第四章 级数
第四章、级数
的复变函数项级数，简记为 ∑ f n ( z ) .
17
一、基本概念
2. 复变函数项级数收敛的定义
定义 设 ∑ f n ( z ) 为区域 G 内的复变函数项级数，
n
第四章 解析函数的级数表示
(1) 称 sn ( z ) = ∑ f k ( z ) 为级数 ∑ f n ( z ) 的部分和。
注意 级数在收敛圆的边界上 各点的收敛情况是不一定的。 约定 R = 0 表示级数仅在 z = 0 点收敛；
⇒ lim z n = 0 ,
n→ +∞
7
二、复数项级数
1. 基本概念
定义 设 { z n }n=1 , 2 ," 为一复数序列，
第四章 解析函数的级数表示
(1) 称 ∑ z n = z1 + z 2 + " 为复数项级数， 简记为 ∑ z n .
n =1
+∞
(2) 称 sn = ∑ z k = z1 + z 2 + " + z n 为级数的部分和；
⇒ | an z
n
n | = | a n z0 |⋅
z z0
n
z ≤ Mq , 其中 q = z ， 0
n
+∞
n Mq | a z | ≤ ∑ | z | < | z | q < 1 , 当 即得 ∑ n 收敛。 0 时，
n
+∞
n= 0
n= 0
20
二、幂级数
2. 阿贝尔 ( Abel ) 定理
定理 对于幂级数 ∑ a n z ，有
n→ +∞
第四章 解析函数的级数表示
高等数学课件-复变函数与积分变换 第四章 级数
称为级数的部分和。
在收敛域D内
lim
n
Sn
(
z)
S
(
z
),
S ( z) 为级数的和函数。
二、幂级数
若 fn (z) Cn zn 或 fn (z) Cn (z z0 )n 时，
幂级数为
Cn zn 或
Cn (z z0 )n
n0
n0
定理4.7
Ab el 定理如果级数
Cn zn
n0
z z 在
z0
sin
z
k 0
(1)k z2k1
2k 1!
R
• 例5 将 cos z 在 z 0处展开成幂级数。
sin z 解： 将
两边对z求导
cos z
(1)k (2k 1)z2k
k 0
2k 1!
(1)k z2k
k 0
2k !
例6 arctan z 在 z 0 处展开成幂级数。
解：
arctan
z
b
二、复数项级数
定义4.2
z 设
为一复数列，表达式
n
zn z1 z2 zn
n1 为复数项级数，其前n项之和
Sn z1 z2 zn
为级数的部分和。 称级数收敛，
若
lim
n
Sn
S,
S称为级数的和，
记为
S zn
若
{Sn} 不收敛，则称级数是发散的
n1
n
n
n
Sn k an i bn 有
收敛，那么对满足
0
| z || z0 | 的z，
级数必绝对收敛。
如果在
z z 级数发散，那么对满足 0
复变函数幂级数
z
f()d
cnzn1
zR ,CzaR
0
n0 n1
---幂级数的逐项积分运算
整理课件
30
例4 求幂级数的和函数及收敛圆.
(1) nnz112z3z2 n1
(2)
zn
z2 z
z3
n1 n
23
整理课件
定理4 级 数 n收敛 an和 bn都收敛
n1
n1
n1
? 若 n收 n1
敛 n收
n1
敛 (例.如:
n1
(1)ni n
)
定义 若n收 敛 ， 则称n为 绝 对 收 敛 ；
n1
n1
若n发 散 ，而n收 敛 ， 则称n为
n1
n1
n1
条 件 收.敛
整理课件
9
例2 下列级数是否收敛否？绝是对收敛？
(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R 的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径 为R的圆域.
整理课件
20
4. 收敛半径的求法
关于幂级cn数 zn (3)的收敛半径求法，
n0
(比定值理法2 )若 ln i m ccnn 1
，R 则 1 /
0
0 0
证明 (i) 0, ln i m cn c n 1z zn n1ln i m cc n n 1z z
(i) f(z)在 zR内 解 . 析
(i)if'(z ) ( c n z n ) ' (c n z n ) ' n n z n c 1 z R
n 0
n 0
n 1
---幂级数的逐项求导运算
(ii)i f(z)d z
复变函数与积分变换第4章4.1收敛数列与收敛级数
3
§4.1 复数项级数 第 一、收敛序列 四 章 2. 复数序列极限存在的充要条件 定理 设 zn xn i yn , a i , 则 lim z n a 的充要条件是 解 n P76 析 定理 lim x , lim y . n n n 函 4.1 n 数 zn 证明 必要性 “ ” 的 | zn - a | | yn - | 级 若 lim z n a , 则 e 0 , N , n 数 a | xn - | 表 当 n N 时，| zn - a | e , 示
即得级数 z n 收敛的充要条件是 x n 和 yn 都收敛。
9
§4.1 复数项级数 第 二、复数项级数 四 章 3. 复数项级数收敛的必要条件 定理 设 zn xn i yn , 则 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 . n 解 析 P79 函 证明 由于级数 z 收敛的充要条件是 x 和 y 都收敛， n n n 数 的 而实数项级数 x n 和 yn 收敛的必要条件是： 级 数 lim xn 0 , lim yn 0 等价于 lim zn 0 , 表 n n n 示 因此 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 .
1 n 1 zn 2 i 2 e n n
i
π n 2
§4.1 复数项级数 第 二、复数项级数 四 章 4. 复数项级数的绝对收敛与条件收敛 定义 (1) 若 | z n | 收敛，则称 z n 绝对收敛。 解 析 P79 (2) 若 | z n | 发散， z n 收敛，则称 z n 条件收敛。 函 数 的 定理 若 | z n | 收敛，则 z n 必收敛。 P80 定理4.4 级 2 2 | z | x y 证明 由 收敛， n n 收敛， n 数 表 2 2 2 2 | x | x y , | y | x y 又 示 n n n n n n,
复变函数 第四章 级数
∞
∞
n
Proof:
2 α n = a n + ibn , | α n |= a n + bn2
∞ ∞
2 2 由： |α n |= ∑ a n + bn ∑ n =1 n =1
| a |≤ a 2 + b 2 n n n 收敛， 收敛，及 2 2 | bn |≤ an + bn
y R
R 0 x
则称：（ ） 为收敛半径 则称：（1）R为收敛半径 ：（ （2）| z |< R 为收敛圆域 ）
返回
╬
2、幂级数的三种收敛情况： 、幂级数的三种收敛情况：
处收敛， ，收敛圆域为点圆； （1）只在原点 z = 0 处收敛，R=0，收敛圆域为点圆； ） （2）在整个复平面上处处收敛， = +∞ ）在整个复平面上处处收敛， R （3）在复平面上有时收敛，有时发散，则R为一个 ）在复平面上有时收敛，有时发散， 为一个 确定的正实数。 确定的正实数。
（5） 令 ζ = z − 1, ）
z 是复变量。 是复变量。
注：当 a = 0 时，幂级数为
∞ n =0 ∞
cn z n , ∑
n =0 n ∞ n =0
∞
ζ = z − a ， 则 ： c n ( z − a ) = ∑ c nζ n 令 ∑
故：只须讨论形如
c n z n 的幂级数。 ∑ 的幂级数。
n =0
返回
╬
2、幂级数在一点 z 0 的收敛性 、
收敛， （1） 若 ∑ c n z 0 收敛，则 z 0 称为 ）
n n =0 ∞
c n z n 的收敛点。 ∑ 的收敛点。
n=0
∞
复变函数第四章级数
an 1 an
z n的收敛半径 :
an R lim 1 an
n
a n1
1 an1
lim
n
a(1
a
n
)
1 a
1.
1 an1
22
4、 幂级数的运算和性质
定理三 (1) 幂级数
f (z) cn (z a)n
(4.3)
n0
的和函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|<R(0<R≤+∞)内解析.
f z cn z z0 n ,
D
n0
成 立 ， 其 中cn
1 n!
f
nz0 , n
0,1, 2，,
d
• z0
并 且 展 开 式 唯 一. （证略）
31
注
⑴
f z cn z z0 n
n0
n0
f
n z0
n!
z
z0
n
=
f
z0 +
f z0 z - z0 +
f
z0
2!
z
-
z0
2
+
n
z a 收敛
z1 a
cn(z a)n 在圆K内绝对收敛. n0
推论： 若幂级数(4.3)在某点z2(≠a)发散,则它在以a为圆 心并且通过点z2的圆周外部发散.
z1 z2
a
2.收敛圆与收敛半径
z1
y
z.2
.
R
o
收敛圆 收敛半径
x 收敛圆周
幂级数 cnzn的收敛范围是以a点为中心的圆域.
常用的展开式：
ez 1 z z2 z3 zn
2! 3!
第4章-复变函数项级数04-洛朗级数
利用洛朗级数展开式的唯一性及双边幂级数在收敛圆环 域内可以逐项求导和逐项积分的性质。
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
解:1）直接展开法 解析，故积分为0；
1
1
z
n0
zn,
z 1
1
1
z
n0
zn,
的收敛区域为
可以证明:双边幂级数在收敛环域内的和函数是解析函数， 可以逐项求导、逐项积分
Re
当 R e 时，
Re
2 解析函数的洛朗展开定理
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
说明：
（1）洛朗级数是双边幂级数，泰勒级数只有正幂项； （2）洛朗级数是泰勒级数的推广，泰勒级数是洛朗级数 的特殊情况； （3）系数公式不同，洛朗系数不能利用高阶导数公式.
3 求解析函数洛朗展开式的方法
R2 z z0 R1
第四章 复变函数项级数
第四讲 洛朗级数
主要内容
1. 双边幂级数 2. 解析函数的洛朗展开定理 3. 求解析函数洛朗展开式的方法
1 双边幂级数
1
1
z
1
z
z2
z3
zn
,
n0
zn ,
z 1
双边幂级数
既含有正幂项又含有负幂项的级数
无首项， 不能用部分和来定义收敛和发散.
结论: 双边幂级数 圆环域
z 1
1
1全是负幂项，有无穷多项）
1
1
z
第四章 级数概论
从而有 an a (an a) i(bn b) ,
所以
lim
n
an
a.
同理
lim
n
bn
b.
4
反之, 如果
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b,
那末当n N 时,
an
a
2
,
bn
b
2
.
从而有 zn z0 (an ibn) (a ib) (an a) i(bn b)
an a bn b ,
如果复数项级数
zn收敛, 那么
lim
n
zn
0.
n1
重要结论
lim
n
zn
0
级数
n1
zn发散.
12
例如,级数 ein
n1
: 因为lim n
zn
lim ein
n
0,
不满足必要条件, 所以原级数发散.
启示:判别级数的敛散性时,可先考察
lim
n
zn
? 0.
lim
如果
n
zn
0,
级数发散;
lim
n
zn
任给z0的一个邻域,可以找到一个正整数N,使得当n N时,
zn在这个邻域内.
3
二.复数列收敛的充要条件
复数列 {zn an ibn} (n 1, 2, ) 收敛于 z0 a ib
lim
n
an
a且
lim
n
bn
b.
证明
如果
lim
n
zn
z 当 n N 时, (an ibn ) (a ib) ,
第四章 级数(研究生)
收敛圆域为|z|<1.
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(e ( n1) en1 ) 2 (4) (cos in ) z 解: l lim e n n n (e e ) 2 n 0
n
1 R e
( z 1) (5) n2 n 1
n
1 收敛圆域为 | z | . e
当 z z0 时， cn ( z z0 )n cn n
n 0
n 0
故只需讨论形如 cn z 的幂级数.
n n 0
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n 0
2. 幂级数在一点z0 的收敛性
1 . 若 cn z0 n 收敛，则z0的称为 cn z0 n 的收敛点.
(3 4i)n (2) n! n 1
in (3) n 1 n
1 1 1 (1) 原式= i 2 因为 发散 , 所以原级数发散 . n 1 n n 1 n n 1 n
(2)
n 1
(3 4i ) n!
n
Байду номын сангаас
n 1
(3 4 ) n!
n 0
1 1 1 1 解: f ( z ) z b ( a b) ( z a ) a b 1 z a a b za 1 n a b 1 n za (1) a b a b n 0
z2
y
z1
0
x
R
当|z|>R时发散 . 则: (1)称 R为收敛半径; (2)称|z|<R为收敛圆域 . 注意：当|z|=R时, 情况复杂, 有时收敛 ( 绝对收敛 or 条件收敛) , 有时发散 .
第四章_级数-新
s(z)称为该级数在区域D上的和函数.
17
4.2 幂级数
5.幂级数 当 f n ( z ) c n 1 ( z a ) n 1 或 f n ( z ) c n 1 z n 1 时 , 得到函数项级数的特殊情形
cn ( z a ) c0 c1 ( z a ) c2 ( z a ) cn ( z a )n
n
所以复数项级数 n收敛的必要条件是
n
lim n 0
n
n1
重要结论:
lim n 0 级数 n发散.
n n 1
7
4.1 复数项级数
定理三 如果
n 1
n
收敛, 那么
n 1
n
也收敛，
且不等式
n 1
n 1
n
n 成立.
n
3
4.1 复数项级数 二、级数概念
1.定义 设{ n } {an bn } ( n 1,2,)为一复数列,
表达式
n 1 2 n
n1
称为复数项无穷级数. (1) 部分和 其最前面 n 项的和 sn 1 2 n 称为级数的部分和.
第四章 级数
0
4.1 复数项级数 一、复数列的极限
1.定义 设 { n } ( n 1,2,) 为一复数列, 其中
n an ibn , 又设 a ib 为一确定的复数,
如果任意给定 0, 相应地都能找到一个正数
N ( ), 使 n 在 n N 时成立,
故原级数发散。
4.4洛朗级数
n ( z z0 ) n 及 n ( z z0 ) n ,
都收敛时，我们说原级数收敛，并且它的和等 于上式中两个级数的和函数相加。 设上式中第一个级数在 | z z0 | R2 内绝 对收敛并且内闭一致收敛；
n 0 n 1
解析函数的洛朗展式：
第二个级数在 | 内闭一致收敛。
f ( z)
n
n
( z z0 ) ,
n
其中，定理的证明：
1 f ( ) n 2' ( z0 )n1 d , (n 0,1,2,...) 2i 1 f ( ) n 1' ( z0 )n1 d , (n 1,2,...) 2i
小结
第四章 级 数
4.3 洛朗级数
解析函数的洛朗展式：
我们称级数
n
n
( z z0 )
n
பைடு நூலகம்
为洛朗级数。 收敛?和函数?收敛域?解析部分?主要部分? 洛朗级数的和函数是圆环D内的解析函数， 反之,圆环内的解析函数必可展开为洛朗级数 即有
洛朗定理：
洛朗定理 设函数f(z)在圆环： D : R1 | z z0 | R2 (0 R1 R2 ) 内解析，那么在D内
:| z z0 | ( R1 R2 )
然后沿 求积分。由于所讨论的级数在 上一 致收敛，在求积分时，对有关级数可以逐项积 分，于是我们有
1 g ( z) 1 n k 1 ( z z0 )k 1 dz k 2i ( z z0 ) dz k 2i
1 z
1 1 1 1 1 e 1 ... ... 2 n z 2! z n! z
[复变函数与积分变换][课件][第4章][级数]
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级
数
∑f
n =1
+∞
n
( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + f 3 ( z ) +
+ f n ( z) +
为复
= f1 ( z ) + f 2 ( z ) +
+ f n ( z) = ∑ f k ( z) ．
k =1
n
sn ( z0 ) 若 z 0 ∈ D ，极限 nlim → +∞
敛点；
= s ( z0 )
存在，称
∑f
n =1
+∞
n
( z ) 在 z0 处收敛，和
∑f
n =1
+∞
n
( z0 ) = s ( z0 ) ， z0 为收
若 z 0 ∈ D ， {sn ( z 0 )} 发散，称
∑f
n =1
+∞
n
( z ) 在 z 0 处发散， z 0 为发散点．
D1 收敛域
D2 发散域
∑αn = s
n =1
+∞
Δ
收敛； 若 {s n }
∑α
n =1
+∞
n
收敛
⇔
∑a
n =1
+∞
n
和
∑b
n =1
+∞
n
均收敛．
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ 证： s n = ∑ α k = ⎜ ∑ ak ⎟ + i ⎜ ∑ bk ⎟ ． k =1 ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠
此定理将复级数的审敛问题转化为实级数的审敛问题． 级数收敛之必要条件：
信号与线性系统分析 (第四版)第四章 级数
T 2 T 2 T 2 T 2
b-n
f (t ) sin( n t ) dt bn
龚茂康
扬州大学信息工程学院
f (t )
a0 2
( an cos n t bn sin n t )
n 1
信号与线性系统分析
A0 2
A0 2
A n cos(n t n )
n 1
A n Cos n Cos(n t ) -A n Sin n Sin(n t )
n 1 n 1
a n An Cos n , b n An Sin n ,
A n an
0
an
信号与线性系统分析
(2)奇函数 : 关于原点对称, f ( t ) f (t )
f (t )
t
a0 0
f (t )
龚茂康
n 1
an 0
b n sin n t
扬州大学信息工程学院
f (t ) cos nt为t的奇函数
an
信号与线性系统分析
信号与线性系统分析
第四章
傅里叶变换和系统的频域分析
很多问题在时域求解比较麻烦, 例如卷积; 很多问题在时域解释不清,例如声 音信号中的高低音处理; 第一个变换域------频域; 如何在频域中描述信号和系统?
龚茂康 扬州大学信息工程学院
信号与线性系统分析
§4-1 信号分解为正交函数 常用正交函数集 ①三角函数集
上式的物理意义：
f t 中含有sint、sin3t、sin5t等的正弦分量。
第四章复级数
解 ∵ lim c n +1 = lim ( n ) 3 = 1, R = 1
n→ ∞
cn
n→ ∞
n+1
对于收敛圆周 z = 1,级数 ∑
∴∑
∞
∞
zn n
3
z
n 3
n =1
=∑
∞
∞
1 n
3
n =1 n
在收敛圆周上是处处收 敛的； ∑
z
n= 0 n
3
是收敛的，
n =1 n
的收敛域为 z ≤ 1.
c n+1 n ( 2)∵ lim = lim = 1, R = 1 n→ ∞ c n n→ ∞ n + 1 收敛圆为 z − 1 = 1, 在 z − 1 = 1上, z = 0时，
∞
复函数级数为幂级数 . z 0 = 0时，幂级数为
n =1
c n z n = c 0 + c1 z + ⋯ c n z n + ⋯ ∑
∞
为了方便以后只 对此种形式进行 讨论
定理1.5 如果级数 c z n 在点ξ ≠ 0收敛，则级数在圆域 z < ξ 内 ∑n
ξ 绝对收敛，如果级数在 点ξ ≠ 0发散，则满足 z 〉 的点z . 都使级数发散 . (阿贝尔定理）
1.2 复变函数项级数
{ f n ( z ) = un + iv n }∞=1为区域D内的函数，表达式 设 n ∞
n =1
∑ f n ( z ) = f 1( z ) + f 2 ( z ) + ⋯ + f n ( z ) + ⋯
n
称作复变函数项级数.该级数前n项的和
S n ( z ) = ∑ f k ( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + ⋯ + f n ( z )
复变函数与积分变换课堂第四章PPT课件
称为无穷级数, 其最前面n项的和
sn12 n
称为级数的部分和。
如果部分和数列{sn}收敛, 则级数 n 称为收敛，且 n 1
极限 lim n
sn
s
称为级数的和。如果数列
{
s
n
}
不收敛，则
级数 n 称为发散。 n 1
定理二 级数 n 收敛的充要条件是级数 a n 和
n 1
n 1
b n 都收敛。
1 n1 2 n
收敛，仍断定原级数发散。
另外, 因为 | n | 的各项都是非负的实数, 所以它的 n 1
收敛也可用正项级数的判定法来判定。
例2 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限。
1)n 11 n ein; 2)nncosin
[解] 1) 因n 11 n ei n 11 n cos nisin n ，故
an2bn2 |an||bn|，因此
， an2bn2 |an| |bn|
n1
n1n1所以当 Nhomakorabeaa n 与
b n 绝对收敛时，
n 也绝对收敛，因此
n 1
n 1
n 1
n 绝对收敛的充要条件是 a n 和 b n 绝对收敛。
n 1
n 1
n 1
例1
考察级数
n 1
(
1 n
i 2n
)
的敛散性。
[解]
因 发散，虽 1 n1 n
n 1
[证] 因 s n 1 2 n ( a 1 a 2 a n )
i(b 1 b 2 b n )n in
其中s n a 1 a 2 a n ,n b 1 b 2 b n 分别为 a n 和 n 1
第四章 级数
第四章 级数 第一节 数项级数本节主要介绍数项级数的收敛性判定，至于求和问题放在下一节。
1． 正项级数的审敛（1）除了敛散性定义和性质外，主要方法有：（i ）比较法，（ii ）比值法和根值法，（iii ）积分判别法：设)(x f 在),1[+∞上非负连续且单调减少，则⎰+∞1)(dx x f 收敛∑∞=⇔1)(n n f 收敛（比如对于级数∑∞=2ln 1n n n ，由于⎰+∞2ln 1dx x x 发散，故∑∞=2ln 1n n n 发散）（iv ）正项级数∑∞=1n na 收敛⇔部分和数列}{n s 有界． （2）几个简单级数的收敛性：-p 级数： ∑∞=11n p n ，1>p 时收敛，1≤p 时发散。
1=p 时得调和级数∑∞=11n n，其部分和)0( ln →++=n n n c n s εε。
等比级数∑∞=-11n n aq ，1||<q 时收敛，且为绝对收敛，其和为qa-1，1||≥q 时发散。
级数∑∞=2)(ln 1n pn n ，1>p 时收敛，1≤p 时发散。
（3）判定正项级数∑na的敛散性的一般步骤：（i ）先看n a lim ，若该极限存在但不等于零或不存在，则级数∑∞=1n na发散；（比如∑∞=++1121n n n ，由于，021121≠→++n n ，故级数发散） （ii ）若0lim =n a ，再用以下方法去判定： 01．判阶法和比较法，判阶法主要是看n a 是关于n 1的几阶无穷小．比如∑=++1311n n n n ，由于113++n n n 是关于n 1的23阶无穷小也即与231n 为同阶无穷小，故级数收敛，再比如∑=++1211n n n n ，由于112++n n n 是关于n 1的1阶无穷小即与n1为同阶无穷小，故级数发散．用比较法就要找一个比较对象∑∞=1n nb，若要说明∑∞=1n na收敛，则设法将n a 放大为n b （即n n b a ≤≤0）并且∑∞=1n nb收敛，那么∑∞=1n na收敛．若要说明∑∞=1n na发散，则设法将n a 缩小为n b （即n n a b ≤≤0）并且∑∞=1n nb发散，那么∑∞=1n n a 发散．或找一个已知其敛散性的正项级数∑∞=1n n b 并且极限nnb a lim能比较方便地求出来，那么就可以判定∑∞=1n na的敛散性．02．用比值法和根值法，特别n a 中出现na n n ,!!,!时．比如∑∞=--1)1(2n n nn，由于121)2(1)1(<→--nn nn，故级数收敛（注：该题不能用比值法，因为n n a a 1lim +不存在）3．通过说明部分和有界也是证明正项级数收敛的有效办法． 例１．判别下列级数的收敛性（1）∑∞=+-1)]11([n p n e （2）)0( )11(1>+-∑∞=a n a n n（3） +++-++-+-222222222 （4）πnn )53sin(1∑∞=+ （5）∑∞=1n pnx ，其中 )2,0(,,3,2,sin 11π∈==-x n x x n n 解（1）由于p n e )11(+-～n e 2，从而知∑∞=+-1)]11([n pn e 与∑∞=11n p n 具有相同的敛散性， 因此当1>p 时，原级数收敛；1≤p 时，原级数发散。
第四章 复变函数的级数
(2)zn
(1)n i n1
则ln i m xn (1)n, 而该极限不存在，
故该极限不存在。
3. 复数项级数
设 {zn}{xnyn}(n1,2,)为一复数
表达式 zk z1z2zn k1
称为复数项级数.
6
n
前 n 项的和 Sn zkz1z2zn k1
称为级数的前 n 项部分和.
级数收敛与发散的概念
重要结论:
ln i m zn 0级
数zn发
n1
散 .
定义：如果 z n 收敛, 称级数 z n 为绝对收敛.
n1
n1
如果 z n 收敛, 而 z n 不收敛的级数
n1
n1
称为条件收敛. 11
绝对收敛级数的性质：
如 果zn收,敛 那 么 zn也收 . 敛
n1
n1
证明：由于 zn xn2yn2,
n1
称为复变函数项级数。
级数前n项的和
S n ( z ) f 1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
找到一N 个 ()当 ,正 n数 N时 ,有znz0 .
则 称n当 时zn ， 以 z0为极限。
此时也称{复 zn}收 数敛 列z于 0.
记作 ln imzn z0 .
2
复数列收敛与实数列收敛的关系：
复数 {zn}(列 n1,2,)收敛 z0的 于充要条
ln i x m nx0, ln i y m ny0.
由 z 于 1时 ,当 ln i s m n ln i 1 m 1 z z n 1 1z
所以z当 1时级数. 收敛
复数项级数与实数项级数收敛的关系：
级数zn (xniyn)收敛的充要: 条
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第四章 级数
单选题：
1.若0lim ≠+∞
→n n u ，则级数
∑∞
=1
n n
u
（ ）。
A.收敛；
B.条件收敛；
C.绝对收敛；
D.发散。
2.设常数0≠a
，几何级数∑∞
=-1
1
n n aq
收敛，则q 应满足（ ）。
A.1<q ；
B.1≤q ；
C.11<<-q ；
D.1>q 。
3.若级数
∑∞
=-1
1
1
n p n
发散，则有（ ）。
A.
0>p ； B.2>p ； C.2≤p ； D.1≤p 。
4.数项级数
∑∞
=1
41
n n =（ ）。
A.31； B.4
1
； C.3； D.4。
5.设幂级数
∑∞
=0
n n n
x a
在2=x 处收敛，则该级数在3=x 处 （ ）。
A.条件收敛；
B.发散；
C.绝对收敛；
D.敛散性不确定。
6.若级数
∑∞
=0
n n n
x a
在2=x 处收敛，则该级数在1-=x 处 （ ）。
A.发散；
B.绝对收敛；
C.条件收敛；
D.敛散性不能确定。
7.设幂级数
∑∞
=0
n n n
x a
在2=x 处发散，则该级数在4=x 处 （ ）。
A.条件收敛；
B.发散；
C.绝对收敛；
D.敛散性不确定。
8.下列级数为绝对收敛的级数是 （ ）。
A.23)1(1++-∑∞
=n n n n
； B.n n n
∑∞
=-1
)1( ；
C.211)1(n n n
∑∞=- ； D.n n n 1)1(1
∑∞=- 。
9.
∑∞
=-+-1
1
1
1
)
1(n n n 是 （ ）的级数。
A.发散； B.绝对收敛； C.条件收敛； D.敛散性不能确定。
10.若幂级数
∑∞
=0
n n
n
x
a
的收敛区间为（-2，2），则幂级数
∑∞
=-0
)3(n n n
x a
的收敛区间
为( )。
A.（-2，2）；
B.(-1,5) ；
C.(-5,-1) ；
D.(1,5)。
11.∑∞
=+1
)
11(1n n n
的敛散性为（ ）。
A.发散；
B.收敛；
C.敛散性不定；
D.以上选项都不对。
12.
∑∞
=-1
1
3
n n n
的敛散性为（ ）。
A.发散；
B.收敛；
C.敛散性不定；
D.以上选项都不对。
13.幂级数
n n n x ∑∞
=-115的收敛半径为（ ）。
A .0； B.
5
1
； C. 5； D.∞+。
14.幂级数∑∞
=1
22n n
n x n 的收敛区间为（ ）。
A.)2,2(-；
B.（-3，3）；
C. )21
,21(-； D.)3
1,31(-。
15.
∑
∞
=1
24
n n n
x 的收敛区间为（ ）。
A. )21,21(-； B. )2,2(-； C. )4
1,41(-； D.)4,4(-。
16.∑∞
=+1
)4(n n
n x 的收敛区间为（ ）。
A.（-1，1）；
B. (-5,3) ；
C.(3,5) ；
D. (-5,-3)。
17.∑∞
=⋅-1
2)1(n n n
n x 的收敛域为（ ）。
A.（-1，3）；
B. )3,1[-；
C.]3,1(-；
D.]3,1[-。
18.函数x
e 的马克劳林级数展开式为（ ）。
A. +++++!!212n x x x n
),(+∞-∞∈x ；
B. !
!212n x x x n
++++ ),(+∞-∞∈x ；
C. n
n
x x x x )1(13
2
-++-+- ),(+∞-∞∈x ； D. +-++-+-n
n
x x x x )1(13
2
),(+∞-∞∈x 。
19.函数x
y +=
61
展开为)1(+x 的幂级数为（ ）。
A. ++-+++++-5)1()1(5)1(51122n
n x x x )11(<<-x ； B ++-+++++-+13225)1()1(5)1(5151n n
n x x x )11(<<-x ； C. ++-+++++-5)1()1(5)1(51122n
n x x x )46(<<-x ； D. ++-+++++-+1
3225)1()1(5)1(5151n n
n x x x )46(<<-x 20. 函数x
e
x x f 22)(=展开成x 的幂级数为（ ）。
A. ∑∞
=+02!2n n n n x ； B.
∑∞=+02
!
n n n x ； C. ∑∞=0
!2n n
n n x ； D. ∑∞
=0!
n n
n x 。
答案：1.D ； 2.C ； 3.C ； 4.A ； 5.D ； 6.B ； 7.B ； 8.C ； 9.C ； 10. D ； 11.A ； 12.B ； 13.B ； 14.C ； 15.B ； 16.D ； 17.B ； 18.A ； 19.D ； 20.A 。