高等代数第六章 6第六节 子空间的交与和 太原理工大学
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V1 + V2 + ⋯ + Vs = ∑ Vi
i =1 s
它是由所有表示成 它是由所有表示成
α 1 + α 2 + ⋯ + α s , α i ∈ Vi ( i = 1 , 2 , ⋯ , s )
的向量组成 的子空间. 的向量组成V的子空间 组成
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关于子空间的 有以下结论 结论： 关于子空间的交与和有以下结论： 子空间 1. 都是子空间 设V1, V2, W都是子空间，那么由 p V1与 都是子空间，那么由Wp Wp V2可推出 p V1∩V2 ；而由 V1p W与V2p W 可 p 可推出Wp 与 推出V 推出 1+V2p W 2. 对于子空间 1与V2 ，以下三个论断是等价的： 对于子空间 子空间V 以下三个论断是等价的： 1) V1 V2; 2) V1∩V2=V1; 3) V1+V2=V2 . (这些结论的证明较容易，留给大家作练习.) 这些结论的证明较容易，留给大家作练习 )
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证毕. 证毕
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由集合的交的定义有，子空间的交 由集合的交的定义有，子空间的交适合下列 运算规律： 运算规律： V1∩V2=V2∩V1 (交换律 ， 交换律)， 交换律 (V1∩V2)∩V3=V1∩(V2∩V3)(结合律 结合律). 结合律 由结合律，可以定义多个子空间的交 由结合律，可以定义多个子空间的交： 多个子空间的 s
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证毕. 证毕.
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维数公式可以看到 和的维数往往要比 可以看到， 往往要比维数 从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数 的和来得小 的和来得小. 来得小 例如，在三维几何空间中，两张通过原点 通过原点的 例如，在三维几何空间中，两张通过原点的不 之和是 维数之和却等 同的平面之和 整个三维空间，而其维数之和 同的平面之和是整个三维空间，而其维数之和却等 由此说明这两张平面 这两张平面的 一维的直线. 于4. 由此说明这两张平面的交是一维的直线
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在线性空间P 分别表示齐次线 例2 在线性空间 n中，用V1与V2分别表示齐次线 性方程组
a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = 0 , a x + a x + ⋯ + a x = 0 , 21 1 22 2 2n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a s1 x1 + a s 2 x 2 + ⋯ + a sn x n = 0
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下面来看几个例子. 下面来看几个例子 在三维几何空间R 例1 在三维几何空间 3中，用 V1表示一条通过原点的直线， 表示一条通过原点的直线， 一条通过原点 V2表示一张通过原点而且与 1垂直的平面 表示一张通过原点而且与 一张通过原点而且与V 那么， V1与V2的交是{0}，即V1∩V2={0}， 那么， } { } 整个空间， 而V1与V2的和是整个空间，即V1+V2=R3.
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证毕. 证毕
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由定义有，子空间的和适合下列运算规律 由定义有，子空间的和适合下列运算规律 V1+V2=V2+V1 (交换律 ， 交换律)， 交换律 (V1+V2)+V3=V1+(V2+V3)(结合律 结合律). 结合律 由结合律，我们可以定义多个子空间的和 由结合律，我们可以定义多个子空间的和 多个子空间的
我们来证明， 我们来证明，向量组 α1,α2,⋯,αm, β1,β2,⋯,βn1-m, γ1,γ2,⋯,γn2-m . ⋯ ⋯ ⋯ -
(1)
一组基，这样， 维数就等于 是V1+V2的一组基，这样，V1+V2 的维数就等于 n1+n2-m，因而维数公式成立 维数公式成立 ，因而维数公式成立. 因为 V1=L(α1,α2,⋯,αm, β1,β2,⋯,βn1-m) . ⋯ ⋯ V2=L(α1,α2,⋯,αm, γ1,γ2,⋯,γn2-m) . ⋯ ⋯ 所以 V1+V2=L(α1,α2,⋯,αm, β1,β2,⋯,βn1-m , γ1,γ2,⋯,γn2-m). ⋯ ⋯ ⋯ 向量组(1)是线性无关的 现在来证明向量组 是线性无关的. 现在来证明向量组 是线性无关的 假设有等式
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首先， 可知0∈ 证明 首先，由0∈V1, 0∈V2，可知 ∈V1∩V2，因 ∈ ∈ 非空的. 而V1∩V2是非空的 其次， 即有α, ∈ 其次，如果 α, β∈V1∩V2，即有 β∈V1，又有 ∈ α, β∈V2，那么就有 α+β∈V1，α+β∈V2，因此 ∈ ∈ ∈ α+β∈V1∩V2，即加法是封闭的. ∈ 加法是封闭的 如果α∈ 即有α∈ 又有α∈ 如果 ∈V1∩V2，即有 ∈V1，又有 ∈V2，那 么对任意的数k∈ ， 么对任意的数 ∈P，就有 kα∈V1，kα∈V2，因此 ∈ ∈ kα∈V1∩V2 ，即数量乘积也是封闭的 数量乘积也是封闭的. ∈ 所以V 所以 1∩V2是V的子空间 的子空间.
与
b11 x1 + b12 x 2 + ⋯ + b1n x n = 0 , b x + b x + ⋯ + b x = 0 , 21 1 22 2 2n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ bt 1 x1 + bt 2 x 2 + ⋯ + btn x n = 0
解空间，那么V 就是齐次线性方程组 的解空间，那么 1∩V2就是齐次线性方程组
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定理6 如果 1, V2是线性空间 的子空间，那么它 如果V 线性空间V的子空间， 定理 们的和 也是V的子空间. 们的和V1+V2也是 的子空间 首先， 显然是非空的. 证明 首先，V1+V2显然是非空的 其次，如果有α, ∈ 其次，如果有 β∈V1+V2，即可写成 α=α1+α2， α1∈V1，α2∈V2 ， β=β1+β2， β1∈V1，β2∈V2 . α+β=(α1+β1)+(α2+β2). 那么 又因V 子空间， 又因 1, V2是子空间，故有 α1+β1∈V1，α2+β2∈V2 . α+β∈V1+V2. 因此 ∈ kα=kα1+kα2∈V1+V2 . 同样 所以， 所以，V1+V2是V的子空间 . 的子空间
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一般地， 一般地，我们有 如果n维线性空间V中两个子空间V 推论 如果 维线性空间 中两个子空间 1, V2 的维 数之和大于 大于n 那么V 含有非零的公共向量. 数之和大于 ，那么 1, V2必含有非零的公共向量 证明 由假设 维(V1+V2)+维(V1∩V2)=维(V1)+维(V2)>n . 维 维 维 但因V1+V2是V的子空间而有 但因 的子空间而有 维(V1+V2)≤n . 所以 维(V1∩V2) >0 . 这就是说， 含有非零向量 非零向量. 这就是说，V1∩V2中含有非零向量
解空间. 的解空间 结论) 在一个线性空间 线性空间V中 例3 (结论) 在一个线性空间 中，我们有 L(α1,α2,⋯,αs)+L(β1,β2,⋯,βt) ⋯ ⋯ =L(α1,α2,⋯,αs, β1,β2,⋯,βt) . ⋯ ⋯
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关于两个子空间的 的维数，有以下定理 定理. 关于两个子空间的交与和的维数，有以下定理 子空间 定理7（维数公式） 如果V 定理 （维数公式） 如果 1, V2是线性空间 V的两 的两 个子空间， 个子空间，那么 维(V1)+维(V2)=维(V1+V2)+维(V1∩V2). 维 维 维 的维数分别是n 证明 设V1,V2的维数分别是 1,n2 ， V1∩V2的维数 是m. 取V1∩V2的一组基 α1,α2,⋯,αm . ⋯ 由定理4， 可以扩充成V 由定理 ，它可以扩充成 1的一组基 α1,α2,⋯,αm, β1,β2,⋯,βn1-m . ⋯ ⋯ 也可以扩充成V2的一组基 可以扩充成 α1,α2,⋯,αm, γ1,γ2,⋯,γn2-m . ⋯ ⋯ 返回 上页 下页
由于α 由于 1,α2,⋯,αm, γ1,γ2,⋯,γn2-m 线性无关， ⋯ ⋯ - 线性无关， 得l1=⋯=lm=q1=⋯=qn2-m=0 ， ⋯ ⋯ 因而α=0. 从而有 因而 k1α1+⋯+kmαm+p1β1+⋯+pn1-mβn1-m=0 . ⋯ ⋯ 由于α 由于 1,α2,⋯,αm, β1,β2,⋯,βn1-m 线性无关， ⋯ ⋯ - 线性无关， 又得k ⋯ 又得 1=⋯=km=p1=⋯=pn2-m=0 ， ⋯ 这就证明了α ⋯ 这就证明了 1,⋯,αm, β1,⋯,βn1-m, γ1,⋯,γn2-m 线性无 ⋯ ⋯ 因而它是V 一组基， 维数公式成立 成立. 关，因而它是 1+V2的一组基，故维数公式成立 证毕. 证毕
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a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = 0 , ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a s1 x1 + a s 2 x 2 + ⋯ + a sn x n = 0 , b11 x1 + b12 x 2 + ⋯ + b1n x n = 0 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ bt 1 x1 + bt 2 x 2 + ⋯ + btn x n = 0
V1 ∩ V2 ∩ ⋯ ∩ Vs = ∩Vi
i =1
它也是V的子空间. 它也是 的子空间
定义8 设V1, V2是线性空间 的子空间，所谓 1与 线性空间V的子空间，所谓V 定义 V2的和，是指由所有能表示成α1+α2，而且 1∈V1， 是指由所有能表示 由所有能表示成 而且α α2∈V2的向量组成的子集合，记作 1+V2 . 向量组成的子集合，记作V 组成的子集合
第六节 子空间的交与和
在这一节，我们来介绍子空间的两种运算： 在这一节，我们来介绍子空间的两种运算： 子空间的两种运算 交与和. 交与和 定理5 如果 1, V2是线性空间 的两个子空间，那 如果V 线性空间V的两个子空间， 定理 么它们的交 也是V的子空间. 么它们的交V1∩V2也是 的子空间
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k1α1+⋯+kmαm+p1β1+⋯+pn1-mβn1-m ⋯ ⋯ +q1γ1+⋯+qn2-mγn2-m=0 . ⋯ 令 α=k1α1+⋯+kmαm+p1β1+⋯+pn1-mβn1-m ⋯ ⋯ =-q1γ1-⋯-qn2-mγn2-m . 由第一个等式，有α∈V1 ；而由第二个等式看出， 由第二个等式看出 看出， 由第一个等式， ∈ α∈V2 . 于是，α∈V1∩V2，即α可以被 1,α2,⋯,αm线 ∈ 于是， ∈ 可以被α 可以被 ⋯ 性表出. 性表出 令α=l1α1+l2α2+⋯+lmαm，则 ⋯ l1α1+⋯+lmαm+q1γ1+⋯+qn2-mγn2-m=0 . ⋯ ⋯ 返回 上页 下页
i =1 s
它是由所有表示成 它是由所有表示成
α 1 + α 2 + ⋯ + α s , α i ∈ Vi ( i = 1 , 2 , ⋯ , s )
的向量组成 的子空间. 的向量组成V的子空间 组成
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关于子空间的 有以下结论 结论： 关于子空间的交与和有以下结论： 子空间 1. 都是子空间 设V1, V2, W都是子空间，那么由 p V1与 都是子空间，那么由Wp Wp V2可推出 p V1∩V2 ；而由 V1p W与V2p W 可 p 可推出Wp 与 推出V 推出 1+V2p W 2. 对于子空间 1与V2 ，以下三个论断是等价的： 对于子空间 子空间V 以下三个论断是等价的： 1) V1 V2; 2) V1∩V2=V1; 3) V1+V2=V2 . (这些结论的证明较容易，留给大家作练习.) 这些结论的证明较容易，留给大家作练习 )
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由集合的交的定义有，子空间的交 由集合的交的定义有，子空间的交适合下列 运算规律： 运算规律： V1∩V2=V2∩V1 (交换律 ， 交换律)， 交换律 (V1∩V2)∩V3=V1∩(V2∩V3)(结合律 结合律). 结合律 由结合律，可以定义多个子空间的交 由结合律，可以定义多个子空间的交： 多个子空间的 s
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维数公式可以看到 和的维数往往要比 可以看到， 往往要比维数 从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数 的和来得小 的和来得小. 来得小 例如，在三维几何空间中，两张通过原点 通过原点的 例如，在三维几何空间中，两张通过原点的不 之和是 维数之和却等 同的平面之和 整个三维空间，而其维数之和 同的平面之和是整个三维空间，而其维数之和却等 由此说明这两张平面 这两张平面的 一维的直线. 于4. 由此说明这两张平面的交是一维的直线
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在线性空间P 分别表示齐次线 例2 在线性空间 n中，用V1与V2分别表示齐次线 性方程组
a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = 0 , a x + a x + ⋯ + a x = 0 , 21 1 22 2 2n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a s1 x1 + a s 2 x 2 + ⋯ + a sn x n = 0
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下面来看几个例子. 下面来看几个例子 在三维几何空间R 例1 在三维几何空间 3中，用 V1表示一条通过原点的直线， 表示一条通过原点的直线， 一条通过原点 V2表示一张通过原点而且与 1垂直的平面 表示一张通过原点而且与 一张通过原点而且与V 那么， V1与V2的交是{0}，即V1∩V2={0}， 那么， } { } 整个空间， 而V1与V2的和是整个空间，即V1+V2=R3.
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由定义有，子空间的和适合下列运算规律 由定义有，子空间的和适合下列运算规律 V1+V2=V2+V1 (交换律 ， 交换律)， 交换律 (V1+V2)+V3=V1+(V2+V3)(结合律 结合律). 结合律 由结合律，我们可以定义多个子空间的和 由结合律，我们可以定义多个子空间的和 多个子空间的
我们来证明， 我们来证明，向量组 α1,α2,⋯,αm, β1,β2,⋯,βn1-m, γ1,γ2,⋯,γn2-m . ⋯ ⋯ ⋯ -
(1)
一组基，这样， 维数就等于 是V1+V2的一组基，这样，V1+V2 的维数就等于 n1+n2-m，因而维数公式成立 维数公式成立 ，因而维数公式成立. 因为 V1=L(α1,α2,⋯,αm, β1,β2,⋯,βn1-m) . ⋯ ⋯ V2=L(α1,α2,⋯,αm, γ1,γ2,⋯,γn2-m) . ⋯ ⋯ 所以 V1+V2=L(α1,α2,⋯,αm, β1,β2,⋯,βn1-m , γ1,γ2,⋯,γn2-m). ⋯ ⋯ ⋯ 向量组(1)是线性无关的 现在来证明向量组 是线性无关的. 现在来证明向量组 是线性无关的 假设有等式
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首先， 可知0∈ 证明 首先，由0∈V1, 0∈V2，可知 ∈V1∩V2，因 ∈ ∈ 非空的. 而V1∩V2是非空的 其次， 即有α, ∈ 其次，如果 α, β∈V1∩V2，即有 β∈V1，又有 ∈ α, β∈V2，那么就有 α+β∈V1，α+β∈V2，因此 ∈ ∈ ∈ α+β∈V1∩V2，即加法是封闭的. ∈ 加法是封闭的 如果α∈ 即有α∈ 又有α∈ 如果 ∈V1∩V2，即有 ∈V1，又有 ∈V2，那 么对任意的数k∈ ， 么对任意的数 ∈P，就有 kα∈V1，kα∈V2，因此 ∈ ∈ kα∈V1∩V2 ，即数量乘积也是封闭的 数量乘积也是封闭的. ∈ 所以V 所以 1∩V2是V的子空间 的子空间.
与
b11 x1 + b12 x 2 + ⋯ + b1n x n = 0 , b x + b x + ⋯ + b x = 0 , 21 1 22 2 2n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ bt 1 x1 + bt 2 x 2 + ⋯ + btn x n = 0
解空间，那么V 就是齐次线性方程组 的解空间，那么 1∩V2就是齐次线性方程组
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定理6 如果 1, V2是线性空间 的子空间，那么它 如果V 线性空间V的子空间， 定理 们的和 也是V的子空间. 们的和V1+V2也是 的子空间 首先， 显然是非空的. 证明 首先，V1+V2显然是非空的 其次，如果有α, ∈ 其次，如果有 β∈V1+V2，即可写成 α=α1+α2， α1∈V1，α2∈V2 ， β=β1+β2， β1∈V1，β2∈V2 . α+β=(α1+β1)+(α2+β2). 那么 又因V 子空间， 又因 1, V2是子空间，故有 α1+β1∈V1，α2+β2∈V2 . α+β∈V1+V2. 因此 ∈ kα=kα1+kα2∈V1+V2 . 同样 所以， 所以，V1+V2是V的子空间 . 的子空间
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一般地， 一般地，我们有 如果n维线性空间V中两个子空间V 推论 如果 维线性空间 中两个子空间 1, V2 的维 数之和大于 大于n 那么V 含有非零的公共向量. 数之和大于 ，那么 1, V2必含有非零的公共向量 证明 由假设 维(V1+V2)+维(V1∩V2)=维(V1)+维(V2)>n . 维 维 维 但因V1+V2是V的子空间而有 但因 的子空间而有 维(V1+V2)≤n . 所以 维(V1∩V2) >0 . 这就是说， 含有非零向量 非零向量. 这就是说，V1∩V2中含有非零向量
解空间. 的解空间 结论) 在一个线性空间 线性空间V中 例3 (结论) 在一个线性空间 中，我们有 L(α1,α2,⋯,αs)+L(β1,β2,⋯,βt) ⋯ ⋯ =L(α1,α2,⋯,αs, β1,β2,⋯,βt) . ⋯ ⋯
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关于两个子空间的 的维数，有以下定理 定理. 关于两个子空间的交与和的维数，有以下定理 子空间 定理7（维数公式） 如果V 定理 （维数公式） 如果 1, V2是线性空间 V的两 的两 个子空间， 个子空间，那么 维(V1)+维(V2)=维(V1+V2)+维(V1∩V2). 维 维 维 的维数分别是n 证明 设V1,V2的维数分别是 1,n2 ， V1∩V2的维数 是m. 取V1∩V2的一组基 α1,α2,⋯,αm . ⋯ 由定理4， 可以扩充成V 由定理 ，它可以扩充成 1的一组基 α1,α2,⋯,αm, β1,β2,⋯,βn1-m . ⋯ ⋯ 也可以扩充成V2的一组基 可以扩充成 α1,α2,⋯,αm, γ1,γ2,⋯,γn2-m . ⋯ ⋯ 返回 上页 下页
由于α 由于 1,α2,⋯,αm, γ1,γ2,⋯,γn2-m 线性无关， ⋯ ⋯ - 线性无关， 得l1=⋯=lm=q1=⋯=qn2-m=0 ， ⋯ ⋯ 因而α=0. 从而有 因而 k1α1+⋯+kmαm+p1β1+⋯+pn1-mβn1-m=0 . ⋯ ⋯ 由于α 由于 1,α2,⋯,αm, β1,β2,⋯,βn1-m 线性无关， ⋯ ⋯ - 线性无关， 又得k ⋯ 又得 1=⋯=km=p1=⋯=pn2-m=0 ， ⋯ 这就证明了α ⋯ 这就证明了 1,⋯,αm, β1,⋯,βn1-m, γ1,⋯,γn2-m 线性无 ⋯ ⋯ 因而它是V 一组基， 维数公式成立 成立. 关，因而它是 1+V2的一组基，故维数公式成立 证毕. 证毕
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a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = 0 , ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a s1 x1 + a s 2 x 2 + ⋯ + a sn x n = 0 , b11 x1 + b12 x 2 + ⋯ + b1n x n = 0 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ bt 1 x1 + bt 2 x 2 + ⋯ + btn x n = 0
V1 ∩ V2 ∩ ⋯ ∩ Vs = ∩Vi
i =1
它也是V的子空间. 它也是 的子空间
定义8 设V1, V2是线性空间 的子空间，所谓 1与 线性空间V的子空间，所谓V 定义 V2的和，是指由所有能表示成α1+α2，而且 1∈V1， 是指由所有能表示 由所有能表示成 而且α α2∈V2的向量组成的子集合，记作 1+V2 . 向量组成的子集合，记作V 组成的子集合
第六节 子空间的交与和
在这一节，我们来介绍子空间的两种运算： 在这一节，我们来介绍子空间的两种运算： 子空间的两种运算 交与和. 交与和 定理5 如果 1, V2是线性空间 的两个子空间，那 如果V 线性空间V的两个子空间， 定理 么它们的交 也是V的子空间. 么它们的交V1∩V2也是 的子空间
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k1α1+⋯+kmαm+p1β1+⋯+pn1-mβn1-m ⋯ ⋯ +q1γ1+⋯+qn2-mγn2-m=0 . ⋯ 令 α=k1α1+⋯+kmαm+p1β1+⋯+pn1-mβn1-m ⋯ ⋯ =-q1γ1-⋯-qn2-mγn2-m . 由第一个等式，有α∈V1 ；而由第二个等式看出， 由第二个等式看出 看出， 由第一个等式， ∈ α∈V2 . 于是，α∈V1∩V2，即α可以被 1,α2,⋯,αm线 ∈ 于是， ∈ 可以被α 可以被 ⋯ 性表出. 性表出 令α=l1α1+l2α2+⋯+lmαm，则 ⋯ l1α1+⋯+lmαm+q1γ1+⋯+qn2-mγn2-m=0 . ⋯ ⋯ 返回 上页 下页