勾股定理的应用(人教版)(含答案)
人教版八年级下 第十八章 勾股定理应用综合题汇编(详细答案)
勾股定理应用综合题汇编一．解答题（共29小题）1．如图所示，缉毒警方在基地B处获知有贩毒分子分别在P岛和M岛进行毒品交易后，缉毒艇立即出发，已知甲艇沿北偏东60°方向以每小时40海里的速度前进，乙艇沿南偏东30°方向以每小时30海里的速度前进，半小时后甲到M岛，乙到P岛，则M岛与P岛之间的距离是多少？2．小明家有一块三角形菜地，量得两边长分别为80米，100米，第三边上的高为60米，请你帮小明计算这块菜地的面积．3．如图，一探险者在某海岛探宝，登陆后，先往东走了8千米，又往北走了2千米，又向西走了3千米，再又向北走了6千米，往东一拐，仅走了1千米就找到了宝藏，试问：他走的是最近的路吗？如果是，请求出这个路线长；如果不是，请在图上画出最近的路线，并求出最近的路线长．4．如图，在笔直的某公路上有A、B两点相距50km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=30km，CB=20km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？5．如图，一艘渔政船从小岛A处出发，向正北方向以每小时20海里的速度行驶了1.5小时到达B处执行任务，再向正东方向以相同的速度行驶了2小时到达C处继续执行任务，然后以相同的速度直接从C处返回A处．（1）分别求AB、BC的长；（2）问返回时比出去时节省了多少时间？6．如图，一块草坪的形状为四边形ABCD，其中∠B=90°，AB=8m，BC=6m，CD=24m，AD=26m．求这块草坪的面积．7．如图，斜坡AC=8米，∠CAD=30°．坡顶有一旗杆BC（旗杆与地面AD垂直），旗杆顶端B点与A点有一彩带AB相连，AB=10米．试求旗杆BC的高度？（结果保留根号）8．如图所示，在3米高的柱子顶端A处有一只老鹰，它看到一条蛇从距柱脚9米B处向柱脚的蛇洞C游来，老鹰立即扑下，如果它们的速度相等，问老鹰在距蛇洞多远处捉住蛇？（设老鹰按直线飞行）9．如图，为修铁路需凿通隧道AC，测得∠A=50°，∠B=40°，AB=5km，BC=4km，若每天凿隧道0.3km，问几天才能把隧道凿通？10．如图，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB．11．如图所示，有高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，那么地毯至少需要多少米？12．（2008•义乌市）如图，小明用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为3米，DE 为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米，≈1.732）13．（2005•双柏县）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？14．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？15．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD 是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？16．印度数学家什迦逻（1141年﹣1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅”请用学过的数学知识回答这个问题．17．如图，小强在江南岸选定建筑物A，并在江北岸的B处观察，此时，视线与江岸BE所成的夹角是30°，小强沿江岸BE向东走了500m，到C处，再观察A，此时视线AC与江岸所成的夹角∠ACE=60°．根据小强提供的信息，你能测出江宽吗？若能，写出求解过程（结果可保留根号）；若不能，请说明理由．18．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？19．甲、乙两人在沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6千米/时速度向东南方向行走，1小时后乙出发，他以5千米/时速度向西南方向行走，上午10：00时，甲、乙两人相距多远？20．如图是一个长方体盒子，棱长AB=3cm，BF=3cm，BC=4cm．（1）连接BD，求BD的长；（2）一根长为6cm的木棒能放进这个盒子里去吗？说明你的理由．21．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？22．在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发．现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？23．如图，小丽荡秋千，秋千架高2.4米，秋千座位离地0.4米，小红荡起最高时，坐位离地0.8米．此时小红荡出的水平距离是多少？（荡到秋千架两边的最高点之间的距离）24．如图，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm）．25．如图，一根竹竿在离地面5米处断裂，竹竿顶部落在离竹竿底部12米处，问竹竿折断之前有多长？26．如图，要测一池塘两端A、B的距离，请你利用三角形知识设计一个测量方案．要求：①简述测量方法；②画出示意图（原图画）；③用你测量的数据（用字母表示）表示AB，并说明理由，说明：池塘周围在同一高度，并且比较平坦．27．有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍”，请你计算后帮小明在标牌的▇填上适当的数字．28．如图，是一个长8m，宽6m，高5m的仓库，在其内壁的A（长的四等分点）处有一只壁虎，B（宽的三等分点）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少米．29．在△ABC中，AB=AC．（1）如图，若点P是BC边上的中点，连接AP．求证：BP•CP=AB2﹣AP2；（2）如图，若点P是BC边上任意一点，上面（1）的结论还成立吗？若成立，请证明、若不成立，请说明理由；（3）如图，若点P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的数量关系？画出图形，写出你的结论．（不必证明）答案与评分标准一．解答题（共29小题）1．如图所示，缉毒警方在基地B处获知有贩毒分子分别在P岛和M岛进行毒品交易后，缉毒艇立即出发，已知甲艇沿北偏东60°方向以每小时40海里的速度前进，乙艇沿南偏东30°方向以每小时30海里的速度前进，半小时后甲到M岛，乙到P岛，则M岛与P岛之间的距离是多少？考点：勾股定理的应用。
新人教版八年级上勾股定理的实际应用
B时，最短距离为 AB，此时， 由勾股定理，得 AB＝10，即所
用细线最短为 10cm.
聪明的葛藤 葛藤是一种刁钻的植物，
它自己腰杆不硬，为了得到 阳光的沐浴，常常会选择高 大的树木为依托，缠绕其树 干盘旋而上。如图(1)所示。
葛藤又是一种聪明的植
物，它绕树干攀升的路线， 总是沿着最短路径 ——螺旋
一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得
内部底面直径为5㎝，高为12㎝，吸管 放进杯里，杯口外面露出5㎝，问吸管要
做多长？
C
A
B
如图，将一根 25 ㎝长的细木棒放入长、 宽、高分别为8㎝、6㎝和10 ㎝的长方体 无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最 短长度是多少㎝．(保留1 位小数)
C
B
A
D
有一个圆柱,它的
研A
D
究
3.6 米
A B １. ２米O C
D
３. ６米 3米
B
OC
挑战“试一试”:
一辆装满货物的卡
车，其外形高 2.5 米，
宽1.6 米，要开进厂门 A
B
形状如图的某工厂， 米 问这辆卡车能否通过 2.3
该工厂的厂门 ? 说明理
由。
D
2米
C
一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 米，宽1.6 米
分析 由于厂门宽度足够,所 A
A
3
③ AB? （3＋2）2 ? 12 ? 26
A1
3
B
2
1
C B
1
2
C
B 2 C
如果长方形的长、宽、高分 别是a、b、c（a＞b＞c），则 从顶点A到B的最短线是：
a 2 ? (b ? c)2
勾股定理的实际应用(人教版)(含答案)
勾股定理的实际应用（人教版）一、单选题(共8道，每道10分)1.如图,这是一个供滑板爱好者使用的U型池,该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆,其边缘AB=CD=16,点E在CD上,CE=4,一滑板爱好者从A点滑到E点,则他滑行的最短距离为( )(π按3计算)A.15B.C. D.21答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面展开最短路径问题2.如图,圆柱底面半径为,高为9cm,点A,B分别是圆柱两底面圆周上的点,且点A,B在同一母线上,用一根棉线从点A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点,则这根棉线的长度最短为( )A.12cmB.C.15cmD.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面展开最短路径问题3.如图是一个三级台阶,它的每一级的长,宽和高分别为50寸,30寸和10寸,A和B是这个台阶的两个相对端点,A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物,则它所走的最短路线长是( )A.13寸B.40寸C.130寸D.169寸答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面展开最短路径问题4.如图,一只蚂蚁从长、宽都是6,高是16的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点,那么它所爬行的最短路线的长为( )A.20B.22C.28D.18答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面展开最短路径问题5.如图,一个直径为8cm的杯子,在它的正中间竖直放一根筷子,筷子露出杯子外1cm.当筷子倒向杯壁时(筷子底端不动),若筷子顶端刚好触到杯口,则筷子长度和杯子的高度分别为( )cm.A.8,7B.8.5,7.5C.9,8D.10,9答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用6.如图,将一根木棒垂直或倾斜的放进长、宽、高分别为12cm,4cm,3cm的水箱中,能放入水箱内木棒的最大长度为( )cm.A.13B.12C.15D.16答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用7.一辆卡车装满货物后宽3.2米,这辆卡车要通过如图所示的隧道(上方是一个半圆,下方是边长为4米的正方形),则装满货物后卡车的最大高度为( )米.A.5.2B.5.8C.7.6D.5.4答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理应用之拱桥问题8.某工厂大门形状如图所示,其上部分为半圆,工厂门口的道路为双行道(双行道中间隔离带忽略不计).要想使宽为1.5米,高为3.1米的卡车安全通过,那么此大门的宽度至少应增加( )米.A.1.7B.2C.0.3D.1答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理应用之拱桥问题二、填空题(共2道，每道10分)9.如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为16cm，BC是上底面的直径．一只昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则昆虫爬行的最短路程为____cm．答案：20解题思路：试题难度：知识点：平面展开最短路径问题10.如图，长方体的长、宽、高分别为4cm，2cm，5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为____cm．答案：13解题思路：试题难度：知识点：平面展开最短路径问题。
人教版八年级数学下册《勾股定理》勾股定理在实际生活中的应用
第二十一章 一元二次方程：本章主要是掌握配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，并运用一元二次方程解决实际问题。本章重点是解一元二次方程的思路及具体方法。
（3）利用勾股定理等列方程； 本章的难点是解一元二次方程。
4.最后，就是冲刺阶段，也称为“备考篇”。在这一阶段，老师会将复习的主动权交给你自己。以前，学习的重点、难点、方法、思路都是以老师的意志为主线，但是，现在你要直接 、主动的研读《考试说明》，研究近年来的高考试题，掌握高考信息、命题动向。
小技巧 化非直角三角形为直角三角形 将实际问题转化为直角三角形模型
归纳小结
1、勾股定理： 如__果__直_角__三__角__形_的__两__直__角_边__长__分__别_为__a_,_b_,_斜_边__为__c.
那__么____________________________ 2、勾股定理有广泛的应用.
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
教学目标 1．会用勾股定理解决简单的实际问题． 2．树立数形结合的思想．
勾股定理的应用
例1：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m， 宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？ 为什么？
已知条件有哪些？
C
2m
A 1m B
1.木板能横着或竖着从门框通过吗？ 2.这个门框能通过的最大长度是多少？ 3.怎样判定这块木板能否通过木框？
3、学习反思：
____________________________ __________________ ____B
拓展迁移
在数轴上作出表示 20的点. 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?
人教版八年级下册数学 第17章 勾股定理—— 勾股定理的应用及折叠问题
勾股定理的应用及折叠问题（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．【能力提高篇】【经典例题】1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（）A．4B．4πC．8πD．82．如图，已知直角三角形的三边长分别为a、b、c，以直角三角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形．那么，这四个图形中，其面积S1、S2、S3满足S1+S2＝S3的个数是（）A．1B．2C．3D．43．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2…依此法继续作下去，得OP2017＝（）A．B．C．D．4．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面积是6，小正方形的面积是2，求（a+b）2的值．5．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）），图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为3，求S1+S2+S3的值．6．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？7．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的）8．如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了100km到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点D是边BC上一点．若沿AD将△ACD翻折，点C 刚好落在AB边上点E处，则BD＝．10．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则BE的长是（）A．3 B．4 C．5 D．611．矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，点D正好落在AB边上的F点．则AE的长是（）A．3B．4C．5D．612．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AB边上，将纸片沿CE折叠，点B落在点F处，EF，CF分别交AD于点G，H，且EG＝GH，则AE的长为（）A．B．1C．D．213．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2。
2023-2024学年人教版 八年级数学下册17.1勾股定理第2课时勾股定理的应用作业课件
10．如图，一只蚂蚁从点 A 出发，沿底面边长为 10 cm，侧棱长为 16 cm 的正四棱 柱的侧面到点 B 处吃食物，则它需要爬行的最短路径的长是__4___4_1__cm.
二、解答题(共 22 分) 11．(10 分)如图所示，某住宅小区在相邻两楼之间修建了一个上方是一个半圆，下 方是长方形的仿古通道．现有一辆卡车装满家具后高 4 m，宽 2.4 m，请问这辆卡车能 否通过这个通道？
A．17 m B．18 m C．25 m D．26 m 4．(4 分)如图，在水塔 O 的东北方向 32 m 处有一抽水站 A，在水塔的东南方向 24 m 处有一建筑工地 B，现要在 A，B 间建一条直水管，则水管的长度至少应为_4_0__m.
5．(4 分)如图，有两棵树，一棵高 10 m，另一棵高 5 m，两树相距 12 m．一只小 鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行__1_3_m．
(2)设 BF 上点 D，G，使 AD＝AG＝200 km，∴△ADG 是等腰三角形，∵AC⊥BF， ∴AC 是 DG 的垂直平分线，∴CD＝GC，在 Rt△ADC 中，DA＝200 km，AC＝160 km， 由勾股定理得，CD＝ DA2－AC2 ＝ 2002－1602 ＝120(km)，则 DG＝2DC＝240(km)， 遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6(小时).
第十七章 勾股定理 17．1 勾股定理
第2课时 勾股定理的应用
1．(3 分)如图所示的是某校的长方形水泥操场，如果一学生要从 A 角走到 C 角， 至少要走( C )
A．70 m B．90 m C．130 m D．180 m
2．(3 分)一个长方形抽屉长 4 cm，宽 3 cm，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木 棒最长(不计木棒粗细)可以是( B )
专题08 勾股定理的应用-2020-2021学年八年级数学下册常考题专练(人教版)(解析版)
专题08勾股定理的应用★知识归纳●勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段.★实操夯实一．选择题（共8小题）1．一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m，他在水中实际游了520m，那么该河的宽度为（）A．440m B．460m C．480m D．500m【解答】解：根据已知数据，运用勾股定理求得AB＝＝＝480m，答：该河流的宽度为480m．故选：C．2．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（）A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm【解答】解：如图，AC为圆桶底面直径，∴AC＝24cm，CB＝32cm，∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，∴AB＝＝40cm．故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm．故选：C．3．一根竹竿插到水池中离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问水池的深度为（）A．2m B．2.5cm C．2.25m D．3m【解答】解：在直角△ABC中，AC＝1.5cm．AB﹣BC＝0.5m．设水池BC＝xm，则AB＝（0.5+x）m．根据勾股定理得出：∵AC2+BC2＝AB2∴1.52+x2＝（x+0.5）2解得：x＝2．故选：A．4．如图，△ABE、△BCF、△CDG、△DAH是四个全等的直角三角形，其中，AE＝5，AB＝13，则EG的长是（）A．7B．6C．7D．7【解答】解：由勾股定理得，BE＝＝＝12，∵△ABE、△BCF、△CDG、△DAH是四个全等的直角三角形，∴∠AEB＝∠BFC＝∠CGD＝90°，BF＝CG＝DH＝AE＝5，∴∠FEB＝∠EFC＝∠FGD＝90°，EF＝EH＝12﹣5＝7，∴四边形EFGH为正方形，∴EG＝＝7，故选：A．5．如图，笑笑将一张A4纸（A4纸的尺寸为210mm×297mm，AC＞AB）剪去了一个角，量得CF＝90mm，BE＝137mm，则剪去的直角三角形的斜边长为（）A．50 mm B．120 mm C．160 mm D．200 mm【解答】解：延长BE、CF相交于D，则EFD构成直角三角形，运用勾股定理得：EF2＝（210﹣90）2+（297﹣137）2＝1202+1602＝40000，所以EF＝200．则剪去的直角三角形的斜边长为200mm．故选：D．6．如图，一轮船以8海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以6海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1小时后，则两船相距（）A．6海里B．8海里C．10海里D．20海里【解答】解：由题意可得：8×1＝8（海里），6×1＝6（海里）．则两船相距：＝10（海里）．故选：C．7．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米，则小巷的宽为（）A．2.5米B．2.6米C．2.7米D．2.8米【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝＝2.5（米），∴A′B＝2.5米，在Rt△A′BD中，BD＝＝＝2（米），∴BC+BD＝2+0.7＝2.7（米），故选：C．8．为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10米，BC＝15米，∠B ＝150°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需（）元．A．75a B．50a C．a D．150a【解答】解：如图，作BA边的高CD，设与AB的延长线交于点D，∵∠ABC＝150°，∴∠DBC＝30°，∵CD⊥BD，BC＝15米，∴CD＝7.5米，∵AB＝10米，∴S△ABC＝AB×CD＝×10×7.5＝37.5（平方米），∵每平方米售价2a元，∴购买这种草皮至少为37.5×2a＝75a（元），故选：A．二．填空题（共2小题）9．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章节中记载了一道“折竹抵地”的问题：“今有竹高一尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，后来竹子折断，其竹竿恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远，如图所示，问：原处竹子（AC）还剩 4.55尺？（1丈＝10尺）．【解答】解：设原处竹子（AC）还剩x尺，由题意得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，故答案为：4.55．10．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝ 1.5米．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.5（米）故答案是：1.5．三．解答题（共8小题）11．某中学八（1）班小明在综合实践课上剪了一个四边形ABCD，如图，连接AC，经测量AB＝12，BC＝9，CD ＝8，AD＝17，∠B＝90°．求证：△ACD是直角三角形．【解答】证明：∵∠B＝90°，AB＝12，BC＝9，∴AC2＝AB2+BC2＝144+81＝225，∴AC＝15，又∵AC2+CD2＝225+64＝289，AD2＝289，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形．12．我市某中学有一块四边形的空地ABCD（如图所示），为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A ＝90°，AB＝3m，DA＝4m，CD＝13m，BC＝12m．（1）求出空地ABCD的面积．（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？【解答】解：（1）连接BD，在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，而122+52＝132，即BC2+BD2＝CD2，所以∠DBC＝90°，则S四边形ABCD＝S△ABD+S△DBC＝3×4÷2+5×12÷2＝36m2；（2）所需费用为36×200＝7200（元）．13．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB′在静止位置时，下端B′离地面0.6米，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB，等于2.4米，距地面1.4米，求秋千AB的长．【解答】解：由题意可得出：B′E＝1.4﹣0.6＝0.8（m），则AE＝AB﹣0.8，在Rt△AEB中，AE2+BE2＝AB2，∴（AB﹣0.8）2+2.42＝AB2解得：AB＝4，答：秋千AB的长为4m．14．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距离O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，（1）A处是否会受到火车的影响，并写出理由（2）如果A处受噪音影响，求影响的时间．【解答】解：（1）A处会受到火车的影响，理由：如图：过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝200米，∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴AC＝120米＜200米，∴A处会受到火车的影响；（2）当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB＝200米，∵AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得：BC＝160米，CD＝160米，即BD＝320米，∵72千米/小时＝20米/秒，∴影响时间应是：320÷20＝16秒．答：A处受噪音影响的时间为16秒．15．拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m 以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【解答】解：（1）学校C会受噪声影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，∴CD＝＝120（m），∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域域，∴学校C会受噪声影响．（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，∵ED＝（m），∴EF＝100（m），∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，∴100÷50＝2（分钟），即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．16．如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉．经测量，∠EDC＝90°，DC＝6m，CE＝10m，BD＝14m，AB＝16m，AE＝2m．（1）求DE的长；（2）求四边形ABDE的面积．【解答】解：（1）在Rt△EDC中，∠EDC＝90°，DC＝6m，CE＝10m，∴m；（2）如图，连接BE，在Rt△EBD中，BD＝14m，ED＝8m，∴BE2＝BD2+ED2＝142+82＝260，∵AB＝16m，AE＝2m，∴AB2+AE2＝162+22＝260，∴AB2+AE2＝BE2，∴△ABE是直角三角形，∠A＝90°，∴S△ABE＝×16×2＝16（m2）．又∵S△BDE＝×14×8＝56（m2）．∴四边形ABDE的面积＝S△ABE+S△BDE＝72（m2）．17．如图，铁路上A，B两点相距23km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝8km．现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km 处？【解答】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（23﹣x），∵DA＝15km，CB＝8km，∴x2+152＝（23﹣x）2+82，解得：x＝8，∴AE＝8km．答：E站应建在离A站8km处．18．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；根据勾股定理可得：（m）∴小汽车的速度为v＝＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．。
人教版八年级下册数学《勾股定理》说课复习(第2课时勾股定理的应用)
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·
CD.
10km
藏宝点B的距离是________．
课程讲授
构造直角三角形解决实际问题
例4
一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要
开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该
工厂的厂门?说明理由.
解：在Rt△OCD中，∠CDO=90°,由
C
A
O
勾股定理，得
CD＝ OC 2 OD 2 1 0.82 0.6(米).
CH＝0.6＋2.3＝2.9(米)＞2.5(米).
D
B
2.3米
2
答：卡车能通过厂门．
M
2米
H
N
课程讲授
2
构造直角三角形解决实际问题
练一练：
(中考·安顺)如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，
一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行( B )
A．8米
B．10米
C．12米
练一练：
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB
一样长.已知滑梯的高度 CE=3m, CD=1m,试求滑道AC的长.
解：设滑道AC的长度为xm,则AB的长度为xm,
AE的长度为（x－1）m,
2023年人教版数学中考复习高频考点突破——勾股定理的应用(含答案)
2023年人教版数学中考复习高频考点突破——勾股定理的应用一、单选题1．如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者从测点A、B分别测得=，15BC m=，则A、B两点之间的距离为∠=︒，又量得9AC m90BAC（）A．10m B．11m C．12m D．13m 2．长度为下列四组数据的线段中，可以构成直角三角形的是()A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，63．如图，在□ABCD中，AB ⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（）A．11B．10C．9D．8 4．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=（）A．4B．5C．6D．7 5．如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（）A．1米B米C．2米D．4米6．直线l上有三个正方形A、B、C放置如图所示，若正方形A、C的面积分别为1和12，则正方形B的面积为（）．A．11B．12C．13D 7．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形.如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（）A．10+ B．10+ C．10+ D．24 8．如图，是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．5≤a≤12B．5≤a≤13C．12≤a≤13D．12≤a≤159．如图使用4个全等三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x 2+y 2=49；②x−y=2；③2xy+4=49；④x+y=9. 其中正确的是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④ 10．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD ，AC=4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是( )A ．2225y x =B ．2425y x =C ．225y x = D ．245y x = 二、填空题11．如图，在Rt∠ABC 中，∠BAC ＝90°，AB=4，AC=3，AD∠BC 于点D ，则∠ACD 与∠ABC 的面积比为12．某物体沿着坡比为4∠3的坡面上升了8米，那么在坡面上移动了 米． 13．如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB ＝20cm ，底面直径BC ＝12cm ，球的最高点到瓶底面的距离为32cm ，则球的半径为 cm （玻璃瓶厚度忽略不计）.14．如图，在 ABC 中， 90ACB ∠=︒ ，点D, E 分别在 ,AC BC 上，且 CDE B ∠=∠ ，将 CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处，如果 8AC = ， 10AB = ，那么CD 的长为 ．15．如图，在Rt∠ABC 中，∠ABC=90°，AB=8cm ，BC=6cm ，点D 以每秒1cm 的速度从点C 出发，沿边CA 往A 运动，当运动到点A 时停止。
八年级数学下册 勾股定理应用第二课时的类型题 人教版
勾股定理应用第二课时的类型题知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。
（3）理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
图（1）中，所以。
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
图（2）中，所以。
方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。
在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
，所以。
知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题；4．利用勾股定理，作出长为的线段。
2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。
熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。
经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6， c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
勾股定理之最短路程、实际应用(人教版)(含答案)
勾股定理之最短路程、实际应用（人教版）一、单选题(共6道，每道11分)1.如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别为50寸，30寸和10寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长是( )A.13寸B.40寸C.130寸D.169寸答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：蚂蚁怎么爬最短2.如图，一只蚂蚁从长、宽都是6，高是16的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长为( )A.20B.22C.28D.18答案：A解题思路：有三种爬行方式：前侧面和右侧面；前侧面和上底面；左侧面和上底面.对应展开即可．把长方体纸箱的侧面展开，得到相应矩形．找到A,B两点的对应点并连接，则可与原纸箱的边构成一直角三角形．可求得三种情况下，前侧面和右侧面爬行最短，为20.故选A．试题难度：三颗星知识点：勾股数3.如图，一个直径为8cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，则筷子长度和杯子的高度分别为( )cm．A.8，7B.8.5，7.5C.9，8D.10，9答案：B解题思路：根据实际问题构造直角三角形，斜边比其中一条直角边长1cm，另一条直角边为杯子横截面的半径长，由勾股定理可知答案为B．试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用4.如图,将一根木棒垂直或倾斜的放进长、宽、高分别为12cm，4cm，3cm的水箱中，能放入水箱内木棒的最大长度为( )cm.A.13B.12C.15D.16答案：A解题思路：长方体的体对角线长度即为可放入木棒的最大长度．试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用5.一辆卡车装满货物后宽3.2米，这辆卡车要通过如图所示的隧道（上方是一个半圆，下方是边长为4米的正方形），则装满货物后卡车的最大高度为( )米．A.5.2B.5.8C.7.6D.5.4答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理应用之拱桥问题6.某工厂大门形状如图所示，其上部分为半圆，工厂门口的道路为双行道．要想使宽为1.5米，高为3.1米的卡车安全通过，那么此大门的宽至少应增加( )米．A.1.7B.2C.0.3D.1答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理应用之拱桥问题二、填空题(共3道，每道11分)7.如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为16cm，BC是上底面的直径．一只昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则昆虫爬行的最短路程为____cm．答案：20解题思路：把圆柱体展开，则与点A，B，C，D相对应的四点构成一个矩形，且所求最短路径为对角线AC的长．在矩形ABCD中AB长为圆柱体的高，AD长为圆柱体底面周长的一半．由勾股定理可知AC=20．试题难度：知识点：平面展开最短路径问题8.如图，长方体的长，宽，高分别为8，4，10．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为____．答案：26解题思路：如图，将该长方体沿过点P的高展开，连接PQ，则线段PQ即为所求．在中，由勾股定理，得（利用勾股数、放缩法计算更快）试题难度：知识点：蚂蚁怎么爬最短9.一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角1.4m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.8m，那么梯脚移动的距离是____m．答案：1.6解题思路：据题意知墙角为一直角．在梯子的初始状态下，运用勾股定理知梯子顶端距地面4.8m．梯子下滑后，顶端距地面4m．再次运用勾股定理可知梯角距墙3m．所以梯脚移动1.6m．试题难度：知识点：勾股定理。
(带解析)人教版初中数学勾股定理知识点题库
(每日一练)(带解析)人教版初中数学勾股定理知识点题库单选题1、有下面的判断：①若△ABC中，a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2＋b2=c2；③若△ABC中，a2－b2=c2，则△ABC是直角三角形；④若△ABC是直角三角形，a是斜边，则(a＋b)(a－b)=c2.其中判断正确的有()A．4个B．3个C．2个D．1个2、如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（）A．11cmB．2√34cmC．（8+2√10）cmD．（7+3√5）cm3、如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点C与A重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4，则折痕EF 的长度为()A ．5B ．3√5C ．2√5D ．3√24、如图，已知ABCD 是长方形纸片，CD =3，在CD 上存在一点E ，沿直线AE 将△AED 折叠，D 恰好落在BC 边上的点F 处，且S △AFB =6，则△AED 的面积是（ ）．A ．253B ．256C ．43D ．235、在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对应边分别是a ，b ，c ，若∠B =90°，则下列等式中成立的是（ ）A ．a 2+b 2=c 2B ．b 2+c 2=a 2C ．a 2+c 2=b 2D ．c 2−a 2=b 26、如图，点P 是以A 为圆心，AB 为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点P 表示的实数是（ ）A ．-2B ．-2.2C ．-√10D ．-√10+17、Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则AB 2＋AC 2＋BC 2的值为( )A ．8B ．4C ．6D ．无法计算8、数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a ＞2，那么a 2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（ ）A ．两直线平行，同位角相等B ．如果|a |＝1，那么a ＝1C．全等三角形的对应角相等D．如果x＞y，那么mx＞my填空题9、如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=4，D为BC的中点，AD=2√5，若P为AB上一个动点，则PC+PD的最小值为_________．10、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′=_______．11、在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是_____．12、《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在勾股章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折着高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在ΔABC中，∠ACB=90º， AC+AB=10，BC=3，求AC的长，若设AC=x，则可列方程为________________．13、在△ABC中，AB=√34，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为_____．解答题14、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：AB=AC；（2）若DC=4，∠DAC=30°，求AD的长．15、如图，在△ABC中，D是BC上的一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积．(带解析)人教版初中数学勾股定理_004参考答案1、答案：B解析：根据勾股定理及其逆定理依次判断即可解答.①c不一定是斜边，①错误；②根据勾股定理可得②正确；③根据勾股定理的逆定理可得③正确；④若△ABC是直角三角形，a是斜边，则（a+b）（a-b）=c2，④正确．共2个正确．故选B．小提示：本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．2、答案：B解析：要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解：将长方体展开,连接AB′，则AB′最短.∵AA′=3+2+3+2=10cm，A′B′=6 cm，∴AB′=√102+62=2√34cm.故选B..3、答案：C解析：过F点作FH⊥AD于H，在Rt△EHF中根据勾股定理即可求出EF的长．解：如图所示，过F点作FH⊥AD于H，设CF=x，则BF=8−x，在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，∴16+(8−x)2=x2，解得：x=5，∴AF=CF=5，∵AD//BC，∴∠AEF=∠EFC，又∵∠AFE=∠EFC，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=5，∴EH=AE−AH=2，∵FH=4，∴EF2=42+22=20，∴EF=2√5；故选C．4、答案：B解析：根据面积求出BF、AF、CF，设DE为x，列方程求出即可．解：ABCD是长方形纸片，∴AB=CD=3，∵S△AFB=12AB⋅BF，∴6=12×3⋅BF，∴BF=4，∴AF=√AB2+BF2=5，∴AF=AD=BC=5，CF=1，设DE为x，EF=DE=x，EC=3-x，x2=(3-x)2+1，解得，x= 53，∴SΔAED=12AD⋅ED=12×5×53=256，故选：B．小提示：本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程．5、答案：C解析：根据勾股定理解题．解：如图，由勾股定理得，a2+c2=b2，故选：C．小提示：本题考查勾股定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．6、答案：D解析：在三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的长，即可确定出AP的长，得到P表示的实数. 在Rt△AOB中，OA=1，OB=3，根据勾股定理得：AB=√32+12=√10，∴AP=AB=√10，∴OP=AP-OA=√10-1，则P表示的实数为-√10+1．故选D．小提示：本题考查了勾股定理，以及实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．7、答案：A解析：解：利用勾股定理，由Rt△ABC中，BC为斜边，可得AB2+AC2=BC2，代入数据可得AB2+AC2+BC2=2BC2=2×22=8．故选A．8、答案：C解析：分别判断原命题和其逆命题的真假后即可确定正确的选项．解：A、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；B、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a＝1，那么|a|＝1，正确，是真命题，不符合题意；C、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；D、当m＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：C．小提示：考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．9、答案：2√5解析：根据中点的含义先求解BD,作点C关于AB对称点C′，则OC=OC′，连接DC′，交AB于P，连接BC′，此时PD+PC=PD+PC′=DC′的值最小，由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，AB⊥CC′,于是得到∠C′BC= 90°，再证明BC′=BC=4，然后根据勾股定理即可得到结论．解：∵AC=BC=4，D为BC的中点，∠ACB=90°，∴CD=BD=2，∠CBA=45°，作点C关于AB对称点C′，CC′交AB于O，则OC=OC′，连接DC′，交AB于P，连接BC′．此时PD+PC=PD+PC′=DC′的值最小．由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，AB⊥CC′,∴∠C′BC=90°，∴BC′⊥BC，点C关于AB对称点C′，∴AB垂直平分CC′，∴BC=BC′=4，根据勾股定理可得DC′=√42+22=2√5.所以答案是：2√5．小提示：此题考查了轴对称-线路最短的问题，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理的应用，确定动点P何位置时，使PC+PD的值最小是解题的关键．10、答案：1.5解析：解：在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=5∵将△ABC折叠得△AB′E∴AB′＝AB，B′E＝BE∴B′C＝5－3＝2设B′E＝BE＝x，则CE＝4－x在Rt△B′CE中，CE2＝B′E2＋B′C2∴（4－x）2＝x2＋22解得x=1.5所以答案是：1.511、答案：157解析：过点D作DH⊥AC于H，DF⊥BC于F，由折叠的性质可得AC=CE=3，∠ACD=∠BCD=45°，由勾股定理可求AB=5，由面积法可求DF的长，由勾股定理可求DE的长．解：如图，过点D 作DH ⊥AC 于H ，DF ⊥BC 于F ，∵将ΔADC 沿直线CD 翻折，∴AC =CE =3，∠ACD =∠BCD =45°，∴BC =4，∵DH ⊥AC ，DF ⊥BC ，∠ACD =∠BCD =45°，∴DF =DH ，∠DCF =∠FDC =45°，∴DF =CF ，∵AB 2=AC 2+BC 2=9+16=25，∴AB =5，∵S ΔABC =12×AC ×BC =12×AC ×DH +12×BC ×DF ，∴12=7DF ，∴DF =127，∴DF =CF =127，EF =97， ∴DE =√DF 2+EF 2=√14449+8149=157，所以答案是：157．小提示：本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，求出DF的长是本题的关键．12、答案：x2+32=(10−x)2解析：设AC=x，则AB=10-x，再由AC2+BC2=AB2即可列出方程．解：∵AC=x，且AC+AB=10，∴AB=10−x，在Rt△ABC中，由勾股定理有：AC2+BC2=AB2，即：x2+32=(10−x)2，故可列出的方程为：x2+32=(10−x)2，所以答案是：x2+32=(10−x)2．小提示：本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．13、答案：9或1解析：△ABC中，∠ACB分锐角和钝角两种：①如图1，∠ACB是锐角时，根据勾股定理计算BD和CD的长可得BC的值；②如图2，∠ACB是钝角时，同理得：CD=4，BD=5，根据BC=BD﹣CD代入可得结论．有两种情况：①如图1，∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，由勾股定理得：BD=√AB2−AD2=√(√34)2−32=5，CD=√AC2−AD2=√52−32=4，∴BC=BD+CD=5+4=9；②如图2，同理得：CD=4，BD=5，∴BC=BD﹣CD=5﹣4=1，综上所述，BC的长为9或1；故答案为9或1．小提示：本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是关键，并注意运用了分类讨论的思想解决问题．14、答案：（1）证明见解析；（2）4√3解析：（1）根据角平分线的性质得到DE=DF，证明Rt△BDE≌Rt△CDF，根据全等三角形的性质得到∠B=∠C，根据等腰三角形的判定定理证明；（2）根据直角三角形的性质求出AC，根据勾股定理计算即可．解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．∵BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．∴∠B=∠C．∴AB=AC．（2）∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC．在Rt△ADC中，∠DAC=30°，∴AC=2DC=8，AD=√AC2−DC2=√82−42=4√3小提示：本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，用勾股定理解三角形，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．15、答案：84解析：先根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证ΔABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD 的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．解：∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，∴ΔABD是直角三角形，∴AD⊥BC，在RtΔACD中，CD=√AC2−AD2=15，∴BC=BD+CD=6+15=21，∴SΔABC=12BC·AD=12×21×8=84．因此ΔABC的面积为84．故答案为84．小提示：此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证ΔABD是直角三角形．。
(完整版)最新人教版第十七章勾股定理整理练习题及详细解析答案
题型一：直接考查勾股定理 例 1 •在 ABC 中， C 90 •(1) 知 AC 6 , BC 8 •求 AB 的长。
(2) 已知 AB 17，AC 15,求 BC 的长。
题型二：应用勾股定理建立方程例 2 •⑴在 ABC 中， ACB 90 , AB 5 cm , BC 3 cm , CD AB 于 D , CD = ___________________ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为 3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ___________________ ⑶已知直角三角形的周长为 30 cm ，斜边长为13 cm ，则这个三角形的面积为 _____________________ C 90 , 1 2 , CD 1.5, BD 2.5，求 AC 的长题型三：实际问题中应用勾股定理例5•如图有两棵树，一棵高 8 cm ，另一棵高2 cm ，两树相距8 cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的 树梢，至少飞了 ____________ m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形 例6•已知三角形的三边长为 a , b , c ，判定 ABC 是否为直角三角形。
52①a 「5, b 2，c 2・5②a ；，b 1, c §例7•三边长为a , b , c 满足a b 10 , ab 18 ,题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例 8•已知 ABC 中，AB 13 cm , BC 10 cm , BC 边上的中线 AD 12 cm ，求证： AB AC例3 •如图 ABC 中,例4•如图Rt ABC , C 90 AC 3,BC 4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积c 8的三角形是什么形状?D CQ AD 为中线，BD DC 5 cm在ABD 中， Q AD 2 BD 22 2 2169 , AB 169 AD BDAB 2 ,ADB 902, AC AD2 2DC 169, AC 13 cm ,AB AC【例1】、分析：直接应用勾股定理 解：⑴AB⑵ BCA B 2~A C 2 8S 54【例3】分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB 于E , Q 12 , DE CD BDE 中Q BED 90 ,BE ,BD 2 DE 2 2Q Rt ACD Rt AED AC AE在 Rt ABC 中， C 902 2 2 2 2 2AB AC BC , (AE EB) AC 4 AC 3 【例4】答案：6【例5】分析：根据题意建立数学模型， 如图AB 8 m , CD 2 m , BC 8 m ,过点D 作DE AB ,垂足为E , 则 AE 6 m ,DE 8 m在Rt ADE 中， 由勾股定理得 ADAE 2 DE 210【例6】答案： 10 m【例7】解：① 2 2 2Q a b 1.5222 6.25 , c 22.56.25ABC 是直角三角形且C 90② Qb 2c 213 2 259，a 162,b 2 2c aABC 不是直角三角形【例8】解：此三角形是直角三角形理由：Q a 2 b 2 (a b)2 2ab 64，且 c 2 64a 2b 2c 2 所以此三角形是直角三角形【例2】分析：在解直角三角形时, 根据勾股定理列方程求解 解：要想到勾股定理, 及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积•有时可 ACAB 2 BC 2CD注2.4AB两直角边的3k , 4k(3k)2 (4 k)2 152 , k 3,两直角边分别为a ,b ，则ab 17 , a 2 b 2289，可得 ab 60tab 30 cm 2 2C 90 1.5【例9】证明：DC :钝角三角形D :直角三角形11. _________________________________________________________________ 斜边的边长为17cm ，一条直角边长为8cm 的直角三角形的面积是 _____________________________________________ . 12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10,则顶角的平分线为— . 13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200,则斜边长为 __________14. _________________________________________________ 一个三角形三边之比是 10: 8 : 6，则按角分类它是 __________________________________________________________ 三角形. 15. 一个三角形的三边之比为 5 : 12 : 13,它的周长为60,则它的面积是 _________ . 16. 在 Rt △ ABC 中，斜边 AB=4,贝U A B"+ BC + AC= __ . 17.若三角形的三个内角的比是1: 2:3，最短边长为1cm ，最长边长为2cm ，则这个1. F 列说法正确的是(A.若B.若C.若D.若2. 勾股定理练习题(家教课后练习)b 、c 是厶ABC 的三边，则 b 、c 是Rt △ ABC 的三边, b 、c 是Rt △ ABC 的三边, b 、c 是Rt △ ABC 的三边,Rt △ ABC 的三条边长分别是a 、A. a b cB. a b c如果Rt △的两直角边长分别为 A 2k B k+1a 2+b 2=c 2; i 2 + b 2= c 2;C.2 2 290，贝U a + b = c ;… 2 . 2 290，贝U a + b = c . 则下列各式成立的是( D. a 2b 22k — 1, 2k (k >1 ),那么它的斜边长是(C 、k 2— 1D 、k 2+14.已知a , b , cABC 三边，且满足 (a 2— b 2)(a 2+b 2-c 2) = 0，则它的形状为A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形直角三角形中一直角边的长为 另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为 A. 121B . 120C . 90D.不能确定△ ABC 中，AB= 15, AC = 13, 高AD= 12,则厶ABC 的周长为( .42 B . 32 .42 或 32 D . 37 或 337.※直角三角形的面积为(A ) 一 d 2 S 2d (C ) 2,d 2 S 2d8、 在平面直角坐标系中，已知点 斜边上的中线长为 d ，则这个三角形周长为((B ) . d 2 S d (D ) 2.d 2 S d- P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为( A:若厶ABC 中, AB=25cm AC=26cm 高 AD=24,则 BC 的长为( A . 17B.3C.17或3 D.以上都不对10 .已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足(ac 10 0则三角形的形状是(A :底与边不相等的等腰三角形:等边三角形三角形三个角度数分别是______ ，另外一边的平方是________ .18 •如图，已知 ABC 中，C 90 , BA 15 , AC 12,以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ________ •19 • 一长方形的一边长为 3cm ，面积为12cm ，那么它的一条对角线长是.20.如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条， 求木条的长.AC=6cm,BC=8cm 现将直角边AC 沿/ CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在22. 一个三角形三条边的长分别为15cm , 20cm , 25cm ，这个三角形最长边上的高是多少?h=3m 棚宽a=4m 棚的长为12m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要24.如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树 12m 高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢, 伙伴在一起？25. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过 汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正 前方30m 处，过了 2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为 50m,这辆小汽车超速了吗？答案：1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角.答案:D.21、有一个直角三角形纸片，两直角边斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出 CD 的长吗?23 .如图，要修建一个育苗棚，棚高E多少平方米塑料薄膜?70 km/h.如图，，一辆小2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案：B.3. 解析：设另一条直角边为x，则斜边为（x+1 ）利用勾股定理可得方程，可以求出x.然后再求它的周长•答案：C.4 •解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解•答案：C.2 2 25. 解析：勾股定理得到：17 8 15，另一条直角边是15，1 2 -15 8 60cm22所求直角三角形面积为2.答案：60cm.6. 解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边，反过来也是成立. 答案：a2 b22，c，直角，斜，直角.c7. 解析：本题由边长之比是10：8：6可知满足勾股定理，即是直角三角形.答案：直角.8. 解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数，断定是直角三角形.答案：30、60、90，3.2 2 2 2 2 29. 解析：由勾股定理知道：BC AB AC 15 12 9，所以以直角边BC 9为直径的半圆面积为10.125 n.答案：10.125 n.10. 解析:长方形面积长X宽，即12长X3,长4，所以一条对角线长为5. 答案：5cm.11. 解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方.答案：5m .2 2 212解析：因为15 20 25，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为xcm，1 1由直角三角形面积关系，可得—15 20 - 25 x，二x 12 .答案：12cm2 213. 解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m,所以矩形塑料薄膜的面积是：5X20=100（卅）.14. 解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m也就是两树树梢之间的距离是13m，两再利用时间关系式求解.答案：6.5s .15. 解析：本题和14题相似，可以求出BC的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米, 时间是2s，可得速度是20m/s=72km/h> 70 km/h.答案：这辆小汽车超速了.。
八年级数学下册《第十七章 勾股定理的应用》练习题-附答案(人教版)
八年级数学下册《第十七章勾股定理的应用》练习题-附答案(人教版)一、选择题1.如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要( )A.4米B.5米C.6米D.7米2.某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形土地时，在BC上有一处古建筑D，使得BC 的长不能直接测出，工作人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，在测出AC＝150米后，测量工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想办法求出BC的长度为( )A.90米B.120米C.140米D.150米3.《九章算术》第九章有如下题目，原文：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐.引木却行一尺，其木至地.问木长几何？译文是：今有墙高1丈，倚木杆于墙.使木杆之上端与墙平齐.牵引木杆下端退行1尺，则木杆(从墙上)滑落至地上.间木杆长是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)( )A.5尺5寸B.1丈1尺C.5丈5寸D.5丈5尺4.如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )A.2.5B.2 2C. 3D. 55.如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.则小明到达的终止点与原出发点的距离是( )A.90米B.100米C.120米D.150米6.如图，有一个由传感器控制的灯A装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至距该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光，请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？( )A.4 mB.3 mC.5 mD.7 m7.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺.突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水深是( )尺A.3.5B.4C.4.5D.58.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)( )A.12 mB.13 mC.16 mD.17 m9.如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是( )A. 3B. 5C. 6D.710.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.若AC＝3，AB＝5，则CE的长为( )A.32B.43C.53D.8511.如图，已知线段BC，分别以B、C为圆心，大于12BC为半径作弧，两弧相交于E、F两点，连接CE，过点E作射线BA，若∠CEA＝60°，CE＝4，则△BCE的面积为( )A.4B.4 3C.8D.8 312.如图，圆柱形纸杯高8 cm，底面周长为12 cm，在纸杯内壁离杯底2 cm的点C处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在纸杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为( )3 B.6 2 C.10 D.以上答案都不对二、填空题13.上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠BAC＝60°，点C在点B的正西方向，海岛B与灯塔C之间的距离是海里.14.在平面直角坐标系中，点P(﹣5，2)到原点的距离是．15.如图，要做一个两条直角边的长分别是7 cm和4 cm的三角尺，斜边长应为 cm.16.如图，A，B，C，D为四个养有珍稀动物的小岛，连线代表连接各个小岛的晃桥(各岛之间也可以通过乘船到达)，四边形ABCD为长方形，如果黄芳同学想从A岛到C岛，则至少要经过________米.17.某快递公司要在街道旁设立一个派送还点，向A、B两居民区投送快递，派送点应该设在什么地方，才能使它到A、B的距离之和最短？快递员根据实际情况，以街道为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得坐标A(﹣2，2)、B(6，4)，则派送点的坐标是.18.如图，在平面直角坐标系中，已知点P(2，1)，点A是x轴上的一个动点，当△PAO是等腰三角形时，点A的坐标为．三、解答题19.如图所示，一棵36米高的树被风刮断了，树顶落在离树根24米处，求折断处的高度AB.20.如图，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶50000米.飞机每小时飞行多少千米？21.如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了5003m 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点.(1)求A、C两点之间的距离；(2)确定目的地C在营地A的什么方向？22.如图，∠AOB＝90°，OA＝45cm，OB＝15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？23.如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝∠90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)若AD＝6，BD＝8，求ED的长．24.如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAD＝90°，AB＝2，AC＝11，求BC的长．25.如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m.假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？参考答案1.D2.C3.C4.D5.B.6.A.7.C8.D.9.B.10.A11.B.12.C.13.答案为：30 3.14.答案为：3.15.答案为：65.16.答案为：370.17.答案为：(23，0).18.答案为：A(4，0)，(5，0)，(﹣5，0)．19.解：设AB＝x米，则AC＝(36﹣x)米∵AB⊥BC∴AB2＋BC2＝AC2∴x2＋242＝(36﹣x)2.∴x＝10∴折断处的高度AB是10米.20.解：如图，在Rt△ABC中，根据勾股定理可知BC＝3000(米).3000÷20＝150米/秒＝540千米/小时.所以飞机每小时飞行540千米.21.解：(1)过B点作BE∥AD如图，∴∠DAB＝∠ABE＝60°.∵30°＋∠CBA＋∠ABE＝180°∴∠CBA＝90°.即△ABC为直角三角形.由已知可得：BC＝500 m，AB＝500 3 m由勾股定理可得：AC2＝BC2＋AB2所以AC＝1 000(m)；(2)在Rt△ABC中，∵BC＝500 m，AC＝1 000 m∴∠CAB＝30°∵∠DAB＝60°∴∠DAC＝30°.即点C在点A的北偏东30°的方向.22.解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等即BC＝CA设AC为x，则OC＝45﹣x由勾股定理可知OB2＋OC2＝BC2又∵OA＝45，OB＝15把它代入关系式152＋(45﹣x)2＝x2解方程得出x＝25(cm)．答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25cm．23.(1)证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝∠90°∴AC＝BC，EC＝DC，∠B＝∠CAB＝45°，∠ACE＝∠BCD＝90°﹣∠ACD在△ACE和△BCD中∴△ACE ≌△BCD(SAS)；(2)解：∵△ACE ≌△BCD∴∠CAE ＝∠B ，AE ＝BD ＝8∵∠CAB ＝∠B ＝45°∴∠EAD ＝45°＋45°＝90°在Rt △EAD 中，由勾股定理得：ED ＝10．24.解：延长AD 至点E ，使AD ＝ED ，连结CE.∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD.在△ABD 和△ECD 中∵⎩⎨⎧AD ＝ED ，∠ADB ＝∠EDC ，BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ECD(SAS)∴EC ＝AB ＝ 2∴∠CED ＝∠BAD ＝90°.在Rt △AEC 中，∵AE 2＝AC 2﹣EC 2∴AE ＝（11）2－（2）2＝3∴AD ＝12AE ＝32. 在Rt △ABD 中，∵BD 2＝AB 2＋AD 2∴BD ＝172∴BC ＝2BD ＝17.25.解：作AB⊥MN，垂足为B在 RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°， AP＝160∴ AB＝12AP＝80∵点 A到直线MN的距离小于100m∴这所中学会受到噪声的影响.如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响那么AC＝100(m)由勾股定理得： BC2＝1002﹣802＝3600∴ BC＝60.同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响那么AD＝100(m)，BD＝60(m)∴CD＝120(m).拖拉机行驶的速度为：18km/h＝5m/s，t＝120m÷5m/s＝24s.答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒.。
第十七章 勾股定理(应用题篇)八年级数学下册同步课堂(人教版)(解析版)
第十七章勾股定理（应用题篇）知识梳理+九大例题分析+经典同步练习知识梳理方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下：1．审题—分析实际问题；2．建模—建立相应的数学模型；3．求解—运用勾股定理计算；4．检验—是否符合实际问题的真实性．题型总结：确定几何体上的最短路线，先将立体图形展开成平面图形，注意展开方式，再构造直角三角形来求解最短距离；在求一些高度、长度、距离、宽度等量时，首先要结合题意画出符合要求的直角三角形，把实际问题转化为数学问题再利用勾股定理进行求解。
关键词：直角三角形（寻找直角三角形、构造直角三角形）典型例题例题1．如图，是一高为2m，宽为1.5m的门框，李师傳有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3m，宽2.7m；①号木板长2.8m，宽2.8m；①号木板长4m，宽2.4m．可以从这扇门通过的木板是（）A．①号B．①号C．①号D．均不能通过【答案】C【解析】根据勾股定理，先计算出能通过的最大距离，然后和题中数据相比较即可．解：如图，由勾股定理可得：EF==2.5,所以此门通过的木板最长为2.5m，所以木板的长和宽中必须有一个数据小于2.5米．所以选①号木板．故选C.例题2．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为24m，梯子的底端B到墙根O的距离为7m，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么BD的长是（）A．2m B．4m C．6m D．8m【答案】D【解析】由题意可知OB=7m ，OA=24m ，先利用勾股定理求出AB ，梯子移动过程中长短不变，所以AB=DC ，又由题意可知OD=15m ，进而得出答案．解：在直角三角形AOB 中，因为AO=24m ，OB=7m ，由勾股定理得：=25（m ）， 由题意可知AB=CD ，又OC=24-4=20（m ），根据勾股定理得：（m ），故BD=DO -BO=15-7=8（米）．故选：D ．例题3．我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺，引葭赴岸，适与岸齐，问葭长几何．翻译成数学问题是：如图，有一个水池，水面是边长为 10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是( )A ．10 尺B ．11 尺C ．12 尺D ．13 尺【答案】D【解析】 找到题中的直角三角形，设水深为x 尺，根据勾股定理解答．解：设水深为x 尺，则芦苇长为（x ＋1）尺，根据勾股定理得：x 2＋（102）2＝（x ＋1）2， 解得：x ＝12，芦苇的长度＝x ＋1＝12＋1＝13（尺），答：芦苇长13尺．故选：D例题4．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成．将四个直角三角形的较短边(如AF )向外延长1倍得到点A '，B '，C '，D ，并连结得到图2.已知正方形EFGH 与正方形A B C D ''''的面积分别为21cm 和285cm ，则图2中阴影部分的面积是( )A ．215cmB ．230cmC ．236cmD ．260cm【答案】B【解析】 由正方形EFGH 与正方形A B C D ''''的面积分别为21cm 和285cm ,可得大小正方形的边长，设四个直角三角形的较短边为x ，则在''Rt A ED ∆中，由勾股定理可求出x ，从而可求出相关三角形的边长，即可求出阴影部分的面积．①正方形EFGH 与正方形A B C D ''''的面积分别为21cm 和285cm ，①1FG G HE E H F ====，A B B C C D A D ===''''''''=设四个直角三角形的较短边为x ，则在Rt E A D ∆''中，2D E x '=，21x A E '=+，由题意根据勾股定理得，222E E D A A D ''''+=，即()()222221x x ++=， ①13x =，2 3.5x =-（舍去），即3AF =，①314A AE C F G EF ==+=+=，2236A C H AF F ''=⨯===，132F BB DD A ==''='， ①图2中阴影部分的面积是：A B D C B D AD CB D B S S S S S '''∆∆'∆''∆=+++()2B AD A B D S S ∆'∆''=+11222B F D E A D A B '''⎛⎫=⨯+⨯ ⎪⎝⎭ 113634222⎛⎫= ⨯⨯+⨯⨯⎪⎭⨯⎝ 30=，故选：B ．例题5．如图所示，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，点A 处有一所中学，160AP m =，点A 到公路MN 的距离为80m ．假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪声影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明影响，已知拖拉机的速度为18/km h ，那么学校受影响的时间为多少秒？【答案】会受到影响，影响时间为24秒【解析】由A 点向MN 作垂线AB ，垂足为B ，通过比较AB 的长与100的大小，从而判断是否会受影响；再利用勾股定理求得距离A 点100米到离开100米的距离，除以拖拉机的速度即为影响学校的时间．解：①80100<， ∴学校会受到拖拉机的影响；如图：作AC MN ⊥于C ，则80AC =．假设当拖拉机行驶到B 点开始影响学校，行驶到D 点结束对学校的影响，则100AB AD ==米，60BC CD ∴=米，260120BD ∴=⨯=米， 18千米/时5=米/秒，÷=秒所以影响学校的时间为：120524∴拖拉机会影响学校，影响时间为24秒．例题6．如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东60°方向走了到达点B，然后再沿北偏西30°方向走了50m到达目的地C．（1）求A、C两点之间的距离；（2）确定目的地C在营地A的北偏东多少度方向．【答案】（1）100；（2）目的地C在营地A的北偏东30°的方向上【解析】（1）根据所走的方向判断出①ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解.∠的度数，即可求出方向.(1)如图，过点B作BE//AD.（2）求出DAC①DAB=①ABE=60°①30°+①CBA+①ABE=180°①CBA=90°AC=22BC AB=100(m).(2)在Rt①ABC中，①BC=50m,AC=100m,CAB=30°.①①DAB=60°,DAC=30°，即目的地C在营地A的北偏东30°的方向上例题7．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B 处，在沿海城市A 的正南方向240 千米，其中心风力为12 级，每远离台风中心25 千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20 千米/时的速度沿BC 方向移动．已知AD①BC且AD= 12AB，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4 级，则称受台风影响．试问：（1）A 城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？【答案】（1）该城市会受到这次台风的影响．（2）台风影响该市的持续时间16小时（3）该城市受到这次台风最大风力为7.2级．【解析】（1）求是否会受到台风的影响，其实就是求A到BC的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过A作AD①BC于D，AD就是所求的线段．（2）以A为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆与BC有两个交点E、F，E即开始影响，F是结束影响，求出EF长度再除以台风速度即为影响持续时间．（3）风力最大时，台风中心应该位于D点，然后根据题目给出的条件判断出时几级风．解：（1）该城市会受到这次台风的影响．理由是：如图，过A作AD①BC于D．在Rt①ABD中，①①ABD=30°，AB=240，①AD=12AB =120，①城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，①受台风影响范围的半径为25×（12-4）=200．①120＜200，①该城市会受到这次台风的影响．（2）如图以A为圆心，200为半径作①A交BC于E、F．则AE=AF=200，ED=FD．①台风影响该市持续的路程为：EF=2DF=222AF AD=320．①台风影响该市的持续时间t=320÷20=16（小时）．（3）①AD距台风中心最近，①该城市受到这次台风最大风力为：12-（120÷25）=7.2（级）．例题8．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出3.6cm，为节省材料，管长acm的取值范围是__．【答案】15.6cm≤a≤16.6cm．【解析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时最短为12+3.6＝15.6；最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答即可解：吸管放进杯里垂直于底面时最短为12+3.6＝15.6（cm）；最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，底面直径为2×2.5＝5（cm）．13（cm），总长为13+3.6＝16.6（cm），故管长acm 的取值范围是15.6cm≤a≤16.6cm ．故答案为15.6cm≤a≤16.6cm ．例题9．如图，某人欲从点A 处入水横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸的地点C 偏离欲到达的地点B200m ，结果他在水中实际游了250m ，求该河流的宽度为________m.【答案】150【解析】分析：从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．详解：AB （米）．故答案为150①一、单选题1．如图，为了测量池塘的宽度DE ，在池塘周围的平地上选择了A 、B 、C 三点，且A 、D 、E 、C 四点在同一条直线上，90C ∠=︒，已测得100m AB =，60m BC =，20m AD =，10m EC =，则池塘的宽度DE （ ）A ．80mB ．60mC ．50mD ．40m【答案】C【解析】根据已知条件在直角三角形ABC中，利用勾股定理求得AC的长，用AC减去AD、CE求得DE即可．解：在Rt①ABC中，AC＝80m所以DE＝AC−AD−EC＝80−20−10＝50m故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，将数学知识与生活实际联系起来，是近几年中考重点考点之一．2．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相聚8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（）米．A．7B．8C．9D．10【答案】D【解析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解：两棵树的高度差为826m，间距为8m，根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离228610m．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．3．如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（）A．9海里B．10海里C．11海里D．12海里【答案】B【解析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，①①AOB=90°，又①OA=8海里，OB=6海里，①AB10==（海里）．故选：B．【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，正确运用勾股定理,善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．4．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵大树在距地面5米的C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量树尖B与树桩A相距12米，则大树折断前高为（）A．13米B．17米C．18米D．22米【答案】C【解析】在Rt①ACB中，根据勾股定理可求得BC的长，而树的高度为AC+BC，AC的长已知，由此得解．解：Rt①ABC 中，AC=5米，AB=12米，由勾股定理，得：BC13=米，①树的高度为：AC+BC=18米，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．5．将一根20cm 的细木棍放入长，宽，高分别为4cm ，3cm ，12cm 的长方体盒子中，则细木棍露在外面的最短长度为（ ）．A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】B【解析】 根据题意得到木棒露在外面的最短情况，然后利用勾股定理进行求解即可．解：按如图所示的方法放置细木棒，露在盒子外面的部分才最短．在Rt CDE △中，由勾股定理，得()5cm CE ==．在Rt BCE 中，由勾股定理，得()13cm BC ===，此时露在盒子外面的部分为()20137cm AB =-=．故选B ．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．6．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若14ab =，大正方形的面积为64，则小正方形的边长为（ ）A ．9B ．6C ．4D ．3【答案】B【解析】 已知ab ＝14可求出四个三角形的面积，用大正方形面积减去四个三角形的面积得到小正方形的面积，根据面积利用算术平方根求小正方形的边长.由题意得：大正方形的面积为2264a b +=，又小正方形边长为-a b ，14ab =，()2222a b a b ab -=+-，()26421436a b ∴-=-⨯=，0a b ->， 6a b ∴-=．故小正方形边长为6．故选B ．【点睛】本题考查勾股定理的推导，有较多变形题，解题的关键是找出图形间面积关系，同时熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．7．如图，快艇从A 地出发，要到距离A 地10海里的C 地去，先沿北偏东70°方向走了8海里，到达B 地，然后再从B 地走了6海里到达C 地，此时快艇位于B 地的（ ）．A ．北偏东20°方向上B ．北偏西20°方向上C ．北偏西30°方向上D ．北偏西40°方向上【答案】B【解析】 先根据勾股定理的逆定理得出①ABC=90°，根据平行线的性质可得：①ABE=110°，根据角的和差可得①CBE=110°－90°=20°，继而即可得出结论．解：① AC=10海里，AB=8海里，BC=6海里，根据勾股定理的逆定理可知222=AB BC AC ，①①ABC=90°，①①DAB=70°，AD①BE ，①①ABE=110°，则①CBE=110°－90°=20°，即点C 在点B 的北偏西20°方向上．故选B【点睛】本题主要考查勾股定理、平行线的性质、角的和差，解题的关键的利用勾股定理的逆定理求出①ABC=90°．8．如图所示，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，则AM 的长为（ ）A1B C．3D．6﹣【答案】A【解析】要求AM的长，只需求得AF的长，根据AF、AP和PF之间的关系，可得出AF的长度，又AF=AM，即可得出．在Rt①APD中，AB=2，AD=2，取AB的中点P，①AP=1，由勾股定理知==1,故选A．【点睛】此题考查正方形的性质，勾股定理，解题关键在于求得AF的长．AO=米.若梯子的顶端沿墙下滑1米，这时梯子9．如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得4的底端也恰好外移1米，则梯子AB的长度为（）A．5米B．6米C．3米D．7米【答案】A【解析】设BO xm =，利用勾股定理依据AB 和CD 的长相等列方程，进而求出x 的值，即可求出AB 的长度．解：设BO xm =，依题意，得1AC =，1BD =，4AO =．在Rt AOB 中，根据勾股定理得222224AB AO OB x =+=+，在Rt COD 中，根据勾股定理22222(41)(1)CD CO OD x =+=-++，22224(41)(1)x x ∴+=-++，解得3x =，5AB ∴==，答：梯子AB 的长为5m ．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AB CD =利用勾股定理列方程是解题的关键． 10．M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】如图，过点M 作ME①PB ，在BP 上取点F ，H ，设MF=MH=150km ，求出FH ，然后利用时间=路程÷速度，计算即可解决问题．解：如图，过点M 作ME①PB ，在BP 上取点F ，H ，设MF=MH=150km在Rt①PME中，①①MEP=90°，PM=240km，①MPB=30°，①ME=12PM=120km，（km），①FH=180km，①受台风影响的时间有180÷45=4（小时）．故选：A【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型．11．2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（）A．10m B．11m C．12m D．13m【答案】B【解析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，在Rt①ABC 中利用勾股定理可求出x．设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+22，右图，根据勾股定理得，绳长的平方＝（x﹣1）2+52，①x 2+22＝（x ﹣1）2+52，解得x ＝11，故选：B ．【点睛】此题考查勾股定理，题中有两种拉绳子的方式，故可以构建两个直角三角形，形状不同大小不同但都是直角三角形且绳子的长度是不变的，因此根据绳子建立勾股定理的等式，由此解答问题.12．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成．将四个直角三角形的较短边(如AF )向外延长1倍得到点A '，B '，C '，D ，并连结得到图2.已知正方形EFGH 与正方形A B C D ''''的面积分别为21cm 和285cm ，则图2中阴影部分的面积是( )A ．215cmB ．230cmC ．236cmD ．260cm【答案】B【解析】 由正方形EFGH 与正方形A B C D ''''的面积分别为21cm 和285cm ,可得大小正方形的边长，设四个直角三角形的较短边为x ，则在''Rt A ED ∆中，由勾股定理可求出x ，从而可求出相关三角形的边长，即可求出阴影部分的面积．①正方形EFGH 与正方形A B C D ''''的面积分别为21cm 和285cm ，①1FG G HE E H F ====，A B B C C D A D ===''''''''=设四个直角三角形的较短边为x ，则在Rt E A D ∆''中，2D E x '=，21x A E '=+，由题意根据勾股定理得，222E E D A A D ''''+=，即()()222221x x ++=， ①13x =，2 3.5x =-（舍去），即3AF =，①314A AE C F G EF ==+=+=，2236A C H AF F ''=⨯===，132F BB DD A ==''='， ①图2中阴影部分的面积是：A B D C B D AD CB D B S S S S S '''∆∆'∆''∆=+++()2B AD A B D S S ∆'∆''=+11222B F D E A D A B '''⎛⎫=⨯+⨯ ⎪⎝⎭ 113634222⎛⎫= ⨯⨯+⨯⨯⎪⎭⨯⎝ 30=，故选：B ．【点睛】本题考查有关勾股定理的应用．解决此题的关键是根据勾股定理求出四个直角三角形的较短边．二、填空题13．如图，正方形OABC 的边OC 落在数轴上，点C 表示的数为1，点P 表示的数为﹣1，以P 点为圆心，PB 长为半径作圆弧与数轴交于点D ，则点D 表示的数为___________．1【解析】根据勾股定理求出PB的长，即PD的长，再根据两点间的距离公式求出点D对应的数．由勾股定理知：PB①PD＝5,①点D 1.1.【点睛】此题考查勾股定理及圆的半径、数轴等知识，结合各知识点熟练运用是解题关键.14．如图，一个边长为4cm的正方体，A、B为两相对的顶点，一只蚂蚁从点A沿表面爬到点B，它爬行的最短距离为________cm．【答案】【解析】把正方体进行展开，然后根据勾股定理及两点之间线段最短进行求解即可．如图，根据题意可知最短距离为AB，根据勾股定理得：AB=．蚂蚁爬行的最短距离为．【点睛】本题主要考查勾股定理及最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．15．如图，铁路MN和公路PQ在O点处交汇，公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，如果火车行驶时，周围两百米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向，以144千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是_______s【答案】8【解析】过点A作AC①ON，根据题意可知AC的长与200米相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200米，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．解：如图：过点A作AC①ON，AB=AD=200米，①公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，①AC=120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，①AB=200米，AC=120米，①由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，①144千米/小时=40米/秒，①影响时间应是：320÷40=8秒．故答案为：8．本题考查勾股定理的应用．根据题意构建直角三角形是解题关键．16．将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为h cm，则h的最小值__，h的最大值__．【答案】11cm 12cm【解析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，利用勾股定理计算即可．解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12（cm）．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，此时，在杯子内的长度=13（cm），故h=24﹣13=11（cm）．故h的取值范围是11≤h≤12cm．故答案为：11cm；12cm．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意、掌握勾股定理的计算公式是解题的关键．17．如图，把直角三角形纸片折叠，使点C落在C′处，折痕为AD，得到①CDC′＝60°．若①ABC＝90°，AB＝1，AC，则CD＝_____．【答案】3根据周角的定义和折叠的性质可求①ADC＝150°，根据平角的定义可求①ADB＝30°，可得AD＝2AB＝2，再根据勾股定理可求BC，BD，再根据线段的和差关系可求CD的长．解：①把直角三角形纸片折叠，使点C 落在C′处，折痕为AD，①CDC′＝60°，①①ADC＝150°，①①ADB＝30°，①AD＝2AB＝2，①①ABC＝90°，①BC3=，BD=，①CD＝BC﹣BD＝3-．故答案为：3【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，利用勾股定理得出BC与BD是解题的关键．18．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折=尺），现被大风抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈10折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为__________．【答案】4.55【解析】设折断后的竹子的高为x尺，根据勾股定理列出方程求解即可．解：如图设折断后的竹子高AC为x尺，则AB长为（10−x）尺，根据勾股定理得：AC²＋BC²＝AB²，即：x²＋3²＝(10−x)²，解得：x＝4.55，故答案为：4.55.考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．19．如图，已知在ABC ∆中，90C ∠=︒，2BC =，点D 是边BC 的中点，ABC CAD ∠=∠，将ACD ∆沿直线AD 翻折，点C 落在点E 处，联结BE ，那么线段BE 的长为________．【解析】由题意可以分析知①ADC 与①ABC 相似可求出，再根据三角形面积求出EC 的长，由题意知道①BEC 为直角三角形，根据勾股定理即可求出BE 的长．由题意做图，如图：由折叠知识知EC①AD ，在①ADC 与①ABC 中，C C ABC CAD ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ①①ADC①①ABC ， ①DC AC AC BC= , ①2BC =，点D 是边BC 的中点，代入DC AC AC BC=可得：，由勾股定理可得，由四边形AEDC 面积等于2①ADC 可得：21DC AC 2⨯⨯⨯=12AD EC ⨯，解得：EC=2DC AC AD ⨯⨯=2DC AC AD ⨯⨯又①ED=BD=DC ，①①BEC 是直角三角形（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），【点睛】 本题考查直角三角形折叠问题，涉及到相似和勾股定理，求出EC 是关键一步．20．（2019高桥期中考）如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边上的F 点处，若AB =8cm ，BC =10cm ，则EC 长为__________．【答案】3cm .【解析】首先根据勾股定理求出BF 的长，进而求出FC ，设DE xcm =，则EF DE xcm == 由长方形的宽表示出EC 的长度，根据勾股定理列出方程即可求解；设DE xcm =四边形ABCD 是矩形，∴ 8DC AB cm ==，90B C ∠=∠=由折叠的性质可得：10AF AD cm ==，DE EF xcm ==，()8EC x cm =-由勾股定理可得：6BF cm ==∴4=FC cm∴在EFC中，由勾股定理可得：()222+-=48x xx=解得：5∴853EC cm=-=故答案是：3cm【点睛】本题主要考查长方形中三角形的折叠问题，同时结合了勾股定理的计算，根据题意列出关于勾股定理的方程是求解本题的关键.21．如图，东西海岸线上有A、B两个码头，相距6千米，灯塔P到码头A距离为P在码头B的北偏东45︒方向，则灯塔P与直线AB的距离为______千米．【答案】4【解析】过P作PH①AB交AB的延长线于H，在RtΔAPH中利用勾股定理列方程求解.解：如图，过P作PH①AB 交AB的延长线于H，根据题意可得，①PBH=45°, AB=6千米，PA=①①PBH=①BPH=45°,①PH=BH，设PH=x千米，AP AH PH,在RtΔAPH中，由勾股定理得，222①2226x x,解得，x1= 4，x2= -10(不符合题意，舍去）,①PH=4千米，即灯塔P与直线AB的距离为4千米.故答案为：4【点睛】本题考查勾股定理的实际应用问题，方位问题，应用勾股定理列方程求解是解答此题的重要思路.22．将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长为h cm, 则h的取值范围是__________.【答案】11cm≤h≤12cm．【解析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12（cm）．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB===13（cm），故h=24﹣13=11（cm）．故h的取值范围是11cm≤h≤12cm．故答案为11cm≤h≤12cm．【点睛】本题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度．23．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，以BC 为斜边作等腰直角BCD ∆，连接DA ，若AB =AC =则DA 的长为______．【答案】6或2.【解析】由于已知没有图形，当Rt①ABC 固定后，根据“以BC 为斜边作等腰直角①BCD”可知分两种情况讨论： ①当D 点在BC 上方时，如图1，把①ABD 绕点D 逆时针旋转90°得到①DCE ，证明A 、C 、E 三点共线，在等腰Rt①ADE 中，利用勾股定理可求AD 长；①当D 点在BC 下方时，如图2，把①BAD 绕点D 顺时针旋转90°得到①CED ，证明过程类似于①求解．解：分两种情况讨论：①当D 点在BC 上方时，如图1所示，把①ABD 绕点D 逆时针旋转90°，得到①DCE ，则①ABD=①ECD ，，AD=DE ，且①ADE=90°在四边形ACDB 中，①BAC+①BDC=90°+90°=180°，①①ABD+①ACD=360°-180°=180°，①①ACD+①ECD=180°，①A 、C 、E 三点共线．在等腰Rt①ADE 中，AD 2+DE 2=AE 2，即2AD 2=（）2，解得AD=6①当D点在BC下方时，如图2所示，把①BAD绕点D顺时针旋转90°得到①CED，则，①BAD=①CED，AD=AE且①ADE=90°，所以①EAD=①AED=45°，①①BAD=90°+45°=135°，即①CED=135°，①①CED+①AED=180°，即A、E、C三点共线．①AE=AC--在等腰Rt①ADE中，2AD2=AE2=8，解得AD=2．故答案为：6或2.【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，解决这类等边（或共边）的两个三角形问题，一般是通过旋转的方式作辅助线，转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解．24．在锐角三角形ABC中．∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是____．【答案】4【解析】过点C作CE①AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′①BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据①ABC=45°，BD平分①ABC可知①BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．解：过点C作CE①AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′①BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，①ABC=45°，BD平分①ABC，①①BCE是等腰直角三角形，=4．2①CM+MN的最小值为4．【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．三、解答题25．如图，小东将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约4米，请算出旗杆的高度．【答案】旗杆的高度为16米【解析】设旗杆的高度为x米，根据勾股定理列出方程，然后解方程即可求解．解：设旗杆的高度为x米，则绳长为（x+4）米，由勾股定理得：x2+122=(x+4)2，解得：x=16，答：旗杆的高度为16米．【点睛】本题考查勾股定理的应用、解一元一次方程，读懂题意，利用勾股定理列出方程是解答的关键．26．如图，铁路MN和铁路PQ在P点处交汇，点A处是重庆市第九十四中学，AP＝160米，点A到铁路MN的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响．（1）火车在铁路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由．（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时那么学校受到影响的时间是多久？【答案】（1）学校会受到影响，理由见解析；（2）学校受到影响的时间是2.4秒．【解析】（1）过点A作AE①MN于点E，由点A到铁路MN的距离为80米可知AE＝80m，再由火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响即可直接得出结论；（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB、AC，则AB＝AC＝100m，在Rt①ABE中利用勾股定理求出BE的长，进而可得出BC的长，根据火车的速度是180千米/时求出火车经过。
勾股定理应用(含解答)
勾股定理点击一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2 = c 2． 即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方．因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形；（2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长． 即c 2= a 2＋b 2，a 2= c 2－b 2，b 2= c 2－a 2． 点击二：学会用拼图法验证勾股定理拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理．如，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形． 请读者证明．如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a ，b ，c 的四个直角三角形拼成的一个以c 为边长的正方形，则图2（1）中的小正方形的边长为（b －a ），面积为（b －a ）2，四个直角三角形的面积为4×21ab = 2ab ．（图1）（2）（3）由图（1）可知，大正方形的面积 =四个直角三角形的面积＋小正方形的的面积，即c 2 =（b －a ）2＋2ab ，则a 2＋b 2 = c 2问题得证．请同学们自己证明图（2）、（3）． 点击三：在数轴上表示无理数将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题．第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点． 点击四：直角三角形边与面积的关系及应用直角三角形有许多属性，除边与边、边与角、角与角的关系外，边与面积也有内的联系.设a 、b 为直角三角形的两条直角边，c 为斜边，S ∆为面积，于是有：222()2a b a ab b +=++，222a b c +=，12442ab ab S ∆=⨯=，所以22()4a b c S ∆+=+.即221[()]4S a b c ∆=+-.也就是说，直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一.利用该公式来计算直角三角形的有关面积、周长、斜边上的高等问题，显得十分简便.点击五：熟练掌握勾股定理的各种表达形式．如图2，在Rt ABC ∆中,90=∠C 0,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c,则c 2=a 2+b 2, a 2=c 2-b 2 , b 2=c 2-a 2, 点击六：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两条边，求第三边； （2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系； （3）用于推导线段平方关系的问题等．（4）用勾股定理，在数轴上作出表示2、3、5的点，即作出长为n 的线段．类型之一：勾股定理例1：如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm 和5cm ，那么这个直角三角形的面积是 cm 2．解析：欲求直角三角形的面积，已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长，则求得另一直角边的长即可． 根据勾股定理公式的变形，可求得．解：由勾股定理，得132－52=144，所以另一条直角边的长为12． 所以这个直角三角形的面积是21×12×5 = 30（cm 2）． 例2： 如图3(1),一只蚂蚁沿棱长为a 的正方体表面从顶点A 爬到 顶点B,则它走过的最短路程为( )A ．a 3B ．a )21(+C ．3aD ．a 5 解析:本题显然与例2属同种类型,思路相同．但正方体的 各棱长相等,因此只有一种展开图．解:将正方体侧面展开得,如图3⑵． 由图知AC=2a,BC=a ．根据勾股定理得.a 5a 5a )a 2(AB 222==+= 故选D ．类型之二：在数轴上表示无理数例3：在数轴上作出表示出两直角边的长度后即可在数轴上作出．解：3和1，所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线段，如图所示，然后即可确定斜边长，线段即可．∙ ∙AB C图3⑵∙ AB图3⑴下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用例5：阅读材料，第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且OA1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=……=A 8A 9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积．解：2；3；2；5；6；7；22；3；这8条线段的长的乘积是7072例6：2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么()2b a +的值为（ ）（A ）13 （B ）19 （C ）25 （D ）169解析：由勾股定理，结合题意得a 2+b 2=13 ①. 由题意，得 (b-a)2=1 ②. 由②，得 a 2+b 2-2ab =1 ③. 把①代入③，得 13-2ab=1 ∴ 2ab=12.∴ (a+b)2= a 2+b 2+2ab =13+12=25. 因此，选C.说明：2002年8月20日~28日，我国在首都北京成功举办了第24届国际数学家大会. 这是在发展中国家举行的第一次国际数学家大会，也是多年来在我国举行的最重要的一次国际会议. 它标志着我国数学已度过了六百多年的低谷，进入了数学大国的行列，并向着新世纪成为数学强国迈开了步伐. 这次大会的会标如下图所示：它取材于我国三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》. 类型之四：勾股定理的应用（一）求边长例1：已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长..（二）求面积例2：（1）观察图形思考并回答问题（图中每个小方格代表一个单位面积）①观察图1－1.正方形A中含有__________个小方格，即A的面积是__________个单位面积；正方形B中含有__________个小方格，即B的面积是__________个单位面积；正方形C中含有__________个小方格，即C的面积是__________个单位面积.②在图1－2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？③你能发现图1－1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？（2）做一做：①观察图1－3、图1－4，并填写下表：②三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？（3）议一议：①你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？②你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？③分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，②中的规律对这个三角形仍然成立吗？解析：注意到图中每个小方格代表一个单位面积，通过观察图形不能得到答案：①99 9 9 18 18；②A中含4个，B中含4个，C中含8个，面积分别为4，4，8；③A与B的面积之和等于C，图1－2中也是A与B的面积之和等于C.（2）①答案：②答案：.（3）答案：①设直角三角形三边长分别为a，b，c（如图）；②，.③成立.（三）作线段例3 作长为、、的线段．解析：作法：1．作直角边长为1（单位长）的等腰直角三角形ACB（如图）；2．以斜边AB为一直角边，作另一直角边长为1的直角三角形ABB1；3．顺次这样作下去，最后作到直角三角形AB2B3，这时斜边AB、AB1、AB2、AB3的长度就是、、、．证明：根据勾股定理，在Rt△ACB中，∵AB>0，∴AB=．其他同理可证．，、点评证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理；若无直角三角形，则可通过作垂线的方法，构成直角三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件.（五）实际应用例5：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？解析 （1）由点A 作AD⊥BC 于D ， 则AD 就为城市A 距台风中心的最短距离 在Rt△ABD 中，∠B=30º，AB ＝220，∴AD=21AB=110.由题意知，当A 点距台风（12－4）20＝160（千米）时，将会受到台风影响． 故该城市会受到这次台风的影响．（2）由题意知，当A 点距台风中心不超过60千米时，将会受到台风的影响，则AE ＝AF ＝160．当台风中心从E 到F 处时， 该城市都会受到这次台风的影响.由勾股定理得∴EF＝2DE ＝6015.因为这次台风中心以15千米/时的速度移动，所以这次台风影响该城市的持续时间为154151560 小时. （3）当台风中心位于D 处时，A 城市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－20110＝6.5级．。
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勾股定理的应用（人教版）
一、单选题(共10道，每道10分)
1.如图，Rt△ABC的直角边长分别为12和16，在其内部有n个小直角三角形，则这n个小直角三角形周长之和为( )
A.28
B.48
C.36
D.56
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：图形的平移
2.暑假中，小明到某海岛探宝．如图，他到达海岛登陆点后先往东走8km，又往北走
2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅1km就找到宝藏，则登陆点到埋宝藏点
的直线距离是( )km．
A. B.
C.10
D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用
3.如图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的对应的值为( )
A.2
B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用
4.一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角1.4m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.8m，那么梯脚移动的距离为( )m．
A.0.6
B.0.8
C.1.2
D.1.6
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用
5.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉
开7米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度为( )米．
A.8
B.12
C.24
D.25
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用
6.路旁有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行( )米．
A.8
B.10
C.12
D.14
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用
7.在一棵树上10米高的B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高为( )米．
A.5
B.15
C.20
D.18
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用
8.如图，将一个含60°角的三角板的直角顶点C放在一张宽为5cm的纸带边沿上，另一个顶点B在纸带的另一边沿上（∠ABC=60°），测得∠DBC=45°，则三角板的最大边长为( )cm．
A.5
B.10
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的性质和判定
9.如图，一棵树在一次强风中，从离地面5米处折断，倒下的部分与地面成30°夹角，如图所示，这棵树在折断前的高度是( )米．
A.10
B.15
C.5
D.20
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形
10.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为，，则的值为( )
A.8π
B.16π
C.25π
D.12.5π
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用。