高等代数选讲辅导
大学高等代数课程教案讲义
一、课程名称：高等代数二、授课对象：大学本科生三、教学目标：1. 掌握线性空间、线性方程组、矩阵、行列式等基本概念；2. 理解线性变换、特征值、特征向量等线性代数的基本理论；3. 学会运用线性代数知识解决实际问题。
四、教学内容：1. 线性空间2. 线性方程组3. 矩阵4. 行列式5. 线性变换6. 特征值与特征向量五、教学重点：1. 线性空间、线性方程组、矩阵、行列式等基本概念；2. 线性变换、特征值、特征向量等线性代数的基本理论。
六、教学难点：1. 线性空间、线性方程组、矩阵、行列式等基本概念的深刻理解；2. 线性变换、特征值、特征向量等线性代数理论的灵活运用。
七、教学方法：1. 讲授法：系统讲解线性代数的基本概念和理论；2. 案例分析法：通过具体案例讲解线性代数的应用；3. 讨论法：引导学生积极参与课堂讨论，提高学生的思考能力；4. 练习题讲解法：针对课堂练习题进行讲解，帮助学生掌握解题方法。
八、教学过程：第一课时：线性空间1. 引入线性空间的概念，讲解线性空间的基本性质；2. 举例说明线性空间的实际应用；3. 学生课堂练习，巩固线性空间的基本概念。
第二课时：线性方程组1. 介绍线性方程组的求解方法，如高斯消元法；2. 讲解矩阵的秩与线性方程组的解的关系；3. 学生课堂练习，巩固线性方程组的求解方法。
第三课时：矩阵1. 介绍矩阵的基本运算，如矩阵乘法、转置等；2. 讲解矩阵的逆、伴随矩阵等概念；3. 学生课堂练习，巩固矩阵的基本运算。
第四课时：行列式1. 介绍行列式的概念，讲解行列式的性质；2. 讲解行列式的计算方法，如拉普拉斯展开法；3. 学生课堂练习，巩固行列式的计算方法。
第五课时：线性变换1. 介绍线性变换的概念，讲解线性变换的性质；2. 讲解线性变换的矩阵表示法；3. 学生课堂练习，巩固线性变换的概念和矩阵表示法。
第六课时：特征值与特征向量1. 介绍特征值与特征向量的概念，讲解特征值的性质；2. 讲解求解特征值与特征向量的方法；3. 学生课堂练习，巩固特征值与特征向量的求解方法。
《高等代数选讲》课程教学大纲
《高等代数选讲》课程教学大纲浙江教育学院《高等代数选讲》课程教学大纲一、课程基本情况课程代码:22026总学时数:50课程类型: 专业选修课适用对象: 数学与应用数学专业四年制本科二、课程性质和目标1、课程的基本特性高等代数选讲是为全国硕士研究生入学考试数学系各专业设置的课程，一般在大学三年级开设，要求学生已学过高等代数课程并取得优异成绩. 2、课程的教学目标高等代数选讲是数学专业的专业选修课. 通过本课程的教学，使学生对高等代数的基础知识、基本概念和性质有深刻的理解和认识，并掌握综合运用各知识的方法和技巧，为考研作准备.三、课程教学方法与手段课堂讲授+习题课训练四、课程教学内容、要求及重点、难点第一章多项式(一)主要教学内容第一节数域第二节一元多项式第三节整除的概念第四节最大公因式第五节因式分解定理第六节重因式第七节多项式函数第八节复系数与实系数多项式的因式分解第九节有理系数多项式第十节多元多项式第十一节对称多项式(二)学习目的要求1(掌握数域的概念.2(掌握一元多项式的概念、多项式的整除及其性质.3(掌握两个多项式的最大公因式的概念及其性质. 4(理解多项式的因式分解定理.15(掌握复系数与实系数多项式的因式分解定理 6(理解有理系数多项式的因式分解. (三)重点和难点重点:多项式的整除及其性质，两个多项式的最大公因式的概念及其性质，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式的因式分解.难点:多项式的因式分解定理，有理系数多项式的因式分解.第二章行列式(一)主要教学内容第一节引言第二节排列第三节 n级行列式第四节 n级行列式的性质第五节行列式的计算第六节行列式按行(列)展开第七节克兰姆法则第八节拉普拉斯定理、行列式的乘法规则 (二)学习目的要求1(掌握n级行列式的定义及其性质. 2(能利用n级行列式的性质来计算行列式. 3(理解克兰姆法则(三)重点和难点重点:n级行列式的定义及其性质.难点:行列式的计算.第三章线性方程组(一)主要教学内容第一节消元法第二节 n维向量空间第三节线性相关性第四节矩阵的秩第五节线性方程组有解的判别定理第六节线性方程组解的结构第七节二元高次方程组(二)学习目的要求1(理解 n维向量空间的概念及性质.2(掌握向量的线性相关性及其性质.3(掌握矩阵秩的概念及其相关性质.4(理解线性方程组有解的判别定理及线性方程组解的结构.(三)重点和难点重点: 向量的线性相关性，矩阵的秩.难点:矩阵的秩，线性方程组解的结构. 第四章矩阵2(一)主要教学内容第一节矩阵概念的一些背景第二节矩阵的运算第三节矩阵乘积的行列式与秩第四节矩阵的逆第五节矩阵的分块第六节初等矩阵第七节分块乘法的初等变换及应用举例 (二)学习目的要求1(掌握矩阵的运算以及矩阵乘积的行列式与秩.2(掌握逆矩阵的概念及求法.3(理解分块矩阵的概念及性质.4(掌握初等矩阵及性质.(三)重点和难点重点:矩阵的运算，逆矩阵及求法.难点:分块矩阵，分块乘法的初等变换. 第五章二次型(一)主要教学内容第一节二次型及其矩阵表示第二节标准形第三节唯一性第四节正定二次型(二)学习目的要求1(掌握二次型的定义及其矩阵表示.2(理解二次型的标准形及唯一性3(掌握正定二次型及其判别条件. (三)重点和难点重点:正定二次型及其判别条件.难点:二次型的标准形及唯一性，正定二次型的判别. 第六章线性空间(一)主要教学内容第一节集合、映射第二节线性空间的定义与简单性质第三节维数、基与坐标第四节基变换与坐标变换第五节线性子空间第六节子空间的交与和第七节子空间的直和第八节线性空间的同构(二)学习目的要求1(掌握线性空间的定义、性质.32(掌握线性空间的维数、基与坐标的概念及其性质.3(理解线性空间的基变换与坐标变换.4(理解线性空间的子空间，子空间的交、和、直和的有关性质.5(理解线性空间的同构.(三)重点和难点重点:线性空间的维数、基与坐标的概念及其性质，子空间的交、和、直和的有关性质.难点:线性空间的基变换与坐标变换，子空间的直和. 第七章线性变换(一)主要教学内容第一节线性变换的定义第二节线性变换的运算第三节线性变换的矩阵第四节特征值与特征向量第五节对角矩阵第六节线性变换的值域与核第七节不变子空间第八节若当标准形介绍第九节最小多项式(二)学习目的要求1(掌握线性变换的定义、运算、线性变换的矩阵.2(掌握线性变换(矩阵)的特征值与特征向量的定义、性质及其求法.3(掌握矩阵对角化的条件及如何对矩阵对角化.4(理解线性变换的值域与核、不变子空间的概念及相关性质.5(了解若当标准形.(三)重点和难点重点:线性变换(矩阵)的特征值与特征向量，矩阵的对角化. 难点:线性变换的值域与核、不变子空间. 第八章 ,矩阵 , (一)主要教学内容第一节 ,矩阵 ,第二节 ,矩阵在初等变换下的标准形 ,第三节不变因子第四节矩阵相似的条件第五节初等因子第六节若当标准形的理论推导第七节矩阵的有理标准形(二)学习目的要求1(掌握,矩阵在初等变换下的标准形 ,2(掌握矩阵相似的条件3(掌握矩阵的不变因子、初等因子及相关性质.44(理解若当标准形的理论推导三)重点和难点重点:矩阵的不变因子、初等因子及相关性质.难点:矩阵相似的条件.第九章欧几里得空间(一)主要教学内容第一节定义及基本性质第二节标准正交基第三节同构第四节正交变换第五节子空间第六节实对称矩阵的标准形第七节向量到子空间的距离、最小二乘法第八节酉空间介绍(二)学习目的要求1(掌握欧几里得空间的定义及基本性质.2(掌握欧几里得空间标准正交基的概念、性质及求法.3(掌握正交变换的定义及性质.4(理解欧氏空间的同构、子空间.5(理解实对称矩阵的标准形，掌握其求法.(三)重点和难点重点:欧几里得空间标准正交基、正交变换.难点:实对称矩阵的标准形的求法.五、各教学环节学时分配其它教学内容课堂讲授课程实验习题或讨论小计环节 (一)多项式 2 46 (二)行列式 2 3 5 (三)线性方程组 2 3 5 (四)矩阵 3 47 (五)二次型 2 3 5(六)线性空间 2 4 6 (七)线性变换 2 4 6 (八),矩阵 ,2 2 4 (九)欧几里得空间2 4 6总计 19 31 505六、推荐教材和教学参考书教材:《高等代数》(第三版)，北京大学数学系与代数教研室前代数小组编著，高等教育出版社，2003.参考书:《代数学典》，樊恽等编著，华中师范大学出版社，1994《高等代数新方法》(下册)，王品超编著，中国矿业出版社，2003.大纲制订人:(史美华)制订日期: 2007年9月6。
福建师范大学网络教育《高等代数选讲》在线作业考核材料答案复习资料
福建师范大学网络教育《高等代数选讲》在线作业考核材料答
案复习资料
《高等代数选讲》考前辅导（一）本块主要复习《高等代数选讲》各章的基本概念及重要知识点
《高等代数选讲》考前辅导（二）
本块主要复习《高等代数》中主要的计算题型，它们有一个共同点就是以初等变换为工具。
n
一、关于阶行列式的计算
计算行列式的主要方法是降阶，用按行、按列展开公式来实现，但在展开之前往往先用性质对行列式做恒等变换，化简之后再展开。
数学归纳法、递推法、公式法、三角化法、定义法也都是常用方法。
把每一行（列）加至“第”一行（列）；把每一行（列）均减去“第”一行（列）；逐行
（列）相加（减）是一些常用的技巧，当零元素多时亦可立即展开。
高等代数选讲复习资料
高等代数选讲复习资料 一、单项选择题1 、如果AA -1=A -1A =I ，那么矩阵A 的行列式|A |必有（ A ）。
A 、|A |≠0 B 、|A |≠1 C 、|A |=0 D 、|A |=12、设A ，B 为数域F 上的2n 阶方阵，下列等式不成立的是（ A ）。
A 、|A +B |=|A |+|B | B 、|A |=|-A | C 、|kA |=k 2n |A | D 、|AB |=|A ||B |3、A 为正交矩阵，则A =（ B ）。
A 、0B 、1C 、-1D 、24、A ，B ，C 是同阶方阵，且ABC = I ，则必有（ C ） （A ） CB = A -1 （B ） AC = B -1 （C ） AB = C -1 （D ） BA = C -15、设A 为数域F 上的n 阶方阵，满足A 2+2A =0，则下列矩阵哪个可逆（ C ）。
A 、A B 、A -I C 、A +I D 、A -2I6、若矩阵A ，B 满足AB =I ，则（ C ）。
A 、A 不可逆或B 不可逆 B 、A 不可逆且B 不可逆C 、A 可逆且B 可逆D 、以上结论都不正确 7．设向量组123,,ααα线性无关。
124,,ααα线性相关，则（ D ）。
（A ）1α必可由234,,ααα线性表示 （B ）2α必可由134,,ααα线性表示 （C ）3α必可由123,,ααα线性表示 （D ）4α必可由123,,ααα线性表示 8．3R 中下列子集不是3R 的子空间的为（ A ）。
（A ）321231{(,,)|1}w x x x x =∈=R （B ）33123123{(,,)|}w x x x x x x =∈==R （C ）311233{(,,)|0}w x x x x =∈=R （D ）34123123{(,,)|22}w x x x x x x =∈=-R 9．下列集合中，是3R 的子空间的为（ B ），其中123(,,)x x x α'= （A ）{}10x α< （B ）{}1230x x x α-+=（C ）{}11x α=- （D ）{}1231x x x α++=10．已知矩阵A 的特征值为1,2,3-，则B A I =+的特征值为（ A ）。
高等代数选讲讲义
高等代数选讲信阳师范学院数学与信息科学学院2006年9月v1.0 可编辑可修改目录高等代数选讲 0信阳师范学院数学与信息科学学院 02006年9月 0目录 (2)第一讲带余除法 (1)第二讲不可约多项式 (6)第三讲互素与不可约、分解 (11)第四讲多项式的根 (16)第五讲典型行列式 (21)第六讲循环行列式 (26)第七讲特殊行列式方法 (32)第八讲解线性方程组 (38)第九讲分块矩阵与求秩 (44)第十讲矩阵的分解与求逆 (49)第十一讲广义逆与特殊矩阵对关系 (55)第十二讲特征值、对角线与最小多项式 (62)第十三讲向量的线性相关与自由度 (68)第十四讲双线性型与正定二次型 (74)第十五讲线性空间及其几何背景 (80)第十六讲欧氏空间和正交变换的意义 (86)第十七讲线性变换的核与象 (91)第十八讲线性变换的特征与不变子空间 (97)第一讲带余除法定理1（带余除法）∀f (x )g (x )≠0∈P [x ]，则有 f (x )=g (x )s (x )r (x )其中r (x )=0或∂(r (x ))＜∂(g (x ))，r (x )，s (x )∈P [x ]定理2g (x )f (x )⇔r (x )=0x －a )f (x )⇔f (a )=0带余除法可将f (x )，g (x )的性质“遗传”到较低次的r (x )，也可将g (x )，r (x )的性质“反馈”到较高次的f (x )。
边缘性质：若满足某个条件C 的多项式存在，则一定存在一个次数最低的满足条件C 的多项式。
反过来，满足条件D 的多项式次数不超过m ，则这样的集中一定有一个次数最大的。
根据带余除法和边缘性持，创造了求最大公因式的辗转相除法。
可以证明最小公倍式也是存在的，还可以得到更多的其它结论。
例1a 是一个数，f (x )∈P [x ]且f (a )=0，则P [x ]中存在唯一首项系数=1且次数最低的多项式m a (x )： m a (a )=0证作：Sa ={g (x )∈P [x ]g (a )=0}那么S ≠φ，故S 中存在一个次数最低且首系=1的多项式m a (x )，现设m (x )也是满足条件的多项式，那么∂(m (x ))=∂(m a (x )) 所以∂(m (x )－(m a (x ))＜∂(m a (x )) 令r (x )=m (x )－m a (x )则r (a )=0，得r (x )=0，所以m (x )=m a (x )，唯一性证毕。
高等代数习题课指导讲义
高等代数习题课指导高等代数习题课是在各章小单元授课基础上，帮助学生疏理相应小单元基础知识而设立的以练为主、讲练结合的教学形式，使学生进一步理解已授知识的重点，帮助学生克服学习中的难点，因而是整个课程教学的基本环节之一。
教学中应明确目的，把握全局，突出练习，以提高习题课的教学质量。
习题课1 矩阵的运算与可逆矩阵（2学时）教学目的 通过2学时的习题课教学实践，使学生进一步理解、掌握矩阵运算及其可逆矩阵的基础知识与基本方法，把握矩阵证题的基本技巧。
基础提要 略述（结合课堂练习题的解释，点述主要概念、相关定理及其基本方法）。
课堂练习：1 计算AB ，BA ，AB －BA ，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a c b b c a B a b c c b a A 111,111． 2 设A ，B ，C ∈)(F M n ．证明，若AB =BA ，AC =CA ，则A (B + C ) = (B + C ) A ；A (BC ) = (BC ) A ．3 设A = )()(F M a n nn ij ∈，A 的主对角元素nn a a a ,,,2211 的和∑=ni ii a 1叫做A 的迹，记作A Tr ．设A ，B )(F M n ∈，证明：1);Tr Tr )(Tr B A B A +=+ 2);,Tr )(Tr F k A k kA ∈=3));(Tr )(Tr BA AB = 4)AB －BA n I ≠．4 设A n M ∈(R )，且A '= A ．证明，若2A = 0，则A = 0．5 设A = B +C 机遇)(F M n ∈，其中C C B B -='=',．证明下列命题彼此等价：1) A A A A '='； 2)BC = CB ； 3)CB 是反对称矩阵．6 设)(F M A n ∈，且A 2+A +I n =0．证明，A 可逆；并求A -17 设)(F M A n ∈是对合矩阵, 即n I A =2,且n I A ±≠.证明：1)A 是可逆矩阵, 并求1-A . 2)A I n +与A I n -都是奇异矩阵.8 设A ，B ，C )(F M n ∈．证明：1)若A 非奇异，则AB = AC ⇒B = C ；2)若A 奇异，则1)的结论未必成立(举例说明)．9 设)(F M A n ∈可逆，且1-A =nn ij b )(，求,)(1-A P ij ,))((1-A k D i )((k T ij 1)-A ．10 设n M A ∈(R )．证明若以下三命题有两个成立，则其第三个也成立：1) A 是对称矩阵； 2) A 是对合矩阵； 3) A 是正交矩阵．课外建议 结合练习讲评提出相应补缺、复习建议。
高等代数 精选课程
高等代数精选课程高等代数作为数学的一个重要分支，是大多数理工科专业的基础课程之一。
它主要研究各种代数结构及其之间的关系，对于培养学生的抽象思维能力、逻辑思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
下面我将从高等代数的定义、重要内容、应用领域和学习方法等方面介绍这门精选课程。
高等代数是一门研究代数结构及其性质的数学课程。
代数结构指的是由集合和在集合上定义的一些运算构成的，常见的代数结构有群、环、域等。
代数结构间的关系主要包括同构、同态和同余等，并通过这些关系研究代数结构的类别、性质和分类等。
高等代数作为数学的一门基础课程，它的重要性不言而喻。
高等代数的重要内容包括线性代数、环论和域论等。
线性代数是高等代数的一个重要分支，它研究向量空间、线性空间以及线性变换等。
矩阵与行列式是线性代数的重要工具，通过它们可以将线性代数中的问题转化为更易于处理的代数问题。
环论则研究由一个环的加法群和乘法运算构成的代数结构，域论则研究在一个域上定义的代数运算和代数关系。
这些内容在数学理论研究和实际问题求解中起着重要作用。
高等代数的应用领域非常广泛。
在数学领域，高等代数是其他数学分支的基础，比如数论、拓扑学、几何学等。
在物理学领域，高等代数常常用来描述和求解各种物理问题，比如量子力学、相对论、电磁学等。
在工程学领域，高等代数被广泛应用于信号处理、图像处理、控制论等方面。
不仅如此，高等代数还在计算机科学、经济学、生物学等领域得到了广泛应用。
学习高等代数可以通过以下几种方法。
首先，理论学习是学习高等代数的关键。
学生需要掌握高等代数的基本概念、定理和证明方法，理解代数结构间的关系和运算规则。
其次，应注重实际问题的应用。
学生可以通过解决一些实际问题来巩固和拓展对高等代数的理解，比如线性方程组的求解、矩阵运算的应用等。
此外，多进行习题练习也是掌握高等代数的关键。
习题练习可以帮助学生掌握基本方法和技巧，提高解题的能力。
最后，积极参加讨论和交流也是学习高等代数的有效方法。
辛小龙高等代数考点精讲讲义
辛小龙的高等代数考点精讲讲义，这是一份精心制作的资源，旨在帮助学生们深入理解和掌握高等代数的核心概念和技巧。
这份讲义覆盖了高等代数的主要知识点，包括但不限于以下内容：1. 群：包括群的定义、性质、子群、循环群等。
学生们将学习如何识别和表示群，以及如何应用群的概念解决实际问题。
2. 环和域：环和域的性质，以及如何在环和域上定义代数结构，如多项式环和向量空间。
学生们将学习如何利用这些结构解决代数问题。
3. 线性代数：包括向量空间、线性变换、矩阵、行列式等。
学生们将学习如何使用线性代数概念解决实际问题，如几何、物理和工程中的问题。
4. 群表示：包括表示的概念、不可约表示、诱导表示等。
学生们将学习如何将群或代数结构嵌入到更一般的结构中，以及如何利用群表示进行计算和分析。
5. 范畴论：范畴的概念、对象和态射、函子等。
学生们将学习如何使用范畴论工具来分析和理解代数结构。
在这个讲义中，辛小龙教授将以深入浅出的方式讲解每个知识点，并引导学生们理解这些概念的实际应用。
他将以生动的例子和实例来解释抽象的概念，使学生们能够更好地理解和记忆这些知识点。
同时，辛小龙教授也会提供大量的练习题，以帮助学生们巩固和理解所学知识。
这份讲义不仅注重理论知识的讲解，也强调了实际应用和解决问题的技巧。
学生们将学会如何将所学知识应用到实际问题中，如何通过代数方法解决各种问题，以及如何使用数学工具进行有效的分析和推理。
总之，辛小龙的高等代数考点精讲讲义是一份宝贵的资源，它不仅提供了清晰的学习路径和丰富的学习资源，也激发了学生们对高等代数的兴趣和热情。
学生们通过学习和掌握这些知识，将为进一步学习和工作奠定坚实的基础。
高等代数选讲
高等代数选讲
高等代数是数学中最丰富多彩的一部分，涵盖着无穷无尽的知识，其研究成果对数学和其它科学知识的发展有着重要意义。
本文将深入探讨高等代数的各种解题方法，从而获得更多的智慧。
高等代数的选讲：
概述
高等代数，也称作抽象代数，是高等数学的学科类别之一。
它是由解决方程组的方法在数学中可到处使用，它主要涉及到数论、组合数论和代数学等分支。
高等代数主要用来描述和解决问题，比如求解一元三次方程、分析函数、分析函数逼近以及求解矩阵的特征根等。
物理意义
高等代数之于物理学的关系还是挺紧密的，比如利用代数去处理相对论有关的问题，给方程组求拓展等。
无论是量子力学、热力学还是天体运动等，都会用到部分高等数学知识。
应用
随着现代科技迅速发展，高等代数及应用逐渐渗入到我们的日常生活中，无论在金融理财、证券分析、科研、产业分析，还是单纯的数学趣味游戏等，都需要高等数学来支持。
数学思想
高等数学的学习能够开发学生的抽象思维能力，让学生从数学研究中获得真知灼见，从而获得对其他科学之外的新视野。
通过这种抽象思维，无论数学和任何其他学科的概念，都可以被视为抽象的符号和关系，这让学生有更好的理解和启发，发掘更多科学之间的联系，形成一种全新的思维方式。
结论
总之，高等代数无疑是一种十分宝贵的数学思维体系，它可以帮助学生提升几何思维、分析问题能力以及在物理研究中更好的利用代数方
法，同时，其能与现代科技紧紧相联，是满足未来发展的研究和应用趋势的重要数学工具。
高等代数选讲-第3章-线性方程组
证明 因为 u1 , u2 ,, ut 是 AX B 的解，所以
A(c1u1
Au1 c2u2
B
,Au2ct uBt ),c,1
Aut Au1
B, 于是 c2 Au2
ct
Aut
c1B c2B ct B
(c1 c2 ct )B B
即 c1u1 c2u2 ct ut 也是 AX B 的解.
且含有 4 3 1 个解，而
1 1 0
1
3
(1
2
)
( 2
3
)
1
0
0
1
1
1
即为 AX 0 的基础解系.
2
3
1
1
2
1 2
2
1 2
即为 AX
B 的特解. 1
0 1
于是该 方程组 的通解 为
2
1 2
c
0 1
（ c 为 任意常
1数）
明：1 ,2 ,,m 线性无关.
证明：设存在一组数 k1 , k2 ,, km , 使得
k11 k22 kmm
若
km
0,
则 m
k1 km
1
k2 km
2
km1 km
m
1
,
与已知矛盾，于是 km 0, 依次类推可得：
km 0, km1 0,, k2 0, k1 0
所以 1,2 ,,m 线性无关.
a3
a4
0 0 0 a1 a2 a3 a4 a5
1 0 0 0 1
0
1
0
0
1
a1 a2 a3 a4 a2 a3 a4
0 0 1 0 1
0
《高等代数选讲》教学大纲
《高等代数选讲》课程教学大纲一、课程说明课程代码：0741123120课程类别：专业必修课学时：72学时适用专业：数学与应用数学适用对象：本科考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量则取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末考试成绩评定，平时成绩占20%，期末考试成绩占80%。
二、课程概述：本课程在数学与应用数学专业按照《代数学教学大纲》（高代部分）完成教学之后的必修课。
它设想将《高等代数》中由于课时太少而未学完且实际需要的内容继续学完，以使同学的知识面更广，理论更系统，更扎实，更完备，为同学继续学习新的学科和将来作一名合格的中学教师作好理论知识的准备。
本课程的主要内容有：多元多项式与对称多项式；行列式的拉普拉斯定理和乘法定理；结式和二元高次方程组的一般解法；矩阵的广其应用举例；二次型及其标准形，正定二次型及正定矩阵；线性变换的值域与核，不变子空间，若当标准形介绍，最小多项式； 一矩阵及若当标准形的理论推导；子空间的正交，实对称矩阵的正交相似（合同）对角化，向量到子空间的距离和最小二乘法，酉空间介绍。
三、教学目的：通过本课程的学习，进一步加深对原有知识的理解和应用，扩大同学的知识面，培养同学在学习和工作中乐于思考问题，善于提出问题和勇于寻找解决问题的方法和创新能力，提高同学的素质，为大学后继课程的学习，为愿意考研同学的考研考试，为愿意在工作中自学提高的同学的自学，也为将来在中学教学中作一名合格的教师打下坚实的基础。
四、学时分配表五、教学基本内容：第一章多元多项式（8学时）本章将一元多项式理论推广到n元多项式，并讨论一类应用较为广泛的n 元多项式－对称多项式。
教学要求：1．掌握两个一元多项式的最小公倍式的概念，最小公倍式与最大公因式的关系，最小公倍式的求法。
2．了解n元多项式、次数、齐式等概念，运算和运算律，齐式之积仍为齐式。
掌握字典排列法和首项定理，了解齐式排列法，按某一元的元次排列法及次数定理。
《高等代数选讲》课程教学大纲(本科)
《高等代数选讲》课程教学大纲课程编号：07202课程名称：高等代数选讲英文名称：Selected Topics of Advanced Algebra课程类型：专业课课程要求：选修学时/学分：32/2（讲课学时：32；实验学时：0；上机学时：0）开课学期：7适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学授课语言：中文课程网站：无一、课程性质与任务高等代数选讲是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的一门学科基础课；通过本门课程的教学，提高学生对已开设的代数类课程的思想、方法、技巧等方面的认识，进一步提高学生综合运用高等代数中的各种理论解决问题的能力，以满足学生进一步深造及今后工作的需要。
二、课程与其他课程的联系先修课程：《高等代数》，《近世代数》，《矩阵分析》，《泛函分析》三、课程教学目标1．通过本课程的学习，应使学生掌握高等代数的基本理论和知识、方法等。
掌握多项式理论及利用这一理论研究一元n次方程求根问题；熟练掌握行列式理论、矩阵理论及向量空间理论, 利用这些理论解决线性方程组的解的存在性问题、数量问题、解的结构(公式解,通解,一般解) 问题；掌握解决二次型标准化的方法，解决二次型相关问题；掌握线性变换理论及线性变换或矩阵的标准形问题；理解向量空间的进一步结果即欧氏空间，以及线性空间的不变子空间分解方法等内容。
巩固并提高学生的基础知识、专业知识和研究方法，使学生了解本专业及相关领域最新动态和发展趋势，使其能够利用代数学理论解决综合性的理论或实际问题。
（支撑毕业要求指标点4.1）2．培养学生的抽象思维能力、创造思维能力和计算能力，还要特别注意综合运用、分析解决实际问题能力的训练。
使学生具有综合运用代数的理论知识对实际问题进行建模，提高学生解决实际问题的能力。
培养学生独立思考、深入钻研问题的习惯，鼓励学生对同一问题提出多种解决方案，培养学生勇于创新的能力。
使部分有考研意愿的学生能够从容的应付研究生的入学考试。
高等代数选讲电子教案
an1 ⋯ ann
D ≠0。
AB
例 21．设 A, B,C, D 都是 n 阶方阵，并且 AC = CA ，试证明：
= AD − CB 。
CD
例
22．设有分块矩阵
A C
B D
，其中
A,
D
可逆。证明：
A
（1）
B = A − BD −1C D ； （2） A
B = A D − CA−1B 。
CD
CD
例 23．设 A 为 n 阶可逆矩阵，α ， β 为 n 维列向量，则
b b b ⋯ an
例 9．设 ak ≠ 0, k = 1,2,⋯, n, 计算
1 + a1 1
1⋯
1
1
2 2 + a2 2 ⋯
2
2
3
3 3 + a3 ⋯
3
3
⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯
⋯
n −1 n −1 n −1 ⋯ n −1 + an−1 n − 1
n
n
n⋯
n
n + an
例 10．计算行列式
a0 1 1 ⋯ 1 a1 0 ⋯ 1) 1 0 a2 ⋯ ⋯⋯⋯⋯
（1） A + αβ ′ = A (1+ β ′A−1α ) ；
（2） A + αβ ′ 为可逆阵 ⇔ 1+ β ′A−1α ≠ 0 。
例 24．若η 是 n 维单位列向量，即η′η =1，那么 Ε − 2η′η = −1。
A 例 25．设 AB = BA ，试证明：
−B = A2 + B2 。
BA
b2 ⋯
a2 j+1 ⋯
⋯ ⋯
《高等代数选讲》教学大纲
高等代数选讲Selected Topics in Advanced Algebra一、课程基本情况课程类别：专业任选课课程学分： 2 学分课程总学时：32学时，其中讲课：32 学时课程性质：选修开课学期：第7学期先修课程：高等代数适用专业：信息与计算科学数学与应用数学统计学教材：无开课单位：数学与统计学院数学系二、课程性质、教学目标和任务《高等代数选讲》是数学类各专业继《高等代数》之后的一门专业选修课，《高等代数》是大学数学专业的重要基础课程，它对后续知识的学习及学生的运算能力、逻辑推理能力、抽象概括能力的培养等都起着非常重要的作用。
该门课程有概念抽象、方法繁多、各模块知识联系紧密、系统性强的特点，加之题目浩如烟海，处理问题的方法纷繁多变，因而许多学生学习时感觉存在一定困难。
为了使学生加深对高等代数课程内容的理解，帮助他们掌握该课程处理问题的方法与技巧，进而提高他们分析与解决综合问题的能力，我们在数学专业学生中开设了《高等代数选讲》这一选修课程。
通过这门课的学习，使学生熟悉《高等代数》中一元多项式理论；行列式、线性方程组理论及解法；矩阵理论；线性空间与线性变换的概念和性质；欧氏空间的结构及性质等基本概念、基本理论和基本方法，同时通过一些综合题的讲解，使学生受到进一步的代数方法的严格训练，为学生考研及学习后继课程打下坚实基础。
三、教学内容和要求第1章、多项式（4学时）（1）了解带余除法和因式分解定理；（2）理解辗转相除法和不可约多项式；（3）掌握多项式互素的性质和Eisenstein判别法的应用。
重点：整除和因式分解理论；难点：根理论。
第2章、行列式（4学时）（1）了解行列式的定义；（2）理解行列式的性质；（3）掌握常用的行列式计算方法。
重点：行列式的计算；难点：代数余子式的性质。
第3章、线性方程组与矩阵（6学时）（1）了解矩阵分块的意义与基本方法；（2）理解向量组的线性相关性，线性方程组解的结构；（3）掌握线性方程组的解法，逆矩阵的求法。
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3
3 4
4
5
D
1 3
2
k
4
3 5
4
6
答案：C
例 2 设 A 是 m n 矩阵，B 是 n m 矩阵，则（ ） （A）若 m n ，则 AB 0 ； （B）若 m n ，则 AB 0 ； （C）若 m n ，则 AB 0 ； （D）若m n ，则 AB 0 。
答案：C
例 3 向量组 1,2, ,n 线性无关的充要条件是（ ）
《高等代数选讲》考前辅导（一）
本块主要复习《高等代数选讲》各章的基本概念及 重要知识点
一、行列式
（一）、重要定义：行列式、（代数）余子式 （二）、重要结论：
1、行列式的性质； 2、范德蒙行列式、拉普拉斯展开式； 3、克莱姆法则。
11 1
例1 计算行列式 2 3 4 。
4 9 16
解：原式 (4 3)(4 2)(3 2) 2
答案： D
例 2 设 Ａ 是 n 阶方阵， A*是 A 的伴随矩阵，k 是
任一个常数，则必有kA* （ ）。
（A） kA*
（B） k n1 A*
（C） k n A*
（D） k 1 A*
答案： B
例3
0 0 12001 1 2 3 1 0 02002
计算 0 1 0 4 5 6 0 0 1 。
1 0 0 7 8 9 0 1 0
三、线性方程组
（一）、重要定义 （简化）阶梯形矩阵、自由未知量、 线性相关与线性无关、向量组与矩阵的秩、极大无 关组、子式、增广矩阵、特解与基础解系。
（二）、重要知识点 1、向量组线性无（相）关的充要条件 2、关于向量组的线性关系若干重要结论 3、关于向量组与矩阵的秩相关结论 4、（非）齐次线性方程组的解的判定与结构
（A）向量组 1,2, ,n 不含零向量； （B）向量组 1,2, ,n 中有部分向量线性无关； （C）向量组 1,2, ,n 中任一向量不能由其它向量
线性表示； （D）存在一组全为零的数 k1, k2, , kn ，使得
k11 k22 knn O 。 答案：C
四、向量空间
（一）、重要定义 向量空间、内积、欧氏空间、正交 矩阵、矩阵的特征值、特征向量，特征多项式、特征子 空间、相似矩阵、矩阵的可对角化、实对称矩阵的对角 化 （二）、重要知识点
3x 3 1 x 2 1 2x 2 1 x 7 6
4x 3 x 7 6
44411 32145
例 3 已知 5 阶行列式 D 3 3 3 2 2 ，试求：
23542 45613
（1）A21 A22 A23 ，（2） A24 A25 其中 A2 j 是 D中元素a2 j ( j 1, 2,3, 4,5) 的代数余子式。
例 1 设 1,2,3是四元非齐次线性方程组 AX b的三 个解向量，且秩(A)=3，1 [1, 2,3, 4]T , 2 3 [0,1, 2,3]T , k 为任意常数，则线性方程组 AX b 的通解 X （ ）。
A
1 1
2 k 1 3 1
4
1
B
1 0
2
k
1
3 2
4
3
C
1 2
2
k
x2
例2
设
f
(x)
2x 3x
2 3
4x
x 1 2x 1 3x 2 4x 3
x2 2x 2 4x 5 5x 7
x3 2x 3 3x 5 4x 3
，则方程 f (x) 0
的根的个数为（ ）。
（A） 1；
（B） 2；
（C） 3；
（D） 4；
答案： B
解：因为：
x 2 x 1 x 2 x 3 x 2 1 0 1
2x 2 2x 1 2x 2 2x 3 2x 2 1 0 1
f (x)
3x 3 3x 2 4x 5 3x 5 3x 3 1 x 2 2
4x 4x 3 5x 7 4x 3 4x 3 x 7 3
x2 1 0 0
2x 2 1 0 0 x 2 1 x 2 1
5x(x 1)
11
11 1
10 0
1 1 ( 2) 1 1 ( 2) 1 1 0 ( 2)( 1)2
11
11
1 0 1
由克莱姆法则知，当( 2)( 1)2 0，即 2 且 1
时，方程组有唯一解，即零解。
二、矩阵
（一）、重要定义：矩阵、（可）逆矩阵、伴随矩阵、 分块矩阵、几类特殊矩阵A2222AA2233))2((AA2244AA2255))00
解方程组得： A21
A22 A24
A23 A25
0 0
x y z 0
例 4 试讨论当 为何值时，方程组x y z 0
只有唯一解？
x y z 0
解：由于方程组的系数行列式
0 0 1
1 0 0
解：由于P 0 1 0 , Q 0 0 1 都是初等矩阵，且
1 0 0
0 1 0
PA是对 A作一次行变换（一，三行互换），故
P2001A PA , AQ 是对 A作一次列变换（二，三列互换），
7 8 9
从而 AQ2002 A ，故原式 PA 4 5 6 。
1 2 3
（二）、重要知识点： 1、（分块）矩阵的运算：加减法、乘法、数乘、 转置、逆。 2、矩阵可逆的判定方法（充要条件） 3、初等矩阵与初等变换的关系
例 1 设 A, B为n 阶方阵，则下列运算正确的是（ ）
（A） ABk Ak Bk
（B） A A
（C） A2 B2 A B A B （D） A I 2 A2 2A I
角矩阵。
例 1 下列集合是 n 的子空间的是（ ）
A W1 [a1,0, ,0, an ] a1, an
1、关于矩阵的特征值与特征向量的相关性质
2、矩阵的特征多项式的结构
3、相似矩阵具有的性质（相似关系下的不变性）
4、 Schmidt正交化公式
5、矩阵可对角化的充要条件 6、矩阵可对角化的充分条件 7、实对称矩阵特征值与特征向量所特有的性质 8、实对称矩阵 A，必有正交矩阵T，使得 T 1AT 为对
解：由行列式按行展开定理有：
ai1A21 ai2 A22 ai3 A23 ai4 A24 ai5 A25 0 (i 1, 3, 4, 5)
取 i 1,3 得：
aa3111AA2211
a12 a32
A22 A22
a13 a33
A23 A23
a14 A24 a34 A24
a15 A25 a35 A25