三角形中的边角关系

三角形中的边角关系

1、 A+B+C=π ，

2C =

2

π-(

2A +

2

B )

2、 sinC=sin(A+B)， cosC=-cos(A+B) sin

2

C =cos(

2

A +2

B )， cos 2

C =sin(

2

A +

2

B )， tan

2

C =cot(

2

A +

2

B )

sin2C=-sin2(A+B)， cos2C=cos2(A+B) 3、 三角形面积公式 S ∆=

12

absinC=

12

bcsinA=

12

casinB

p=

12

（a+b+c ）

4、 正弦定理sin sin sin a b c A

B C

=

=

=2R

sinA ׃sinB ׃ sinC ׃a = b ׃ c sinA=

2a R

，sinB=2b R

，sinC=

2c R

a=2RsinA ， b=2RsinB ， c=2RsinC

适用类型：AAS →S ，SSA →A (2,1,0解) 5、余弦定理2222cos a b c bc A =+-

2

2

2

co s 2b c a

A b c

+-=

适用类型：SSS →A ，SAS →S ，AAS →S(2,1,0解)

5、 判定三角形是锐角直角钝角三角形 设c 为三角形的最大边 2c <2a +2b ⇔∆ABC 是锐角三角形

2

c =2

a +2

b ⇔∆ABC 是直角三角形 2

c >2

a +2

b ⇔∆ABC 是钝角三角形

6、 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1

tan

2

A tan

2

B +tan

2

B tan

2

C +tan

2

C tan

2

A =1

7*

、若三角形三内角成等差数列，则B=3

π

三边成等差数列，则0

三边成等差数列，则B ≤

3

π2

2

q <<

若R t ∆ABC 三边成等差数列C=

2

π，则׃a b ׃c=3׃4׃5

若R t ∆ABC ， C=2

π三边成等比数列，则最小内角A=arcsin 2

7、 若sinA=sinB ⇔A=B ，若cosA=cosB ⇔A=B ，若tanA=tanB ⇔A=B 8、 若sin2A=sin2B ，则A=B 或A+B=

2

π

cos2A=cos2B ，则A=B

9、∆ABC 中A>B ⇔sinA>sinB ，A>B ⇔cosA

即 sinA >cosB ， 但sinA > cosA 不一定成立，

⇒sinA +sinB +sinC > cosA +cosB+cosC

（2）反之，若任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，则∆ABC 是锐角三角形； （3）若某一个角的正弦大于另一个角的余弦，不一定是锐角三角形；

（4）若某一个角的余弦大于另一个角的正弦，cosA>sinB ，则∆ABC 是钝角三角形。 11、在锐角三角形中，任意一个角的正切大于另一个角的余切，

tanA>cotB ， tanA·tanB>1， tanA+tanB+tanC>cotA+cotB+cotC 练习 (1) 已知cos cos cos a b c A B

C

=

=

，则∆ABC 是 三角形。

（2）如果

co s co s a b B

A

=

，则∆ABC 是 三角形。

（3）∆ABC 中，A ׃B ׃C=1׃2׃3，则a ׃b ׃c=

(4) 如果cosAtanBtanC<0，则∆ABC 是 三角形。 （5）若sinAsinB

A 、锐角三角形

B 、直角三角形

C 、等边三角形

D 、钝角三角形 （7）∆ABC 中，已知sin sin sin co s co s A B C A B

+=+，判定三角形的形状。

（8）∆ABC 中，已知53co s ,sin 13

5

A B ==

，求cosC

（9）已知三角形两边之和为8，其夹角为

3

π，求这个三角形周长的最小值和面积的最大值。