离散数学——代数系统 5.1 5.3 (2+2学时)
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7
群论的出现
群论是现代数学非常重要的分支, 群论是现代数学非常重要的分支, 群论产生的开 端非常平凡, 但是群论的创立者却充满了传奇。 端非常平凡, 但是群论的创立者却充满了传奇。这要 从代数方程的求解方法谈起。 从代数方程的求解方法谈起。代数方程根式解法的研 究有很悠久的历史。大家知道，一个实系数的代数多 究有很悠久的历史。大家知道， 项式在实数域中只要能分解成一些实系数的一次因式 与二次因式的乘积，则利用我们熟知的二次方程: 与二次因式的乘积，则利用我们熟知的二次方程:
5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
抽象代数主要研究内容
抽象代数学的研究对象是抽象的， 抽象代数学的研究对象是抽象的 ， 它不是以某一 具体对象为研究对象，而是以一大类具有某种共同性 具体对象为研究对象， 而是以一大类具有某种共同性 质的对象为研究对象， 质的对象为研究对象， 因此其研究成果适用于这一类 对象中的每个对象，从而达到了事半功倍的效果。 对象中的每个对象，从而达到了事半功倍的效果。 将介绍最基本最重要的代数系统： 将介绍最基本最重要的代数系统：群。
阿贝尔
阿贝尔去世前不久，人们才认识到他的价值。 阿贝尔去世前不久，人们才认识到他的价值。 1828年，有4位法国科学院院士上书挪威国王，请他为 位法国科学院院士上书挪威国王， 年 位法国科学院院士上书挪威国王 阿贝尔提供合适的科学研究位置，勒让德也在科学院 阿贝尔提供合适的科学研究位置， 会议上对阿贝尔大家赞扬。 会议上对阿贝尔大家赞扬。阿贝尔在数学方面的成就 是多方面的，除五次方程外， 是多方面的，除五次方程外，他还研究了更广泛一类 的代数方程， 的代数方程，后人发现这就是具有交换的伽罗瓦群的 方程。后人为了纪念他，就把交换群称为Abel群. 方程。后人为了纪念他，就把交换群称为 群
阿贝尔
当阿贝尔的著作发表时， 当阿贝尔的著作发表时，引起了所有数学家的惊 在这个著作中阿贝尔证明了这样一个定理： 奇。在这个著作中阿贝尔证明了这样一个定理：“如 果方程的次数n 并且系数被看成字母， 果方程的次数n≥5，并且系数被看成字母，那么任何 一个由这些系数所组成的根式都不可能是该方程的解 。”原来在三个世纪以来用根式去解这种方程之所以 不能成功，只因为这个问题就没有解。 不能成功，只因为这个问题就没有解。 1826年阿贝尔又到了巴黎， 1826年阿贝尔又到了巴黎，遇到了当时著名的数 年阿贝尔又到了巴黎 勒让德和 学家勒让德 柯西。 学家勒让德和柯西。当时他写了一篇关于椭圆积分的 论文，提交给法国科学院，但不幸没有得到重视， 论文，提交给法国科学院，但不幸没有得到重视，只 好又返回柏林。 好又返回柏林。
ax + bx + c = 0
2
群论的出现
二次方程的求根公式
x=
−b±
b2 − 4ac 2a
与一次方程的解得到原方程的解。为此， 与一次方程的解得到原方程的解。为此，人们试图对 次数更高的方程得到类似的求解公式.不过，由于一 次数更高的方程得到类似的求解公式.不过， 般三次方程相对于二次方程求根公式要复杂得多， 般三次方程相对于二次方程求根公式要复杂得多，所 以古代数学家在这方面的努力都未能获得成功。 以古代数学家在这方面的努力都未能获得成功。
阿贝尔
克雷尔为他谋求教授职务，没有成功。 克雷尔为他谋求教授职务，没有成功。1827年5月 年 月 阿贝尔贫病交加地回到挪威。次年 月 日患结核病不 阿贝尔贫病交加地回到挪威。次年4月6日患结核病不 幸去世，年仅27岁。就在他去世后两天后，克雷尔来 幸去世，年仅 岁 就在他去世后两天后， 信通知他已被柏林大学任命为数学教授。 信通知他已被柏林大学任命为数学教授。但为时已晚 ，阿贝尔已无法前往接受这一职务了。 阿贝尔已无法前往接受这一职务了。
阿贝尔
1821年阿贝尔上大学，在学校里他几乎全是自学 年阿贝尔上大学， 年阿贝尔上大学 并开始花大量时间考虑数学问题，做研究工作。 ，并开始花大量时间考虑数学问题，做研究工作。 1825年大学毕业后，获得奖学金前往柏林和巴黎留学 年大学毕业后， 年大学毕业后 并谋职。 并谋职。 在柏林他结识了数学家克雷尔（ 在柏林他结识了数学家克雷尔（A.L.Crelle)，并成 克雷尔 ， 为好朋友，他鼓励克雷尔创办了著名的数学刊物《 为好朋友，他鼓励克雷尔创办了著名的数学刊物《纯 粹与应用数学杂志》 粹与应用数学杂志》，1826年出第一卷刊登了阿贝尔 年出第一卷刊登了阿贝尔 篇文章， 的7篇文章，其中就有关于一般五次方程不能用根式求 篇文章 解的文章，以后各卷也有他的很多文章。 解的文章，以后各卷也有他的很多文章。
17
挪威天才数学家阿贝尔
伽罗瓦
在这一时期, 在这一时期 碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研 这个问题, 而且最终取得了成功, 他就是伽罗瓦 伽罗瓦(Galois). 这个问题 而且最终取得了成功 他就是伽罗瓦 伽罗瓦1811年10月降生于巴黎近郊。只活了 岁， 年 月降生于巴黎近郊 只活了20岁 月降生于巴黎近郊。 伽罗瓦 而他所留下的著作总共只有60页 而他所留下的著作总共只有 页，但却以自己天才的创 犹如划破黑夜长空的一颗彗星——Galois的出现， 的出现， 造，犹如划破黑夜长空的一颗彗星 的出现 开创了置换群论的研究。 开创了置换群论的研究。 可是这位年轻人获得的非凡 成果, 在他因决斗去世11年后才开始得到数学界的承认 成果 在他因决斗去世 年后才开始得到数学界的承认 伽罗瓦幼年受过良好教育， 岁上中学 岁上中学， 。伽罗瓦幼年受过良好教育，12岁上中学，1827年16岁 年 岁 就开始自学勒让德、拉格朗日、高斯和柯西的著作。 就开始自学勒让德、拉格朗日、高斯和柯西的著作。
群论的出现
直至16世纪形如 直至 世纪形如 ax3+bx2+cx+d=0的三次方程的求 的三次方程的求 费罗(Ferro)和塔尔塔里亚 根公式才被意大利数学家费罗 和 根公式才被意大利数学家费罗 (Tartalia) 彼此独立发现。 彼此独立发现。 后来，意大利数学和物理学家卡尔达塔 卡尔达塔(Cardano) 后来，意大利数学和物理学家卡尔达塔 在得知塔氏的发明后，央求塔氏将求解方法告诉他， 在得知塔氏的发明后，央求塔氏将求解方法告诉他，塔 氏在其允诺绝对保密的条件下同意了。 氏在其允诺绝对保密的条件下同意了。但是卡尔达塔却 背弃诺言， 1545年将塔氏关于三次方程的解法发表在 背弃诺言， 年将塔氏关于三次方程的解法发表在 自己的著作《大术》 一书中. 自己的著作《大术》(Ars Magna)一书中 在三次方程求 一书中 解问题解决后，一般四次方程很快被意大利数学家费拉 解问题解决后，一般四次方程很快被意大利数学家费拉 所解决， 所解决 也发表在这部书中。 里( Ferrari)所解决，也发表在这部书中。
离散数学
Discrete Mathematics
主讲： 主讲：陈哲云 青岛理工大学计算机工程学院 2011 2011.09
1
代数系统（代数结构） 代数系统（代数结构）
抽象代数简介
代数系统的基本概念(重点 代数系统的基本概念 重点) 重点 二元运算的性质(重点 二元运算的性质 重点) 重点 代数系统的同态与同构（难点） 代数系统的同态与同构（难点）
12
群论的创始人
Lagrange的洞察力启发了年轻的阿贝尔(Abel)与伽罗 的洞察力启发了年轻的阿贝尔 的洞察力启发了年轻的阿贝尔 与 瓦(Galois)，他们在继承了 ，他们在继承了Lagrange留下的宝贵遗产基 留下的宝贵遗产基 础上，各自作出了重要的贡献。 础上，各自作出了重要的贡献。 Abel （N.H.Abel,1802-1829)，挪威数学家，近代数学 ，挪威数学家， 发展的先驱者。 日出生于一个牧师家庭， 发展的先驱者。1802年8月5日出生于一个牧师家庭，幼 年 月 日出生于一个牧师家庭 年丧父，家境贫寒。从小酷爱数学， 岁进入奥斯陆一 年丧父，家境贫寒。从小酷爱数学，13岁进入奥斯陆一 所教会学校学习，成绩优异。 岁自学数学名著， 所教会学校学习，成绩优异。他16岁自学数学名著，中 岁自学数学名著 学时被誉为“数学迷” 学时被誉为“数学迷”。他的数学老师霍尔姆博发现了 阿贝尔的数学天赋，不断给予指导与资助。 阿贝尔的数学天赋，不断给予指导与资助。
6
应用
群论在数学的各个分支和物理学、力学、化学、 群论在数学的各个分支和物理学、力学、化学、生物 计算机科学等方面都有越来越广泛的应用。 学、计算机科学等方面都有越来越广泛的应用。 抽象代数学在计算机科学中的广泛应用： 抽象代数学在计算机科学中的广泛应用： 1)半群理论在自动机和形式语言中发挥了重要作用； 1)半群理论在自动机和形式语言中发挥了重要作用； 半群理论在自动机和形式语言中发挥了重要作用 2)群论在计算机安全领域的重要作用； 2)群论在计算机安全领域的重要作用； 群论在计算机安全领域的重要作用 3)有限域的理论是编码理论的数学基础，在通讯中发 3)有限域的理论是编码理论的数学基础， 有限域的理论是编码理论的数学基础 挥了重要作用； 挥了重要作用； 4)格和布尔代数的理论成为电子计算机硬件设计和通 4)格和布尔代数的理论成为电子计算机硬件设计和通 系统设计中的重要工具。 讯 系统设计中的重要工具。
2
抽象代数简介
抽象代数主要研究内容
群论的出现及创始人 群论的应用
3
引例
我们学过很多代数，如集合代数， 我们学过很多代数，如集合代数，命题代数等等 尽管研究的对象及对象的运算不同， ，尽管研究的对象及对象的运算不同，但是它们的性 质完全一样，都有交换律、结合律、分配律、 质完全一样，都有交换律、结合律、分配律、吸收律 摩根律、同一律、零律、互补律等。 、德-摩根律、同一律、零律、互补律等。这些促使 我们将代数的研究引导到更高的层次— 我们将代数的研究引导到更高的层次—即抛开具体对 象的代数—抽象代数，来研究代数的共性。 象的代数—抽象代数，来研究代数的共性。
伽罗瓦
不久，他遇到了数学教师里查德， 不久，他遇到了数学教师里查德，里查德很快就 里查德 发现了伽罗瓦的数学才能，在他的指导下， 发现了伽罗瓦的数学才能，在他的指导下，伽罗瓦开 始研究代数方程理论， 始研究代数方程理论，1828年17岁时高中未毕业便有 年 岁时高中未毕业便有 重大发现， 重大发现，写出了关于循环连分数特别是五次代数解 法的重要论文。 法的重要论文。 1829年18岁的他中学毕业参加声望很高的巴黎高 年 岁的他中学毕业参加声望很高的巴黎高 等工科大学的入学考试时, 伽罗瓦失败了, 等工科大学的入学考试时 伽罗瓦失败了 不得不进入 较普通的师范学校。 较普通的师范学校。
群论的出现
由于在漫长的岁月里久久找不到一般五次方程的根 式解法，于是数学家们开始进行反思。 式解法，于是数学家们开始进行反思。拉格朗日 Lagrange)在1770年猜测 “这样的求根公式不存在 年猜测: 这样的求根公式不存在。 (Lagrange)在1770年猜测: “这样的求根公式不存在。” 他预见到一般方程的可解性问题最后将归结到关于诸根 的某些排列置换问题。 的某些排列置换问题。
4
抽象代数主要研究内容
抽象代数是数学的一个分支， 抽象代数是数学的一个分支 ， 它用代数的方法从 不同的研究对象中概括出一般的数学模型并研究其规 性质和结构。 律、性质和结构。 代数系统—具有运算的集合 是抽象代数研究的 代数系统 具有运算的集合—是抽象代数研究的 具有运算的集合 主要对象。它是在较高的观点上， 主要对象 。 它是在较高的观点上 ， 把一些形式上很不 相同的代数系统， 撇开其个性， 抽出其共性， 相同的代数系统 ， 撇开其个性 ， 抽出其共性 ， 用统一 的方法描述、 研究和推理， 的方法描述 、 研究和推理 ， 从而得到一些反映事物本 质的结论，再把它们应用到那些系统中去， 质的结论 ， 再把它们应用到那些系统中去 ， 高度的抽 象产生了广泛的应用。 象产生了广泛的应用。
群论的出现
当一般的二、 当一般的二、三、四次方程的求根公式在不同时代被 解决之后， 解决之后，人们毫不犹豫地继续寻求一般五次及以上方程 的求根公式。 的求根公式。 但事情的发展似乎突然停了下来. 但事情的发展似乎突然停了下来. 虽然有很多数学家作出了努力, 其中包括18 18世纪中叶 虽然有很多数学家作出了努力, 其中包括18世纪中叶 伟大的瑞士数学家欧拉 欧拉(Euler), 伟大的瑞士数学家欧拉(Euler), 经过三个世纪之久仍然 没有一个人能找出五次方程的求根公式. 没有一个人能找出五次方程的求根公式.
群论的出现
群论是现代数学非常重要的分支, 群论是现代数学非常重要的分支, 群论产生的开 端非常平凡, 但是群论的创立者却充满了传奇。 端非常平凡, 但是群论的创立者却充满了传奇。这要 从代数方程的求解方法谈起。 从代数方程的求解方法谈起。代数方程根式解法的研 究有很悠久的历史。大家知道，一个实系数的代数多 究有很悠久的历史。大家知道， 项式在实数域中只要能分解成一些实系数的一次因式 与二次因式的乘积，则利用我们熟知的二次方程: 与二次因式的乘积，则利用我们熟知的二次方程:
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
抽象代数主要研究内容
抽象代数学的研究对象是抽象的， 抽象代数学的研究对象是抽象的 ， 它不是以某一 具体对象为研究对象，而是以一大类具有某种共同性 具体对象为研究对象， 而是以一大类具有某种共同性 质的对象为研究对象， 质的对象为研究对象， 因此其研究成果适用于这一类 对象中的每个对象，从而达到了事半功倍的效果。 对象中的每个对象，从而达到了事半功倍的效果。 将介绍最基本最重要的代数系统： 将介绍最基本最重要的代数系统：群。
阿贝尔
阿贝尔去世前不久，人们才认识到他的价值。 阿贝尔去世前不久，人们才认识到他的价值。 1828年，有4位法国科学院院士上书挪威国王，请他为 位法国科学院院士上书挪威国王， 年 位法国科学院院士上书挪威国王 阿贝尔提供合适的科学研究位置，勒让德也在科学院 阿贝尔提供合适的科学研究位置， 会议上对阿贝尔大家赞扬。 会议上对阿贝尔大家赞扬。阿贝尔在数学方面的成就 是多方面的，除五次方程外， 是多方面的，除五次方程外，他还研究了更广泛一类 的代数方程， 的代数方程，后人发现这就是具有交换的伽罗瓦群的 方程。后人为了纪念他，就把交换群称为Abel群. 方程。后人为了纪念他，就把交换群称为 群
阿贝尔
当阿贝尔的著作发表时， 当阿贝尔的著作发表时，引起了所有数学家的惊 在这个著作中阿贝尔证明了这样一个定理： 奇。在这个著作中阿贝尔证明了这样一个定理：“如 果方程的次数n 并且系数被看成字母， 果方程的次数n≥5，并且系数被看成字母，那么任何 一个由这些系数所组成的根式都不可能是该方程的解 。”原来在三个世纪以来用根式去解这种方程之所以 不能成功，只因为这个问题就没有解。 不能成功，只因为这个问题就没有解。 1826年阿贝尔又到了巴黎， 1826年阿贝尔又到了巴黎，遇到了当时著名的数 年阿贝尔又到了巴黎 勒让德和 学家勒让德 柯西。 学家勒让德和柯西。当时他写了一篇关于椭圆积分的 论文，提交给法国科学院，但不幸没有得到重视， 论文，提交给法国科学院，但不幸没有得到重视，只 好又返回柏林。 好又返回柏林。
ax + bx + c = 0
2
群论的出现
二次方程的求根公式
x=
−b±
b2 − 4ac 2a
与一次方程的解得到原方程的解。为此， 与一次方程的解得到原方程的解。为此，人们试图对 次数更高的方程得到类似的求解公式.不过，由于一 次数更高的方程得到类似的求解公式.不过， 般三次方程相对于二次方程求根公式要复杂得多， 般三次方程相对于二次方程求根公式要复杂得多，所 以古代数学家在这方面的努力都未能获得成功。 以古代数学家在这方面的努力都未能获得成功。
阿贝尔
克雷尔为他谋求教授职务，没有成功。 克雷尔为他谋求教授职务，没有成功。1827年5月 年 月 阿贝尔贫病交加地回到挪威。次年 月 日患结核病不 阿贝尔贫病交加地回到挪威。次年4月6日患结核病不 幸去世，年仅27岁。就在他去世后两天后，克雷尔来 幸去世，年仅 岁 就在他去世后两天后， 信通知他已被柏林大学任命为数学教授。 信通知他已被柏林大学任命为数学教授。但为时已晚 ，阿贝尔已无法前往接受这一职务了。 阿贝尔已无法前往接受这一职务了。
阿贝尔
1821年阿贝尔上大学，在学校里他几乎全是自学 年阿贝尔上大学， 年阿贝尔上大学 并开始花大量时间考虑数学问题，做研究工作。 ，并开始花大量时间考虑数学问题，做研究工作。 1825年大学毕业后，获得奖学金前往柏林和巴黎留学 年大学毕业后， 年大学毕业后 并谋职。 并谋职。 在柏林他结识了数学家克雷尔（ 在柏林他结识了数学家克雷尔（A.L.Crelle)，并成 克雷尔 ， 为好朋友，他鼓励克雷尔创办了著名的数学刊物《 为好朋友，他鼓励克雷尔创办了著名的数学刊物《纯 粹与应用数学杂志》 粹与应用数学杂志》，1826年出第一卷刊登了阿贝尔 年出第一卷刊登了阿贝尔 篇文章， 的7篇文章，其中就有关于一般五次方程不能用根式求 篇文章 解的文章，以后各卷也有他的很多文章。 解的文章，以后各卷也有他的很多文章。
17
挪威天才数学家阿贝尔
伽罗瓦
在这一时期, 在这一时期 碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研 这个问题, 而且最终取得了成功, 他就是伽罗瓦 伽罗瓦(Galois). 这个问题 而且最终取得了成功 他就是伽罗瓦 伽罗瓦1811年10月降生于巴黎近郊。只活了 岁， 年 月降生于巴黎近郊 只活了20岁 月降生于巴黎近郊。 伽罗瓦 而他所留下的著作总共只有60页 而他所留下的著作总共只有 页，但却以自己天才的创 犹如划破黑夜长空的一颗彗星——Galois的出现， 的出现， 造，犹如划破黑夜长空的一颗彗星 的出现 开创了置换群论的研究。 开创了置换群论的研究。 可是这位年轻人获得的非凡 成果, 在他因决斗去世11年后才开始得到数学界的承认 成果 在他因决斗去世 年后才开始得到数学界的承认 伽罗瓦幼年受过良好教育， 岁上中学 岁上中学， 。伽罗瓦幼年受过良好教育，12岁上中学，1827年16岁 年 岁 就开始自学勒让德、拉格朗日、高斯和柯西的著作。 就开始自学勒让德、拉格朗日、高斯和柯西的著作。
群论的出现
直至16世纪形如 直至 世纪形如 ax3+bx2+cx+d=0的三次方程的求 的三次方程的求 费罗(Ferro)和塔尔塔里亚 根公式才被意大利数学家费罗 和 根公式才被意大利数学家费罗 (Tartalia) 彼此独立发现。 彼此独立发现。 后来，意大利数学和物理学家卡尔达塔 卡尔达塔(Cardano) 后来，意大利数学和物理学家卡尔达塔 在得知塔氏的发明后，央求塔氏将求解方法告诉他， 在得知塔氏的发明后，央求塔氏将求解方法告诉他，塔 氏在其允诺绝对保密的条件下同意了。 氏在其允诺绝对保密的条件下同意了。但是卡尔达塔却 背弃诺言， 1545年将塔氏关于三次方程的解法发表在 背弃诺言， 年将塔氏关于三次方程的解法发表在 自己的著作《大术》 一书中. 自己的著作《大术》(Ars Magna)一书中 在三次方程求 一书中 解问题解决后，一般四次方程很快被意大利数学家费拉 解问题解决后，一般四次方程很快被意大利数学家费拉 所解决， 所解决 也发表在这部书中。 里( Ferrari)所解决，也发表在这部书中。
离散数学
Discrete Mathematics
主讲： 主讲：陈哲云 青岛理工大学计算机工程学院 2011 2011.09
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代数系统（代数结构） 代数系统（代数结构）
抽象代数简介
代数系统的基本概念(重点 代数系统的基本概念 重点) 重点 二元运算的性质(重点 二元运算的性质 重点) 重点 代数系统的同态与同构（难点） 代数系统的同态与同构（难点）
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群论的创始人
Lagrange的洞察力启发了年轻的阿贝尔(Abel)与伽罗 的洞察力启发了年轻的阿贝尔 的洞察力启发了年轻的阿贝尔 与 瓦(Galois)，他们在继承了 ，他们在继承了Lagrange留下的宝贵遗产基 留下的宝贵遗产基 础上，各自作出了重要的贡献。 础上，各自作出了重要的贡献。 Abel （N.H.Abel,1802-1829)，挪威数学家，近代数学 ，挪威数学家， 发展的先驱者。 日出生于一个牧师家庭， 发展的先驱者。1802年8月5日出生于一个牧师家庭，幼 年 月 日出生于一个牧师家庭 年丧父，家境贫寒。从小酷爱数学， 岁进入奥斯陆一 年丧父，家境贫寒。从小酷爱数学，13岁进入奥斯陆一 所教会学校学习，成绩优异。 岁自学数学名著， 所教会学校学习，成绩优异。他16岁自学数学名著，中 岁自学数学名著 学时被誉为“数学迷” 学时被誉为“数学迷”。他的数学老师霍尔姆博发现了 阿贝尔的数学天赋，不断给予指导与资助。 阿贝尔的数学天赋，不断给予指导与资助。
6
应用
群论在数学的各个分支和物理学、力学、化学、 群论在数学的各个分支和物理学、力学、化学、生物 计算机科学等方面都有越来越广泛的应用。 学、计算机科学等方面都有越来越广泛的应用。 抽象代数学在计算机科学中的广泛应用： 抽象代数学在计算机科学中的广泛应用： 1)半群理论在自动机和形式语言中发挥了重要作用； 1)半群理论在自动机和形式语言中发挥了重要作用； 半群理论在自动机和形式语言中发挥了重要作用 2)群论在计算机安全领域的重要作用； 2)群论在计算机安全领域的重要作用； 群论在计算机安全领域的重要作用 3)有限域的理论是编码理论的数学基础，在通讯中发 3)有限域的理论是编码理论的数学基础， 有限域的理论是编码理论的数学基础 挥了重要作用； 挥了重要作用； 4)格和布尔代数的理论成为电子计算机硬件设计和通 4)格和布尔代数的理论成为电子计算机硬件设计和通 系统设计中的重要工具。 讯 系统设计中的重要工具。
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抽象代数简介
抽象代数主要研究内容
群论的出现及创始人 群论的应用
3
引例
我们学过很多代数，如集合代数， 我们学过很多代数，如集合代数，命题代数等等 尽管研究的对象及对象的运算不同， ，尽管研究的对象及对象的运算不同，但是它们的性 质完全一样，都有交换律、结合律、分配律、 质完全一样，都有交换律、结合律、分配律、吸收律 摩根律、同一律、零律、互补律等。 、德-摩根律、同一律、零律、互补律等。这些促使 我们将代数的研究引导到更高的层次— 我们将代数的研究引导到更高的层次—即抛开具体对 象的代数—抽象代数，来研究代数的共性。 象的代数—抽象代数，来研究代数的共性。
伽罗瓦
不久，他遇到了数学教师里查德， 不久，他遇到了数学教师里查德，里查德很快就 里查德 发现了伽罗瓦的数学才能，在他的指导下， 发现了伽罗瓦的数学才能，在他的指导下，伽罗瓦开 始研究代数方程理论， 始研究代数方程理论，1828年17岁时高中未毕业便有 年 岁时高中未毕业便有 重大发现， 重大发现，写出了关于循环连分数特别是五次代数解 法的重要论文。 法的重要论文。 1829年18岁的他中学毕业参加声望很高的巴黎高 年 岁的他中学毕业参加声望很高的巴黎高 等工科大学的入学考试时, 伽罗瓦失败了, 等工科大学的入学考试时 伽罗瓦失败了 不得不进入 较普通的师范学校。 较普通的师范学校。
群论的出现
由于在漫长的岁月里久久找不到一般五次方程的根 式解法，于是数学家们开始进行反思。 式解法，于是数学家们开始进行反思。拉格朗日 Lagrange)在1770年猜测 “这样的求根公式不存在 年猜测: 这样的求根公式不存在。 (Lagrange)在1770年猜测: “这样的求根公式不存在。” 他预见到一般方程的可解性问题最后将归结到关于诸根 的某些排列置换问题。 的某些排列置换问题。
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抽象代数主要研究内容
抽象代数是数学的一个分支， 抽象代数是数学的一个分支 ， 它用代数的方法从 不同的研究对象中概括出一般的数学模型并研究其规 性质和结构。 律、性质和结构。 代数系统—具有运算的集合 是抽象代数研究的 代数系统 具有运算的集合—是抽象代数研究的 具有运算的集合 主要对象。它是在较高的观点上， 主要对象 。 它是在较高的观点上 ， 把一些形式上很不 相同的代数系统， 撇开其个性， 抽出其共性， 相同的代数系统 ， 撇开其个性 ， 抽出其共性 ， 用统一 的方法描述、 研究和推理， 的方法描述 、 研究和推理 ， 从而得到一些反映事物本 质的结论，再把它们应用到那些系统中去， 质的结论 ， 再把它们应用到那些系统中去 ， 高度的抽 象产生了广泛的应用。 象产生了广泛的应用。
群论的出现
当一般的二、 当一般的二、三、四次方程的求根公式在不同时代被 解决之后， 解决之后，人们毫不犹豫地继续寻求一般五次及以上方程 的求根公式。 的求根公式。 但事情的发展似乎突然停了下来. 但事情的发展似乎突然停了下来. 虽然有很多数学家作出了努力, 其中包括18 18世纪中叶 虽然有很多数学家作出了努力, 其中包括18世纪中叶 伟大的瑞士数学家欧拉 欧拉(Euler), 伟大的瑞士数学家欧拉(Euler), 经过三个世纪之久仍然 没有一个人能找出五次方程的求根公式. 没有一个人能找出五次方程的求根公式.