1生活中的“斐波那契数列”

2014年温州市小学数学小课题评比学校: 苍南县钱库小学成员姓名：陈耀坤吴文强金旭杭指导教师：陈瑞帐生活中的“斐波那契数列”——台阶中的数学一、问题的提出周末爸爸妈妈带我去龙港影城看3D电影,影城的大门口有16级水泥台阶,我发现老年人大多是一级一级地往上走的,年轻的小伙子喜欢两级两级地往上走，小朋友则是一会儿走一级,一会儿又蹦两级……很快,一个念头闪入我的脑海：按照他们这样不同的走法，走完这16级台阶，一共会有多少种不同的走法呢?会不会有什么规律呢？于是,在爸爸妈妈的鼓励下,我决定开始台阶走法的研究。

二、研究过程1.从最简单的做起该怎样开展研究呢？我找了两个好朋友,做合作伙伴。

我们想起了老师曾经提到过的华罗庚说的话:“善于退，足够地退,退到最原始的而不失重要的地方是学好数学的一个诀窍。

”也就是说可以“从最简单的做起”于是我们通过画楼梯入手。

1个台阶(1种)2个台阶(2种)３个台阶（3种）４个台阶（5种）……后来我觉得用这种表示方法实在太麻烦了，有没有更简捷的表达方法呢？于是在数学老师的启发下就想到了用最简单的数字来表达：楼梯台阶数及方法楼梯上法表示一个台阶（１种）（1)二个台阶(2种) (1，1)(2）三个台阶(3种) （1,１,1)（1，2)(２,1)四个台阶（５种）（１，1，1 ,1)(1，１，2)（１，2,1)（２,1，1）(2,2) 五个台阶(8种） (1，１,1,１,１)（1,1,1,２）（1,１，2，1)(1，2,1,１）（2，１,1，1） (2，1，2）（２，2,1) （1，2,2）５个台阶有８种走法,那现在求1６个台阶有几种走法,该怎么办呢?我们想用这个方法继续进行进去,我尝试着:六个台阶(13种) （1,1,１，１，1，1）(1,2,1,1，1）(1，1，2，1,1）(１,1,1,2,1）(1,1,1，１，２)（2,1,1,1,1)(1,1,2,2）(2，1，1,2）（2，1，2,1）（2，２,１,１，)（1,２，２,1)（１，2,１,2)(2,2,2)七个台阶(21种）(1,1,1,1，1,1,1）(1，1，1，１,1，2)(１,１,1,１，2，1)（1，１，1,2,1，1)(1，1，2,１,1,1）(１,2,1，1，1,1)（2，1,1,１，１，1）(1，１，１，２,2） (1,１,2,2，1)（1，2，2，1，１) (2,2，１,１,1) (１,2，１，1，2)（1，2,1,２，１）（1,2，2,１，１，）（2，1，1，1，2） (２，1，1，2,1）（2,1，2，１,1）(2，2，2,１)(2，2,1，2) (2，1,2,2) (１,2,2，2) ……２.整理数据,发现规律这样写下去还是很麻烦，数字会越来越大,而且很容易出现遗漏或重复。

有没有规律呢？我们重新整理了数据,发现台阶上法数据之间有关联：7个台阶的走法=6个台阶的走法＋5个台阶的走法,也就是１3＋8=21。

６个台阶的走法＝5个台阶的走法＋4个台阶的走法，也就是８+5＝1３……那走台阶的上法是否有规律？是否是后一个数都是前两个数的和呢?照这样推理,8个台阶数的走法应该是3４种呢?我决定用数字拆分来进行验证,发现答案完全符合。

于是，很快就算出了走16个台阶的上法共有1597种。

3.深入探究这种规律是否巧合呢？若规定每步可以迈一级台阶或二级台阶，最多可以迈三级台阶,从地面走到最上一级台阶，哪又有有多少种不同的走法?一个台阶(1种) (1)二个台阶(2种）（1，1)(２)三个台阶（4种）（1，1,1)（１,2）（2，1)(3)四个台阶(7种） (1，１，１,1)(１,1,2)（1,2，1）（2,１，1)（2,2)(１,3) （３，１）五个台阶(１３种)（1，1，1，1,1)(1,1，１，２)(１，1,2，１）（1,2,1,1）(2,1，1,1)（2，1,2)（２,２,1）(１，2，2）(1,１，3)(1，3,1）（3,1，1）(2,3)(3，2)六个台阶(24种)(1,１，1,1,1，1)（１，２，１,1，1)（1,1，２,1，1)（１，１，1,2,1)(１,1，1，1，２）（2,1,1，1，1)（1，１,2，2)（2，1，1,2)（２，1,２，１)(２,2，1,1，）（１,２,2，1)(1，２，1，2）(2，2,2)（1,1,1,3）（1,1,３,1)（1,3，１,1)(3，1,１,1）（1，2，3）（1,3,2）（2,1，３)(2,３，1）(3,1，2)（3,２,1)(3,3)……我们同样尝试整理这些数据,发现此时台阶上法数据之间也有关联：6个台阶的走法=５个台阶的走法＋4个台阶的走法+3个台阶的走法,也就是24=１3+7+4。

5个台阶的走法=4个台阶的走法+3个台阶的走法＋2个台阶的走法，也就是13=7＋4＋2。

每个数等于前三个数之和。

由此依次可以推出7个台阶的走法=６个台阶的走法+５个台阶的走法+4个台阶的走法=4７。

8个台阶的走法＝7个台阶的走法＋6个台阶的走法+5个台阶的走法=８4……4.寻找理论依据: 1）．斐波那契数列莱昂纳多斐波那契（117５－1250)出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。

在１202年斐波那契提出了一个非常著名的数列,即:假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。

年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后,兔房内共有多少对兔子?据载首先是由9世纪法国数学家吕卡将级数1，1,2,3,5，8，１３，２1,３4，……命名为斐波那契级数。

这就是非常著名的斐波那契数列问题。

通项公式为:２）.杨辉三角: 1 11 ２ 1ﻫ 1 3 3 1 1 4 6 ４ 1台阶数 (8)910 １1 128 …… 台阶上法 …… 8４617７７32６86３5 ３7４0２…………过第一行的“1”向左下方做45度斜线,之后做直线的平行线,将每条直线所过的数加起来，即得一数列1、1、2、３、5、8……5.斐波那契数在生活中的应用我们去图书馆查找,网上搜索，咨询老师，收集到有关斐波那契数在生活中的应用。

植物中的斐波那契数(1)细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。

（２)细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数:紫宛、大波斯菊、雏菊。

斐波那契数经常与花瓣的数目相结合:ﻫ３………………………百合和蝴蝶花ﻫ5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草ﻫ8………………………翠雀花13………………………金盏草ﻫ２1………………………紫宛３4,５５，89……………雏菊ﻫ还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。

例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0,然后依序点数叶子(假定没有折损),直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。

叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。

叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。

在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列)比。

多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。

２)斐波那契数列与黄金比值相继的斐波那契数的比的数列:ﻫ它们交错地或大于或小于黄金比的值。

该数列的极限为。

这种联系暗示了无论（尤其在自然现象中)在哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线,那里也就会出现斐波那契数,反之亦然。

３）.【斐波那契数列的应用】一位魔术师拿着一块边长为８英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块,再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的长方形地毯。

”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异,因为商者之间面积相差达一平方英尺呢！可是魔术师竟让匠师用图2和图３的办法达到了他的目的！这真是不可思议的事！亲爱的读者，你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢?斐波那契数列在自然科学的其他分支,也有许多应用。

例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。

所以,一株树苗在一段间隔,例如一年,以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后,老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。

这样，一株树木各个年份的枝桠数,便构成斐波那契数列。

这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。

另外,观察延龄草,野玫瑰,南美血根草,大波斯菊,金凤花,耧斗菜,百合花,蝴蝶花的花瓣．可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数:3,５,8,13,21……斐波那契螺旋具有13条顺时针旋转和２1条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部具有13条逆时针旋转和2１条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部这些植物懂得斐波那契数列吗?应该并非如此,它们只是按照自然的规律才进化成这样。

这似乎是植物排列种子的“优化方式”,它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当,不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。

叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来,为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的)，每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是2２２.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周3６０度之比是黄金分割数0.６１803３9８９……的倒数,而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。

向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到8９，甚至14４条。

三、研究感悟16级台阶走法居然这么多,走台阶也能用数学方法来解决。

原来数学如此美妙，并不像人们平时所说的那么抽象、那么枯燥。

其实,只要我们善于观察，多动脑筋，用心去感悟生活，用心去体验、去思考,就会发现:数学就在我们身边,生活中到处都有数学，只需你我去思考!。