排列组合应用教学设计教案
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2.由6名运动员中选4人参加400米混合泳接力，其中甲不游仰泳，乙不游蝶泳，共有多少种选派方法？
分析：从仰泳与蝶泳两种方式中选取一种作为分类的出发点，然后分步进行.
（1）蝶泳选派甲时，其余3人任意排列，有A 种不同选法；
（2）蝶泳选派甲、乙以外的4人有4种选法，接着定仰泳有4种方法，再定另外2名有A 种方法，由分步计数原理有4×４×A 种方法.
2.预习提纲
（1）二项式定理的内容.
（2）二项式有哪些相关概念？
（3）二项式系数与系数有何区别？
●板书设计
10.3.4排列组合应用（二）
Ⅰ.方法归纳例1学生练习
1.相邻问题例2
捆绑法解答过程
2.不相邻问题评述要点
插空法
3.转化思想的应用
若在A1，A2，A3，A4这四点中任取一点与B1，B2，B3，B4，B5这五点中各取一点连成一条直线，问交点的个数最多有几个？
［师］大家在审读题目内容后可以畅谈自己的看法.
［生甲］连结A1B2,则A2B1,A3B1,A4B1分别与A1B2各有一交点，共有3个交点，再考虑各点与B2连结后交点的增加情况……
［生丁］因为在立体几何学习中，我们知道，在三棱锥中有三对异面直线，故可以考虑构成不同三棱锥的个数，而空间8个点中任取4个不共面，可构成一个三棱锥，共可构成不同三棱锥C 个，所以共有不同的异面直线3×C =210(对).
Ⅲ.课堂练习
（给出投影片10.3.4C）
1.平面内有n个点，如果有m个点共线，其余各点没任何三点共线，这n个点可连成多少条直线？连成多少个三角形？
再由分类计数原理，共有A +4×４×A =252（种）.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，要求大家进一步熟悉排列组合在实际中的应用，掌握常见的分析、解决问题的方法，并体会基本原理及转化思想在解题中的应用，逐步增强分析问题、解决问题的能力.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P100习题10.3 11、12、13.
（二）1.预习课本P104～P106.
1.用联系的观点看问题.
2.认识事物在一定条件下的相互转化.
3.解决问题能抓住问题的本质.
●教学重点
排列数、组合数公式的应用.
●教学难点
解题思路的分析.
●教学方法
启发式、引导式
启发学生认清题目的本质，排除非数学因素的干扰，抓住问题的主要矛盾，引导学生注重不同题目之间解题方法的联系，化解矛盾，并要求学生注重解题方法的归纳与总结，真正提高分析、解决问题的能力.
●课题
排列组合应用（二）
●教学目标
（一）教学知识点
排列、组合、排列数、组合数、捆绑法、插空法.
（二）能力训练要求
1.能够判断所研究问题是否是排列或组合问题.
2.进一步熟悉排列数、组合数公式的计算技能.
3.熟练应用排列组合问题常见的解题方法.
4.进一步增强分析、解决排列、组合应用题的能力.
（三）德育渗透目标
故所求最多交点个数为60个.
评述：此题关键是将求交点个数问题转化为四边形对角线交点问题，使解题思路豁然开朗，要求学生加以体会.
［师］下面我们再做一道相关性练习.
已知空间有8个点，其中任意三点不共线，任意四点不共面，若两条异面直线称为“一对”异面直线，问共有多少对不同的异面直线？
［师］此题可考虑构造含有异面直线的几何体，联系例2的解法求解.
每增加一组三点共线三角形个数减少1个，
每增加一组四点共线三角形个数减少C 个，
故所求不同三角形个数为C -（1+C ）=160个.
评述：第（2）问采用逆向思考方法，即考虑总体除去减少的三角形，思路清晰，若直接求解，则情形较多，要求学生注意“正难则反”的解题思想应用.
［例2］如图，直线l1与l2相交于点P，除点P外，在直线l1上还有A1,A2,A3,A4四点，在直线l2上还有B1,B2,B3,B4,B5五点.
［生甲］排列数公式：
A = .
组合数公式：
C = .
［生乙］相邻问题常用捆绑法；不相邻问题常用插空法.
［师］这一节，我们通过例题进一步研究排列组合知识在实际中的应用，并关注转化思想在解题中的应用.
Biblioteka BaiduⅡ.讲授新课
［例1］平面上有11个相异的点，过其中任意两点相异的直线有48条.
（1）这11个点中，含3个或3个以上的点的直线有几条？
分析：此题可以从m个点共线而减少
的直线和三角形入手，采用间接求法.
解：若无任何三点共线，n个点可以连成直线C 条；
而m点共线则减少C -1条直线,
所以n个点可连成C -(C -1)= - +1条直线.
若无任何三点共线，n个点可以连成三角形C 个，而m点共线，三角形个数减少C 个，故这n个点可以连成三角形C -C (个).
●教具准备
投影片.
第一张：排列数、组合数公式（记作10.3.4 A）
第二张：本节例题（记作10.3.4B）
第三张：补充练习题（记作10.3.4C）
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节我们一起研究学习了排列组合的实际应用题，逐步熟悉了排列数与组合数公式，并总结了相邻问题与不相邻问题的常用方法.下面，我们作一简要回顾.
（2）这11个点构成几个三角形？
分析：若平面上11点中任意两点有一条不同直线，则共有C = =55条.故直线总条数减少了55-48=7条.而每增加一组3点共线直线总条数减少C -1=2条，每增加一组4点共线，直线总条数减少C -1=5条……，故此题第（1）问是考虑7被2与5分解的不同方式，第（2）问则可以采用分类的思想求解.
解：（1）若任三点不共线，则所有直线的总条数为C = =55条；
每增加一组三点共线，连成直线就将减少C =2条；
每增加一组四点共线，连成直线就将减少C -1=5条；
每增加一组五点共线，连成直线就将减少C -1=9条.
∴55-48=7=2+5.
故含有3个点、4个点的直线各1条.
（2）若任意三点不共线，则11个点可构成三角形个数为C = =165(个）.
［师］接下来，我们根据丙同学的思路共同写出解答过程.
解：若各点连线交点不重合，则交点最多.共分两步：
第一步：从l1上A1~A4四点中取两点，有C 种不同取法；
第二步：从l2上B1~B5五点中任取两点，有C 种不同取法.
根据分步计数原理共有C ·C =60(种)不同取法.
而每种取法对应不同的四边形，四边形对角线有唯一交点，
［生乙］我也按照甲同学的思路考虑，但情形较为复杂，不易确定所求.
［生丙］为了避免遗漏和重复，根据四边形对角形交点唯一，可以考虑构成不同四边形个数的多少.可分两步完成：第一步，从l1上A1~A4四点中任取两点，有C 种不同取法；第二步：从l2上B1~B5五点中任取两点，共有C 种不同取法.
根据分步计数原理共有C ·C 种不同取法，而每种取法对应不同的四边形，四边形的对角线有唯一交点，故所求最多交点个数为C ·C 个.
分析：从仰泳与蝶泳两种方式中选取一种作为分类的出发点，然后分步进行.
（1）蝶泳选派甲时，其余3人任意排列，有A 种不同选法；
（2）蝶泳选派甲、乙以外的4人有4种选法，接着定仰泳有4种方法，再定另外2名有A 种方法，由分步计数原理有4×４×A 种方法.
2.预习提纲
（1）二项式定理的内容.
（2）二项式有哪些相关概念？
（3）二项式系数与系数有何区别？
●板书设计
10.3.4排列组合应用（二）
Ⅰ.方法归纳例1学生练习
1.相邻问题例2
捆绑法解答过程
2.不相邻问题评述要点
插空法
3.转化思想的应用
若在A1，A2，A3，A4这四点中任取一点与B1，B2，B3，B4，B5这五点中各取一点连成一条直线，问交点的个数最多有几个？
［师］大家在审读题目内容后可以畅谈自己的看法.
［生甲］连结A1B2,则A2B1,A3B1,A4B1分别与A1B2各有一交点，共有3个交点，再考虑各点与B2连结后交点的增加情况……
［生丁］因为在立体几何学习中，我们知道，在三棱锥中有三对异面直线，故可以考虑构成不同三棱锥的个数，而空间8个点中任取4个不共面，可构成一个三棱锥，共可构成不同三棱锥C 个，所以共有不同的异面直线3×C =210(对).
Ⅲ.课堂练习
（给出投影片10.3.4C）
1.平面内有n个点，如果有m个点共线，其余各点没任何三点共线，这n个点可连成多少条直线？连成多少个三角形？
再由分类计数原理，共有A +4×４×A =252（种）.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，要求大家进一步熟悉排列组合在实际中的应用，掌握常见的分析、解决问题的方法，并体会基本原理及转化思想在解题中的应用，逐步增强分析问题、解决问题的能力.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P100习题10.3 11、12、13.
（二）1.预习课本P104～P106.
1.用联系的观点看问题.
2.认识事物在一定条件下的相互转化.
3.解决问题能抓住问题的本质.
●教学重点
排列数、组合数公式的应用.
●教学难点
解题思路的分析.
●教学方法
启发式、引导式
启发学生认清题目的本质，排除非数学因素的干扰，抓住问题的主要矛盾，引导学生注重不同题目之间解题方法的联系，化解矛盾，并要求学生注重解题方法的归纳与总结，真正提高分析、解决问题的能力.
●课题
排列组合应用（二）
●教学目标
（一）教学知识点
排列、组合、排列数、组合数、捆绑法、插空法.
（二）能力训练要求
1.能够判断所研究问题是否是排列或组合问题.
2.进一步熟悉排列数、组合数公式的计算技能.
3.熟练应用排列组合问题常见的解题方法.
4.进一步增强分析、解决排列、组合应用题的能力.
（三）德育渗透目标
故所求最多交点个数为60个.
评述：此题关键是将求交点个数问题转化为四边形对角线交点问题，使解题思路豁然开朗，要求学生加以体会.
［师］下面我们再做一道相关性练习.
已知空间有8个点，其中任意三点不共线，任意四点不共面，若两条异面直线称为“一对”异面直线，问共有多少对不同的异面直线？
［师］此题可考虑构造含有异面直线的几何体，联系例2的解法求解.
每增加一组三点共线三角形个数减少1个，
每增加一组四点共线三角形个数减少C 个，
故所求不同三角形个数为C -（1+C ）=160个.
评述：第（2）问采用逆向思考方法，即考虑总体除去减少的三角形，思路清晰，若直接求解，则情形较多，要求学生注意“正难则反”的解题思想应用.
［例2］如图，直线l1与l2相交于点P，除点P外，在直线l1上还有A1,A2,A3,A4四点，在直线l2上还有B1,B2,B3,B4,B5五点.
［生甲］排列数公式：
A = .
组合数公式：
C = .
［生乙］相邻问题常用捆绑法；不相邻问题常用插空法.
［师］这一节，我们通过例题进一步研究排列组合知识在实际中的应用，并关注转化思想在解题中的应用.
Biblioteka BaiduⅡ.讲授新课
［例1］平面上有11个相异的点，过其中任意两点相异的直线有48条.
（1）这11个点中，含3个或3个以上的点的直线有几条？
分析：此题可以从m个点共线而减少
的直线和三角形入手，采用间接求法.
解：若无任何三点共线，n个点可以连成直线C 条；
而m点共线则减少C -1条直线,
所以n个点可连成C -(C -1)= - +1条直线.
若无任何三点共线，n个点可以连成三角形C 个，而m点共线，三角形个数减少C 个，故这n个点可以连成三角形C -C (个).
●教具准备
投影片.
第一张：排列数、组合数公式（记作10.3.4 A）
第二张：本节例题（记作10.3.4B）
第三张：补充练习题（记作10.3.4C）
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节我们一起研究学习了排列组合的实际应用题，逐步熟悉了排列数与组合数公式，并总结了相邻问题与不相邻问题的常用方法.下面，我们作一简要回顾.
（2）这11个点构成几个三角形？
分析：若平面上11点中任意两点有一条不同直线，则共有C = =55条.故直线总条数减少了55-48=7条.而每增加一组3点共线直线总条数减少C -1=2条，每增加一组4点共线，直线总条数减少C -1=5条……，故此题第（1）问是考虑7被2与5分解的不同方式，第（2）问则可以采用分类的思想求解.
解：（1）若任三点不共线，则所有直线的总条数为C = =55条；
每增加一组三点共线，连成直线就将减少C =2条；
每增加一组四点共线，连成直线就将减少C -1=5条；
每增加一组五点共线，连成直线就将减少C -1=9条.
∴55-48=7=2+5.
故含有3个点、4个点的直线各1条.
（2）若任意三点不共线，则11个点可构成三角形个数为C = =165(个）.
［师］接下来，我们根据丙同学的思路共同写出解答过程.
解：若各点连线交点不重合，则交点最多.共分两步：
第一步：从l1上A1~A4四点中取两点，有C 种不同取法；
第二步：从l2上B1~B5五点中任取两点，有C 种不同取法.
根据分步计数原理共有C ·C =60(种)不同取法.
而每种取法对应不同的四边形，四边形对角线有唯一交点，
［生乙］我也按照甲同学的思路考虑，但情形较为复杂，不易确定所求.
［生丙］为了避免遗漏和重复，根据四边形对角形交点唯一，可以考虑构成不同四边形个数的多少.可分两步完成：第一步，从l1上A1~A4四点中任取两点，有C 种不同取法；第二步：从l2上B1~B5五点中任取两点，共有C 种不同取法.
根据分步计数原理共有C ·C 种不同取法，而每种取法对应不同的四边形，四边形的对角线有唯一交点，故所求最多交点个数为C ·C 个.