w材料力学_弯矩剪力图
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剪力图和弯矩图(最全面)-剪刀图弯矩图特征 PPT
P q
Pa 2
qa2 2
A
BM
x x
+ P
=
=+
A
B M1
Pa 2
+
+
q
qa 2
A
B M2
2 +
x
三、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称
结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。
[例8] 作下列图示梁的内力图。
P
PL
Q
x
0L 0.5P L 0.5P L
q AB
RA qa Q qa/2
+ – qa/2
qa2 CD
RD
– qa/2
M
qa2/2
+
–
3qa2/8 qa2/2
qa2/2
解：求支反力 RAq2a; RDq2a
左端点A：
Q qa; M 0 2
x
B点左： Qqa;M1qa2
2
2
B点右： Q qa;M1qa2
2
2
C点左： Qqa;M1qa2
M
– N图
P1a
M图 P1a+ P2 l
二、曲杆：轴线为曲线的杆件。 内力情况及绘制方法与平面刚架相同。
[例11] 已知：如图所示，P及R 。试绘制Q、M、N 图。
解：建立极坐标，O为极点，OB
R
P
极轴，q表示截面m–m的位置。
A
q
B
O
x
q q qq M ( ) P P ( R x R c ) o P ( 1 c s R ) ( o 0 s )
q q q Q () P 1 P si( n 0)
多种方法快速绘制剪力图和弯矩图
多种方法快速绘制剪力图和弯矩图摘要：绘制梁的内力图是材料力学课程的重点问题，也是难点问题，对于初学的学生不易理解。
本文分析了绘制剪力图和弯矩图的多种方法，比较不同方法之间的区别，旨在帮助学生掌握快速绘制剪力图和弯矩图技巧。
关键词：剪力图弯矩图面积法叠加法 1 引言直梁的弯曲变形是杆件受力变形的基本形式之一，在对梁进行强度校核时，根据剪力图和弯矩图中曲线的变化规律，确定等截面弯曲梁的危险截面，因此快速准确绘制剪力图和弯矩图对工程计算非常重要。
绘制剪力图和弯矩图内容复杂，学生较难理解，容易出错。
不同的教材对于剪力图和弯矩图的绘制方法阐述大同小异，主要分为截面法、利用微分关系绘图、叠加法等，在原有绘图方法的基础上，提出自己新的理解，可以有助于学生快速、准确绘制剪力图和弯矩图。
2 直接绘制剪力图和弯矩图例：一外伸梁受力图如图1(a)所示，集中荷载qa/4作用在梁两端，BC梁段受到方向向下大小为q的均匀荷载，CD梁段受到方向向上大小为q的均匀载荷，绘出梁的剪力图和弯矩图。
解：(1)选取整个梁为研究对象，通过平衡方程获得支座反力，FBy=3qa/4，FDy=-qa/4。
(2) 绘制剪力图。
过A点建立水平方向的x轴，竖向的FS轴，方向向上为正。
从原点（0,0）即A+截面（过A点左横截面）开始，初始截面处于自由端，剪力为零。
遇到作用在A点向下的集中载荷，则剪力顺着箭头方向下降qa/4，下降值和集中载荷的大小相同，则对应于A-截面（过A点右横截面）的剪力图坐标为（0，-qa/4)。
AB段无荷载，所以剪力图保持直线，即B+截面处的剪力图坐标为（a，-qa/4)。
在B点处受到约束力FBy的作用，方向向上，B-截面处的剪力图坐标为（a，qa/2)，剪力变化值等于约束力FBy。
BC段梁受到向下均匀载荷的作用，剪力均匀下降，由点B-(a，qa/2)均匀下降到C(2a，-qa/2)，斜率为-q。
CD段的剪力受到向上均匀载荷的作用，剪力均匀上升，由点C(2a，-qa/2)均匀上升到D(3a，qa/2)，斜率为q。
材料力学-第五章
合理布置载荷
F
小结
1、熟练求解各种形式静定梁的支 座反力 2、明确剪力和弯矩的概念，理解 剪力和弯矩的正负号规定 3、熟练计算任意截面上的剪力和 弯矩的数值
4、熟练建立剪力方程、弯矩方程， 正确绘制剪力图和弯矩图
5.7 总结 回顾
毛和业，怎样快速绘制剪力图和弯
矩图，黔南民族师范学院学报， 2005，3：81-83
（ -）
1kN.m
A
FAY
1.5m
C
1.5m
D
2kN
1.5m
B
FBY
4 ．从 A 截面左测开始画 弯矩图。 从A左到A右 从A右到C左 从C左到C右 从C右到D左 从D左到D右
1.11
（+）
Fs（ kN） 0.89 M（ kN.m）
（ -）
0.330
（-）
1.330
（ -）
1.665
从D右到B左
从B左到B右
2
FS
FS x
x
0 x l 0 x l
M
ql2 / 8
依方程画出剪力图和弯矩图 ql / 2 由剪力图、弯矩图可见。最 大剪力和弯矩分别为
x
FS max＝ql
M max＝ql2 / 2
5.4
y
剪力图和弯矩图（将剪力方程和弯矩方程具体化）
q
例题 简支梁受均布载荷作用
FS ql / 2
( 2)在有均布载荷作用的 段上, 剪力图为倾斜直线, 直线由左上向右下倾斜; 弯矩图为抛物线, 抛物线 开口与均布载荷的方向一 致。
M 3ql2 / 32 x
ql2 / 8
材料力学 弯曲内力图(2)
集中力偶
m C
Q
图 特 征
水平直线
Q Q Q
斜直线
Q x x
自左向右突变
Q Q 1 C x
无变化
Q C x
x
Q>0 Q<0
x
斜直线 M M2 图 x 与 x x x x x 特 m 征 M 反 M M1 M M M M 增函数 降函数 坟状 盆状 折向与P反向 向 M1 - M 2 = m
160
kNm
130
210
340
280
4.9 å m = 0
Ai
例题 &
解:(1)求支反力:
m=160kN
P=20kN q=20kN/m
A
ÞLeabharlann D B E
1 R = ( 20 ´ 12 + 20 ´ 10 ´ 7 - 160 ) = 148 kN ( -) B 10 å m Bi = 0 Þ 1 Y = ( 160 + 20 ´ 10 ´ 3 - 20 ´ 2 ) = 72 kN ( -) A 10 校核 : å Y OK ! ) i = Y A + R B - 20 ´ 10 - 20 = 0 (
（+） O
9a / 4
4a 4a
a F By 3
qa
＝ qa 4 当FS = 0时; x = 9a / 4; M max = 81qa 2 / 32
x 3．建立坐标系建立
（）
7qa / 4
O
81 qa 2 / 32
qa
FS－x和M－x坐标系
4．确定控制面上的剪 x 力值，并将其标在 FS－x中。 5．确定控制面上的 弯矩值，并将其标在 M－x中。
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
截面位置对剪力和弯矩的影响
总结词
截面位置对剪力和弯矩具有显著影响。不同的截面位置会导致剪力和弯矩的大小和方向发生变化。
详细描述
在结构分析中，截面位置是影响剪力和弯矩的重要因素之一。不同的截面位置会导致剪力和弯矩的大小和方向发 生变化，从而影响结构的整体受力性能。例如，在梁中选取不同的截面位置进行支撑或固定，会对梁的剪力和弯 矩产生显著影响。
05 剪力、弯矩与材料力学性 能的关系
材料弹性对剪力和弯矩的影响
弹性材料在剪力和弯矩作用下会发生弹性变形，变形量与外力成正比，当外力去 除后，材料能够恢复原状。
弹性材料的剪切模量和弯曲刚度决定了剪力和弯矩的大小，剪切模量越大，材料 抵抗剪切变形的能力越强；弯曲刚度越大，材料抵抗弯曲变形的能力越强。
根据绕顺时针方向观察确定，使上侧 纤维受拉时为正。
02 剪力方程与弯矩方程
剪力图与弯矩图的绘制
1
剪力图和弯矩图是表示梁上剪力和弯矩随截面位 置变化的图形。
2
这些图的绘制基于剪力方程和弯矩方程的计算结 果，通过将计算得到的剪力和弯矩值标在图中相 应的位置上，并连接成线。
3
剪力图和弯矩图的绘制有助于直观地了解梁在不 同截面位置的受力状态和应力分布情况。
弯矩
在梁或结构中，由于弯曲而产生 的力矩，表示弯曲变形的大小。
剪力与弯矩在力学中的作用
剪力
主要影响结构的剪切变形，对梁的剪切承载能力有重要影响 。
弯矩
主要影响结构的弯曲变形，对梁的弯曲承载能力有重要影响 。
剪力与弯矩的符号规定
剪力正方向
根据右手定则确定，从杆件的受压一 侧指向受拉一侧。
弯矩正方向
02
材料强度越高，抵抗剪力和弯矩等外力的能力越强， 所能承受的剪力和弯矩越大。
材料力学第5章-剪力图与弯矩图
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实际上与前面所 介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过程是相似的 ，所不同的，现在的指定横截面是坐标为x的横截面。
需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，x是变量， 而FQ(x)和M(x)则是x的函数。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
例题2
MO=2FPl
FP
B
A
C
l
l
悬臂梁在B、C两处分别承受集中力FP和集中力偶M＝2FPl
的作用。梁的全长为2l。 试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
y
MO=2FPl
O
A
C
l
FP
B l
解：1．确定控制面和分段
本例将通过考察截开截面的右
边部分平衡建立剪力方程和弯矩方 程，因此可以不必确定左端的约束 力。
本章首先介绍如何建立剪力方程和弯矩方程；讨论载荷、 剪力、弯矩之间的微分关系；怎样根据载荷、剪力、弯矩之间 的微分关系绘制剪力图与弯矩图；然后应用平衡、变形协调以 及物性关系，建立确定弯曲的应力和变形公式；最后介绍弯曲 强度设计方法。
第5章 梁的强度问题
工程中的弯曲构件 梁的内力及其与外力的相互关系 剪力方程与弯矩方程 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 剪力图与弯矩图 刚架的内力与内力图 结论与讨论(1)
根据以上分析，不难得到结论： 杆件各截面上内力变化规律随着外力的 变化而改变。
第5章 梁的强度问题
梁的内力及其与外力的相互关系
所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变 化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外力 作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段梁 所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方程 或者同一图线描述。
弯矩剪力
弯矩，材料力学概念弯矩------“可变形固体”材料构成的工程结构，在承受弯曲载荷时产生的一种内力。
弯矩是杆件的端部力乘以作用长度,比如说一个悬壁梁,当梁端力为2N,梁长为3M,刚固端弯矩为-6KN.M,而梁的跨中弯矩为-3KN.M,按这个主法可以简单算,不过更深的算法要见《材料力学》了，正负是上部受拉为负，下部受拉为正。
提问者评价几个都说得比较好，还是采纳你得吧，谢谢哈。
是结构最重要的内力之一，就是力和力臂之积弯矩的本质是一种力，是指作用在构件的截面上的内力。
作用的倾向是是受力构件弯曲——以此区别于轴力和剪力。
简单的说是抵抗弯曲的一种内力，在力学上称之为弯矩。
也就是力和力距之积，比如两人用一根杠子抬重物，受力的作用杠子中间就会产生向下弯曲，在不加重重量的情况下弯曲会静止，两人产生反力，杠子产生抵抗内力这种现象就是正弯矩。
单一人挑担，受力的作用扁担两端向下，中间弯曲向上，人产生反力，扁担产生抵抗内力这种现象就是负弯矩。
静定梁有三种形式：简支梁、悬臂梁、外伸梁。
这三种梁的支座反力和弯矩、剪力只要建立平衡方程，就可以求解。
图 1.5.1左右两列分别是简支梁在均布荷载和集中荷载作用下的计算简图、弯矩图和剪力图。
图1.5.2左右两列分别是简支梁在2个对称集中荷载作用和一个非居中集中荷载作用下的计算简图、弯矩图和剪力图。
图1.5.3左右两列分别是悬臂梁在均布荷载作用和一个端点集中荷载作用下的计算简图、弯矩图和剪力图。
图1.5.4左右两列分别是外伸梁在集中荷载均布荷载作用和均布荷载作用下的计算简图、弯矩图和剪力图。
从图1.5.1～图1.5.4，我们看到，正确的弯矩图和正确的剪力图之间有如下对应关系：每个区段从左到右，弯矩下坡，剪力为正；弯矩上坡，剪力为负；弯矩为水平线时，对应区段的剪力为零；在均布荷载作用下，剪力为零所对应的截面，弯矩最大；在集中荷载作用下，弯矩最大值一般在集中荷载作用点，该点的剪力有突变，突变的绝对值之和等于集中荷载的大小。
材料力学第五章
l
F l a x
l
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应，故称为弯矩。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横
截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如下图。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力——使截开部分梁产生顺时针方向
转动为正；产生逆时针方向转动为负。
(2) 横截面上的弯矩——作用在左侧面上使截开部分 逆时针方向转动，或者作用在右侧截面上使截开部分顺时 针方向转动者为正；反之为负。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定， 称为超静定梁。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
§5.2 梁的内力及其与外力的相互关系
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(梁的横截面上的两种内力)
图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为：
FA
Fl
l
a,
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－
m上的内力，由m－m左边分离
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
材料力学
梁的分类
F
q
第五章 梁的剪力图与弯矩图
F l a x
l
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应，故称为弯矩。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横
截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如下图。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力——使截开部分梁产生顺时针方向
转动为正；产生逆时针方向转动为负。
(2) 横截面上的弯矩——作用在左侧面上使截开部分 逆时针方向转动，或者作用在右侧截面上使截开部分顺时 针方向转动者为正；反之为负。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定， 称为超静定梁。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
§5.2 梁的内力及其与外力的相互关系
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(梁的横截面上的两种内力)
图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为：
FA
Fl
l
a,
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－
m上的内力，由m－m左边分离
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
材料力学
梁的分类
F
q
第五章 梁的剪力图与弯矩图
范钦珊版材料力学习题全解 第5章 梁的弯曲问题(1)-剪力图与弯矩图
M A = ql 2
| FQ | max = 5 ql 4
| M | max = ql 2
题（c）
∑ F y = 0 ， FRA = ql （↑）
9
∑ M A = 0 ， M A = ql 2
∑ M D = 0 ， ql 2 + ql ⋅ l − ql ⋅ − M D = 0
3 2 ql 2 | FQ | max = ql MD =
C
4000 4000
B
FB
习题 5－8 载荷图之二
5－9 试作图示刚架的剪力图和弯矩图，并确定 FQ
max
、 M
max
12
习题 5－9 图
解：题（a） ：
∑M A = 0
FRB ⋅ 2l − FP ⋅ l − FP ⋅ l = 0
FRB = FP （↑）
∑ F y = 0 ， F Ay = FP （↓）
∑ Fx = 0 ， FAx = FP （←）
C
2
1
B
C
－
B
1
D
M(FPl)
1 +
D
FQ(FP)
A
A
习题 5－9a 的弯矩图
剪力图和弯矩图如图所示，其中 | M | max = 2 FP l ， 位于刚节点 C 截面；
| FQ |max = FP
题（b） ： ∑ F y = 0 ， F Ay = ql （↑）
8
习题 5－6c、e 解图
习题 5－6d、f 解图
题（b）
∑ M A = 0 − ql 2 − ql ⋅ l + ql ⋅ l + FRB ⋅ 2l = 0
2
FRB
材料力学第五章梁的剪力图与弯矩图
29
§5-3
剪力和弯矩及其方程
为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先 建立Oxy坐标系。其中O为坐标原点，x坐 标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取 在梁的左端，x坐标轴的正方向自左向右， y坐标轴铅垂向上。
30
§5-3
剪力和弯矩及其方程
建立剪力方程和弯矩方程，需要根据梁上的外 力（包括载荷和约束力）作用状况，确定控制 面，从而确定要不要分段，以及分几段建立剪 力方程和弯矩方程。
FBy
F 0 M 0
y A
FAy FBy 2F
FSE O FAy ME
FBy
F 5F FAy 3 3
分析右段得到：
FBy
O
ME FSE
F
FBy
y
0
FSE FBy 0
M
o
0
3a M E FBy Fa 2
27
§5-3 剪力和弯矩及其方程
F FBy 3
3、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，
梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
4、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力
并不作用在纵向对称面内的弯曲。
13
工程实际中的弯曲问题简图
P
P P P
P P P
P
14
平面弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
M M M
M
弯矩为正
弯矩为负
22
梁的控制面
集中力作用点两侧的截面
集中力偶作用点两侧的截面 集度相同的均布载荷起点和终点截面处
23
材料力学第6章 弯曲内力
精品文档
6.1 梁的内力—剪力和弯矩
例题 6-2
（2）计算(jìsuàn)指定截面上的剪力和 弯矩
C截截面面C左（以侧梁的左力半：边为研究对象）：
FAy 2 kN () (+)
FSC Fy FAy 2kN
C截面左侧的力矩：
FAy * 2m (+)
M e 8kN m (-)
M C
M F 2m - M -4kN m O
19
精品文档
6.2 剪力图和弯矩图
例题 6-3
(2) 作剪力图(lìtú)和弯矩图
由剪力、弯矩方程画剪力、弯矩图。
注意： 画图时应将剪力图、弯矩图与计算简图 对齐，并注明图名（FS图、M图）、 峰值点的值及正负号。
秦飞 编著《材料力学》 第6章 弯曲(wānqū)内
20
力
精品文档
6.2 剪力图和弯矩图
(plane bending)。当所有外力均作用在纵向对称面内时，梁只发生平面弯曲。
秦飞 编著《材料力学》 第6章 弯曲(wānqū)内力
6
精品文档
6.1 梁的内力(nèilì)—剪力和弯 矩
梁在外力作用下，其任一横截面上的内力可用截面法确定。
（1）截：在横截面m-m处假想地将梁分为两段
原来处于平衡状态的梁，被截出的任意段也处于平衡状态。
秦飞A编y 著《材料力学(cái lieào lìxué)》 第6章 弯
16
曲内力
精品文档
6.1 梁的内力(nèilì)—剪力和弯矩 例题 6-2
截面B（以梁右半边为研究对象）：
B左截面
F 2kN (+)
FBy 4kN (-)
FSB左 F FBy -2kN
材料力学-5-弯矩图与剪力图
从所得到的剪力图和 弯矩图中不难看出:
在集中力作用点两 侧截面上的剪力是不相 等的，而在集中力偶作 用处两侧截面上的弯矩 是不相等的，其差值分 别为集中力与集中力偶 的数值。
例题5
q
A
4a FAy
梁由一个固定铰链支座和一个辊轴支座所
支承，但是梁的一端向外伸出，这种梁称为外 伸梁(overhanging beam)。梁的受力以及各部 分尺寸均示于图中。
工程中的弯曲构件
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
桥式吊车的大梁 可以简化为两端饺支 的简支梁。在起吊重 量(集中力FP)及大梁自 身重量(均布载荷q)的 作用下,大梁将发生弯 曲。
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定 成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷 作用下，反应塔将发生弯曲变形。
Nanjing University of Technology
材料力学 课堂教学(5)
2020年8月12日
第5章 梁的弯曲问题(1)－剪力图与弯矩图
杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的 力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形形式称为 弯曲（bending）。
主要承受弯曲的杆件称为梁（beam）。
得到梁的剪力方程和弯 矩方程分别为：
M(x)
FQ x＝FRA qx＝ql－qx 0 x 2l
FRA x
M x＝qlx－qx2
0 x 2l
2
这一结果表明，梁上的剪力方程是x的线性函数；弯矩方程是x的 二次函数。
载荷集度、剪力、弯矩之间的 微分关系
绘制剪力图和弯矩图有两种方法：
第一种方法是：根据剪力方程和弯矩方程，在FQx和M-x坐标系中绘制出相应的图线，便得到所需要的 剪力图与弯矩图。
工程力学《剪力图与弯矩图》教学教案设计
师生互 动，启 发、 引导 学生归 纳总结。
经分析得出：剪力、弯矩随荷载变化的规律 力偶荷载作用点：剪力图无变化；弯矩图有突变（荷载逆时针转向， 向上突变，突变量等于荷载的大小） 。
为加深印象和便于记忆： 口诀表述：剪力图 弯矩图 力偶荷载无影响。 力偶荷载有突变。
由以上两道例题：可总结出绘制剪力与弯矩图的规律表（见下表） 。
进行分 析， 并将 问题引 入新课 通过教 通过对 旧知识 的复习， 为讲解 新课打 基础。
程
（一）剪力图与弯矩图的画法
实际荷 为四种 情况， 除 此三种 情况外， 还有均 布载荷 区段情 况。 但本 教材仅 介绍三 种。 可在 授课时 提及， 但 不作要 求。
Q图
本教材中将荷载分为三种情况：无荷载区段、集中荷载作用点和力 载 应 分 偶荷载作用点。 无荷载区段、集中荷载作用点 例 1. 绘制图示梁的剪力图与弯矩图。 教
授课班级
《工程力学》 中国劳动与社会保障出版社
1．课前预习：上一节课后，布置了两道尝试题，用列剪力方程 教 学 准 备
a b a
和弯矩方程绘制梁的剪力图与弯矩图。
C b
2．课前在小黑板上写出这两道尝试题。 3. 课前复习直线方程及倾斜量。 4．复案、资料准备：教材、教案、教学日志及记分册等。 【课题分析】
一．组织教学（1 分钟） 环视学生、教室及黑板，了解学生出勤情况，并记录教学日志，组 织好本课授课秩序，使学生的注意力能够集中于本课教学。 二．复习与提问（2 分钟） 1．首先拿出小黑板进行提问，检查学生课前自学尝试情况，分析讨论尝 教 试题计算及作图结果； （口答） 2．直线方程的形式。 （口答） 学 三．教材简析从而导入新课（3 分钟） 熟练、正确地绘制剪力图与弯矩图是材料力学的一项基本功，也是 过 学好材料力学的关键。剪力、弯矩图不仅能反映内力随梁截面位置变化 的分布情况，而且是分析梁的危险截面的依据之一。不牢固掌握这一基 师口述， 础知识，日后梁的弯曲强度、刚度一系列计算将无法顺利进行。因此， 对 教 材 这部分内容非常重要。 画剪力与弯矩图的基本方法是根据截面法建立剪力、弯矩方程进而 绘制剪力图与弯矩图。然而，学生运用此法绘制剪力与弯矩图时,感到繁 琐、吃力，尤其在列剪力、弯矩方程及求各特征点剪力与弯矩值时经常 出错。所以，为了达到简化计算、直接作剪力与弯矩图的目的，通过以 下对例题的分析，不难发现，荷载、剪力和弯矩之间的变化是有一定规 律的，利用这些规律绘制剪力与弯矩图就可使计算工作量大为减少，直 接绘制剪力与弯矩图，大大提高做题速度，并且不易出错，又便于检验， 下面介绍利用剪力、弯矩随荷载变化的规律（简捷法）绘制剪力图与弯 矩图。 四．讲授新课（72 分钟） §10.2 剪力图与弯矩图
经分析得出：剪力、弯矩随荷载变化的规律 力偶荷载作用点：剪力图无变化；弯矩图有突变（荷载逆时针转向， 向上突变，突变量等于荷载的大小） 。
为加深印象和便于记忆： 口诀表述：剪力图 弯矩图 力偶荷载无影响。 力偶荷载有突变。
由以上两道例题：可总结出绘制剪力与弯矩图的规律表（见下表） 。
进行分 析， 并将 问题引 入新课 通过教 通过对 旧知识 的复习， 为讲解 新课打 基础。
程
（一）剪力图与弯矩图的画法
实际荷 为四种 情况， 除 此三种 情况外， 还有均 布载荷 区段情 况。 但本 教材仅 介绍三 种。 可在 授课时 提及， 但 不作要 求。
Q图
本教材中将荷载分为三种情况：无荷载区段、集中荷载作用点和力 载 应 分 偶荷载作用点。 无荷载区段、集中荷载作用点 例 1. 绘制图示梁的剪力图与弯矩图。 教
授课班级
《工程力学》 中国劳动与社会保障出版社
1．课前预习：上一节课后，布置了两道尝试题，用列剪力方程 教 学 准 备
a b a
和弯矩方程绘制梁的剪力图与弯矩图。
C b
2．课前在小黑板上写出这两道尝试题。 3. 课前复习直线方程及倾斜量。 4．复案、资料准备：教材、教案、教学日志及记分册等。 【课题分析】
一．组织教学（1 分钟） 环视学生、教室及黑板，了解学生出勤情况，并记录教学日志，组 织好本课授课秩序，使学生的注意力能够集中于本课教学。 二．复习与提问（2 分钟） 1．首先拿出小黑板进行提问，检查学生课前自学尝试情况，分析讨论尝 教 试题计算及作图结果； （口答） 2．直线方程的形式。 （口答） 学 三．教材简析从而导入新课（3 分钟） 熟练、正确地绘制剪力图与弯矩图是材料力学的一项基本功，也是 过 学好材料力学的关键。剪力、弯矩图不仅能反映内力随梁截面位置变化 的分布情况，而且是分析梁的危险截面的依据之一。不牢固掌握这一基 师口述， 础知识，日后梁的弯曲强度、刚度一系列计算将无法顺利进行。因此， 对 教 材 这部分内容非常重要。 画剪力与弯矩图的基本方法是根据截面法建立剪力、弯矩方程进而 绘制剪力图与弯矩图。然而，学生运用此法绘制剪力与弯矩图时,感到繁 琐、吃力，尤其在列剪力、弯矩方程及求各特征点剪力与弯矩值时经常 出错。所以，为了达到简化计算、直接作剪力与弯矩图的目的，通过以 下对例题的分析，不难发现，荷载、剪力和弯矩之间的变化是有一定规 律的，利用这些规律绘制剪力与弯矩图就可使计算工作量大为减少，直 接绘制剪力与弯矩图，大大提高做题速度，并且不易出错，又便于检验， 下面介绍利用剪力、弯矩随荷载变化的规律（简捷法）绘制剪力图与弯 矩图。 四．讲授新课（72 分钟） §10.2 剪力图与弯矩图
材料力学第三组——作图所示的各梁的剪力图和弯矩图。
图
答：
材料力学
第三组：
计算题（每小题25分，共100分）
1.作图所示的各梁的剪力图和弯矩图。
解：
（a）如图（a）所示；
根据平衡条件，求出各支座反力：
； ； ；
应用荷载、剪力、和弯矩的关系，直接作弯矩图和剪力图，如图（a1）所示。
（b）如图（b）所示；
根据平衡条件，求出各支座反力：
； ； ；
应用荷载、剪力、和弯矩的关系，直接作弯矩图和剪力图，如图（b1）所示。
2.求下列图示各刚架的弯矩、剪力及轴力图。
答：
弯矩图：
剪力、轴力图。
3.用积分法计算图示梁的变形时，需分几段建立方程？并写出其位移边界条件。
解：
应分三段，AB段，BC段，CD段，边界条件为：
，
，Leabharlann ， ，4.图示压杆两端为球铰约束，截面如图所示，为200mm×125mm×18mm的不等边角钢。杆长l = 5m，材料为Q235钢，其弹性模量E = 205GPa。试求压杆的临界载荷。
答：
材料力学
第三组：
计算题（每小题25分，共100分）
1.作图所示的各梁的剪力图和弯矩图。
解：
（a）如图（a）所示；
根据平衡条件，求出各支座反力：
； ； ；
应用荷载、剪力、和弯矩的关系，直接作弯矩图和剪力图，如图（a1）所示。
（b）如图（b）所示；
根据平衡条件，求出各支座反力：
； ； ；
应用荷载、剪力、和弯矩的关系，直接作弯矩图和剪力图，如图（b1）所示。
2.求下列图示各刚架的弯矩、剪力及轴力图。
答：
弯矩图：
剪力、轴力图。
3.用积分法计算图示梁的变形时，需分几段建立方程？并写出其位移边界条件。
解：
应分三段，AB段，BC段，CD段，边界条件为：
，
，Leabharlann ， ，4.图示压杆两端为球铰约束，截面如图所示，为200mm×125mm×18mm的不等边角钢。杆长l = 5m，材料为Q235钢，其弹性模量E = 205GPa。试求压杆的临界载荷。
剪力图和弯矩图(史上全面)剪刀图弯矩图特征
2
2
右端点D： Q
1 2
qa
;M
0
23
1、练习直接画内力图 P129 4、4－d、j（对称载荷）、m(反对称载荷)
同时可以提前讲内力图的对称关系 2、改错
见下页PPT 3、由Q图作M图和载荷图P135 4.16(b)
由M图作Q图和载荷图P135 4.17(a) 4、讲解组合梁的内力图P130 4.6(a)
P q
Pa 2
qa2 2
A
BM
x x
+ P
=
=+
A
B M1
Pa 2
+
+
q
qa2
A
B M2
2 +
x
29
三、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称
结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。
30
[例8] 作下列图示梁的内力图。
P
PL
Q
x
0L 0.5P L 0.5P L
Q
特
征
x
x
x
C
x
Q2
x
C x
Q>0 Q<0 增函数 降函数 Q1–
M
斜直线
曲线
自左Q2向=P右折角 自左向右突变
图
x
x
x
x
x 与 M1 x
特
m
征M
M
M
M
M
反 M M2
增函数 降函数 碗状 馒头状 折向与P反向 M1 M220 m
简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的方法。
[例4] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
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§5-2 剪力和弯矩及其方程
FSE O
FAy
ME
O
FSE
ME FBy
FBy
F 3
FAy
5F 3
分析右段得到： FBy
Fy 0 FSE FBy 0
F FSE FBy 3
Mo 0
ME
FBy
3a 2
Fa
ME
3Fa 2
§5-2 剪力和弯矩及其方程
FBy
梁为什么做成变截面的？ 梁为什么可以开孔？ 孔开在哪里最合理?
二、弯曲的概念：
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
P
q
M
RA
NB
常见弯曲构件截面
目录
平面弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
中力偶）一侧Q图面积的代数和计算。（左侧面积或
右侧面积的相反数）
目录
4、集中力 从左到右，向上集中力作用处，剪力图向上
突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处 为尖点。反之亦然。
5、集中力偶
从左到右，顺时针集中力偶作用处，弯 矩图向M正向突变，突变幅度为集中力偶的大 小。剪力图在该点没有变化。反之亦然。
* 剪力为零的截面弯矩有极值。
例 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。
aF
b
A
B
x
C
FA
l
FB
解：1、求支反力
FA
Fb l
FB
Fa l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
aF
b
A
x
C
FA
l
B
FA
Fb l
FB
FB
Fa l
AC段 A
M(x)
FS
x
Fb l
0
x
A
B
x
L
Fs (x) qx, (0 x l)
M (x) 1 qx2, (0 x l)
Fs
2
x
(-)
ql
0.5ql 2
M
x
FAY
MA
L
A
x
F(x)
FL
M(x)
[例] 列出梁内力方程并画出内力图。
F B
解：①求支反力
FAY F ; M A FL
②写出内力方程
Fs (x) FAY F (0 x l)
FAY Fs(x)
2kN CD
2kN
1kN/m AC : Fs (x1) 2,
(0 x1 1)
B
M (x1) 2x1， (0 x1 1)
CD : Fs (x2 ) 0， (1＜x2＜2)
FBY M (x2 ) 2， (1 x2 2)
BC : Fs (x3) 2 x3，(0＜x3 2)
目录
静定梁的分类（三种基本形式）
q(x)— 分布力 1、悬臂梁：
2、简支梁：
L M — 集中力偶
3、外伸梁：
L q — 均布力
F — 集中力
L
L
（L称为梁的跨长）
§5-2 剪力和弯矩及其方程
M FN
FAy
FS
M FN
FS
3
Fx 0 FN 0
Fy 0 FS FAy F1
a
FA
x
FS(x)
M x Fb x0 x a
l
FSx
FB
Fa l
a
x
l
M(x)
M
x
FB
(l
x)
Fa l
l
x
FS(x)
a x l
CB段 B FB
3、作剪力图和弯矩图
aF
b
A
x
C
FA
l
Fb
FS
l
Fb l
M
FS1 x
Fb l
Fs
x2
Fs
x1
Aq
x2 x1
Fs
x1
Fs
x2
Aq
x2 x1
M
x2
M
x1
AFs
x2 x1
M
x1
M
x2
AFs
x2 x1
利用剪力、弯矩与分布荷载间积分关系定值 积分关系:
梁上任意两截面的剪力差等于两截面间载荷图 所包围的面积
q(x)
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
载荷集度、剪力和弯矩关系： d 2M (x) dFS (x) q(x)
dx2
dx
1. q＝0，Fs=常数，
剪力图为直线,弯
Fs 图： M图：
矩图为斜直线。
q 下雨
2.q＝常数，剪力图
为斜直线，弯矩
Fs图：
池塘
图为抛物线。 M图：
3. 剪力FQ=0处，弯矩取极值或驻点。大小可用（无集
CD :
Fs (x2 ) FAY 2 2 2 0, M (x2 ) FAY x2 2(x2 1) 2(kN.m),
BC :
Fs (x3 ) FBY 1 x3 2 x3,
M (x3 )
FBY x3
1 x3
x3 2
2x3
x32 2
,
A
FMc 0 M FAy x F1(x a)
FS剪力，平行于
横截面的内力合力
M 弯矩，垂直于
横截面的内力系的 FBy 合力偶矩
§5-2 剪力和弯矩及其方程
M FN
M FN
FAy
FS
FS
FBy
截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针 转向时，剪力为正；反之为负。
Fs(+)
Fs(–) Fs(+) 左上右下为正；反之为负
剪力图按横向力走向可直接画
弯矩图的段端值可用剪力图面积计算
载荷集度、剪力和弯矩间的积分关系
确定剪力、 弯矩图上各点处的数值。
P
M0
q(x)
x
dFs q dx
dF x2
x1
s
x2 qdx
x1
区间 x1
x2
dM dx
Fs
x2 dM x1
x2 x1
Fsdx
从左向右 从右向左
扭 杆：承受扭矩 墙
桥板 梁：承受横向力
楼板
为什么梁特别重要？ 地球引力场方向 + 人类需要空间
§5-1 平面弯曲的概念及工程实例
一、弯曲实例 工厂厂房的天车大梁：
火车的轮轴：
F
F
F
F
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
屋顶大梁上的孔为什么开在中间？上、下两 边各开一个半圆孔可以吗？
工程中的弯曲构件
B
Y 0, FAY FBY 2 1 2 0
M B 0, 1 21 23 FAY 4 0
x3 FBY FAY 2(kN); FBY 2(kN)
2m
2、写出内力方程
AC : Fs (x1) FAY 2(kN),
M (x1) FAY x1 2x1(kN.m),
解：1. 确定支反力
Fy 0 FAy FBy 2F
MA 0
FBy FBy 3a Fa 2F a
F
5F
FBy 3 FAy 3
Fy 0
5F 2F FSE 3
FSE
F 3
ME
ME 0
2F
a 2
ME
5F 3
3a 2
ME
3Fa 2
ME
5F 3
3a 2
2F
a 2
3 Fa 2
左顺右逆为正；反之为负
法则 计算任意截面的剪力和弯矩
任意截面的剪力 一侧横向力代数值
横向力：载荷和约束反力 分布力和集中力
方向：左上右下为正， 反之为负
任意截面的弯矩
一侧外力对截面形心之矩代数值
外力：载荷和约束反力
方向：左顺右逆为正，
F
M (x) FAY x M A
F(x L)
(0 x l)
x
③根据方程画内力图
注意：弯矩图中正的弯矩值
x
绘在x轴的下方(即弯矩值绘
在弯曲时梁的受拉侧)。
例 图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图
和弯矩图。
q
A
B
l
FAxΒιβλιοθήκη 解：1、求支反力FA
FB
ql 2
FB
2、列剪力方程和弯矩方程
分布力、集中力和集中力偶
反之为负
三、剪力方程、弯矩方程：
q
剪力方程 弯矩方程
FS FS (x)
M M (x)
反映梁的横截面上的剪力和弯 矩随截面位置变化的函数式
显示剪力和弯矩随截面位移的 变化规律的图形则分别称为剪力 图和弯矩图。
注意： 不能用一个函数表 达的要分段，分段点为：集中力 作用点、集中力偶作用点、分布 力的起点、终点。