB，？ 6从8.
A
向量加 法
D
a
C
b
b a+b
B
cA
C
a D
c
C
a+b a
a + (b + c) b
B A
b+c b
B a
向量加 法
向量加 法
学以致用
例１.化简 (1)AB CD BC ___A_D____
(2) MA BN AC CB __M__N____ uuur uuur uuur uuur
(3)AB BD CA DC __0___
向量加法
例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常 常通过轮渡进行运输.一艘船从长江南 岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于 对岸的方向行驶,同时江水的速度为向 东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及 船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度的大小和方向.
答：船实际航行速度的大小为 29km/h，方向为东偏北68.
向量加 法
探究
若水流速度和船速的大小保持不变, 最后要能使渡船垂直过江,则船的 航向应该如何?在白纸上作图探究.
D
C
5
A2 B
向量加 法
练习r题
1.若a表示“向南走10km”，
r
b表示“向西走10 3km”，
r 则a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
br表示向__南_偏__西__60_.走
rr r r (3) a b a b
rr
rr
a，b反向且 a b
r r r r rr
rr
(4) a b b a a，b反向且 a b
讲授新课
3. 加法的交换律和平行四边形法则
(1)向量加法的平行四边形法则
（对于两个向量共线不适应）
(2)向量加法的交换律：
D
C
B
讲授新课
4. 你能证明向量加法的结合律:
2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线
问题a：除了b 零向量，有没有不能用平行四 边形法则求和向量的情况？
r 对于零向量与任一向量a,我们规定
rrrr r a0 0a a
向量加 法
特例：共线向量
a b
讲授新课
4. 你能证明向量加法的结合律:
D
A
C
B
讲授新课
4. 你能证明向量加法的结合律:
D
A
C
B
向量加法满足交换律和结合律
(1)向量加法交r换律r： r r ab ba
(2)向量加法结合律：
rr r r r r (a+b)+c a (b c)
以上两个运算律可以推广到任意多个 向量.
D (a + b) + c
课堂小结：
向量加法的物理背景
三角形法则
向量的加法运算
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法实际应用
向量加法
向量加 法
下课 !!!!!!!! 课后作业:A本51页~54页
向量加法
A
B
AC a b
方向相同
a b
C
CA
B
AC a b
方向相反
请选用合适符号连接：
rr
rr
a b ____ a b(<,>, ,, )
rr 非零向量a,b处于什么位置时？
r r r r rr
探究 (1) a b a b a，b不共线或共线反向
r r r r rr (2) a b a b a，b共线且同向
(><) O
三角形法则
平行四边形法则
(><) O
复习回顾：
uuur r 向量的表示：AB或a
有向线段
向量
向量的大小 (长度、模)
向量的方向
单位向量 与零向量
相等向量与 平行向量 相反向量 (共线向量)
既有大小又有方向的量叫向量； 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.
向量加 法
日常生活中遇到的向量加法问题:
问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
E
O
F1+F2=F
E
O
F
力F对橡皮条产生的效果，与力F1和F2共同作用产 生的效果相同，物理学中把力F叫做F1和F2的合力.
向量加法
向量加 法
例如:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
E
O
F1+F2=F
F是以F1与F2为邻边所形成的 平行四边形的对角线
E
O
F
向量加 法
向求算量,两叫加个做法向向的量量定ar的,br义加的:法我和,们的ar 把运br
叫做
rr a, b
的和向量.
向量加法
向 量
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
加
法
的 定
a
b
义
C
C
B
B
A
A
uuur uuur uuur
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之们有联系吗?
向量加 法
方法巩固:
向量加 法
向量加法的三角形法则可
向量加法的三角形法则:
推广到多个向量相加，如： uuur uuur uuur uuur uuur uuur
1.将向量平移使得它们首尾AB相连BC CD DE EF AF ，
2.和向量即是第一个向量的这首时指也向必第须二“个首向尾量相的连尾”.可结合
20km.
rr r r
rr
2.若a，b满足 a 3，b 5，求 a b 的
rr 最大值，并指出a，b满足什么条件时? rr a b 取到最大值.
1、（1）
ab
书本84页课堂练习
（2）
b
b
ab b
a
（3） a b b
a
a
（4） a b
b
a
b
b
2、（1）
b
ab
ba
（2） b
a
ab
a
向向量量加加法法
O
AB BC AC
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之们有联系吗?
向量加法
向量加法
向 量
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
加
法
的 定
a
b
义
三 角 形 法 则:
平行四边形法则:
C
C
b
B
B
b
b
A
A
a
O
a
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.
力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.
例如:某人从A点向东走到B.然后从B点向北走到C. 思考:这个人所走过的位移是多少?
分析 :由物理知识可以知道:
C
从A点到B点然后到C点的 合位移,就是从A点到C点 的位移.
AB + BC = AC
A
B
向量加法
向量加 法
例如:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点.
同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
讲授新课
4. 你能证明向量加法的结合律:
D
A
C
B
讲授新课
4. 你能证明向量加法的结合律:
D
A
C
B
讲授新课
4. 你能证明向量加法的结合律:
D
A
C
B
讲授新课
4. 你能证明向量加法的结合律:
D
A
C
B
讲授新课
4. 你能证明向量加法的结合律:
D
A
C
B
讲授新课
4. 你能证明向量加法的结合律:
D
A
C
B
向量加 法
求船实际航行的速度的大小和方向
？ 解：如图，设 AB表示水流的 速度，AD表示渡船的速度， AC表示渡船实际过 江的速度.(由平行四边形
D
C
5
法则可以得到)
A B 船从由南AuB岸 uur的AD码得R头tAABC点, 出发到达对
2
岸 码的 头得t码aCnA头点 CCA能 CB 2点 否252,， 回 查52计照 到算这 码 2器9 可种 头得走AC法点 AB，？ 6从8.
A
向量加 法
D
a
C
b
b a+b
B
cA
C
a D
c
C
a+b a
a + (b + c) b
B A
b+c b
B a
向量加 法
向量加 法
学以致用
例１.化简 (1)AB CD BC ___A_D____
(2) MA BN AC CB __M__N____ uuur uuur uuur uuur
(3)AB BD CA DC __0___
向量加法
例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常 常通过轮渡进行运输.一艘船从长江南 岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于 对岸的方向行驶,同时江水的速度为向 东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及 船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度的大小和方向.
答：船实际航行速度的大小为 29km/h，方向为东偏北68.
向量加 法
探究
若水流速度和船速的大小保持不变, 最后要能使渡船垂直过江,则船的 航向应该如何?在白纸上作图探究.
D
C
5
A2 B
向量加 法
练习r题
1.若a表示“向南走10km”，
r
b表示“向西走10 3km”，
r 则a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
br表示向__南_偏__西__60_.走
rr r r (3) a b a b
rr
rr
a，b反向且 a b
r r r r rr
rr
(4) a b b a a，b反向且 a b
讲授新课
3. 加法的交换律和平行四边形法则
(1)向量加法的平行四边形法则
（对于两个向量共线不适应）
(2)向量加法的交换律：
D
C
B
讲授新课
4. 你能证明向量加法的结合律: