正弦定理和余弦定理的应用举例(解析版)

正弦定理和余弦定理的应用举例

考点梳理

1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型

测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 2．实际问题中的常用角

(1)仰角和俯角

与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①).

(2)方向角：相对于某正方向的水平角,如南偏东３0°，北偏西45°,西偏北６0°等；

(3）方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．(4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.

【助学·微博】

解三角形应用题的一般步骤

(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知，理清量与量之间的关系．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力.

(２)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型．

(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．

（４)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．

解三角形应用题常有以下两种情形

（1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解．

(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时

需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解．

考点自测

1．(2０１2·江苏金陵中学)已知△ＡB Ｃ的一个内角为12０°,并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于__＿_____．

解析 记三角形三边长为ａ－4，a ，a ＋4,则(ａ+4)２＝（a －4)2+ａ2－2a (ａ-４）

co ｓ 120°,解得a ＝1０，故S ＝12×1０×6×s ｉn 1２０°＝15错误!.

答案 1５错误!

２．若海上有A ，B ,C 三个小岛,测得A ,B 两岛相距10海里,∠BAC =60°,∠ABC ＝75°,则B ，Ｃ间的距离是_＿____＿_海里．

解析 由正弦定理,知

B Ｃsi ｎ 60°

＝错误!.解得BC =5错误!(海里)． 答案 5错误!

3．(2013·日照调研)如图，一船自西向东匀速航行,上午１0时到达一座灯塔P 的南偏西７5°距塔６8海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处,则这只船的航行速度为_＿＿_____海里/时．

解析 由正弦定理,得MN =68si ｎ 120°si ｎ 45°

=34＼r(6)（海里)，船的航行速度为错误!＝错误!(海里／时).

答案 错误!

4.在△ABC 中,若2错误!ａｂs ｉn C =a ２＋b 2+c 2,则△ABC 的形状是_＿__＿＿＿_.

解析 由2３ab sin C =ａ２＋b 2＋c 2,a 2+ｂ2－c 2＝2ａb cos C 相加,得a ２＋b ２=2ab sin 错误!.又ａ2＋b ２≥2ab ，所以

ｓin 错误!≥1,从而s ｉn 错误!＝1,且a =ｂ，C =错误!时等号成立,所以△ＡBC 是等边三角形.

答案 等边三角形

５.（2０10·江苏卷)在锐角△A ＢＣ中，角Ａ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ｃ.

若错误!＋错误!＝6cos Ｃ,则错误!＋错误!的值是__＿_＿___．

解析利用正、余弦定理将角化为边来运算,因为错误!＋错误!=6cos C,由余弦定理得错误!=6·错误!,即a2+b2=错误!c2.而错误!+错误!=错误!错误!=错误!·错误!＝＼f(ｃ2,ab·＼ｆ(a2+b2-c2,２ab))＝＼ｆ(2c2,a2+b２-c2)=错误!=4.

答案4

考向一测量距离问题

【例1】如图所示,A、Ｂ、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和Ｄ点的仰角分别为７5°,30°，于水面Ｃ处测得Ｂ点和D点的仰角均为６０°，AＣ=０.1 kｍ.

(1)求证:ＡB=BD；

(2)求BD.

(１)证明在△ACＤ中,∠DAC＝30°,∠ＡＤＣ＝60°－∠DAC=３0°，所以CD ＝AC=0．1.又∠BCD＝180°－60°-6０°=60°,

故CB是△CAＤ底边AD的中垂线，所以BD＝BA．

（２)解在△ABＣ中，

AB

sin∠ＢCＡ

=＼f(AC,sin∠ABＣ）,

即AB=错误!=错误!（km)，

因此,BD=错误!(km)

故B、D的距离约为＼f（32＋＼r（6),20）km．

[方法总结］（1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．

(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角,求得该数学模型的解.

（3)应用题要注意作答．

【训练1】隔河看两目标Ａ与Ｂ,但不能到达，在岸边先选取相距3千米的C,Ｄ两点，同时测得∠ACB＝７5°,∠ＢCD＝45°,∠ＡDＣ=30°，∠ADＢ＝45°(Ａ,B,Ｃ,Ｄ在同一平面内），求两目标A,Ｂ之间的距离．

解如题图所示，在△ACD中,∵∠AＤC=30°，∠ＡCD=120°,∴∠CAD=30°,AC=CD=3（千米).

在△BDC中,∠CBD＝180°－45°－75°=60°．

由正弦定理,可得BC＝3siｎ75°

siｎ６0°

＝＼f(６+2,2)（千米)．

在△ＡBC中，由余弦定理，可得

AB2=AC2＋BC2－2ＡＣ·BＣcos∠BCA,

即AＢ２=(3)2＋错误!2－2错误!·错误!cos75°＝5，

∴ＡB=错误!(千米）．所以两目标A,B间的距离为错误!千米．

考向二测量高度问题

【例2】(20１０·江苏)某兴趣小组要测量电视塔AＥ的高度Ｈ(单位：m)如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h=4 m,仰角∠ABＥ=α,∠AＤE=β.

(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tａnα=1．２4,ｔaｎβ＝1.２０,请据此算出H的值;

（2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：ｍ)，使α与β之差较大,可以提高测量精度．若电视塔的实际高度为１25 m,试问ｄ为多少时,α-β最大?