抽象函数模型
高一抽象函数五大模型总结教师版
高一抽象函数五大模型总结模型一：正比例函数模型y =kx已知函数f x 对一切x ,y ∈R ,都有f x +y =f x +f y ,当x >0时，f x <01证明：f 0=0; 2证明：函数f x 为奇函数； 3证明：函数f x 在R 上为减函数.证明： 1令x =y =0⇒f 0=f 0+f 0⇒f 0=0 2令y =-x ⇒f 0=f x +f -x ,由于f 0=0⇒f -x =-f x ⇒函数f x 为奇函数3任取x 1<x 2,则f x 2=f x 1+ x 2-x 1=f x 1+f x 2-x 1由于x 2-x 1>0,所以f x 2-x 1<0,从而f x 1>f x 2即函数f x 在R 上为减函数。
证毕！模型二：一次函数模型y =kx -c已知函数f x 对一切x ,y ∈R ,都有f x +y =f x +f y +c ,且当x >0时，f x >-c1证明：f 0=-c ; 2证明：函数g x =f x +c 为奇函数； 3证明：函数f x 在R 上为增函数.证明： 1令x =y =0⇒f 0=f 0+f 0+c ⇒f 0=-c 2令y =-x ⇒f 0=f x +f -x +c⇒f -x +c =- f x +c ⇒g -x =-g x ⇒函数g x =f x +c 为奇函数3任取x 1<x 2,则f x 2=f x 1+ x 2-x 1=f x 1+f x 2-x 1+c 由于x 2-x 1>0,所以f x 2-x 1>-c ,从而f x 2>f x 1即函数f x 在R 上为增函数.证毕！模型三：指数函数模型y =a x已知定义域为R 的函数f x 对任意的实数x ,y ∈R 均有 f x +y =f x f y ,且当x <0时，f x >11证明：f 0=1; 2证明：当x >0时，有0<f x <1; 3证明：函数f x 在R 上单调递减证明： 1令x =0,y =-1⇒f -1=f 0f -1,又f -1>1则f 0=12令y =-x ⇒f 0=f x f -x ⇒f -x = 1fx 当x >0时，f -x >1,f x =f - -x = 1f-x ∈ 0,1 3任取x 1<x 2,f x 2=f x 1+ x 2-x 1=f x 1f x 2-x 1易知f x 1>0,f x 2-x 1∈ 0,1,所以f x 2<f x 1即函数f x 在R 上单调递减.证毕！模型四：对数函数模型y =log a x已知定义在 0,+∞上的函数f x 对任意的x ,y ∈ 0,+∞均有f xy =f x +f y ,且当x >1时，f x >01证明：f 1=0; 2证明：当0<x <1时，f x <0; 3证明：函数f x 在 0,+∞上为增函数.证明： 1令x =y =1⇒f 1=f 1+f 1⇒f 1=02令y = 1x ⇒f 1=f x +f 1x ⇒f 1x=-f x ⇒当0<x <1时，f 1x >0⇒f x =f1 1x =-f 1x <0 3任取0<x 1<x 2, x 2x 1>1⇒f x 2x 1>0则f x 2=f x 1⋅ x 2x 1=f x 1+fx 2x 1>f x 1即函数f x 在 0,+∞上为增函数.证毕！模型五：幂函数模型y =x α已知定义在 0,+∞上的函数f x 对任意x ,y ∈R ∈均有f xy =f x f y ,且当x >1时，f x >11证明：f 0=0; 2证明：函数f x 在 0,+∞上单调递增.证明： 1令x =0,y =1⇒f 0=f 0f 1,又f 1>1故f 0=02令x =1,y =2⇒f 2=f 1f 2，又f 2>1⇒f 1=1令y = 1x ⇒f 1=f x f 1x ⇒f 1x = 1fx ⇒当x ∈ 0,1时，f 1x>1则f x =f1 1x = 1f 1x ∈ 0,1任取0<x 1<x 2,则f x 1>0,f x 2x 1>1f x 2=f x 1⋅ x 2x 1=f x 1fx 2x 1>f x 1即函数f x 在 0,+∞上单调递增.证毕！。
微专题21 抽象函数的处理技巧(原卷版)
微专题21抽象函数的处理技巧【方法技巧与总结】常见抽象函数的模型()()()()(1)f x y f x f y f x f x+=+⇔=()()()()log a f xy f x f y f x x=+↔=()()()()xf x y f x f y f x a +=↔=()()()()kf xy f x f y f x x =↔=2()()()()f x y f x f y kxy f x ax bx+=++↔=+()()2()()f x y f x y f x f x ax b++-=↔=+【题型归纳目录】题型一：求抽象函数的解析式及函数值题型二：抽象函数的奇偶性问题题型三：抽象函数的单调性问题【典型例题】题型一：求抽象函数的解析式及函数值例1．设函数:f R R →满足(0)1f =，且对任意x ，y R ∈，都有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则(2017)(f =)A ．0B ．2018C ．2017D ．1例2．设函数()f x 满足(0)1f =，且对任意x ，y R ∈，都有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则f （1）(=)A ．2B ．2-C ．1D ．1-例3．设函数:f R R →满足(0)1f =，且对任意x ，y R ∈都有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则(2020)(f =)A ．0B ．1C ．2019D ．2021变式1．若函数()f x 对定义域内任意两个自变量x ，y 都有()()()f x y f x f y +=，则()f x 可以是()A ．()21f x x =+B ．2()f x x =C ．1()f x x =D ．()2xf x =变式2．函数()f x 满足对定义域内的任意x ，都有(2)()2(1)f x f x f x ++<+，则函数()f x 可以是()A ．()21f x x =+B ．2()2f x x x =-C ．()x f x e =D ．()f x lnx =变式3．若()f x 满足对任意的实数a ，b 都有()f a b f +=（a ）f （b ）且f （1）2=，则下列判断正确的有()A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在定义域上单调递增C ．当(0,)x ∈+∞时，函数()1f x >D ．(2)(4)(6)(2016)(2018)(2020)2020(1)(3)(5)(2015)(2017)(2019)f f f f f f f f f f f f +++⋯++=变式4．已知函数()f x 对一切实数x ，y 都有()()(21)f x y f y x x y +-=++成立，且f （1）0=，则(0)f =，()f x =．变式5．若函数()f x 对任意实数x ，y 均有22()2()233f x y f y x xy y x y +=++-+-，则()f x 的解析式为．变式6．对任意正实数x ，y ，()()()f xy f x f y =+，f （9）4=，则f =．变式7．（1）已知()2()1f x f x x +-=+，求()f x 的解析式．（2）设()f x 是R 上的函数，且(0)1f =，并且对任意实数x ，y 都有()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 的解析式．题型二：抽象函数的奇偶性问题例4．（2022·重庆市辅仁中学校高一期中）已知()f x 定义域为R ，对任意,x y ∈R 都有()()()1f x y f x f y +=+-，当0x >时，()1,(1)0f x f <=．(1)求(1)f -;(2)试判断()f x 在R 上的单调性，并证明;(3)解不等式：2(232)2()4f x x f x --+>．例5．（2022·广东·深圳外国语学校高一期中）已知函数()f x 对任意的实数,m n 都有()()()1f m n f m f n +=+-，且当0x >时，有()1f x >．(1)求证：()f x 在R 上为增函数；(2)若()()923292x x x f f k -⋅+⋅->对任意[)0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围．例6．（2022·广西梧州·高一阶段练习）（1）已知函数()f x 对任意的,a b ∈R ，都有()()()1f a b f a f b +=+-，且当0x >时，()1f x >，求证：()f x 是R 上的增函数；（2）若()f x 是R 上的增函数，且()(),(2)1x f f x f y f y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解不等式1()23f x f x ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭．变式8．（2022·湖南省临澧县第一中学高一阶段练习）对任意的0x ≠函数()f x 满足对任意的a ，b 都有()()()f ab f a f b =+，且当1x >时，()0f x >.(1)判断()f x 的奇偶性，并加以证明；(2)判断()f x 的单调性，并加以证明；(3)对任意的0t ≠都有不等式()()20f t t f k --<恒成立，求k 的取值范围.变式9．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，对任意正实数a 、b 都有()()()1f ab f a f b +=+，且当1x >时，()1f x >．求证：函数()f x 是()0,∞+上的增函数．变式10．（2022·全国·高一专题练习）定义在()0∞+，上的函数()f x 满足下面三个条件：①对任意正数a b ，，都有()()()f a f b f ab +=；②当1x >时，()0f x <；③()21f =-(1)求()1f 和14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；(2)试用单调性定义证明：函数()f x 在()0∞+，上是减函数；(3)求满足()()32412218f x x f x -+>的x 的取值集合．变式11．（2022·全国·高一期中）已知函数f (x )对∀x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x ＜0时，f (x )＞0，且f (1)＝－2.(1)证明函数f (x )在R 上的奇偶性；(2)证明函数f (x )在R 上的单调性；(3)当x ∈[1，2]时，不等式f (x 2－mx )＋f (x )＜4恒成立，求实数m 的取值范围.变式12．（2022·全国·高一单元测试）已知f (x )是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f (1)＝1，当a ，b ∈[－1，1]，a ＋b ≠0时，有()()f a f b a b++＞0成立.(1)判断f (x )在区间[－1，1]上的单调性，并证明；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围.题型三：抽象函数的单调性问题例7．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一阶段练习）定义在()1,1-上的函数()f x 满足对任意的(),1,1x y ∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，且当(0,1)x ∈时，()0f x <．(1)求证：函数()f x 是奇函数；(2)判断()f x 在()1,1-上的单调性，不需证明；(3)解不等式()()10f x f x -+<．例8．（2022·湖南·慈利县教育科学研究室高一期中）已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，并且满足()()(),(1) 4.f x y f x f y f +=+=(1)求(0)f 的值.(2)判断函数()f x 的奇偶性.(3)若(23)()8f x f x +-＜，求x 的取值范围.例9．（2022·全国·高一课时练习）设函数()f x 对任意,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，证明：()f x 为奇函数．变式13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 满足()()()()1,f x y f x f y x y R +=+-∈，当x y ≠时，()()0f x f y x y->-成立，且(1)2f =．(1)求(0)f ，并证明函数()()1g x f x =-的奇偶性；(2)当[0,9]x ∈，不等式()(3f x f m +-≤恒成立，求实数m 的取值范围．变式14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 定义域为[1,1]-，若对于任意的,[1,1]x y ∈-，都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，有()0f x >.(1)证明：()f x 为奇函数；(2)证明：()f x 在[1,1]-上是增函数；(3)设(1)1f =，若()22f x m am <-+，对所有[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.变式15．（2022·黑龙江双鸭山·高一期末）设函数()f x 是增函数，对于任意,R x y ∈都有()()()f x y f x f y +=+．(1)写一个满足条件的()f x ；(2)证明()f x 是奇函数；(3)解不等式()211()(3)22f x f x f x ->．变式16．（2022·重庆·西南大学附中高一期中）已知y =f (x )满足对一切x ，y ∈R 都有f (x +2y )=f (x )+2f (y ).(1)判断y =f (x )的奇偶性并证明;(2)若f (1)=2，求f (-13)+f (-3)+f (22)+f (53)的值.变式17．（2022·全国·高一课时练习）函数f （x ）对于任意的实数x ，y 都有f (x+y )=f （x ）+f （y ）成立，且当x ＞0时f （x ）＜0恒成立．(1)证明函数f （x ）的奇偶性；(2)若f （1）=－2，求函数f （x ）在[－2，2]上的最大值；(3)解关于x 的不等式211(2)()(4)(2) 22f x f x f x f -->--变式18．（2022·河南焦作·高一期中）已知f (xy )＝f (x )＋f (y ).(1)若x ，y ∈R ，求f (1)，f (－1)的值；(2)若x ，y ∈R ，判断y ＝f (x )的奇偶性；(3)若函数f (x )在其定义域(0，＋∞)上是增函数，f (2)＝1，f (x )＋f (x －6)≤4，求x 的取值范围.【过关测试】一．单选题1．若对任意x ，y R ∈，有()()()3f x f y f x y +-+=，函数22()()1x g x f x x =++，则g （2）(2)g +-的值等于()A ．0B ．4C ．6D ．82．若对x ∀，y R ∈，有()()()3f x f y f x y +-+=，函数2()()1x g x f x x =++，则g （2）(2)g +-的值()A ．0B ．4C ．6D ．93．已知定义在(0,)+∞上的减函数()f x 满足条件：对任意x ，(0,)y ∈+∞，总有()()()1f xy f x f y =+-，则关于x 的不等式(1)1f x ->的解集是()A ．(1,)+∞B ．(1,2)C ．(,2)-∞D ．(0,2)二．填空题4．函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，且对于定义域内的任意x ，y 都有()()()f xy f x f y =+，且f （2）1=，则f 的值为．5．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，满足f （2）1=，且对于定义域内任意x ，y 都有()()()f xy f x f y =+成立，那么f （1）f +（4）=．6．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，f （2）1=．如果对于0x y <<，都有()()f x f y <，则不等式(1)(1)2f x f x -++<的解集为（表示成集合）．7．已知定义在正实数集上的函数()f x 满足①若1x >，则()0f x <；②1()12f =；③对定义域内的任意实数x ，y ，都有：()()()f xy f x f y =+，则不等式()(5)2f x f x +-- 的解集为．三．解答题8．已知函数()f x ，()g x 同时满足：()()()()()g x y g x g y f x f y -=+；(1)1f -=-，(0)0f =，f （1）1=，求(0)g ，g （1），g （2）的值．9．若函数()f x ，()g x 满足()()()()()g x y g x g y f x f y -=+，并且(0)0f =，(1)1f -=-，f（1）1=．（1）证明：22()()(0)f x g x g +=．（2）求(0)g ，g （1），(1)g -，g （2）的值．（3）判断()f x ，()g x 的奇偶性．10．（2022·北京市第五中学高一期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足：①对任意实数x ，y ，均有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=；②(1)0f =；③对任意[0,1)x ∈，()0f x >．(1)求(0)(2)f f -的值，并判断()f x 的奇偶性；(2)对任意的x ∈R ，证明：(4)()f x f x +=；(3)直接写出()f x 的所有零点(不需要证明)．11．（2022·山西太原·高一开学考试）若定义在R 上的函数()f x 对任意实数1x ，2x ，都有()()()12122f x x f x f x +=+-成立，且当0x >时，()2f x >.(1)求证：()2f x -为奇函数；(2)判断()f x 在R 上的单调性，并说明理由；(3)若()45f =，解不等式()2328f m m --<.12．（2022·福建·泉州市第六中学高一期中）设函数()f x 对任意,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <.(1)证明：()f x 为奇函数；(2)证明：()f x 为减函数，(3)若()11f -=，试求关于m 的不等式()()22213f m f m m +-+>-的解集.13．（2022·福建省龙岩第一中学高一阶段练习）已知函数()f x 对任意实数x ､y 恒有f （x +y ）=f （x ）+f （y ），当0x >时，()0f x <，且()12f =-.(1)判断()f x 的奇偶性；(2)证明函数单调性并求()f x 在区间[]3,3-上的最大值；(3)若()222f x m am <-+对所有的][1,1 ,1,1x a ⎡⎤∈-∈-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.14．（2022·海南中学三亚学校（三亚市实验中学）高一期中）已知函数()f x 对一切实数x ，R y ∈都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <，又()32f =-．(1)试判定该函数的奇偶性；(2)试判断该函数在R 上的单调性；(3)若()()22240f x f x ++--<，求x 的取值范围．15．（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）函数()f x 的定义域为{}|0D x x =≠，且满足对于任意1x ，2x D ∈，有()()()1212f x x f x f x ⋅=+．(1)判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；(2)如果()41f =，()12f x -<，且()f x 在()0,∞+上是增函数，求x 的取值范围．16．（2022·宁夏·银川一中高一期中）已知函数()f x 定义域为[11]-，，若对于任意的[11]x y ∈-、，，都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，有()0f x >.(1)判断并证明函数()f x 的奇偶性；(2)判断并证明函数()f x 在[11]-，上的单调性；(3)若f （1）=1，2()21f x m am <-+，对所有[11]x ∈-，，[11]a ∈-，恒成立，求m 的取值范围；17．（2022·四川·攀枝花市第十五中学校高一期中）函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <(1)判断()f x 的奇偶性；(2)求证∶()f x 是R 上的减函数∶(3)若a R ∈，求关于x 的不等式()()()()222f ax f x f x f ax ++<-的解集.。
抽象函数模型归纳总结(八大题型)(解析版)
抽象函数模型归纳总结目录01方法技巧与总结02题型归纳总结题型一：一次函数模型题型二：二次函数模型题型三：幂函数模型题型四：指数函数模型题型五：对数函数模型题型六：正弦函数模型题型七：余弦函数模型题型八：正切函数模型03过关测试20一次函数(1)对于正比例函数f x =kx k≠0，与其对应的抽象函数为f x±y=f x ±f y ．(2)对于一次函数f x =kx+b k≠0，与其对应的抽象函数为f x±y=f x ±f y ∓b．二次函数(3)对于二次函数f x =ax2+bx+c a≠0，与其对应的抽象函数为f x+y=f x +f y +2axy-c幂函数(4)对于幂函数f x =x n，与其对应的抽象函数为f xy=f x f y ．(5)对于幂函数f x =x n，其抽象函数还可以是fxy=f x f y．指数函数(6)对于指数函数f x =a x，与其对应的抽象函数为f x+y=f x f y ．(7)对于指数函数f x =a x，其抽象函数还可以是f x -y =f xf y．其中(a >0,a ≠1)对数函数(8)对于对数函数f x =log a x ，与其对应的抽象函数为f xy =f x +f y ．(9)对于对数函数f x =log a x ，其抽象函数还可以是fxy=f x -f y ．(10)对于对数函数f x =log a x ，其抽象函数还可以是f x n=nf x ．其中(a >0,a ≠1)三角函数(11)对于正弦函数f x =sin x ，与其对应的抽象函数为f x +y f x -y =f 2x -f 2y 注：此抽象函数对应于正弦平方差公式：sin 2α-sin 2β=sin α+β sin α-β(12)对于余弦函数f x =cos x ，与其对应的抽象函数为f x +f y =2fx +y 2 f x -y2注：此抽象函数对应于余弦和差化积公式：cos α+cos β=2cos α+β2cosα-β2(13)对于余弦函数f x =cos x ，其抽象函数还可以是f x f y =12f x +y +f x -y注：此抽象函数对应于余弦积化和差公式：cos αcos β=cos α+β +cos α-β2(14)对于正切函数f x =tan x ，与其对应的抽象函数为f x ±y =f x ±f y1∓f x f y注：此抽象函数对应于正切函数和差角公式：tan α±β =tan α±tan β1∓tan αtan β题型一：一次函数模型1已知f x +y =f x +f y -1且f 1 =2，则f 1 +f 2 +⋯+f n 不等于A.f 1 +2f 1 +⋯+nf 1 -n n -12B.f n n +1 2+n -1C.n 2+3n2 D.n n +1【答案】D【解析】∵f x +y =f x +f y -1，∴f x +y -1=f x -1 +f y -1 ，构造函数g x =f x -1，则g x +y =g x +g y ，且g 1 =f 1 -1=1，令a n =g n =f n -1，则a 1=f 1 -1=1，令x =n ，y =1，得g n +1 =g n +g 1 ，∴a n +1=a n +a 1=a n +1，即a n +1-a n =1，所以，数列a n 为等差数列，且首项为1，公差为1，∴a n =1+n -1 ×1=n ，∴f n -1=n ，则f n =n +1.f 1 +f 2 +⋯+f n =2+3+⋯+n +1 =n 2+n +1 2=n n +3 2=n 2+3n 2，f 1 +2f 1 +⋯+nf 1 -n n -1 2=n n +1 2f 1 -n n -1 2=n n +1 -n n -1 2=n 2+3n2，合乎题意；f n n +1 2 +n -1=n n +1 2+1+n -1=n 2+3n 2，合乎题意；故选D .2已知函数f x 的定义域为R ，且f 12≠0，若f (x +y )+f (x )f (y )=4xy ，则下列结论错误的是()A.f -12=0 B.f 12=-2C.函数f x -12是偶函数 D.函数f x +12是减函数【答案】C【解析】对于A ，令x =12、y =0，则有f 12 +f 12 ×f 0 =f 121+f 0 =0，又f 12≠0，故1+f 0 =0，即f 0 =-1，令x =12、y =-12，则有f 12-12 +f 12 f -12 =4×12×-12，即f 0 +f 12 f -12 =-1，由f 0 =-1，可得f 12 f -12 =0，又f 12 ≠0，故f -12=0，故A 正确；对于C ，令y =-12，则有f x -12 +f x f -12 =4x ×-12，则f x -12 =-2x ，故函数f x -12是奇函数，故C 错误；对于D ，有f x +1-12 =-2x +1 =-2x -2，即f x +12=-2x -2，则函数f x +12 是减函数，故D 正确；对于B ，由f x -12 =-2x ，令x =1，有f 12=-2×1=-2，故B 正确.故选：C 3(2024·河南新乡·一模)已知定义在R 上的函数f x 满足∀x ,y ∈R ，f 2xy -1 =f x ⋅f y +f y +2x -3，f 0 =-1，则不等式f x >3-2x 的解集为()A.1,+∞B.-1,+∞C.-∞,1D.-∞,-1【答案】A【解析】令x =y =0，得f (-1)=f (0)⋅f (0)+f (0)-3=-3.令y =0，得f (-1)=f (x )f (0)+f (0)+2x -3，解得f (x )=2x -1，则不等式f (x )>3-2x 转化为2x +2x -4>0，因为y =2x +2x -4是增函数，且2×1+21-4=0，所以不等式f (x )>3-2x 的解集为(1,+∞).故选：A4已知定义在R 上的单调函数f x ，其值域也是R ，并且对于任意的x ,y ∈R ，都有f xf y =xy ，则f 2022 等于()A.0B.1C.20222D.2022【答案】D【解析】由于f x 在R 上单调，且值域为R ，则必存在y 0∈R ，使得f y 0 =1，令y =y 0得，f xf y 0 =xy 0，即f x =y 0x ，于是∀x ,y ∈R ，f xf y =f xy 0y =y 0xy 0y =y 20xy =xy ，则y 0=±1，从而f x =±x ，有f 2022 =2022.故选：D题型二：二次函数模型1(2024·高三·河北保定·期末)已知函数f (x )满足：∀x ，y ∈Z ，f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy +1成立，且f (-2)=1，则f 2n n ∈N * =()A.4n +6B.8n -1C.4n 2+2n -1D.8n 2+2n -5【答案】C【解析】令x =y =0，则f 0 =f 0 +f 0 +1，所以f 0 =-1，令x =y =-1，则f -2 =f -1 +f -1 +2+1=2f -1 +3=1，所以f -1 =-1，令x =1,y =-1，则f 0 =f 1 +f -1 -2+1=f 1 -2=-1，所以f 1 =1，令x =n ,y =1,n ∈N *，则f n +1 =f n +f 1 +2n +1=f n +2n +2，所以f n +1 -f n =2n +2，则当n ≥2时，f n -f n -1 =2n ，则f n =f n -f n -1 +f n -1 -f n -2 +⋯+f 2 -f 1 +f 1=2n +2n -2 +⋯+4+1=2n +4 n -12+1=n 2+n -1，当n =1时，上式也成立，所以f n =n 2+n -1n ∈N * ，所以f 2n =4n 2+2n -1n ∈N * .故选：C .2(2024·山东济南·三模)已知函数f x 的定义域为R ，且yf x -xf y =xy x -y ，则下列结论一定成立的是()A.f 1 =1B.f x 为偶函数C.f x 有最小值D.f x 在0,1 上单调递增【答案】C【解析】由于函数f x 的定义域为R ，且yf x -xf y =xy x -y ，令y =1，则f x -xf 1 =x x -1 ，得f x =x 2+f 1 -1 x ，x =1时，f 1 =12+f 1 -1 恒成立，无法确定f 1 =1，A 不一定成立；由于f 1 =1不一定成立，故f x =x 2+f 1 -1 x 不一定为偶函数，B 不确定；由于f x =x 2+f 1 -1 x 的对称轴为x =-12⋅f 1 -1 与0,1 的位置关系不确定，故f x 在0,1 上不一定单调递增，D 也不确定，由于f x =x 2+f 1 -1 x 表示开口向上的抛物线，故函数f x 必有最小值，C 正确，故选：C3(2024·陕西西安·模拟预测)已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x )+f (y )=f (x +y )-2xy +2,f (1)=2，则下列结论正确的是()A.f (4)=12B.方程f (x )=x 有解C.f x +12 是偶函数D.f x -12是偶函数【答案】C【解析】对于A ，因为函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x )+f (y )=f (x +y )-2xy +2,f (1)=2，取x =y =1，得f (1)+f (1)=f (2)-2+2，则f (2)=4，取x =y =2，得f (2)+f (2)=f (4)-8+2，则f (4)=14，故A 错误；对于B ，取y =1，得f (x )+f (1)=f (x +1)-2x +2，则f (x +1)-f (x )=2x ，所以f (x )-f (x -1)=2(x -1),f (x -1)-f (x -2)=2(x -2),⋯,f (2)-f (1)=2，以上各式相加得f (x )-f (1)=2(x -1)+2 ⋅(x -1)2=x 2-x ，所以f (x )=x 2-x +2，令f (x )=x 2-x +2=x ，得x 2-2x +2=0，此方程无解，故B 错误.对于CD ，由B 知f (x )=x 2-x +2，所以f x +12 =x +12 2-x +12 +2=x 2+74是偶函数，f x -12 =x -12 2-x -12 +2=x 2-2x +114不是偶函数，故C 正确，D 错误.故选：C .4(2024·河南·三模)已知函数f x 满足：f 1 ≥3，且∀x ,y ∈R ，f x +y =f x +f y +6xy ，则9i =1f i 的最小值是()A.135 B.395C.855D.990【答案】C【解析】由f x +y =f x +f y +6xy ，得f x +y -3x +y 2=f x -3x 2+f y -3y 2，令g x =f x -3x 2，得g x +y =g x +g y ，令x =n ,y =1，得g n +1 -g n =g 1 ，故g n =g n -g n -1 + g n -1 -g n -2 +⋅⋅⋅+ g 2 -g 1 +g 1 =ng 1 ，又g n =f n -3n 2，所以f n =g n +3n 2=3n 2+f 1 -3 n ，所以9i =1f i =39i =1i 2+f 1 -3 9i =1i =855+45f 1 -3 ，因为f 1 ≥3，当f 1 =3时，9i =1f i 的最小值为855．故选：C ．题型三：幂函数模型1已知函数f x 的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，且xf x =y +1 f y +1 ，则()A.f x ≥0B.f 1 =1C.f x 是偶函数D.f x 没有极值点【答案】D【解析】令g x =xf x ，则g y +1 =y +1 f y +1 ，所以g x =g y +1 ，且x ,y +1为定义域内任意值，故g x 为常函数.令g x =k ，则f x =kx，为奇函数且没有极值点，C 错，D 对；所以f x ≥0不恒成立，f 1 =1不一定成立，A 、B 错.故选：D2(2024·河北·模拟预测)已知定义在-∞,0 ∪0,+∞ 上的函数f x 满足f xy =f -x y +f -yx+1xy，则()A.f x 是奇函数且在0,+∞ 上单调递减B.f x 是奇函数且在-∞,0 上单调递增C.f x 是偶函数且在0,+∞ 上单调递减D.f x 是偶函数且在-∞,0 上单调递增【答案】A【解析】令x =y =-1，则f 1 =-2f 1 +1，所以f 1 =13，令x =y =1，则f 1 =2f -1 +1，所以f -1 =-13，令y =-1，则f -x =-f -x +f 1 x -1x =-f -x +13x -1x =-f -x -23x，所以f -x =-13x，令y =1，则f x =f -x +f -1 x +1x =-13x -13x +1x =13x ，所以f x =13x，因为f -x =-13x=-f x ，且定义域关于原点对称，所以函数f x 是奇函数，由反比例函数的单调性可得函数f x =13x在0,+∞ 上单调递减.故选：A .题型四：指数函数模型1(多选题)(2024·山西晋中·三模)已知函数f x 的定义域为R ，满足f x +y =f x f y +f x +f y ，且f 0 ≠-1，f 1 >-1，则下列说法正确的是()A.f 0 =0B.f x 为非奇非偶函数C.若f 1 =1，则f 4 =15D.f x >-1对任意x ∈N *恒成立【答案】ACD【解析】我们有恒等式：f x +y +1=f x f y +f x +f y +1=f x +1 f y +1 .对于A ，由恒等式可得f 0 +1=f 0 +1 f 0 +1 ，而f 0 ≠-1，故f 0 +1≠0，所以1=f 0 +1，即f 0 =0，故A 正确；对于B ，由于f x =0满足条件且是偶函数，所以f x 有可能是偶函数，故B 错误；对于C ，由恒等式可得f x +1 +1=f x +1 f 1 +1 ，故f 4 +1=f 3 +1 f 1 +1 =f 2 +1 f 1 +12=f 1 +1 4.若f 1 =1，则f 4 =f 1 +1 4-1=24-1=15，故C 正确；对于D ，由恒等式可得f x +1 +1=f x +1 f 1 +1 .而f 1 +1>0，故f x +1 +1和f x +1同号(同为正数，或同为负数，或同为0)，从而再由f 1 +1>0可知f x +1>0x ∈N * ，即f x >-1x ∈N * ，故D 正确.故选：ACD .2已知函数f x 满足，f p +q =f p ⋅f q ,f 1 =3，则f 21 +f 2 f 1 +f 22 +f 4f 3+f 23 +f 6 f 5 +f 24 +f 8 f 7 +f 25 +f 10f 9 的值为()A.15B.30C.60D.75【答案】B【解析】∵f p +q =f p ⋅f q ,∴f n +1 =f n ⋅f 1 ,∵f 1 =3∴f n +1 =3f n ∴f n =3×3n -1=3n因此f 21 +f 2 f 1 +f 22 +f 4 f 3 +f 23 +f 6 f 5 +f 24 +f 8 f 7 +f 25 +f 10 f 9=32+323+34+3433+36+3635+38+3837+310+31039=6+6+6+6+6=30故选：B3如果f a +b =f a f b 且f 1 =2，则f 2 f 1 +f 4 f 3 +f 6f 5=()A.125B.375C.6D.8【答案】C【解析】∵f 1 =2，f a +b =f a f b ，∴f 2 =f 1 f 1 ，f 4 =f 3 f 1 ，f 6 =f 5 f 1 ，∴f 2 f 1 =f 1 ，f 4 f 3 =f 1 ，f 6 f 5 =f 1 ，∴f 2 f 1 +f 4 f 3 +f 6 f 5 =3f 1 =6，故选：C ．4已知函数f x 对一切实数a ,b 满足f a +b =f a ⋅f b ，且f 1 =2，若a n =f n2+f 2n f 2n -1n ∈N *，则数列a n 的前n 项和为()A.nB.2nC.4nD.8n【答案】C【解析】∵函数f x 对一切实数a,b满足f a+b=f a ⋅f b ，且f1 =2∴f n+1=f n ⋅f1 =2f n∴数列f n是等比数列，首项为2，公比为2∴f n =2n，n∈N*所以a n=f n2+f2nf2n-1=22n+22n22n-1=4所以数列a n的前n项和为4n．故选：C．题型五：对数函数模型1(多选题)已知函数f x 的定义域为R，f xy=y2f x +x2f y ，则( )．A.f0 =0 B.f1 =0C.f x 是偶函数D.x=0为f x 的极小值点【答案】ABC【解析】方法一：因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，对于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确.对于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，则f(1)=0，故B正确.对于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，则f(-1)=0，令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确，对于D，不妨令f(x)=0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误.方法二：因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，对于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确.对于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，则f(1)=0，故B正确.对于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，则f(-1)=0，令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确，对于D，当x2y2≠0时，对f(xy)=y2f(x)+x2f(y)两边同时除以x2y2，得到f(xy)x2y2=f(x)x2+f(y)y2，故可以设f(x)x2=ln x (x≠0)，则f(x)=x2ln x ,x≠00,x=0，当x>0肘，f(x)=x2ln x，则f x =2x ln x+x2⋅1x=x(2ln x+1)，令f x <0，得0<x<e-12；令f x >0，得x>e-12；故f(x)在0,e-1 2上单调递减，在e-12,+∞上单调递增，因为f(x)为偶函数，所以f(x)在-e-1 2,0上单调递增，在-∞,e-12上单调递减，显然，此时x =0是f (x )的极大值，故D 错误.故选：ABC .2.已知定义在0,+∞ 上的函数f x ，满足f xy +1=f x +f y ，且f 12=0，则f 211 =()A.1B.11C.12D.-1【答案】C【解析】令x =y =1，则f 1 +1=f 1 +f 1 ，解得f 1 =1，令x =2,y =12，则f 1 +1=f 2 +f 12，解得f 2 =2，令x =y =2，则f 22 +1=f 2 +f 2 ，解得f 22 =3，令x =22,y =2，则f 23 +1=f 22 +f 2 ，解得f 23 =4，⋯⋯，依次类推可得f 211 =12。
常见抽象函数题的解法
常见抽象函数题的解法作者：张春林来源：《高中生·高考指导》2013年第09期一、几种常见的抽象函数1.一次函数型抽象函数： f（x+y）= f（x）+ f（y），f（x-y）= f（x）- f（y）.对应函数模型： f（x）=kx（k≠0）.2.二次函数型抽象函数： f（a+x）= f（a-x）.对应函数模型： f（x）=k（x-a）2+m（k≠0）.3.指数函数型抽象函数： f（x+y）= f（x） f（y），f（x-y）=.对应函数模型： f（x）=ax（a>0且a≠1）.4.对数函数型抽象函数：f（xy）= f（x）+ f（y），f（）=f（x）- f（y）.对应函数模型：f（x）=loga x（a>0且a≠1）.5.余弦函数型抽象函数： f（x1）+ f（x2）=2 f（）· f（）.对应函数模型： f（x）=cos x.6.正切函数型抽象函数： f（x+y）=.对应函数模型： f（x）=tan x（x≠+kπ，k∈Z）.7.幂函数型抽象函数： f（xy）= f（x） f（y）， f（）=.对应函数模型： f（x）=xa（a为常数）.二、常见抽象函数的题型及解法1.利用函数的概念，整体换元，求解函数的定义域、值域问题.例1 ①若函数f（1+x）的定义域是[0，1]，则函数f（x-1）的定义域是 .②已知函数 f（x）的值域是[-1，1]，则函数 f（x+2）的值域是 .分析第①题中的两个函数有相同的法则，括号中的1+x和x-1的地位相同，范围相同，可用换元法求解.第②题中的两个函数有相同的法则，括号中的x与x+2的地位相同，范围相同，则两个函数的值域相同.解①令函数f（1+x）中的1+x=t.由函数f（1+x）的定义域为[0，1]，可得l+x=t∈[1，2].令函数f（x-1）中的x-1=m，则m与t的范围相同.因为x-1=m∈[1，2]，所以x∈[2，3].故函数f（x-1）的定义域是[2，3].②函数 f（x）与函数f（x+2）的值域相同，所以函数f（x+2）的值域为[-1，1].2.利用抽象关系式，巧妙赋值，求解有关函数值问题.例2 设函数 f（x）的定义域是（-∞，+∞），满足条件：①存在x1≠x2，使得 f（x1）≠ f （x2）；②对任何x和y，f（x+y）= f（x）f（y）成立.（1）求 f（0）；（2）对任意实数x，判断f（x）值的正负.分析只要将f（x+y）= f（x） f（y）中的y赋值为0，就可以得到f（0）和 f（x）的关系式.解（1）将y=0代入f（x+y）= f（x） f（y），得 f（x）=f（x）f（0），即 f（x）=0或f （0）=1.若 f（x）=0，则对任意x1≠x2，都有 f（x1）= f（x2），这与题设矛盾.所以f（0）=1.（2）将y=x代入f（x+y）= f（x） f（y）.因为 f（x）≠0，所以f（2x）= f 2（x）>0，即f（x）>0.所以对任意实数x，f（x）>0.注：如果知道f（x+y）= f（x） f（y）为指数函数型抽象函数，就可以根据对应函数模型f（x）=ax（a>0且a≠1）直接得到相应结论.3.利用抽象关系式，灵活构造，判断函数的单调性、奇偶性等性质.例3 已知函数 f（x）对任意实数x，y，均有 f（xy）= f（x） f（y），且 f（-1）=1.当0≤x（1）判断 f（x）的奇偶性.（2）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并给出证明.分析根据函数的奇偶性的判定式和单调性的定义构造关系式.解（1）令y =-1，将其代入 f（xy）= f（x） f（y）中，得f（-x）= f（x） f（-1）= f （x）.所以， f（x）为偶函数.（2）设x1，x2是[0，+∞）上的任意两个实数，且0≤x1所以，函数 f（x）在[0，+∞）上为增函数.例4 已知函数 f（x）对任意实数x，y，均有f（x+y）= f（x）+ f（y），且当x>0时，f （x）>0，f（-1）=-2，求f（x）在[-2，1]上的值域.分析由题意可知，要求f（x）在[-2，1]上的值域，先要判断函数f（x）的单调性和奇偶性.解设对任意的实数x1，x2，有x10.因为当x>0时，f（x）>0，所以f（x2-x1）>0.因为f（x2）= f [（x2-x1）+x1]= f（x2-x1）+ f（x1），所以f（x2）- f（x1）= f（x2-x1）>0，即 f（x1）< f（x2）.可知f（x）为增函数.令y=-x，将其代入f（x+y）= f（x）+ f （y），得f（0）= f（x）+ f（-x），再令x=y=0，则f（0）= 2f（0），即f（0）= 0.所以，f （x）为奇函数，f（1）=- f（-1）=2.又f（-2）=2 f（-1）= -4，所以f（x）在[-2，1]上的值域为[-4，2].例5 若对任意实数x和不为0的常数a都有f（x+a）=成立，请问： f（x）是不是周期函数？为什么？分析根据周期函数的定义来判断.解由已知得f（x+2a）=== -，则f（x+4a）=-= f（x）.所以， f（x）为周期函数，周期为4a.4.利用模型函数，类比联想，解决函数的相关问题.例6 如果 f（x+y）= f（x） f（y），且 f（1）=2，那么+++…+的值为 .分析由 f（x+y）= f（x） f（y），类比联想到指数函数 f（x）=ax（a>0且a≠1）的性质.解根据题设条件，令 f（x）=2x，则+++…+=2×1 005=2 010.例7 已知函数 f（x）的定义域为（0，+∞），且函数 f（x）为增函数， f（4）=1， f （xy）= f（x） + f（y）.（1）求 f（1）和 f（16）.（2）若 f（x） + f（x-3）≤1，求x的范围.分析由 f（xy）= f（x） + f（y）联想到对数函数f（x）= loga x（a>0且a≠1）.解（1）根据题设条件，令f（x）= log4 x，则f（1）= log41=0， f（16）= log416=2.（2）由已知得f（x） + f（x-3）= f [x（x-3）]≤1= f（4）.因为f（x）是增函数，所以x（x-3）≤4，x-3>0，x>0，即3。
重难点2-4-抽象函数及其性质8大题型(解析版) (1)
重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。
抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。
一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。
2024年高三培优讲义5-抽象函数赋值与构造
专题1-5 抽象函数赋值与构造一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过的变换判定单调性；3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性；4、换为确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：或;()()12−f x f x ()f x ()−f x x +x T () =+y x f ()()()()111212)(x f x x x f x f x f −+−=−()()()()221212)(x x x f x f x f x f +−−=−②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：或. 三、常见的抽象函数模型1、可看做的抽象表达式；2、可看做的抽象表达式（且）；3、可看做的抽象表达式（且）；4、可看做的抽象表达式.2022新高考2卷T8 1．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++−==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3−B ．2−C ．0D ．12023新高考1卷T112．（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（ ）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点2023·山东青岛·统考三模() =xy f ()()()112112x f x x x f x f x f −⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=−()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅−=−212212x x x f x f x f x f ()()()+=+f x y f x f y ()=f x kx ()()()+=f x y f x f y ()=xf x a 0>a 1≠a ()()()=+f xy f x f y ()log =a f x x 0>a 1≠a ()()()=f xy f x f y ()=af x x 重点题型·归类精讲1．设()f x 为定义在整数集上的函数，()11f =，()20f =，()10f −<，对任意的整数,x y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=−+−．则()55f =______．2023·山东滨州·三模2．（多选）已知连续函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +＝＋，当0x ＞时，()0f x ＜，(1)2f ＝－，则以下说法中正确的是（ ） A ．f （0）＝0B ．f (x )是R 上的奇函数C ．f (x )在[－3，3]上的最大值是6D ．不等式()232()(3)4f x f x f x −<+的解集为213xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭安徽省皖江名校联盟2024届高三上学期10月第二次联考3．已知函数不是常数函数，且满足以下条件：①，其中；②，则（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4．（多选）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()()()()2,02,01f xy f x f y f x f y f f f =−−+<≠，且()0f x >，则（ ） A ．()01f =B ．()12f −=C ．()()2f x f x −=D ．()()f x f x −=5．已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的个数是（ ）①；②必为奇函数；③；④若，则.A ．1B ．2C ．3D ．42023·浙江嘉兴·统考模拟6．已知函数的定义域为，且，，则的值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12(),y f x x =∈R ()()()()f a b f a b f a f b ++−=,a b ∈R ()10f =()2026f −=2−()f x ()f x 'R ,R x y ∈()()()()2f x y f x y f x f y ++−=()00f =()f x '()()00f x f +≥1(1)2f =202311()2n f n ==∑()f x R ()()()()31,00,f x x f x x ⎛⎫=∈−∞+∞ ⎪⎝⎭()()()2f x f y xy f x y ++=+()3f2023届江苏连云港校考7．已知函数，任意，满足，且，则的值为（ ）A ．B ．0C ．2D ．48．已知，都是定义在上的函数，对任意x ，y 满足，且，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．函数的图象关于点对称C ．D ．若，则2023绍兴·高二期末9．已知函数的定义域为R ，且，为奇函数，，则（ ） A ． B ． C ．0 D ．10．（多选）已知函数()f x 的定义域为R ,()()()f x y f x f y +=+,则（ ）A ．()00f =B ．()f x 是奇函数 C ．0x =为()f x 的极小值点D ．若()11f =,则()20232023f =11．（多选）设()f x 是定义在R 上的函数，对,x y ∀∈R ，有()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++，且()00f ≠，则（ ）A ．()()0f x f x −−=B ．()()40f x f x +−=C ．()()()()02420242f f f f ++++=−()f x x y R ∈，()()()()22f x y f x y f x f y +−=−()()1220f f ==，()()()1290f f f +++2−()f x ()g x R ()()()()()f x y f x g y g x f y −=−()()210f f −=≠()01f =()21g x +()1,0()()110g g +−=()11f =()202311n f n ==∑()f x ()()()28f x f x f ++=()21f x +1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭22112k kf k =⎛⎫−= ⎪⎝⎭∑11−12−212D ．()()()()222212320244048f f f f ++++=12．（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，对任意的,R x y ∈，恒有()()()()2f x y f x y f x f y ++−=，则下列说法正确的有（ ）A ．()00f =B ．()f x '必为奇函数C ．()()00f x f +≥D ．若1(1)2f =，则202311()2n f x ==∑13．已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()()f x y f x y f x f y ++−=⋅，且12f ，则（ ）A ．()02f =B ．()f x 为奇函数C ．()()()()12320232f f f f +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=−D ．()22f x −≤≤14．（多选）已知定义域为R 的函数()f x 对任意实数,x y 都有()()()()2f x y f x y f x f y ++−=，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则以下结论一定正确的有（ ）A ．()01f =−B ．()f x 是偶函数C ．()f x 关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．()()()1220230f f f +++=15．函数()f x 的定义域为R ，且()()()21f x f x f x +=−+−，()()2f x f x =−，()3651f =−，则()20231k f k ==∑ .16．已知函数()f x 满足：1(1),4()()()()(,R)4f f x f y f x y f x y x y ==++−∈，则()2023f = .17．已知函数()f x 定义域为R ，满足()()()()()11,f f x y f x y f x f y =++−=，则()8f = .18．设()f x 为定义在整数集上的函数，()11f =，()20f =，()10f −<，对任意的整数,x y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=−+−．则()55f = ．19．（2024届厦门一中校考）若定义域为R 的奇函数()f x 满足()(1)(1)f x f x f x =++−，且(1)2f =，则(2024)f = ．20．函数()f x 的定义域为R ，对任意,x y ∈R ，恒有()()222x y x y f x f y f f +−⎛⎫⎛⎫+=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()112f =，则()1f −= ，()20221n f n ==∑ ．深圳市宝安区2024届高三上学期10月调研数学试题21．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()22f x y f x y f x f y +−=−，()13f =，322f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，则（ ） A ．()f x 为偶函数 B ．()23f = C ．()()33f x f x +=−−D ．()202313k f k ==∑专题1-5 抽象函数赋值与构造一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过的变换判定单调性；3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性；4、换为确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：或;()()12−f x f x ()f x ()−f x x +x T () =+y x f ()()()()111212)(x f x x x f x f x f −+−=−()()()()221212)(x x x f x f x f x f +−−=−②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：或. 三、常见的抽象函数模型1、可看做的抽象表达式；2、可看做的抽象表达式（且）；3、可看做的抽象表达式（且）；4、可看做的抽象表达式.2022新高考2卷T8 1．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++−==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3−B ．2−C ．0D ．1【答案】A【分析】法一：根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++−=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +−=，即()()f y f y =−，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++−==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=−−，()()14f x f x −=−−，故()()24f x f x +=−，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =−=−=−，()()()321112f f f =−=−−=−，()()()4221f f f =−==−，()()()5111f f f =−==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4，() =xy f ()()()112112x f x x x f x f x f −⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=−()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅−=−212212x x x f x f x f x f ()()()+=+f x y f x f y ()=f x kx ()()()+=f x y f x f y ()=xf x a 0>a 1≠a ()()()=+f xy f x f y ()log =a f x x 0>a 1≠a ()()()=f xyf x f y ()=af x x所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=−−−=−∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++−=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++−=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=，所以()2cos3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++−=++−== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 3f x xπ=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =−=−=−==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=−−−=−∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.2023新高考1卷T112．（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（ ）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点【答案】ABC【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC ，举反例()0f x =即可排除选项D.方法二：选项ABC 的判断与方法一同，对于D ，可构造特殊函数2ln ,0()0,0x x x f x x ⎧≠=⎨=⎩进行判断即可.【详解】方法一：因为22()()()f xy y f x x f y =+，对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确. 对于C ，令1x y ==−，(1)(1)(1)2(1)f f f f =−+−=−，则(1)0f −=，令21,()()(1)()y f x f x x f f x =−−=+−=，又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，对于D ，不妨令()0f x =，显然符合题设条件，此时()f x 无极值，故D 错误. 方法二：因为22()()()f xy y f x x f y =+，对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确. 对于C ，令1x y ==−，(1)(1)(1)2(1)f f f f =−+−=−，则(1)0f −=， 令21,()()(1)()y f x f x x f f x =−−=+−=，又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，对于D ，当220x y ≠时，对22()()()f xy y f x x f y =+两边同时除以22x y ，得到2222()()()f xy f x f y x y x y=+， 故可以设2()ln (0)f x x x x =≠，则2ln ,0()0,0x x x f x x ⎧≠=⎨=⎩，当0x >肘，2()ln f x x x =，则()212ln (2ln 1)x x x x xf x x =+⋅=+'， 令()0f x '<，得120e x −<<；令0fx，得12e x −>；故()f x 在120,e −⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,−⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为()f x 为偶函数，所以()f x 在12,0e −⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递增，在12,e −⎛⎫ ⎪⎝∞⎭−上单调递减，显然，此时0x =是()f x 的极大值，故D 错误.故选：ABC .2023·山东青岛·统考三模1．设()f x 为定义在整数集上的函数，()11f =，()20f =，()10f −<，对任意的整数,x y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=−+−．则()55f =______．重点题型·归类精讲【答案】1−【分析】采用赋值的方式可求得()()0,1f f −，令1y =和y x =−可证得()f x 的对称轴和奇偶性，由此可推导得到()f x 的周期性，利用周期性可求得函数值.【详解】令1x y ==，则()()()()()()21001200f f f f f f =+==，()00f ∴=；令2x =，1y =−，则()()()()22212111f f f f =+−=−=，又()10f −<，()11f ∴−=−；令1y =，则()()()()()()10111f x f x f f x f f x +=+−=−，f x 关于直线1x =对称；令y x =−，则()()()()()()()()01110f f x f x f x f x f x f x f x =++−−=+−+=⎡⎤⎣⎦， ()10f x +=不恒成立，()()0f x f x ∴+−=恒成立，f x 为奇函数，()()()2f x f x f x +=−=−，()()()42f x f x f x ∴+=−+=，f x 是周期为4的周期函数，()()()55414111f f f ∴=⨯−=−=−.故答案为：1−.2023·山东滨州·三模2．（多选）已知连续函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +＝＋，当0x ＞时，()0f x ＜，(1)2f ＝－，则以下说法中正确的是（ ） A ．f （0）＝0B ．f (x )是R 上的奇函数C ．f (x )在[－3，3]上的最大值是6D ．不等式()232()(3)4f x f x f x −<+的解集为213xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】ABC【分析】根据函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，可得(0)0f =，判断奇偶性和单调性，即可判断选项；【详解】解：对于A ，函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +=+， 令0x y ==，可得(0)0f =，A 正确；对于B ，令x y =−，可得(0)()()0f f x f x =+−=，所以()()f x f x =−−，所以()f x 是奇函数；B 正确；对于C ，令x y <，则()()()()()f y f x f y f x f y x −=+−=−， 因为当x ＞0时，f (x )＜0，所以()0f y x −<，即()()0f y f x −<， 所以()f x 在()()0,,,0+∞−∞均递减， 因为()0f x <，所以()f x 在R 上递减；12f ，可得(1)2f −=；令1y =，可得()()12f x f x +=− ()24f =−，()36f =−；()3(3)6f f =−−=，()f x ∴在[3−，3]上的最大值是6，C 正确；对于D ，由不等式2(3)2()(3)4f x f x f x −<+的可得2(3)()()(3)4f x f x f x f x <+++， 即2(3)(23)4f x f x x <++，4(2)f =−，2(3)(23)(2)f x f x x f ∴<++−，则2(3)(52)f x f x <−，2352x x ∴>−，解得：23x <或1x >； D 不对；故选：ABC ． 安徽省皖江名校联盟2024届高三上学期10月第二次联考3．已知函数不是常数函数，且满足以下条件：①，其中；②，则（ ）A ．0B ．1C ．2D ．【答案】D(),y f x x =∈R ()()()()f a b f a b f a f b ++−=,a b ∈R ()10f =()2026f −=2−【分析】先令，得到，再令，得到，根据函数的周期性得到函数的周期为，即可求解.【详解】由题意令，得，又不是常数函数， 所以，再令，得， 即，则， 即，故， 所以函数的周期为，所以， 故选：D.4．（多选）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()()()()2,02,01f xy f x f y f x f y f f f =−−+<≠，且()0f x >，则（ ） A ．()01f = B ．()12f −= C ．()()2f x f x −= D ．()()f x f x −=【答案】ABD【分析】由已知，利用赋值法计算判断得解.【详解】定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()2f xy f x f y f x f y =−−+，令0x y ==，得()()()20[0]202f f f =−+，而()02f <，则()01f =，A 正确；令x y ==1，得()()()21[1]212f f f =−+，而()()01f f ≠，则()12f =， 令1x y ==−，得()()()21[1]212f f f =−−−+，即()()2[1]21f f −=−，而()0f x >，即()10f −>，则()12f −=，B 正确；令1y =−，得()()()()()112f x f f x f f x −=−−−−+，即有()()()222f x f x f x −=−−+，因此()()f x f x −=，C 错误，D 正确. 故选：ABD5．已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的个数是（ ）0b =()02f =1b =()()2f a f a +=−()y f x =40b =()()()20f a f a f =()y f x =()02f =1b =()()()()111f a f a f a f ++−=()()110f a f a ++−=()()2f a f a +=−()()2f a f a −=−()()4f a f a =+()y f x =4()()()()202624506202f f f f −=+⨯==−=−()f x ()f x 'R ,R x y ∈()()()()2f x y f x y f x f y ++−=①；②必为奇函数；③；④若，则.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】利用赋值法可判断①；利用赋值法结合函数奇偶性定义判断②；赋值，令，得出，变量代换可判断③；利用赋值法求出部分函数值，推出其值具有周期性，由此可计算，判断④，即可得答案.【详解】令，则由可得，故或，故①错误；当时，令，则，则，故，函数既是奇函数又是偶函数；当时，令，则，所以，则，即，则为奇函数，综合以上可知必为奇函数，②正确；令，则，故.由于，令，即，即有，故③正确； 对于D ，若，令 ，则，则， 令，则，即，令，则，即， 令，则，即， 令，则，即，令，则，即， 令，则，即， 令，则，即，，()00f =()f x '()()00f x f +≥1(1)2f =202311()2n f n ==∑y x =()()200f x f +≥()f n 20231()n f n =∑0x y ==()()()()2f x y f x y f x f y ++−=()()22020f f =(0)0f =()01f =(0)0f =0y =()()2()(0)0f x f x f x f +==()0f x =()0f x '=()f x '(0)1f =0x =()()2(0)()f y f y f f y +−=()()−=f y f y ()()f y f y −''−=()()f y f y −='−'()f x '()f x 'y x =()()()2202f x f f x +=()()200f x f +≥x ∈R 2,R t x t =∈()()00f t f +≥()()00f x f +≥()112f =1,0x y ==()()()()11210+=f f f f (0)1f =1x y ==()()()22021f f f +=()()1121,222f f +=∴=−2,1x y ==()()()()31212f f f f =+()113,(3)122f f +=−∴=−3,1x y ==()()()()42231f f f f +=()1141,(4)22f f −=−∴=−4,1x y ==()()()()53241f f f f +=()1151,(5)22f f −=−∴=5,1x y ==()()()()64251f f f f +=()116,(6)122f f −=∴=6,1x y ==()()()()75261f f f f +=()1171,(7)22f f +=∴=7,1x y ==()()()()86271f f f f +=()1181,(8)22f f +=∴=−由此可得的值有周期性，且6个为一周期，且 ，故，故④正确， 即正确的是②③④， 故选：C.2023·浙江嘉兴·统考模拟6．已知函数的定义域为，且，，则的值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】D【分析】由赋值法先得，再由与关系列式求解． 【详解】中令，则，中令，，则，又中令，则，所以，中，令，则，再令，，则． 故选：D2023届江苏连云港校考7．已知函数，任意，满足，且，则的值为（ ）A ．B ．0C ．2D ．4【答案】C【分析】抽象函数利用特殊值的思路可以得到函数在取奇数和偶数的时候的规律，然后可以得到函数值的和.【详解】令，，则，所以；令，，则，所以；令，则，所以，(),N f n n *∈(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=()202311337[(1)(2)(3)(4)(5)(6)](1)2n f n f f f f f f f ==⨯++++++=∑()f x R ()()()()31,00,f x x f x x ⎛⎫=∈−∞+∞ ⎪⎝⎭()()()2f x f y xy f x y ++=+()3f ()00f =()1f ()1f −()()()2f x f y xy f x y ++=+0x y ==()00f =()()()2f x f y xy f x y ++=+1x =1y =−()()()11200f f f +−−==()31f x x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭=1x −()10f −=()12f =()()()2f x f y xy f x y ++=+1x y ==()()22126f f =+=1x =2y =()()()312426412f f f =++=++=()f x x y R ∈，()()()()22f x y f x y f x f y +−=−()()1220f f ==，()()()1290f f f +++2−()f x 2x =1y =()()()()223121f f f f =−()32f =−3x =2y =()()()()2251324f f f f =−=()52f =2y =()()()222f x f x f x +−=()72f =−()92f =.令，，则①，令，，则②，令，，则③，假设，那么由③可知，将，代入②式发现与矛盾，所以不成立，.同理可得当x 为偶数时，. 所以原式=.故选：C.8．已知，都是定义在上的函数，对任意x ，y 满足，且，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．函数的图象关于点对称C ．D ．若，则【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值.【详解】解：对于A ，令，代入已知等式得，得，故A 错误；对于B ，取，满足及， 因为，所以的图象不关于点对称， 所以函数的图象不关于点对称，故B 错误；对于C ，令，，代入已知等式得， 可得，结合得，，()()()2112kf k k Z +=−⋅∈3x =1y =()()420f f =4x =2y =()()()2624f f f =5x =1y =()()640f f =()40f ≠()60f =()20f =()60f =()40f ≠()40f ≠()40f =()0f x =()()()()138925f f f f ++++=()f x ()g x R ()()()()()f x y f x g y g x f y −=−()()210f f −=≠()01f =()21g x +()1,0()()110g g +−=()11f =()202311n f n ==∑()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==()f x ()()()(),f x g y g x f y 1y =−1y =()()()11f x f x f x ++−=−()f x ()20231n f n =∑0x y ==()()()()()000000f f g g f =−=()00f =()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==()()()()()f x y f x g y g x f y −=−()()210f f −=≠()3cos 2π10g ==≠()g x ()3,0()21g x +()1,00y =1x =()()()()()11010f f g g f =−()()()()110100f g g f ⎡⎤−=−=⎣⎦()10f ≠()100g −=()01g =再令，代入已知等式得，将，代入上式，得，所以函数为奇函数. 令，，代入已知等式，得， 因为，所以，又因为，所以， 因为，所以，故C 错误；对于D ，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，，两式相加易得，所以有， 即：，有：， 即：，所以为周期函数，且周期为3，因为，所以，所以，， 所以， 所以，故D 正确.故选：D.【点评】：对于含有的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.2023绍兴·高二期末9．已知函数的定义域为R ，且，为奇函数，，则（ ） 0x =()()()()()00f y f g y g f y −=−()00f =()01g =()()f y f y −=−()f x 1x =1y =−()()()()()21111f f g g f =−−−()()11f f −=−()()()()2111f f g g =−+⎡⎤⎣⎦()()()221f f f =−−=−()()()()1111f f g g −=−+⎡⎤⎣⎦()10f ≠()()111g g +−=−1y =−1y =()()()()()111f x f x g g x f +=−−−()()()()()111f x f x g g x f −=−()()()11f x f x f x ++−=−()()()21f x f x f x ++=−+()()()12f x f x f x =−+−+()()()()()()11120f x f x f x f x f x f x −+=++−−+−+=()()12f x f x −=+()f x ()11f =()21f −=()()221f f =−−=−()()300f f ==()()()1230f f f ++=()()()()()()()2023111232023202311n f n f f f f f f ===++++===∑,x y ,x y ()f x ()()()28f x f x f ++=()21f x +1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭22112k kf k =⎛⎫−= ⎪⎝⎭∑A ．B ．C ．0D ．【答案】B【分析】根据即可得出周期为4，赋值可求出.进而由为奇函数，可推得函数关于点对称，由已知可求出，，，然后即可求得，.进而即可根据周期性得出函数值，求出，即可得出，代入数值，即可得出答案.【详解】由，则， 所以，，周期为4，所以.由，令，则有，所以，. 因为为奇函数，所以，所以，，所以函数关于点对称， 所以，. 令，则.令可得，，所以，所以， 所以，有，即有.令，则有；令，则.综上，，，，. 所以，，所以，. 11−12−212()()()28f x f x f ++=()f x ()20f =()21f x +()y f x =()1,03122f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭()00f =()80f =5122f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭2721f ⎛⎫=⎪⎝⎭()()()()135741442443444402222m f m m f m m f m m f m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2211132122222k kf k f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑()()()28f x f x f ++=()()()428f x f x f +++=()()4f x f x +=()f x ()()()840f f f ==()()()28f x f x f ++=0x =()()()()2080f f f f +==()20f =()21f x +()()2121f x f x −+=−+()()11f x f x −+=−+()y f x =()1,0()()2f x f x −=−12x =311222f f ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0x =()()200f f =−=()00f =()80f =()()()280f x f x f ++==()()2f x f x +=−12x =511222f f ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32x =731222f f ⎛⎫⎛⎫=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1114222f m f ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3314222fm f ⎛⎫⎛⎫+==− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5514222f m f ⎛⎫⎛⎫+==− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7714222f m f ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()13574144244344442222m f m m f m m f m m f m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()11114142434402222m m m m ⎛⎫⎛⎫=+⨯++⨯−++⨯−++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2211111321212222212222222k kf k fff f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−+−=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑1112122222⎛⎫=⨯+⨯−=− ⎪⎝⎭故选：B.10．（多选）已知函数()f x 的定义域为R ,()()()f x y f x f y +=+,则（ ）A ．()00f =B ．()f x 是奇函数 C ．0x =为()f x 的极小值点 D ．若()11f =,则()20232023f =【答案】ABD【分析】利用赋值法,令0x y ==判断A 得正误;令y x =−,结合奇函数的定义判断B 的正误;举例判断C 的正误;令1y =,则()()11f x f x +=+,再利用累加法即可判断D 的正误. 【详解】令0x y ==，则()()()000f f f =+，所以()00f =，故A 正确; 令y x =−，则()()()0f x x f x f x −=+−=，所以()f x 是奇函数，故B 正确;令()f x x =，其定义域为R ,且()()()f x y f x f y +=+满足题意，因为函数()f x x =为R 上的增函数,所以0x =不是()f x 的极小值点,故C 错误;令1y =,则()()11f x f x +=+,即()()11f x f x +−=,()()()()()()()2023202320222022202120212020f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=−+−+−⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()21111112023f f f ++−+=++++=⎡⎤⎣⎦,故D 正确.故选:ABD.11．（多选）设()f x 是定义在R 上的函数，对,x y ∀∈R ，有()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++，且()00f ≠，则（ ）A ．()()0f x f x −−=B ．()()40f x f x +−=C ．()()()()02420242f f f f ++++=− D ．()()()()222212320244048f f f f ++++=【答案】ACD【分析】利用赋值法判断函数的奇偶性和周期性，再结合假设法、函数的周期性逐一判断即可. 【详解】A ：在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中，令0x y ==，则有()()20220f f =⇒=，在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中，令0x =，则有()()()()()()2200f y f y f f y f x f x −−=+=⇒−−=， 因此本选项正确；B ：若()()40f x f x +−=成立，即有()()04f f =， 在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中，令2x y ==，则有()()()()()24044000f f f f f −=⇒=⇒=，这与()00f ≠相矛盾，所以假设不成立，因此本选项不正确； C ：在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中， 以x −代y ，得()()()()0222f f x f x f x −=+−+，以x 代y ，得()()()2202f x f f x −=+，上面两个等式相加，得()()()()()()222202220f x f x f x f x f x f x ⎡⎤+++−+=⇒+++−+=⎣⎦()20f x ⇒+=，或()()220f x f x ++−+=，当()20f x +=时，则有()00f =，显然与()00f ≠矛盾，因此()()220f x f x ++−+=，于是有()()()()()()44()8f x f x f x f x f x f x f x =−−⇒+=−−=−⇒+=， 因此函数()f x 的周期为8，由()()()202060f f f =⇒−=⇒=， 由()()()()440f x f x f f =−−⇒=−， 在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中，令2,1x y ==，得()()()()()()()()31433103f f f f f f f f −=⇒−=−，令1x y ==，得()()()()()2220330f f f f f −=⇒=−，由()()()()22031f x f x f f ++−+=⇒=−，于是有()()()()()()()()()()2331033023331f f f f f f f f f f ⎧−=−⎪=−⇒=⎨⎪=−⎩， 因为()()2300f f =−≠，所以由()()()3223332f f f =⇒=，于是()02f =−，因此()()()()02460f f f f +++=，()()()()()()02420242530202402f f f f f f ++++=⨯+==−，因此本选项正确；D ：在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中，令()2N x y n n *==−∈，所以有()()()2240f n f f n −−=，因此有：()()()()22221232024f f f f ++++()()()()()()()()()()2000204040440f f f f f f f f f f =−−+−+−+−++−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦因为()02f =−，()()220f f −==，()()()()02460f f f f +++=， 函数()f x 的周期为8，所以()()()()22221232024f f f f ++++()050620240f ⎡⎤=⨯+⋅−⎣⎦020*******=+⨯=，因此本选项正确， 故选：ACD.12．（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，对任意的,R x y ∈，恒有()()()()2f x y f x y f x f y ++−=，则下列说法正确的有（ ）A ．()00f =B ．()f x '必为奇函数C ．()()00f x f +≥D ．若1(1)2f =，则202311()2n f x ==∑【答案】BCD【分析】赋值法求()0f 的值，判断A ；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B ；赋值法结合换元法判断C ；利用赋值法求得(),N f n n *∈的值有周期性，即可求得()20231n f n =∑的值，判断D.【详解】对于A ，令0x y ==，则由()()()()2f x y f x y f x f y ++−=可得()()22020f f =，故(0)0f =或()01f =，故A 错误；对于B ，当(0)0f =时，令0y =，则()()2()(0)0f x f x f x f +==，则()0f x =， 故()0f x '=，函数()f x '既是奇函数又是偶函数；当(0)1f =时，令0x =，则()()2(0)()f y f y f f y +−=，所以()()−=f y f y ， 则()()f y f y −''−=，即()()f y f y −='−'，则()f x '为奇函数， 综合以上可知()f x '必为奇函数，B 正确；对于C ，令y x = ，则()()()2202f x f f x +=，故()()200f x f +≥.由于x ∈R ,令2,R t x t =∈,即()()00f t f +≥，即有()()00f x f +≥，故C 正确；对于D ，若()112f =，令1,0x y == ，则()()()()11210+=f f f f ，则(0)1f = ，令1x y ==，则()()()22021f f f +=，即()()1121,222f f +=∴=−，令2,1x y ==，则()()()()31212f f f f =+，即()113,(3)122f f +=−∴=−， 令3,1x y ==，则()()()()42231f f f f +=，即()1141,(4)22f f −=−∴=−， 令4,1x y ==，则()()()()53241f f f f +=，即()1151,(5)22f f −=−∴=，令5,1x y ==，则()()()()64251f f f f +=，即()116,(6)122f f −=∴=， 令6,1x y ==，则()()()()75261f f f f +=，即()1171,(7)22f f +=∴=，由此可得(),N f n n *∈的值有周期性，且6个为一周期，且(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++= ， 故()202311337[(1)(2)(3)(4)(5)(6)](1)2n f n f f f f f f f ==⨯++++++=∑，故D 正确， 故选：BCD.13．已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()()f x y f x y f x f y ++−=⋅，且12f ，则（ ）A ．()02f =B ．()f x 为奇函数C ．()()()()12320232f f f f +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=−D ．()22f x −≤≤【答案】ACD【分析】A.通过赋值，求()0f 的值；B.赋值0x =，即可判断函数的奇偶性；C.赋值1y =，利用函数()()()1f x f x g x −+=的周期性，即可求和；D.通过多次赋值，可证明()24f x ≤，即可判断.【详解】A.令1,0x y ==，有()()()()1110f f f f +=⋅，得()02f =，A 正确；B.令0x =，得()()()()0f y f y f f y +−=⋅，()02f =，则()()−=f y f y ，函数的定义域为R ，所以函数为偶函数，故B 错误；C.令1y =，得()()()()111f x f x f x f ++−=⋅，即()()()()110f x f x f x f x +++−+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 设()()()1f x f x g x −+=，则()()10g x g x ++=，所以()()()21g x g x g x +=−+=，所以函数()g x 的周期为2，()()()101220g f f =+=−=，()()()3230g f f =+=，…，()()()2023202220230g f f =+=，所以()()()()()0123...20230f f f f f +++++=，()02f =， 所以()()()()123...20232f f f f ++++=−，故C 正确， D.由()()()()f x y f x y f x f y ++−=⋅，()02f =，12f ，令12x y ==，得()()211002f f f ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 将y 换成x ，得()()()220f x f f x +=，①，将,x y 换成12x +，得()()212102f x f f x ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，②，将x 换成122x +，y 换成12，得()()112122022f x f x f x f ⎛⎫⎛⎫++=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,③, ①+②-③,得()()2212042f f x f x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，则()24f x ≤，得()22f x −≤≤，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：本题关键的方法是赋值法，尤其是D 选项，通过三次赋值，找到等式间的关系，再可进行判断.14．（多选）已知定义域为R 的函数()f x 对任意实数,x y 都有()()()()2f x y f x y f x f y ++−=，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则以下结论一定正确的有（ ）A ．()01f =−B ．()f x 是偶函数C ．()f x 关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．()()()1220230f f f +++=【答案】BC【分析】根据赋值法，可判断()01f =或()00f =，进而判断A ，根据赋值法结合奇偶性的定义可判断C ，根据偶函数即可判断对称性，根据对称性以及奇偶性可得函数的周期性，进而可判断CD. 【详解】令0x y ==，则()()()()()0020000f f f f f +=⇒=或()01f =，故A 错误， 若()01f =时，令0x =，则=20=f y fy f y f fy f y ，此时()f x 是偶函数，若()00f =时，令0y =，则=20=0f x f x f x f f x ，此时()f x 既是偶函数又是奇函数；因此B 正确，令12x =，则()111112=0=022222f y f y f f y f y f y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++−=⇒++− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()f x 关于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，故C 正确，由()f x 关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称可得=1f x f x，结合()f x 是偶函数，所以=1=1=2=2f x f x f x f x f x ，所以()f x 的周期为2，令12x y ==，则()()11102=022f f f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故12=10=0f f f f ，进而()()()()()122022101112=0f f f f f ⎡⎤+++=⨯+⎣⎦，而()2023(1)(0)f f f ==−，由A 选项知()00f =或()01f =，所以()()()1220230f f f +++=或1−，故D 错误.故选：BC15．函数()f x 的定义域为R ，且()()()21f x f x f x +=−+−，()()2f x f x =−，()3651f =−，则()20231k f k ==∑ .【答案】2【分析】根据给定条件，探讨函数()f x 的周期，再结合()()2f x f x =−求出(1),(2),(3)f f f 即可求解作答. 【详解】函数()f x 的定义域为R ，由()()()21f x f x f x +=−+−，得(3)(2)(1)(1)()(1)()f x f x f x f x f x f x f x +=−+−+=++−+=，因此函数()f x 是以3为周期的周期函数，且()(1)(2)0f x f x f x ++++=，即(1)(2)(3)0f f f ++=， 由()3651f =−，得(2)1f =−，又()()2f x f x =−，(3)(0)(2)1f f f ===−，从而(1)(2)(3)2f f f =−−=，所以20231()674(2(1)(2)3[((1]1)))k f f k f f f f =+=⨯=++=∑.故答案为：216．已知函数()f x 满足：1(1),4()()()()(,R)4f f x f y f x y f x y x y ==++−∈，则()2023f = .【答案】14【分析】由已知等式联想到三角公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++−=，构造函数()1cos 23xf x π=求解. 【详解】由已知等式联想到三角公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++−=， 注意它们结构相似，通过尝试和调整，构造函数()1cos 23x f x π=，则()111cos 234f π==， ()()()()11cos cos 23323311cos cos 4cos cos 4,332323x y x y f x y f x y x y x y f x f y ππππ⎛⎫⎛⎫++−=++− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππ==⋅⋅=故函数()1cos 23xf x π=满足题意，而函数()f x 是周期2π6π3T ==的函数，()()()120233376114f f f ∴=⨯+==. 故答案为：14.【点睛】：抽象函数可以选择构造函数（特例构造法），此题主要是联想到三角公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++−=，并且还要根据1(1)4f =构造出合适的函数()1cos 23x f x π=，再由周期性解决问题，达到富有创造力的解题效果。
借助抽象函数模型，解决函数性质问题
则 有 f(
-f(
1)
=-2,
4)
=f(
2)
=0,
1)+
f(
2)
+f(
3)
+f(
4)
=0。
f(
所以 f(
1)+f (
2)+ … +f (
9
0)=2
2×
[
]
1)
+f(
2)
+f(
3)
+f(
4)
+f(
1)+f(
2)
f(
=2。
故选择答案:
C。
点评:
涉及 此 类 比 较 复 杂 且 有 明 显 规 律
的函数值之间的连续和、
-2<m <6,
m|-2<
故所求不 等 式 的 解 集 为 {
x|x < -2 或
。
m <6}
点评:
在涉 及 抽 象 函 数 的 单 调 性 的 判 定
定及相关 的 应 用 问 题 时,赋 值 法 思 维 是 一 种
与应用中,
特别是在解决与抽象函数的单调
常见的思 维 技 巧。 其 实,涉 及 抽 象 函 数 中 特
创新意识与创新应 用 问 题 可 以 很 好 地 考
可得a1·a2·…·an-1<n。
an <n
an ,
得 a1 =1,
于是 1+a2 =a2,
此时无解,
不存在满
足条件的“
创新集”
A;
当 n=3 时,有 a1a2 <3,故 只 能 a1 =1,
求得 a3 =3,
高中数学.复合函数、抽象函数、函数零点
1、复合函数的性质：对于单调性，有“同步增，异步减”．对于奇偶性，若每层函数均有奇偶性，则有“全奇才奇，有偶则偶”． 对于周期性，内层函数为周期函数的复合函数仍为周期函数．2、抽象函数往往有它所对应的具体函数模型，常见的抽象函数模型有： ⑴ 正比例函数：()()()f x y f x f y +=+； ⑵ 指数函数：()()()f x y f x f y +=； ⑶ 对数函数：()()()f xy f x f y =+； ⑷ 幂函数：()()()f xy f x f y =．3、函数的零点⑴ 满足()0f a =的a 叫做函数()f x 的零点，即方程()0f x =的实数根，也即函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标．⑵ 零点定理：若函数()y f x =在闭区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即()()0f a f b ⋅<．则在区间(),a b 内，函数()y f x =至少有一个零点．特别的，如果函数在此区间上单调，则函数()y f x =在此区间上有且只有一个零点．⑶ 零点个数的判断通常借助函数图象，零点问题和交点问题往往需要通过互相转化解决．知识梳理知识结构图复合函数、 抽象函数、函数零点1、（2007北京理）对于函数①()()lg 21f x x =-+，②()()22f x x =-，③()()cos 2f x x =+，判断如下三个命题的真假： 命题甲：()2f x +是偶函数；命题乙：()f x 在(),2-∞上是减函数，在()2,+∞上是增函数； 命题丙：()()2f x f x +-在(),-∞+∞上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是 ．A ．①③B ．①②C ．③D ．②【解析】 D2、 （2011北京理13）已知函数()()32212x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪-<⎩，≥，，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．【解析】 ()0,1；1、()213log 54y x x =-+的单调递增区间为（ ）A ．(),1-∞B ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．5,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞ 2、设函数()xf x a -=（0a >且1a ≠），()24f =，则（ ）A ．()()21f f ->-B ．()()12f f ->-C ．()()12f f >D ．()()22f f ->3、已知()()log 2a f x ax =-是[]0,1上的减函数，则a 的值可能为（ ） A ．12 B ．32C ．2D ．3 4、已知函数()2x f x x =+，()2log g x x x =+，()2log 2h x x =-的零点分别为a 、b 、c ，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<5、已知函数()()()2f x x a x b =---（a b <），并且α、β是方程()0f x =的两个根（αβ<），则实数a 、b 、α、β的大小关系是（ ）A ．a b αβ<<<B ．a b αβ<<<C ．a b αβ<<<D ．a b αβ<<<6、已知函数()22f x x x c =-+，()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x -=（2n ≥，n *∈N ），若函数()n f x x -不存在零点，则c 的取值范围是（ ） A ．14c <B ．34c ≥C ．94c >D ．94c ≤ 小题热身真题再现7、下列关于函数()()log 1x a f x a =-（0a >且1a ≠）的命题： ① 无论a 取何值，()f x 均为R 上的增函数； ② 无论a 取何值，()f x 的值域均为R ； ③ 无论a 取何值，()f x 一定有零点； ④ 存在某个a ，使得()f x 恰好有两个零点．其中正确的命题个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38、若单调函数()f x （x ∈R ）满足()()()f x y f x f y +=⋅，则()f x 的值域为（ ） A ．R B ．()(),00,-∞+∞ C ．()0,+∞ D ．不能确定9、已知函数()2243f x x x -=-+-，设()()()()F x p f f x f x =⋅+，其中p 为负实数．若()F x 在区间(),3-∞-上是减函数，在区间()3,0-上是增函数，则p 的值为（ ）A ．1-B ．18-C ．116-D ．12-10、已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠），则关于x 的方程()()20m f x nf x p ++=⎡⎤⎣⎦（实数,,,,,0a b c m n p ≠）的解集不可能是（ ）A ．{}1,2B ．{}1,4C ．{}1,2,3,4D ．{}1,4,16,641 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AABAACCCCD考点：复合函数的定义域与值域 【例1】 ⑴函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为 ，值域为 ．⑵函数211()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为 ，值域为 ．⑶函数21122log log 2y x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的定义域为_________，值域为____________． 【解析】 ⑴ [)0,+∞，(]0,1；⑵ [11]-，，1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；⑶ [)1042⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦，，，[0)+∞，；4.1复合函数经典精讲【例2】 ⑴已知函数()()2lg 21f x ax x =++的定义域为R ，求实数a 的取值范围．⑵已知函数()()2lg 21f x axx =++的值域为R ，求实数a 的取值范围．【解析】 ⑴ ()1,+∞；⑵[]0,1；【拓1】 ⑴ 已知()32log f x x =+，[]1,9x ∈，求函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的值域．⑵ 设2,1(),1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩≥，()g x 是二次函数，若()f g x ⎡⎤⎣⎦的值域是[)0,+∞，求函数()g x 的值域．⑶ 设[]2,8x ∈，函数()()21()log log 2a a f x ax a x =⋅的最大值是1，最小值是18-，求a 的值．【解析】 ⑴ []6,13⑵ [)0,+∞． ⑶ 12a =．考点：复合函数的性质初步【例3】 ⑴函数()212log 56y x x =-+的单调增区间为（ ）A ．52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B ．(3)+∞，C ．52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， D ．(2)-∞，⑵函数2212x x y -++⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦⑶函数421x x y =-+的值域为_______，单调递减区间为________．【解析】 ⑴ D ；⑵ D ；⑶ 3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(),1-∞-．考点：复合函数的性质综合【例4】 ⑴函数()()212log 23f x x ax =-+，若()f x 在(],1-∞内是增函数，则a 的取值范围为________；若()f x 的单调递增区间是(],1-∞，则a 的取值范围为________． ⑵已知函数()()31axf x a -=≠，若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是 ． ⑶若函数()()2log 2a f x x x =+（0a >且1a ≠）在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭内恒有()0f x >，则()f x 的单调增区间是 ．【解析】 ⑴ [12)，；{1}．⑵()(],01,3-∞；⑶1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭考点：抽象函数的函数值问题 【例5】 ⑴若奇函数()f x （x ∈R ）满足()21f =，()()()22f x f x f +=+，则()1f = ； ⑵定义在实数R 上的函数()y f x =具有如下性质： ①对任意x ∈R ，都有()()33f x f x =⎡⎤⎣⎦；②对任意12x x ∈R ，，且12x x ≠，都有()()12f x f x ≠． 则()()()101f f f -++=________． ⑶已知函数()f x （x ∈R ）满足()12f =，()()()2f x y f x f y xy +=++，则 ()2f = ，()3f = ，()3f -= ．⑷()f x 是定义在(0)+∞，上的增函数，对正实数x 、y 都有()()()f xy f x f y =+成立．则不等式()2log 0f x <的解集为_ ______．【解析】 ⑴12； ⑵ 0；⑶ 6，12，6； ⑷ ()1,2；【拓2】 定义在[]0,1上函数()f x 满足：① ()00f =；② ()()11f x f x +-=； ③ ()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；④ 对任意12,x x []0,1∈，若12x x <，则()()12f x f x ≤． 则()1f = ，12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 【追问】12013f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【解析】 ()11f =；1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；1132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；1184f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 【追问】112013128f ⎛⎫=⎪⎝⎭． 4.2抽象函数考点：抽象函数的性质【例6】 ⑴若函数()f x （x ∈R ，且0x ≠）对任意的非零实数,x y 满足()()()f xy f x f y =+．求证：()f x 为偶函数．⑵定义在R 上的函数()f x 同时满足下列条件：① 对任意x ，y ∈R ，恒有()()()f x y f x f y +=+； ② 当0x >时，()0f x <，且()12f =-．判断函数()f x 的奇偶性，并求函数()f x 在区间[]2,4-上的最大值和最小值．【解析】 ⑴ 令1,1x y ==-得(1)(1)(1)f f f -=+-，于是(1)0f =；再令1x y ==-得(1)2(1)0f f =-=，于是(1)0f -=．令1y =-得()()(1)()f x f x f f x -=+-=，又()f x 的定义域关于原点对称．故()f x 为偶函数． ⑵ ()f x 在区间[]2,4-上的最大值是(2)4f -=，最小值为(4)8f =-．【备注】本题可以通过函数原型快速得到答案或得到启发．对于⑴()ln f x x =（x ∈R ）是符合函数的函数原型； 对于⑵()2f x x =-（x ∈R ）是符合函数的函数原型．【拓3】 函数()f x 的定义域为R ，且()f x 的值不恒为0，又对于任意的实数m ，n ，总有()()22n m f m f n mf nf⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立． ⑴ 求(0)f 的值；⑵ 求证：()0t f t ⋅≥对任意的t ∈R 成立； ⑶ 求所有满足条件的函数()f x ．【解析】 ⑴ (0)0f =；⑵ 对任意t ∈R ，令2m n t ==，得2(2)4()f t t f t =⋅，于是21()(2)04t f t f t ⋅=≥； ⑶ ()f x x =．考点：零点定理【例7】 ⑴函数()237x f x x =+-在区间[02]，上的零点必在下面的区间（ ）内．Ａ．102⎡⎤⎢⎥⎣⎦， Ｂ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，Ｃ．312⎡⎤⎢⎥⎣⎦， Ｄ．322⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ⑵设函数()32log x f x a x+=-在区间()1,2内有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()31,log 2-- B ．()30,log 2 C ．()3log 2,1 D ．()31,log 4 【解析】 ⑴ C ；⑵ C ；4.3函数零点考点：函数图象与零点、交点问题【例8】 ⑴方程2log (3)2x x +=的解的情况是（ ）A ．仅有一根B ．有两个正根C ．有一个正根和一个负根D ．有两个负根⑵已知()2881651x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩，≤，，()ln g x x =，则()f x 与()g x 的图象的交点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4⑶若函数()x f x a x a =--（0a >且1a ≠）有两个零点，则实数a 的取值范围是 ． ⑷若不等式2log 0a x x -<对102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，则实数a 的取值范围是_______．【解析】 ⑴ C ；⑵ C ；⑶ (1,)+∞；⑷ 1116⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；考点：复合函数的零点问题【例9】 ⑴已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图象如下所示：-22-22y -11-11Ox-22-22y -11-11Oxf xg x 给出下列四个命题：①方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有6个根 ②方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有3个根 ③方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个根 ④方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）． ⑵设1,11()1,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦有三个不同的实数解123,,x x x ，则222123x x x ++等于 ． 【解析】 ⑴ ①③④；⑵ 5；【拓4】 已知()2f x x px q =++，关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数根，求证：p 与q 同时大于0或者p 与q 同时等于0．【解析】 关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数根，()f x 的图象只有如图两种情形（分别对应0∆>和0∆=的情形）．进而容易证明命题成立．y=x 2y=x 1x 2x 1 yOx O xy一、选择题 1、设()()23132x x f x k =-+⋅+，当0x >时()f x 恒取正值，则k 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．(),221-∞- C ．()1,221-- D ．()221,221---【解析】 B ；2、设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，【解析】 B ；3、 关于x 的方程1log (0x aa x a =>且1)a ≠（ ）A ．仅当1a >时，有唯一解B ．仅当01a <<时，有唯一解C ．有唯一解D ．无解【解析】 C ．4、 设函数()f x x x bx c =++，给出下列四个命题：①当0c =时，()y f x =是奇函数；②当00b c =>，时，方程()0f x =只有一个实根； ③函数()y f x =的图象关于点(0)c ，对称； ④方程()0f x =至多有两个实根；其中正确命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 C ；二、填空题 5、 设函数22()log log (1)f x x x =+-，则()f x 的定义域是_______；()f x 的最大值是_____．【解析】 (0,1)；2-．6、 函数22()log (3)log (1)f x x x =++-的值域是___________，单调递增区间为_______．【解析】 (,2]-∞，(3,1)--．课后习题7、 若log (2)a y ax =-在[]01，上是x 的减函数，则a 的取值范围是______． 【解析】 (12)a ∈，；三、解答题 8、已知定义域为R 的函数()f x 满足：()()()f x y f x f y +=，且()31f >． ⑴求()0f ；⑵求证：()41f -<．【解析】 ⑴ (0)1f =；⑵ 3(3)(2)(1)(1)1f f f f ==>，故(1)1f >，从而24(4)(2)(1)1f f f ==>．令4,4x y ==-得，(4)(4)(0)1f f f -==，故1(4)1(4)f f -=<．命题得证． 【备注】()()()f x y f x f y +=的函数原型是指数函数()x f x a =，由(3)1f >知，1a >． 9、函数()2x f x =和()3g x x =的图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点()11,A x y 、()22,B x y ，且12x x <．x 1x 2BA C 2C 1yO x⑴ 请指出示意图中曲线1C 、2C 分别对应哪一个函数？⑵ 若[]1,1x a a ∈+，[]2,1x b b ∈+，且{},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12a b ∈，指出a 、b 的值，并说明理由；⑶ 结合函数图象示意图，请把()πf 、()πg 、()2013f 、()2013g 四个数从小到大顺序排列．【解析】 ⑴ 1C 对应函数()3g x x =，2C 对应函数()2x f x =；⑵ 如下表，可得1a =，9b =．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12()f x 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 ()g x1 8 27 641252163435127291000 1331 1728()()()() 10、已知关于x 的二次方程22210x mx m +++=．⑴ 若方程有两根，其中一根在区间()1,0-内，另一根在区间()1,2内，求m 的范围． ⑵ 若方程两根均在区间()0,1内，求m 的范围．【解析】 ⑴5162m -<<-．⑵1122m -<-≤。
抽象函数和复合函数的应用 解析版-高中数学
抽象函数与复合函数的应用①抽象函数的性质(定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性)②常见抽象函数模型①-一次函数、二次函数、反比例函数③常见抽象函数模型②-指对幂函数、三角函数④复合函数的应用一、必备知识整合一、抽象函数的性质1.周期性：f x +a =f x ⇒T =a ；f x +a =−f x ⇒T =2a ；f x +a =kf x⇒T =2a ；(k 为常数)；f x +a =f x +b ⇒T =a −b 2.对称性：对称轴：f a −x =f a +x 或者f 2a −x =f x ⇒f x 关于x =a 对称；对称中心：f a −x +f a +x =2b 或者f 2a −x +f x =2b ⇒f x 关于a ,b 对称；3.如果f x 同时关于x =a 对称，又关于b ,c 对称，则f x 的周期T =a −b 4.单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题①f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2>0；f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2<0；②f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 >x 2 (不变号加绝对值)；f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 <x 2 (变号加绝对值)；③f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2>2a ；f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2<2a ；④f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a >x 2−a (不变号加绝对值)；f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a <x 2−a (不变号加绝对值)；5.常见的特殊函数性质一览①f x =log a 1+mx 2±mx 是奇函数②f x =log ak −x k +x f x =log a k +xk −x(k 为常数)是奇函数③f x =1−a x 1+a x 或者f x =1+a x 1−a x 或者f x =a x +1a x −1或者f x =a x −1a x +1是奇函数④f x =m a x+1关于0,m2 对称⑤f g x 复合函数的奇偶性：有偶为偶，全奇为奇二、抽象函数的模型【反比例函数模型】反比例函数：f (x +y )=f (x )f (y )f (x )+f (y )，则f (x )=f (1)x ，x ,f (x ),f (y ),f (x +y )均不为0【一次函数模型】模型1：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )=f (1)x ；模型2：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )为奇函数；模型3：若f (x +y )=f (x )+f (y )+m ,则f (x )=f 1 +m x -m ；模型4：若f (x -y )=f (x )-f (y )+m ,则f (x )=f 1 -m x +m ；【指数函数模型】模型1：若f (x +y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型2：若f (x -y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型3：若f (x +y )=f (x )f (y )m ，则f (x )=f 1 mxm；模型4：若f (x -y )=m f (x )f (y )，则f (x )=m f 1 m x ；【对数函数模型】模型1：若f (x n )=nf (x )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x >0模型2：若f (xy )=f (x )+f (y )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x ,y >0模型3：若fxy=f(x)-f(y)，则f(x)=f a log a x a>0且≠1,x,y>0模型4：若f(xy)=f(x)+f(y)+m，则f(x)=f a +mlog a x-m a>0且≠1,x,y>0模型5：若fxy=f(x)-f(y)+m，则f(x)=f a -mlog a x+m a>0且≠1,x,y>0【幂函数模型】模型1：若f(xy)=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1模型2：若fxy=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1,y≠0,f y ≠0代入f a 则可化简为幂函数；【余弦函数模型】模型1：若f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx模型2：若f(x)+f(y)=2fx+y2f x-y2f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx【正切函数模型】模型：若f(x±y)=f(x)±f(y)1∓f(x)f(y)f(x)f(y)≠1，则f(x)=tan wx模型3：若f(x+y)+f(x-y)=kf(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=2kcos wx三、复合函数1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。
高考数学复习：抽象函数模型与双函数归类
高考数学复习：抽象函数模型与双函数归类题型一：抽象函数具体化模型1：过原点直线型抽象函数模型1()()()f x y f x f y +=+---过原点直线型()f x kx =有以下性质①()00f =②奇函数：y x =-，则()()()0f x x f x f x -=+-=③可能具有单调性（结合其他条件）相似的模型()()()2y ()()22f x y f x y f x x f x f y f ++-=+⎛⎫+= ⎪⎝⎭1.（多选题）定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x >，则下列说法正确的是（）A．()f x 在R 上单调递减B．复合函数()sin f x 为偶函数C．复合函数()cos f x 为偶函数D．当[]0,2πx ∈，不等式()1sin 02f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭的解集为π5π,66⎛⎫ ⎪⎝⎭2.（多选题）定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，则下列说法正确的是（）A．()00f =B．()()()f x f y f x y -=-C．()f x 为奇函数D．()f x 在区间[],m n 上有最大值()f n 3.（多选题）（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数()f x 满足()()(),,f x y f x f y x y +=+∈R ，则（）A．(0)0f =B．()(1),f k kf k =∈ZC．(),(0)x f x kf k k ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭D．()()0f x f x -<题型二：抽象函数具体化模型2：不过原点的直线型抽象函数模型2证明如下：()()()f x y f x f y b +=++（b 带正负，即＋b 或－b ）()()()f x y f x f y b b b +=+↔+++()()()()()()()b“同构”：=------是过原点的直线h x f x h x y h x h y h x f x kx b+↔↔↔=++=-1.（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，且()10f =，若()()()2f x y f x f y +=++，则下列说法正确的是（）A．()14f -=-B．()f x 有最大值C．()20244046f =D．函数()2f x +是奇函数2.（多选题）已知定义在R 上的函数()f x ，满足对任意的实数x ，y ，均有()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时，()1f x <，则（）A．(0)1f =B．(1)(1)1f f +-=C．函数()f x 为减函数D．函数()y f x =的图象关于点()0,1对称3.（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足()()()2f x y f x f y +=++，且(2)0f =，则下列结论正确的是（）A．(0)2f =-B．(4)6f -=-C．()2f x +为奇函数D．()f x 为R 上的减函数题型三：抽象函数具体化模型3：tanx 型抽象函数模型3()()()()()()1()()1()()f x f y f αf βf x y f αβf x f y f αf β+++=Û+=--所以复合()tan f x kx =（k 根据其余条件待定系数）1.（多选题）已知函数()f x 满足(1)1f =，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-，则（）A．()00f =B．()()f x f x -=-C．()f x 的定义域为RD．()f x 的周期为42.（多选题）已知函数()f x 的定义域为{}42,x x k k ≠+∈Z ，且()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=-，()11f =，则（）A．()00f =B．()f x 为偶函数C．()f x 为周期函数，且2为()f x 的周期D．()20231f =-3.已知定义在()1,1-上的函数()f x 满足：当0x >时，()0f x >，且对任意的x，()1,1y ∈-，均有()()()()()1f x y f x f y f x f y ⎡⎤+-=+⎣⎦.若()1ln 2f x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则x 的取值范围是（e 是自然对数的底数）（）A．B．1e ⎛ ⎝C．)D．)e1e ⎛⋃ ⎝题型四：抽象函数具体化模型4：一元二次型抽象函数模型4()()()()()()()()()2222222.=++2=+++2=2则f x y f x f y axy c f x ax bx c f x y a x y b x y c ax bx ay by c axy ax bx c ay by c axy c f x f y axy c+=++-=+++=++++++++++-++-此模型，b 的值无法推导，多依赖其他条件来待定系数确认.1.（多选题）已知定义在实数集R 上的函数()f x ，其导函数为()f x '，且满足()()()f x y f x f y xy +=++，()()110,12f f '==，则（）A．()00f =B．()f x 的图像关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C．()202410122023f =⨯D．20241()10122024k f k ='=⨯∑2.（多选题）已知函数()f x 对任意,x y ∈R 恒有()()()41f x y f x f y xy +=+++，且()11f =，则（）A．()01f =-B．()f x 可能是偶函数C．()28f =D．()f x 可能是奇函数3.（多选题）已知函数()f x 的定义域为()()()(),2,12f x y xy f x f y f ++=+=R ，则（）A．()00f =B．()210f -=-C．()2y f x x =+是奇函数D．()2y f x x =-是偶函数题型五：抽象函数具体化模型5：余弦函数型抽象函数模型5余弦函数型()()2()()()cos ()()cos()cos()cos cos sin sin cos cos sin sin =2cos cos 2()()证明：f x y f x y f x f y f x kxf x y f x y x y x y x y x y x y x y x y f x f y kx++-==++-=++-=-++=（也可以直接用和差化积公式推导）备注：这类函数，还有可能是双曲余弦函数型，不过较少出现1.（多选题）已知定义在R 上的函数()f x ，对任意的,x y ∈R ，都有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，且1(1)2f =，则（）A．(0)1f =B．()f x 是偶函数C．(3)1f n =-，*n ∈ND．20241()0n f n ==∑，*n ∈N 2.（多选题）已知函数()f x 对任意实数x 、y 都满足()()222x y y y f f x f x f +-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝+⎪⎭，且()11f =-，以下结论正确的有（）A．102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B．()2f x +是偶函数C．()1f x +是奇函数D．()()()()12320251f f f f +++⋅⋅⋅+=-3.（多选题）已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()()()222f x y f x y f x f y +-=+，且()11f =-，则下列说法正确的是（）A．()01f =B．()f x 为偶函数C．()()2f x f x =D．2是函数()f x 的一个周期题型六：抽象函数具体化模型6：一元三次函数型抽象函数模型6()()()()3，f x y f x f y axy x y +=+++则()3f x ax bx =+（其中b 可以借助其他条件待定系数）1.（多选题）已知函数()f x 是定义域为R 的可导函数，若()()()()3f x y f x f y xy x y +=+++，且()03f '=-，则（）A．()f x 是奇函数B．()f x 是减函数C．0f=D．1x =是()f x 的极小值点2．（多选题）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()()()(),f x y f x f y xy x y f x +=++'+为()f x 的导函数，且()12f '=，则（）A．()f x 为奇函数B．()f x 在2x =-处的切线斜率为7C．()312f =D．对()()()121212120,,22,,f x f x x x x x x x f ++⎛⎫∀∈+∞≠<⎪⎝⎭3.（多选题）已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()3f x y f x f y xy x y +=+-+，则（）A．()y f x =是奇函数B．若()11f =，则()24f -=C．若()11f =-，则()3y f x x =+为增函数D．若()30,0x f x x ∀>+>，则()3y f x x =+为增函数题型七：抽象函数具体化模型7：正弦函数型抽象函数模型7正弦函数型，或者正弦双曲函数型()()()()()()22x xe e sin 2则，或者是正弦双曲函数f x y f x y fx f y f x x f x -+-=--==1.已知函数()f x 的定义域为()()()()22R,f x y f x y f x f y +-=-，且当0x >时，()0f x >，则（）A．()01f =B．()f x 是偶函数C．()f x 是增函数D．()f x 是周期函数2.（多选）已知函数()f x 的定义域为R，且()()()()()223,122fx y f x y f x f y f f x ⎛⎫+-=-+ ⎪⎝⎭为偶函数，则（）A．(0)0f =B．()f x 为偶函数C．(3)(3)f x f x +=--D．20231()k f k ==∑3.（多选题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()22f x y f x y f x f y +-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()11,21f f x =+为偶函数，则（）A．()00f =B．()f x 为偶函数C．()()22f x f x +=--D．()202410k f k ==∑题型八：抽象函数具体化模型8：正余弦函数辅助角型抽象函数模型8正余弦函数辅助角型形如()()()2cos f x y f x y f x y++-=⋅()x sin x cos x a b 则，，值可以通过其他条件待定系数f a b =+1．已知函数()f x 的定义域为R ，且()π012f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，若()()()2cos f x y f x y f x y ++-=⋅，则函数()f x （）A．以π为周期B．最大值是1C．在区间ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D．既不是奇函数也不是偶函数2.已知函数()f x 的定义域为()()()R,2cos f x y f x y f x y ++-=且()01f =，π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭那么（）A．()f x 为偶函数B．()π1f =C．π2x =是函数的极大值点D．()f x 的最小值为2-3.（多选题）已知定义域为R 的函数()f x 对任意实数x 、y 满足()()()2cos f x y f x y f x y ++-=，且()00f =，π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．其中正确的是（）A．π142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B．()f x 为奇函数C．()f x 为周期函数D．()f x 在(0,π)内单调递减题型九：双函数：系数不是1型带系数：系数不为1，类比正弦余弦的带系数形式，提系数平移平移变换：左右或者上下()()()f x f x a ωϕωϕ+⇒++左加右减1.已知函数()f x 的定义域为R ，且112f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，()1f x -是奇函数，则（）A．()00f =B．102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C．()10f =D．()30f =2.已知函数()21f x +是奇函数，()2f x +是偶函数，当[]2,3x ∈时，()3f x x =-，则下列选项不正确的是（）A．()f x 在区间(2,0)-上单调递减B．()f x 的图象关于直线=1x -对称C．()f x 的最大值是1D．当(1,1)x ∈-时恒有()0f x <3.已知函数()f x 的定义域为R ，()22f x +为偶函数，()1f x +为奇函数，且当[]0,1x ∈时，()f x ax b =+．若()41f =，则35792222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．题型十：双函数：双函数综合常见结论：（1）关于对称：若函数()f x 关于直线x a =轴对称，则()(2)f x f a x =-，若函数()f x 关于点(,)a b 中心对称，则()2(2)f x b f a x =--，反之也成立；（2）关于周期：若()()f x a f x +=-，或1()()f x a f x +=，或1()()f x a f x +=-，可知函数()f x 的周期为2a .1.已知()4y f x =+是定义域为R 的奇函数，()2y g x =-是定义域为R 的偶函数，且()y f x =与()y g x =的图象关于y 轴对称，则（）A．()y f x =是奇函数B．()y g x =是偶函数C．()y f x =关于点()2,0对称D．()y g x =关于直线4x =对称2.已知函数()(),f x g x 都是定义在R 上的函数，()12f x -+是奇函数，()2g x -是偶函数，且()()()23,21f x g x g --=-=，则()20231k f k ==∑（）A．-4052B．-4050C．-1012D．-10103.已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，(1)f x +是奇函数，()g x 是偶函数，()(2)f x g x =-，(2)1g =，则20231()k f k ==∑（）A．2023-B．1-C．1D．20234（多选题）已知函数()(),f x g x 的定义域均为()(),111g x f x ++-=R ，()()121f x g x +-+=，且()y f x =的图像关于直线1x =对称，则以下说法正确的是（）A．()f x 和()g x 均为奇函数B．()(),4x f x f x ∀∈=+R C．()(),2x g x g x ∀∈=+R D．302g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭题型十一：双函数：导数型双函数性质原函数与导函数奇偶性的关系如下：原函数为奇函数，则其导数为偶函数。
函数——抽象函数(函数类型)
函数—抽象函数（函数类型）所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。
抽象来源于具体。
抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，高中大量的抽象函数都是以中学阶所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法。
★★抽象函数常见模型:()()1()(f x f y f x f y ±)()(1f x f x f ±一．以正比例函数为模型的抽象函数正比例函数y kx =是满足函数恒等式()()()f x y f x f y ±=±的最常见的模型。
若我们能从这个具体的模型出发，根据解题目标展开联想，给解题带来了思路。
例1、已知函数()f x 对任意实数,x y ，均有()()()f x y f x f y ±=±，且当0x >时，()0f x >，(1)2f -=-，求()f x 在区间[－2，1]上的值域。
分析：由题设可知，函数()f x 是(0)y kx k =≠的抽象函数，因此求函数()f x 的值域，关键在于研究它的单调性。
二、以一次函数为模型的抽象函数一次函数y=ax+b 是满足函数恒等式f （x+y ）=f （x ）+f （y ）-b 的最常见的模型。
例2、已知函数f （x ）对任意,x y R ∈，满足条件f （x ）＋f （y ）＝2 + f （x ＋y ），且当x ＞0时，f （x ）＞2，f （3）＝5，求不等式的解。
分析：由题设条件可猜测：f （x ）是y ＝x ＋2的抽象函数，且f （x ）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。
抽象函数专题讲解
三. 对数函数模型：f(x•y)=f(x)+f(y) 例4： 已知函数f ( x)满足f ( xy) f ( x) f ( y ), ( x 0)
1.求证：f (1) f (1) 0; 2.求证：f ( x) f ( x); 3.若f ( x)在(0,)上是增函数，解不等式
任取x1, x2且x1 x2 , 设x2 x1 x, x 0
f ( x2 ) f ( x1 ) f (x x1 ) f ( x1 ) [ f ( x1 ) f (x x1 )] f ( x1 ) f (x)
则根据题意有 f (x) 0, f ( x1 ) f ( x2 )
y=ax(a>0且 同上 y=xɑ(ɑ>0)
. f(xy)=f(x)f(y)
温 故 知 新
(1)令x=…,-2,-1,0,1,2,…等特殊值求 抽象函数的函数值； (2)令x=x2,y=x1或y= 抽象函数的单调性；
1 x1
,且x1<x2,判断
(3)令y=-x,判断抽象函数的奇偶性；
1 x x (4)用x= 2 + 2 或 x 换为x等来解答抽象
二. 指数函数模型:f(x+y)=f(x)•f(y)
例3: 已知f ( x) 对一切x，y, 满足
时f ( x) 1 0 f ( x) 1; 求证: (1) x 0时，
(2) f ( x)在R上为减函数
f (0) 0，f ( x y) f ( x) f ( y)且当x 0
抽象函数的性质研究
关于抽象函数
概念 题型特点 解题思路 抓住函数中的某 些性质，通过局 部性质或图象的 局部特征，利用 常规数学思想方 法（如类比法、 赋值法添、拆项 等）。
2025高考数学培优25讲2.2抽象函数
由 f x y f x y f x f y ，联想到余弦函数和差化积公式
cos x y cos x y 2cosxcosy ，可设 f x acosx ，则由方法一中 f 0 2, f 1 1知
a
2, acos
1 ，解得 cos
1
，取
f
x y
f f
x y ．
指数函数
（6）对于指数函数 f x a x ，与其对应的抽象函数为 f x y f x f y ．
（7）对于指数函数
f
x a x ，其抽象函数还可以是
f
x y
f f
x y
．其中
(a
0,
a
1)
对数函数
（8）对于对数函数 f x logax ，与其对应的抽象函数为 f xy f x f y ．
4
则 f 2010 =
．
2．（多选题 2024·浙江·模拟预测）已知函数 f x 1 为偶函数，对 x R ， f x 0 ，且
f x 1 f x f x 2 ，若 f 1 2 ，则以下结论正确的为（ ）
A． f 2 2 B． f 3 1
C． f 1 f 5
D．
f
1 2
f
A．幂函数
B．对数函数
C．指数函数
D．余弦函数
2．（2014·陕西·高考真题）下列函数中，满足“ f x y f x f y ”的单调递增函数是（ ）
1
A． f x x 2
B． f x x3
C．
f
x
1 2
x
D． f x 3x
3．（2024·河南新乡·一模）已知定义在 R 上的函数 f x 满足 x, y R ，
抽象函数的赋值计算与模型总结(学生版)
抽象函数的赋值计算与模型总结目录【题型1】抽象函数的赋值计算求值【题型2】抽象函数的奇偶性【题型3】抽象函数的单调性【题型4】抽象函数的最值与值域【题型5】抽象函数的对称性【题型6】抽象函数的周期性【题型7】一次函数的抽象表达式【题型8】对数型函数的抽象表达式【题型9】指数型函数的抽象表达式【题型10】幂函数的抽象表达式【题型11】正弦函数的抽象表达式【题型12】余弦函数的抽象表达式【题型13】正切函数的抽象表达式【题型14】二次函数的抽象表达式【题型15】其它函数的抽象表达式【题型1】抽象函数的赋值计算求值赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，一般有以下几种：1、⋯⋯-2，-1,0,1,2⋯⋯等特殊值代入求解1.(2024·长沙市第一中适应性训练)已知定义域为R的函数f x ，满足f x+y=f x f y -f2-x=0，则f2 =.，且f0 ≠0，f-2f2-y2.(2024·福建龙岩·一模)已知函数f x 的定义域为R，且f x+y=1，-f x f y =0，f-1+f x-y则f0 =【巩固练习】1.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R)，f(1)=2，则f(3)=，f(-3)=.2.已知对所有的非负整数x,y x≥y均有f x+y+f x-y-x+y-1=12f2x+f2y，若f1=3，则f5 =．3.(2024·安徽合肥·一模)已知函数f x 的定义域为0,+∞，且x+yf x+y=xyf x f y ,f1 =e，记a=f12,b=f2 ,c=f3 ，则()A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a【题型2】抽象函数的奇偶性证明奇偶性：利用定义和赋值的方法找到f(-x)与f(x)的关系2024·福建莆田·二模1.已知定义在R上的函数f x 满足：f x+y=f x +f y -3xy x+y，证明：y=f x 是奇函数2024·长沙市第一中适应性训练2.已知定义域为R的函数f x ，满足f x+y=f x f y -f2-xf2-y，且f0 ≠0，f-2=0，证明：f x 是偶函数【巩固练习】1.(多选)定义在R上的函数f x 满足：对任意的x,y∈R,f x+y=f x +f y ，则下列结论一定正确的有()A.f0 =0B.f x-y=f x -f yC.f x 为R上的增函数D.f x 为奇函数2.(多选)已知定义在R上的函数f x 满足f xy=f x f y -f x -f y +2,f0 <2,f0 ≠f1 ，且f x >0，则()A.f0 =1B.f-1=2 C.f-x=2f x D.f-x=f x3.(2024·全国·模拟预测)(多选)已知函数f x 的定义域为R，满足f x f y -f x =xy-y，则()A.f0 =1B.f-1=1 C.f x+1为偶函数 D.f x+1为奇函数4.(2024届韶关市一模)已知f x 是定义在R上且不恒为零的函数，对于任意实数a,b满足f ab=af b +bf a ，若f e =e，则f-1+f-1 e=()A.1e B.-1eC.1-1eD.1+1e【题型3】抽象函数的单调性判断抽象函数单调性的方法：(1)凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;(2)赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：或;②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：或.1.函数f(x)的定义域为(0,+∞)，对于∀x，y∈(0,+∞)，f(xy)=f(x)+f(y)，且当x>1时，f(x)<0，证明：f(x)为减函数.2.已知函数f x 是定义在R 上的函数.对任意a ,b ∈R ，总有f a +b =f a +f b ，f -1 =23，且x <0时，f x >0恒成立.(1)求f 2(2)判断f x 的奇偶性并证明(3)证明f x 在0,+∞ 上单调递减【巩固练习】1.(多选)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f (x )，对于任意的x ,y 都有f xy =f x +f y -1；且f 2 =3；当x >1时，f x >1；则下列结论正确的是()A.f 1 =1B.f (x )是奇函数C.f (x )在(0,+∞)上单调递增D.f (x -1)>7的解集为{x ∣x <-7或x >9}2.若定义在R 上的函数f (x )对任意x 1,x 2∈R ,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)-1成立，且当x >0时，f (x )>1.(1)求证:y =f (x )-1为奇函数;(2)求证:f (x )是R 上的增函数;(3)若f (4)=5，解不等式f (3m -2)<3.3.(2023·湖南师大附中校考)已知连续函数f(x)满足：①∀x,y∈R，则有f x+y=f x +f y -1，②当x>0时，f(x)<1，③f(1)=-2，则以下说法中正确的是()A.f0 =1B.f4x=4f x -4C.f(x)在-3,3上的最大值是10D.不等式f3x2-2f x >f3x+4的解集为x23<x<1【题型4】抽象函数的最值与值域结合奇偶性与单调性来判断最值或值域1.已知函数f x 对任意的x,y∈R，总有f x+y=f x +f y ，若x∈-∞,0时，f x >0，且f1 =-23，则当x∈-3,1时，f x 的最大值为()A.0B.23C.1D.2【巩固练习】1.已知连续函数f(x)满足：①∀x,y∈R，则有f x+y=f x +f y -1，②当x>0时，f(x)<1，③f(1)=-2，则f(x)在-3,3上的最大值是2.已知连续函数f(x)对任意实数x恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，当x>0时，f(x)<0，f(1)=-2，则f(x)在[-3，3]上的最大值是【题型5】抽象函数的对称性抽象函数的对称性常有以下结论(1)f x+a=f b-x⇒f x 关于x=a+b2轴对称，(2)f x+a+f b-x=2c⇒f x 关于a+b2,c中心对称，2024·江苏南通·二模1.(多选)已知函数f x ，g x 的定义域均为R，f x 的图象关于点(2，0)对称，g(0)=g(2)=1，g(x+y)+g(x-y)=g(x)f(y)，则()A.f x 为偶函数B.g x 为偶函数C.g(-1-x)=-g(-1+x)D.g(1-x)=g(1+x)【巩固练习】1.已知对任意实数x，y，函数f x 满足f xy+1=f x+1+f y+1，则f x ()A.有对称中心B.有对称轴C.是增函数D.是减函数2.(2024·重庆八中校考)(多选)已知函数f x 的定义域为R，且f x+y=f x +f y ，当x>0时，f x >0，且满足f2 =1，则下列说法正确的是()A.f x 为奇函数B.f-2=-1C.不等式f2x-f x-3>-2的解集为-5,+∞D.f-2023+f-2022+⋯+f0 +⋯f2022+f2023=20233.(多选)已知定义域为R的函数f x 对任意实数x,y都有f x+y+f x-y=2f x f y ，且f12 =0，则以下结论一定正确的有()A.f0 =-1B.f x 是偶函数C.f x 关于12,0中心对称 D.f1 +f2 +⋯+f2023=0【题型6】抽象函数的周期性抽象函数周期问题一般先求对称性2024山东青岛·统考三模1.设f x 为定义在整数集上的函数，f 1 =1，f 2 =0，f -1 <0，对任意的整数x ,y 均有f x +y =f x f 1-y +f 1-x f y ．则f 55 =．2.函数f x 的定义域为R ，且f x +2 =-f x +1 -f x ，f x =f 2-x ，f 365 =-1，则2023k =1f k =.3.(2024届厦门一中校考)若定义域为R 的奇函数f (x )满足f (x )=f (x +1)+f (x -1)，且f (1)=2，则f (2024)=．【巩固练习】1.(2024·山东青岛·一模)∀x ∈R ，f (x )+f (x +3)=1-f (x )f (x +3)，f (-1)=0，则f (2024)的值为()A.2B.1C.0D.-12.(2024·福建龙岩·一模)已知函数f x 的定义域为R ，且f x +y +f x -y -f x f y =0，f -1 =1，则()A.f 0 =0B.f x 为奇函数C.f 8 =-1D.f x 的周期为33.(2024·福建厦门·一模)已知函数f (x )的定义域为R ，∀x ，y ∈R ，f (x +1)f (y +1)=f (x +y )-f (x -y )，若f (0)≠0，则f (2024)=()A.-2B.-4C.2D.44.函数f x 的定义域为R ，对任意x ,y ∈R ，恒有f x +f y =2f x +y 2 ⋅f x -y 2 ，若f 1 =12，则f -1 =，2022n =1f n =．5.(深圳市宝安区2024届高三上学期10月调研数学试题)(多选)已知函数f x 的定义域为R ，且f x +y f x -y =f 2x -f 2y ，f 1 =3，f 2x +32为偶函数，则()A.f x 为偶函数B.f 2 =3C.f 3+x =-f 3-xD.2023k =1f k =3【题型7】一次函数的抽象表达式一次函数的抽象表达式(1) 对于正比例函数f(x)=kx ，与其对应的抽象函数为f(x±y)=f(x)±f(y) .(2) 对于一次函数f(x)=kx+b ，与其对应的抽象函数为 f(x±y)=f(x)±f(y)∓b.(3) 对于一次函数f(x)=k x-b，与其对应的抽象函数为 f(x+y-b)=f(x)+f(y).1.已知函数f x 的定义域为R，且f x 的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列三个条件的一个f x 的解析式为f x =.①∀m,n∈R，f m+n；②f x 为奇函数；③f x 在R上单调递减.=f m+f n2.(2023-2024学年重庆一中高一期中)(多选)已知定义在区间[-4，6]上的函数f(x)满足：对任意m，n∈R均有f m-n+1；当x>1时，f x >0．则下列说法正确的是+f n =f mA.f(1)=0B.f(x)在定义域上单调递减C.f(x+1)是奇函数D.若f(2)=1，则不等式f(2x)>f(x)+2的解集为(2，3]【巩固练习】1.(2024·安徽安庆·二模)(多选)已知定义在R上的函数f(x)，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，f(x)<1，则()A.f(0)=1B.f(1)+f(-1)=1C.函数f(x)为减函数D.函数的图象关于点0,1对称2.(2024·山东泰安·一模)(多选)已知函数f x 的定义域为R，且f1 =0，若f x+y=f x +f y +2，则下列说法正确的是()A.f-1=4046 D.函数f x +2是奇函数 =-4 B.f x 有最大值 C.f2024【题型8】对数型函数的抽象表达式对数函数的抽象表达式(重要)对数函数f (x )=log a x ，其对应的抽象函数为f (xy )=f (x )+f (y ) 或fxy=f (x )-f (y )补充：对于对数函数f (x )=log a x ，其抽象函数还可以是f (x n)=nf (x )奇偶性证明：只需构造f (x 2)-f (x 1)=fx 2x 1⋅x 1-f (x 1)=f x2x 1即可1.已知函数f (x )满足：①对∀m ，n >0，f (m )+f (n )=f (mn )；②f 12=-1．请写出一个符合上述条件的函数f (x )=．2.(2024·安徽·二模)已知函数y =f x x ≠0 满足f xy =f x +f y -1，当x >1时，f x <1，则()A.f x 为奇函数B.若f 2x +1 >1，则-1<x <0C.若f 2 =12，则f 1024 =-4 D.若f 12=2，则f 11024=10【巩固练习】1.已知定义在0,+∞ 上的函数f x ，满足f xy +1=f x +f y ，且f 12 =0，则f 211 =()A.1B.11C.12D.-12.已知函数f x 的定义域是0,+∞ ，对定义域内的任意x 1,x 2都有f x 1x 2 =f x 1 +f x 2 ，且当0<x <1时，f x >0.(1)证明：当x >1时，f x <0；(2)判断f x 的单调性并加以证明；【题型9】指数型函数的抽象表达式对于指数函数 f (x )=a x，与其对应的抽象函数为f (x +y )=f (x )f (y ) 或f (x -y )=f (x )f (y ).奇偶性证明：由f (x +y )=f (x )⋅f (y )得f (x +y )f (x )=f (y )，判断f (x 2)f (x 1)=f (x 2-x 1)和1的大小关系1.已知函数f x 的定义域为R ，且f x 的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列二个条件的一个f x 的解析式为f x =.①∀m ,n ∈R ，f m +n =f m f n ；②f x 在R 上单调递减.2.(2023上·浙江·高一校联考)(多选)已知定义在R 上的函数y =f x 满足：①y =f x 是偶函数；②当x >0时，f x >1；当x ≥0，y ≥0时，f x +y =f x f y ，则()A.f 0 =1B.f x 在0,+∞ 上单调递增C.不等式f x <f 4f 2的解集为-6,2 D.f x +y =f x +f y【巩固练习】1.如果f a +b =f a f b 且f 1 =2，则f 2 f 1 +f 4 f 3 +f 6f 5=()A.125B.375C.6D.82.已知函数f x 满足，f p +q =f p ⋅f q ,f 1 =3，则f 21 +f 2 f 1 +f 22 +f 4 f 3 +f 23 +f 6f 5+f 24 +f 8 f 7 +f 25 +f 10f 9 的值为()A.15B.30C.60D.753.已知定义在R 上的函数f x 满足：对任意的实数x ，y 均有f xy =f x f y ，且f -1 =-1，当0<x <1且f x ∈0,1 .(1)判断f x 的奇偶性；(2)判断f x 在0,+∞ 上的单调性，并证明；【题型10】幂函数的抽象表达式对于幂函数f (x )=x a，与其对应的抽象函数为f (xy )=f (x )f (y )或f x y=f (x )f (y )1.(2024·河北·模拟预测)已知定义在-∞,0 ∪0,+∞ 上的函数f x 满足f xy =f -x y +f -yx+1xy，则()A.f x 是奇函数且在0,+∞ 上单调递减B.f x 是奇函数且在-∞,0 上单调递增C.f x 是偶函数且在0,+∞ 上单调递减D.f x 是偶函数且在-∞,0 上单调递增【巩固练习】1.已知函数f x 的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，且xf x =y +1 f y +1 ，则()A.f x ≥0B.f 1 =1C.f x 是偶函数D.f x 没有极值点【题型11】正弦函数的抽象表达式三角函数注意系数的配凑，f (x )=a sin ωx ，f (x )=a cos ωx ，以下均以a =ω=1为例对于正弦函数f (x )=sin x ，与其对应的抽象函数为f (x +y )f (x -y )=f 2(x )-f 2(y )注： 此抽象函数对应于正弦平方差公式：sin2α-sin 2β=sin (α+β)sin (α-β)2024·广东江门·一模1.函数f x的定义域为，对任意的，，恒有成立.请写出满足上述条件的函数f x 的一个解析式.【巩固练习】1.(多选题)(2024·辽宁·模拟预测)已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x +y )f (x -y )=f 2(x )-f 2(y ),f (1)=2,f (2)=0，则下列说法中正确的是()A.f (x )为偶函数B.f (3)=-2C.f (-1)=f (5)D.2024k =2f (k )=-22.(多选题)(2024·全国·模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ，且f (x +y )f (x -y )=f 2(x )-f 2(y ),f (1)=1,f (2)=0，则下列说法中正确的是()A.f (x )为偶函数B.f (3)=-1C.f (-1)=-f (5)D.2023k =1f (k )=1【题型12】余弦函数的抽象表达式三角函数注意系数的配凑，f (x )=a sin ωx ，f (x )=a cos ωx ，以下均以a =ω=1为例(1) 对于余弦函数f (x )=cos x ，与其对应的抽象函数为f (x )+f (y )=2f x +y 2 f x -y 2 注： 此抽象函数对应于余弦和差化积公式：cos α+cos β=2cos α+β2cos α-β2(2) 对于余弦f (x )=cos x 函数 ，其抽象函数还可以是f (x )f (y )=12[f (x +y )+f (x -y )]注：余弦积化和差公式：cos αcos β=cos (α+β)+cos (α-β)2，2022新高考2卷T 8用的就是这个模型2024·吉林白山·一模1.已知函数f x的定义域为，且，f 1 =1，请写出满足条件的一个f x =(答案不唯一)，f 2024 =．2024·重庆一中3月月考2.(多选)函数f x 的定义域为R ，且满足f x +y +f x -y =2f x f y ，f 4 =-1，则下列结论正确的有()A.f 0 =0B.f 2 =0C.f x 为偶函数D.f x 的图象关于1,0 对称【巩固练习】1.已知函数f (x )满足：f (1)=14,4f (x )f (y )=f (x +y )+f (x -y )(x ,y ∈R )，则f 2023 =.2.(2022新高考2卷T 8)已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x +y )+f (x -y )=f (x )f (y ),f (1)=1，则22k =1f(k )=()A.-3B.-2C.0D.13.(2024·河北·模拟预测)(多选)已知定义在R 上的连续函数f x 满足∀x ,y ∈R ，f x +y +f x -y =f x f y ，f 1 =0，当x ∈0,1 时，f x >0恒成立，则下列说法正确的是A.f 0 =1 B.f x 是偶函数C.f 13=3 D.f x 的图象关于x =2对称【题型13】正切函数的抽象表达式对于正切函数 f (x )=tan x ，与其对应的抽象函数为f (x ±y )=f (x )±f (y )1∓f (x )f (y )注： 此抽象函数对应于正切函数和差角公式：tan (α±β)=tan α±tan β1∓tan αtan β1.已知函数f x 满足f (1)=1，f (x +y )=f (x )+f (y )1-f (x )f (y )，则()A.f 0 =0B.f -x =-f xC.f x 的定义域为RD.f x 的周期为4【巩固练习】1.(2024·广西贺州·一模)(多选)已知函数f (x )的定义域为(-1,1),f (x )+f (y )=f x +y1+xy，且当x ∈(0,1)时，f (x )>0，则下列说法正确的是()A.f x 是奇函数B.f x 为增函数C.若实数a 满足不等式f (2a )+f (a -1)>0，则a 的取值范围为13,+∞ D.f 12-f 13 >f 162.定义在-12,12 上的函数f (x )满足：对任意的都有，且当0<x<12时，．(1)判断f (x )在上的单调性并证明；(2)求实数t 的取值集合，使得关于x 的不等式在-12,12上恒成立．【题型14】二次函数的抽象表达式二次函数对于二次函数f (x )=ax2+bx +c ，与其对应的抽象函数为f (x +y )=f (x )+f (y )+2axy -c1.(2024·浙江杭州·模拟预测)对于每一对实数x ，y ，函数f 满足函数方程f x +f y =f x +y -xy -1，如果f 1 =1，那么满足f m =m m ≠1,m ∈Z 的m 的个数是()A.1个B.2个C.3个D.无数多个2.(2024·高三·河北保定·期末)已知函数f (x )满足：∀x ，y ∈Z ，f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy +1成立，且f (-2)=1，则f 2n n ∈N * =()A.4n +6B.8n -1C.4n 2+2n -1D.8n 2+2n -5【巩固练习】1.(2024·陕西西安·模拟预测)已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x )+f (y )=f (x +y )-2xy +2,f (1)=2，则下列结论正确的是()A.f (4)=12B.方程f (x )=x 有解C.f x +12是偶函数 D.f x -12是偶函数2.(2024·河南·三模)已知函数f x 满足：f 1 ≥3，且∀x ,y ∈R ，f x +y =f x +f y +6xy ，则9i =1f i 的最小值是()A.135B.395C.855D.990【题型15】其它函数的抽象表达式理论上，有多少种原函数就有多少种抽象函数与之对应，但也不乏一种原函数可以与多种抽象函数对应，以及一个抽象函数可以表示多种原函数。
抽象函数常见模型习题归纳(师生版)
例 2、已知函数 f（x）对任意 f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式
，满足条件 f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当 x＞0 时， 的解。
-1-
3、指数函数型
指数函数型函数特征式为： f x y f x f y
例 1 、 定 义 在 R 上 的 函 数 y f x, f 0 0 ， 当 x 0 时 ， f x 1 且 对 任 意 a,b R 都 有 f a b f a f b.
抽象函数常见模型归纳汇编
1、正比例函数型
正比例函数型函数特征式为： f x y f x f y 例 1、已知 f x 是定义在 R 上的函数，对任意的 x 、 y R 都有 f x y f x f y，且当 x >0 时， f x ＜0， f 1 2 。问当 3 x 3 时，函数 f x 是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若
y
x
-2-
5、幂函数型
幂函数型函数特征式为： f xy f x f y 例1、 已知函数 f (x) 的定义域为R，都有 f (xy) f (x) f ( y) 且 f (1) 1， f (27) 9 ，当 x 0,1 时， f (x) 0,1。（1）判断 f (x) 的奇偶性；（2）判断并证明 f (x) 在[0，+ ）上的单调性；（3）如 a 0
C. 19
D. 43
5、函数 f(x)为 R 上的偶函数，对 x R 都有 f (x 6) f (x) f (3) 成立，若 f (1) 2，则 f(2021) =（ ）
A . 2019
B. 2
C.1
D.0
6，已知 f (x) 是定义在R上的偶函数，且 f (x 3) f (x 1) 恒成立，当 x 2, 3时， f (x) x ，
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模型三(指数函数型)：f(x+y)=f(x)f(y)或 f(x-y)=f(x)÷f(y)
例3、已知函数对于一切实数x、满足f(0)≠0， f(x+y)=f(x)f(y)，且当x<0时，f(x)＞1 （1）当x＞0时，求f(x)的取值范围（2）判断 在R上的单调性
模型四(对数函数型)：f(xy)=f(x)+f(y)或 f(x÷y)=f(x)-f(y)
抽象函数模型
模型一(正比例函数型Hale Waihona Puke ： f(x±y)=f(x)±f(y)
例1、已知函数对任意实数x,y，均有 f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时f(x)>0，f(-1)=-2， 求在区间[－2，1]上的值域。
模型二(一次函数型):f(x+y)=f(x)+f(y)-c
例2、已知函数f（x）对任意x,y都满足条件 f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时， f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式f(a² -2a-2)<3 的解集
例4、已知函数f(x)定义域为(0,+∞)且单调递增， 满足f(4)=1，f(xy)=f(x)+f(y) （1）证明：f(1)=0；(2)求f(16)； （3）若f(x)+f (x-3)≤1，求x的范围； （4）试证f(xⁿ)=nf(x)（n∈N）
模型五(幂函数型)：f(xy)=f(x)f(y)或 f(x÷y)=f(x)÷f(y)