第一章 曲线论

⃗( )在区间 上可导当且仅当数量函数 ∀
∈ ，根据数量函数的 Lagrange 中值定理，有
( ) = ( ) + ′( )( − ) ( ) = ( ) + ′( )( − ) ( ) = ( ) + ′( )( − ) 其中 ， ， 介于 与 之间。从而 ⃗= ={ = { = ⃗ ⃗( ( ( + )={ ( ) ( ) ( )} ) + ′( )( − ) ( ) + ′( )( − ) ( ) + ′( )( − ) ( ) ( )} + { ′( ) ′( ) ′( )}( − ) ⃗( − ) ( ) )}
}
sin sin( − ) [ − cos( − )] − sin cos( − )[ − sin ] + − (sin ) − cos = 0 即： sin sin( − ) − sin cos( − ) + = (sin ) + cos
5. 求抛物线 = 解： = = =2 1+ 1+4
对应于− ≤
≤ 的一段的弧长。
=2
1+4
=
1Fra Baidu bibliotek
1 + (2
)
(2
)
= =
1
1+4 1+4 +
+ 1 2
1 2 2
2
+ 1+4 + 1+4
6. 求星形线 = (cos ) ， = (sin ) 的全弧长。 解：
=4
′ + ′
= 12
sin cos
第一章 曲线论
§1 向量函数 1. 证明本节命题 3、命题 5 中未加证明的结论。 略
2. 求证常向量的微商等于零向量。 证：设 ⃗ = ⃗， ∈ 为常向量，因为 lim ⃗( + ∆ ) − ⃗( ) ⃗− ⃗ = lim =0 ∆ → ∆ ∆ 证毕
∆ →
所以 ⃗ = 0。
3. 证明 ⃗( ) ⃗ ( ) ( ) − ⃗( ) ′( ) = ( ) ( ) 证： ⃗( ) = ( ) [ = ( ) ⃗( )] = − ( ) ( ) ⃗( ) + ( )⃗ ( )
平面的交
平面 = 0的交点为 (3 , 0,0)，交
点对应的参数为 = 0，而 ⃗′ = {−3 sin , 3 cos , 4 }， = | ⃗′| = 3 +4 =5 =5 | |
9. 求曲线
=3
，2
=
在平面 = 与平面 = 9 之间的弧长。
解：取 为曲线参数，曲线的向量参数方程为： ⃗= , ,
上式为向量函数的 0 阶 Taylor 公式，其中 ⃗ = { ( ) 区间 上处处有 ⃗ ( ) = { ′( ) ( )= 证毕 ( )= ′( )
( )}。如果在
′( )} = 0，则在区间 上处处有 ( ) ( )} = 0，于是 ⃗ = ⃗ 。
( ) = 0，从而 ⃗ = { ( )
5. 证明 ⃗ = ⃗( )具有固定方向的充要条件是 ⃗ × ⃗ = 0。 证：必要性：设 ⃗ = ⃗( )具有固定方向，则 ⃗ = ⃗( )可表示为 ⃗ = ⃗( ) = ( ) ⃗， 其中 ( )为某个数量函数， ⃗为单位常向量，于是 ⃗ × ⃗ = ( ) ( ) ⃗ × ⃗ = 0。 充分性：如果 ⃗ × ⃗ = 0，可设 ⃗ ≠ 0，令 ⃗ = ⃗( ) = ( ) ⃗( )，其中 ( )为某个数 量函数， ⃗( )为单位向量，因为 ⃗ = ′( ) ⃗( ) + ( ) ⃗′( )，于是 ⃗ × ⃗ = 0 → ( ) ⃗( ) × [ ′( ) ⃗( ) + ( ) ⃗ ( )] = 0 → 因为 ⃗ ≠ 0，故 ⃗( ) ⃗( ) ⃗ ( ) ⃗( ) ( )[ ⃗( ) × ⃗ ( )] = 0
=6
7. 求旋轮线 = ( − sin )， = (1 − cos )对应于0 ≤ ≤ 2π一段的弧长。 解： = ′ + ′ = √2 √1 − cos =2 sin =8
2
8. 求圆柱螺线 ⃗ = {3 cos , 3 sin , 4 } (−∞ < < +∞)从它与 点到任意点 ( )的弧长。 解：圆柱螺线 ⃗ = {3 cos , 3 sin , 4 } 与
⃗ = {0,0,0} ⃗ = {0,1,1} ⃗" = 2{1,0,1} ⃗ 1 ⃗= = {0,1,1} | ⃗ | √2 ⃗′ × ⃗" 1 ⃗= = {1,1, −1} | ⃗′ × ⃗"| √3 1 ⃗= ⃗× ⃗ = {2, −1,1} √6 密切平面的方程为 + − =0
副法线的方程为 1 = 1 = −1
⃗ ( ) ( ) − ⃗( ) ′( ) ( ) 证毕
4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零， 则此向量在该区间上是常向量。 证：设 ⃗ = ⃗( ) = { ( ) ( ) ( )}， ∈ 为定义在区间 上的向量函数，因为 ( )， ( )和 ( )在区间 上可导。所以，
cos ,
sin , sin }的副法线的正向取单位长，求其端
点组成的新曲线的密切平面。 解：令 = cos , = sin ，则曲线的方程可表示为： : ⃗ = { cos , sin , }, + = 1
设 的副法线向量为 ⃗ ，则有 ⃗= ⃗′ × ⃗" = | ⃗′ × ⃗"| √ 1 + { sin , − cos , } = { sin , − cos , }
( ) ≠ 0，从而 ⃗( ) × ⃗ ( ) = 0 → [ ⃗( ) × ⃗ ( )] = 0 → 0 ⃗( ) = ⃗ ( ) = 0 → ⃗ ( ) = 0 → ⃗( ) = ⃗ 证毕
⃗( ) ⃗ ( ) 1 =0→ 0 ⃗ ( )⃗ ( )
为常向量，于是， ⃗ = ⃗( ) = ( ) ⃗，即 ⃗ = ⃗( )具有固定方向。
法平面的方程为： + =0
切线的方程为 0 = 1 = 1
从切平面的方程为 2 − + =0
主法线的方程为
2
=
−1
=
1
3. 证明圆柱螺线 ⃗ = { cos , sin , 证： ⃗ = { cos , sin , }
}的主法线和 轴垂直相交。
⃗′ = {− sin , cos , } ⃗" = {− cos , − sin , 0} ⃗ 1 ⃗= = {− sin , cos , } |⃗ | √ + ⃗′ × ⃗" 1 ⃗= = { sin , − cos , } | ⃗′ × ⃗"| √ + ⃗ = ⃗ × ⃗ = {− cos , − sin , 0} 一方面，主法线的方程为 − cos = cos − sin = sin − 0 }上任意一点 ( cos , sin , )
另一方面，过圆柱螺线 ⃗ = { cos , sin , 作平面π与 轴垂直， π的方程为 −
= 0， π与 轴的交点为 (0,0,
)， 过 与 的
直线显然与 轴垂直相交，而其方程为 − cos = cos − sin = sin − 0 证毕
这正是主法线的方程，故主法线和 轴垂直相交。
4．在曲线 ⃗ = {
6. 证明 ⃗ = ⃗( )平行于固定平面的充要条件是( ⃗, ⃗′, ⃗") = 0。 证：必要性：设 ⃗ = ⃗( )平行于固定平面，则存在一个常向量 ⃗，使得 ⃗ ⃗ = 0，对 此式连续求导，依次可得 ⃗ ⃗′ = 0 和 ⃗ ⃗" = 0 ，从而 ⃗ ， ⃗′ ，和 ⃗" 共面，因此
( ⃗, ⃗′, ⃗") = 0。 充分性：设( ⃗, ⃗′, ⃗") = 0，即( ⃗ × ⃗ ) ⃗" = 0，其中，如果 ⃗ × ⃗ = 0，根据第 5 题 的结论知， ⃗ = ⃗( )具有固定方向，则 ⃗ = ⃗( )可表示为 ⃗ = ⃗( ) = ( ) ⃗，其中 ( )为某个数量函数， ⃗为单位常向量，任取一个与 ⃗垂直的单位常向量 ⃗，于是 作以 ⃗ = ⃗ × ⃗为法向量过原点的平面 ， 则 ⃗平行于 。 如果 ⃗ × ⃗ ≠ 0， 则 ⃗与 ⃗ 不 共线，又由( ⃗, ⃗′, ⃗") = 0 可知， ⃗， ⃗′，和 ⃗"共面，于是 ⃗" = ( ) ⃗ + ( ) ⃗′， 其中 ( )， ( )为数量函数，令 ⃗ = ⃗ × ⃗ ，那么 ⃗ = ⃗ × ⃗" = ( ) ⃗，这说明 ⃗ 与 ⃗ 共线，从而 ⃗ × ⃗ = 0，根据第 5 题的结论知， ⃗ 具有固定方向，则 ⃗ = ⃗ ( )可 表示为 ⃗ = ⃗ ( ) = ( ) ⃗，其中 ( )为某个数量函数， ⃗为单位常向量，作以 ⃗为 法向量，过原点的平面 ，则 ⃗平行于 。 证毕
根据题意，新曲线的方程可表示为
: ⃗ = ⃗ + ⃗ = { cos + sin , sin − cos , + 将 = cos , = sin 代入上式，整理后，得 : ⃗ = {cos( − ), sin( − ), (sin ) + cos } ⃗ = {− sin( − ), cos( − ), sin } ⃗" = {− cos( − ), −sin( − ), 0} ⃗ × ⃗" = {sin sin( − ), − sin cos( − ), 1} 于是新曲线 的密切平面为：
2. 求曲线 ⃗ = { sin , cos , }在原点的密切平面、法平面、从切平面、切线、 主法线、副法线的方程。 解： ⃗ = { sin , cos , } ⃗ = {sin + cos , cos − sin , (1 + ) } ⃗" = {2cos − sin , −2 sin − cos , (2 + ) } 原点(0,0,0)对应于参数 = 0,于是在 = 0处，
}的切线和 轴成固定角。
令 为切线与 轴之间的夹角，因为切线的方向向量为 ⃗′ = {− sin , cos , }， 轴的方向向量为 ⃗ = {0,0,1}，则 cos = ⃗′ ∙ ⃗ = | ⃗′|| ⃗ | √ √ + 证毕
+
= arccos
4. 求悬链线 ⃗ = { , cosh } (−∞ < < +∞)从 = 0起计算的弧长。 解： ⃗′ = { , sinh } = | ⃗′| = + ( sinh ) = cosh = |sinh |
[ ( )] + [ ( )]
§3 空间曲线
1. 求圆柱螺线 ⃗ = { cos , sin , 解：密切平面的方程为
}在任意点的密切平面的方程。
− cos − sin − cos 即 sin ( − cos ) −
− sin cos − sin )+
− =0 0 ( − )=0
cos ( −
3
2
⃗′ = {1, |⃗ | =
,− +
2
}
2
平面 = 对应于参数 = ，平面 = 9 对应于参数 = 3 ， = |⃗ | = + =9
2
10. 将圆柱螺线 ⃗ = { cos , sin ,
}化为自然参数表示。
解： ⃗′ = {− sin , cos , }，因为自然参数 = ( )= 所以 ， = | ⃗′| = + = + 其中， > 0 或 < 0 均可。
§2 曲线的概念
1. 求圆柱螺线 ⃗ = {cos , sin , }在点(1,0,0)的切线与法平面的方程。 解： ⃗′ = {−sin , cos , 1}， 点(1,0,0)对应于参数 = 0， 于是当 = 0时， ⃗ = {1,0,0}， ⃗′ = {0,1,1}，于是切线的方程为： −1 = = 0 1 1 法平面的方程为 + =0
2. 求三次曲线 ⃗ = { , 解： ⃗′ = { , 2 , 3 于是切线的方程为：
,
}在点 处的切线和法平面的方程。 时， ⃗ = { , , }， ⃗′ = { , 2 ,3 }，
}，当 =
−
=
− 2
=
− 3
法平面的方程为 ( − )+2 ( − )+3 ( − )=0
3. 证明圆柱螺线 ⃗ = { cos , sin , 证： ⃗′ = {− sin , cos , }
√
+
，于是 } = { cos , , √ + }
⃗ = { cos , sin ,
√
+
√
+
11. 求极坐标方程 = ( )给定的曲线的弧长表达式。 解：极坐标方程 = ( )给定的曲线的方程可化为向量参数形式： ( ) sin } ⃗ = { ( ) cos ⃗ = { ( ) cos − ( ) sin = |⃗ | = ( ) sin + ( ) cos } 其中， >