中国邮递员问题 PPT
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中国邮路问题
2.3.3 中国邮递员问题
• 一名邮递员负责投递某个街区的邮件。如何为他（她）设 计一条最短的投递路线（从邮局出发，经过投递区内每条 街道至少一次，权无向图G中，寻找一条经过每边至少一次 且权和最小的闭链，即G的最优环游。
①如果对应的图G是欧拉图，那么对应于邮局的顶点出发的 任何一条欧拉回路都是符合上述要求的投递员的最优投递 路线。 如果图G只有两个奇度数顶点x和y，则存在一条以x和 y为端点的欧拉路。因此，所要求的最优投递路线是由这 条欧拉路+边{x，y}。
②如果连通图不是欧拉图。 由于图G有偶数个奇度数顶点，对于任两个奇度数顶点x 和y，在G中必有一条路连接。 将这条路上的每条边改为二重边得到的新图 H1 ，则x 和y就变为H1 的偶度数顶点，在这条路上的其他顶点的度 数均增加2，即奇偶性不变。 于是 H1 的奇顶点个数比G的奇顶点个数少2，对H1 重 复上述过程得H 2 ，再对H 2 重复上述过程得H 3 ，……，经 若干次后，可将G中所有奇度数顶点变为偶度数顶点，从 而得到多重欧拉图G'。 这个欧拉图G'的一条欧拉回路就相应于中国邮递员问题 的一个可行解，且欧拉回路的长度等于G的所有边的长 度加上每次连奇度数顶点的路的长度。
（2）假设G有一条长度大于 2的圈C，且C中重复边的权和大于圈 长的一半。 则将C中的重复边分别删去一 条，不重复的边各添加 一条重复边， 这样重复边的长度之和 减少，而欧拉图的性质 不变，与P的最优性相矛盾。
" ": 设P 1 ）（2）的两条闭链， 1、P 2 是满足定理条件（ 记P E1、E2， 1、P 2 重复边的集合分别为 则只需比较（E1 E2）和（E2 E1） , 记边集F （E1 E2） ( E2 E1 )的导出子图为 G '.
• 一名邮递员负责投递某个街区的邮件。如何为他（她）设 计一条最短的投递路线（从邮局出发，经过投递区内每条 街道至少一次，权无向图G中，寻找一条经过每边至少一次 且权和最小的闭链，即G的最优环游。
①如果对应的图G是欧拉图，那么对应于邮局的顶点出发的 任何一条欧拉回路都是符合上述要求的投递员的最优投递 路线。 如果图G只有两个奇度数顶点x和y，则存在一条以x和 y为端点的欧拉路。因此，所要求的最优投递路线是由这 条欧拉路+边{x，y}。
②如果连通图不是欧拉图。 由于图G有偶数个奇度数顶点，对于任两个奇度数顶点x 和y，在G中必有一条路连接。 将这条路上的每条边改为二重边得到的新图 H1 ，则x 和y就变为H1 的偶度数顶点，在这条路上的其他顶点的度 数均增加2，即奇偶性不变。 于是 H1 的奇顶点个数比G的奇顶点个数少2，对H1 重 复上述过程得H 2 ，再对H 2 重复上述过程得H 3 ，……，经 若干次后，可将G中所有奇度数顶点变为偶度数顶点，从 而得到多重欧拉图G'。 这个欧拉图G'的一条欧拉回路就相应于中国邮递员问题 的一个可行解，且欧拉回路的长度等于G的所有边的长 度加上每次连奇度数顶点的路的长度。
（2）假设G有一条长度大于 2的圈C，且C中重复边的权和大于圈 长的一半。 则将C中的重复边分别删去一 条，不重复的边各添加 一条重复边， 这样重复边的长度之和 减少，而欧拉图的性质 不变，与P的最优性相矛盾。
" ": 设P 1 ）（2）的两条闭链， 1、P 2 是满足定理条件（ 记P E1、E2， 1、P 2 重复边的集合分别为 则只需比较（E1 E2）和（E2 E1） , 记边集F （E1 E2） ( E2 E1 )的导出子图为 G '.
归纳中国邮递员问题.pptx
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4
– 第二步：考虑到从配货中心出发的送货车辆，在送完所有的门店货物 后，仍需要返回配货中心，故再需对生成的最小树采用中国邮递员线 路的算法进行扩充。
奇点有：V0，V1，V3，V4，V6，V7，V8，V9，V10，V12。故需增加边 V3V5，重复边V0V1，V5V6，V4V9，V9V10，V7V12，V8V12，V9V12等 7条。
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6
– 第四步：检查有重复边的线路是否是多余的。即检查重复边的两端是
否已有其他线路相连通，如有的话，可将重复边连同原边从线路图中 删去。发现重复边V4V5的两端可通过其他线路相连，可将V4V5及重复 边一起从线路图中删去。即可得送货线路如下：V0—V1—V2—V3— V5—V6—V10—V9—V12—V7—V8—V12—V9—V4—V11—V1—V0。线 路的总长度减少为215千米。总长度较前减少了20千米。
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7
– 第五步：要综合考虑问题，在优化第三步时，同时考虑第四步有没有 重复边是多余的。此例题发现：圈V0—V1—V2—V13—V0中，加重复 边的长度为23， 不加重复边的长度为15+9+8=32，故不需要改进，但 是，去掉重复边V0V1，增加重复边V1V2，V0V13，V13V2。则V1V2成 为重复边，发现重复边V1V2的两端可通过其他线路相连，可将V1V2及 重复边一起从线路图中删去。这样去掉重复边V0V1和V1V2，总和长度 为31千米，增加V0V13和V13V2，总和长度为24千米，总长度较前减少 了7千米。即可得送货线路如下： V0—V1—V11—V4—V9—V12—V7— V8—V12—V9—V10—V6—V5—V3—V2—V13—V0。线路的总长度减少 为208千米。
邮递员问题
邮递员问题简介邮递员问题（Travelling Salesman Problem，TSP）是一个著名的组合优化问题，被称为计算机科学中的经典问题之一。
该问题起源于邮递员在一天内送货的最短路径问题。
邮递员需要从一个起点出发，经过所有的目标点，最后回到起点。
问题的目标是找到一条最短的路径，使得所有目标点都被访问，同时回到起点。
TSP问题涉及到组合爆炸，通常在计算上是NP难的。
问题描述给定一个有向图和一个起点，邮递员需要从起点出发经过所有的节点，最后回到起点。
每条边的权重表示从一个节点到另一个节点的距离。
找到一条最短路径，使得所有的节点都被访问且回到起点。
解决方法1. 枚举法枚举法是最简单的解决TSP问题的方法。
它通过遍历所有可能的路径，计算每条路径的总长度，并返回最短路径的长度和路径本身。
然而，由于TSP问题是NP难的，当图的规模增加时，枚举法的计算复杂度呈指数增长，很难在合理的时间内求解。
2. 动态规划法动态规划法是解决TSP问题的常用方法之一。
该方法通过将问题划分为子问题，并使用递归的方式求解。
具体而言，我们可以定义一个状态数组dp，其中dp[S][i]表示从起点到节点i，经过节点集合S中的所有节点，最后回到起点的最短路径长度。
那么，我们可以使用如下的递推关系来计算dp数组：dp[S][i] = min(dp[S-{i}][j] + dis(j, i))，其中j∈S，j≠i通过不断更新dp数组，最终可以得到从起点出发经过所有节点并回到起点的最短路径长度。
3. 遗传算法遗传算法是一种启发式优化算法，被广泛应用于解决TSP问题。
它模拟生物进化的过程，通过基因交叉、变异等操作，生成新的个体，并通过评估函数对个体进行选择。
遗传算法的优点是能够在较短的时间内找到接近最优解的解，但不能保证找到全局最优解。
4. 改进算法针对TSP问题，还有一些改进的算法，如蚁群算法、模拟退火算法、禁忌搜索等。
这些算法在不同的问题实例上可能会有更好的表现。
运筹学 中国邮递员问题
§4.中国邮递员问题（Chinese Postman Problem）1．问题的提出例5. 一个邮递员从邮局出发投递信件, 然后再返回邮局, 如果他必须至少一次地走过他负责投递范围内的每条街道, 街道路线如下图所示, 问选择怎样的路线才能使所走的路为最短?5 6 78问题的图论表述：在赋权G=[V, E]上找一条经每条边至少一次的权最小的圈。
1960年山东师范学院管梅谷教授首先提出此问题，并设计了一个“奇偶点表上作业法”，后来发现此法不是多项式算法，1973年，Edmonds和Johnson给出一个多项式算法。
2．哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如下图所示。
城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
3．Euler圈Euler圈：经图G的每条边的简单圈Euler图：具有Euler圈的图Euler图非Euler图下面讨论的图G允许有重边，且重边被认为是有区别的边。
伪Euler 圈：经图G 的每条边至少一次的圈点v 的次：与点V 关联的边的数目奇(偶)点：该点的次为奇(偶)数命题1：G 的奇点个数为偶数命题2：G 中有伪Euler 圈 ⇔ G 无奇点中国邮递员问题可表述为：在图G 中找一条权最小的伪Euler 圈。
对于邮递员来说，有些街道可能会重复走，原问题便转化为尽可能少走重复的 街道。
我们将这些重复的边组成的集合称可行集，即找最小的可行集。
命题3：E *是最小可行集 ⇔ωωμμμ()()()()*()*()e e e E E E e E E ≤∑∑∀μ∈∩∈∩\初等圈重复的边 非重复的边4．算法思路由命题1，简单图G 的奇点个数为偶数，可设为v 1 , v 2 , …, v 2k , 对每个1≤ i ≤k, 找v 2i − 1 至v 2i 的链p i ，将p i 的边重复一次。
中国邮递员问题 ppt课件
中国邮递员问题
管梅谷教授首先提出的方法是奇偶点图上作业 法（1962年）
Edmonds，Johnson（1973年）给出有效算法。
复杂度为 O(|V(G)|2|E(G)|)
中国邮递员问题
中国邮递员问题
解决这样的问题，可以采用奇偶 点图上作业法：如果在配送范围 内，街道中没有奇点，那么他就 可以从配送中心出发，走过每条 街道一次，且仅一次，最后回到 配送中心，这样他所走的路程也 就是最短的路程。
原来的问题可以叙述为在一个有奇点的图中， 要求增加一些重复边，使新图不含奇点，并且 重复边的总权为最小。
我们把使新图不含奇点而增加的重复边简称为 可行（重复边）方案，使总权最小的可行方案 为最优方案。
现在的问题是第一个可行方案如何确定？ 在确定一个可行方案后，怎么判断这个方案是
否为最优方案？ 若不是最优方案，如何调整这个方案？
Fleury算法的复杂度是 O(| E(G)|2)
中国邮递员问题
求欧拉回路的算法(回路算法)
算法思想: 首先得到一个回路C1, 再在剩
下的图G- C1中求一条与C1有公共顶点的
回路C2, 则C1与 C2构成一个更长的回路,
继续下去可得到含所有边恰好一次的回
路. 回路算法的复杂度是
O(|
E(G) |)
这个问题就是一笔画问题。
中国邮递员问题
管梅谷教授。
上海市人。1957年毕业于华 东师范大学数学系。历任 山东师范大学讲师、副教 授、教授、校长，中国运 筹学会第一、二届常务理 事，山东省数学学会第四 届副理事长，山东省运筹 学会第一届副理事长，山 东省世界语协会理事长。 是第六届全国政协委员。 从事运筹学及其应用的研 究，对最短投递路线问题 的研究取得成果。所提模 型在国外称为中国投递问 题。
中国邮递员问题——欧拉巡回
案例2：铲雪车的行驶路线问题
铲雪车的行驶路线问题（MCM 90B题）
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案例1：双车道公路扫雪模型
问题 某地区的双车道公路如图1的图G（单 位是千米），路上积满了雪 。一辆扫雪车从 v1点出发，扫除公路上的所有积雪，最后回 到v1 。 要求1） 请你为扫雪车选择一条路径，使它 经过的总路程最短。 要求2） 现在先进的喷气扫雪车只需沿公 路一侧行驶，就能清除两个车道的积雪。如 果改用喷气扫雪车来扫雪，再请你为它选择 一条路径，使它经过的总路程最短。
6 8 v4 5 7 3 v5
5 4
9 6 v9 1 v10 2 v15
v6 5 v12
v7
4 3
2 v8
3
v11 1 1 v13 v14
案例1：双车道公路扫雪模型
深度优先搜索法遍历求解
要求1）的解法2 还可用深度优先搜索法（迷宫法则），遍历所有边，且 每边正好来回各走一次。 迷宫任务：从迷宫入口处出发，每个走廊都要搜索，最后 再从入口出来．
求解中国邮递员问题的算法
最小权对集法（Edmonds) 设G是连通加权图。 1) 求G的所有奇次顶点之间的最短路径及其 长度； 2) 以G的所有奇次顶点为顶点集作一完全图， 各条边上的权赋为两端点在原图中的最短路径长度， 得到一个加权完全图，记为G1；求G1的最小权理想 匹配M, 得到奇次顶点的最佳配对； 3）在G中，沿最佳配对奇次顶点间的最短路径 添加重复边得欧拉图G*，G*的欧拉巡回即为所求。
基本概念与基本结论
无向图的情形
结论一：连通图G是欧拉图的充要条件是G无奇次顶 点。
结论二：连通图G有欧拉道路的充要条件是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ最多有 两个奇次顶点。 结论三：任何无向图的奇次顶点数目必为偶数。
01-中国邮递员问题
欧拉图及判定定理
顶点可能重复
一进一出
经过一次 且不重复
偶点
如果一个连通图有欧拉环游，即从某个顶点出发，经过该图所有边一次，且不 重复，最后回到出发点，则对中间经过的任一顶点都是一进一出，而出发点开始出 去最后又进来，也是一进一出。注意有的顶点可能有若干次一进一出。不论如何， 都意味着该图的每个顶点都应该是偶点（即进出总共偶数条边）。
中国邮递员问题
厦门大学数学科学学院 金贤安
引言
中 国 邮 递 员 问 题 是 由 山 东 师 范 大 学 管 梅 谷 同 志 1960年首先提出的。
这是数学中为数不多的几个以“中国”命名的问题 或定理之一。
该问题涉及著名的的哥尼斯堡(Königsberg) 七桥问题。
七桥问题是图论和拓扑学的起源。
以交叉路口为顶点，街道为边，街道的长度为边的权得 到 一赋权图，我们称之为街道图。 不妨设邮局在一条街道上。 若街道图是欧拉图，有欧拉环游，无需重复走街道，沿 着 一个欧拉环游作为投递路线即可。
中国邮递员问题
若街道图不是欧拉图，则有些街道需要重复 走，那么中国邮递员问题就变为：重复走哪 些街道，使总路程最短？
给定一个连通图，我们称经过图的所有边一次且只有一次 的走法为一个欧拉通路。
如果进一步该走法还回到出发点，则称之为欧拉环游（回 路）。
具有欧拉环游的图称之为欧拉图。
C
哥尼斯堡问题即图3是否是欧拉图的问题。
A
B
D
图3 七桥问题对应图
欧拉图及判定定理
一笔画问题：什么样的图形可以一笔画成，笔不离纸，而 且每条线都只画一次不准重复？
(1) 在最优方案中，对街道图的任意一边，所添加的平行边的次数不会超过1。 事实上，若在某可行方案中，对街道图的某边，所添加的平行边的次数 大于等于2，那么在该方案中去掉该边2次，将得到一个新的更优的可行 方案，矛盾。
中国邮递员数学问题
中国邮递员数学问题
中国邮递员数学问题是一个著名的数学问题，也称为"中国邮递员问题"。
这个问题源于邮递员在担任邮递员工作时，需要沿着不同的街道进行投递。
邮递员必须走遍每一条街道至少一次，然后回到出发地点。
问题的目标是寻找一条最短的路径，使得邮递员能够满足投递的要求。
具体问题描述如下：给定一个城市的街道网络图，每条街道上都有一个正整数表示街道的长度。
邮递员需要从一个特定地点出发，沿着街道网络进行投递，然后回到出发地点。
要求邮递员经过的路径总长度最短。
这个问题属于旅行商问题的变种，是一个NP-完全问题。
因为问题规模较大，难以找到一个最优解。
因此，通常采用近似算法进行求解，如TSP（Traveling Salesman Problem）等。
邮递员问题在实际中有很多应用，比如快递员的路线规划、物流配送等。
解决这个问题可以提高物流效率，减少成本。
中国邮递员问题
管梅谷
管梅谷教授。 上海市人。1957年毕业于华 东师范大学数学系。历任 山东师范大学讲师、副教 授、教授、校长，中国运 筹学会第一、二届常务理 事，山东省数学学会第四 届副理事长，山东省运筹 学会第一届副理事长，山 东省世界语协会理事长。 是第六届全国政协委员。 从事运筹学及其应用的研 究，对最短投递路线问题 的研究取得成果。所提模 型在国外称为中国投递问 题。
求解。
推广的中国邮递员问题： 混合图的中国邮递员问题，有各种限制 的中国邮递员问题，动态网络的中国邮 递员问题。 其他相关问题-旅行售货员（TSP）问题， 灾清巡视路线。
谢谢!
v1 2 5 v2 5 9 v3 v4 图2 3 v8
4
3
v7
6
v9 4 4 4
v6
4
v5
这样就得到初始方案.在这个图中，没有奇点， 故称它为欧拉图。对应于这个可行方案，重复 边总权为51。
思考
这样的可行方案是不是只有一种呢？ 在确定一个可行方案后，怎么判断这个方案是 否为最优方案？ 若不是最优方案，如何调整这个方案？
欧拉图及求欧拉回路的算法
欧拉行迹—含所有边恰好一次的行迹 欧拉回路—含所有边恰好一次的回路 欧拉图—存在欧拉回路的图
设G是连通图, 下列命题等价: (1) G是欧拉图. (2) 每个顶点的度数都是偶数. (3) G是两两无公共边的圈的并.
欧拉图及求欧拉回路的算法
求欧拉回路的算法(Fleury算法，1921年) 算法思想: “过河拆桥,尽量不走独木桥”. 即若已选定迹 Wi v0e1v1e2 eivi , 从 G Wi 中选 取下一条边 ei 1 使得ei 1 与 vi 相关联, 且ei 1 不是 G Wi 的桥, 除非无边可选.
图论与网络模型_中国邮递员问题
● 管梅谷首先提出的方法是奇偶点图上作业法（1962 年） ● Edmonds，Johnson（1973 年）给出有效算法。
Edmonds-Johnson 算法
有奇点的中国邮路问题，这种情形下，有的边要通过至少两次。下图中，边旁写的是权。
图3
（1）在图 3 中，奇点集合为
V 0={v1 , v2 , v3, v4}
(5,6)，(9,7)。
邮递员问题
一位邮递员从邮局选好邮件去投递，然后返回邮局，他必须经过由他负责投递的每条街 道至少一次，为这位邮递员设计一条投递线路，使其耗时最少。
用图的语言来描述，就是给定一个连通图 G，在每条边 e 上有一个非负的权 w(e)，要寻 求一个回路 W，经过 G 的每条边至少一次，并且回路 W 的总权数最小。
图论中的图是由点和点与点之间的线所组成的。 通常，我们把点与点之间不带箭头的线叫做边，带箭头的线叫做弧。
如果边 [ vi, v j]∈ E ，E 是边集合，那么称 vi, vj 是边的端点，或者称 vi, vj 是相邻的。 如果一个图 G 中，一条边的两个端点是相同的，那么称为这条边是环。 如果两个端点之间有两条以上的边，那么称为它们为多重边。 一个无环，无多重边的图标为简单图。 一个无环，有多重边的图标图称为多重图。
∑ w(e )=min
e∈W
如果 G 是欧拉图，则所求的 W 就是一条欧拉回路。 由于这个问题是我国菅梅谷同志于 1962 年首先提出来的，因此国际上长称它为中国邮递 员问题。
求无奇点连通图的中国邮递员问题的算法(Fleury 算法)
就是求欧拉回路。算法思想：“过河拆桥，尽量不走独木桥”。 例如，下图是欧拉图，设从 v1 开始，寻找一条欧拉回路，如果开始三步是 v1v3v2v1，那 么就失败了，因为回到 v1 之后发现左侧的 v3 上的边还没有用过，而 v1 的关联边已全用过， 不能从 v1 再去通过左侧那些未用过的边了（注意每边只能用一次）。
Edmonds-Johnson 算法
有奇点的中国邮路问题，这种情形下，有的边要通过至少两次。下图中，边旁写的是权。
图3
（1）在图 3 中，奇点集合为
V 0={v1 , v2 , v3, v4}
(5,6)，(9,7)。
邮递员问题
一位邮递员从邮局选好邮件去投递，然后返回邮局，他必须经过由他负责投递的每条街 道至少一次，为这位邮递员设计一条投递线路，使其耗时最少。
用图的语言来描述，就是给定一个连通图 G，在每条边 e 上有一个非负的权 w(e)，要寻 求一个回路 W，经过 G 的每条边至少一次，并且回路 W 的总权数最小。
图论中的图是由点和点与点之间的线所组成的。 通常，我们把点与点之间不带箭头的线叫做边，带箭头的线叫做弧。
如果边 [ vi, v j]∈ E ，E 是边集合，那么称 vi, vj 是边的端点，或者称 vi, vj 是相邻的。 如果一个图 G 中，一条边的两个端点是相同的，那么称为这条边是环。 如果两个端点之间有两条以上的边，那么称为它们为多重边。 一个无环，无多重边的图标为简单图。 一个无环，有多重边的图标图称为多重图。
∑ w(e )=min
e∈W
如果 G 是欧拉图，则所求的 W 就是一条欧拉回路。 由于这个问题是我国菅梅谷同志于 1962 年首先提出来的，因此国际上长称它为中国邮递 员问题。
求无奇点连通图的中国邮递员问题的算法(Fleury 算法)
就是求欧拉回路。算法思想：“过河拆桥，尽量不走独木桥”。 例如，下图是欧拉图，设从 v1 开始，寻找一条欧拉回路，如果开始三步是 v1v3v2v1，那 么就失败了，因为回到 v1 之后发现左侧的 v3 上的边还没有用过，而 v1 的关联边已全用过， 不能从 v1 再去通过左侧那些未用过的边了（注意每边只能用一次）。
Chap.6-邮递员问题
11
6.中国邮递员问题 6.中国邮递员问题
v1
5 2
v8
3
4
v7
3 4
v2
5
6
v9
4
v6
4 4
v3
9
v4
v5
图8.29
12
6.中国邮递员问题 6.中国邮递员问题
在连接 v2 和 v4 的链中任取一条，比如链 （ v2,v1,v8,v7,v6,v5,v4 ） , 在 加 入 重 复 边 [v2,v1],[v1,v8],[v8,v7],[v7,v6],[v6,v5],[v5,v4 ]. 同 样 ， 任 取 连 接 v6 和 v8 的 一 条 链 (v8,v1,v2,v3,v4,v5,v6), 在 加 入 重 复 边 [v8,v1],[v1,v2],[v2,v3],[v3,v4],[v4,v5],[v5,v6 ].于是，得到图8.30 在连通图8.30中，没有奇点，故它是欧拉 图。对于这条邮递路线，重复边的总长 为:2W12+W23+W34+2W45+2W56+W67+W78+2W18=51。
6
6.中国邮递员问题 6.中国邮递员问题
v1-v2-v4-v3-v2-v4-v6-v5-v4-v6-v5-v3-v1,
总长是12。 也可以按照另一条路线走：
v1-v2-v3-v2-v4-v5-v6-v4-v3-v5-v3-v1,
总长是11。 按 照 第 1 条 路 线 走 ， 在 边 [v2,v4],[v4,v6],[v6,v5]上各走3两次，按照 第2条路线走，在边[v3,v2],[v3,v5]上各走了 两次。
15
6.中国邮递员问题 6.中国邮递员问题
免费)中国邮递员问题
2Biblioteka v 8 3 v 94
v 7 3 v 6
6
4
4 9 v 4
图4
4 4 v 5
检查图4中圈（v1,v2, v9, v6,v7, v8,v1）
的总长度为24，但圈上重复边总权为13， 大于该圈总长度的一半，因此可以做一次 调整，使重复边总长度下降为15。见图5。
v1 5 v2 5 v3
2
v8 3 v9 4
2
v 8 3 v 9
4
v 7 3 v 6
6
4
4 9 v 4
图3
4 4 v 5
第二步：调整可行方案
而给原来没有重复边的边上加上重复边， 图中仍然没有奇点。因而如果在某个圈上 重复边的总权数大于这个圈的总权数的一 半，像上面所说的那样做一次调整，将会 得到一个总权下降的可行方案。
其次，如果把图中某个圈上的重复边去掉，
18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯
堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河 中两个岛以及岛与河岸连接起来(如图)。 问是否可能从这四块陆地中任一块出发， 恰好通过每座桥一次，再回到起点？
欧拉于1736年研究并解决了此问题， 他
用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示 连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为 一个网络，把七桥问题化成判断连通网络 能否一笔画的问题。之后他发表一篇论文， 证明了上述走法是不可能的。并且给出了 连通网络可一笔画的充要条件这一著名的 结论。
v 1 3
v2
2
4
v 3
2 v4
5 6 4
v5
8 v6
4
如果在某条路线中，边[vi,vj]上重复走几次，
我们就在图中vi,vj之间增加几条边，令每条边 的权和原来的权相等，并把所增加的边，称为 重复边，于是这条路线就是相应的新图中的尤 拉图。 原来的问题可以叙述为在一个有奇点的图中， 要求增加一些重复边，使新图不含奇点，并且 重复边的总权为最小。 我们把使新图不含奇点而增加的重复边简称为 可行（重复边）方案，使总权最小的可行方案 为最优方案。
v 7 3 v 6
6
4
4 9 v 4
图4
4 4 v 5
检查图4中圈（v1,v2, v9, v6,v7, v8,v1）
的总长度为24，但圈上重复边总权为13， 大于该圈总长度的一半，因此可以做一次 调整，使重复边总长度下降为15。见图5。
v1 5 v2 5 v3
2
v8 3 v9 4
2
v 8 3 v 9
4
v 7 3 v 6
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4 9 v 4
图3
4 4 v 5
第二步：调整可行方案
而给原来没有重复边的边上加上重复边， 图中仍然没有奇点。因而如果在某个圈上 重复边的总权数大于这个圈的总权数的一 半，像上面所说的那样做一次调整，将会 得到一个总权下降的可行方案。
其次，如果把图中某个圈上的重复边去掉，
18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯
堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河 中两个岛以及岛与河岸连接起来(如图)。 问是否可能从这四块陆地中任一块出发， 恰好通过每座桥一次，再回到起点？
欧拉于1736年研究并解决了此问题， 他
用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示 连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为 一个网络，把七桥问题化成判断连通网络 能否一笔画的问题。之后他发表一篇论文， 证明了上述走法是不可能的。并且给出了 连通网络可一笔画的充要条件这一著名的 结论。
v 1 3
v2
2
4
v 3
2 v4
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v5
8 v6
4
如果在某条路线中，边[vi,vj]上重复走几次，
我们就在图中vi,vj之间增加几条边，令每条边 的权和原来的权相等，并把所增加的边，称为 重复边，于是这条路线就是相应的新图中的尤 拉图。 原来的问题可以叙述为在一个有奇点的图中， 要求增加一些重复边，使新图不含奇点，并且 重复边的总权为最小。 我们把使新图不含奇点而增加的重复边简称为 可行（重复边）方案，使总权最小的可行方案 为最优方案。
中国邮递员问题
? 这个问题就是一笔画问题。
12
管梅谷
管梅谷教授。
上海市人。1957年毕业于华 东师范大学数学系。历任 山东师范大学讲师、副教 授、教授、校长，中国运 筹学会第一、二届常务理 事，山东省数学学会第四 届副理事长，山东省运筹 学会第一届副理事长，山 东省世界语协会理事长。 是第六届全国政协委员。 从事运筹学及其应用的研 究，对最短投递路线问题 的研究取得成果。所提模 型在国外称为中国投递问 题。
? 定理：任何一个图中的奇点个数必为偶 数。
? 推论：连通的多重图有尤拉链，当且仅 当图中有两个奇点。
8
欧拉图及求欧拉回路的算法
? 欧拉行迹—含所有边恰好一次的行迹 ? 欧拉回路—含所有边恰好一次的回路 ? 欧拉图—存在欧拉回路的图
? 设G是连通图, 下列命题等价: (1) G是欧拉图. (2) 每个顶点的度数都是偶数. (3) G是两两无公共边的圈的并.
? 一笔画问题：从某一点开始画画，笔不离纸， 各条线路仅画一次，最后回到原来的出发点。
5
v1 a
b
c
v2
v3
v4
图1
图2
? 图1和图2当中哪一个图满足：从图中任何一点出 发，途径每条边，最终还能回到出发点？
? 试想：一个图应该满足什么条件才能达到上面要
求呢？
6
一笔画问题
? 凡是能一笔画出的图，奇点的个数最多 有两个。始点与终点重合的一笔画问题， 奇点的个数必是0。
13
中国邮递员问题
在一个连通的赋权图G（V，E）中，求一 条回路，使该回路包含G中的每条边至少 一次，且该回路的权最小．（称此回路 为最优回路或者中国邮路）
14
求解中国邮递员问题的算法
如果中国邮递员问题中的图是 欧拉图，那么欧拉回路就是最优回路。
12
管梅谷
管梅谷教授。
上海市人。1957年毕业于华 东师范大学数学系。历任 山东师范大学讲师、副教 授、教授、校长，中国运 筹学会第一、二届常务理 事，山东省数学学会第四 届副理事长，山东省运筹 学会第一届副理事长，山 东省世界语协会理事长。 是第六届全国政协委员。 从事运筹学及其应用的研 究，对最短投递路线问题 的研究取得成果。所提模 型在国外称为中国投递问 题。
? 定理：任何一个图中的奇点个数必为偶 数。
? 推论：连通的多重图有尤拉链，当且仅 当图中有两个奇点。
8
欧拉图及求欧拉回路的算法
? 欧拉行迹—含所有边恰好一次的行迹 ? 欧拉回路—含所有边恰好一次的回路 ? 欧拉图—存在欧拉回路的图
? 设G是连通图, 下列命题等价: (1) G是欧拉图. (2) 每个顶点的度数都是偶数. (3) G是两两无公共边的圈的并.
? 一笔画问题：从某一点开始画画，笔不离纸， 各条线路仅画一次，最后回到原来的出发点。
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? 图1和图2当中哪一个图满足：从图中任何一点出 发，途径每条边，最终还能回到出发点？
? 试想：一个图应该满足什么条件才能达到上面要
求呢？
6
一笔画问题
? 凡是能一笔画出的图，奇点的个数最多 有两个。始点与终点重合的一笔画问题， 奇点的个数必是0。
13
中国邮递员问题
在一个连通的赋权图G（V，E）中，求一 条回路，使该回路包含G中的每条边至少 一次，且该回路的权最小．（称此回路 为最优回路或者中国邮路）
14
求解中国邮递员问题的算法
如果中国邮递员问题中的图是 欧拉图，那么欧拉回路就是最优回路。
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（1）在最优方案中,图的每一边最多有一条
重复边 （2）在最优方案中,图中每个圈上的重复边的
总权不大于该圈总权的一半。
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图5
这个问题就是一笔画问题。
管梅谷教授。
上海市人。1957年毕业于华 东师范大学数学系。历任 山东师范大学讲师、副教 授、教授、校长，中国运 筹学会第一、二届常务理 事，山东省数学学会第四 届副理事长，山东省运筹 学会第一届副理事长，山 东省世界语协会理事长。 是第六届全国政协委员。 从事运筹学及其应用的研 究，对最短投递路线问题 的研究取得成果。所提模 型在国外称为中国投递问 题。
v1 a
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图1
图2
图1和图2当中哪一个图满足：从图中任何一点出 发，途径每条边，最终还能回到出发点？
试想：一个图应该满足什么条件才能达到上面要 求呢？
凡是能一笔画出的图，奇点的个数最多 有两个。始点与终点重合的一笔画问题， 奇点的个数必是0。
奇点：那个点的角度来看，数有多少条线从连接着那 个点，如果连接那个点的线的数量是奇数条，那这个 点就是奇点，反之，就是偶点。
其实可以通过连接匹配的奇点得到！
v1 2
v8 4
v7
5 v2 6
3 v9 4
3 v6
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4
4
的可行方案是不是只有一种呢？ 在确定一个可行方案后，怎么判断这个方案是
否为最优方案？
若不是最优方案，如何调整这个方案？
第二步：调整可行方案
最优方案必须满足以下（1）（2）两个条件：
欧拉于1736年研究并解决了 此问题， 他用点表示岛和陆
地，两点之间的连线表示连 接它们的桥，将河流、小岛 和桥简化为一个网络，把七 桥问题化成判断连通网络能 否一笔画的问题。之后他发 表一篇论文，证明了上述走 法是不可能的。并且给出了 连通网络可一笔画的充要条 件这一著名的结论。
一笔画问题：从某一点开始画画，笔不离纸， 各条线路仅画一次，最后回到原来的出发点。
O(|V(G)|2|E(G)|)
解决这样的问题，可以采用奇偶 点图上作业法：如果在配送范围 内，街道中没有奇点，那么他就 可以从配送中心出发，走过每条 街道一次，且仅一次，最后回到 配送中心，这样他所走的路程也 就是最短的路程。
对于有奇点的街道图，该怎么办呢？ 这时就必须在每条街道上重复走一次或多次。
我们把使新图不含奇点而增加的重复边简称为 可行（重复边）方案，使总权最小的可行方案 为最优方案。
现在的问题是第一个可行方案如何确定？ 在确定一个可行方案后，怎么判断这个方案是
否为最优方案？ 若不是最优方案，如何调整这个方案？
举个例子
车辆从某配送中心 （v1）出发，给街道
v1 2
边上的超市
一个邮递员送信，要走完他负责投递的 全部街道，投完后回到邮局，应该怎样 走，使所走的路程最短？
这个问题是我国管梅谷同志1960年首先 求出来的，因此在国际上通称为中国邮 递员问题。在物流活动中，经常会遇到 这样的问题，如：每天在大街小巷行驶 的垃圾车、洒水车、各售货点的送货车 等都需要解决一个行走的最短路程问题。
5
（v2,v3,v4,v5,v6,v
7,v8,v9）送货，如 图1所示。
v2 6
5
9 v3
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3 v9 4
4 4
v4 图1
v7 3
v6 4
v5
显然街区图上有奇点（4个），不满足“一笔画” 的条件，则必然有一些街道要被重复走过（添 加重复边）才能回到原出发点。此时得到的图 就无奇点。
那么该怎样添加重复边，使得图中全为偶点呢？
在一个多重边的连通图中，从某个顶点 出发，经过不同的线路，又回到原出发 点，这样的线路必是尤拉图，即能一笔 画出的图必是尤拉图。
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
W iv0e1v1e2 eivi G Wi
e i1
e i1
vi
e i1
G Wi
O(| E(G)|2)
O(| E(G)|)
举例说明
如图所示。
v1 2 v3
5 v5
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4 v4
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如果在某条路线中，边[vi,vj]上重复走几次， 我们就在图中vi,vj之间增加几条边，令每条 边的权和原来的权相等，并把所增加的边，称 为重复边，于是这条路线就是相应的新图中的 尤拉图。
原来的问题可以叙述为在一个有奇点的图中， 要求增加一些重复边，使新图不含奇点，并且 重复边的总权为最小。
中国邮递员问题
七桥问题与一笔画 中国邮递员问题 欧拉图及求欧拉回路的算法 求解中国邮递员问题的算法
18世纪著名古典数学问 题之一。在哥尼斯堡的 一个公园里，有七座桥 将普雷格尔河中两个岛 以及岛与河岸连接起来 (如图)。问是否可能从 这四块陆地中任一块出 发，恰好通过每座桥一 次，再回到起点？
重复边 （2）在最优方案中,图中每个圈上的重复边的
总权不大于该圈总权的一半。
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这个问题就是一笔画问题。
管梅谷教授。
上海市人。1957年毕业于华 东师范大学数学系。历任 山东师范大学讲师、副教 授、教授、校长，中国运 筹学会第一、二届常务理 事，山东省数学学会第四 届副理事长，山东省运筹 学会第一届副理事长，山 东省世界语协会理事长。 是第六届全国政协委员。 从事运筹学及其应用的研 究，对最短投递路线问题 的研究取得成果。所提模 型在国外称为中国投递问 题。
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图1和图2当中哪一个图满足：从图中任何一点出 发，途径每条边，最终还能回到出发点？
试想：一个图应该满足什么条件才能达到上面要 求呢？
凡是能一笔画出的图，奇点的个数最多 有两个。始点与终点重合的一笔画问题， 奇点的个数必是0。
奇点：那个点的角度来看，数有多少条线从连接着那 个点，如果连接那个点的线的数量是奇数条，那这个 点就是奇点，反之，就是偶点。
其实可以通过连接匹配的奇点得到！
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的可行方案是不是只有一种呢？ 在确定一个可行方案后，怎么判断这个方案是
否为最优方案？
若不是最优方案，如何调整这个方案？
第二步：调整可行方案
最优方案必须满足以下（1）（2）两个条件：
欧拉于1736年研究并解决了 此问题， 他用点表示岛和陆
地，两点之间的连线表示连 接它们的桥，将河流、小岛 和桥简化为一个网络，把七 桥问题化成判断连通网络能 否一笔画的问题。之后他发 表一篇论文，证明了上述走 法是不可能的。并且给出了 连通网络可一笔画的充要条 件这一著名的结论。
一笔画问题：从某一点开始画画，笔不离纸， 各条线路仅画一次，最后回到原来的出发点。
O(|V(G)|2|E(G)|)
解决这样的问题，可以采用奇偶 点图上作业法：如果在配送范围 内，街道中没有奇点，那么他就 可以从配送中心出发，走过每条 街道一次，且仅一次，最后回到 配送中心，这样他所走的路程也 就是最短的路程。
对于有奇点的街道图，该怎么办呢？ 这时就必须在每条街道上重复走一次或多次。
我们把使新图不含奇点而增加的重复边简称为 可行（重复边）方案，使总权最小的可行方案 为最优方案。
现在的问题是第一个可行方案如何确定？ 在确定一个可行方案后，怎么判断这个方案是
否为最优方案？ 若不是最优方案，如何调整这个方案？
举个例子
车辆从某配送中心 （v1）出发，给街道
v1 2
边上的超市
一个邮递员送信，要走完他负责投递的 全部街道，投完后回到邮局，应该怎样 走，使所走的路程最短？
这个问题是我国管梅谷同志1960年首先 求出来的，因此在国际上通称为中国邮 递员问题。在物流活动中，经常会遇到 这样的问题，如：每天在大街小巷行驶 的垃圾车、洒水车、各售货点的送货车 等都需要解决一个行走的最短路程问题。
5
（v2,v3,v4,v5,v6,v
7,v8,v9）送货，如 图1所示。
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显然街区图上有奇点（4个），不满足“一笔画” 的条件，则必然有一些街道要被重复走过（添 加重复边）才能回到原出发点。此时得到的图 就无奇点。
那么该怎样添加重复边，使得图中全为偶点呢？
在一个多重边的连通图中，从某个顶点 出发，经过不同的线路，又回到原出发 点，这样的线路必是尤拉图，即能一笔 画出的图必是尤拉图。
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
W iv0e1v1e2 eivi G Wi
e i1
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e i1
G Wi
O(| E(G)|2)
O(| E(G)|)
举例说明
如图所示。
v1 2 v3
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如果在某条路线中，边[vi,vj]上重复走几次， 我们就在图中vi,vj之间增加几条边，令每条 边的权和原来的权相等，并把所增加的边，称 为重复边，于是这条路线就是相应的新图中的 尤拉图。
原来的问题可以叙述为在一个有奇点的图中， 要求增加一些重复边，使新图不含奇点，并且 重复边的总权为最小。
中国邮递员问题
七桥问题与一笔画 中国邮递员问题 欧拉图及求欧拉回路的算法 求解中国邮递员问题的算法
18世纪著名古典数学问 题之一。在哥尼斯堡的 一个公园里，有七座桥 将普雷格尔河中两个岛 以及岛与河岸连接起来 (如图)。问是否可能从 这四块陆地中任一块出 发，恰好通过每座桥一 次，再回到起点？