高等代数选讲辅导

三、线性方程组
（一）、重要定义 （简化）阶梯形矩阵、自由未知量、 线性相关与线性无关、向量组与矩阵的秩、极大无 关组、子式、增广矩阵、特解与基础解系。
（二）、重要知识点 1、向量组线性无（相）关的充要条件 2、关于向量组的线性关系若干重要结论 3、关于向量组与矩阵的秩相关结论 4、（非）齐次线性方程组的解的判定与结构
（A）向量组 1,2, ,n 不含零向量； （B）向量组 1,2, ,n 中有部分向量线性无关； （C）向量组 1,2, ,n 中任一向量不能由其它向量
线性表示； （D）存在一组全为零的数 k1, k2, , kn ，使得
k11 k22 knn O 。 答案：C
四、向量空间
（一）、重要定义 向量空间、内积、欧氏空间、正交 矩阵、矩阵的特征值、特征向量，特征多项式、特征子 空间、相似矩阵、矩阵的可对角化、实对称矩阵的对角 化 （二）、重要知识点
《高等代数选讲》考前辅导（一）
本块主要复习《高等代数选讲》各章的基本概念及 重要知识点
一、行列式
（一）、重要定义：行列式、（代数）余子式 （二）、重要结论：
1、行列式的性质； 2、范德蒙行列式、拉普拉斯展开式； 3、克莱姆法则。
11 1
例1 计算行列式 2 3 4 。
4 9 16
解：原式 (4 3)(4 2)(3 2) 2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0 0
即有：34((AA2211AA2222AA2233))2((AA2244AA2255))00
解方程组得： A21
A22 A24
A23 A25
0 0
x y z 0
例 4 试讨论当 为何值时，方程组x y z 0
只有唯一解？
x y z 0
解：由于方程组的系数行列式
例 1 设 1,2,3是四元非齐次线性方程组 AX b的三 个解向量，且秩(A)=3，1 [1, 2,3, 4]T , 2 3 [0,1, 2,3]T , k 为任意常数，则线性方程组 AX b 的通解 X （ ）。
A
1 1
2 k 1 3 1
4
1
B
1 0
2
k
1
3 2
4
3
C
1 2
2
k
1、关于矩阵的特征值与特征向量的相关性质
2、矩阵的特征多项式的结构
3、相似矩阵具有的性质（相似关系下的不变性）
4、 Schmidt正交化公式
5、矩阵可对角化的充要条件 6、矩阵可对角化的充分条件 7、实对称矩阵特征值与特征向量所特有的性质 8、实对称矩阵 A，必有正交矩阵T，使得 T 1AT 为对
解：由行列式按行展开定理有：
ai1A21 ai2 A22 ai3 A23 ai4 A24 ai5 A25 0 (i 1, 3, 4, 5)
取 i 1,3 得：
aa3111AA2211
a12 a32
A22 A22
a13 a33
A23 A23
a14 A24 a34 A24
a15 A25 a35 A25
3
3 4
4
5
D
1 3
2
k
4
3 5
4
6
答案：C
例 2 设 A 是 m n 矩阵，B 是 n m 矩阵，则（ ） （A）若 m n ，则 AB 0 ； （B）若 m n ，则 AB 0 ； （C）若 m n ，则 AB 0 ； （D）若m n ，则 AB 0 。
答案：C
例 3 向量组 1,2, ,n 线性无关的充要条件是（ ）
答案： D
例 2 设 Ａ 是 n 阶方阵， A*是 A 的伴随矩阵，k 是
任一个常数，则必有kA* （ ）。
（A） kA*
（B） k n1 A*
（C） k n A*
（D） k 1 A*
答案： B
例3
0 0 12001 1 2 3 1 0 02002
计算 0 1 0 4 5 6 0 0 1 。
1 0 0 7 8 9 0 1 0
角矩阵。
例 1 下列集合是 n 的子空间的是（ ）
A W1 [a1,0, ,0, an ] a1, an
x2
例2
设
f
(x)
2x 3x
2 3
4x
x 1 2x 1 3x 2 4x 3
x2 2x 2 4x 5 5x 7
x3 2x 3 3x 5 4x 3
，则方程 f (x) 0
的根的个数为（ ）。
（A） 1；
（B） 2；
（C） 3；
（D） 4；
答案： B
解：因为：
x 2 x 1 x 2 x 3 x 2 1 0 1
11
11 1
10 0
1 1 ( 2) 1 1 ( 2) 1 1 0 ( 2)( 1)2
11
11
1 0 1
由克莱姆法则知，当( 2)( 1)2 0，即 2 且 1
时，方程组有唯一解，即零解。
二、矩阵
（一）、重要定义：矩阵、（可）逆矩阵、伴随矩阵、 分块矩阵、几类特殊矩阵、初等变换与初等矩阵。
0 0 1
1 0 0
解：由于P 0 1 0 , Q 0 0 1 都是初等矩阵，且
1 0 0
0 1 0
PA是对 A作一次行变换（一，三行互换），故
P2001A PA , AQ 是对 A作一次列变换（二，三列互换），
7 8 9
从而 AQ2002 A ，故原式 PA 4 5 6 。
1 2 3
2x 2 2x 1 2x 2 2x 3 2x 2 1 0 1
f (x)
3x 3 3x 2 4x 5 3x 5 3x 3 1 x 2 2
4x 4x 3 5x 7 4x 3 4x 3 x 7 3
x2 1 0 0
2x 2 1 0 0 x 2 1 x 2 1
5x(x 1)
3x 3 1 x 2 1 2x 2 1 x 7 6
4x 3 x 7 6
44411 32145
例 3 已知 5 阶行列式 D 3 3 3 2 2 ，试求：
23542 45613
（1）A21 A22 A23 ，（2） A24 A25 其中 A2 j 是 D中元素a2 j ( j 1, 2,3, 4,5) 的代数余子式。
（二）、重要知识点： 1、（分块）矩阵的运算：加减法、乘法、数乘、 转置、逆。 2、矩阵可逆的判定方法（充要条件） 3、初等矩阵与初等变换的关系
例 1 设 A, B为n 阶方阵，则下列运算正确的是（ ）
（A） ABk Ak Bk
（B） A A
（C） A2 B2 A B A B （D） A I 2 A2 2A I