周期函数注意点以及常见抽象函数周期性的证明

周期函数的定义

1、对于函数f(x)，如果存在一个非零常数.T ,使得当x 取定义域内的每一个值.时，都有

f(x T) f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期。

① 定义域：对于任何函数，都需要明确其定义域，对于周期函数来说，其 定义域必为至少一端无界的集合。

理由：设周期为T,由周期函数的定义知f(x+T)=f(x),易得f(x+nT)=f(x) (其中n 是整数),即x+nT 也在定义域内，故周期函数定义域必是无界集。 例题：y sin x(0 x 10 )是周期函数吗？

② 变的只能是x

T 的变化只能发生在 x 上。例如f(x) sin(3x 8)是周期函数，则 f (x T) sin[3( x T) 8]，不能写成 f (x T) sin(3x T 8)。

③ 图像为周期波动的函数不一定是周期函数，要观察定义域。

例如：f (x) x [x] ( 3 x 3 ) ([x]是取整函数，表示不超过 x 的 最大整数)，该函数的图像如下所示，该图像重复出现，但是因为其定义域 两端都有界，所以其必不为周期函数。

周期函数问题的相关题型及解答。

核心：所有周期函数的问题，核心在求出周期 T ,即将题目里各种f(x)的等 式往f(x T) f (x)方向化简。

化简过程中需要注意的相关函数概念：化简过程中要注意f(x)本身的对称 性和奇偶性。

抽象函数的周期总结

周期函数

例题：sin - 2

3

sin -，那么2

3

是sin (为的周期吗?

3

1. f(x) f(x T)型：f(x)的周期为 T o 证明：对x 取定义域内的每一个值时，都有 f (x T) f (x)，贝y f (x)为周期函数，T 叫

函数f (x)的周期。

2. f (x a) f (x b)型：f(x)的周期为 |b a|。 证明：f (x a) f (x b) f (x) f (x b a)。

3. f (x a) f (x)型：f (x)的周期为 2a o

1

4. f (x a)

型：f (x)的周期为2a o

f(x)

1

—f(x)。 f(x)

1

5. f (x a) —型：f (x)的周期为 2a 。 f(x)

6. f (x a) 1一型 型：f (x)的周期为4a 。

1 f(x)

f(x)

证明：f (x 2a) f [(x a) a]

f (x a) [f(x)] f(x)

证明：f (x 2a) f [(x a) a]

1 f(x a)

证明：f (x 2a) f [(x a) a]

1 f (x a)

1 1 f(x)

f (x) o

证明：f (x 2a)

1

1 f (x a) 1 f (x) 1 1 f (x

a)

1 1 f(x)

1 f (x)

f(x)'

f (x 4a) f [(x 2a) 2a]

1 f(x 2a)

f (x) o

7. f (x a)

1 f (x) 1 f (x)

y f(x)的周期为T 2a

f [(x a) a]

1 1 f(x)

8、 f (x a)

y f (x)的周期为 T 3a

f (x) 1

证明：

f[(x f[(x

f(x a)

2a) 3a)

a]-

a]

f(x)

1

1

f(x) 1 f(x) f(x)

f(x a) 1

1 1

1

1 f(x) 1 1 f (x 2a)

f(x) 1 1 f(x)

9、f (x 2a) f (x a)

f(x)

y

f (x)的周期为T 6a

证明： f(x

2a) f(x a) f(x)

f(x

3a)

f(x

2a) f(x a)

f(x 3a) f (x)

f[(x 3a) 3a] (f(x))

f (x)

10.两线对称型： 函数 f (x)关于直线x

a 、x

b 对称，则 f (x)的周期为|2b

2a|

。

证明：

f (x)

f (2a x),

f (2a x)

f (2b

x) f(x)

f(x 2b 2a)。

f (x) f (2b x)

8. 一线一点对称型

：函数f (x)关于直线x a 及点(b , 0)对称，贝U f (x)的周期为

f (x 4b 4a) f [(x 2b 2a) 2b 2a] f (x 2b 2a) [ f (x)] f (x)

证明：f(x 2a) f[(x a) a]

1 f(x a) 1 f(x a)

1 1 f(x)

1 f(x) 1 1 f(x) 1 f(x)

f(x)。

|4b 4a|。

证明：

f (x)

f (2a

x) f(2a x)

f(2b

f (2b x)

f(x)

x) f (x 2b 2a) f (x),所以