电磁场习题4

4-21 两根通有反向电流I的平行无限长直圆导线,截面 半径均为R,轴线间距离为D.试求两导线轴线所在的平 面上,两导线以外的磁感应强度B. 解:任意点
0I 0I B=( + )ey 2πx 2π (D x)
4-23 有一截面为方形的铁质螺线环,其圆环内半径 R1=6cm,外半径R2=9cm,环的厚度b=3cm.其上均匀密 绕线圈w = 8000匝.当这个线圈通入I = 0.1A的电流,并 设这样磁化下铁质的磁导率可视为常数,且r = 500. 试计算螺线环内的磁通.并比较这时的平均磁感应强度 与截面中心线上的磁感应强度. 解: B 2πr = wI, B = wI 2πr R2 wIb wIb R2 3 ∴Φ = ∫ dr = ln = 0.973×10 wb R 1 2πr 2π R 1 截面中心线上的磁感应强度 wI 4π ×107 ×8000×0.1 B= = =1.067T 2 2πr 2π ×7.5×10
0I 0Ih b Φ= ∫ hdr = ln a 2 r π 2π a w20Ih b ∴Ψ = wΦ = ln 2π a Ψ w20h b ∴L = = ln I 2π a
b
(2)计算环形线圈储存的磁场能. 2 1 1 NI 2 线圈内部能量密度 wm = 0H = 0 2 8 πr 线圈内部总能量 2 2 b1 2π h 0 2 2 NI 0 ∫ dr∫ dα∫ dz = N I hln[b / a] Wm = 2 a r 0 0 8π 4π 1 2 或 W = LI
2 2 R3 r2 0I R3 r2 I' dr ∴dΨ外 = Bdr = 2 × i 2 2 2 I R3 R2 2πr R3 R2 4 2 0I R3 2R3 r2 + r4 dr = 2 2 2 2πr (R3 R2 )
∴Ψ外 = ∫ i
R3
R2
4 2 2 0I R3 R3 3R3 R2 dΨ外 = ln 2 i 2 2 2 2 2π (R3 R2 ) R2 4(R3 R2 )
A = x ex 3x yey
3 2
B 1 δ = × H = × = ×(× A) 0 0 1 1 3 2 = × × x ex 3x yey = ( 6xex + 6yey )
0
[ (
1
)]
0
或δ = = 1
0
A=
2 x y
[e (x )+ e (3x y)]
1
2 3 2 2 x y 0
习 题
4
补充例4 补充例4-1 分别求出图示各种形状的线电流在真空中所产生 的磁感应强度. 的磁感应强度. b I P R (a) a P I I (b) P R (c)
解:(a)B = a)
0 I
2R
,方向自 点进入纸面 P
2
0 I 2 b (b)B = a + πab 2
P ,方向自 点进入纸面
W L= 2 I 2
4 2 2 0 0 R2 0 R3 R3 3R3 R2 = + ln + ln 2 2 2 2 8π 2π R 2π (R3 R2 )2 R2 4(R3 R2 ) 1
4-43 若矢量磁位 A = x3ex 3x2 yey ,媒质的磁导率为0, 试求电流密度的分布. 解:
2 I R3 r2 4-26 已知某区域磁场强度 H = 2 e 2 α 2πr R3 R2
试求该区域的电流密度. 解:
er 1 × H = r r 0 eα α 2 I R3 r2 r 2 2 2πr R3 R2 ez 2 1 I R3 r2 = ez (r ) 2 2 z r r 2πr R3 R2 0
(
)
(
)
4-36 用磁场能量重新计算内导体的半径为R1,外导体 的内外半径分别Biblioteka BaiduR2,R3的同轴电缆单位长度的自感. 解:
1 2 1 2 W = LI = ∫∫∫ H dV v2 2 2 R 1 R2 1 R3 1 R3 r2 2 Ir 2 I 2 1 = ∫ 0 ( ) 2πrdr + ∫ 0 ( ) 2πrdr + ∫ 0 ( 2 I ) 2πrdr 2 2 0 2 R 2 R2 2 1 2πR 2πr R3 R2 R 1 = ...
m
2
�
I = ez 2 2 π R3 R2
(
)
4-33 计算同轴电缆的单位长度的自感.其内导体半径 为R1,外导体的内,外半径分别是R2,R3.提示:同轴 电缆内外导体流过反向电流,须在计算外导体的内自感 时予以留心. 解: 单位长度的自感 L = Le + Li = Le + Li内 + Li外 0 0 R2 Ψ R2 0I Li内 = Le = = ∫ dr = ln R1 2 r 8π I π 2π R1 2 2 0 I (r2 R2 ) 0I R3 r2 当 R2 rR3 B = = I 2 2 2 2 2πr R3 R2 2πr R3 R2
4 2 2 Ψ外 0 R3 R3 3R3 R2 ∴Li外 = i = ln 2 2 2 2 2 I 2π R3 R2 R2 4 R3 R2
(
)
(
)
4 2 2 R3 3R3 R2 0 0 R2 0 R3 L= + ln + ln 2 2 2 2 2 8π 2π R 2π R3 R2 R2 4 R3 R2 1
0
(6xe + 6ye )
课堂练习 如图所示环形线圈,横截面为长方形的铝质 螺线环,其铁心内,外半径分别a和b,环厚度为h,环 上绕有N匝线圈,计算(1)自感;(2)当线圈通以电 流I时,线圈储存的磁场能.
解: (1)应用安培定律得圆环内部磁场强度
0 NI NI H= eα , B = eα (a ≤ r ≤ b) 2πr 2πr
平均磁感应强度
R2 wI 1 B= ∫R1 2πr dr R2 R 1
或
1 4π ×10 ×8000×0.1 9 = × ln 2 3×10 2π 6 =1.081 T 3 Φ 0.973×10 B= = =1.081 T 2 S 3×102
7
(
)
平均磁感应强度与截面中心线上的磁感应强度近似相等!
12
0 I 1 1 (c)B = ( + ),方向自 点进入纸面 P 2R 2 π
4-18 无限长直导线通以电流I,矩形ABCD与之共平面, 且AB边平行于导线.其中AB=CD=a,BF=DA=b,AB边 到导线距离为d,CD边到导线距离为d+b.求通过矩形 ABCD的磁通. 解:
0I Φ = ∫ B dS = ∫ eα dS S S 2 r π d +b I 0 =∫ adr d 2πr 0Ia d + b = ln 2π d