1.参数方程的概念及圆的参数方程

例3 如图，圆O的半径为2，P是圆上 的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是 PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动 时，求点M的轨迹的参 数• 方程。
y
P M

o
Qx
解：设点M的坐标是(x,y)，xOP θ,则点
P的坐标是(2cosθ,2sinθ),由中点坐标公式得：
•
x

2cosθ
圆心和半径
若 D2+E2-4F>0 时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
表示一个圆，称为
圆的一般方程
思考：圆是否还可用其他形式的方程来表示？
2、圆的参数方程
y
点M从M0出发以 为角
M(x,y)
速度按逆时针方向运动
r
•

如果在时刻t，点M转过的角度是 o
x M 0
θ，坐标是M(x,y)，那么θ＝ωt，
设 OM＝r，那么由三角函数的定义有：
cosωt

x r
,sinωt

y r
即{x y

rcosωt(t为参数) rsinωt
这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方
程。其中参数t有明确的物理意义(质点作匀
速圆周运动的时刻)
考虑到θ＝ωt，也可以取θ为参数，于是有 {x rcosθ(θ为参数),这也是圆心在原点O，半径 y rsinθ
学习目标：
• 1.通过实例了解建立曲线的参数方程及圆的 参数方程的实际意义。
• 2.掌握圆的参数方程的表达形式。
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使 投• 放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时时机呢？
y y0 rsinθ
(x x0 )2 (y y0 )2 r2
注意：由于选取的参数不同，圆有不同的参 数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不 同的变数为参数，因此得到的参数方程也可
•
以有不同的形式，形式不同的参数方程，它 们表示 的曲线可以是相同的，另外，在建
立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的 取值范围。
y
（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。
500
o
x
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使 投• 放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
y
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
•
为r的圆的参数方程其中参数θ的几何意义是OM0绕 点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度。
圆的参数方程的一般形式：
以上是圆心在原点的圆的 •参数方程，它对应的
普通方程是x2 y2 r2,那么，圆心在点o(x0,y0 )
半径为r的圆的参数方程又是怎么样的呢？
x {

x0

rcosθ (θ为参数)对应的普通方程为
解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t 0
所以M1在曲线C上。
把点M
2(5,4)代入方程组，得到{4
5
3t 2t2
1
这个方程组无解，所以点M2不在曲线C上。
(2)、因为点M3(6,a)在曲线C上，所以
{ a
6
3t 2t2
解得t 1

2,a

9,所以，a

9
练习1
1、曲线

x

1
t
2
,
(t为参数）
与x轴的交点坐标是(
B

)
y 4t 3
•
A、（1，4）；B、(1265 , 0); C、(1, 3);
D、 ( 25 , 0); 16
知识回顾
若以（a，b）为圆心，r为半径的圆的 •
标准方程为（：x-a）2+（y-b）2=r2
标准方程的优点在于： 它明确指出圆的
6

cosθ
3,y

2sinθ
sinθ
2
2
所以，点M的轨迹的参数方程是
在过去的学习中我们• 已经掌握了一些求
曲线方程的方法，在求某些曲线方程时，直 接确定曲线上的点的坐标x,y的关系并不容 易，但如果利用某个参数作为联系它们的桥 梁，那么就可以方便地得出坐标x,y所要适 合的条件，即参数可以帮助我们得出曲线的 方程f(x,y)＝0。
•
参数方程的概念
及圆的参数方程
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
？ 救援点
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使 投• 放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
•
（二）由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决 定，从数学角度看，这就是点M的坐标x,y由t唯一 确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，x,y的 值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点 的轨迹。
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标x, y都是某个变数t的函数 x f (t),

•

y

g (t ).
（2）
并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数.
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明
500
垂直高度为y，所以
x 100t,


y

500

1 2
gt
2
.（g=9.8m/s2
)
令y 0, 得t 10.10s.
o
x 代入x 100t,得 x 1010m.
所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
可以使其准确落在指定位置.
（一）方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标， 变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的函数。
显意义。
2. 2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3. 3.在实际问题中要确定参数的取值范围
例1、已知曲线C的参数方程{ y
x
3t 2t2
(t为参数) 1
(1)、判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线C的位置关系
•
(2)、已知点M3(6,a)在曲线C上，求a的值。