九年级数学椭圆的几何性质教案
《椭圆的几何性质》说课教案
《椭圆的几何性质》说课教案一、教学背景分析（一）教材分析1、教材地位和作用解析几何的基本思想是：利用代数方法来研究几何问题。
而由曲线的方程来研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，正是这一思想的直接体现。
本节课是在学习了椭圆定义及其标准方程之后，由方程来研究椭圆的几何性质，这种研究方式学生是第一次遇到，因此不仅要注意对研究结果的理解和运用，而且还要注意对研究方法的学习。
因为掌握这种研究方法就为后面学习双曲线，抛物线及进一步学习其它知识奠定了基础，所以本节课具有举足轻重的地位，起着承上启下的桥梁作用。
2、教学结构的调整本节课教材安排了两课时，将椭圆的范围、顶点、对称性及离心率安排一课时，这样课堂容量较大，考虑到学生实际，我将本节课分为三课时，第一课时只研究椭圆的范围、顶点及对称性，目的是使学生有充分的研究时间。
3、教学目标根据本节教材的特点、新大纲对本节课的教学要求，以及学生身心发展的合理需要，我从三个不同方面确定了如下教学目标：知识与技能：通过探究，掌握椭圆的几何性质，提高猜想能力，合情推理能力，培养发现问题，提出问题的意识。
过程与方法：通过对问题的探究活动，亲历知识的建构过程，理解坐标法中由曲线方程研究曲线几何性质的思想方法。
情感态度与价值观：通过探究，体验挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情，初步培养创新意识和科学精神。
（二）学生状况分析进入高二后，一部分学生已经养成了良好的学习习惯，而有些学生学习方法不科学，基础薄弱，个别学生甚至失去了学习数学的兴趣，数学成了一门最使他们害怕的学科，所以在培养了部分“尖子生”的同时，也造就了相当数量的“学困生”，因此在教学中应激发学生学习数学的动机，培养学生学习数学的兴趣，多让学生尝试“成功”的快乐，培养其创新意识。
二、教学展开分析（一）教学重点和难点分析本节课的知识重点是椭圆的几何性质，难点是如何贯彻数形结合思想，由曲线方程来研究其几何性质。
为了分散难点可以这样做，让学生用描点法先画草图观察性质由方程用函数观点研究性质图形。
椭圆的性质教案范文
椭圆的性质教案范文教案：椭圆的性质一、教学目标1.知识目标：了解椭圆的定义和一些基本性质。
2.能力目标：掌握椭圆的几何性质，能够应用椭圆的性质解决实际问题。
3.情感目标：培养学生对几何学的兴趣，激发学生思考和动手解决问题的能力。
二、教学重点与难点1.教学重点：椭圆的定义和性质。
2.教学难点：运用椭圆的性质解决实际问题。
三、教学过程Step 1 引入新知1.导入问题：椭圆是什么图形？可以通过哪些方法定义椭圆？2.对学生进行讨论，引导学生提出自己对椭圆的认识和定义。
Step 2 椭圆的定义1.呈现椭圆的定义和示意图。
2.解读定义，解释椭圆的特点和属性。
Step 3 椭圆的性质1.引导学生观察和分析椭圆的性质。
2.探讨椭圆的焦点、长轴、短轴、顶点等概念，并通过图像进行解释。
3.分析椭圆的离心率，以及离心率和长轴、短轴长度的关系。
Step 4 椭圆的方程1.学习椭圆的标准方程和一般方程。
2.分析解释椭圆方程中各个参数的含义。
Step 5 椭圆的运动学应用1.举例说明椭圆在运动学中的应用，如行星的轨道、天体运动等。
2.引导学生思考并解决一些实际问题。
Step 6 实例练习1.教师出示一些椭圆的实际问题，让学生运用椭圆的性质解决。
2.学生个体或小组进行解答，对答案进行讨论和互评。
四、教学评价方法1.展示实例练习的解题过程和答案，评价学生运用椭圆的性质和解决问题的能力。
2.布置类似的习题作为作业，检查学生对椭圆性质的掌握情况。
五、板书设计1.定义：由平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于定长2a的点P的轨迹。
2.椭圆的焦点：F1和F23.椭圆的长轴：通过F1和F2，并且垂直于长轴的直线称为短轴。
4.椭圆的顶点：位于长轴和椭圆轨迹交点上的两个点。
5.离心率：离心率e=c/a，其中c是焦点到原点的距离。
6.椭圆的标准方程：x^2/a^2+y^2/b^2=17. 椭圆的一般方程：Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0。
《2.2.2 椭圆的几何性质》 教学案
《2.2.2 椭圆的几何性质》 教学案 教学目标 1．掌握椭圆的基本几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴．2．感受如何运用方程研究曲线的几何性质教学重难点椭圆的几何性质——范围、对称性、顶点教学流程一、问题情境1．情境：复习回顾：椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆中a ，b ，c 的关系．2．问题：在建立了椭圆的标准方程之后，就可以通过方程来研究椭圆的几何性质．那么椭圆有哪些几何性质呢？二、学生活动(1)探究椭圆的几何性质．阅读课本第34页至第35页例1上方，回答下列问题：问题1 椭圆的范围是指椭圆的标准方程22221(0)x y a b a b+=>>中x ，y 的范围，可以用哪些方法推导？问题2 借助椭圆的图形容易发现椭圆的对称性，能否借助标准方程用代数方法推导？ 问题3 椭圆的顶点是最左或最右边的点吗？三、建构数学1．范围．由方程22221x y a b +=可知，椭圆上点的坐标都适合不等式222211x y a b=-≤， 即22x a ≤，所以 x a ≤，同理可得y b ≤．这说明椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形内．2．对称性：从图形上看：椭圆关于x 轴、y 轴、原点对称．从方程22221x y a b+=上看： (1)把x 换成x -方程不变，说明当点(,)P x y 在椭圆上时，点P 关于y 轴的对称点(,)P x y '-也在椭圆上，所以椭圆的图象关于y 轴对称；(2)把y 换成y -方程不变，所以椭圆的图象关于y 轴对称；(3)把x 换成x -，同时把y 换成y -方程不变，所以椭圆的图象关于原点成中心对称． 综上：坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．3．顶点： 在方程22221x y a b+=中，令0x =，得y b =±，说明点1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点．同理1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点．(1)顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点；(2)长轴、短轴：线段12A A 、线段12B B 分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b ；(3)a ，b 的几何意义：a 是长半轴的长，b 是短半轴的长．四、数学运用1．例题：例1 求椭圆221259x y +=的长轴长，短轴长，焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．例2 求符合下列条件的椭圆标准方程(焦点在x 轴上)：(1)(2)已知椭圆的中心在原点，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P (3，0)，求椭圆的方程． 2．练习．(1)根据前面所学有关知识画出下列图形 ①13422=+y x ． ②1422=+y x ． (2)在下列方程所表示的曲线中，关于x 轴、y 轴都对称的是( )A ．y x 42=B ． 022=++y xy x C ． x y x 5422=- D ． 4922=+y x五、回顾小结1．椭圆的基本几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴；2．研究椭圆性质的方法．。
椭圆几何性质教案
一、复习回顾上节知识点：1、椭圆的定义；2、椭圆的标准方程；3、求椭圆方程的几种方法：待定系数法、定义法、相关点法。
二、讲授新课：1、观察思考：观察椭圆（），想一想我们应该从哪能些方面关注椭圆的哪些方面的几何性质，研究哪些问题。
我们从整体上把握几何图形，这就是范围、对称性；其次是研究它的顶点、扁平程度等等。
2、教师引导，学生合作研究师：解析几何要解决的两类问题是：（1）由已知条件，求出表示曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质。
第一个问题我们已经解决，下面我们用椭圆的标准方程来研究椭圆的简单几何性质。
从数的角度（也就是方程）来验证我们刚才从直观（也就是形）得来的结论。
（一）范围：引导学生得出在解析几何中讨论曲线的范围，就是确定方程中两个变量x,y 的取值范围。
用多种方法探究，汇报研究成果并用实物投影展示或到黑板板书。
学生1：由利用两个实数的平方和为1，结合不等式知识得且，则有。
那么它的范围就是直线所围成的区域。
老师：很好，谁还有不同意见？学生2：利用三角换元，令。
由正弦函数有界可得范围。
老师：这个想法也不错，谁还有不同见解？学生3：从中解出，利用可得y的取值范围，同样可得x的取值范围。
师：这种想法也很好，谁还有不同方法？此时学生陷入深思中，教师及时点拨，前面我们学习过函数的定义域、值域，这对你研究椭圆的范围有何启示呢？学生纷纷议论，有的开始动笔推导，有的几个人一起在商量。
老师：谁研究出来了，或哪个小组研究出来了？请到前面给大家讲一讲。
学生4：（在黑板上展示）由则，可通过求这个函数的定义域、值域得范围。
老师：是函数吗？学生4：（思考后说）不是。
老师：怎样处理呢？学生4：把和分别看作是一个函数。
老师：正确。
往下怎样研究呢？学生4：先求函数的定义域、值域。
利用前面学习过的代数函数求定义域、值域的方法，可得，同样得中，于是得到范围。
老师：好。
前面我们研究了椭圆的对称性，谁能简化学生4的推导过程呢？学生5：老师，我想只需求的定义域、值域即可，然后利用对称性可得范围。
椭圆的简单几何性质(教案)
椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本性质。
2. 掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等几何参数的计算方法。
3. 能够运用椭圆的性质解决相关几何问题。
教学重点：1. 椭圆的定义及其基本性质。
2. 椭圆几何参数的计算方法。
教学难点：1. 椭圆性质的应用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 尺子、圆规等绘图工具。
教学过程：一、导入1. 引导学生回顾圆的性质，提出问题：“如果将圆的半径缩小，圆的形状会发生什么变化？”2. 学生讨论并得出结论：圆的形状会变成椭圆。
二、新课讲解1. 引入椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。
2. 讲解椭圆的基本性质：a) 椭圆的两个焦点对称，且位于椭圆的长轴上。
b) 椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴是垂直于长轴的线段。
c) 椭圆的半长轴a和半短轴b是椭圆的几何参数，焦距2c与a、b之间的关系为c^2=a^2-b^2。
3. 演示如何用尺子和圆规绘制椭圆，并引导学生动手实践。
三、案例分析1. 给出一个椭圆，让学生计算其长轴、短轴和焦距。
2. 学生分组讨论并解答，教师巡回指导。
四、课堂练习1. 布置课堂练习题，让学生运用椭圆的性质解决问题。
2. 学生独立完成练习题，教师批改并给予反馈。
五、总结与拓展1. 总结本节课所学的椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。
2. 提出拓展问题：“椭圆在实际应用中有什么意义？”，引导学生思考和探索。
教学反思：本节课通过导入、新课讲解、案例分析、课堂练习和总结与拓展等环节，使学生掌握了椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。
在教学过程中，注意引导学生主动参与、动手实践，提高学生的学习兴趣和积极性。
通过课堂练习和拓展问题，培养学生的思维能力和解决问题的能力。
但在教学过程中，也要注意对学生的个别辅导，确保每个学生都能跟上教学进度。
六、椭圆的离心率1. 引入离心率的定义：椭圆的离心率e是焦距c与半长轴a之比，即e=c/a。
椭圆的简单几何性质(教案)
椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本几何性质。
2. 学会运用椭圆的性质解决相关问题。
3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 椭圆的定义2. 椭圆的焦点3. 椭圆的长轴和短轴4. 椭圆的离心率5. 椭圆的面积教学准备：1. 教学课件或黑板2. 椭圆模型或图片3. 直尺、圆规等绘图工具教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入椭圆的概念，展示椭圆模型或图片，让学生观察并描述椭圆的特点。
2. 引导学生思考：椭圆与其他几何图形（如圆、矩形等）有什么不同？二、椭圆的定义（10分钟）1. 给出椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和等于常数的点的集合。
2. 解释椭圆的焦点概念，说明焦点的作用。
3. 引导学生通过实际操作，绘制一个椭圆，并标记出焦点。
三、椭圆的焦点（10分钟）1. 介绍椭圆的焦点与椭圆的离心率的关系。
2. 引导学生通过实际操作，观察焦点的位置与椭圆的形状之间的关系。
3. 解释椭圆的离心率的定义及其几何意义。
四、椭圆的长轴和短轴（10分钟）1. 介绍椭圆的长轴和短轴的概念。
2. 引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的长轴和短轴的长度。
3. 解释长轴和短轴与椭圆的形状之间的关系。
五、椭圆的面积（10分钟）1. 介绍椭圆的面积的计算公式。
2. 引导学生通过实际操作，计算一个给定椭圆的面积。
3. 解释椭圆面积与长轴和短轴之间的关系。
教学评价：1. 通过课堂讲解和实际操作，学生能够理解椭圆的定义及其基本几何性质。
2. 通过解决问题和完成作业，学生能够运用椭圆的性质解决相关问题。
3. 通过课堂讨论和提问，学生能够展示对椭圆的理解和应用能力。
六、椭圆的离心率（10分钟）1. 回顾椭圆的离心率的定义和计算方法。
2. 引导学生通过实际操作，观察离心率与椭圆的形状之间的关系。
3. 解释离心率在几何中的应用，如椭圆的焦点和直线的交点等。
七、椭圆的参数方程（10分钟）1. 介绍椭圆的参数方程及其意义。
椭圆的简单几何性质教学教案
椭圆的简单几何性质教学教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握椭圆的定义，理解椭圆的基本几何性质，如焦点、半长轴、半短轴等概念；2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，让学生发现并证明椭圆的几何性质；3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学内容1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹。
2. 椭圆的基本几何性质：a. 焦点：椭圆的焦点距离为2c，其中c为半焦距，c^2=a^2-b^2；b. 半长轴：椭圆的半长轴为a，表示椭圆的长轴的一半；c. 半短轴：椭圆的半短轴为b，表示椭圆的短轴的一半；d. 椭圆的面积：S=πab。
三、教学重点与难点1. 教学重点：椭圆的定义及其基本几何性质；2. 教学难点：椭圆的焦点、半长轴、半短轴等概念的理解与应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法发现椭圆的几何性质；2. 利用数形结合法，让学生直观地理解椭圆的定义及其几何性质；3. 运用实例讲解法，让学生掌握椭圆在实际问题中的应用。
五、教学过程1. 导入新课：通过介绍椭圆的起源和发展，激发学生的学习兴趣；2. 讲解椭圆的定义：结合图形，解释椭圆的定义，让学生理解椭圆的概念；3. 探索椭圆的基本几何性质：引导学生观察椭圆的图形，发现焦点、半长轴、半短轴等性质；4. 证明椭圆的几何性质：引导学生运用数学方法证明椭圆的基本几何性质；5. 应用实例：让学生运用椭圆的性质解决实际问题，巩固所学知识。
本教案为椭圆的简单几何性质教学教案的第一部分，后续章节将陆续呈现。
希望能对您的教学有所帮助！六、教学练习1. 基本概念练习：a. 定义椭圆的焦点；b. 解释椭圆的半长轴和半短轴；c. 计算椭圆的面积。
2. 应用题练习：a. 已知椭圆的半长轴为5cm，半短轴为3cm，求椭圆的焦点距离；b. 已知椭圆的面积为36πcm²，半长轴为6cm，求椭圆的半短轴；c. 一个椭圆的焦点在x轴上，半长轴为4cm，半短轴为3cm，求椭圆的标准方程。
椭圆的性质教学设计
椭圆的性质教学设计椭圆的性质教学设计椭圆的性质教学设计【1】（一）指导思想与理论依据1、本节课的设计力图体现“教师为主导,学生为主体”的教学思想。
在教学的过程中始终本着“教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者”的原则，让学生通过实验、观察、思考、分析、推理、交流、合作、反思等过程建构新知识，并初步学会从数学的角度去观察事物和思考问题，产生学习数学的浓厚兴趣。
2、在“椭圆的标准方程”的引入与推导中，遵循学生的认识规律，运用“实验——猜想——推导——应用”的思想方法，逐步由感性到理性地认识定理，揭示知识的发生、发展过程；遵循现代教育理论中的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点。
3、数学学习的核心是思考，离开思考就没有真正的数学。
针对这节课的内容：教师提问；学生操作、观察、思考、讨论；教师再演示、点评，最大限度地调动学生积极参与教学活动。
在教学重难点处适当放慢节奏，给学生充分的时间与空间进行思考与讨论，教师适时给予适当的思维点拨，必要的可进行大面积提问，让学生做课堂的主人，充分发表自己的观点，交流、汇集思想。
这样既有利于化解难点、突出重点，也有利于充分发挥学生的主体作用，使课堂气氛更加活跃，让学生在生生互动、师生互动中掌握知识，提高解决问题的能力。
另外通过学法指导，引导学生思维向更深更广发展，以培养学生良好的思维品质，并为以后进一步学习椭圆的几何性质及双曲线和抛物线作好辅垫。
（二）教学背景分析A、学情分析 1、能力分析①学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程; ②对含有两个根式方程的化简能力薄弱。
2、认知分析①学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤;②学生已经掌握直线和圆的方程及圆锥曲线的概念，对曲线的方程的概念有一定的了解;③学生已经初步掌握研究直线和圆的基本方法。
3、情感分析学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究。
B、教材分析在教材处理上，根据椭圆定义的特点，结合学生的认识能力和思维习惯在概念的理解上，先突出“和”，在此基础上再完善“常数”取值范围.在标准方程的推导上，并不是直接给出教材中的“建系”方式，而是让学生自主地“建系”，通过所得方程的比较，得到标准方程，从中去体会探索的乐趣和数学中的对称美和简洁美.基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定为：①重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法；②难点：椭圆的标准方程的推导，辨析椭圆标准方程。
教案2：椭圆的简单几何性质(2课时)
椭圆的简单几何性质（一）教学目标：知识与技能：掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握c b a ,,几何意义以及c b a ,,的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。
过程与方法：利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力。
情感、态度与价值观：通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。
重点难点：重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法。
难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。
教学过程（一）复习与引入过程：引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④探究椭圆的扁平程度量----椭圆的离心率．〖板书〗椭圆的简单几何性质．（二）新课探析（1）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．（2）椭圆的简单几何性质：①范围：由椭圆的标准方程可得，222210y x b a=-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理可得：b y b -≤≤，即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；④离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ac e =叫做椭圆的离心率（10<<e ），⎩⎨⎧→→→椭圆图形越扁时当01a ，，b ，c e ；⎩⎨⎧→→→椭圆越接近于圆时当a ，b ，c e 00 ．（3）例题讲解与引申、扩展例1、 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．扩展：已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为e =m 的值． 解法剖析：依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有a b c ====得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有a b c ===253m =⇒=． 例2、如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程．分析：若设点(),M x y ，则MF =l ：254x =的距离254d x =-，则容易得点M 的轨迹方程． 引申：（用《几何画板》探究）若点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它到定直线l ：2a x c=的距离比是常数c e a =()0a c >>，则点M 的轨迹方程是椭圆．其中定点(),0F c 是焦点，定直线l ：2a x c=相应于F 的准线；由椭圆的对称性，另一焦点(),0F c '-，相应于F '的准线l '：2a x c=-． （三）课堂练习：（四）反思小结：（1）利用方程研究椭圆的几何性质时，若椭圆的方程不是标准方程，首先应将方程化为标准方程，然后找出相应的c b a ,,。
椭圆的简单几何性质教案
椭圆的简单几何性质教案教学目标：1. 理解椭圆的定义及基本性质；2. 掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等基本概念；3. 学会运用椭圆的性质解决实际问题。
教学重点：1. 椭圆的定义及基本性质；2. 椭圆的长轴、短轴、焦距等基本概念。
教学难点：1. 椭圆性质的应用。
教学准备：1. 教师准备PPT、黑板、粉笔等教学工具；2. 学生准备笔记本、文具等学习用品。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的性质，复习相关概念；2. 提问：圆的性质在椭圆上是否适用？引出椭圆的定义及性质。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹；2. 介绍椭圆的基本性质：椭圆的长轴、短轴、焦距等；3. 举例说明椭圆性质的应用，如：椭圆的离心率、焦距与半长轴、半短轴的关系等。
三、课堂练习（10分钟）1. 布置练习题，让学生运用椭圆性质解决问题；2. 引导学生互相讨论，共同解答；3. 教师巡回指导，解答学生疑问。
四、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，总结椭圆的定义及基本性质；2. 强调椭圆性质在实际问题中的应用。
五、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业，巩固所学知识；2. 提醒学生做好作业，为下一节课做好准备。
教学反思：本节课通过讲解椭圆的定义及基本性质，让学生掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等概念，并学会运用椭圆性质解决实际问题。
在教学过程中，注意引导学生回顾旧知识，为新知识的学习打下基础；通过课堂练习，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
六、案例分析：椭圆在现实世界中的应用（15分钟）1. 教师通过展示实际案例，如行星运动、卫星轨道等，让学生了解椭圆在现实世界中的应用；2. 引导学生分析案例中椭圆的性质，如离心率、长轴、短轴等；3. 让学生探讨椭圆在这些案例中的作用和意义。
七、拓展知识：椭圆的衍生形状（15分钟）1. 介绍椭圆的衍生形状，如双曲线、抛物线等；2. 分析这些形状与椭圆的关系，让学生了解它们之间的联系和区别；3. 举例说明这些形状在实际问题中的应用。
《椭圆的几何性质》说课教案
《椭圆的几何性质》说课教案第一章：椭圆的定义及标准方程一、教学目标：1. 了解椭圆的定义及其几何性质。
2. 掌握椭圆的标准方程及其意义。
3. 能够运用椭圆的标准方程解决实际问题。
二、教学内容：1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。
2. 椭圆的标准方程：\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)（其中，\( a \)表示椭圆的半长轴，\( b \)表示椭圆的半短轴）。
三、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生思考椭圆的定义及标准方程的推导过程。
2. 通过图形展示，让学生直观地理解椭圆的几何性质。
四、教学步骤：1. 引入椭圆的概念，引导学生思考椭圆的定义。
2. 引导学生利用焦点距离公式推导椭圆的标准方程。
3. 通过实例分析，让学生掌握椭圆的标准方程及其意义。
4. 练习题：求解给定焦点的椭圆标准方程。
五、教学评价：1. 课后作业：求解不同焦点的椭圆标准方程。
2. 课堂练习：利用椭圆的标准方程解决实际问题。
第二章：椭圆的长轴、短轴和焦距一、教学目标：1. 掌握椭圆的长轴、短轴和焦距的定义及计算方法。
2. 能够运用椭圆的长轴、短轴和焦距解决实际问题。
二、教学内容：1. 椭圆的长轴：连接椭圆两焦点的线段，长度为\( 2a \)。
2. 椭圆的短轴：与长轴垂直，连接椭圆两端点的线段，长度为\( 2b \)。
3. 椭圆的焦距：两个焦点之间的距离，长度为\( 2c \)，其中\( c \)表示椭圆的半焦距。
三、教学方法：1. 采用直观演示法，让学生通过图形理解椭圆的长轴、短轴和焦距的定义。
2. 通过公式讲解，让学生掌握椭圆的长轴、短轴和焦距的计算方法。
四、教学步骤：1. 引入椭圆的长轴、短轴和焦距的概念，引导学生思考它们的定义。
2. 利用椭圆的标准方程，讲解椭圆的长轴、短轴和焦距的计算方法。
3. 通过实例分析，让学生掌握椭圆的长轴、短轴和焦距的应用。
椭圆的简单几何性质教案(绝对经典)
第2课时 椭圆的简单几何性质考点一 椭圆的性质【例1】 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )(2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )!解析 (1)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，又与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切， 所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2aba 2＋b2＝a ，整理为a 2＝3b 2，即b a ＝13. ∴e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63. (2)设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形. ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b <2. 离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32. |答案 (1)A (2)A规律方法 求椭圆离心率的方法(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解.【变式练习1】 (1)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )(2)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________.解析 (1)设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ， 】则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am 2（a －c ），又B ，D ，M 三点共线，所以m 2（a －c ）＝ma ＋c ，所以a ＝3c ，所以e ＝13.(2)由题意知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x ＝c ，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .因为AB 平行于y 轴，且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b 22a ，又AD ⊥F 1B ，所以k AD ·k F 1B ＝－1，即b 2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22a c －0×－b 2a －0c －（－c ）＝－1，整理得3b 2＝2ac ，所以3(a 2－c 2)＝2ac ，又e ＝c a 且0＜e ＜1，所以3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去).答案 (1)A (2)33 考点二 椭圆性质的应用【例2】 (1)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ) ＋y 23＝1＋y 26＝1、＋y 2＝1 ＋y 2＝1(2)已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( )解析 (1)依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1，故选A.(2)椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1，因为原点O 是线段F 1F 2的中点，所以PF 1→＋PF 2→＝2PO →，即|PF 1→＋PF 2→|＝|2PO →|＝2|PO |，椭圆上点到中心的最短距离为短半轴长，即|PO |的最小值为b ＝1，所以|PF 1→＋PF 2→|的最小值为2. 答案 (1)A (2)C规律方法 利用椭圆几何性质的注意点及技巧(1)在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系.(2)求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系./【变式练习2】 (1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )(2)(2017·全国Ⅰ卷)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，3]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞)D.(0，3]∪[4，＋∞)解析 (1)设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1， 而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22，(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，故选D. (2)①当焦点在x 轴上，依题意得 0<m <3，且3m≥tan ∠AMB 2＝ 3. ∴0<m <3且m ≤1，则0<m ≤1. ②当焦点在y 轴上，依题意m >3，且m3≥tan ∠AMB 2＝3，∴m ≥9， 综上，m 的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞). 答案 (1)D (2)A考点三 直线与椭圆(多维探究)[命题角度1 弦及中点弦问题【例3－1】 已知椭圆x 22＋y 2＝1，(1)过A (2，1)的直线l 与椭圆相交，求l 被截得的弦的中点轨迹方程；(2)求过点P ⎝⎛⎭⎪⎫12，12且被P 点平分的弦所在直线的方程.解 (1)设弦的端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，其中点是M (x ，y ). ⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1，①x 222＋y 22＝1，②①－②得y 2－y 1x 2－x 1＝－x 2＋x 12（y 2＋y 1）＝－x 2y ，所以－x 2y ＝y －1x －2，"化简得x 2－2x ＋2y 2－2y ＝0(包含在椭圆x 22＋y 2＝1内部的部分). (2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k ＝－x 2y ＝－12，因此所求直线方程是y －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化简得2x ＋4y －3＝0.规律方法 弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率. 命题角度2 直线与椭圆的位置关系(易错警示)【例3－2】 已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →. (1)求椭圆E 的方程；#(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.解 (1)由△ABP 是等腰直角三角形，得a ＝2，B (2，0). 设Q (x 0，y 0)，则由PQ →＝32QB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝65，y 0＝－45，代入椭圆方程得b 2＝1， 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)依题意得，直线l 的斜率存在，方程设为y ＝kx －2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.(*)、因直线l 与E 有两个交点，即方程(*)有不等的两实根， 故Δ＝(－16k )2－48(1＋4k 2)>0，解得k 2>34. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝16k1＋4k2，x 1x 2＝121＋4k 2，因坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，所以OM →·ON →>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0， 又由x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2) ＝(1＋k 2)x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4*＝(1＋k 2)·121＋4k 2－2k ·16k 1＋4k 2＋4>0，解得k 2<4，综上可得34<k 2<4， 则32<k <2或－2<k <－32.则满足条件的斜率k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 规律方法 1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题. 2.设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2](k 为直线斜率). ]易错警示 (1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况.(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式. 【变式练习3】 已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围. 解 (1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0. 当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2，0).由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.:因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t （3－tk 2）3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，'故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t .由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)，当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 由此得⎩⎨⎧k －2>0，k 3－2<0或⎩⎨⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.因此k 的取值范围是(32，2).课后练习A 组(时间：40分钟)一、选择题1.直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A.(1，＋∞)B.(1，3)∪(3，＋∞)C.(3，＋∞)D.(0，3)∪(3，＋∞)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.'由Δ>0且m ≠3及m >0得m >1且m ≠3. 答案 B2.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )解析 在Rt △PF 2F 1中，令|PF 2|＝1，因为∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3.故e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝33.故选D.答案 D3.已知椭圆：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值为( )&解析 由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b 2a ＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3. 答案 C4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)及点B (0，a )，过点B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ，F 为椭圆的右焦点，则∠ABF ＝( ) °°°°解析 由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y ＝kx ＋a (k >0)，与椭圆方程联立，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋a ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 整理得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2ka 3x ＋a 4－a 2b 2＝0，由Δ＝(2ka 3)2－4(b 2＋a 2k 2)(a 4－a 2b 2)＝0，得k ＝c a ，从而y ＝c a x ＋a 交x 轴于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c，0， 又F (c ，0)，易知BA →·BF →＝0，故∠ABF ＝90°.~答案 B5.设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )解析 如图，由题意可知，|PF 1|>|PF 2|且|PF 1|>|F 1F 2|，所以要使△PF 1F 2为等腰三角形，则只能是|F 1F 2|＝|PF 2|，设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，y ，则直线x ＝a 2c 与x 轴的交点为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0， 则|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ≥a 2c －c ， 即3c 2－a 2≥0，即e 2≥13.【解得33≤e <1. 答案 D 二、填空题6.焦距是8，离心率等于的椭圆的标准方程为________. 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝8，c a ＝，解得⎩⎨⎧a ＝5，c ＝4，又b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝9，∴b ＝3.当焦点在x 轴上时，椭圆方程为x 225＋y 29＝1， 当焦点在y 轴上时，椭圆方程为y 225＋x 29＝1.！答案 x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝17.已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1，1)为中点的弦所在直线方程是________. 解析 设过M (1，1)点的方程为y ＝kx ＋b ， 则有k ＋b ＝1，即b ＝1－k ，即y ＝kx ＋(1－k )，联立方程组⎩⎨⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋（1－k ），则有(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋(2k 2－4k －2)＝0， 所以x 1＋x 22＝12·4k 2－4k 1＋2k 2＝1，解得k ＝－12，故b ＝32，、所以y ＝－12x ＋32，即x ＋2y －3＝0. 答案 x ＋2y －3＝08.若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为____________. 解析 设点A 在点B 上方，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝1－b 2， 则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)， 由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎨⎧－2c ＝3（x 0＋c ），－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25（1－b 2）9＋19b 2＝1， ·解得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝1. 答案 x 2＋3y 22＝1三、解答题9.已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.(1)解 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝ 3.所以b 2＝a 2－c 2＝1. （所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设M (m ，n )，则D (m ，0)，N (m ，－n ).由题设知m ≠±2，且n ≠0.直线AM 的斜率k AM ＝n m ＋2， 故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n .所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n (x －m ).直线BN 的方程为y ＝n 2－m(x －2). 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m ＋2n （x －m ），y ＝n 2－m （x －2），^解得点E 的纵坐标y E ＝－n （4－m 2）4－m 2＋n 2. 由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |.所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.10.已知A ，B 分别为椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)在x 轴正半轴、y 轴正半轴上的顶点，原点O 到直线AB 的距离为2217，且|AB |＝7.(1)求椭圆C 的离心率；…(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝2相切，并与椭圆C 交于M ，N 两点，若|MN |＝1227，求k 的值.解 (1)由|AB |＝a 2＋b 2＝7，aba 2＋b 2＝2217，a >b >0， 计算得出a ＝2，b ＝3，则椭圆C 的离心率为e ＝1－b 2a 2＝12.(2)由(1)知椭圆方程为y 24＋x 23＝1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 24＋x 23＝1，y ＝kx ＋m消去y 得，(3k 2＋4)x 2＋6kmx ＋3m 2－12＝0，直线l 与椭圆相交，则Δ>0，即48(3k 2－m 2＋4)>0，且x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋4，x 1x 2＝3m 2－123k 2＋4. 又直线l 与圆x 2＋y 2＝2相切， 则|m |k 2＋1＝2，即m 2＝2(k 2＋1). 、而|MN |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·48（3k 2－m 2＋4）3k 2＋4＝1＋k 2·48（k 2＋2）3k 2＋4＝43·k 4＋3k 2＋23k 2＋4， 又|MN |＝1227，所以43·k 4＋3k 2＋23k 2＋4＝1227， 即5k 4－3k 2－2＝0，解得k ＝±1，且满足Δ>0，故k 的值为±1.B 组(时间：20分钟)11.已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2.若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为( )[解析 由椭圆C ：x 24＋y 23＝1可得a 2＝4，b 2＝3，c ＝a 2－b 2＝1，可得F 1(－1，0)，F 2(1，0)，由AF 2⊥F 1F 2，令x ＝1，得y ＝±3·1－14＝±32，不妨设A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，设P (m ，n )，则点P 坐标满足m 24＋n 23＝1，又－3≤n ≤3，则F 1P →·F 2A →＝(m ＋1，n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32＝32n ≤332， 可得F 1P →·F 2A →的最大值为332.答案 B12.已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是________.解析 依题意，知b ＝2，kc ＝2.设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455， 解得d 2≤165.又因为d ＝21＋k 2，所以11＋k 2≤45，解得k 2≥14. 于是e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k 2，所以0＜e 2≤45，解得0＜e ≤255. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255 13.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，e ＝12，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，线段AB 的中点横坐标为14，且AF →＝λFB →(其中λ>1).(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求实数λ的值.解 (1)由条件可知，c ＝1，a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)由AF →＝λFB →，可知A ，B ，F 三点共线，设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2). 若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝1，不符合题意.当AB 所在直线l 的斜率k 存在时，设方程为y ＝k (x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1消去y 得 (3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.①由①的判别式Δ＝64k 4－4(4k 2＋3)(4k 2－12)＝144(k 2＋1)>0.∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3＝12，∴k 2＝14. 将k 2＝14代入方程①，得4x 2－2x －11＝0， 解得x ＝1±354.又AF →＝(1－x 1，－y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，AF →＝λFB →， λ＝1－x 1x 2－1，又λ＞1，∴λ＝3＋52.。
椭圆的简单几何性质教学教案
椭圆的简单几何性质教学教案第一章：椭圆的定义与标准方程1.1 椭圆的定义引入椭圆的概念，通过实际物体（如地球、月球绕太阳的运动）来让学生理解椭圆的形状。
解释椭圆是由一个固定点（焦点）和到该点距离之和等于常数的点的集合所形成的图形。
1.2 椭圆的标准方程推导椭圆的标准方程，即x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
解释方程中a和b的含义，以及它们与椭圆的性质之间的关系。
第二章：椭圆的长轴、短轴和焦距2.1 椭圆的长轴定义椭圆的长轴，即通过椭圆中心并且平行于x轴的轴。
解释长轴的长度是2a，与椭圆的半长轴a的关系。
2.2 椭圆的短轴定义椭圆的短轴，即通过椭圆中心并且垂直于x轴的轴。
解释短轴的长度是2b，与椭圆的半短轴b的关系。
2.3 椭圆的焦距定义椭圆的焦距，即焦点之间的距离。
解释焦距与椭圆的长轴和短轴的关系，即焦距等于2c，其中c是焦点到椭圆中心的距离。
第三章：椭圆的面积3.1 椭圆的面积公式推导椭圆的面积公式，即A = πab，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
解释面积公式中π的作用和意义。
3.2 椭圆的面积性质解释椭圆的面积与长轴和短轴的关系，即面积与长轴和短轴的乘积成正比。
举例说明椭圆面积的计算方法，并进行实际计算练习。
第四章：椭圆的离心率4.1 椭圆的离心率定义定义椭圆的离心率e，即焦距与长轴之间的比值，e = c/a。
解释离心率的作用和意义，以及它与椭圆的形状之间的关系。
4.2 椭圆的离心率性质解释离心率与椭圆的长轴和短轴的关系，即离心率越小，椭圆越接近于圆形。
举例说明椭圆离心率的计算方法，并进行实际计算练习。
第五章：椭圆的焦点和直线的交点5.1 椭圆的焦点定义椭圆的焦点，即椭圆上到焦点距离之和等于常数的点。
解释焦点的性质，以及它们与椭圆的中心和长轴之间的关系。
5.2 椭圆与直线的交点解释椭圆与直线的位置关系，以及交点的性质。
举例说明椭圆与直线交点的计算方法，并进行实际计算练习。
椭圆的简单几何性质教案
一、教案基本信息椭圆的简单几何性质教案课时安排：1课时教学目标：1. 让学生掌握椭圆的定义及基本性质。
2. 培养学生运用几何知识分析问题、解决问题的能力。
3. 引导学生发现椭圆在实际生活中的应用，培养学生的学习兴趣。
教学内容：1. 椭圆的定义2. 椭圆的基本性质3. 椭圆的标准方程4. 椭圆的焦点与离心率5. 椭圆的参数方程二、教学过程1. 导入：利用多媒体展示一些生活中的椭圆形状的物体，如地球、月球、鸡蛋等，引导学生发现椭圆在生活中的广泛存在。
2. 知识讲解：1. 讲解椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹。
2. 讲解椭圆的基本性质：（1）椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，且长轴长度为2a。
（2）椭圆的短轴长度为2b。
（3）椭圆的离心率e=c/a，其中c为焦距，a为半长轴，b为半短轴。
（4）椭圆的面积S=πab。
3. 讲解椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
4. 讲解椭圆的参数方程：椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。
3. 案例分析：给出一个实际问题，如求解椭圆上一点到两焦点的距离之和。
引导学生运用椭圆的性质解决问题。
4. 课堂练习：布置一些有关椭圆性质的练习题，让学生课后巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调椭圆的基本性质及应用。
三、课后作业1. 复习椭圆的定义及基本性质。
2. 练习椭圆的标准方程和参数方程的转化。
3. 寻找生活中的椭圆形状物体，了解椭圆在实际中的应用。
四、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对椭圆知识的理解和运用能力。
五、教学评价通过课堂讲解、练习和课后作业，评价学生对椭圆定义、基本性质、标准方程和参数方程的掌握程度，以及运用椭圆知识解决实际问题的能力。
六、教学活动设计1. 互动提问：在上一节课中，我们学习了椭圆的定义及基本性质，谁能简要回顾一下椭圆的定义是什么？2. 小组讨论：请同学们分成小组，讨论如何运用椭圆的性质解决实际问题。
椭圆的简单几何性质教案(绝对经典)
第2课时椭圆的简单几何性质考点一椭圆的性质【例U ⑴已知椭圆C ： W+^=l(α>b>O)的左、右顶点分别为金，坨，IL 以线段AA 为直径的圆与直线bχ-αy+2αb = 0相切，则C 的离心率为()(2)己知椭圆E ：和恃=l(α>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线/： 3χ-4y=40交椭圆E 于儿B 两点•若IMl + ∣BF ∣ =4,点M 到直线/的距离不小丁§则椭圆E 的离 心率的取值范围是()规律方法 求椭圆离心率的方法(1) 直接求出。
，C 的值，利用离心率公式直接求解.(2) 列出含有。
，b, C 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2=a 2-c 2消去b∙转化为含有e的(2)设左焦点为F 。
，连接FA F°B,则四边形AFBF o 为平行四边形・vμη + ∣βF ∣=4,∙∙∙∣M ∣ +IAFoI=4, Λα = 2.4b 4设 M(09 b)9 则亏电，Λ l≤b<2.解析 ⑴以线段AA 为直径的圆是x 2÷y 2=α2, 乂与直线bχ-ay+2ab=0相切, 答案(I)A (2)A方程(或不等式)求解.【变式练习1】 ⑴已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ： ^+^=l(α>b>O)的左焦点，A, B 分别为C 的左.右顶点・P 为C 上一点，JlPF 丄X 轴•过点A 的直线/与线段PF 交于点M, 与y 轴交丁•点E 若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为()(2)设椭圆 C ： ^+p=l(α>b>O)的左、 交T A 9 B 两点，F/与y 轴相交于点D,若AD 丄F& 则椭圆C 的离心率等丁• ____________( am \解析⑴设M(-c, m)9则耳0, — J, OE 的中点为D所以2 (α-c) 一α + c' 所以o=3c,所以e=∣.(2)由题意知Fj(-c, O), F 2(C , 0),其中c=√α2-b 2,因为过氏且与X 轴垂直的直线为X =c,由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为彳c,勺,B (c, —号).因为EB 平行于y 轴， JlIFIoI = IoF2∣,所以IFJDI = IDBI,即D 为线段FlB 的中点,所以点D 的坐标为| 0, —筹b 2 ( b 2∖ b 2.. 万一 ^7^0,厂 .. 又 AD±F 1B,所以 k AO -k F1B = —1,即一—×c - I -C) = 一 1，整理得yβb 2=2ac,所 以y∣3(a 2-c z) = 2ac, 乂 e=^Jl O<e<l,所以yf3e z +2e~∖∣3 = 0,解得 e=^(e=-y[3舍去)• 答案(I)A ⑵申考点二椭圆性质的应用 【例2] (1)已知椭圆的中心在原点，离心率e=* Jl 它的一个焦点与抛物线/=-4X的焦点重合，则此椭圆方程为( y 2÷⅛=1右焦点分别为人，F 2,过卩2作X 轴的垂线与C 相 则血 2 (G -C))' m mam ,乂 B, D, M 三点共线,÷y2=l +y2=l(2)己知点C, F2是椭圆x2+2y2=2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|鬲 +朿|的最小值是()解析⑴依题意，可设椭圆的标准方程为召+活=l(α>b>O),由己知可得抛物线的焦点C 1为(一1, 0),所以C=I9乂离心率e=-=2*解得0=2. b2=a2~c2=3.所以椭圆方程为£+£=1,故选A.(2)椭圆的标准方程⅛y+∕ = l,因为原点O是线段/2的中点，所以朿+朮2 = 2矗即 |朿+晶| = |2跪)∣=2IPOl ,椭圆上点到中心的最短距离为短半轴长，即IPol的最小值为b=l,所以∣P^1+⅛∣的最小值为2.答案(I)A (2)C规律方法利用椭圆儿何性质的注意点及技巧(1)在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中X, y的范围, 离心率的范围等不等关系.(2)求解与椭圆儿何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系./【变式练习2】(1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1,则椭圆长轴长的最小值为()(2)(2017-全国I卷)设A, B是椭圆C：亍+冷=1长轴的两个端点•若C上存在点M满足Z AMB=I20\则m的取值范圉是()A.(0, IJU [9, +<-)C.(0, 1]U[4, +*)解析(1)设6 b, C分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以*<2cb = 1, bc=l,而 2a = 2yjb 2 + c 2≥2y∣2bc=2∖∣2 (当IL 仅当b=c=l 时取等号)，故选D. ⑵①当焦点在X 轴上，依题意得化简得x 2-2x+2y 2-2y=0(包含在椭圆y+y 2=l 内部的部分)・X1(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k= -E= -P 因此所求直线方程是y 一扌=一菲一扌)，化简得2x+4y-3 = 0.规律方法 弦及弦中点问题的解决方法⑴根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点：(2)点差 法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.√3 0<∕n<3,」I. /= ∖∣mXtan ^^2^^=√5∙ .∖O<m<3 H m ≤l.则 O<m≤l.②当焦点在y 轴上，依题意m>3, ∖∖r^≥tan^-~-^=yβ, Λm≥9,综上，m 的収值范围是(O, IJU [9, +-).答案(I)D (2)A考点三 直线与椭圆(多维探究)命题角度1弦及中点弦问题【例3—1】已知椭圆y+y 2=l.(1) 过A(2, 1)的直线/与椭圆相交，求/被截得的弦的中点轨迹方程;(2) 求过点PQ, {J 且彼P 点平分的眩所在直线的方程•解 ⑴设弦的端点为P(X- yd ，Q(X2, yz)>其中点是M(×9 y).弓+41，①y+yi=ι.②①一②得Xz-Xi X2÷X1 X 2 (y2+y1) — 2y 9 所以 _ __ 2y~χ-29命题角度2直线与椭圆的位置关系(易错警示)【例3-2］已知P点坐标为(0, 一2),点B分别为椭圆£：召+W=l(α>b>O)的左、右顶点，直线BP交E于点Q,氐ABP是等腰直角三角形，ILPh=I^B.⑴求椭圆F的方程；(2)设过点P的动直线/与E相交T- M, N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线/斜率的取值范围.解⑴由AABP是等腰直角三角形，得a=2, B(2, 0).Γ 6Xo = L设Q(Xo, yo),则由是得S 4〔为=-引代入椭圆方程得b2=l, 所以椭圆E的方程为手+/=1.(2)依题意得，直线/的斜率存在，方程设为y=kχ-2.y=kχ-29联立1×21 .4÷y2=ι∙消去y并整理得(l+4k2)x2-16kx+12 = 0.(*)因直线/与E有两个交点，即方程（J有不等的两实根,3故 4 = （一16k）2-48（l+4∕）>0,解得k2>孑设M（X1，yι）, N（X2，y2）,16k{XltX2 = l+4k r12XιX2=ι+4k2'因坐标原点O位『•以MN为直径的圆外,所以OΛ4∙^∕>0,即xpf2+yp2>O,乂由XiXz÷yιyz=×1×2÷(/CXi —2)(∕cx2— 2)= (1÷k2)xιχ2—2k(×ι+冷)+ 412 16k=(14 kZ)'l+4^~2k*l+4k2 f 4>0,3解得代4,综上可得評&4, 则半<k<2或一2<k<—亨.则满足条件的斜率k的取值范围为(一2, 爭审2)规律方法1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题•2. 设直线与椭圆的交点坐标为A(Xu y】)，B(X2, y2),则I A31 =y∣(l+∕c2) [ (x1÷x2) 2-4x1x2]= 寸(1+吉)[(旳+力)—4灿2](k为直线斜率).J易错警示(1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况.(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式. 【变式练习3】己知椭圆E： 7÷y=l的焦点在X轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>O) 的直线交E于儿M两点,点N在E上,MA丄NA⑴当t=4, ∖AM∖ = ∖AN∖时,求Δ AM N的面积;(2)当2∖AM∖ = ∖AN∖时，求k的取值范围.解⑴设M(X1,力)，则由题意知χ>0.当A4时，E的方程为手+£=1, A(-2, 0).由∖AM∖ = ∖AN∖及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为扌.因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入才+才=1得7/-12y=0,解得y=0或y=∙y,所以y 1=y ・r-η Ir “ 厂・5 1 12 12 144因此△ AMN 的面积 S^AMN=2×^cγ×y =药. X 2 V 2(2)由题意 t>3, k>0, A(-yft 9 0),将直线 AM 的方程 y=k(x • /)代Λy÷y=l 得(3 + tk 2)×2+ 2√t∙tk 2x+t 2∕c 2-3f=0.由题设，直线的方程为X =-I （X+√t ）,Ir π ZrI 6∕c√f (l + k 2) 故同理可得∣AΛ∕∣ = —. 2 k 由2∖AM∖ = ∖AN∖得齐乔=乔工？即(k 3-2)t=3k(2k-l),q 3k （2k —1） 当k=y∣2时上式不成立，因此r=因此k 的取值范围是（扳，2）. 课后练习A 组（时间：40分钟）一、选择题1.直线y=x+2与椭圆£+£=1有两个公共点，则m 的取值范围是（）由 Xr(-√t) =心(3-庆2) 3 + tk 2故 IAMl = ∣Xι+√t ∣√l+P = 6∖ t (l+k 2) 3 + tk 2t>3等价厂営-2(—2+% k 3-2 >-2>0,k 3-2<0 >-2<0, k 3-2>0. 解得 ∖[2<k<2.k 3-2A.(lt +<-)B.(l, 3)U(3, +-o)C.(3, ÷-)D.(0, 3)U(3, +-)y=x+2, 解析由V 兰 /_得(m÷3)x 2÷4∏7x÷m=0.万+L 由 Δ>0 XL m≠3 及 m>0 得 m>l 11 m≠3.答案BZPFlF2=30%则C 的离心率为()解析 在 Rt∆ PF 2F 1 中,令∣PF 2∣=1,因为ZPFlF2 = 30。
《椭圆的简单几何性质》参考教案
椭圆的简单几何性质教学目标：(1)通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质;(2)能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图;(3)培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备. 教学重点:椭圆的几何性质. 通过几何性质求椭圆方程并画图教学难点:椭圆离心率的概念的理解.教学方法：讲授法课型：新授课教学工具：多媒体设备一、复习：1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.2.椭圆的标准方程.二、讲授新课：（一）通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力.[在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的，我们现在利用焦点在x 轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.] 已知椭圆的标准方程为：)0(12222>>=+b a by a x 1.范围[我们要研究椭圆在直角坐标系中的范围，就是研究椭圆在哪个区域里，只要讨论方程中x ，y 的范围就知道了.]问题1 方程中x 、y 的取值范围是什么?由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式22a x ≤1, 22by ≤1 即 x 2≤a 2, y 2≤b 2所以 |x|≤a ， |y|≤b即 －a≤x≤a, －b≤y≤b这说明椭圆位于直线x＝±a, y＝±b所围成的矩形里。
2.对称性复习关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标之间的关系：点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为(x,－y)；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为(－x, y)；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为(－x,－y)；问题2 在椭圆的标准方程中①以－y代y②以－x代x③同时以－x代x、以－y代y,你有什么发现?（1）在曲线的方程里，如果以－y代y方程不变，那么当点P(x,y)在曲线上时，它关于x的轴对称点P’(x,－y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称。
（2）如果以－x代x方程方程不变，那么说明曲线的对称性怎样呢？[曲线关于y轴对称。
《椭圆的几何性质》说课教案
一、说课稿基本信息1. 说课科目：《椭圆的几何性质》2. 说课年级：高中数学3. 说课时长：45分钟二、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握椭圆的基本几何性质，包括椭圆的定义、标准方程、焦点、直径、离心率等。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探索椭圆的几何性质，培养学生的抽象思维能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受数学的美。
三、教学内容1. 椭圆的定义与标准方程2. 椭圆的焦点与直径3. 椭圆的离心率4. 椭圆的性质与应用四、教学过程1. 导入：通过展示生活中的椭圆现象，如地球、月球绕太阳的运动等，引导学生关注椭圆，激发学生的学习兴趣。
2. 新课导入：介绍椭圆的定义与标准方程，引导学生理解椭圆的基本概念。
3. 课堂讲解：讲解椭圆的焦点与直径、离心率等性质，通过示例让学生理解并掌握这些性质。
4. 练习巩固：布置一些相关的练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固所学内容。
5. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，使学生形成系统化的知识结构。
五、教学策略与方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生自主探索椭圆的几何性质。
2. 运用多媒体课件辅助教学，使抽象的椭圆概念形象化、直观化。
3. 采用分组讨论、合作交流的方式，培养学生的团队合作精神。
4. 注重个体差异，给予学生个性化的指导与关爱，使每个学生都能在课堂上得到锻炼与提高。
六、课后作业设计1. 请学生完成教材后的相关练习题，巩固对椭圆几何性质的理解。
2. 布置一些拓展性的作业，如研究椭圆在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
七、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 作业评价：检查学生作业的完成情况，评估学生对课堂所学知识的掌握程度。
3. 课后访谈：与学生进行交流，了解学生对椭圆几何性质的理解程度及在学习过程中遇到的问题。
椭圆的性质教案(1)
椭圆的性质教案(1)
简介
本教案旨在教授学生椭圆的基本性质。
椭圆是数学中的重要概念，掌握其性质对学生进一步研究几何学和数学分析很有帮助。
目标
通过本教案，学生将能够：
- 定义椭圆及其元素
- 掌握椭圆的焦点、准线、长轴、短轴的概念
- 理解椭圆的几何性质：如离心率、直径等
教学步骤
1. 引入椭圆的概念，简单解释椭圆是一种特殊的曲线，并与其他几种曲线进行比较。
2. 定义椭圆：一个点到两个焦点的距离之和恒定于一个常数。
3. 解释椭圆的元素：焦点、准线、长轴、短轴。
4. 讲解椭圆的焦点与准线的关系，以及长轴和短轴的概念。
5. 引导学生发现椭圆的离心率和直径的几何意义。
6. 椭圆的示例问题和练
教学资源
- PowerPoint演示文稿：包含椭圆的定义和图示
- 白板和彩色笔：用于阐述椭圆的性质和示例问题
- 学生教材：提供额外的练题和问题
评估方法
- 课堂互动：观察学生对概念和性质的理解和回答问题的能力- 练题和作业：检查学生对于椭圆的定义和基本性质的理解和应用能力
扩展活动
- 学生小组讨论：让学生自行探索更多椭圆的性质，如离心率的计算公式和对称性等
- 椭圆的实际应用：引导学生思考椭圆在现实生活中的应用，如轨道运动、建筑设计等
结论
通过本教案，学生将对椭圆的定义和性质有全面了解，为学习更高级的数学概念奠定基础，同时培养学生的几何观察和问题解决能力。
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圆锥曲线教案椭圆的几何性质教案教学目标1．使学生理解并掌握从椭圆的两个定义及标准方程和图形出发研究椭圆的几何性质的思路；能根据椭圆的标准方程求出其焦点、顶点的坐标、离心率以及准线方程，并能根据其性质画出椭圆的图形．2．使学生会初步利用待定系数法和椭圆的几何性质求出椭圆的标准方程．3．培养学生观察、发现问题和解决问题的能力，为今后学习其它圆锥曲线的几何性质作好方法上的准备．教学重点与难点椭圆的几何性质、第二定义及其应用是教学的重点，难点是对离心率的理解．教学过程一、复习提问师：在上节课中我们学习了椭圆的两个定义，请同学们回答其具体内容．(教师指定学生回答，并引导其他学生进行更正．)师：我们还学习了焦点分别在x轴和y轴上的椭圆的标准方程，请分别说出各是什么形式？生：当焦点在x轴上时方程为：当焦点在y轴上时方程为：师：代数中研究函数图象时都需要研究函数的哪些性质？生：需要研究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质．师：由于方程f(x，y)=0与函数y=f(x)都是描述图形和图象上的点所满足的关系的，二者之间存在着必然的联系(当然也有区别，例如：在函数中，对每一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应，而方程中x、y的关系则较为复杂．)，因此我们可以用类比研究函数图象的方法，根据椭圆的定义、图形和标准方程来研究椭圆的几何性质．师：好，现在我们有3个工具，即：椭圆的两个定义、图形及其标准方程，下面我们就分别从研究定义、图形和方程出发看看能获得哪些性质．二、讲授新课(一)从定义方面研究1．焦点通过椭圆第一定义我们知道两个定点叫焦点，分别是：当焦点在x轴上时方程为：左焦点：F1(-c，0)，右焦点；F1(c，0)．当焦点在y轴上时方程为：下焦点：F1(0，-c)，上焦点：F1(0，c)．2．椭圆的第二定义、准线方程及离心率(可由学生完成，指定一名学生在黑板上板演)师：求轨迹方程的方法，步骤是什么？生：当不知道轨迹时，可以采用轨迹法(包括直接法、转移代入法等)，其步骤是：建立直角坐标系，且给出动点坐标，找动点满足的几何条件，坐标化，化简得方程，检验．最后教师指出：点M的轨迹是椭圆．并纠正如下：依题意：所求轨迹就是集合：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)，令a2-c2=b2，得请学生叙述椭圆的第二定义．生：平面上，到定点距离与到定直线距离之比等于定值e(0＜e＜1)的点的轨迹叫椭圆．师：很好！我们把这一定义称作椭圆的第二定义．要注意的是，在这一定义中的：“平面上、0＜e＜1”等条件．另外，我们把定值e=师：请计算下面椭圆的离心率，并画出椭圆图形．生：离心率分别为0.5，0.6，0.8，椭圆的图形可让学生画在笔记上．师：随着离心率的增大，椭圆的形状发生了怎样的变化？生：随着离心率的增大，椭圆的形状是越来越扁．你有什么发现？趋近于一条线段．师：可见，通过研究离心率的变化，可以进一步证实我们上一节的结论：圆是椭圆的特例，只有当2a＞|F1F2|时，轨迹才是椭圆．师生共同小结：当e越接近于1时，c越接近a，从而b越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，从而b越接近于a，椭圆越接近于圆．师：可见离心率e是刻画椭圆圆扁程度的量．几条准线？你能根据上例写出它们的方程吗？你能画出来吗？生：一个椭圆有两条准线．师：很正确．为了方便，我们将相对于左焦点的准线叫左准线，另一条就叫右准线，如图2-31．(二)从标准方程方面研究3．椭圆的顶点师：请问怎样才能求出直线Ax+By+C=0(AB≠0)与坐标轴的交点呢？生：只要分别令x=0及y=0，解出相应的y及x即可．学生自然会想到分别令x=0及y=0，解出相应的y=0及x=0代入椭圆方程得到4个顶点，坐标分别是：A1(-a，0)， A2(a，0)， B1(0，-b)， B(0，b)师：如果我们定义曲线与坐标轴的交点叫做曲线的顶点，那么以上4个点都叫椭圆的顶点．同时我们将线段A1A2，B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴．师：请你根据方程说出椭圆的长轴长和短轴长．生：其中长轴长为2a，短轴长为2b．师：另外我们将a叫半长轴长，b叫半短轴长．(三)从椭圆的图形和方程方面研究4．椭圆的范围师：首先我们通过椭圆的图形来研究椭圆的范围．(就相当于研究函数的定义域和值域．)师：观察椭圆的图形，你能发现椭圆位于怎样的范围内吗？生：椭圆位于一个矩形内，如图2-32．师：你能用数学式子表示此矩形吗？(教师可以通过顶点坐标启发学生进行思考．)生：可以用|x|≤a，且|y|≤b表示．师：下面我们来观察椭圆的标准方程，请你说说它的形式有什么特点？生：椭圆的方程左边是两个平方项的和，右边是定值1．师：据此，你能得到什么结论？生：由于两个非负数的和是定值，因此方程中的x，y必然取得有限的值，也就是椭圆必然在一个一定的范围内．师：能证明吗？(教师可以启发学生根据不等式的放缩法来证明)然后由师生共同归纳出证明过程如下：因此椭圆在矩形|x|≤a，且|y|≤b内．5．椭圆的对称性(相当于研究函数奇偶性)：紧密结合图形，通过举例，然后归纳．师：观察椭圆图形，你能发现它具有怎样的对称性吗？生：从椭圆的图形看，椭圆既关于坐标轴对称，又关于原点对称．师：由此可见，椭圆既是轴对称图形又是中心对称图形，它有两条对称轴(即坐标轴)，一个对称中心(即原点)，我们称它为椭圆的中心．(说明：中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆的方程都叫标准方程．)师：如何通过方程来说明这种对称性呢？下面我们看几个例题：引例请画出下列方程所表示的图形．(1)y2＝x(2) y=x2(3)y=x3师：根据图形说出曲线的对称性．生：图(1)关于x轴对称，图(2)关于y轴对称，图(3)关于原点对称．(如图2-33)师：若要说明一个函数关于y轴对称，应该如何说明呢？生：说明一个函数关于y轴对称，只需要在此函数图象上任找一点P(x，y)，若它关于y的轴对称点P′(-x，y)也满足函数关系，就说明此函数图象关于y 轴对称．请同学们用类比法说明椭圆的对称性．生：若将x换成-x，方程不变，说明图形关于y轴对称；若将y换成-y，方程也不变，说明图形关于x轴对称；若将x，y同时换成-x，-y，方程仍然不变，说明图形关于原点对称．师：结合椭圆方程的形式特点，请你总结一下椭圆的对称性．生：由于椭圆方程左边是关于x，y对称的二次型，右边为定值1，所以椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．师：很好，由此可见，椭圆的定义和方程的形式决定了椭圆的对称性质．三、例题例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴、短轴的长，焦点、顶点坐标，准线方程和离心率，并用描点法画出图形．分析首先应将方程化为标准方程，计算出a，b，c，再根据其几何性质解出即可．(教师可指定一名学生板书．)c=3，因此长轴、短轴的长分别为：2a=10，2b=8，焦点为：F1(-3，0)，F2(3，0)．顶点A1(-5，0)，A2(5，0)，B1(0，-4)，B2(0，4)．准师：注意：画图时应先画矩形，在第一象限内描出一些点并连成光滑的线，再根据椭圆的对称性画出整个椭圆，如图2-34．例2 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点A距地面439千米，远地点B距地面2384千米，地球半径6371千米，求卫星的轨道方程(如图2-35)．分析结合图2-35可知近地点、远地点实际上是椭圆长轴上的两个顶点．解选取坐标系如图2-35，则a-c=OA-OF2=F2A=6371+439=6810，a+c=OB-OF2=F2B=6371+2384=8755，所以a=7782.5，c=972.5，b=7721.5．练习：求下列各椭圆的长轴、短轴的长，焦点坐标，顶点坐标，准线方程和离心率．(1)9x2+y2=1 (2)x2+4y2=16解因为a2=100，b2=36，所以c2=64，所以a＝10，b＝6，c＝8，设P到左准线的距离为t1，例4 已知椭圆的长轴长为5，一条准线方程为x=-10，求椭圆的标准方程．分析本题应根据已知条件确定标准方程的形式，再据已知确定系数(待定系数法)．练习：1．设椭圆中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点所连焦四、小结1．知识方面：轴的轴对称图形，又是以原点为对称中心的中心对称图形．因此，画它的图形时，只要画出第一象限的部分，其余可由对称性得出．(2)在讨论椭圆性质时，应首先根据方程判断此长轴的位置(即焦点在x轴上，还是在y轴上)，然后再讨论其他性质；(判断方法是“大小分长短”，即哪个字母下面的数大，焦点就在那个轴上．)(3)常数e(离心率)是焦距与长轴长的比值，与坐标轴的选择无关．2．方法方面：(1)给出方程会求椭圆的几何性质；(2)会用待定系数法根据条件求椭圆方程．布置作业：1．求下列椭圆的焦点、顶点坐标，离心率，准线方程，长、短轴长．(2)中心在原点，对称轴在坐标轴，长轴长是短轴长2倍，且过点(2，-6)．设计说明《椭圆的几何性质》一节内容多，要求学习掌握的知识点也多，而且这一节学习得好坏直接影响学生对双曲线、抛物线的学习．所以，通过这一节的教学不仅要使学生初步理解并能简单应用所学的知识，更重要的是：使学生掌握研究圆锥曲线几何性质的一般思路和方法，以便今后的学习，从而达到培养学生学习能力的目的．这也是制订此教案教学目的的初衷．根据以上教学目的，整个教学过程分成从三个方面(即从椭圆的定义、图形和标准方程)去研究椭圆的几何性质，通过提出问题，让学生类比以前的学习方法自己去解决问题，引出新的知识点，最后把对研究其它圆锥曲线的几何性质有指导作用的方法进行小结．这样做不仅可以达到学习新知识的目的，还可以更好地理解旧知识，在新旧结合的过程中使学生的学习能力得到提高，从而为下一阶段的学习打下基础．在整个教学过程中，力求使形、数不分离，总是在通过让学生看图、画图、分析这一亲自实践过程去体会、感受，使本来枯燥的知识点变得“有血有肉”，充分使“数形结合的思想方法”深入学生心中．由于本节内容知识点多，所以采用了讲练结合的办法，在练习中巩固所学，从而达到能进行简单应用的教学目的．这节课还有一个特点就是加强了学生的活动，一节课中，不仅要求学生动脑、动口，更要动手，使在课堂教学中既教猜想又教证明的目的得以实现．。