的正交分解及其坐标表示
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空间向量的正交分解及其坐标表示
OP xOA yOB zOC.
当且仅当 x+y+z=1 时，P、A、B、C四点共面。
如果基向量 e1 、e2 、e3 是空间三个两两垂直的 单位向量,那么对空间任一向量 p ,存在一个有序实
数组x, y, z 使得 p xe1 ye2 ze3 .这种分解叫做
空间向量的单位正交分解.
其中 xe1、ye2、ze3 分别叫做 p 在 e1、e2、e3 方向 上的分向量.
3.中点坐标公式
已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
则线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
2
2
2
练习1:已知
a
(2,3,5),
b
(3,1,4),
求 a b, a b,8a, a b
解: a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1)
1.长度的计算 已知 a ( x, y, z) ,则 a x2 y2 z2
2.角度的计算
已知 a ( x1, y1, z1) , b ( x2, y2, z2 )
则 cos a, b a b
x1 x2 y1 y2 z1z2
ab
x12 y12 z12 x22 y22 z22
则顶点 D 的坐标为__(1_,_-1_,_2_)_______; ⑵ Rt△ABC 中, BAC 90 , A(2,1,1), B(1,1, 2) , C( x, 0,1) ,则 x _2___;
⑶已知 A(3, 5, 7) , B(2, 4, 3) ,则 AB 在坐标平面 yOz 上的射影的长度为__1__0_1__.
空间对称点
z
P3(1, 1,1)
当且仅当 x+y+z=1 时，P、A、B、C四点共面。
如果基向量 e1 、e2 、e3 是空间三个两两垂直的 单位向量,那么对空间任一向量 p ,存在一个有序实
数组x, y, z 使得 p xe1 ye2 ze3 .这种分解叫做
空间向量的单位正交分解.
其中 xe1、ye2、ze3 分别叫做 p 在 e1、e2、e3 方向 上的分向量.
3.中点坐标公式
已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
则线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
2
2
2
练习1:已知
a
(2,3,5),
b
(3,1,4),
求 a b, a b,8a, a b
解: a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1)
1.长度的计算 已知 a ( x, y, z) ,则 a x2 y2 z2
2.角度的计算
已知 a ( x1, y1, z1) , b ( x2, y2, z2 )
则 cos a, b a b
x1 x2 y1 y2 z1z2
ab
x12 y12 z12 x22 y22 z22
则顶点 D 的坐标为__(1_,_-1_,_2_)_______; ⑵ Rt△ABC 中, BAC 90 , A(2,1,1), B(1,1, 2) , C( x, 0,1) ,则 x _2___;
⑶已知 A(3, 5, 7) , B(2, 4, 3) ,则 AB 在坐标平面 yOz 上的射影的长度为__1__0_1__.
空间对称点
z
P3(1, 1,1)
平面向量的正交分解及坐标表
λ1a1
F1
F2
G
正交分解
在平面上，如果选取 互相垂直的向量作为 基底时，会为我们研 究问题带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系，每 一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示，对直角坐标平面内 的每一个向量，如何表示？
思考：
y yj a
分别取与x轴、y轴方向相同的两 个单位向量i、j作为基底.
y yj a
j O i xi x
y
yj yj
a
j O i xi
向量a、b有什么关系? a＝b
b 能说出向量b的坐标吗?
b=( x,y )
xi x
相等的向量坐标相同
y
a
y
A (x,y)
j
Oix
x
如图，在直角坐标平面内，以原
点O为起点作OA=a，则点A的位 置由a唯一确定。
设OA=xi+yj，则向量OA的坐标 （x,y)就是点A的坐标； 反过来，点A的坐标（x,y)也就 是向量OA的坐标。
新课引入
F1
F2
G
G与F1G,=FF21有+F什2 么关系? G=F1+F2叫做重力G的分解
类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的
任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量 λ1a1和λ2 a2,使a=λ1a1 + λ2 a2
若两个不共线向量互相垂直时 λ2 a2 a
把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
j
任作一个向量a,由平面向量基本
O i xi x 定理知,有且只有一对实数x、 y,
使得
a= x i+y j
把(x,y)叫做向量a的坐标，记作
a = ( x, y )
F1
F2
G
正交分解
在平面上，如果选取 互相垂直的向量作为 基底时，会为我们研 究问题带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系，每 一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示，对直角坐标平面内 的每一个向量，如何表示？
思考：
y yj a
分别取与x轴、y轴方向相同的两 个单位向量i、j作为基底.
y yj a
j O i xi x
y
yj yj
a
j O i xi
向量a、b有什么关系? a＝b
b 能说出向量b的坐标吗?
b=( x,y )
xi x
相等的向量坐标相同
y
a
y
A (x,y)
j
Oix
x
如图，在直角坐标平面内，以原
点O为起点作OA=a，则点A的位 置由a唯一确定。
设OA=xi+yj，则向量OA的坐标 （x,y)就是点A的坐标； 反过来，点A的坐标（x,y)也就 是向量OA的坐标。
新课引入
F1
F2
G
G与F1G,=FF21有+F什2 么关系? G=F1+F2叫做重力G的分解
类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的
任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量 λ1a1和λ2 a2,使a=λ1a1 + λ2 a2
若两个不共线向量互相垂直时 λ2 a2 a
把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
j
任作一个向量a,由平面向量基本
O i xi x 定理知,有且只有一对实数x、 y,
使得
a= x i+y j
把(x,y)叫做向量a的坐标，记作
a = ( x, y )
空间向量的正交分解,及其坐标表示
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示【学习目标】掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直． 【重点难点】重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算．难点：理解空间向量基本定理．【知识链接】1.平面向量基本定理：2．对平面上的任意向量，都可以分解为不共线的两个向量，当这两个向量 时，叫做把向量正交分解. 3．在坐标平面xOy 内，任作一向量a ，根据平面向量基本定理，存在 的有序实数对（x,y ），使得a = ， 就是向量a 在基底｛i ，j ｝下的坐标，记作： . 【学习过程】1. 空间向量的正交分解设,,i j k 是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量p ，存在一个___________,使得___________，我们称___________为向量p 在,,i j k 上的分向量. 2.空间向量基本定理：____________________________________________________________ 3. 基底，基向量如果三个向量,,a b c 不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p |p =x a +y b + z c , x 、y 、z ∈R}.这个集合可看作是由向量,,a b c 生成的，我们把___________叫做空间的一个基底，___________都叫做基向量.空间任何___________都可构成空间的一个基底. 4. 单位正交基底：设123,,e e e 为______________________的单位向量，称它们为___________.5. 空间向量的坐标表示：在空间选定一个___________{123,,e e e }，以123,,e e e 的公共起点O 为___________，分别以123,,e e e 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的___________建立空间直角坐标系O —xyz.那么对于空间任意一个向量p ,一定可以把它平行移动，使它的起点___________，得到一个向量___________.由空间向量分解定理可知，_________________________________.我们把___________称作向量p (在单位正交基底123,,e e e 下)的坐标，记作___________.此时向量p 的坐标恰是点P 在空间直角坐标系O —xyz 中的坐标___________. 6.空间向量的坐标表示向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ， 则AB ＝___________________________，AB ＝__________________________ 例1.M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点.用向量,,.OA OB OC OQ 表示OP 和例2.已知,,i j k 是空间直角坐标系O —xyz 的坐标向量，并且=-i+j-k ,则B 点的坐标为当堂检测1. 已知向量{},,a b c 是空间的一个基底，从,,a b c 中选哪一个向量，一定可以与向量p a b =+，q a b =-构成空间的另一个基底？2. 已知O ，A ，B ，C 为空间四个点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 是否共面？3. 已知平行六面体OABC-''''O A BC ,点G 是侧面''BBCC 的中心，且',,OA a OC b OO c ===，用,,a b c 表示下列向量： （1）''',,OB BA CA （2）G O .课后作业1. 已知向量,,a b c 分别平行于x 轴、y 轴、z 轴，它们的坐标各有什么特点？2.已知向量,,a b c 是空间的一个单位正交基底，向量a b +，a b -，c 是空间的另一个基底.若向量p 在基底,,a b c 下的坐标为（1,2,3），求p 在基底a b +，a b -，c 下的坐标.3.平行六面体ABCD-''''A BC D 中，',,AB a AD b AA c ===.点P ，M ，N 分别是C 'A ，C 'D ，''C D 的中点，点Q 在C 'A 上，且CQ ：Q 'A =4:1，用基底{},,a b c 表示下列向量：（1）AP ；（2）M A ；（3）N A ；（4）Q A .。
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
M
一.空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c 不共面，那么对 空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序 实数组x、y、z，使 p xa yb z c
E A D c
b
C
O
p
B
思路：作 AB // b, BD // a, BC // c
a
p OB BA OC OD OE x a yb z c
BAA1 CAA1 60 ， AB AC AA1 1 ，求 MN 的长。
A1 M A B B1 N C1
C
1 1 BA1 AB B1C1 解： （Ⅰ） MN MA 1A 1B 1B 1N 3 3 1 1 1 1 1 (c a ) a (b a ) a b c 。 3 3 3 3 3
（Ⅱ） (a b c)2 a 2 b2 c 2 2a b 2b c 2c a
1 1 1 1 1 0 2 1 1 2 1 1 5 ， 2 2
1 5 。 | a b c | 5 ， | MN | | a b c | 3 3
a, b, c 都不等于 0
③一个基底是指一个向量组，一个 基向量是指基底中的某一个向量，二者 是相关连的不同概念。
例1：已知四面体OABC，M和N分别
是OA、BC的中点，P和Q分别是MN的 三等分点，试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OP , OQ O
M
Q
A
P
C N
B
例2 空间四边形OABC中，G、H分别是 Δ ABC，Δ OBC的重心，设 OA a, OB b, OC c ,试用基向量 a, b, c 表示 向量 OG, GH. O
平面向量的正交分解及坐标表示
平面对量旳正交分解及坐标 表达
复习:
1.向量旳数乘运算:实数λ与向量a旳积是一种向 量，记作λa， 它旳长度和方向要求如下：
(1) |λa|=|λ| |a|
(2) 当λ>0时,λa旳方向与a方向相同； 当λ<0时,λa旳方向与a方向相反；
尤其地，当λ=0或a=0时, λa=0
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb
则
a b (x1 x2 , y1 y2 )
，
a b (x1 x2 , y1 y2 )
两个向量和与差旳坐标分别等于这 两个向量相应坐标旳和与差
（2） 若 A(x1, y1 ) B(x2 , y2 )
则 AB x2 x1, y2 y1
一种向量旳坐标等于表达此向量旳 有向线段旳终点坐标减去始点旳坐 标
（3）若 a (x, y) 和实数
则 a (x, y)
实数与向量旳积旳坐标等于用这个实 数乘原来向量旳相应坐标
例5.已知 a=(2，1)，
b =(例-354，．4)已，知求例6a b
3a 4b 旳坐标.
ab
作业P101习题A1,B1,3,4 P118A3,4B4
尤其地:
()a (a) (a)
(a b) a b
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当 有且只有一种实数λ，使得 b=λa
新课讲解
设e1、e2是同一平面内旳两个不共
线旳向量，a 是这一平面内旳任历来量，
我们研究 a 与 e1、e2之间旳关系.
e1
a
研究
e2
OC = OM + ON = 1OA + 2OB
复习:
1.向量旳数乘运算:实数λ与向量a旳积是一种向 量，记作λa， 它旳长度和方向要求如下：
(1) |λa|=|λ| |a|
(2) 当λ>0时,λa旳方向与a方向相同； 当λ<0时,λa旳方向与a方向相反；
尤其地，当λ=0或a=0时, λa=0
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb
则
a b (x1 x2 , y1 y2 )
，
a b (x1 x2 , y1 y2 )
两个向量和与差旳坐标分别等于这 两个向量相应坐标旳和与差
（2） 若 A(x1, y1 ) B(x2 , y2 )
则 AB x2 x1, y2 y1
一种向量旳坐标等于表达此向量旳 有向线段旳终点坐标减去始点旳坐 标
（3）若 a (x, y) 和实数
则 a (x, y)
实数与向量旳积旳坐标等于用这个实 数乘原来向量旳相应坐标
例5.已知 a=(2，1)，
b =(例-354，．4)已，知求例6a b
3a 4b 旳坐标.
ab
作业P101习题A1,B1,3,4 P118A3,4B4
尤其地:
()a (a) (a)
(a b) a b
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当 有且只有一种实数λ，使得 b=λa
新课讲解
设e1、e2是同一平面内旳两个不共
线旳向量，a 是这一平面内旳任历来量，
我们研究 a 与 e1、e2之间旳关系.
e1
a
研究
e2
OC = OM + ON = 1OA + 2OB
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
x k O i
j
P y
Q
如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，对空间 任一个向量p，存在一个有序实数组使得 p=xi+yj+zk. xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量。
z P y
k O
i x
j
Q
思考：在空间中，如果用任意三个不
共面向量a,b,c代替两两垂直的向量i,j,k,能得 到类似的结论吗？
A E= A , D1F 平面ADE .
另证 : 可以用三垂线定理证D 1F AD, AE AD得证.
练习 3⑵.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中， O 是 B1D1 的中点，求证：B1C∥面 ODC1.
1 ba ） c 则ca x （ 2
点O叫做原点，向量I、j、k都叫做坐标向量.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
z
以 i , j , k 为单位正交基底
P ( x, y, z )
k
z
建立空间直角坐标系O—xyz
p xi y j zk
i , j , k 为基底 ( x, y, z ) p
x
i
O
y
j
y 记
练习 2: ⑴已知 A（ 0, 2, 3)、B（ 2,1,6), C(1, 1,5) , 7 3 则 △ ABC 的面积 S=_____.
2
⑵ a ( x, 2,1) , b (3, x 2 , 5) 且 a 与 b 的夹角为 5 钝角，则 x 的取值范围为 ( 1, ) . 2 ⑶正方体 A1 B1C1 D1 ─ABCD 的棱长为 2, E 、F 分别是 C1C 、 D1 A1 的中点 , 求点 A 到直线 EF 的 174 距离. 6
j
P y
Q
如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，对空间 任一个向量p，存在一个有序实数组使得 p=xi+yj+zk. xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量。
z P y
k O
i x
j
Q
思考：在空间中，如果用任意三个不
共面向量a,b,c代替两两垂直的向量i,j,k,能得 到类似的结论吗？
A E= A , D1F 平面ADE .
另证 : 可以用三垂线定理证D 1F AD, AE AD得证.
练习 3⑵.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中， O 是 B1D1 的中点，求证：B1C∥面 ODC1.
1 ba ） c 则ca x （ 2
点O叫做原点，向量I、j、k都叫做坐标向量.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
z
以 i , j , k 为单位正交基底
P ( x, y, z )
k
z
建立空间直角坐标系O—xyz
p xi y j zk
i , j , k 为基底 ( x, y, z ) p
x
i
O
y
j
y 记
练习 2: ⑴已知 A（ 0, 2, 3)、B（ 2,1,6), C(1, 1,5) , 7 3 则 △ ABC 的面积 S=_____.
2
⑵ a ( x, 2,1) , b (3, x 2 , 5) 且 a 与 b 的夹角为 5 钝角，则 x 的取值范围为 ( 1, ) . 2 ⑶正方体 A1 B1C1 D1 ─ABCD 的棱长为 2, E 、F 分别是 C1C 、 D1 A1 的中点 , 求点 A 到直线 EF 的 174 距离. 6
空间向量的正交分解及其坐标表示
[思路点拨] 结合已知和所求，画出图形，联想相关的 运算法则和公式等，再对照目标及基底，将所求向量反复 分拆，直到全部可以用基底表示为止．
[精解详析] 连接 BO，则 BF ＝12 BP ＝12(BO＋OP )＝12 ( BA＋ AO＋OP )＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c.
BE ＝ BC ＋CE ＝－a＋12CP ＝－a＋12(CO＋OP )＝－a－12b＋12c.
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3 不共面，
∴－ x＋3xy＝＋2y＝ ，1， 2x－y＝－1.
此方程组无解，
即不存在实数 x,y 使OA＝xOB＋yOC .
∴OA，OB，OC 不共面．
故{OA，OB，OC }能作为空间的一个基底.
[例 2] 四棱锥 P－OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC.设OA＝a，OC ＝b，OP ＝c，E,F 分别是 PC 和 PB 的 中点，试用 a，b，c 表示BF ,BE , AE , EF .
空间向量的正交分解及其坐标表示
1．空间向量基 任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb ＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫
做基向量．
2．空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底 三个有公共起点O的 两两垂直 的单位向量e1，e2， e3称为单位正交基底．
xe1＋ye2＋ze3 .把 x，y，z 称作向量p在单位正交基底e1，
e2，e3下的坐标，记作
p＝(x，y，．z)
1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量 的一个基底．
2. 0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向 量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.
[精解详析] 连接 BO，则 BF ＝12 BP ＝12(BO＋OP )＝12 ( BA＋ AO＋OP )＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c.
BE ＝ BC ＋CE ＝－a＋12CP ＝－a＋12(CO＋OP )＝－a－12b＋12c.
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3 不共面，
∴－ x＋3xy＝＋2y＝ ，1， 2x－y＝－1.
此方程组无解，
即不存在实数 x,y 使OA＝xOB＋yOC .
∴OA，OB，OC 不共面．
故{OA，OB，OC }能作为空间的一个基底.
[例 2] 四棱锥 P－OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC.设OA＝a，OC ＝b，OP ＝c，E,F 分别是 PC 和 PB 的 中点，试用 a，b，c 表示BF ,BE , AE , EF .
空间向量的正交分解及其坐标表示
1．空间向量基 任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb ＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫
做基向量．
2．空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底 三个有公共起点O的 两两垂直 的单位向量e1，e2， e3称为单位正交基底．
xe1＋ye2＋ze3 .把 x，y，z 称作向量p在单位正交基底e1，
e2，e3下的坐标，记作
p＝(x，y，．z)
1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量 的一个基底．
2. 0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向 量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.
空间向量的正交分解及其坐标表示
1 1 MN ( , 0, ), 2 2 DC (已知向量 p 在基底{ a, b, c }下的坐标是 (2，3，-1)，求 p 在基底{ a, a b, a b c }下的
坐标.
例2.已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，
M，N分别是AB，PC的中点，且PA=AD=1，试建 立适当的坐标系写出向量 的坐标 . MN， DC
1 1 1 1 M (0, , 0) N ( , , ) 答案： 2 2 2 2
z
C( -1, 1, 0 ) , D( 1, 0, 0 )
1 2 略解： OP OM MP OA MN 2 3 1 1 1 OA OB OC 6 3 3 1 1 OQ OM MQ OA MN 2 3 1 1 1 OA OB OC 3 6 6
2.空间向量的坐标表示 当基向量 e1 , e 2 , e 3 为两两垂直的单位向量时（我们称 它们为单位正交基底），以 e1 , e 2 , e 3 的公共起点O为原 点，分别以 e1 , e 2 , e 3 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建
立空间直角坐标系，则对于空间任一向量 p 作正交分解
(1) AP (2) AM (3) AN (4) AQ
1 1 1 答案 (1) AP a b c 2 2 2 1 (3) AN a b c 2
.
1 1 (2) AM a b c 2 2 1 1 4 (4) AQ a b c 5 5 5
二、新知识 1.空间向量基本定理 定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任 a , b , c 一向量 p ，存在有序实数组 { x , y , z } ，使得 p xa yb zc 其中{ a, b, c }叫做空间的一个基底，而 a, b, c 都
学空间向量与立体几何空间向量的正交分解及其坐标表示
学空间向量与立体几何空间向量的正交分解及其坐标表示xx年xx月xx日contents •空间向量基本概念及性质•空间向量的坐标表示•立体几何中空间向量的应用•空间向量与立体几何的结合•例题分析和解答目录01空间向量基本概念及性质三角形法则对于任意两个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$。
其和向量$\overset{\longrightarrow}{c}$等于这两个向量的端点在平面上的投影向量的和平行四边形法则对于任意两个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$。
其和向量$\overset{\longrightarrow}{c}$等于这两个向量的端点在平面上的投影向量的和对于任意一个实数$r$和任意一个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$。
其数乘向量$r\overset{\longrightarrow}{a}$等于$r$与$\overset{\longrightarrow}{a}$在平面上的投影向量的数乘向量的长度：对于任意一个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$，其长度记作$\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}$，其中$|\overset{\longrightarrow}{a}| = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}$。
对于任意两个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$。
设$\theta$为向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$的夹角空间向量的夹角及垂直、平行关系向量的垂直：如果两个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$的夹角为$90^{\circ}$或者一个向量是另一个向量的零向量，则称这两个向量互相垂直。
空间向量的正交分解及其坐标表示坐标运算
量OA，OB，OC 表示OP和OQ.
解:OQ OM MQ 1 OA 1 MN 1 OA 1 (ON OM）
23
2 3O
1 OA 1 (ON 1 OA)
23 2 1 OA 1 1 (OB OC)
M
3 32
Q
1 OA 1 OB 1 OC 36 6
A
P
C
B
N
练习 2.已知空间四边形 OABC 的四条边及 AC 、BD 的长都等于 1 ,点 M 、N 、P 分别是 OA、BC 、OC 的 中点,且 OA a , OB b , OC c , ⑴用 a 、b 、c 表示 MN , MP ; ⑵求 MN MP .
（1）当 cos a , b 1时，a 与 b 同向； （2）当 cos a , b 1时，a 与 b 反向；
（3）当cos a , b 0 时， a b 。
思考：当0 cos a , b 1及 1 cos a , b 0时， 夹角在什么范围内？
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
a b (a1b1,a2 b2 ,a3 b3 );
a (a1,a2,a3),( R) ; a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
a // b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3 ( ;R)
a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 . a b a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
a, b, c都叫做基向量
特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道 a,b,c不共面，还应明确：
（1）任意不共面的三个向量都可做为空间 的一个基底.
（2 ） 由于可视0为与任意一个非零向量共线, 与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共 面,就隐含着它们都不是 0 .
空间向量正交分解
(1) A(1 ,1 , 0) , B (1 ,1 ,1) ;
(2) C (−3 ,1 , 5) , D(0 , − 2 , 3) .
3 B (1 ,1 , 0) , E1 1 , ,1 , 4
C
D
O
B
y
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ， 1 . 4
A
x
uuuu 3 r 1 BE1 = 1 , , 1 − (1 ,1 , 0) = 0 , − ,1 , 4 4
z
a
A(x,y,z)
k i x O j y
a = xi+ yj+ zk 有序数组( )叫做 在空间 有序数组 x , y, z 叫做 a
直角坐标系O--xyz中的坐标， 中的坐标， 直角坐标系 中的坐标 记作. 记作
r a = ( x, y , z )
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点， 中 对空间任一点， 在空间直角坐标系 A,对应一个向量 ，于是存在唯一的有序实数 对应一个向量OA， 对应一个向量 组x,y,z，使 OA=xi+yj+zk ， 在单位正交基底i, 中与向量OA对应的有 在单位正交基底 j, k中与向量 对应的有 中与向量 序实数组(x,y,z)，叫做点 在此空间直角坐标系中 序实数组 ，叫做点A在此空间直角坐标系中 的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点 的横坐标， 的坐标，记作 ，其中 叫做点A的横坐标， 叫做点 的横坐标 y叫做点 的纵坐标，z叫做点 的竖坐标. y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 叫做点A的纵坐标 叫做点A的竖坐标
叫做原点， 都叫做坐标向量.通 点O叫做原点，向量 、j、k都叫做坐标向量 通 叫做原点 向量I、 、 都叫做坐标向量 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
(2) C (−3 ,1 , 5) , D(0 , − 2 , 3) .
3 B (1 ,1 , 0) , E1 1 , ,1 , 4
C
D
O
B
y
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ， 1 . 4
A
x
uuuu 3 r 1 BE1 = 1 , , 1 − (1 ,1 , 0) = 0 , − ,1 , 4 4
z
a
A(x,y,z)
k i x O j y
a = xi+ yj+ zk 有序数组( )叫做 在空间 有序数组 x , y, z 叫做 a
直角坐标系O--xyz中的坐标， 中的坐标， 直角坐标系 中的坐标 记作. 记作
r a = ( x, y , z )
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点， 中 对空间任一点， 在空间直角坐标系 A,对应一个向量 ，于是存在唯一的有序实数 对应一个向量OA， 对应一个向量 组x,y,z，使 OA=xi+yj+zk ， 在单位正交基底i, 中与向量OA对应的有 在单位正交基底 j, k中与向量 对应的有 中与向量 序实数组(x,y,z)，叫做点 在此空间直角坐标系中 序实数组 ，叫做点A在此空间直角坐标系中 的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点 的横坐标， 的坐标，记作 ，其中 叫做点A的横坐标， 叫做点 的横坐标 y叫做点 的纵坐标，z叫做点 的竖坐标. y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 叫做点A的纵坐标 叫做点A的竖坐标
叫做原点， 都叫做坐标向量.通 点O叫做原点，向量 、j、k都叫做坐标向量 通 叫做原点 向量I、 、 都叫做坐标向量 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
例 3 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M、N 分 别是 AB、PC 的中点，并且 PA＝AD＝1，求向量M→N、D→C
的坐标． 解 如图所示，因为 PA＝AD＝AB＝1，
且 PA⊥平面 ABCD，AD⊥AB，所以可 设D→A＝e1，A→B＝e2，A→P＝e3.
以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系 Axyz. 因为M→N＝M→A＋A→P＋P→N＝M→A＋A→P＋12P→C ＝M→A＋A→P＋12(P→A＋A→D＋D→C) ＝－12e2＋e3＋12(－e3－e1＋e2)＝－12e1＋12e3， 所以M→N＝－12，0，12，D→C＝(0,1,0)．
1．空间向量基本定理 定理：如果三个向量 a，b，c_不___共__面__，那么对于空间 任一向量 p，存在有序实数组 {x，y，z}，使得 p＝ __x_a_＋__y_b_＋__z_c_. 其中_{_a_，__b_，__c_}_叫做空间的一个基底，__a_，__b_，__c__都叫 做基向量．
2．空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底
又|O→O1|＝4，|O→A|＝4，|O→B|＝2， ∴D→O＝(－2，－1，－4)，
∵A→1B＝O→B－O→A1＝O→B－(O→A＋A→A1) ＝O→B－O→A－A→A1. 又|O→B|＝2，|O→A|＝4，|A→A1|＝4， ∴A→1B＝(－4,2，－4)．
作业 练习册3.1.4
晚自习下课前，科代表完成检查登记
跟踪训练 1 设 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a：①{a，b，x}，②{x，
y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为
空间的基底的向量组有
( C)
A．1 个 B．2 个
空间向量的正交分解及其坐标表示
z
).
e3 e1
p e2
y
x
例题分析
例2. 设{i , j , k}是空间向量的一个单位正交基底
且m
2i
3
j
4k，n
i
2
j
5k ,
则m ,
n
的坐标分别为__(2_,_3_, _－__4_) _; _(－__1_,_2_, _－__5_) .
同步练习
注意: 1.空间任何三个不共面的向量都可以构成 一个基底;
2.基底确定后,任何一个向量的表示都是唯一 确定的,不同的向量对应不同的一组{x, y, z}.
例题分析
例1.
若
{a,
b,
c}
是空间的一个基底, 试问:
{a
b,
b
c,
c
a}能 否 作 为 空 间 的 一 个 基底 ?
已知向量 p 在基底{ a , b , c }下的坐标是
( 2 , 3 , －1 )求 p 在基底 { a , a＋b , a＋b＋c }
下的坐标.
(－1,4, －1)
空间向量的加减和数乘运算的坐标表示
设a
(1)a
(2)a
(3)a
(a1 , a2 , a3 ),b (b1 , b2 , b3 ) (
c
b＋c
a＋c
O
b
a
a＋b
例题分析
例1.
若
{a,
b,
c}
是空间的一个基底, 试问:
{a
b,
b
空间向量的正交分解及其坐标表示
在空间中，如果用任意三个不共面向量a，b，c代 替两两垂直的向量i，j，k ，你能得出类似的结论吗？
空间向量基本定理：
已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向 量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( D )
A．a C．a＋2b B．b D．a＋2c
平 面
空 间
平面向量加减法、 数乘运算 平面向量基本定理 平面向量正交分解
空间向量加减法、 数乘运算
空间向量基本定理
空间向量正交分解
平面向量的坐标表示
空间向量的坐标表示
平面
空间
坐ห้องสมุดไป่ตู้系
单位正交基底
i , j
a xi yj
a x, y
e1 , e2 , e3
p xe1 ye2 ze3
正交分解
坐标
p x, y , z
O
M A
3.1.4 空间向量的正交分解及其 坐标表示
孔子
共线向量定理：
向量 a（a≠0）与 b 共线，当且仅当有唯 一一个实数 ，使 b= a.
平面向量基本定理：
若i，j，k为空间中三个两两垂直的向量， 且有公共起点O.对于空间中任意一个向量 p， 如何用向量i，j，k表示？
Q
P
B
N
C
O
M A
Q
P B N
C
今天这节课你的收获是什么？
28
【与你共勉】
一个国家只有数 学蓬勃发展，才能表 现她的国力强大。
——拉普拉斯
（法国数学家、物理学家）
课后作业
基础巩固 学案巩固练习部分. 能力发展 空间向量基本定理与课本88页“思考”栏目中的
第2个问题有什么联系？你有何体会？
空间向量的正交分解及其坐标表示
中点，求异面直线
SM
与
BN
所成角的余弦值 新疆 王新敞
奎屯
解：设 SA a ，SB b ，SC c ，则 a b b c a c 1 ，
∵ SM BN 1 (SA SB) (SN SB) 1 (a b) ( 1 c b) 2
2
2
2
11
1
2
( acab bcb )
22
略解:⑴ MN MO ON
1 OA 1 (OB OC )= 1 (a b c)
2
2
2
MP OP OM = 1 (c a) 2
⑵易知 a b
bc
ca
1
,
2
a
2
b
2
c
1 ,∴ MN MP
1
2
4
练习 2.在长方体 ABCD─A1B1C1D1 中, AB 2 , BC 2 ,
显然这种正交分解更有利于我们的问题解决, 因为关于这些分向量的数量积运算非常简单.
练习 1.已知空间四边形 OABC 的四条边及 AC 、BO 的长都等于1 ,点 M 、N 、P 分别是 OA、BC 、OC 的 中点,且 OA a , OB b , OC c , ⑴用 a 、b、c 表示 MN, MP ; ⑵求 MN MP .
AA1 6 ,且记 AB a , AD b , AA1a 、b 、c 表示 BD1, B1C ;
A1
B1
⑵求异面直线 BD1 和 B1C 所成角的余弦值.
D
C
解:⑴ BD1 BA AD DD1 = a b c A
B
B1C B1B BC c b
⑵∵ a b b c c a 0 , a 2 4, b 2 4, c 2 36 ,
3空间向量的正交分解及其坐标表示
例2
B1 E1 如图，在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中，
A1B1 4
D1F1
，求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
解：设正方体的棱长为1，如图建
z
D1 A1 F1 E1 B1 C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
3 B(1,1, 0) , E1 1, ,1 , 4
数量积运算的证明：
设i, j, k为单位正交基底，则
所以a b (a1 i a2 j a3 k ) (b 1 i b2 j b 3 k)
利用向量数量积的分配律及
a a1i a2 j a3 k , b b1i b2 j b3 k
(0,0,0) (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)
X Y面内 Y Z面内 Z X面内
点P的位置
坐标形式
(x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)
z
(1)坐标平面内的点: •
1 E
•
F
C
•
x
1
O
•
•
D
B y
xoy平面上的点竖坐标为0 yoz平面上的点横坐标为0 xoz平面上的点纵坐标为0
设M=（x，y，z），若M是线段AB的中点， x1 x 2 +x 3 y1 y 2 y3 z1 z 2 x ,y ,z 2 2 2
z3
2.平面向量的数量积、距离与夹角
设a (a1, a2 ), b (b1, b2 ), A ( x1, y1), B ( x2 , y2 )则
设M=（x，y），若M是线段AB的中点，
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ur p
都可以
用两个不共线的向量 a, b 来表示（平面向量基本定
理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
uuur uuur r uuur r r
OuuPur
OuQuur
zk.
r
OQ r
xi r
y
j. r
z
OP OQ zk xi y j zk. rr r
２．xoy坐标平面
C( x,o, z)
O(0,0,0) o
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0)
内的点的竖坐标为 ０，横坐标与纵坐 标分别是点向两轴
x P( x,0,0)
A( x, y,0)
作垂线交点的坐标．
单位正交基底：
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂
ur 直，且大小都r为r1，ur那么这个基底叫做单位正交
复习：
共线向量定理:
rrr
rr
对空间任意两个向量a、（b b 0），a // b的
rr
充要条件是存在实数，量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb。
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
Ｐ1
Ｐ1
沿与y轴平行的方向 向右移动４个单位
Ｐ
Ｐ１５ o
2
４
Ｐ
沿与z轴平行的方向 向上移动６个单位
Ｐ
x
2
Ｐ （５,４,６）
６
y
Ｐ2
在空间直角坐标系中,x轴上的点、 xoy坐标平面内的点的坐标各有什么
特点？
１．x轴上的点横
z
坐标就是与x轴交
点的坐标，纵坐标
R(0,0, z)
B(0, y, z) 和竖坐标都是０．
z
墙
墙 地面
4 3
1
O1
4
x
(4,5,3) 5y
从空间某一个定点０
z
引三条互相垂直且有相
同单位长度的数轴，这
样就建立了空间直角坐
o
标系０－xyz．
y
x 点Ｏ叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做 坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标 平面，分别称为xoy平面、 yoz平面、和 Zox 平面．
在空间直角坐标系中,让 右手拇指指向x轴的正方向， 食指指向y轴的正方向，若中 指指向z轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
i Oj
A(x,y,z) y
标建立起一一对应的关系,从而互 x
相转化.
如果知道有向线段的起点和终点的坐标,
那么有向线段表示的向量坐标怎样求? 结论：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则
AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
z
经过A点作三个平面
分别垂直于x轴、y轴和z轴，
它们与x轴、y轴和z轴分别
交于三点，三点在相应的
c
Ａ(a,b,c) 坐标轴上的坐标a,b,c组成
o
b
a
y
的有序实数对（a,b,c)叫做 点Ａ的坐标
x
记为：Ａ（a,b,c)
例１
在空间直角坐标系中，作出点（５,４,６）.
分析：
z
Ｏ
从原点出发沿x轴 正方向移动５个单位
空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个
向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何 关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐 标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交 基，进而确定各向量的坐标。
一 空间向量基本定理：
我们知道，平面r 内r 的任意一个向量
基底，常用 {i, j, k } 来表示.
k
空间向量 ur p
r
i
r r ur
r j
i, j, k 为基底 有序实数组
一一对应 ur r r ur
(x, y, z)
p xi y j zk
因此我们可以类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系
空间直角坐标系
r r ur
在空间选r定r一点urO和一个单位正交基底{i , j, k } 以点O为原
Bx1, y2
OB OA
2、 AB OC a x, y y B
即 点Cx, y
A
C
O
x
提 问:
我们知道,在平面直角坐标系中,平面上任 意一点的位置都有唯一的坐标来表示.
那空间中任意一点的位置怎样用坐标来 表示?
一、空间直角坐标系
下图是一个房间的示意图,我们 来探讨表示电灯位置的方法.
我们说,点A的坐标为(x,y,z),记作A(x,y,z)，其中x叫
做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标. uuur
显然, 向量 OA 的坐标，就是点A在此空间直角
坐标系中的坐标(x,y,z).
z
uuur
即 OA ( x, y, z) A( x, y, z)
k
也就是说,以O为起点的有向 线段 (向量)的坐标可以和点的坐
说明:
z
☆我们一般建立的坐标系
都是右手直角坐标系.
o
y
x
空间直角坐标系的画法:
z 1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴．
2.y轴和z轴的单位长度相同， 1350 o
x轴上的单位长度为y轴（或z
1350
y
轴）的单位长度的一半． x
有了空间直角坐标系，那空间中的 任意一点Ａ怎样来表示它的坐标呢？
一对实数1，2，使a＝1
e1＋2
e
。
2
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
平面向量的正交分解及坐标表示 y
a xi y j
r
r
r
r
i (1, 0), j (0,1), 0 (0, 0).
i
o
r j
a
x
复习提问：平面直角坐标系中
１、Ax1, y1, Bx1, y2
a
AB x2 x1, y2 y1 Ax1, y1
点，分别以 i , j, k 的正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，
这样就建立了一个空间直角坐标系Or —rxyuzr . x 轴、y 轴、z 轴，都叫 做叫做坐标轴,点O 叫做原点，向量i , j, k都叫做坐标向量.通过
r 每两个坐标轴的平面叫做坐标平面. 对空间任一向量 a ,由空间
za
向量基本定理，存在唯一的有序实
数组
(a1
,
a2
,
a3
),使
r a
r a1 i
a2
r j
a3
ur k.
k
有序实数组 r
(a1
,
a2
,
a3
)
就
i Oj
叫 下做 的坐a 在标这. 一记空为间ar直角(a坐1,标a2系,a3
)
x
.
A(a1 , a2 , a3 )
y
对应uu在一ur 空个间向r直量角OuurA坐ur,标于系是ur O存在– x唯y一z 中的，有对序空实间数任组一x,点y,Az,, 使 OA xi y j zk (如图).