数学人教版八年级上册含参数的分式方程应用
八年级数学上册 分式方程及其应用(习题及答案)(人教版)
分式方程及其应用（习题）例题示范例1：解分式方程：11322x x x-=---． 【过程书写】 1(1)3(2)1136242x x x x x x =----=-+-+==解： 检验：把x =2代入原方程，不成立∴x =2是原分式方程的增根∴原分式方程无解例2：八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120km ．一部分学生乘慢车先行，出发0.5h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度.【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】解：设慢车的速度为x km/h ，则快车的速度为1.2x km/h ，由题意得，1201200.51.2x x =- 解得，x =40经检验：x =40是原方程的解，且符合题意答：慢车的速度是40km/h ．巩固练习1. 下列关于x 的方程，其中不属于分式方程的是（ ）A ．1a b a x a ++=B ．xa b x b a +=-11 C ．b x a a x 1-=+ D ．1=-+++-nx m x m x n x2. 解分式方程2236111x x x +=+--分以下四步，其中错误的一步是（ ） A ．方程两边分式的最简公分母是(1)(1)x x -+B ．方程两边都乘以(1)(1)x x -+，得整式方程2(1)3(1)6x x -++=C ．解这个整式方程，得1x =D ．原方程的解为1x =3. 张老师和李老师同时从学校出发，骑行15千米去县城购买书籍．已知张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，则两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意可列方程为（ ）A ．1515112x x -=+ B ．1515112x x -=+ C ．1515112x x -=- D ．1515112x x -=-4. 若方程61(1)(1)1m x x x -=+--有增根，则m =_________．5. 如果解关于x 的分式方程1134x m x x +-=-+出现了增根，那么增根是___________．6. 解分式方程：（1）43(1)1x x x x +=--；（2）22(1)23422x x x x +=+--+；（3）23112x x x x -=+--；（4）11222x x x-=---．7. 某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8 800件投入市场．已知该服装厂有A ，B 两个制衣车间，A 车间每天加工的数量是B 车间的1.2倍．A ，B 两车间共同完成一半的生产任务后，A 车间因出现故障而停产，剩下的全部由B 车间单独完成，结果前后共用了20天完成全部生产任务．则A ，B 两车间每天分别能加工多少件该款夏装？ 【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】8.某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但是单价贵了4元．商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下150件按八折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】【参考答案】 巩固练习1. C2. D3. B4. 35.x=36.（1）x=2（2）43 x（3）无解（4）无解7.A车间每天能加工384件该款夏装B车间每天能加工320件该款夏装8.商厦共盈利90 260元。
人教版八年级上册数学《 分式方程》(优质教案)
人教版八年级上册数学《分式方程》（优质教案）一. 教材分析人教版八年级上册数学《分式方程》这一章节是在学生已经掌握了分式的基础知识，如分式的概念、分式的运算等基础上进行讲解的。
本章主要内容是让学生了解分式方程的定义、解法以及应用。
通过本章的学习，学生应能理解分式方程的概念，掌握解分式方程的基本方法，并能够将分式方程应用于解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经掌握了分式的基本知识，具备了一定的逻辑思维能力和问题解决能力。
但学生在解分式方程时，可能会遇到理解上的困难，如分式方程的转化、求解过程中的运算等。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行引导和帮助。
三. 教学目标1.了解分式方程的定义，理解分式方程与一般方程的区别。
2.掌握解分式方程的基本方法，能够熟练地求解分式方程。
3.能够将分式方程应用于解决实际问题，提高解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.分式方程的定义及其与一般方程的区别。
2.分式方程的解法及其应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生思考和探索，从而掌握分式方程的知识；通过案例分析，让学生了解分式方程在实际问题中的应用；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作有关分式方程的PPT，内容包括：分式方程的定义、解法及应用。
2.案例材料：收集一些实际问题，用于教学过程中的案例分析。
3.练习题：准备一些分式方程的练习题，用于课堂练习和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示分式方程的定义，引导学生思考：什么是分式方程？分式方程与一般方程有什么区别？2.呈现（15分钟）通过PPT呈现分式方程的解法，主要包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、化简等步骤。
同时，结合实际问题，让学生了解分式方程在生活中的应用。
3.操练（15分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
人教版八年级数学上册 15.3 分式方程及其应用
分式方程及其应用考点·方法·破译1．分式方程(组)的解法解分式方程的一般步骤:⑴去分母，将分式方程转化为整式方程;⑵解整式方程;⑶验根.有的分式方程也要依据具体的情况灵活处理.如分式中分子(整式)的次数高于等于分母(整式)的次数时，可利用分拆思想，把分式化为“整式＋分式”的形式，化简原方程再解;或将分式方程两边化为分子(或分母)相等的分式，再利用分母(或分子)相等构成整式方程求解;或利用换元法将分式方程化为整式方程，或利用倒数法使方程更简便.2．分式方程增根在解分式方程时，通常将分式方程两边同时乘以最简公分母(化为整式方程)，这就扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.因此，解分式方程时一定要验根.又如求分式方程的解的取值范围(解是正数，或解是负数)时，要注意剔除正数解或负数解中的增根(因为增根不是分式方程的根).3．列分式方程解应用题列分式方程解应用题同运用整式方程解应用题的方法和步骤是类似的，但要注意分式方程求出的未知数的解要双重检验，①检验是否是增根，②检验解是否符合实际意义.经典·考题·赏析【例1】解下列方程:⑴22xx-+－2164x-＝1⑵12x+－2244xx-－22x-＝4⑶45xx--＋89xx--＝78xx--＋56xx--【解法指导】对于方程⑴、⑵只需先将分母分解因式，找到最简公分母，然后将分式方程转化为整式方程，求解并验根.对于方程⑶如果按常规方法去分母则计算复杂，若注意到将这四个分式的分母均比分子小这个特点，先化简，如45xx--＝515xx-+-＝1＋15x-，按照上述变形，原方程可变为15x-＋19x-＝18x-＋16x-再移项后分组通分求解较简单.解: ⑴22xx-+－()()1622x x-+＝1(x－2) 2－16＝(x＋2) (x－2)x2－4x＋4－16＝x2－4x＝－2当x＝－2时(x＋2) (x－2)＝0，∴x＝－2是增根，原分式方程无解.⑵12x +＋()()2422x x x +-－22x -＝4 x －2＋4x 2－2(x ＋2)＝4(x ＋2) (x －2)∴x ＝10当x ＝10时， (x ＋2) (x －2) ≠0， ∴原分式方程的解为x ＝10. ⑶原方程变形为515x x -+-＋919x x -+-＝818x x -+-＋616x x -+- 1＋15x -＋1＋19x -＝1＋18x -＋1＋16x - ∴15x -＋19x -＝18x -＋16x - 15x -－16x -＝18x -－19x - 两边分别通分得: ()()156x x ---＝()()189x x --- ∴(x －5) (x －6)＝(x －8) (x －9)∴x ＝7 检验知x ＝7是原方程的解.【变式题组】 ⑴12x x --＝12x-－2⑵2x x -＋2＝3(2)x x-⑶14x -－23x -＝32x -－41x -⑷12x +＋242x x -＋22x-＝1【例２】当m 为何值时，分式方程1m x +－21x -＝231x -会产生增根? 【解法指导】我们很容易测出分式方程可能产生的增根是x ＝1或x ＝－1，只要把猜测的增根分别代入去分母后的整式方程，即可求出相应的字母的值.解:原方程去分母并整理得 (m －2) x ＝5＋m假设产生增根x ＝1，则有: m －2＝5＋m ，方程无解，所以不存在m 的值，使原方程产生增根x ＝1;。
人教版八年级数学上册教案：15.3分式方程-分式方程的应用
我也注意到，在解决分式方程的难点部分，如去分母和移项，学生们的操作还不够熟练。这提示我，在接下来的课程中，需要设计更多的练习来加强这一部分的训练。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果，这些成果将被记录在黑板上或投影仪上。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式方程的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对分式方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
人教版八年级数学上册教案：15.3分式方程分式方程的应用。本节课将围绕以下内容展开：
1.掌握分式方程在实际问题中的应用；
2.学会列出分式方程解决实际问题；
3.能够运用等式性质和分式运算解决分式方程相关问题；
4.举例说明分式方程在生活中的应用，如速度、浓度、比例等问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式方程的基本概念。分式方程是含有分式的方程，它能够帮助我们解决涉及比例、速度、浓度等实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设有两人合作完成一项工作，甲工作效率是乙的两倍，他们合作3天完成了任务。我们可以通过分式方程来计算他们各自完成的工作量。
举例：在浓度问题中，若将5克盐溶解在水中得到20%的盐水，求所需水的质量。难点在于如何将“20%的盐水”这一描述转化为数学表达式，并建立正确的分式方程。
在教学过程中，需要针对以上难点进行详细讲解和反复练习，确保学生能够透彻理解分式方程的核心知识，并在实际问题中能够灵活应用。通过对重点和难点的强调，帮助学生建立起分式方程的解题框架，提高解题能力。
人教版-数学-八年级上册--16.3分式方程---分式的应用
c)⑵两个检验的原因和必要性．
3.作业：
教科书习题．
学生练习、巩固．
教师巡视指导．
学生完成、交流．，师生评价．
教师引导学生回忆本节课所学内容，学生回忆交流，师生共同补充完善．
教师布置作业．
用反向问题、构造性的问题激发学生的兴趣和创造力．
提高学生归纳总结的能力．
教学过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
［活动１］
1．利用课件提出实际应用问题：求出车速．
2．提出行程过程三要素：路程=时间速度
3．根据条件列出分式方程．
教师通过课件展示问题．学生积极动脑解决问题，由于所设未知数在关系式中是因数，所以列出方程是分式方程。
通过动画演示，提出问题，并激发学生探索的兴趣．
［活动２］
［活动３］
1.教师提出问题：请比较用分式方程解应用题和一元一次方程解应用题的相同点和不同点．
2.学生讨论，教师总结．
教师提出问题，由学生发言讨论，最后教师总结两种题目的异同点：
解决应用题的基本思想和步骤相同：设、列、解、验、答．
检验方法步骤不同：分式方程解应用题时，既要检验其是否为分式方程的根，又要检验是否符合题意，增根和不合题意的解都要舍去．
由学生自由讨论，激发学生学习的主动性，同时提升学生概括、整体看待问题的能力．
通过归纳总结，既强化了对应用题的解答步骤，又反过来强调了分式方程本身需要验根的特性．
［活动4］
1.教师给出练习，并提出问题：你能不能自己编写一道实际应用问题，需要用分式方程来解决？
2.总结：
a)这节课我们学习了哪些知识？你能说一吗？
1.回顾分式方程的基本解法．
2.学生对所列方程进行演算．
人教版数学八年级上册：分式方程的应用一ppt课件
工作时间（月） 工作效率
甲队
3
1
2
3
乙队
1
1
2
x
工作总量（1）
1 2 1 2x
等量关系：甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”
人教版数学八年级上册：分式方程的 应用一p pt课件
人教版数学八年级上册：分式方程的 应用一p pt课件
新知讲解
解：设乙单独 完成这项工程需要x个月.记工作总量为1，甲的工
新知讲解
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:清题意，并设未知数 2.找:相等关系 3.列:出方程 4.解:这个分式方程 5.验:根 (1)是否是分式方程的根； (2)是否符合题意 6.写:答案
新知应用
例1 抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单 独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小 时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任 务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单 独完成全部工程各需多少小时？
人教版数学八年级上册：分式方程的 应用一p pt课件
课堂总结
关键
列分式方程 解应用题
步骤
找等量关系 审、设、列、解、验、答
注意事项
方程左右两边单位要统一
人教版数学八年级上册：分式方程的 应用一p pt课件
人教版数学八年级上册：分式方程的 应用一p pt课件
感谢聆听
人教版数学八年级上册：分式方程的 应用一p pt课件
解析：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时，根据等 量关系“甲工效×2＋乙工效×甲队单独完成需要时间＝1”列方程．
新知应用
答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时． 解决工程问题的思路方法： 各部分工作量之和等于1， 常从工作量和工作时间上考虑相等关系．
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分式方程应用（2）
——含参数的分式方程应用武汉二中广雅中学张勇
教学目标知识
技能
1．会解含参数的分式方程
2．会分析题意找出等量关系.
方法通过小组讨论、合作、比赛的形式激励学生勇于思考问题，并提出自己的见解，体现翻转课堂中学生的主体性
情感
态度
1.在小组合作中，增加学生的交流，培养学生的合作意识，及团队精神.
2.在解决问题中，让学生了解数学知识来源于生活，同时又为生活服务.
重点利用分式方程解决简单的含参数的行程问题.
难点根据行程问题找等量关系，能能完整、正确的解出该分式方程.
环节教学问题设计
教学活动设计
任务单反馈三个主要问题：
1.过程的不完整和不规范
问：分式方程应用题的基本步骤有哪几步？
2.不会解含参数的分式方程
问：什么是含参数的分式方程？
3，不会分析题意中的等量关系
学生抢答，回顾上节课重点内
容：
或由教师指定几个学生对出现
的问题进行点评，其他同学可以
补充，增强对出现问题的认识
重难点突破突破1：会解含参数的分式方程
例1：
1
1(1)
1
a a
x
+=≠
-
练习（1）
2
0(2)
2
a
a
x x
-=≠
-
（2）
5
(50)
a
a a
x x a
=≠≠
-
且
问：参数字母的限定对方程检验有影响吗？
突破2：会分析等量关系列方程
例2：甲、乙两人同时从A地出发，步行到a
千米的B地，甲比乙每小时多走1千米，
结果比乙早到半个小时，求两人每小时各
走多少千米？若设乙每小时走x千米，则
根据题意可列方程为_________________
突破1由老师和学生共同分析
分式方程的解法的每一步，并由
老师对每一步可能出现的问题
进行点评，加深学生对参数表示
已知数还是未知数的理解
对与分式方程的练习以小组比
赛的形式看哪一组完成的正确
率高，速度快，提高学生的竞争
意识.
突破2由学生分析基本的行程
中数量关系，体会审题中对等量
关系关键词的关注，和体会不同
等量关系对不同的方程形式的
影响.
最后由老师给予总结和点评
分析：1.已知路程时，设速度就要需找时间上的等量关系;
2．审题时，抓住表示等量关系的关键词，
如“和”，“差”，“倍”，“多”，“少”，“比”，
“是”等等，从而确定找什么样的等量关
系来列方程
突破3：完整的解答一个分式方程应用
例3：甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，规则：“用球拍托着乒乓球从同一起跑线起跑直
到同一终点；途中乒乓球掉下时须捡起
并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜”。
结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费
了6秒钟，乙同学则顺利跑完。
事后，
甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为
50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内
时，甲的速度是我的a倍”。
（1）求乙同学比赛完成用时多少？（用a表示）问：设时间，如何列方程？
设速度，如何列方程？
（2）若a=1.2，则哪位同学获胜?
（3）若用时相同，则求a的值. 突破3由学生按照上面总结的方法分析题中的等量关系，并由学生到黑板上进行演示，以便能共同发现可能出现的问题
鼓励学生多视角的寻找等量关系，不要拘泥于方程的形式
老师要在及时巡视，观察其他同学的解题中是否仍然出现上述问题，并及时的给予指导
课后小结（1）牢记分式方程应用的六步：“审”，“设”，
“列”，“解”，“验”，“答”
（2）审题时注意问题类型，通过“关键词”找等
量关系
（3）解含参数的分式方程与一般分式方程方法
相同，注意不要混淆未知数字母和表示已知数
的字母
让学生和老师一起共同回顾这
堂课的重难点，对照自己，感受
自己的问题是否获得解决或者
对含参数的分式方程应用有了
不惧怕的感受，同时对与参数在
数学应用中的功能有一定的体
会和了解
课后练习与思考1．甲乙两地相距S千米，两汽车从甲地开往乙
地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车
比大汽车晚到半小时，已知小汽车与大汽车
的速度为5﹕2，求两汽车各自的速度
2．甲乙两人分别从相距S千米的A、B两地同
时相向而行，甲从A地出发1千米时发现有
东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又
立即从A地向B地行进，这样两人恰好在
AB的中点相遇，已知甲比乙每小时多走v
千米，求两人速度
让基础一般的同学能够模仿与
练习，同时让学有余力的同学获
得能力提升，开阔自己的视野。
及时对学生思考成果做进一步
的查阅与评价。