正弦函数图象的对称轴与对称中心

正弦函数图象的对称轴与对称中心

Revised on November 25, 2020

函数

)sin(ϕω+=x A y 图象的对称轴与对称中心

新疆民丰县一中 亚库普江·奥斯曼

摘要：

新课标高中数学教材上函数的性质就着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏的会出现函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴、反此例函数的对称性、三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。以我的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是轴象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数)sin(ϕω+=x A y 的对称性知识提出自己的观点。 关键词：对称轴，对称中心，正弦型函数

函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 中心对称：如果一个函数的图像沿一个点折旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

正弦函数x y sin =的图像既是轴对称又是中心对称，它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形； x y sin =的图象的对称轴是经过其

图象的“峰顶点”或“谷底点”，且平行于y 轴的无数条直线；它的图象关于x 轴

的交点分别成中心对称图形。

∴正弦函数x y sin =的对称轴方程为2

π

π+

=k y ，对称中心点为

（0,πk ）,其中 Z k ∈。 正弦型函数

)sin(ϕω+=x A y 是由正弦函数x y sin =演变而成。

一般只要知道正弦函数x y sin =图象的对称轴与对称中心就可以快速准

确的求出正弦型函数)sin(ϕω+=x A y 的对称轴与对称中心。

若

a x =是)sin()(ϕω+==x A x f y 的对称轴，则

A a f ±=)(；若)0,(a 是它的对称中心，则0)(=a f 。

函数

)sin(ϕω+=x A y 对称轴方程的求法：令

1)sin(±=+ϕωx ，得）（Z k 2

k ∈+=+π

πϕωx ，则

ωϕππ222-+=k x （Z k ∈），所以函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的

对称轴方程为ω

ϕ

ππ222-+=k x ，其中 Z k ∈。

例1：函数)2

52sin(π

+=x y 图象的一条对称轴方程是：（ ） （A ）2

-

π=x （B ）4

-

π=x （C ）8

π=

x （D ）4

5π=

x 解：由性质知，令1)252sin(±=+

πx 得2

252πππ+=+k x )(Z k ∈，即

ππ-2k x =

)(Z k ∈，取1=k 时，2-π

=x ，故选（A ）。 例2：函数5

2sin 52cos

x

x y +=的图象相邻两条对称轴之间的距离是（ ）。 解：)4

52sin(252sin 52cos

π+=+=x x x y ，设1x ， 2x 分别是其相邻两条对称轴与图象交点的横坐标，则有

由○

2-○1得π=-)(5

2

12x x 可知，相邻两条对称轴之间的距离是

2

5π。

函数

)sin(ϕω+=x A y 的对称中心求法：令0)sin(=+ϕωx ，得

）（Z k ∈=+πϕωk x ，则)(2Z k k x ∈-=

ω

ϕ

π，所以函数

)sin(ϕω+=x A y 的图象关于点

)(0k Z k ∈-），（ω

ϕπ成中心对称。 例3：设函数)3

2sin(2π

+

=x y 的图象关于点)0,(1x P 成中心对称，若

]0,2

[1π

-

∈x ，则=1x ________.

解：由性质知， 令0)3

2sin(2=+

π

x 得ππ

k x =+

3

2)(Z k ∈，即

6

2π

π-=k x )(Z k ∈，所以函数

)32sin(2π+=x y 图象的对称中心是)0,6

2(π

π-k )(Z k ∈。 在6

2π

π-=k x 中，取0=k ，得]0,2

[6

-

1

π

π

-

∈=x 。

由于对称轴都是通过函数图像的最高点或者最低点的直线，因此只要把对称轴的方程代入到函数解析式，函数就会取得最大值或最小值。易错点就在于很多同学误认为由于正弦函数

x y sin =的周期是π

k 2，就会错误的令成

2

k 2π

πϕω+

=+x 。

通过类比可以得到余弦型函数

)cos(ϕω+=x A y 的对称轴方程是

ω

ϕ

π-=

k x ，对称中心点是)0,222(ω

ϕ

ππ-+k ，其中Z ∈k 。