1.1回归分析

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第1章 1.1(二) 回归分析

2
即解释变量天数对预报变量繁殖细菌个数解释了 99.98%.
研一研·问题探究、课堂更高效
§ 1.1（二）
小结
本课时栏目开关
研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判
^ ^ ^
断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．然后通过图形来分析残差特性，用残差e 1，e 2，„，e
填一填·知识要点、记下疑难点
§ 1.1（二）
本课时栏目开关
1．如果两个变量不呈现线性相关关系，常见的两个变量间的关系还有指数关系、二次函数关系． 2．两个变量间的非线性关系可以通过对解释变量的变换(对数变换、平方变换等)转化为另外两个变量的线性关系． 3．比较不同模型的拟合效果，可以通过残差平方和的大小，
研一研·问题探究、课堂更高效
§ 1.1（二）
由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线 y＝c1ec2x 的周围，于是令 z＝ln y.
x 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
本 z 1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86 3.04 3.29 3.44 3.66 3.86 4.01 课时画出散点图如图所示．栏目开关
＋a
①函数 y＝ebx＋a 的图象：
②处理方法：两边取对数得 ln y＝ln ebx a，即 ln y＝bx＋a.令 z
＋
＝ln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出 b，a.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
§ 1.1（二）
(2)对数曲线型 y＝bln x＋a ①函数 y＝bln x＋a 的图象：

应用回归分析你课程设计

应用回归分析你课程设计一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握回归分析的基本概念、原理和方法，能够运用回归分析解决实际问题。

具体来说，知识目标包括：了解回归分析的定义、原理和基本概念；掌握一元线性回归和多元线性回归的分析方法；理解回归分析在实际应用中的重要性。

技能目标包括：能够运用统计软件进行回归分析；能够解释和分析回归分析的结果；能够根据实际问题选择合适的回归模型。

情感态度价值观目标包括：培养学生的数据分析能力，提高他们对数据的敏感度和批判性思维；使学生认识到回归分析在科学研究和实际生活中的应用价值，激发他们对统计学的兴趣。

二、教学内容本节课的教学内容主要包括回归分析的基本概念、原理和方法。

具体来说，教学大纲如下：1.回归分析的定义和原理1.1 回归分析的定义1.2 回归分析的原理1.3 回归分析的基本概念2.一元线性回归分析2.1 一元线性回归模型的建立2.2 一元线性回归模型的评估2.3 一元线性回归分析的应用3.多元线性回归分析3.1 多元线性回归模型的建立3.2 多元线性回归模型的评估3.3 多元线性回归分析的应用4.回归分析在实际应用中的案例分析三、教学方法为了达到本节课的教学目标，我将采用以下教学方法：1.讲授法：通过讲解回归分析的基本概念、原理和方法，使学生掌握回归分析的理论知识。

2.案例分析法：通过分析实际案例，使学生了解回归分析在实际问题中的应用，培养他们的数据分析能力。

3.实验法：让学生利用统计软件进行回归分析的实验操作，提高他们的实际操作能力。

4.讨论法：鼓励学生积极参与课堂讨论，培养他们的批判性思维和团队协作能力。

四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法的实施，我将准备以下教学资源：1.教材：《应用回归分析》2.参考书：《统计学导论》、《回归分析与应用》3.多媒体资料：PPT课件、回归分析的案例数据集4.实验设备：计算机、统计软件（如SPSS、R）五、教学评估为了全面、客观地评估学生的学习成果，本节课的教学评估将采用多元化的评估方式。

第一章：回归分析的性质

暨南大学经济学院统计系陈文静 10
1.5 回归与相关
回归分析，是对应变量与有关解释变量的依赖关系的研究相关是指两个变量之间线性关联程度的度量，在线性代数中，相关是对共线的度量，这里的相关与这一概念一致。回归分析的目的不仅是研究变量之间的相关性，重要的是，通过模型能揭示经济变量之间的相依性，其目的之一是在给定因变量的条件下，预测应变量所对应的均值
暨南大学经济学院统计系陈文静 16
暨南大学经济学院统计系陈文静 12
1.6 术语与符号
应（因）变量
Dependent variable
被解释变量 Explained variable 被预测变量 Predictand 被回归因子 Regressand 响应变量Response 内生变量 Endogenous
解释变量 Explanatory variable 自变量 Independent variable 预测元 Predictor 回归元 Regressor 控制变量 control variable 外生变量 Exogenous variable
暨南大学经济学院统计系陈文静 14
宏观计量和微观计量
基于时间序列数据建立的计量经济学称为时间序列计量经济学，或宏观计量经济学。而应变量的数据为分支（分类）变量的计量经济学方法，由于这一类模型常用于研究人民的选择行为或决策，故称为微观计量经济学。从方法论来说，计量经济学可分为二大分支，即宏观计量和微观计量。注：有一些变量用来定义分类，如性别、工作或失业，受教育程度是大学毕业或非大学毕业等，这一类变量称为分支变量或分类变量，根据分类的多少，分为二分支或多分支变量。
暨南大学经济学院统计系陈文静 9
1.4 回归与因果关系

2014年人教A版选修1-2课件 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用

150 155 160 165 170 175 180
例1. 从某大学中随机选取 8 名女大学生, 其身高和体重数据如下表所示: 1 2 3 4 5 6 7 8 编号 165 165 157 170 175 165 155 170 身高 64 61 43 59 体重/kg 48 57 50 54 由最小二乘法得求根据女大学生的身高预报体重的回归方程 , 并预报一名 n n n 1 1 身高为 172 cm 的女大学生的体重 . xi , y = yi . x = x y n x y i i n i =1 n i =1 i = 1 由身高预报体重解: b= n ,, 则以身高为自变量 x, 体重为 2 2 得 b ≈0.849, x n x 因变量 y , 画出散点图 . i 70 i =1 a= 85.712. 60 由图看出样本点呈条状 a = y bx . 50 分布, 于是得回归直线的方程为身高和体重有较好的 ˆ40 y = 0.849x 85.712. 30 线性相关关系. ˆ = 60.316. 20 当 x=172 时, y 10 设回归直线为 y=bx+a. 0 ∴ 预计这位大学生的体重大约 60 kg. 150 155 160 165 170 175 180
例1. 从某大学中随机选取 8 名女大学生, 其身高和体重数据如下表所示: 编号身高体重/kg 1 2 3 4 5 6 7 8 165 165 157 170 175 165 155 170 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据女大学生的身高预报体重的回归方程, 并预报一名身高为 172 cm 的女大学生的体重. 解: 由身高预报体重, 则以身高为自变量 x, 体重为因变量 y, 画出散点图. 70 60 由图看出样本点呈条状 50 分布, 身高和体重有较好的 40 30 线性相关关系. 20 10 设回归直线为 y=bx+a. 0

1.1回归分析的基本思想及其初步应用

ˆ y
160
（2）从散点图还可以看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是一条直线上，所以不能用一次函数ｙ＝ｂｘ＋ａ来描述它们之间的关系。这时我们用下面的线性回归模型来描述身高和体重的关系：ｙ＝ｂｘ＋ａ+ｅ其中ａ和ｂ为模型的未知参数，e ˆ 是y与 y之间的误差,通常ｅ称为随机误差。
图表标题 80 60 40 20 0 150 160 170 180
模分析拟
y = f(x)
y = f(x)
1、定义：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随
机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。 1）：相关关系是一种不确定性关系；注 2）：对具有相关关系的两个变量进行
统计分析的方法叫回归分析。 2、现实生活中存在着大量的相关关系。
如：人的身高与年龄；产品的成本与生产数量；
建立回归模型的基本步骤：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量;
（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在线性关系）；是否存在线性关系
（3）由经验确定回归方程的类型（如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）；（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；（5）得出结果后分析残差图是否异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.
n (xi -x)(yi -y) b= i=1 ˆ = n 2 (xi -x) i=1 ˆ a=y-bx. ˆ
x y
i=1 n
n
i i 2
- nxy - nx
2
x
i=1

回归分析的基本思想及其初步应用

相关系数
n
(xi - x)(yi - y)
n
__
xiyi n x y
r=
i=1
i1
n
n
(xi - x)2 (yi - y)2
i=1
i=1
n i1
xi2
n
_
x
2
n i1
yi2
n
_
y
2
相关系数的性质
(1)|r|≤1．
(2)|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0，相关程度越弱．
问题四：结合例1思考：用回归方程预报体重时应注意什么？
1.回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。 2.我们建立的回归方程一般都有时间性。 3.样本取值的范围会影响回归方程的适用范围。 4.不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。
涉及到统计的一些思想：模型适用的总体；模型的时间性；样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确理解。
相关指数 R 2 0.98
因此y关于x的非线性回
^
y e 归方程为
0.272 x3.489
当x=28 C 时，y ≈44 ，指数回归模型中温度解释了98%的产卵数的变化
最好的模型是哪个?
显然，指数函数模型最好！
yˆ (1) e0.272 x3.849 yˆ (2) 0.367 x2 202.543
21 23 25 27 29 32 35 7 11 21 24 66 115 325
（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。
（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？
解：选取气温为解释变量x，产卵数
选变量
350

1.1.1 回归分析

40
50
60
70
80
90
100
加工时间 y
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
(1)y与x是否具有线性相关？
(2)若y与x具有线性相关关系，求回归直线方程
(3)预测加工200个零件需花费多少时间？
分析：这是一个回归分析问题，应先进行线性相关检验或作散点图来判断x与y是否具有线性相关才可以求解后面的问题。
作散点图如下：不难看出x,y成线性相关。
150 100 系列1 50 0 0 50 100 150
解（1）列出下表：
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
yi
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
xiyi
620
1360
2250
3240
4450
ˆ b
(x
i 1 n
n
i
X )( y i Y )
2
(Xi X )
ˆ ˆ Y bX a
i 1
例如：对一作直线运动的质点的运动过程作了8次观测，得到下表，试估计x=9s时的位置y的值。
时刻x/s
1
2
3
4
5
6
7
8
位置观测值 y/cm
5.54
7.52
10.02
11.73
思考：在时刻x=9s时，质点运动位置一定是22.6287cm吗？

第1章 1.1 回归分析

§1 回归分析 1.1 回归分析学习目标 1.会建立线性回归模型分析两个变量间的相关关系.2.掌握建立线性回归模型的步骤．知识点线性回归方程思考 (1)什么叫回归分析？(2)回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？答案 (1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法．(2)不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食、是否喜欢运动等．梳理 (1)平均值的符号表示假设样本点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，在统计上，用x 表示一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均值，即x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n ＝1n∑i ＝1nx i ；用y 表示一组数据y 1，y 2，…，y n 的平均值，即y ＝y 1＋y 2＋…＋y n n ＝1n∑i ＝1ny i .(2)参数a ，b 的求法b ＝l xy l xx＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ＝y －b x .(3)样本点的中心(x ，y )，回归直线过样本点的中心．1．现实生活中的两个变量要么是函数关系，要么是相关关系．( × ) 2．散点图能准确判定两个变量是否具有线性相关关系．( × ) 3．回归直线不一定过样本中的点，但一定过样本点的中心．( √)类型一概念的理解和判断例1 有下列说法：①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法； ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示； ③通过回归方程y ＝bx ＋a 可以估计观测变量的取值和变化趋势；④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 考点回归分析题点回归分析的概念和意义答案 C解析 ①反映的正是最小二乘法思想，正确；②反映的是画散点图的作用，正确；③反映的是回归方程y ＝bx ＋a 的作用，正确；④不正确，在求回归方程之前必须进行相关性检验，以体现两变量的关系．跟踪训练1 下列变量关系是相关关系的是( ) ①学生的学习时间与学习成绩之间的关系； ②某家庭的收入与支出之间的关系； ③学生的身高与视力之间的关系； ④球的体积与半径之间的关系． A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②④考点回归分析题点回归分析的概念和意义答案 A解析对①，学习时间影响学生的学习成绩，但是学生学习的刻苦程度、学生的学习方法、教师的授课水平等其他因素也影响学生的成绩，因此学生的学习时间与学习成绩之间具有相关关系；对②，家庭收入影响支出，但支出除受收入影响外，还受其他因素影响，故它们是相关关系；对③，身高与视力之间互不影响，没有任何关系；对④，球的体积由半径决定，是一种确定性关系，故它们是函数关系．类型二回归分析命题角度1 求线性回归方程例2 某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据：(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．⎝⎛⎭⎪⎪⎫相关公式：b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i －n x2，a ＝y －b x考点线性回归方程题点求线性回归方程解 (1)如图：(2)∑i ＝14x i y i ＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x ＝6＋8＋10＋124＝9，y ＝2＋3＋5＋64＝4，∑i ＝14x 2i ＝62＋82＋102＋122＝344，b ＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7，a ＝y －b x ＝4－0.7×9＝－2.3，故线性回归方程为y ＝0.7x －2.3.(3)由(2)中线性回归方程可知，当x ＝9时，y ＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.反思与感悟 (1)求线性回归方程的基本步骤①列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系． ②计算：x ，y，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1n y 2i ，∑i ＝1nx i y i . ③代入公式求出y ＝bx ＋a 中参数b ，a 的值． ④写出线性回归方程并对实际问题作出估计．(2)需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义．跟踪训练2 已知某地区4～10岁女孩各自的平均身高数据如下：求y 对x 的线性回归方程．(保留两位小数) 考点线性回归方程题点求线性回归方程解制表b ＝∑i ＝17x i y i －7x y∑i ＝17x 2i －7x2＝5 798－7×7×8097371－7×72≈4.82， a ＝y －b x ＝8097－4.82×7≈81.83.所以线性回归方程为y ＝81.83＋4.82x . 命题角度2 线性回归分析与回归模型构建例3 某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x (x 取整数)(元)与日销售量y (台)之间有如下关系：(1)画出散点图，并判断y 与x 是否具有线性相关关系； (2)求日销售量y 对销售单价x 的线性回归方程；(3)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据(2)写出P 关于x 的函数关系式，并预测当销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润．考点线性回归分析题点回归直线方程的应用解 (1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．(2)因为x ＝14×(35＋40＋45＋50)＝42.5，y ＝14×(56＋41＋28＋11)＝34.∑i ＝14x i y i ＝35×56＋40×41＋45×28＋50×11＝5 410.∑i ＝14x 2i ＝352＋402＋452＋502＝7 350.所以b ＝∑i ＝14x i y i －4x y∑i ＝14x 2i －4x2＝5 410－4×42.5×347 350－4×42.52＝－370125≈－3.a ＝y －b x ＝34－(－3)×42.5＝161.5. 所以线性回归方程为y ＝161.5－3x .(3)依题意，有P ＝(161.5－3x )(x －30)＝－3x 2＋251.5x －4 845＝－3⎝⎛⎭⎫x －251.562＋251.5212－4 845. 所以当x ＝251.56≈42时，P 有最大值，约为426元．即预测当销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．反思与感悟解答线性回归题目的关键是首先通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求线性回归方程的公式求解线性回归方程，在此基础上，借助线性回归方程对实际问题进行分析．跟踪训练3 一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表：(1)作出散点图；(2)如果y 与x 线性相关，求出线性回归方程；(3)若在实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围？考点线性回归分析题点回归直线方程的应用解 (1)根据表中的数据画出散点图如图．(2)设线性回归方程为：y ＝bx ＋a ，并列表如下：x ＝12.5，y ＝8.25，∑i ＝14x 2i ＝660，∑i ＝14x i y i ＝438，所以b ＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.73，a ＝8.25－0.73×12.5＝－0.875，所以y ＝0.73x －0.875.(3)令0.73x －0.875≤10，解得x <14.9≈15，故机器的运转速度应控制在15转/秒内.1．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其线性回归方程可能是( ) A ．y ＝－10x ＋200 B ．y ＝10x ＋200 C ．y ＝－10x －200 D ．y ＝10x －200考点线性回归分析题点线性回归方程的应用答案 A解析因为y 与x 负相关，所以排除B ，D ，又因为C 项中x >0时，y <0不合题意，所以C 错．2．如图四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是()A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④ 考点回归分析题点回归分析的概念和意义答案 B解析由图易知①③两个图中样本点在一条直线附近，因此适合用线性回归模型． 3．下表是x 和y 之间的一组数据，则y 关于x 的回归直线必过点( )A.(2,3) B ．(1.5,4) C ．(2.5,4) D ．(2.5,5)考点线性回归方程题点样本点中心的应用答案 C解析回归直线必过样本点中心(x ，y )，即(2.5,4)．4．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x (单位：千箱)与单位成本y (单位：元)的资料进行线性回归分析，结果如下：x ＝72，y ＝71，∑i ＝16x 2i＝79，∑i ＝16x i y i ＝1 481，则销量每增加1 000箱，单位成本下降________元．考点线性回归分析题点线性回归方程的应用答案 1.818 2解析由题意知，b ＝1 481－6×72×7179－6×⎝⎛⎭⎫722≈－1.818 2，a ＝71－(－1.818 2)×72≈77.36，∴y 关与x 的线性回归方程为 y ＝－1.818 2x ＋77.36，即销量每增加1千箱，单位成本下降1.818 2元． 5．已知x ，y 之间的一组数据如下表：(1)分别计算：x ，y ，x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3＋x 4y 4，x 21＋x 22＋x 23＋x 24；(2)已知变量x 与y 线性相关，求出线性回归方程．考点线性回归方程题点求线性回归方程解 (1)x ＝0＋1＋2＋34＝1.5，y ＝1＋3＋5＋74＝4，x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3＋x 4y 4＝0×1＋1×3＋2×5＋3×7＝34，x 21＋x 22＋x 23＋x 24＝02＋12＋22＋32＝14.(2)b ＝34－4×1.5×414－4×1.52＝2，a ＝y －b x ＝4－2×1.5＝1，故线性回归方程为y ＝2x ＋1.回归分析的步骤(1)确定研究对象，明确哪个变量是自变量，哪个变量是因变量．(2)画出确定好的因变量关于自变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)． (3)由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系，则选用线性回归方程y ＝bx ＋a )． (4)按一定规则估计回归方程中的参数．一、选择题1．对变量x ，y 由观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u ，v 由观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断( )A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关考点回归分析题点回归分析的概念和意义答案 C解析由题图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关；由题图(2)可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．2．某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel 软件计算得y＝0.577x－0.448(x为人的年龄，y为人体脂肪含量)．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是()A．年龄为37岁的人体内脂肪含量为20.90%B．年龄为37岁的人体内脂肪含量约为21.01%C．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量约为20.90%D．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量约为31.5%考点线性回归分析题点线性回归方程的应用答案 C解析当x＝37时，y＝0.577×37－0.448＝20.901≈20.90，由此估计，年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量约为20.90%.3．已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是() A．x与y负相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y正相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关考点回归分析题点回归分析的概念和意义答案 A解析由正相关和负相关的定义知A正确．4．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示：若x，y线性相关，线性回归方程为y＝0.7x＋a，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量约为() A．8.0万盒B．8.1万盒C．8.9万盒D．8.6万盒考点线性回归分析题点线性回归方程的应用答案 B解析回归直线一定过样本点中心．由已知数据可得x＝3，y＝6，代入回归方程，可得a ＝y－0.7x＝3.9，即线性回归方程为y＝0.7x＋3.9.把x＝6代入，可近似得y＝8.1，故选B. 5．工人月工资y(单位：元)关于劳动生产率x(单位：千元)的回归方程为y＝650＋80x，下列说法中正确的个数是()①劳动生产率为1 000元时，工资约为730元；②劳动生产率提高1 000元，则工资提高80元；③劳动生产率提高1 000元，则工资提高730元；④当月工资为810元时，劳动生产率约为2 000元．A．1 B．2 C．3 D．4考点线性回归分析题点线性回归方程的应用答案 C解析代入方程计算可判断①②④正确．6．某化工厂为预测某产品的回收率y ，而要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了8对观测值，计算得∑i ＝18x i ＝52，∑i ＝18y i ＝228，∑i ＝18x 2i ＝478，∑i ＝18x i y i ＝1 849，则y 与x 的线性回归方程是( ) A ．y ＝11.47＋2.62x B ．y ＝－11.47＋2.62x C ．y ＝2.62＋11.47x D ．y ＝11.47－2.62x考点线性回归方程题点求线性回归方程答案 A解析由题中数据，得x ＝6.5，y ＝28.5，∴b ＝∑i ＝18x i y i －8x y∑i ＝18x 2i －8x2＝1 849－8×6.5×28.5478－8×6.52＝367140≈2.62，a ＝y －b x ≈28.5－2.62×6.5＝11.47，∴y 对x 的线性回归方程是 y ＝2.62x ＋11.47，故选A.7．为研究变量x 和y 的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线l 1和l 2，两人计算知x 相同，y 也相同，下列正确的是( ) A ．l 1与l 2一定重合 B ．l 1与l 2一定平行C ．l 1与l 2相交于点(x ，y )D ．无法判断l 1和l 2是否相交考点回归直线方程题点样本点中心的应用答案 C解析因为两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均值都是x ，对变量y 的观测数据的平均值都是y ，所以两组数据的样本点中心都是(x ，y )，因为回归直线经过样本点的中心，所以l 1和l 2都过(x ，y )．二、填空题8．某校小卖部为了了解奶茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的奶茶杯数与当天的气温，得到下表中的数据，并根据该样本数据用最小二乘法建立了线性回归方程y ＝－2x ＋60，则样本数据中污损的数据y 0应为________.考点线性回归分析题点线性回归方程的应用答案 64解析由表中数据易知x ＝10，代入y ＝－2x ＋60中，得y ＝40.由y 0＋34＋38＋244＝40，得y 0＝64.9．调查某移动公司的三名推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表所示.由表中数据算出线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ＝726.若该公司第四名推销员的工作年限为6年，则估计他的年推销金额约为________万元．考点线性回归分析题点线性回归方程的应用答案 3解析 x ＝6，y ＝3，由回归直线经过样本点中心可知，该推销员年推销金额约为3万元． 10．某人对一地区人均工资x (千元)与该地区人均消费y (千元)进行统计调查，发现y 与x 有相关关系，并得到线性回归方程y ＝0.66x ＋1.562.若该地区的人均消费水平为7.675千元，则估计该地区的人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．(精确到0.1%) 考点线性回归分析题点线性回归方程的应用答案 82.9%解析当y ＝7.675时，x ≈9.262，所以该地区的人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.6759.262×100%≈82.9%.11．某数学老师身高为176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm. 考点线性回归分析题点线性回归方程的应用答案 183.5解析记从爷爷起向下各代依次为1,2,3,4,5，用变量x 表示，其中5代表孙子．各代人的身高为变量y ，则有计算知x ＝2.5，y ＝175.25.由回归系数公式得b ＝3.3，a ＝y －b x ＝175.25－3.3×2.5＝167，∴线性回归方程为y ＝3.3x ＋167，当x ＝5时，y ＝3.3×5＋167＝183.5，故预测其孙子的身高为183.5 cm. 三、解答题12．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ＝y －b x .考点线性回归方程题点线性回归方程的应用解 (1)由题意，n ＝10，∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∴x ＝8010＝8，y ＝2010＝2.又∑i ＝110x 2i －10x 2＝720－10×82＝80，∑i ＝110x i y i －10x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b ＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x2＝2480＝0.3，a ＝y －b x ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求线性回归方程为y ＝0.3 x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ＝0.3＞0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄约为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 13．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：(1)求y 关于t 的回归方程y ＝bt ＋a ；(2)用所求回归方程预测该地区2019年(t ＝10)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ＝bt ＋a 中，b ＝∑i ＝1nt i y i －n t y∑i ＝1nt 2i －n t2，a ＝y －b t .考点线性回归方程题点求线性回归方程解 (1)列表计算如下：此时n ＝5，t ＝1n ∑i ＝1n t i＝155＝3，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝365＝7.2.又l tt ＝∑i ＝1nt 2i －nt 2＝55－5×32＝10，l ty ＝∑i ＝1nt i y i －n t y ＝120－5×3×7.2＝12，从而b ＝l ty l tt ＝1210＝1.2，a ＝y －b t ＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为y ＝1.2t ＋3.6.(2)将t ＝10代入回归方程，可预测该地区2019年的人民币储蓄存款为y ＝1.2×10＋3.6＝15.6(千亿元)．四、探究与拓展14．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求线性回归方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本) 解 (1)x ＝8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋96＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.∵b ＝－20，a ＝y －b x ， ∴a ＝80＋20×8.5＝250， ∴线性回归方程为y ＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，则L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20⎝⎛⎭⎫x －3342＋361.25， ∴该产品的单价应定为334元，才使工厂获得的利润最大．。

回归知识点总结归纳

回归知识点总结归纳随着社会的发展和科技的进步，人们对于回归知识点的重视日益增加。

回归分析是一种用来探索变量之间关系的统计方法，它可以帮助我们理解变量之间的关系，并对未来的趋势进行预测。

在本文中，我们将对回归知识点进行总结归纳，以便读者更好地掌握这一重要的统计学方法。

一、回归分析的基本概念1.1 回归分析的定义回归分析是指通过确定两个或多个变量之间的数理关系，来预测一个或多个变量的方法。

在回归分析中，通常将要预测的变量称为因变量，而用来预测的变量称为自变量。

1.2 回归分析的类型回归分析可以分为线性回归分析和非线性回归分析两种类型。

其中，线性回归分析是指因变量和自变量之间的关系是线性的，而非线性回归分析则是指因变量和自变量之间的关系是非线性的。

1.3 回归分析的应用领域回归分析广泛应用于各个学科领域，如经济学、金融学、社会科学、生物学等。

它可以帮助研究者了解变量之间的关系，并为决策提供依据。

二、线性回归分析2.1 简单线性回归分析简单线性回归分析是指只包含一个自变量和一个因变量的回归分析方法。

其数学表达式可以表示为Y = α + βX + ε，其中Y表示因变量，X表示自变量，α和β分别为截距和斜率，ε为误差。

2.2 多元线性回归分析多元线性回归分析是指包含两个或多个自变量和一个因变量的回归分析方法。

其数学表达式可以表示为Y = α + β1X1 + β2X2 + … + βnXn + ε，其中X1、X2、…、Xn为自变量，β1、β2、…、βn为自变量的系数。

2.3 线性回归分析的模型拟合线性回归分析的模型拟合是指通过最小二乘法来拟合模型，使得因变量Y和自变量X之间的残差平方和最小化。

这样可以得到最优的模型参数估计值。

2.4 线性回归分析的检验线性回归分析的检验包括回归系数的显著性检验、模型拟合度的检验、残差的独立性检验等。

这些检验可以帮助我们判断模型的有效性和可靠性。

三、非线性回归分析3.1 非线性回归分析模型非线性回归分析模型包括指数模型、对数模型、幂函数模型等。

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用课件新人教A版选修1-2

第一章统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用
1.回归分析的含义是什么?有哪些基本步骤?线性问题引航回归模型怎样用表达式表示?产生随机误差的原
因是什么?
2.回归方程中 a 与 b 怎样求解?
3.刻画回归效果的方式有哪些?
1.回归分析
相关关系的两个变量进行统计分析的一回归分析是对具有_________
画出两个变量的散点图种常用方法,回归分析的基本步骤是_____________________, 求回归方程并用回归方程进行预报. ___________,
2.线性回归模型
(x
i 1 n
n
i
x) （yi y）
2
i (1)在线性回归方程 y = a + b x中, b =_______________, i 1
【延伸探究】题(3)中③在条件不变的情况下,画出残差图. 【解析】如图所示.
【方法技巧】
1.求线性回归方程的三个步骤
(1)算:根据数据计算 x , y , x , x i yi .
i 1 2 i i 1
n
n
(2)代:代入公式求 b , a 的具体数值.
(3)求:由上面的计算结果求方程 y = b x+ a .
则模型(1)的拟合效果不如模型(2).
【知识拓展】
1.正确认识预报变量的变化和随机误差的关系
预报变量的变化程度可以分解为解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和,其中这个变化与解释变量和随机误差 (即残差平方和)有关的程度是由相关指数R2的值决定的. 2.解释变量和随机误差的关系在线性回归模型中,R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率.R2越接近于1,表示解释变量和预报变量的线性相关性越强;

1.1回归分析的基本思想及其初步应用(1)

1
165 48
2
165 57
3
157 50
4
170 54
5
175 64
6
165 61
7
155 43
8
170 59
（1）画散点图，从图中发现身高与体重之间的关系；（2）求根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程；（3）并预报一名身高为172ｃｍ的女大学生的体重；（4）计算相关系数r。
例1 从某大学中随机选出8名女大学生，其身高和体重数据如下表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高体重
165 48
165 57
157 50
170 54
175 64
165 61
155 43
170 59
（1）画散点图，从图中发现身高与体重之间的关系；（2）求根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程；（3）并预报一名身高为172ｃｍ的女大学生的体重。
n
x
i 1
nx
2
,
1 n x xi n i 1

1 n y yi n i 1
a y b x
y bxa 从而得到回归直线：

不能用一次函数ｙ＝ｂｘ＋ａ严格的刻画它们之间的关系。
用线性回归模型ｙ＝ｂｘ＋ａ+ｅ来描述身高和体重的关系：其中ａ和ｂ为模型的未知参数。ｅ：称为随机误差ｘ（身高）：解释变量ｙ（体重）：预报变量产生随机误差项e的原因是什么？
原因：饮食习惯、运动影响，没有人知道身高和体重之间的真正关系是什么，现在只是利用线性回归方程来近似这种关系。
解释变量x（身高）预报变量ｙ（体重）随机误差ｅｅ是一个随机变量，一般假定它的均值为０，也就是ｙ的期望值是ｘ的一次函数。在实际问题中，线性回归模型适用的范围要比一次函数大得多。

回归分析知识点总结

回归分析知识点总结一、回归分析的基本概念1.1 回归分析的概念回归分析是一种通过数学模型建立自变量与因变量之间关系的方法。

该方法可以用来预测数据、解释变量之间的关系以及发现隐藏的模式。

1.2 回归分析的类型回归分析主要可以分为线性回归和非线性回归两种类型。

线性回归是指因变量和自变量之间的关系是线性的，而非线性回归则是指因变量和自变量之间的关系是非线性的。

1.3 回归分析的应用回归分析广泛应用于各个领域，例如经济学、金融学、生物学、医学等。

在实际应用中，回归分析可以用于市场预测、风险管理、医疗诊断、环境监测等方面。

二、回归分析的基本假设2.1 线性关系假设线性回归分析假设因变量和自变量之间的关系是线性的，即因变量的变化是由自变量的变化引起的。

2.2 正态分布假设回归分析假设误差项服从正态分布，即残差在各个预测点上是独立同分布的。

2.3 同方差假设回归分析假设误差项的方差是恒定的，即误差项的方差在不同的自变量取值上是相同的。

2.4 独立性假设回归分析假设自变量和误差项之间是独立的，即自变量的变化不受误差项的影响。

三、回归分析的模型建立3.1 简单线性回归模型简单线性回归模型是最基础的回归分析模型，它只包含一个自变量和一个因变量，并且自变量与因变量之间的关系是线性的。

3.2 多元线性回归模型多元线性回归模型包含多个自变量和一个因变量，它可以更好地描述多个因素对因变量的影响。

3.3 非线性回归模型当因变量和自变量之间的关系不是线性的时候，可以使用非线性回归模型对其进行建模。

非线性回归模型可以更好地捕捉因变量和自变量之间的复杂关系。

四、回归分析的模型诊断4.1 线性回归模型的拟合优度拟合优度是评价线性回归模型预测能力的指标，它可以用来衡量模型对数据的拟合程度。

4.2 回归系数的显著性检验在回归分析中，通常需要对回归系数进行显著性检验，以确定自变量对因变量的影响是否显著。

4.3 多重共线性检验多重共线性是指自变量之间存在高度相关性，这可能导致回归系数估计不准确。

第1章 1.1(一)回归分析

^
^
^
^
研一研·问题探究、课堂更高效
§ 1.1（一）
思考
根据前面得到的回归方程，能否预测一名美国女大学生
的体重？建立回归模型后能否一劳永逸，在若干年后还可以
本课时栏目开关
使用，或者适用于多年以前的女大学生体重预测？
答在使用回归方程进行预报时要注意： (1)回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；
x2 i 900 1 089 1 225 1 369 1 521 1 936 2 116 2 500
yi2 900 1 156 1 369 1 521 1 764 2 116 2 304 2 601
8 i＝1
xiyi 900 1 122 1 295 1 443 1 638 2 024 2 208 2 550
∑xiyi－8 x y ^ i＝1 ∴b ＝ 8 ≈1.041 5， 2 ∑x2 － 8 x i
作残差图如下图所示，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．
研一研·问题探究、课堂更高效
§ 1.1（一）
(4)计算相关指数 R2 计算相关指数 R2≈0.985 5. 说明了该运动员的成绩的差异有
本课时栏目开关
§ 1.1（一）
【学习要求】 1．了解随机误差、残差、残差图的概念． 2．会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果． 3．掌握建立线性回归模型的步骤．
本课时栏目开关
【学法指导】通过对典型案例的讨论，了解回归分析的基本思路、方法及其初步应用．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．学习中应该通过生活中详实事例理解回归分析的方法，其步骤为通过散点图，直观地了解两个变量的关系，然后，通过最小二乘法建立回归模型，最后通过分析残差、相关指数等，评价模型的好坏．重点是了解回归分析的思想方法，对其理论基础不做要求，避免单纯记忆和机械套用公式进行计算.

层次回归模型

层次回归模型层次回归模型层次回归模型（Hierarchical Regression Model）是一种多元回归分析方法，它可以用于探究某个因变量与若干自变量之间的关系，同时考虑到这些自变量之间的相互作用和影响。

在实际应用中，层次回归模型可以用于解决多种复杂问题，如社会科学领域中的心理学、教育学、管理学等。

一、基本概念1.1 回归分析回归分析是一种统计学方法，它可以研究两个或多个变量之间的关系。

其中一个变量被称为因变量（Dependent Variable），另一个或几个变量被称为自变量（Independent Variable）。

通过回归分析，我们可以得到因变量与自变量之间的函数关系式，从而预测因变量在不同自变量取值下的数值。

1.2 层次结构层次结构是指由若干个子系统组成的一个系统整体。

在层次结构中，每个子系统都有其独立性和相对封闭性，并且与其他子系统之间存在着相互作用和依赖关系。

例如，在教育管理领域中，学校可以看作是一个层次结构，其中包含了多个子系统，如教师、学生、课程等。

这些子系统之间存在着相互作用和依赖关系，从而影响了整个学校的运行和发展。

1.3 层次回归模型层次回归模型是指在回归分析中考虑到自变量之间的相互作用和影响，并将其看作一个层次结构进行建模的方法。

在层次回归模型中，自变量被分为若干个层次，每个层次中的自变量具有一定的相似性和联系。

通过建立层次回归模型，我们可以更准确地探究因变量与自变量之间的关系，并且可以考虑到不同层次自变量之间的相互作用和影响。

二、建立过程2.1 确定因变量和自变量首先需要确定研究对象中所涉及的因变量和自变量。

其中因变量是我们要研究或预测的目标，而自变量则是我们认为可能会对因变量产生影响的因素。

2.2 分析数据特征在确定因变量和自变量后，需要对数据进行分析，了解其特征。

这包括数据类型、数据范围、数据分布等。

通过对数据的分析，可以帮助我们选择合适的回归模型，并且可以为后续的数据处理和建模提供参考。

1.1.1《回归分析》课件(新人教版A选修1-2) 公开课一等奖课件

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附赠中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
y a bx
其中a+bx是确定性函数，是随机误差
注：产生的主要原因：
(1)所用确定性函数不恰当； (2)忽略了某些因素的影响； (3)观测误差。
对于线性回归模型
y a bx
应注意以下两个问题： I 模型的合理性； II 在模型合理的情况下，如何估计a,b.
8
8 4.50 21.06 13.08 168.5 64 560.1 204
3、回归分析的基本步骤:
画散点图
求回归方程
预报、决策
1. 2. 3. 4.
数学３——统计画散点图求出b,a的值。求回归直线方程用回归直线方程解决应用问题
思考：在时刻x=9s时，质点运动位置一定是22.6287cm吗？ 4、线性回归模型
选修1-2
（一）
必修3(第二章统计)知识结构
收集数据
(随机抽样)
整理、分析数据估计、推断用样本估计总体变量间的相关关系
简单随机抽样
分层抽样
系统抽样
用样本的频率分布估计总体分布
用样本数字特征估计总体数字特征

第3章 1.1 回归分析 1.2 相关系数 1.3 可线性化的回归分析

§1回归分析1.1回归分析1.2相关系数1.3可线性化的回归分析1．了解回归分析的思想和方法．(重点)2．掌握相关系数的计算和判断线性相关的方法．(重点)3．了解常见的非线性回归模型转化为线性回归模型的方法．(难点)[基础·初探]教材整理1回归分析阅读教材P73～P75，完成下列问题．设变量y对x的线性回归方程为y＝a＋bx，由最小二乘法知系数的计算公式为：b＝l xyl xx＝∑i＝1n(x i－x)(y i－y)∑i＝1n(x i－x)2＝∑i＝1nx i y i－n x y∑i＝1nx2i－n x2，a＝y－b x.教材整理2相关系数阅读教材P76～P78，完成下列问题．1．相关系数r的计算假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，则变量间线性相关系数r＝l xyl xx l yy＝∑i＝1n(x i－x)(y i－y)∑i＝1n(x i－x)2∑i＝1n(y i－y)2＝∑i＝1nx i y i－n x y∑i＝1nx2i－n x2∑i＝1ny2i－n y2.2．相关系数r与线性相关程度的关系(1)r的取值范围为[－1,1]；(2)|r|值越大，误差Q越小，变量之间的线性相关程度越高；(3)|r|值越接近0，误差Q越大，变量之间的线性相关程度越低．3．相关性的分类(1)当r>0时，两个变量正相关；(2)当r<0时，两个变量负相关；(3)当r＝0时，两个变量线性不相关．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个变量的相关系数r＞0，则两个变量正相关．()(2)两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强．()(3)若两个变量负相关，那么其回归直线的斜率为负．()【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理3可线性化的回归分析阅读教材P79～P82，完成下列问题．1．非线性回归分析对不具有线性相关关系的两个变量做统计分析，通过变量代换，转化为线性回归模型．2．非线性回归方程A.y ＝2＋13x B ．y ＝2e x C ．y ＝2e 1xD ．y ＝2＋ln x【解析】分别将x 的值代入解析式判断知满足y ＝2＋ln x . 【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：[小组合作型]i i 3-1-1①，对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断()图3-1-1A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关(2)两个变量x，y与其线性相关系数r有下列说法：①若r＞0，则x增大时，y也随之相应增大；②若r＜0，则x增大时，y也相应增大；③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上，其中正确的有()A．①②B．②③C．①③D．①②③(3)有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和其身体健康情况；④正方形的边长和面积；⑤汽车的重量和百公里耗油量．其中两个变量成正相关的是A．①③B．②④C．②⑤D．④⑤【精彩点拨】可借助于线性相关概念及性质作出判断．【自主解答】(1)由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关，故选C.(2)根据两个变量的相关性与其相关系数r之间的关系知，①③正确，②错误，故选C.(3)其中①③成负相关关系，②⑤成正相关关系，④成函数关系，故选C.【答案】(1)C(2)C(3)C1．线性相关系数是从数值上来判断变量间的线性相关程度，是定量的方法．与散点图相比较，线性相关系数要精细得多，需要注意的是线性相关系数r的绝对值小，只是说明线性相关程度低，但不一定不相关，可能是非线性相关．2．利用相关系数r 来检验线性相关显著性水平时，通常与0.75作比较，若r >0.75，则线性相关较为显著，否则为不显著．[再练一题]1．下列两变量中具有相关关系的是( )【导学号：62690052】A ．正方体的体积与边长B ．人的身高与体重C ．匀速行驶车辆的行驶距离与时间D ．球的半径与体积【解析】选项A 中正方体的体积为边长的立方，有固定的函数关系；选项C 中匀速行驶车辆的行驶距离与时间成正比，也是函数关系；选项D 中球的体积是43π与半径的立方相乘，有固定函数关系．只有选项B 中人的身高与体重具有相关关系．【答案】 Bx (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：(1)(2)气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计该商场下个月毛衣的销售量．【精彩点拨】 (1)可利用公式求解； (2)把月平均气温代入回归方程求解．【自主解答】 (1)由散点图易判断y 与x 具有线性相关关系．x＝(17＋13＋8＋2)÷4＝10，y＝(24＋33＋40＋55)÷4＝38，∑4i＝1x i y i＝17×24＋13×33＋8×40＋2×55＝1 267，∑4i＝1x2i＝526，b＝∑4i＝1x i y i－4x y ∑4i＝1x2i－4x2＝1 267－4×10×38526－4×102≈－2.01，a＝y－b x≈38－(－2.01)×10＝58.1，所以线性回归方程为y＝－2.0x＋58.1.(2)气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量为y＝－2.0 x＋58.1＝－2.0×6＋58.1≈46(件)．1．回归分析是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，因此，在作回归分析时，要先判断这两个变量是否相关，利用散点图可直观地判断两个变量是否相关．2．利用回归直线，我们可以进行预测．若回归直线方程y＝a＋bx，则x＝x0处的估计值为y0＝a＋bx0.3．线性回归方程中的截距a和斜率b都是通过样本估计而得到的，存在着误差，这种误差可能导致预报结果的偏差，所以由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值．4．回归直线必过样本点的中心点．[再练一题]2．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．【解】(1)如图：(2)∑4i＝1x i y i＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x＝6＋8＋10＋124＝9，y＝2＋3＋5＋64＝4，∑4i＝1x2i＝62＋82＋102＋122＝344，b＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7，a＝y－b x＝4－0.7×9＝－2.3，故线性回归方程为y＝0.7x－2.3.(3)由(2)中线性回归方程得当x＝9时，y＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.[探究共研型]探究1【提示】非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．其一般步骤为：探究2已知x和y之间的一组数据，则下列四个函数中，模拟效果最好的为哪一个？①y＝32③y＝4x; ④y＝x2.【提示】观察散点图中样本点的分布规律可判断样本点分布在曲线y＝3×2x－1附近．所以模拟效果最好的为①.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：(2)如果一名在校男生身高为168 cm，预测他的体重约为多少？【精彩点拨】先由散点图确定相应的拟合模型，再通过对数变换将非线性相关转化为线性相关的两个变量来求解．【自主解答】(1)根据表中的数据画出散点图，如下：由图看出，这些点分布在某条指数型函数曲线y＝c1e c2x的周围，于是令z＝ln y，列表如下：作出散点图，如下：由表中数据可求得z与x之间的回归直线方程为z^＝0.693＋0.020x，则有y ＝e0.693＋0.020x.(2)由(1)知，当x＝168时，y＝e0.693＋0.020×168≈57.57，所以在校男生身高为168 cm，预测他的体重约为57.57 kg.两个变量不具有线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型，如y＝c1e c2x，我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系，令z＝ln y，则变换后样本点应该分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围.[再练一题]3．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数据如下表：【解】作出变量y与x之间的散点图如图所示．由图可知变量y与x近似地呈反比例函数关系．设y＝kx，令t＝1x，则y＝kt.由y与x的数据表可得y与t的数据表：作出y 与t 的散点图如图所示．由图可知y 与t 呈近似的线性相关关系．又t ＝1.55，y ＝7.2，∑i ＝15t i y i ＝94.25，∑i ＝15t 2i ＝21.312 5，b ＝∑i ＝15t i y i －5t y∑i ＝15t 2i －5t 2＝94.25－5×1.55×7.221.312 5－5×1.552≈4.134 4，a ＝y －b t ＝7.2－4.134 4×1.55≈0.8， ∴y ＝4.134 4t ＋0.8.所以y 与x 的回归方程是y ＝4.134 4x＋0.8.[构建·体系]1．下列结论正确的是( )①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【解析】函数关系和相关关系的区别是前者是确定性关系，后者是非确定性关系，故①②正确；回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，故③错误，④正确．【答案】 C2．下表是x 和y 之间的一组数据，则y 关于x 的线性回归方程必过点( )C．(2.5,4) D．(2.5,5)【解析】线性回归方程必过样本点的中心(x，y)，即(2.5,4)，故选C.【答案】 C3．对具有线性相关关系的变量x和y，由测得的一组数据求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条回归直线的方程为________.【导学号：62690053】【解析】由题意知x＝2，y＝3，b＝6.5，所以a＝y－b x＝3－6.5×2＝－10，即回归直线的方程为y＝－10＋6.5x.【答案】y＝－10＋6.5x4．部门所属的10个工业企业生产性固定资产价值与工业增加值资料如下表(单位：百万元)：【解析】x＝3＋3＋5＋6＋6＋7＋8＋9＋9＋1010＝6.6.y＝15＋17＋25＋28＋30＋36＋37＋42＋40＋4510＝31.5.∴r＝∑10i＝1(x i－x)(y i－y)∑10i＝1(x i－x)2∑10i＝1(y i－y)2＝0.991 8.【答案】0.991 85．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)【解】 (1)x ＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5， y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80， ∵b ＝－20，a ＝y －b x ， ∴a ＝80＋20×8.5＝250， ∴回归直线方程为y ＝－20x ＋250.(2)设工厂获得的利润为L 元，则L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25， ∴该产品的单价应定为334元时，工厂获得的利润最大．我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)。